Übungsblatt 12

Übungen zur
Quantenmechanik II
– Blatt 12 –
Prof. Dr. Alexander Lichtenstein
zum 4.02.2010
Aufgabe 1) C-Invarianz (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Klein-Gordon-Gleichung für freie Teilchen invariant bezüglich folgender antilinearen Transformation der Wellenfunktion ist:
Ψ −→ Ψc (r, t) = ĈΨ(r, t) ≡ Ψ∗ (r, t).
Die Transformation Ĉ beschreibt Ladungskonjugation. Sie erlaubt es, zu einer Lösung der Klein-Gordon-Gleichung
−
mit negativer Energie Ψ− , die formal keinen physikalischen Sinn hat, eine Funktion Ψ+
c = ĈΨ zu finden, die
einer positiven Energie entspricht und sich als Wellenfunktion der Anti-Teilchen interpretieren lässt.
∂
Überprüfen Sie: Wenn eine Funktion Ψ eine Eigenfuntion zu einem der Operatoren ˆ = ih̄ ∂t
, p̂, ˆlz , l̂2 ist, dann ist
die entsprechende ladungskonjugierte Funktion Ψc auch Eigenfunktion dieses Operators. Wie sind die Eigenwerte
in diesem Fall verknüpft?
Aufgabe 2) Bewegungsintegrale (4 Punkte)
Welche dieser Operatoren kommutieren mit dem Hamiltonian der freien relativistichen Teilchen mit Spin 1/2?
a.) p̂
b.) l̂2
c.) Λ̂ = p̂Σ
Aufgabe 3) 4-Stromdichte (3 Punkte)
Finden Sie die Komponenten des 4er-Vektors der Stromdichte eines freien Dirac-Teilchens im Zustand mit bestimmtem Impuls. Vergleichen Sie das Resultat mit den entsprechenden Größen aus der nichtrelativistischen
Theorie.