r - Institut für Theoretische Elektrotechnik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT
HAMBURG - HARBURG
Technische Universität Hamburg-Harburg
Institut für
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Dr. sc. techn. Christian Schuster
Klausursammlung
Theoretische Elektrotechnik II
- 2012 bis 2016 -
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
6
9
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
9. 3. 2012 – 11:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder elektronische
Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen. Abgabe auf Extrablatt
nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für den Fall
quasistationärer Felder?
b) Unter welcher Voraussetzung (Formel) gelten diese?
c) Wie lautet die Formel für die Wellenzahl einer elektromagnetischen Welle der
Kreisfrequenz  im Vakuum?
d) Eine ebene elektromagnetische Welle hat eine Amplitude der magnetischen
Feldstärke von 10 A/m. Wie groß ist die zugehörige elektrische Feldstärkenamplitude (+/- 5%)?
e) Was ist richtig: Die innere Induktivität eines von Gleichstrom durchflossenen
runden Leiters ist (I) null, (II) größer null und abhängig vom Radius, (III) größer
null und unabhängig vom Radius oder (IV) nicht definiert?
f)
Wie lautet die Formel für die so genannte Oberflächenimpedanz (gültig bei starkem
Skineffekt)?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Ein gerader, unendlich langer, von Wechselstrom mit der Frequenz f = 10 MHz, Nullphasenwinkel 0 Grad und Amplitude I 0 durchflossener Leiter mit Radius 1 mm ist
konzentrisch umgeben von einem ebenfalls unendlich langen Schirm mit Innenradius R = 3
mm und Dicke t = 1,5 mm. Der Schirm besitzt eine Leitfähigkeit von   1,82 106 S m
sowie eine relative Permeabilität von  r  50 000 . Der Raum zwischen Leiter und Schirm
ist Luft (  r =1,  r =1).
1,5 mm
3,0 mm
1,0 mm
I0
Leiter
Schirm
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Bestimmen Sie den Betrag des Magnetfeldes an der Innenseite des Schirmes, das
durch I 0 hervorgerufen wird! Vernachlässigen Sie dabei Retardierungseffekte!
b) Begründen Sie, ob schwacher oder starker Skineffekt vorliegt und verwenden Sie
die geeignete Näherung für die folgenden Aufgaben!
c) Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke innerhalb des Schirmes als Funktion des
Abstandes r vom Leitermittelpunkt! In welche Richtung ist diese orientiert?
d) Bestimmen Sie die induzierte Stromdichte innerhalb des Schirmes als Funktion des
Abstandes r vom Leitermittelpunkt! In welche Richtung ist diese orientiert?
e) Wie groß ist der gesamte induzierte Strom innerhalb des Schirmes?
f) Wie groß ist die gesamte Verlustleistung innerhalb des Schirmes pro Länge?
Hinweis:
Zahlenwerte bitte bis auf 4 Stellen berechnen (also z. B. 1,234 oder 1,234 · 105), wobei die
letzte Stelle (hier die 4) gerundet sein soll.
3. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle läuft in einem verlustlosen Medium 1 mit der
Frequenz f = 5 GHz unter dem Einfallswinkel αe = 37˚ auf eine ebene Grenzfläche zu
einem verlustlosen Medium 2 und wird reflektiert bzw. transmittiert. Der Wellenzahlvektor
der einfallenden Welle befindet sich in der xz-Ebene. Die mittlere Leistungsflussdichte
(Betrag des Poynting-Vektors) der Welle beträgt 2,5 W/m².
z
2
d
 r 2  1, r 2  40

kd
x
1
 r1  1, r1  15

ke
e
r

kr
Die einfallende Welle besitzt folgendes elektrisches Feld:
 


E e  Eˆ e  e j (t ke r )  ey
Berechnen Sie in Zahlenwerten:
a) die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes
der einfallenden Welle,
b) die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes
der reflektierten Welle,
c) die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes
der transmittierten Welle,
d) einen Wert für  r 2 (mit r 2  r1 ) so, dass die einfallende Welle nicht reflektiert
wird!
Hinweis:
Zahlenwerte bitte bis auf 4 Stellen berechnen (also z. B. 1,234 oder 1,234 · 105), wobei die
letzte Stelle (hier die 4) gerundet sein soll.
4. Aufgabe
In einer unendlich ausgedehnten, ideal leitenden Oberfläche befindet sich eine kleine,
kreisrunde Öffnung (Apertur) mit Radius a. Durch ein wechselndes elektromagnetisches
Feld in der Apertur wird im oberen Halbraum ein Strahlungsfeld erzeugt, das im Fernfeld
an einem Punkt P folgende elektrische Feldstärkenkomponenten aufweist (k = Wellenzahl):
2
2
ka E0  jkr
Eˆ   j 
 e  sin 
2r
,
ka E0  jkr
Eˆ   j 
 e  cos   cos 
2r
z
 
P( , , r )

r
y
a
x

Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben unter der Annahme, dass der obere
Halbraum Vakuum ist:
a) Wie lauten die zugehörigen magnetischen Feldstärkekomponenten im Fernfeld?
b) Welche Polarisation(en) liegen vor (linear, zirkular, elliptisch)? Bei mehreren
Polarisationen: Wie hängen diese von der Strahlungsrichtung ab?
c) Berechnen Sie den komplexen Poynting-Vektor als Funktion von (  ,  ) für den
oberen Halbraum!
d) Für welche Richtungen (  ,  ) im oberen Halbraum wird die abgestrahlte Leistungsdichte (Betrag des Poynting-Vektors) maximal? Welchen Wert besitzt sie in diesen
Richtungen?
e) Berechnen Sie die gesamte, im Mittel in den oberen Halbraum abgestrahlte
Leistung!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Dr. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
9. 3. 2012 – 11:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für quasistationäre Felder:


B
rot E  
t

div D  


rot H  J

div B  0
Anmerkung: In Leitern wird daraus oft noch   0 gefolgert.
b)
Voraussetzungen für Gültigkeit:


J  D / t
bzw. für harmonische Felder    /   1 / Relaxationszeit

    0 0
c)
Wellenzahl im Vakuum: k 
d)
Elektrische Feldstärke: E  0  H  376,7   10 A/m  3767 V/m
c0
e)
Die innere Induktivität eines von Gleichstrom durchflossenen runden Leiters ist
(III) größer null und unabhängig vom Radius.
f)
Oberflächenimpedanz: Z S 
1 j

d
j

Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Das Magnetfeld an der Innenseite des Schirmes wird am einfachsten über das
Ampèresche Gesetz bestimmt (es zeigt ausschließlich in azimuthale Richtung):
H (r  R) 
b)
I0
2R
Skintiefe mit den vorgegebenen Daten:
d
2

 5,276 10 7 m
Vergleich zur Schirmdicke und Schirminnenradius zeigt, dass d sehr viel kleiner
als beide ist. Somit liegt ein Fall von starkem Skineffekt vor.
c)
Aufgrund des starken Skineffekts, kann das Magnetfeld innerhalb des Schirmes
mit Hilfe der Halbraumdarstellung approximiert werden. Mit s = r-R als Abstand
von der Innenseite des Schirmes in positive radiale Richtung kann man ansetzen
(siehe z.B. Übungsaufgaben):
1 j
1 j
ˆ

( r  R ) 

s 
I0
d
e d
 e
H  H 0 e
 e 
2R
(R ≤ r ≤ R+t )
H0, die Feldstärke auf der Oberfläche, und die azimuthale Orientierung wurden
dabei aus Teilaufgabe a entnommen.
d)
ˆ
ˆ
Der induzierte Strom wird i.A. berechnet über J  rot H . In Zylinderkoordinaten
ergibt sich dadurch nur eine z-Komponente für den Strom:
1 (r  Hˆ  ) Hˆ   Hˆ   Hˆ 
Jˆ z  



r
r
r
r
r
Die Abschätzung ist gerechtfertigt, denn z.B. an der Stelle r = R gilt:
Hˆ 
r

H0
R

 Hˆ 
r
 2
H0
d
Es folgt somit:
ˆ
(1  j )  I 0 1d j s 
(1  j )  I 0 1d j ( r  R ) 
J 
e
 ez  
e
 ez
d  2R
d  2R
e)
(R ≤ r ≤ R+t )
Die gesamte induzierte Stromdichte erhält man aus der Integration über die
durchflossene Fläche. Hierbei setzt man sinnvollerweise die Näherung für einen
Halbraum an und findet (Strom = äquivalenter Oberflächenstrom * Umfang):
ˆ 
d
I ind   J dA  Jˆ z (r  R) 
 2R   I 0
1 j
D.h. der induzierte Strom ist entgegengesetzt gleich groß wie der Leiterstrom!
f)
Die Verlustleistung pro Länge kann z.B. über den komplexen Poynting-Vektor
und Multiplikation mit dem Umfang berechnet werden:

 1  ˆ ˆ *  1  Jˆ ˆ *  (1  j )  I 02 
S  E  H     H 
e
 8d 2 R 2 r
2 
 2  

Daraus:


I 02
P
 2R  Re S 

4dR
Alternativ kann man über die Oberflächenimpedanz Z S 
1 j
gehen:
d
I 02
I 02
P 1
1 1 I 02
  ReZ S 
  

 2
Umfang 2 d 2R 4dR
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und magnetischen
Feldes können über den Betrag des komplexen Poynting-Vektors berechnet
werden:

2
*
*
1
1
1
Se  S e   Eˆ e  Hˆ e   1  Hˆ e  Hˆ e   1  Hˆ e
2
2
2
Der Feldwellenwiderstand im Medium 1 ist 1  1 / 1  r1  0  1459  .
(Feldwellenwiderstand 0  0 /  0  376,7  ). Damit folgen:
2S e
mA
Hˆ e 
 58,54
1
m
b)
V
Eˆ e  1  Hˆ e  85,41
m
Zur Berechnung des reflektierten und (später) der transmittierten Feldstärken
wird von den passenden Fresnelschen Formeln ausgegangen (siehe z.B. Skript,
Polarisationsfall 1):
rE 
 2  cos  e  1  cos  d
 2  cos  e  1  cos  d
t E 1  r E
und
Diese Faktoren gelten für die elektrische Feldstärken. Der Feldwellenwiderstand
im Mediums 2 ist  2  r 2  0  2383  . Der noch unbekannte Durchtrittswinkel
 d lässt sich über das Brechungsgesetz bestimmen:
sin  d 
k1
 sin  e 
k2
 r1
 sin  e
r 2
  r1
 d  arcsin 
 r 2

 sin  e   21,63 

Damit ergeben sich für den Reflexionsfaktor und den Transmissionfaktor:
r E  0,168
und
t E  1,168
Damit für die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und
magnetischen Feldes der reflektierten Welle:
V
V
Eˆ r  r E  Eˆ e  0,168  85,41  14,35
m
m
Hˆ r 
c)
Eˆ r
1
14,35 A
mA
 9,836
1459 m
m

… und damit für die Beträge der komplexen Amplituden des elektrischen und
magnetischen Feldes der transmittierten Welle:
V
V
Eˆ d  t E  Eˆ e  1,168  85,41  99,76
m
m
Hˆ d 
d)
Eˆ d
2

99,76 A
mA
 41,86
2383 m
m
Bei vollständiger Transmission ist der Reflexionsfaktor null. Damit aus den
Fresnelschen Formeln:
 2 cos  d

(*)
1 cos  e
Brechungsgesetz:
k 1 sin  d

k 2 sin  e
(**)
Formel (*) wird wie folgt umgestellt:
2
 2 
 r 2 cos 2  d
  

 r1 cos 2  e
 1 
 cos 2  d 
Formel (**) wird wie folgt umgestellt:
r 2
 cos 2  e (***)
 r1
2
 k1 
r1 sin 2  d
  

k

sin 2  e
r2
 2
 sin 2  d 
 r1
 sin 2  e
r 2
(****)
Addition von (***) und (****):
1
 r1

 sin 2  e  r 2  cos 2  e
r 2
 r1
Dies führt auf eine quadratische Gleichung für  r 2 :
r 2
2
 r12 sin 2  e
 r1
 r 2 

0
cos 2  e
cos 2  e
 r1 sin 2  e
 r1
 r1
1
 r 2  


 11,76  3,241
2 cos 2  e
4 cos 4  e
cos 2  e
2
2
  r 2  15,00 oder 8,519
Da in diesem Falle gefordert ist, dass  r 2   r1  15 , ist das Ergebnis:
 r 2  8,519
Anmerkung:
Der Einfall erfolgt in diesem Fall unter dem so genannten Brewster-Winkel.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Die magnetischen Feldstärkekomponenten im Fernfeld bestimmen sich über
den Feldwellenwiderstand 0  0 /  0  376,7  des Freiraumes zu:
Eˆ 
ka2 E0  jkr
Hˆ   
j
 e  cos   cos 
0
2r  0
und
ka2 E0  jkr
Eˆ
Hˆ     j 
 e  sin 
0
2r  0
Hierbei wird ausgenützt, dass elektrische und magnetische Felder im Fernfeld
senkrecht zueinander stehen und deren Kreuzprodukt in radiale Richtung zeigt.
b)
Die Komponenten des elektrischen Feldes besitzen für beliebige Winkel  und
 stets den gleichen Phasenwinkel zueinander, nämlich null Grad. Daher ist das
elektrische Feld bzw. die Welle
in jede Richtung linear polarisiert.
c)
Der komplexe Poynting-Vektor kann wie folgt berechnet werden:
 0   0 
 1 ˆ ˆ * 1    *  1
*
*

S   E  H    Eˆ     Hˆ      Eˆ   Hˆ   Eˆ   Hˆ    er

2
2  ˆ   * 2 
 ˆ 
 E   H  

1
1  ˆ 2 ˆ 2 
*
*

 Eˆ   Eˆ   Eˆ   Eˆ   er 
  E   E    er

20
20 






1 k 2 a 4 E02

 sin 2   cos 2   cos 2   er
2
20
4r
Wie zu sehen, hat der komplexe Poynting-Vektor keinen Imaginärteil. Sein
Betrag ist:
S (r , ,  ) 

k 2 a 4 E02
 sin 2   cos 2   cos 2 
2
8r  0

(*)
d)
Aus der Formel (*) aus Teilaufgabe c kann man den maximalen Wert des
Poynting-Vektors direkt ablesen:
max S ( ,  ) 
k 2 a 4 E02
8r 2  0
(**)
Dies folgt aus der Identität sin 2   cos 2   1 und der Tatsache, dass cos 2   1.
Die Bestimmung der Richtungen, in die diese maximale Leistungsdichte
abgestrahlt wird erfolgt entweder aus der Anschauung oder ausführlicher
Kurvendiskussion wie hier:
Ableitung nach :
k 2 a 4 E02
S
 2
 cos   sin   cos 2 

4r  0
Nullsetzen ergibt Werte für mögliche Extrema ( beliebig):  ext  0,

.
2
Einsetzen in (*) und Vergleich mit (**) zeigt, dass nur 0 richtig ist. Somit:
Maximum für   0,  beliebig
(***)
Ableitung nach :
S k 2 a 4 E02
 2
 2 cos   sin   2 cos   sin   cos 2 
 8r  0




k 2 a 4 E02
 2
 1  cos 2   cos   sin 
4r  0

3
Nullsetzen ergibt Werte für mögliche Extrema ( beliebig): ext  0, ,  , , 2
2
Einsetzen in (*) und Vergleich mit (**) zeigt folgende Lösungen:
Maximum für   0,   0
Maximum für   beliebig ,    / 2
Maximum für   0,   
Maximum für   beliebig ,   3 / 2
Maximum für   0,   2
Die Lösungen für sind in (***) schon enthalten.
2
e)
Zur Bestimmung der im Mittel abgestrahlten Leistung wird die radiale
Komponente des Poynting-Vektors über den oberen Halbraum integriert:
2  2
Prad 
 S
r
 r 2 sin  d d
0 0
k 2 a 4 E02 2


8  0 0
 2
 sin
  sin   cos 2   cos 2   sin  d d
0
2
Unter Verwendung von
2
 sin
0
2
2
 d   cos 2  d   ergibt sich:
0
 2
 2

     sin  d     cos 2   sin  d 


0
0






2
k 2 a 4 E02 
1

3  
2

   cos  0   cos   
8  0
 3
0 



k 2 a 4 E02
Prad 
8  0
k 2 a 4 E02

8  0

k 2 a 4 E02
6  0

1 

   0  1   0   
3 


Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
4
10
10
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
20. 8. 2012 – 13:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder elektronische
Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen. Abgabe auf Extrablatt
nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in integraler Form?
b) Wie ist die Skintiefe (Eindringtiefe) in elektrisch leitenden Medien definiert
(Formel)?
c) Erklären Sie in Worten, was man unter „Ruheinduktion“ und was man unter
„Bewegungsinduktion“ versteht!
d) Welchen Wert hat näherungsweise (+/- 5 Ohm) die Wellenimpedanz des Vakuums
und wie definiert sie sich aus den Feldkonstanten (Formel)?
e) Wie lautet die Formel für die so genannte Oberflächenimpedanz eines Körpers, der
Skineffekt aufweist?
f) Ab welcher Frequenz wird die TE10-Mode eines rechteckigen, mit Luft gefüllten
Hohlleiters mit den Innenabmessungen 3 cm auf 2 cm ausbreitungsfähig?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Das magnetische Vektorpotential des Erdmagnetfeldes in Kugelkoordinaten lautet:
Ar  0,
A  0,
A 
0m0 sin 
,
4 r 2
wobei das magnetische Dipolmoment m0  7,746 1022 Am2 ist.
a) Wie lauten die drei Komponenten der entsprechenden magnetischen Flussdichte in
Kugelkoordinaten (Formeln)?
Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v = 50 km/h geradeaus in
Hamburg (   53,5 ) auf ebener Erde. Die metallischen Achsen des Autos sind 1,2 m lang.
b) Berechnen Sie als Zahlenwert die gesamte Spannung, die entlang einer Achse
induziert wird (Erdradius = 6371 km)!
Hinweis:
Für alle Zahlenwerte genügen vier signifikante Stellen, also z.B. 1,234  105 , wobei die letzte
Ziffer (hier die 4) gerundet sein soll.
3. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle (f = 100 MHz) in einem verlustbehaften Medium mit
r  1 besitzt die folgende komplexe Amplitude der elektrischen Feldstärke in kartesischen
Koordinaten:
 cos  
ˆ

E0  j k r 
E ( x, y , z ) 
e
  sin  
2
 1 


mit
 sin  



k ( x, y, z )  k0  1,5  j  2    cos  
 0 


Hierbei gilt: E0  1 V/m ,   45 und k0  5 m-1 .
Berechnen Sie im Folgenden als Zahlenwerte:
a) die Dämpfungskonstante und die Phasenkonstante der Welle,
b) die Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit,
c) den komplexen Wellenwiderstand,
d) den Betrag der magnetischen Feldstärke im Koordinatenursprung und
e) den Phasenunterschied zwischen elektrischem und magnetischem Feld.
Bestimmen Sie als Formel:
f) die komplexe Amplitude der magnetischen Feldstärke.
Hinweis:
Für alle Zahlenwerte genügen vier signifikante Stellen, also z.B. 1,234  105 , wobei die letzte
Ziffer (hier die 4) gerundet sein soll.
4. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle mit der Frequenz f = 3 GHz läuft in einem
verlustlosen Medium (µr1 = 3) unter dem Einfallswinkel αe = 30˚ auf eine ebene
Grenzfläche zu einem anderen verlustlosen Medium (µr2 = 1) und wird reflektiert bzw.
transmittiert. Der Poyntingvektor der einfallenden Welle befindet sich in der xz-Ebene.
z
2
d
 r 2  1,  r 2  1

kd
y
x
1
 r1  1,  r1  3

ke
e

kr
r
Die einfallende Welle besitzt folgende elektrische Feldkomponenten ( E0  1 V/m ):
 
E xe   E0  cos  e  e jk e r ,
 
E ye  E0  e jk e r ,
 
E ze  E0  sin  e  e jk e r
Berechnen Sie im Folgenden als Zahlenwerte:
a) den Durchtrittswinkel und den Winkel für innere Totalreflexion,
b) die Beträge der reflektierten und transmittierten elektrischen Feldkomponenten, die
senkrecht zur Einfallsebene liegen,
c) die Beträge der reflektierten und transmittierten elektrischen Feldkomponenten, die
parallel zur Einfallsebene liegen,
d) die zeitlich gemittelte, senkrecht durch die Grenzfläche tretende Leistung pro
Quadratmeter!
Hinweis:
Für alle Zahlenwerte genügen vier signifikante Stellen, also z.B. 1,234  105 , wobei die letzte
Ziffer (hier die 4) gerundet sein soll.
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Dr. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
20. 8. 2012 – 13:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichung in integraler Form:
 
D
  dA    dV  Q
 
B
  dA  0

 
d
d
E

d
r


B

d
A



dt 
dt

 
  D  
 H  dr    J  t   dA  I
d
b)
Skintiefe:
c)
Ruheinduktion =
2
0 r

1
0 rf
Induktion (Erzeugen eines elektrischen Feldes) auf Grund
der rein zeitlichen Veränderung eines Magnetfeldes.
Bewegungsinduktion =
Induktion auf Grund der Bewegung durch ein
räumlich veränderliches Magnetfeld.
0 
0
 376,73 
0
d)
Wellenwiderstand des Vakuums:
e)
Oberflächenimpedanz:
f)
Die Grenzfrequenz der TE10-Mode ist f  c0 / 2a mit a = Länge der breiten Seite
(hier 3 cm). Somit folgt f  5 GHz .
ZS 
1 j

d
j

Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Berechnung der magnetischen Flussdichte aus dem Vektorpotential:

0



B  rot A  rot 
0
  m sin 
 0 0 2
r
 4






Hierbei gilt für die Rotation in Kugelkoordinaten:
 
  A  er 
 

A   1  1 Ar 
  sin   A      e  r  sin     r r  A 




 1 
A 
 e   r  A   r 
r  r
 
1
r sin 
Es folgt:
Br 
1
 
 m sin    m
 sin   0 0 2   0 03  cos 
r sin   
4 r  2 r
B  
1   0m0 sin   0m0
 sin 
r 

r r 
4 r 2  4 r 3
B  0
b)
Auf Grund der Bewegung der metallischen Achse durch das Erdmagnetfeld wird
ein elektrisches Feld induziert (Bewegungsinduktion). Entlang der Achse kann
dazu nur die radiale Komponente des Magnetfeldes beitragen:
Br (r  6371 km,   53,5 )  3,564 105 T
Geschwindigkeitsvektor und radiale Komponente stehen senkrecht zueinander
und das induzierte elektrische Feld ist parallel zur Achse. Es folgt deshalb:
uind  v  Br   
50000 m
 3,564 105 T 1,2 m  0,594 mV
3600 s
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Aus der Propagationskonstanten:
    j    j  k  j  k0  (1,5  j  2)  5 m1  ( j 1,5  2)  (10  j  7,5) m1
b)
folgt die Dämpfungskonstante zu:
  10 m1
und die Phasenkonstante zu:
  7,5 m1
Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit folgen aus der Phasenkonstanten zu:

vph 
c)


2
 0,8378 m
7,5 m-1
 2 100 106 s 1

 0,8378 108 m/s
-1

7,5 m
Der komplexe Wellenwiderstand ist:

d)
2
0 μr
k


2 100 106 s 1  4 107 Hm1 8 2 10 H s 1

 63,17  e j 53,13 
k0  1,5  j  2
7,5  j 10
Betrag der magnetischen Feldstärke im Koordinatenursprung:
ˆ
 cos  
ˆ

E 0,0,0 
E0  j k r 
H 0,0,0  

e
  sin   : 63,17  

2
 1 



E0
 cos 2   sin 2   1 : 63,17 


2 
1
 1 Vm -1 : 63,17   1,583  10 2 A/m
e)
Der Phasenunterschied zwischen elektrischer und magnetischer Feldstärke kann
am Nullphasenwinkel des komplexen Wellenwiderstandes abgelesen werden:
Phasenunterschied  53,13
f)
ˆ
ˆ
Die magnetische Feldstärke kann z.B. aus rot E   j0 μr H bestimmt werden.
Unter Beachtung von:


 
  j k r
e
  j k x  e j k r
x
für x, y, z zyklisch
und der Produktregel (siehe z.B. Skript):



rot(c  A)  (grad c)  A  c  (rot A)
folgt:
 cos  
 


E0
 j k r

 grad e
  sin    0
j 0 μr
j 0 μr
2
 1 


  jk x 
 cos  
  j k r 

1
E0 


   jk y   e
  sin  
j 0 μr
2 

 1 
  jk z 


 cos  

1
E0  j k r  


e
 k   sin  
 0 μr 2
 1 


 ˆ
 ˆ 1  ˆ
1
k

k  E 
 ek  E   ek  E
 0 μr
 0 μr

ˆ
H 
1
ˆ
 rot E  
1


Ausführen des Kreuzproduktes ergibt:
 sin    cos  
  cos  
ˆ 1 E0  j k r 
 
 1 E0  j k r 

H 
e
   cos     sin    
e
   sin  
 2
 0   1   2
 1 

 



Lösung zur 4. Aufgabe
Diese Aufgabe wird mit Hilfe der Fresnelschen Formeln gelöst (siehe z.B. Skript).
a)
Die Anwendung des Brechungsgesetztes führt auf den Durchtrittswinkel:
sin  d 
k1
 r1
3 1
3
 sin  e 
 sin  e 
 
k2
r 2
1 2
2

 d  60
Der Winkel für innere Totalreflexion ist:
sin  e total 
b)
k2

k1
r 2
1

 r1
3

 etotal  35,26
Für Feldkomponenten senkrecht zur Einfallsebene (hier die y-Komponente)
lautet der Reflexionsfaktor:
3
3

 r 2 0 cos  e   r1 0 cos  d
 cos  e  1 cos  d
2 0
rE  2

 2
 2 cos  e  1 cos  d
r 2 0 cos  e   r1 0 cos  d
3
3
2

2
tE 1 rE 1
und der Transmissionsfaktor:
Somit:
E yr  r E E ye  0 V/m
c)
E yd  t E E yd  1 V/m
Für Feldkomponenten parallel zur Einfallsebene (hier die x- und z-Komponenten) lautet der Reflexionsfaktor:
 cos  e   2 cos  d
rH  1

1 cos  e   2 cos  d
und der Transmissionsfaktor:
3
1
2
2
r1 0 cos  e  r 2 0 cos  d 2  2

 0,5
r1 0 cos  e  r 2 0 cos  d 3  1
t H  1  r H  1,5
Somit für die reflektierten Feldkomponenten:
E xr   r H E xe  0,433 V/m
E zr  r H E ze  0,25 V/m
Für die transmittierten Feldkomponenten benützt man die Kenntnis der
tranmittierten magnetischen Feldstärke:
E xd   cos  d  2 H yd
E zd  sin  d  2 H yd
  cos  d  2 t H H ye
 sin  d  2 H ye
Hierbei ist H ye  ( E0  cos  e )2  ( E0  sin  e )2 2  E0 2 . Es folgt:
E xd  cos  d
d)
2
t H E0  0,433 V/m
1
E zd  sin  d
2
t H E0  0,75 V/m
1
Der Betrag des Poynting-Vektors der transmittierten Welle ist:
 2
2
2

1 Ed
1 E xd  E yd  E zd
Sd  
 
2 2
2
2
2
 2,321 103 W/m 2
Daraus kann man die zeitlich gemittelte, senkrecht durch die Grenzfläche pro
Quadratmeter tretende Leistung berechnen:

S z  S d  cos  d  1,161103 W/m 2
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
8
7
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
15. 03. 2013 – 11:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder elektronische
Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen. Abgabe auf Extrablatt
nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgenden Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie hängt die pro Fläche dissipierte Leistung eines Materials im magnetischen
Wechselfeldes von seiner spezifischen Leitfähigkeit  und der Skintiefe d ab
(Grenzfall starker Skineffekt)?
b) Wie lautet die Formel für die induzierte elektrische Feldstärke, die durch Bewegung


mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld B entsteht?
c) Nennen Sie mindestens drei Eigenschaften ebener elektromagnetischer Wellen!
d) Wie lautet der Reflexionskoeffizient (Formel) für das elektrische Feld in Form
ebener Wellen bei senkrechtem Einfall auf eine ebene Grenzfläche zwischen zwei
Medien mit den jeweiligen Wellenwiderständen Γ1 und Γ2 (Einfall aus Medium 1)?
e) Wie lautet die Formel für den Brechungsindex eines optischen (verlustlosen)
Mediums mit relativer Permittivität  r und relativer Permeabilität  r ?
f) Wie lautet das Brechungsgesetz (Formel) zwischen zwei Medien mit ebener
Grenzfläche mit den jeweiligen Brechzahlen n1 und n2?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Eine Leiterschleife dreht sich wie in Teil a der Abbildung unten gezeigt mit der Winkelgeschwindigkeit in mathematisch positiver Richtung um die y-Achse in einem


inhomogenen Magnetfeld, das durch B  B0  1 

a)
b)
I
z2  
  ex beschrieben wird.
a 2 
Φ(φ)
II
a
MagnetFeld
z
φ
π
2π
φ
π
2π
φ
u(φ)
y
x
ℓ
Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich die Leiterschleife in der Position
a) Berechnen Sie den gesamten magnetischen Fluss  in der Leiterschleife als
Funktion des Winkels φ mit der x-Achse und der gegebenen Parameter!
b) Berechnen Sie die in der gesamten Leiterschleife induzierte Spannung u als
Funktion der Zeit t und der gegebenen Parameter! Welche maximale Spannung wird
induziert und bei welchem Winkel φ tritt diese auf?
c) Berechnen Sie in Abhängigkeit der gegebenen Parameter die induzierten
elektrischen Feldstärken ⃗ (y,t) entlang des Leiterabschnitts I und ⃗ (r,t) entlang
des Leiterabschnitts II (siehe Abbildung). Anmerkung:
.
√
d) Skizzieren Sie in Teil b der Abbildung den Verlauf des magnetischen Flusses Φ und
der in der Leiterschleife induzierten Spannung u in Abhängigkeit von der Stellung
der Leiterschleife (d.h. vom Winkel φ).
3. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle trifft wie in der Abbildung gezeigt aus der Luft
senkrecht auf eine dielektrisch beschichtete, halbunendliche Metallplatte. Alle Grenzflächen sind eben. Die Materialparameter sind in der Abbildung angegeben.
I
Luft
II
Dielektrikum
Metall
Einfallende
Welle
Reflektierte
Welle
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀0
𝜇0
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀𝑟 𝑑 𝜀0
𝜇0
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀0
𝜇0
𝜅𝑚
t
Die folgenden Werte sind gegeben:
mm.
a) Berechnen Sie in Zahlenwerten die Reflexions- und Transmissionsfaktoren für das
elektrische Feld an den Übergängen Luft-Dielektrikum, Dielektrikum-Luft und
Dielektrikum-Metall unter der Annahme, dass die beiden betrachteten Materialien
jeweils den unendlichen Halbraum auf ihrer Seite des Übergangs ganz ausfüllen.
b) Berechnen Sie in Zahlenwerten die Reflexions- und Transmissionsfaktoren für das
magnetische Feld an den Übergängen Luft-Dielektrikum, Dielektrikum-Luft und
Dielektrikum-Metall unter der Annahme, dass die beiden betrachteten Materialien
jeweils den unendlichen Halbraum auf ihrer Seite des Übergangs ganz ausfüllen.
Im Folgenden soll die gesamte Anordnung aus Luft, Dielektrikum und Metall betrachtet
werden. Die ortsunabhängigen Anteile der komplexen Amplituden der einfallenden Feldstärken seien mit ̂ und ̂ bezeichnet. Berechnen Sie unter Einbeziehung der Mehrfachreflexionen an den Grenzschichten I und II jeweils als Zahlenwert das Verhältnis:
c) der elektrische Feldstärke ̂ der reflektierten Welle zu ̂ und
d) der magnetischen Feldstärke ̂ der reflektierten Welle zu ̂ !
4. Aufgabe
Eine elektromagnetische Welle im Vakuum lässt sich als Überlagerung der beiden in
Abbildung a und b dargestellten Teilwellen 1 und 2 beschreiben, bei denen es sich um
ebene Wellen mit der Frequenz f1 = f2 = f0 handelt. Die Wellenzahlvektoren beider
Teilwellen befinden sich in der xz-Ebene und schließen mit der x-Achse einen Winkel α
ein. Der elektrische Feldstärkevektor der Welle 1 befindet sich ebenfalls in der xz-Ebene
und schließt mit der z-Achse den Winkel α ein. Der elektrische Feldstärkevektor der Welle
2 zeigt in negative y-Richtung.
a)
b)
z
z
E1
y
α

k1
y
α

k2
α
x
x
E2
Zum Zeitpunkt t = 0 habe das elektrische Feld ⃗ im Ursprung des Koordinatensystems den Betrag E0 und den Phasenwinkel 0, das elektrische Feld ⃗ den Betrag E0
und den Phasenwinkel
.
a) Bestimmen Sie zunächst die Wellenzahlvektoren ⃗ und ⃗ als Formel nach Betrag
und Richtung! Geben Sie dann die elektrischen Felder ⃗
und ⃗
an.
Dabei ist davon auszugehen, dass beide Teilwellen nur aus einer hinlaufenden Welle
in Richtung des Wellenzahlvektors bestehen.
⃗
⃗ . Kann die überlagerte
b) Betrachten Sie nun die überlagerte Welle ⃗
Welle ebenfalls als ebene Welle betrachtet werden? Falls ja, wie ist diese
polarisiert?
c) Berechnen Sie das Magnetfeld der überlagerte Welle ⃗
⃗
⃗ !
d) Berechnen Sie den komplexen Poynting-Vektor der überlagerten Welle nach Betrag
und Richtung ( ⃗
und ⃗
bzw. deren Amplituden sind dabei als Spitzenwerte
aufzufassen)!
e) Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Betrages der elektrischen Feldstärke
|⃗
| | {⃗
}| im Ursprung des Koordinatensystems!
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Theoretische Elektrotechnik
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Prof. Dr. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
15. 03. 2013 – 11:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
1
d
a)
Die pro Fläche dissipierte Leistung ist proportional
b)
E  v B
c)
Eigenschaften ebener elektromagnetischer Wellen (drei verlangt):
- Orte gleicher Phase (Wellenfronten) sind Ebenen im Raum,
- Ausbreitung erfolgt senkrecht zu den Wellenfronten,
- elektrisches Feld und magnetisches Feld stehen senkrecht aufeinander,
- elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung,
- elektrisches und magnetisches Feld sind über die Wellenimpedanz verknüpft.
 2  1
 2  1
d)
rE 
e)
n  r  r
f)
n1  sin 1  n2  sin 2
(mit 1 , 2 als den Winkeln zum Lot)
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife berechnet sich durch:


( )   B( z )  dA( )
wobei


dA( )  dy  dr  e ,
A
Hierbei wurden Zylinderkoordinaten entlang der y-Achse gewählt. Die Flächennormale zeigt hierbei in positive φ-Richtung. Es folgt:
 z2  

 ( )   B0  1  2   ex  dy  dr  e
 a 
A
 (r  sin  ) 2 
  ( sin  )  dy  dr
  B0  1 
2
a


A
a


r2
 2lB0     sin   2  sin 3    dr
a

0 
a


1 r3
 2lB0  r  sin    2  sin 3  
3 a

0
1


  2lB0  a   sin    sin 3  
3


b)
Die induzierte Spannung entspricht nach dem Induktionsgesetz der totalen
zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife:
u (t )  
d( (t ))
dt
Die Spannungsrichtung ergibt sich dabei nach der Lenzschen Regel (das Magnetfeld des induzierten Stromes wirkt der Flussänderung entgegen).
Mit φ = ωt folgt:
u (t )  2lB0  a 
d
1

3
 sin(t )   sin (t ) 
dt 
3

 2lB0  a    cos(t )    sin 2 (t )  cos(t ) 
 2lB0  a    cos(t )  (1  sin 2 (t ))
 2lB0  a    cos 3 (t )
Die maximale Spannung ist also:
umax (  0)  2lB0  a  
Anmerkung:
Im Vergleich zum Fall eines homogenen Magnetfeldes ergibt sich in Bezug auf
die maximal induzierte Spannung keine Änderung.
c)
Der Ansatz für die induzierte elektrische Feldstärke ist E  v  B . Für den
Leiterabschnitt I:

v    a  (cos( )  e z  sin( )  e x )
und

 (a  sin  )2  
  ex
B  B0  1 
2
a


Es folgt:


E I  v  B    a  (cos( )  e z  sin( )  e x )  B0  1  sin 2   e x


   a  cos( )  B0  1  sin 2   e y  B0    a  cos 3   e y
Mit φ = ωt:
E I ( y, t )  B0  a    cos3 (t )  e y
Das elektrische Feld entlang des Leiterabschnitts I hängt somit nur von der Zeit t,
nicht jedoch von der Position y entlang des Leiterabschnitts ab.
Die Betrachtung lässt sich vollkommen analog für Leiterabschnitt II durchführen,
wobei gesetzt werden muss:

v    r  (cos( )  e z  sin( )  e x )
und

 (r  sin  )2  
  ex
B  B0  1 
a2


Mit φ = ωt:
2


2 sin ( ) 

  e x
EII (r , t )  v  B    r  (cos( )  e z  sin( )  e x )  B0  1  r 
2
a



sin 2 (t ) 
  cos(t )  e y
   r  B0  1  r 2 
2
a


Anmerkung:
Während die elektrische Feldstärke bei Leiterabschnitt I parallel zum Leiter
verläuft und für einen Spannungsabfall entlang dieses Leiterabschnitts sorgt,
steht die elektrische Feldstärke bei Leiterabschnitt II senkrecht auf dem Leiter
und erzeugt keinen Spannungsabfall.
d)
1 3 

Der magnetische Fluss hängt mit   sin( )  sin ( )  von φ ab. Dies führt auf
3


einen sinusartigen Kurvenverlauf mit abgeflachten Minima und Maxima. Der
Verlauf der induzierten Spannung ergibt sich durch graphisches Ableiten.
Φ(φ)
1
4
lB0  a.
3
0.8
0.6
0.4
0.2
0
φ
2π
π
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2lB0  a  .
u(φ)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
φ
2π
π
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Die Formeln für Reflexions- und Transmissionsfaktoren des elektrischen Feldes
bei senkrechtem Einfall vom Medium 1 ins Medium 2 lauten
r E ,12 
 2  1
 2  1
t E ,12  1  r E,12 
und
22
2  1
mit
j
.
  j

Die gegebenen Materialparameter führen auf die folgenden Wellenimpedanzen:
0
 376,73 
0
1   L 
0
 188,37 
 r,d 0
2   D 
3   M 
j 0
m
 47,909 mΩ  (1  j )
Die gesuchten Reflexions- und Transmissionsfaktoren lassen sich nun durch
Einsetzen in die Formeln bestimmen:
1
3
2

3
t E , LD
b)
1
3
4

3
r E , DL 
r E , LD  
t E ,DL
r E , DM  0,9995  j  5,084 10-4
t E , DM  5,087  10-4  j  5,084  10-4
Für das magnetische Feld gilt:
r H ,12  r E ,12 
1   2
1   2
t H ,12  1  r H ,12 
und
21
.
2  1
Damit:
1
3
4

3
r H , LD 
t H , LD
r H , DL  
t H , DL 
1
3
2
3
r H , DM  0,9995  j  5,084 104
t H , DM  1,9995  j  5,084 104
c)
Mit den in Aufgabenteil a berechneten Reflexions- und Transmissionsfaktoren
lässt sich das elektrische Feld der reflektierten Welle wie folgt als unendliche
Summe darstellen (vergleiche die entsprechende Übungsaufgabe):


E r  E e   r E ,LD  t E , LD  r E ,DM  t E ,DL  e jk 2t
 t E ,LD  r E , DM  r E , DL  t E ,DL  e jk 4t
2
 t E ,LD  r E , DM  r E , DL  t E ,DL  e jk 6t
3
2
 ... ,
Hierbei entspricht der erste Term dem an der Grenzfläche I reflektierten Anteil,
der zweite dem an der Grenzfläche II reflektiertem Anteil und alle weiteren
Terme den (unendliche vielen) Mehrfachreflexionen. Der Exponentialterm e  jk 2t
berücksichtigt hierbei die Phasenverschiebung der Welle beim Durchlaufen (hin
und zurück) der dielektrischen Schicht. Als Kreiswellenzahl k muss somit die des
Dielektrikums gewählt werden,
k    r ,d  0  209,58
1
.
m
Wie in der entsprechenden Übungsaufgabe lässt sich durch Ausnutzung der
geometrischen Reihenformel der Ausdruck umformen zu:



E r  E e  r E , LD  E e  t E , LD  r E ,DM  t E , DL  e  jk 2t 
 1  (r E ,DL  r E ,DM  e jk 2t )  (r E ,DL  r E ,DM  e jk 2t )2  ... 


 E e  r E , LD  E e  t E , LD  r E ,DM  t E , DL  e  jk 2t 
1
1  r E ,DL  r E , DM  e jk 2t
 

1
 E e  r E , LD  t E , LD  r E , DM  t E ,DL  e jk 2t 

1  r E , DL  r E , DM  e jk 2t 

 jk 2t
 1 ist.
Hierbei wurde ausgenützt, dass r E ,DL  r E ,DM  e
Einsetzen ergibt:

Er  1 2
4
     (0.9995  j  5,084 10-4 )   e  j0, 41916
Ee  3 3
3
 1

 1   (0.9995  j  5,084 10-4 )  e  j0, 41916
 3

  0,9773  j  0,2105
1



d)
Das magnetische Feld der reflektierten Welle lässt sich analog zum elektrischen
Fall in Aufgabenteil c berechnen:
Hˆ r  Hˆ e  r H , LD  Hˆ e  t H , LD  r H , DM  t H ,DL  e jk 2t 
 1  (r H ,DL  r H ,DM  e jk 2t )  (r H ,DL  r H ,DM  e jk 2t )2  ... 

 Hˆ e  r H , LD  E e  t H ,LD  r H ,DM  t H , DL  e jk 2t 
1
1  r H , DL  r H , DM  e jk 2t


1
 Hˆ e  r H , LD  t H ,LD  r H , DM  t H , DL  e jk 2t 
 jk 2 t 
1  r H ,DL  r H ,DM  e


Mit den Ersetzungen:
r H ,12  r E ,12  r E , 21
und
t H ,12  1  r H ,12  1  r E , 21  t E , 21
folgt:


1
Hˆ r  Hˆ e   r E ,LD  t E ,LD  r E ,DM  t E ,DL  e jk 2t 

1  r E ,DL  r E ,DM  e jk 2t 

Der Ausdruck in der Klammer ist bis auf das Vorzeichen identisch zum dem aus
Aufgabenteil c und damit folgt:
Hˆ r
 0,9773  j  0,2105
Hˆ e
Anmerkung:
Dies kann auch direkt aus der Verkoppelung elektrischer und magnetischer
Felder über die Wellenimpedanz und der Laufrichtung der reflektierten Welle
geschlossen werden.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Da beide Wellen im Vakuum mit gleicher Frequenz in die gleiche Richtung
laufen, sind die Wellenzahlvektoren identisch. Für beide ergibt sich:
 cos  


k 1  k 2  k    0 0   0 
 sin  


mit
. Unter Verwendung dieses Wellenzahlvektors lassen sich die
elektrischen Felder ⃑ und ⃑ wie folgt als Phasoren darstellen:
  sin  



j (t  k r )
E1  E0  e
 0 
 cos  


b)
und
0

 
j (t  k  r  / 4 )
E 2  E0  e
   1
0
 
Da die beiden überlagerten ebenen Wellen den gleichen Wellenzahlvektor
aufweisen, ergibt sich aus der Überlagerung wiederum eine ebene Welle mit
gleicher Ausbreitungsrichtung und gleicher Frequenz. Elektrisches und
magnetisches Feld stehen weiterhin senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die
überlagerte Welle ist
elliptisch polarisiert
da die beiden Teilwellen eine Phasendifferenz von
aufweisen (sich also
weder eine lineare noch eine zirkulare Polarisation ergibt).
c)
Unter Ausnützung der Wellenimpedanz des Vakuums  0   0 /  0 und der
Tatsache, dass magnetisches und elektrisches Feld stets senkrecht aufeinander
und jeweils zur Ausbreitungsrichtung stehen, lässt sich ableiten:
H ges 
d)

0
 sin   
 j (t  k r )  


e
   1  e j (t  k r  / 4)   0  
0 /  0 
0
  cos   
 



E0
Der komplexe Poynting-Vektor ist hier:
S


*
1
1
 E ges  H ges   E1  E 2  H 1  H 2
2
2

*
Beim Ausführen des Kreuzproduktes fallen die Mischterme 12 und 21 weg, da
die entsprechenden Feldrichtungen parallel bzw. antiparallel sind. Es bleibt:
S
*
*
1 
  E1  H 1  E 2  H 2 

2 
Beide Anteile des Poynting-Vektors zeigen (natürlich) in die Ausbreitungsrichtung. Es folgt dann einfach:
 1  E02
E02
S  

2  0 /  0
0 /  0
 cos  
 

 0  

  sin  


 cos  


E02
 0 
0 /  0 

 sin  
Anmerkung:
Die Divergenz des Poynting-Vektors ist null, es wird keine Leistung dissipiert.
e)
Im Zeitbereich lässt sich die überlagerte Welle darstellen als:
  sin  
0





 
E ges (t )  E1 (t )  E2 (t )  E0  cos(t  k r )   0   E0  cos(t  k r   / 4)    1
 cos  
0


 
Bilden des Betragsquadrats und Auswertung nur im Ursprung des Koordinatensystems (so dass der Anteil ⃑ zu 0 wird) liefert:

E ges (t )  E0  cos 2 (t )  cos 2 (t   / 4)
Skizze (war nicht verlangt):

E ges / E0
1.4
1.3
1.2
1.1
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
t /T0
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
7
8
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
09.08.2013 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie lautet die Helmholtz-Gleichung für die elektrische Feldstärke?
c) Wie lautet die Formel für den komplexen Poynting-Vektor?
d) Wie groß ist der Strahlungswiderstand eine Hertzschen Dipols in Ohm
(+/- 5 %), dessen Länge 1/10 der abgestrahlten Wellenlänge beträgt?
e) Erklären Sie in Worten, warum der Taghimmel blau erscheint!
f) Wie groß ist die innere (interne) Induktivität pro cm (+/- 5 %) eines
gleichmäßig von Strom durchflossenen, runden Leiters ?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Betrachtet wird eine elektrisch leitende, rotierende Kreisscheibe in einem inhomogenen Magnetfeld (siehe Skizze,  hierbei ein konstanter Parameter mit der Einheit
m). Die Winkelgeschwindigkeit betrage , der Innenradius sei und der Außenradius
sei
. Die Leitfähigkeit der Scheibe betrage und die Dicke betrage .
𝑎
𝑎
ω


B
B   20  (r  a1 )  (r  a2 )  ez

( B0  0)
r
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Berechnen Sie die induzierte elektrische Feldstärke in der Kreisscheibe als
Funktion der gegebenen Parameter! Wie ist sie gerichtet? Bei welchem r liegt
ihr Maximum?
b) Skizzieren Sie das magnetische Feld und das induzierte elektrische Feld über
dem Querschnitt der Kreisscheibe als Funktion des Abstandes r von der Achse!
c) Welche Spannung Uind zwischen innerem und äußerem Rand folgt aus dem
induzierten elektrischen Feld?
d) Berechnen Sie den Gleichstromwiderstand R der Kreisscheibe zwischen
innerem und äußerem Rand!
e) Im Folgenden sei der innere Rand mit dem äußeren Rand über einen äußeren,
einstellbaren Verbraucherwiderstand
leitend verbunden. Welche maximale
Leistung
kann in dem Verbraucher umgesetzt werden (
konstant)?
3. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle trifft senkrecht auf eine dielektrische Wand mit
endlicher Dicke und wird teilweise reflektiert bzw. teilweise transmittiert wie in der
folgenden Abbildung gezeigt. Es gelten die folgenden Werte:
µm.
I
Luft
II
Dielektrikum
Luft
Einfallende
Welle
Transmittierte
Welle
Reflektierte
Welle
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀
𝜇
0
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀𝑟 𝜀
𝜇
0
𝜀
𝜇
𝜅
𝜀
𝜇
0
t
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Berechnen Sie in Zahlenwerten die Reflexions- und Transmissionsfaktoren für
das elektrische Feld an den Übergängen Luft → Dielektrikum und Dielektrikum
→ Luft unter der Annahme, dass die beiden betrachteten Materialien jeweils
den unendlichen Halbraum auf ihrer Seite des Übergangs ganz ausfüllen!
Im Folgenden soll die gesamte Anordnung aus Luft, Dielektrikum und Luft betrachtet
werden.
b) Bestimmen Sie die komplexe Amplitude der elektrischen Feldstärke ̂ der
transmittierten Welle in Abhängigkeit der Amplitude der einfallenden Welle ̂
unter Einbeziehung der Mehrfachreflexion an den Grenzschichten I und II!
c) Berechnen Sie jeweils in Zahlenwerten die ersten zwei Frequenzen (> 0 Hz), für
die der Betrag der Amplitude des durchtretenden elektrischen Feldes minimal
bzw. maximal ist!
4. Aufgabe
Betrachtet werden zwei parallele, ideal leitfähige Platten (eine bei z = 0, die andere bei
z = d), zwischen denen ein elektromagnetisches Feld in x-Richtung propagiert (siehe
Skizze). Im Zwischenraum der Leiterplatten liegt ein Medium mit
vor. Die
Leiterplatten seien in x- und y-Richtung unendlich ausgedehnt.
z
x
d
 
y
Gegeben ist folgendes magnetische Feld zwischen den Leiterplatten (kartesische
Koordinaten, Am und Bm konstante Parameter, m ganzzahlig):


 j    Am cos(m z d )  Bm sin(m z d ) 
H  

2
  x 

jd   m 
2
  e j (t  x )
H  H y  
 
     Am
2



 m   d 
H  


 z
d

  Am sin( m z d )  Bm cos(m z d )  
 m

Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:

a) Bestimmen Sie mit Hilfe des magnetischen Feldes das elektrische Feld E der
Welle!
b) Wie lauten die Randbedingungen für das elektrische Feld an den Leiterplatten?
Bestimmen Sie durch Anpassen dieser Randbedingungen die Parameter Am und
Bm für m > 0. Hierbei soll angenommen werden, dass das elektrische Feld in
keiner Komponente eine Nullstelle besitzt und der Betrag des elektrischen
Feldes bei z  d 2 den Wert E0 annimmt.
c) Bestimmen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Oberflächenladungsdichte und die zweidimensionale Stromdichte (Oberflächenstromdichte)
auf der unteren Leiterplatte!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
09.08. 2013 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t


 D
rot H  J 
t
ˆ

2 ˆ
E  k  E  0

div D  

div B  0
b)
Helmholtzgleichung:
(k = Wellenzahl)
c)
Komplexer Poynting-Vektor:
d)
Strahlungswiderstand eines Hertzschen Dipols (im Vakuum)  789   (l /  )2 .
Hier l /   1/ 10 , deshalb folgen  7,89  .
e)
Der Taghimmel erscheint hell, weil das (weiße) Sonnenlicht an den Molekülen
der Atmosphäre gestreut wird. Die Moleküle sind typischerweise klein gegen die
Wellenlänge des sichtbaren Lichtes und verhalten sich in erster Näherung wie
Hertzsche Dipole. Diese strahlen umso effektiver, je kleiner die Wellenlänge ist
(siehe Teilaufgabe e). Deshalb wird blau stärker gestreut als rot, was die Farbe
erklärt.
d)
Innere (interne) Gleichstrominduktivität eines runden Leiters pro Länge:
 1 ˆ ˆ *
S  EH
2
0  r
H
H
 0,5 10 7  5
(  r  1)
8
m
cm
Lösung zur 2. Aufgabe
a)



Das induzierte elektrische Feld berechnet sich durch Eind  v  B , wobei die
Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit mit ⃗
⃗ und das
magnetische Feld durch die Aufgabe gegeben ist. Es folgt:

 B0 r

Eind 
 (r  a1 )  (r  a2 )  er
2

Da
gilt,
zeigt das elektrische Feld radial nach außen.
Sein Maximum für
Ableitung seines Betrages:
, erhält man durch Nullsetzen der ersten
Eind  B0r

 (3r 2  2a2r  2a1r  a1a2 )  0
r
2
Mit
folgt die quadratische Gleichung bzw. die Lösung im Definitionsbereich von r zu:
3r 2  6a1r  2a12  0

1 

r  1 
  a1
3

Auf den Nachweis des Maximums kann verzichtet werden (Anschauung).
b)
Skizzen:
𝐵𝑧
𝐸𝑟
𝑎
c)
𝑎
𝑟
Die Spannung zum induzierten elektrischen Feld folgt aus (Zylinderkoordinaten):
 B0 1
U ind   Eind dr 
  r  (r  a1 )  (r  2a1 ) dr
2
a1
a1
a2
2a
1
 B0 1 3
 B0  1 4
2
2
3
2 2


(
r

3
a
r

2
a
r
)
dr


r

a
r

a
r
1
1
1
1


2
 2  4
 a1
a1
2a
2a

d)
 B0  4
1 B0 a14
1 4
4
4
4
4 

4
a

8
a

4
a

a

a

a

 2


1
1
1
1
1
1 
 2 
4
 4 
Der Gleichstromwiderstand kann aus dem Ansatz für ein infinitesimal kurzes
Widerstandselement
berechnet werden, wobei die Fläche von der
Länge abhängt. Für ein Kreisscheibensegment lautet dies:
dR 
1 dr
 2rh
Die gesamte Kreisscheibe kann als Reihenschaltung dieser Elemente aufgefasst
werden. Damit lautet der Gesamtwiderstand:
R
1
2 0 h

2 a1
1
1
 r dr  2
a1
 ln( r )a1 1 
2a
0
h
ln( 2a1 / a1 ) ln( 2)

2 0 h
2 0 h
Alternativ kann man z.B. mit der Formel für die Kapazität eines Zylinderkondensators starten C  2 0 h ln(a2 / a1 ) und über RC   0  0 gehen.
e)
Die maximale Leistung im Verbraucherwiderstand kann umgesetzt werden, wenn
R = RV (Leistungsanpassung). Es gilt dann:
2
 1 B0 a14 
U ind

P
 
4 R  4  2 
2
 8 0 h  1  2 B02 a18  0 h
  
 

ln( 2)
4
 ln( 2)  2
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Die Formeln für Reflexions- und Transmissionsfaktoren des elektrischen Feldes
bei senkrechtem Einfall vom Medium 1 ins Medium 2 lauten (siehe z.B. Skript):
r E ,12 
 2  1
 2  1
und
t E ,12  1  r E,12 
2 2
 2  1
mit:

j
  j
Die gegebenen Materialparameter führen auf die folgenden Wellenimpedanzen:
1   L 
0
 376,7 
0
2  D 
0
 153,8 
 r 0
Daraus folgt für den Übergang Luft → Dielektrikum:
r E ,LD  0,4202
t E ,LD  0,5798
Und für den Übergang Dielektrikum → Luft:
r E ,DL  0,4202
b)
t E ,DL  1,4202
Die Amplitude des elektrischen Feldes der gesamten transmittierten Welle ergibt
sich durch Addition aller transmittierten Teilwellen unter Berücksichtigung der
Vielfachreflexionen (siehe z.B. Übungsaufgabe):



2
E d  E e  t E , LD  t E , DL  e  jkt  E e  t E , LD  t E , DL  r E , DL  e  jk 3t


4
6
 E e  t E , LD  t E , DL  r E , DL  e  jk 5t  E e  t E , LD  t E , DL  r E , DL  e  jk 7 t  ...

2
2
2
 E e  t E , LD  t E , DL  e  jkt  1  r E , DL  e  jk 2t  (r E , DL  e  jk 2t ) 2  (r E , DL  e  jk 2t ) 3  ...




1
 E e  t E , LD  t E , DL  e  jkt  

2
 jk 2 t
1  r E , DL  e

Der Exponentialterm e  jknt berücksichtigt hierbei die Phasenverschiebung der
Welle beim n-maligen Durchlaufen des Dielektrikums. Die Summe wurde hier
mit der Formel für eine unendliche geometrische Reihe zusammengefasst.

c)
Der Betrag des durchtretenden elektrischen Feldes lautet:


1
E d  E e  t E , LD  t E , DL  e  jkt 
2
 1  r  e  jk 2t
E , DL
 konst.
Die Minima und Maxima lassen sich über die Extrema des Nenners bestimmen:

 
cos(2kt)   r
1  r E ,DL  e  jk 2t  1  r E ,DL cos(2kt)  j   r E ,DL sin(2kt)
2

2
1  r
2
E , DL
2
4
E , DL
2

sin 2 (2kt)
 1  2r E ,DL cos(2kt)  r E ,DL cos 2 (2kt)  r E ,DL sin 2 (2kt)
2
4
4
 1  2r E ,DL cos(2kt)  r E ,DL
2
4
 min/ max !
Oder:
1  2  r E ,DL  cos(2kt)  r E ,DL  min/ max !


2
4
g (k )
Hierbei ist k   / vph  2f  r / c0 . Bilden der Ableitung liefert:
g (k )
2
 4  r E ,DL  t  sin(2kt)
k
Daraus folgt, dass lokale Extrema (Nullstellen der Ableitung) für folgende kWerte auftreten:
k  n   2t , n  (0),1, 2, 3,...
Durch bilden der zweiten Ableitung erhält man die Minima und Maxima
 2 g (k )
2
 4  r E , DL  t 2  cos(2kt)
2
k
Minima des Nenners (Maxima des Feldes) für cos(n )  0, n  (0), 2, 4,...
Maxima des Nenners (Minima des Feldes) für cos(n )  0, n  1, 3, 5,...
Die Frequenzen sind folglich:
Minima für:
Maxima für:
f  n  vph 4t  12,24 THz, 36,72 THz, …
f  n  vph 4t  24,48 THz, 48,96 THz, …
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Das elektrische Feld lässt sich über die Maxwellsche Rotationsgleichung
bestimmen:

 D

 H 
 j o r  E
t
Hier gilt auf Grund der Aufgabenstellung:




   H z H y    H x H z    H y H x 
  ey  

  H  ex  



  ey  
y 

z 
z
x 
x 
y 

 





0 
0 
 0

Es verbleibt:
H x
m
 j
  Am sin(m z d )  Bm cos(m z d )   e j (t  x )
z
d
H y
d

x
m
  m  2

 
  2   Am  e j (t  x )

 d 



H z
d
j
  Am sin(m z d )  Bm cos(m z d )   e j (t  x )
x
m
Damit lautet das elektrische Feld:
Ex  0
1
d
Ey 

 o r m
  m  2


  2    Am sin(m z d )  Bm cos(m z d )   e j (t  x )

 d 



j
d
Ez 

 o r m
b)
  m  2


  2   Am  e j (t  x )

 d 



Die Randbedingungen an den ideal leitfähigen Leiterplatten ist das
Verschwinden der tangentialen elektrischen Feldstärke:
E y ( z  0)  0
und
E y (z  d )  0
Daraus folgt:
Bm  0
Die Forderung, dass das elektrische Feld keine Nullstelle besitzt, führt zu m  1 ,
bzw.:
Am1  0
Zur Bestimmung von A1 wird der Betrag des elektrischen Feldes

E
2
Ex  Ey  Ez
2
2
bei z  d 2 gebildet (  sin  1 ). Unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse::
Ex  0
2

d    
Ey  Ez 

     2   A1

 o r    d 


1
K
Es folgt:

E  2  K  A1  E0
c)
bzw.
A1 
1 E0

2 K
Die Oberflächenladungsdichte auf der unteren Platte kann durch berechnet


werden nach   nˆ  D  nˆ   0 r  E , wobei die Normale in den Zwischenraum
zeigt (positive z-Richtung). Unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse:
   0 r  E z ( z  0)   j 
 0 r E0
2
 e j (t  x )


Die Oberflächenstromdichte auf der unteren Platte kann durch C  nˆ  H
berechnet werden (Normale in positive z-Richtung). Unter Verwendung der
bisherigen Ergebnisse:
 jd
 2
 
 H y 
 

1 E0  j
C  Hx 


K
2
 
 0 





   2

      2 
 d 




 cos( z d )   e j (t  x )

0



Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
7
8
9
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
21. 2. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form für komplexe
Feldamplituden?
b) Nennen Sie mindestens fünf Eigenschaften ebener elektromagnetischer Wellen!
c) Wie lautet der Reflexionskoeffizient (Formel) für das elektrische Feld in Form
ebener Wellen bei senkrechtem Einfall auf eine ebene Grenzfläche zwischen
zwei Medien mit den jeweiligen Wellenwiderständen η1 und η 2 (Einfall aus
Medium 1)?
d) Wie berechnet sich die Wellenzahl (Kreiswellenzahl) für ein verlustloses, nicht
leitfähiges Medium aus seinen Eigenschaften (Formel)?
e) Wie groß ist der Feldwellenwiderstand des Vakuums η0 in Ohm (+/- 5 %)?
f)
Erklären Sie in Worten, wie die Farben des Regenbogens zustande kommen!
2. Aufgabe
Zwei lange, parallel angeordnete Drähte mit Durchmesser d im Achsenabstand a sind
über einen Anschlussdraht mit vernachlässigbar kleinem Durchmesser mit einer
Gleichstromquelle verbunden. Der Stromkreis wird durch einen aufliegenden
Drahtbügel mit ebenfalls vernachlässigbar kleinem Durchmesser geschlossen. Alle
Drähte seien elektrisch perfekt leitend (kein Widerstand):
Draht 1
y=a
Drahtbügel
I0
y
x
a
y=0
x=0
Draht 2
x=b
Für die folgenden Aufgaben bzw. Fragen berücksichtigen Sie als Ursache für
Magnetfelder nur die Ströme in den langen, parallelen Drähte 1 und 2 und vernachlässigen Sie die Ausdehnung der Stromquelle. Es gelte μr  1 im gesamten Raum.

a) Berechnen Sie das durch den Strom I0 erzeugte magnetische Feld H ( x, y) in
der von der Leiterschleife umschlossenen Fläche an unter der Annahme, dass
die Drähte 1 und 2 als unendlich lang angesehen werden können!
b) Berechnen Sie den diese Fläche durchsetzenden magnetischen Fluss!
c) Berechnen Sie die auf den Drahtbügel wirkende Kraft F . Gehen Sie zur
Vereinfachung der Rechnung davon aus, dass sich das in Aufgabenteil a
berechnete Magnetfeld unverändert am Ort Drahtbügels fortsetzt.
d) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den Drahtbügel (Masse m) auf und
geben Sie den Ort des Drahtbügels in Abhängigkeit von der Zeit in der Form
x(t ) an (zur Zeit t = 0 sei x = b)!
e) Welche Spannung uind(t) wird durch die Bewegung des Drahtbügels in die
Leiterschleife induziert?
f) Berechnen Sie die elektrische Leistung p(t) in der Stromquelle in Abhängigkeit
von der Zeit! Wird die Leistung von der Stromquelle abgegeben oder
aufgenommen?
3. Aufgabe
Ein unendlich breites Leiterband aus Kupfer κ  57 S  m2 , μr  1 der Dicke a = 2 mm
mm
führt einen Gleichstrom in z-Richtung. Der Strom hat eine Amplitude pro Einheitsbreite von:
Ib
A
mit b = 1 m.
 200
b
m
y
x
z
a=2 mm
y=0
l=50 m
Ib
b=1m
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Berechnen Sie das Magnetfeld innerhalb des Leiterbandes als Funktion des
Ortes! Welcher Betrag ergibt sich am unteren bzw. oberen Rand?
b) Berechnen Sie für einen Leiterbandabschnitt der Breite b die innere (interne)
Induktivität pro Länge
Lb,i
l
und den Widerstand pro Länge Rb !
l
Im Folgenden liege ein Wechselstrom mit der Frequenz f = 100 MHz und derselben
Amplitude pro Einheitsbreite vor. Der Nullphasenwinkel des Stromes sei null Grad.
c) Berechnen Sie in einer geeigneten Näherung die komplexe Amplitude des
Magnetfeldes innerhalb des Leiterbandes als Funktion des Ortes! Welcher
Betrag ergibt sich am unteren bzw. oberen Rand?
d) Berechnen Sie in einer geeigneten Näherung für einen Leiterbandabschnitt der
Breite b die innere (interne) Induktivität pro Länge
Länge
Rb
!
l
Lb,i
l
und den Widerstand pro
4. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle mit der Frequenz f = 1 GHz breitet sich in einem
verlustfreien, nicht leitfähigen Medium mit εr = 4 und µr = 1 in der xy-Ebene mit einem
Winkel von αe zwischen null und 90 Grad zur x-Achse aus (siehe Skizze). Die dazugehörige komplexe Amplitude der elektrischen Feldstärke lautet (Ee sei rein reell):

ke
 sin( e ) 
  
ˆ 

E (r )  Ee  exp(  j  ke  r )   cos( e ) 

j 

y
αe
x
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Welche Polarisation der Welle liegt hier vor?
b) Geben Sie den Wellenzahlvektor nach Betrag und Richtung an!
c) Bestimmen Sie die komplexe Amplitude des Magnetfeldes!
d) Bestimmen Sie den komplexen Poynting-Vektor!
Es sei im Folgenden Ee = 10 V/m. Die Welle trifft nun unter dem Winkel αe = 30°auf
eine Grenzfläche wie unten dargestellt und wird teilweise gebrochen bzw. reflektiert.
Das angrenzende Medium besitzt eine Wellenimpedanz von 100 Ω und habe µr = 1.
y
1
 2  100

ke
αe
αr

kr
αd
x

kd
e) Geben Sie in Zahlenwerten die komplexe Amplitude der elektrischen
Feldstärke der reflektierten Welle vollständig an (Wellenzahlvektor und
orstunabhängiger Anteil)!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
21. 2. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für komplexe Feldamplituden:
ˆ
ˆ
rot E   j  B
b)
ˆ
ˆ
ˆ
rot H  J  j  D
ˆ
div D  ̂
ˆ
div B  0
Eigenschaften ebener elektromagnetischer Wellen (fünf verlangt):
- Lösung der Maxwell-Gleichungen,
- Lösung der Wellengleichung,
- Orte gleicher Phase (Wellenfronten) sind Ebenen im Raum,
- Ausbreitung erfolgt senkrecht zu den Wellenfronten,
- elektrisches Feld und magnetisches Feld stehen senkrecht aufeinander,
- elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung,
- elektrisches und magnetisches Feld sind über die Wellenimpedanz verknüpft,
- bewirken einen Energietransport (Leistungsfluss) in Ausbreitungsrichtung.
 2  1
c)
rE 
d)
k   0 r 0 r
e)
0  376,73 
f)
Regenbogen entstehen durch Brechung und interne Reflexion des Sonnenlichtes
an Regentropfen in der Atmosphäre. Die die dabei auftretenden Farben sind ein
natürlicher Teil des Spektrums des Sonnenlichtes. Sie werden durch den Effekt
der von der Wellenlänge abhängigen Brechung räumlich sichtbar: Für
verschiedene Wellenlängen (Frequenzen) weist Wasser leicht unterschiedliche
Brechungsindizes auf, was unterschiedle Eintritts- und Austrittswinkel
verursacht.
 2 1
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Das Magnetfeld in der von der Leiterschleife umschlossenen Fläche ergibt sich
gemäß Aufgabenstellung aus den Beiträgen des oberen und unteren Teilstücks.
Unter der Annahme, dass die Drähte unendlich lang sind, kann dieses aus dem
Ampèreschen Gesetz berechnet werden zu (siehe auch Skript):



H ( x, y )  H Draht-1  H Draht-2 
b)
I0
I
 ez  0  ez
2 (a  y)
2y
Der die Leiterschleife durchsetzende magnetische Fluss ergibt sich aus dem
Magnetfeld durch Integration (die Flächennormale wird hier in positive zRichtung gewählt). Für den Draht 2 ergibt sich:
 b ad / 2  I 0 

 0 I 0b a  d / 2  1 
 dydx 
Φ2   0   H Draht -2 dA    
    dy
2y 
2
y
A
0 d /2 
d /2 
Ib
I
ad / 2
 0 0  ln( y )  ln( a  y )d / 2  0 0  ln( a  d / 2)  ln( d / 2) 
2
2
 I b ad /2
 0 0  ln 

2
 d /2 
Auf Grund der Symmetrie gilt insgesamt (siehe auch Skript):
Φ  Φ1  Φ2  2  Φ2 
c)
 0 I 0b  a  d / 2 
 ln 


 d /2 
Die auf den Drahtbügel wirkende Lorentzkraft durch den Draht 2 ergibt sich zu:
ad / 2
 

 I 
 I 2  ad / 2  1 
F1   0 I 0   dl  H Draht -2  0 I 0    0  dz  e x  0 0  ex     dz
2y 
2
y
d /2 
d /2 



Siehe oben!

I
ad /2 
 ln 
  ex
2
 d /2 
2
0 0
Auf Grund der Symmetrie gilt insgesamt:

 
  I2 a d /2 
FL  F1  F2  2  F2  0 0  ln 
  ex

 d /2 
Die Kraft zeigt wie zu sehen in positive x-Richtung.
d)
Die Lorentzkraft wird zu einer Beschleunigung des Drahtbügels entlang der xKoordinate führen (Bewegungsgleichung):
F  FL 
0 I 02  a  d / 2 
 ln 
  m  x

 d /2 
Da der Drahtbügel zum Zeitpunkt t = 0 an der Position x = b ruht, folgt daraus:
1 F
x(t )  b   L  t 2
2 m
e)
Die in die Leiterschleife induzierte Spannung ergibt sich aus der Änderung des
die Schleife durchsetzenden magnetischen Flusses. Einsetzen der gegebenen
Ortsgleichung in das Ergebnis für den magnetischen Fluss aus Teilaufgabe a
ergibt:
Φ(t ) 
0 I 0  a  d / 2 
I
1 F 2
a d /2 
 ln 
  x(t )  0 0  ln 
  b   L  t 


2 m
 d /2 
 d /2  

Daraus:
uind (t )  
I
d
 a  d / 2   FL 
  0 0  ln 
 t 
dt

 d /2   m 
2

 a  d / 2  3 t
   0  ln 
  I 0 
m
 d / 2 

Die induzierte Spannung fällt entgegengesetzt zur Stromrichtung ab. Dies ergibt
sich sowohl aus der Rechnung (unter Berücksichtigung der in Teilaufgabe a)
implizit definierten Flächennormalen) als auch aus der physikalischen
Anschauung (die induzierte Spannung muss ihrer Ursache entgegenwirken).
f)
Aufgrund der entgegengesetzten Richtungen wird die elektrische Leistung
2

t
 a  d / 2 
4
p(t )  I 0  uind (t )   0  ln 
  I 0 
m
 d / 2 

von der Stromquelle abgegeben. Unter den getroffenen Annahmen ist die vom
Drahtbügel aufgenommene mechanische Leistung mit dieser identisch.
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Im Gleichstromfall ergibt sich eine konstante Stromverteilung über die Querschnittsfläche des Leiters in z-Richtung:

J ( x, y, z )  J 0  ez
J0 
mit
Ib
kA
 100 2
ab
m
Das magnetische Feld hat gemäß Rechter-Hand-Regel nur eine x-Komponente.
Zur Berechnung kann das Ampèresche Gesetz verwendet werden:


H

ds

J

  dA
0
b
b
0

Hx(y)
a/2
y=0
 H x ( y)  dx   H x ( y)  dx  J 0  2by
-a/2
y
J
x
Hx(-y)
0
b
(die Seitenteile tragen aus Symmetriegründen nicht zum Wegintegral bei). Aus
Symmetriegründen gilt H x ( y)   H x ( y) und damit:
b
 2   H x ( y)  dx  2b  H x ( y)  J 0  2by
0
 H x ( y)   J 0  y  
Ib
y
ab
( y  a / 2)
An den Rändern ergibt sich also (a = 2 mm):
H x ( y   a / 2)  J 0 
b)
a Ib
A

 100
2 2b
m
Für den normierten Widerstand eines Leiterbandabschnitts ergibt sich:
Rb
1
μ

 8,772
l   ab
m
Die interne Induktivität pro Länge wird am einfachsten über die magnetische
Energie berechnet. Für die Breite b und eine Länge l ergibt sich:
2
1
1
2
I 
Wm      H x dV   lb   b    y 2 dy
2 Leiter
2
 ab   a / 2
a/2
a/2
I 2  y3 
I 2 2 a 3 l a 2
1
1
  l  2b   
  l  2b   
  Ib
2
a b  3  a / 2 2
a b 3 8 24 b
Aus dem Ansatz:
Wm 1 Lb,i 2
 
 Ib
l
2 l
folgt für einen Leiterbandabschnitt der Breite b die innere Induktivität pro Länge:
Lb,i
l
c)

 a

12 b
 209,4
pH
m
Durch den Skineffekt fällt die Stromdichte exponentiell vom Leiterrand her in
das Innere hinein ab. Aus dem Skript oder aus den Folien zur Vorlesung kann
man entnehmen (exakt):

J ( x, y, z )  Jˆ z ( y)  ez


1 j 
cosh
 y 
d
I
s


b
Jˆ z ( y ) 
 (1  j ) 
2  b  ds
1 j a 
sinh
 
 ds 2 
mit


Über   E   j  H und J    E folgt die magnetische Feldstärke (nur xKomponente ungleich null) zu:
Hˆ x ( y ) 
I 1 j 
 ˆ
1

J z ( y)  j 
 b  
 j y

2

b
d
 s 

1

 d s2 / 2
2
1 j 
sinh 
 y 
ds



1 j a 
sinh 
 
 ds 2 
1 j 
1 j 
sinh 
 y 
sinh 
 y 
ds
ds
Ib
1 Ib




 j 
2 j


2 2b
2b
1 j a 
1 j a 
sinh 
 
sinh 
 
 ds 2 
 ds 2 
An den Rändern ergibt sich also wie vorhin (bzw. zu erwarten):
I
A
Hˆ x ( y   a / 2)  b  100
2b
m
( y  a / 2)
Anmerkung:
Für eine Frequenz von 100 MHz liegt starker Skineffekt vor, wie sich durch
Berechnung der Eindringtiefe leicht überprüfen lässt:
ds 
2

 6,666 μm 
a
 1 mm
2
Man könnte somit genähert annehmen, dass sich eine Stromdichteverteilung wie
im halbunendlichen Raum ergibt (jeweils vom unteren bzw. oberen Rand aus
betrachtet). Im Folgenden sei s der Abstand von einem Rand – es gilt dann (siehe
Folien):
 1 j 
 1 j 
1  j Ib
Jˆ z ( y ) 
  exp  
 s   J 0  exp  
 s 
d s 2b
d
d
s
s




Der Faktor ½ ergibt sich aus der Tatsache, dass das Leiterband gesamt den Strom
I b / b führt. Die Feldstärke an der Oberfläche ergibt sich dann über (siehe z.B.
Folien):
H0 
d)
ds
I
 J 0  b  Hˆ x ( y   a / 2)
1 j
2b
Die interne Induktivität und der Widerstand pro Länge ergeben sich am
einfachsten aus der Impedanz pro Länge. Aus dem Skript oder aus den Folien zur
Vorlesung kann man entnehmen (exakt):
Z' 
1  j   coth 1  j  a 
Z

 d 2
l
2   b  ds
 s

Genähert für starken Skineffekt (Begründung siehe oben):
Z' 
1  j 
2   b  ds
Daraus:
Rb
mΩ
 ReZ   1,315
l
m
und
Lb,i
l
 L' 
ImZ 

 2,093
pH
m
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Man kann sich die Welle zusammengesetzt denken aus einer linear polarisierten
Welle mit Feldstärkevektor in der xy-Ebene und einer linear polarisierten Welle
mit Feldstärkevektor senkrecht zur xy-Ebene (parallel zur z-Achse):
 sin( e )   0 
  
ˆ 
  
E (r )  Ee  exp(  j  ke  r )   cos( e )    0 
 0   j 
Beide zeigen haben denselben Betrag, weisen aber eine 90°-Phasenverschiebung
auf. Somit findet man eine:
zirkulare Polarisation.
b)
Der Betrag des Wellenzahlvektors in einem verlustfreien und nicht leitfähigem
Medium berechnet sich zu
 
2 109
ke  ke    r µr 
 2 m1  41,92 m1
c0
2,998 108
Dabei ist c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (exakt = 299 792 458 m/s).
Die Richtung des Wellenzahlvektors ergibt sich aus den Winkelfunktionen des
Einfallswinkels αe:
 cos( e ) 




k e  ke    sin( e )   ke  ek

0 

Anmerkung: Die Wellenlänge ist   2 / ke  0,1499 m.
c)
Das Magnetfeld lässt sich z.B. bestimmen über:
ˆ 1  ˆ
H   ek  E 

 0 r  ˆ 2  ˆ
 ek  E   ek  E
0  r
0
 ist hierbei die Wellenimpedanz des Mediums und  0 die des freien Raumes.
Einsetzen ergibt:
 cos( e )   sin( e ) 
  
 2
 

H   Ee  exp(  j  k e  r )    sin( e )    cos( e ) 
0

0  
j 

  j sin( e ) 
  

  Ee  exp(  j  k e  r )    j cos( e ) 
0


1


2
d)
Der komplexe Poynting-Vektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt:
 sin( e )    j sin( e ) 
 1 ˆ ˆ * 1

 

2
S   E  H   Ee   Ee   cos( e )     j cos( e ) 
2
2
0


j  
1


 sin( e )   j sin( e ) 
 
 Ee2
Ee2 

  cos( e )    j cos( e )  
0 
 0
j  
1


 2
*
 2  cos( e ) 


   2  sin( e ) 


0


Ee2  Ee2 
 ek 
 ek
0

Der Poynting-Vektor zeigt in Richtung des Wellenzahlvektors. Wie in
Teilaufgabe c ist  hierbei die Wellenimpedanz des Mediums und  0 die des
freien Raumes.
e)
Zur vollständigen Berechnung der reflektierten elektrischen Welle werden
sowohl deren Ausbreitungsrichtung und –geschwindigkeit (Wellenzahlvektor)
als auch der ortsunabhängige Anteile der komplexen Amplitude benötigt. Für den
Betrag des Wellenzahlvektors gilt:



k r  ke  2   41,92 m 1
c0
Aus dem Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Ausfallswinkel, αr = αe = 300) folgt:
  3 / 2
  cos( e ) 





k r  k r    sin( e )   k r    1 / 2 




0


 0 
Die x-Komponente des Wellenzahlvektors wechselt das Vorzeichen.
Für die Berechnung des ortsunabhängigen Teils der komplexen Amplitude der
reflektierten Welle werden die Fresnelschen Gleichungen verwendet. Zuvor muss
jedoch der Durchtrittswinkel aus dem Brechungsgesetz bestimmt werden. Wegen
allgemein k  0 r / und  r  1 in beiden Medien lautet dieses hier:
sin( e )
1

sin( d )
2
mit
1 
 0 376,73 

 188,37  und 2 100 
2
r
Mit sin(αe) = 0,5 ergibt sich:
 2 
  15,39
 2 1 
 d  arcsin 
Zur Anwendung der Fresnelschen Gleichungen müssen die Komponenten gemäß
ihrer Polarisation (Ausrichtung in Bezug auf die Einfallsebene = xy-Ebene)
behandelt werden.
Komponente senkrecht zur Einfallsebene (Fall 1 im Skript):
r  rE 
 2  cos( e )  1  cos( d ) 100  0,866  188,37  0,9643

  0,3542
 2  cos( e )  1  cos( d ) 100  0,866  188,37  0,9643
Komponente parallel zur Einfallsebene (Fall 2 im Skript):
r||  rH 
1  cos( e )   2  cos( d ) 188,37  0,866  100  0,9643

 0,2571
1  cos( e )   2  cos( d ) 188,37  0,866  100  0,9643
Diese Reflexionsfaktoren müssen gemäß der im Skript vorgegebenen Ausrichtung der reflektierten Wellen hier angewendet werden. Zunächst gilt für die
einfallende Welle:
 sin( e ) 
 0,5   5 



 
V
V 
E 0e  Ee   cos( e )   10   0,866    8,66 
m 

 
m
j 

 j   10 j 
Damit für die reflektierte Welle:
 r||  5 
 0,2486  5 
 1,243 


V 
V 
V
E 0 r   r||  8,66    0,2486  8,66    2,153 
 r  10 j  m   0,3543  10 j  m   3,543 j  m
 





Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
9
9
6
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
14. 8. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form?
b) Wie groß ist die innere Induktivität pro Länge eines runden, von Gleichstrom
durchflossenen Leiters (Zahlenwert +/- 5 %)?
c) Wie lautet die Formel für die sogenannte Oberflächenimpedanz eines Körpers
im Fall des starken Skineffektes?
d) Was besagt die Lenz‘sche Regel (in Worten)?
e) Wie lautet die Formel für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum?
f) Gegeben sei ein luftgefüllter Rechteckhohleiter mit den Innenabmessungen
15 cm x 10 cm. Bei welcher kleinsten Frequenz wird eine Mode dieses
Wellenleiters ausbreitungsfähig (Zahlenwert +/- 5%)?
Vor- und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Gegeben sei der skizzierte kreiszylindrische Plattenkondensator mit Radius R bzw.
Fläche A . Der Kondensator sei zunächst energie- und ladungsfrei. Der Raum zwischen
den ideal leitenden Platten sei mit einem Dielektrikum mit  r  4 und  r  1 gefüllt.
Es gelte R  h . Rand- und Verzögerungseffekte sind im Folgenden zu
vernachlässigen.
t0  0
I0
h
z
r
Zum Zeitpunkt t 0  0 wird die angeschlossene Konstantstromquelle mit dem Strom I 0
eingeschaltet und der Kondensator geladen. Bearbeiten Sie dazu folgende Aufgaben
bzw. Fragen:

a) Berechnen Sie die elektrische Flussdichte D(r , t ) zwischen den Platten des
Kondensators als Funktion des Ortes und der Zeit ( 0  r  R , t  0 )!

b) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke H (r , t ) zwischen den Platten des
Kondensators als Funktion des Ortes und der Zeit ( 0  r  R , t  0 )!


c) Skizzieren Sie die Beträge von D(r , t ) und H (r , t ) für einen Zeitpunkt t1  t 0 als
Funktion des Abstandes im Bereich 0  r  R !

d) Berechnen Sie den Poynting-Vektor S (r , t ) im Dielektrikum zwischen den
Platten als Funktion des Ortes und der Zeit ( 0  r  R , t  0 )!
e) Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des gesamten Leistungsflusses P in den

Kondensator hinein für t  0 unter Verwendung von S ! Vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit der elektrischen Energie für t  0 im Kondensator!
3. Aufgabe
Entlang einer dielektrischen Grenzfläche, welche sich bei z  0 befindet, propagiert in
Luft (Materialparameter r  1und  r  1 ) oberhalb der Grenzfläche ( z  0 ) eine
inhomogene ebene elektromagnetische Welle gemäß folgender Skizze:
z
x
Luft mit r  1
und  r  1
Propagation inhomogener ebener Welle
x
x
Dielektrikum
y
x
Die komplexe Amplitude der elektrischen Feldstärke ist gegeben durch ( z  0 ):
0
 10 
  

ˆ


E  E0  e  j k r   1  mit k  k0   0  , k0  100 m1 sowie E0  10 V/m .
0
 - j  5
 


Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) In welche Richtung breitet sich die Welle aus?
b) Bestimmen Sie als Zahlenwert (in Hz) die Frequenz der Welle!
c) Bestimmen Sie als Zahlenwert (in m/s), mit welcher Phasengeschwindigkeit die
Welle in der Ausbreitungsrichtung propagiert!
d) Berechnen Sie den Betrag der komplexen elektrischen Feldstärke und
bestimmen Sie die Orte z  0 , wo dieser maximal wird!
e) Berechnen Sie zur vorgegebenen komplexen Amplitude des elektrischen Feldes
die entsprechende des magnetische Feldes!
f) Berechnen Sie den komplexen Poynting-Vektor!
Hinweis: Für alle Zahlenwerte genügen vier signifikante Stellen, also z.B. 1,234  105 ,
wobei die letzte Ziffer (hier die 4) gerundet sein soll.
4. Aufgabe
Im freien Raum ist die komplexe Amplitude des gesamten magnetischen Fernfeldes
zweier Hertzscher Dipole im Abstand d mit jeweils harmonischer Anregung wie folgt
gegeben (in Kugelkoordinaten):

ˆ
I


H (r , ,  )  0  e  jk r  cos   e  e  jk sin cos d  e  j  sin    e
r

Hierbei ist I 0 ein konstanter Strom größer 0, k die Freiraumwellenzahl und  ein
(reeller) Phasenwert.
z
P
y
x
x

x
y
d
x
r
x
I0
x
I1
x

x
x
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Beurteilen Sie an Hand des gegebenen Magnetfeldes, welche Polarisation
(zirkular, linear, elliptisch) jeweils in den folgenden Strahlungsrichtungen  , 
mit den angegebenen Werten für den Abstand d zwischen den Dipolen und den
Phasenverschiebungen der Anregungen  vorliegt! Es sei   2 / k .
I.
  0,   90 , d  0,   45 
II.
  0,   90 , d   2 ,   180 
III.
  0,   90 , d   2 ,   90 
IV.
  90 ,   90 , d   2 ,   0
b) Bestimmen Sie die komplexe Amplitude der zugehörigen elektrischen
Feldstärke in Fernfeldnäherung in Abhängigkeit der gegebenen Größen!
c) Berechnen Sie den komplexen Poynting-Vektor für   45 ,   45  und d   !
Für welches  wird der Betrag des Poynting-Vektors maximal?
TU Hamburg-Harburg
M U S T E R L Ö S U N G
Theoretische Elektrotechnik
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretisch Elektrotechnik II
14. 8. 2014 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form:


B
rot E  
t
b)


 D
rot H  J 
t

div D  

div B  0
Innere (interne) Gleichstrominduktivität eines runden Leiters pro Länge:
0  r
H
nH
H
 0,5 107
 50
5
8
m
m
cm
ZS 
1 j

d
( r  1)
j
c)
Oberflächenimpedanz:
c)
Die Lenz‘sche Regel macht eine Aussage über die Richtung (Polarität) einer
durch Induktion erzeugten elektrischen Spannung. Für eine Leiterschleife kann
diese wie folgt formuliert werden: Durch eine Änderung des magnetischen
Flusses durch die Leiterschleife wird eine Spannung immer so induziert, dass der
dadurch fließende Strom ein Magnetfeld erzeugt, welches der ursprünglichen
Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt.
d)
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
e)
Die Grenzfrequenz der TE10-Mode ist f  c0 / 2a mit a = Länge der breiten Seite
(hier 15 cm). Somit folgt f  1 GHz .

c0  1 / 0 0
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Bei Vernachlässigung von Rand- und Verzögerungseffekten ist die elektrische
Flussdichte lediglich zwischen den Platten ungleich null und gleichzeitig
räumlich konstant. Aus der Stromflussrichtung lässt sich folgern, dass sie in
negative z -Richtung zeigen muss. Der zeitliche Verlauf folgt aus dem
Gaußschen Gesetz angewendet auf z.B. die obere Kondensatorplatte:
t
 Dz (r , t )  A  Q(t )   I 0 ( ) d  I 0  t
0
Die Fläche der Kondensatorplatte ist hierbei A  R 2 . Somit für 0  r  R , t  0 :


I
D( r , t )   0  t  ez
A
b)
Die magnetische Feldstärke umkreist innerhalb der Kondensators die Verschie

bungsstromdichte D   I 0 / A  ez . Sie hat lediglich eine azimutale Komponente.
Unter Ausnützung der Zylindersymmetrie folgt mit dem Ampèreschen Gesetz:
2



I

H
(
r
,
t
)

d
r

H
(
r
,
t
)

rd


2

r

H
(
r
,
t
)

D
(
r
,
t
)

d
A
  0  r 2


0 

A
Somit für 0  r  R , t  0 :



I
H (r , t )  H (r )   0  r  e
2A
Die magnetische Feldstärke ist während des Ladens unabhängig von der Zeit und
wächst linear mit dem Abstand von der Achse des Kondensators, ganz wie im
Fall eines von Gleichstrom durchflossenen Drahtes.
c)
Skizzen für einen Zeitpunkt t1  t 0 :

D(r , t1 )
I 0 t1
A
0
R
r

H (r , t1 )
I0R
2A
0
d)
R
r
Der Poynting-Vektor im Dielektrikum zwischen den Platten lässt sich mit den
Ergebnissen aus den Teilaufgaben a und b leicht ermitteln. Für 0  r  R , t  0 :
2




I0
   I0
 
I0

S (r , t )  E (r , t )  H (r , t )   
 t  ez    
 r  e   
 r  t  er
2
2 0 r A

  0 r A
  2A

S (r , t ) ist in radialer Richtung in den Kondensator hinein gerichtet – die Energie
fließt in den Kondensator hinein. Skizze (nicht verlangt):

S (Betrag von Zeit
und Ort abhängig)

D (überall gleich stark)
e)
Der gesamte mit dem Poynting-Vektor verknüpfte Leistungsfluss in den
Kondensator hinein ist gegeben über ( t  0 ):
P(t ) 


 
S
(
R
,
t
)

d
A

2

Rh

e
r  S ( R, t )

Mantelfläche
Mit A  R 2 und dem Ergebnis aus Teilaufgabe d folgt ( t  0 ):
2
2


I0
I0 h

P(t )  2Rh   

R

t


t
2

2


A


A
0
r
0
r


Die Leistung fließt in den Kondensator hinein und ist deshalb negativ. Die
dadurch aufgenommene Energie ist ( t  0 ):
t
t
2
2
I h
1 I h
W (t )   P( ) d    0  d    0  t 2
 0 r A
2  0 r A
0
0
Für die Berechnung des zeitlichen Verlaufes der im Kondensator gespeicherten,
elektrischen Energie wird zunächst der Verlauf der elektrischen Energiedichte
ermittelt ( t  0 ):
we (t ) 
 2 1 I 2
1
  0 r  E (t )   0 2  t 2
2
2  0 r A
Hieraus ( t  0 ):
2
2
1 I
1 I h
We (t ) 
we (t ) dV  Ah   0 2  t 2   0  t 2

2  0 r A
2  0 r A
Kondensatorvolumen
.
Dies passt zur Berechnung über den Poynting-Vektor (der Kondensator speichert
die ihm zufließende elektromagnetische Leistung im elektrischen Feld).
Anmerkung:
Diese Rechnung vernachlässigt die magnetische Energiedichte. Für t  0 :
 2 I02r 2
wm (t ) 
 H (t ) 
2 0  r
8 0 A 2
1
Diese ist während des Stromflusses konstant. Sie wurde zu Beginn des Stromflusses instantan aufgebaut und erscheint deshalb nicht in der Berechnung mittels
des Poynting-Vektors. Würde die Stromquelle wieder abgetrennt, verschwindet
sie sofort wieder und die Verhältnisse sind wie aus der Elektrostatik vermutet.
Lösung zur 3. Aufgabe
Wie angegeben handelt es sich um eine inhomogene ebene Welle, d.h. Fronten
gleicher Phase fallen nicht zusammen mit Fronten gleicher Amplitude. Dies ist leicht
zu sehen, wenn man die elektrische Feldstärke ausschreibt:




E  E0  e  j k r  e jt  e y  E0  e  j 10k0  x  e 5k 0  z  e jt  e y

 j 10k 0  x
 E0  e 5k 0  z  e
 e jt  e y





in z - Richtung
abfallend
a)
in x- Richtung
ausbreitend
Wegen:
  10  10  k0 

 

 
Re k  Re k0   0    0 
   j  5   0 

Breitet sich die Welle in positiver x-Richtung aus.
b)
Für den Wellenzahlvektor muss die Dispersionsrelation (Materialparameter
r  1und  r  1 ):
2
k  (10  k0 ) 2  ( j  5  k0 ) 2  75  k02   0 0 2
mit k0  100 m1 gelten. Es folgt:
f 
c)
75  k0

1
75
m
1



 c0  k0  1,378  2,998 108 100  4,1311010 Hz
2 2
2
s
m
 0 0
Die Phasengeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung kann z.B. aus der
Betrachtung des komplexen Argumentes der Exponentialfunktion
j (t  10  k0  x) gewonnen werden:
vph,x 
2  75  c0  k0
dx

m
m


 0,866  2,998 108  2,596 108 .
dt 10  k0
2 10  k0
s
s
Die inhomogenen Welle breitet sich also langsamer aus als eine vergleichbare
homogene Welle.
d)
Der Betrag der komplexen elektrischen Feldstärke lautet ( z  0 ):


ˆ
ˆ ˆ *
E  E  E  E0  e  j k r  E0  e  j k r  E0  e 5k0 z  e 5k0 z  E0  e 5k0 z
Es ist leicht zu erkennen, dass dieser für z = 0 maximal wird.
e)


Die komplexe Amplitude des magnetischen Feldes folgt z.B. aus rot Eˆ  -jω0  Hˆ


bzw. Hˆ  rot Eˆ / -jω0 . Für den Rotationsoperator
  Eˆ z  Eˆ y 



 y
z 
  Eˆ
 Eˆ z 
x



x 
 z
  Eˆ y  Eˆ x 



 x
y 


gilt hier
 Eˆ z  Eˆ x  Eˆ z  Eˆ x



 0.
y
z
x
y
Es folgt:
Hˆ x 

  Eˆ y
j  5  k0
1
1




E0  e  j10k0 x  e 5k0 z 
 E0  e  jk r
 jω0
z
j 0 z
 0


Hˆ y  0
Hˆ z 
f)

 Eˆ y
10  k0
1
1




E0  e  j10k0  x  e 5k0  z 
 E0  e  jk r
 j 0 x
 j 0 x
 0


Der komplexe Poynting-Vektor folgt mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe e zu:
 Eˆ Hˆ *  Eˆ z Hˆ y * 
 Eˆ y Hˆ z * 
 10 


 1 k
 1 ˆ ˆ * 1  y z *


1
*

10

k

z
2
0
 
S  E  H    Eˆ z Hˆ x  Eˆ x Hˆ z    
0
 E0  e 0   0 
2
2  ˆ ˆ * ˆ ˆ *  2  ˆ ˆ *  2  0
 j  5
Ex H y  Ey H x 
 E y H x 






Wie zu sehen ist er rein reell in x-Richtung und rein imaginär in z-Richtung, d.h.
Wirkleistung wird nur in x-Richtung transportiert.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Einsetzen der Strahlungsrichtungen und Dipolabstände in die Formel für das
Magnetfeld

ˆ
I


H (r , ,  )  0  e  jk r  cos   e  e  jk sin cos d  e  j  sin    e
r

ergibt:
I.
ˆ
I


H (r , ,  )  0  e  jk r 1 e  e  j / 4  1 e
r


Die Phasenverschiebung zwischen den gleich großen Komponenten ist
 / 4 , die Polarisation damit elliptisch.
II.
ˆ
I


H (r , ,  )  0  e  jk r 1 e  e  j  e  j  1 e
r


Die Phasenverschiebung zwischen den gleich großen Komponenten ist
2 bzw. 0, die Polarisation damit linear.
III.
ˆ
I


H (r , ,  )  0  e  jk r 1 e  e  j  e  j / 2  1 e
r


Die Phasenverschiebung zwischen den gleich großen Komponenten ist
 / 2 , die Polarisation damit zirkular.
IV.
ˆ
I

H (r , ,  )  0  e  jk r 0  1 e 
r
Da es hier nur eine Komponente gibt, ist die Polarisation linear.
b)
Für ebene Wellen im Freiraum gilt die Formel:
 
 

E (r , t )  0  H (r , t )  ek
mit
0  0 /  0
Das vorliegende Magnetfeld besteht aus zwei Anteilen (Komponenten), wobei
jeder auf einen Dipol zurückgeht. Das Fernfeld eines jeden Dipols verhält sich
lokal genähert wie eine ebene Welle, woraus das individuelle elektrische Feld
 
berechnet werden kann. Nach Überlagerung ergibt sich mit ek  er :

ˆ
I


E (r , ,  )   0  0  e  jk r   cos   e  e  jk sin cos d e  j  sin    e
r
c)

1 
2

*
Der komplexe Poynting-Vektor ist allgemein gegeben über: S   Eˆ  Hˆ
Hier gilt   45,   45 und d   . Somit:
ˆ *
I
1  
 1   j  j
H (r ,45,45)  0  e  jk r  
 e  e  e 
 e 
r
2
 2

ˆ
I
 1   j  j 1  
E (r ,45,45)  0  0  e  jk r  
 e  e e 
 e
r
2 
 2
Es ergibt sich also:
 1 ˆ ˆ * 1
I2
S   E  H  0  02
2
2
r
I2 
1  1   1
   er   er   0  02  er
2  2
r
2
Das Ergebnis hängt nicht von  ab, der Betrag des Poynting-Vektors ist also für
alle  gleich (maximal).
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
5
9
10
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
13. 3. 2015 – 11:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lautet die Formel für die durch Bewegung durch ein Magnetfeld induzierte
elektrische Feldstärke in einem Leiterstück?
b) Wie lautet die Formel für die Skintiefe (Eindringtiefe) eines zeitlich
harmonischen elektromagnetischen Feldes in einem leitfähigen Material?
c) Für welchen Frequenzbereich ist die Skineffekt-Näherung gültig bzw. wie hängt
dieser von den Materialparametern ab (Formel)?
d) Wie lautet die Formel für die Phasengeschwindigkeit eines zeitlich
harmonischen elektromagnetischen Feldes in einem verlustlosen Material?
e) Beschreiben Sie in Worten, was man unter einer Einfallsebene versteht!
f) Wie lautet die so genannte Fernfeldbedingung (Formel) für eine elektrisch
kleine Antenne?
Vor - und Zuname
Matrikel - Nr.
2. Aufgabe
Ein kreisförmige Leiterschleife mit Radius R rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit
ω um die z-Achse in einem senkrecht zur Drehachse homogenen Magnetfeld wie unten
dargestellt. Zur Zeit t = 0 befindet sich der Kreisring in der xz-Ebene. Der Abstand der
Klemmen ist im Folgenden zu vernachlässigen.
z
ω
uind(t)
y
x
Bearbeiten Sie hierzu folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung uind(t) als Funktion
der Zeit vorzeichenrichtig (siehe Skizze) über den magnetischen Fluss!
b) Bestimmen Sie alternativ die induzierte Spannung uind(t) als Funktion der Zeit
vorzeichenrichtig (siehe Skizze) über:
uind (t ) 
  
v
  B  dl
Ring
3. Aufgabe
Gegeben ist eine ebene elektromagnetische Welle im Vakuum mit der Kreisfrequenz
ω = 107 rad/s und einem Realteil des Poynting-Vektors (zeitlich gemittelte Strahlungsdichte) von Sm = 100 W/m2. Die Welle läuft senkrecht auf die ebene Grenzfläche zu
einem halbunendlichen, muskelähnlichen Material zu und wird reflektiert bzw.
transmittiert:
Vakuum
ˆ
Ee
Muskelgewebe

ke
κ = 1 S/m
εr = 65
r = 1
ˆ
He
0
x
Berechnen Sie hierzu folgende Größen als Zahlenwerte mit vier signifikanten Stellen:
a)

̂
̂
E e , H e und k e der einfallenden Welle,
b) die Beträge der komplexen Amplitude der transmittierten elektrischen
Feldstärke und transmittierten magnetischen Feldstärke bei x = 0,
c) die Beträge der komplexen Amplitude der transmittierten elektrischen
Feldstärke und transmittierten magnetischen Feldstärke bei x = 10 cm,
d) den Betrag des komplexen Poynting-Vektors bei x = 0 und x = 10 cm,
1 * 
e) die dissipierte Leistungsdichte p   Jˆ Eˆ bei x = 0 und x = 10 cm,
2
f) die gesamte im Muskelgewebe absorbierte Leistung pro Fläche!
4. Aufgabe
Eine ebene Welle läuft im Vakuum unter dem Einfallswinkel  e auf eine unendlich
große, ebene, perfekt elektrisch leitende Wand zu und wird reflektiert:
z
   S/m
2
x
e
r
ˆ
He
ˆ
Ee
 
ˆ

H e  H 0  e jke r  ey
  0 S/m

ke
ˆ
Er
1
ˆ
Hr

kr
( H 0  0)
Bearbeiten Sie hierzu folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Geben Sie die Formel für die gesamte, durch Superposition entstandene

magnetische Feldstärke Hˆ ges als Funktion der kartesischen Koordinaten im
Gebiet 1 an!

ˆ
b) Leiten Sie dazu die Formel für das gesamte elektrische Feld E ges als Funktion
der kartesischen Koordinaten im Gebiet 1 ab!

c) Berechnen Sie den zugehörigen komplexen Poynting-Vektor S als Funktion
der kartesischen Koordinaten im Gebiet 1!
d) Bestimmen Sie die Orte, an denen jeweils die gesamte magnetische bzw. die
elektrische Feldstärke im Gebiet 1 zu null werden!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik I
13. 3. 2015 – 11:30 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe

 
Eind  v  B
a)
Induzierte elektrische Feldstärke:
b)
Skintiefe:
c)
   0 r bzw.    /  0 r
d)
Phasengeschwindigkeit in verlustlosem Material:
e)
Unter der Einfallsebene versteht man im Allgemeinen die Ebene, die beim
Einfall einer ebenen Welle auf eine ebene Grenzfläche zwischen zwei
verschiedenen Medien sowohl die Flächennormale zur Grenzfläche als auch den
Wellenzahlvektor enthält.
f)
Fernfeldbedingung für elektrisch kleine Antennen:
(r = Abstand von der Antenne)
d S
2
0  r
vph 
1
 0 r  0  r
r   oder rk  1
Lösung zur 2. Aufgabe
a)
Im Folgenden sei ψ = ωt der zeitabhängige Kreiswinkel zwischen Leiterschleife
und positiver x-Achse. Ansatz über die zeitliche Veränderung des magnetischen
Flusses unter Beachtung des Vorzeichens von uind an den Klemmen (siehe auch
Übung):
uind (t )  
b)


dΦ
d
   B0  R 2  cos( )     B0  R 2  sin(t )
dt
dt


Für die Winkelgeschwindigkeit in Vektornotation gilt     ez . Für die
Geschwindigkeit eines Leiterschleifensegmentes auf einer Bahn mit Abstand r
von der z-Achse gilt dann in Zylinderkoordinaten:
  

v    r  r  e



Mit e   sin  ex  cos  e y folgt in kartesischen Koordinaten (ψ = ωt):
y
0
  sin   0 



  


 
v  B  r   cos    B0   r 
0

 0  0
  sin  B 
0

  


 r  sin  B0  ez
x
Nun kann das Integral über die Leiterschleife ausgeführt werden. Auf Grund der
Symmetrie der Anordnung genügt es, das Integral für einen Viertel des Kreisringes auszuwerten. Es empfiehlt sich, über den Winkel θ in Kugelkoordinaten
 
zu integrieren, wobei ez  dl   sin   R  d und r  R  sin  zu beachten sind:
uind (t ) 



 v  B  dl
z
Ring
 /2
 4    R 2  sin  B0  sin 2  d
0
R
 /2
 4  R  sin  B0   sin  d
2
2
0
 /2
 sin 2 
 4  R 2  sin  B0   
4  0
2

 / 4
    B0  R  sin t
2
Lösung zur 3. Aufgabe
a)
Die Beträge der komplexen Feldstärkeamplituden können mit Hilfe der
Strahlungsdichte und des Wellenwiderstands im Vakuum ( 1  0  376,73  )
bestimmt werden:
1 ˆ 2
Sm 
 Ee
20
 ˆ 2
Sm  0  H e
2


ˆ
E e  2 0  Sm  274,5 V/m
ˆ
H e  2  Sm / 0  0,7286 A/m
Die Wellenzahl im Vakuum ist gegeben durch:

2 
1,0  107 rad/s
ke 
 
 3,336  10 2 1/m
0 c0 2,998  108 m/s
b)
Der Transmissionskoeffizient für das elektrische Feld für den senkrechten Einfall
auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien ist laut Skript (Einfall von Medium
1 auf Medium 2):
2 2
tE 
 2  1
Hier gilt 1  0  376,73  und:
2 
j 0 r
j 0

 ( 2,514 + j  2,499) 
  j 0 r
1S/m  j 0  65
Wegen 1S/m  j 0  65 könnte man auch die Skineffektnäherung nutzen und
rechnen:
j 0 r
2 
 (2,507 + j  2,507) 

Mit diesem Wert ergibt sich t E  (1,331 + j  1.313)  10-2 bzw. t E  1,869  10-2 .
Damit ergibt sich der Betrag der komplexen Amplitude des elektrischen Feldes
bei x = 0 cm:
ˆ
ˆ
E t ( x  0 cm)  E e  t E  5,131 V/m
und der Betrag der komplexen Amplitude des magnetischen Feldes an gleicher
Stelle zu:
ˆ
ˆ
H t ( x  0 cm)  E t ( x  0 cm) /  2  1,448 A/m
c)
Für die Berechnung der Werte in der Tiefe des Muskelgewebes bei x = 10 cm
benötigt man die Dämpfungskonstante  . Wegen 1S/m  j 0  65 kann diese in
der Skineffektnäherung berechnet werden (dS = Skintiefe):

1
0 r

 2,506 1/m
dS
2
Die Beträge der komplexen Feldstärkeamplituden bei x = 10 cm sind dann:
ˆ
ˆ
E t ( x  10 cm)  E t ( x  0 cm)  exp(   0,1 m)  3,994 V/m
ˆ
ˆ
H t ( x  10 cm)  H t ( x  0 cm)  exp(   0,1 m)  1,127 A/m
d)
Der Betrag des komplexen Poynting-Vektors ist:

1 ˆ ˆ  1 ˆ ˆ
S  E  H  E H
2
2
Nach Einsetzen der entsprechenden Werte folgt:

S ( x  0 cm)  3,714 W/m 2
e)
und

S ( x  10 cm)  2,250 W/m 2
Die dissipierte Leistungsdichte pro Volumen ist gegeben durch (  rein reell):
ˆ 2
1 ˆ * ˆ 1
p   J  E    E
2
2
Nach Einsetzen der entsprechenden Werte folgt:
p( x  0 cm)  13,17 W/m 3
f)
und
p( x  10 cm)  7,975 W/m 3
Die gesamte absorbierte Leistung pro Fläche ist gegeben durch:


2
ˆ
1
PS   p( x) dx     E ( x  0 cm) 
2
0
e
 2x
 2,626 W/m 2
dx
0





1  2x
e
2


0

1
2
Alternativ kann man diesen Wert berechnen über den Ansatz:
PS 
1 1
1 
2
2

 H0    H0
2 ds
2 
ˆ
mit H 0  H t ( x  0 cm) .
Anmerkung:
In Abhängigkeit der einfallenden mittleren Strahlungsdichte stellt sich das letzte
Ergebnis genähert wie folgt dar (1  0  376,73   1 ):
 Eˆ  t
1 1  e E
PS  

2 ds   2


2


1 1
  
2 ds



2
  2  0  S m 

 2  0

In dieser Näherung ergibt sich der Wert PS  2,661 W/m 2 .
2

  4 S
 ds0 m

Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Aufgrund der Leitfähigkeit von κ → ∞ ergibt sich ein Reflexionsfaktor für das
magnetische Feld von (siehe Skript) r H  1 und somit gilt für den ortsunabhängigen Anteil der komplexen Amplitude der reflektierten magnetischen
Feldstärke:
H 0 r  H 0e  H 0
Mit dem Wellenzahlvektor der einfallenden Welle:
 sin  e 
 sin  e 


  

ke  ke   0     0 
 cos   c0  cos  
e
e


und dem der reflektierten Welle:
 sin  e 
 sin  e 


  

k r  ke   0     0 
  cos   c0   cos  
e
e


ergibt sich die gesamte magnetische Feldstärke durch die Superposition der
einfallenden und der reflektierten Welle:
ˆ

H ges  H 0  e  jke ( x sin e  z cos e )  e  jke ( x sin e  z cos e )  e y

 H 0  e  jke z cos e  e  jke z cos e  e  jke ( x sin e )  e y



 2 H 0  cos(ke z cos  e )  e
b)

 jk e x sin  e
0
 
 1
0
 
Das gesamte elektrische Feld berechnet sich ebenfalls aus der Superposition der
einfallenden sowie der reflektierten Welle:
ˆ
ˆ
ˆ
E ges  E e  E r
Das elektrische Feld hat im Gegensatz zum magnetischen zwei Komponenten,
eine x- und eine z-Komponente. Diese können aus der Zeichnung bzw.
geometrisch bestimmt werden. Für den einfallenden Teil:
ˆ


E e  0  H 0  e  jke ( x sin e  z cos e )  (cos  e  ex  sin  e  ez ) .
Für den reflektierten Teil unter Berücksichtigung des Reflexionsfaktors:
ˆ


E r  0  H 0  e  jke ( x sin e  z cos e )  ( cos  e  ex  sin  e  ez )
Somit ergibt sich für das gesamte Feld:

ˆ


E ges   0  H 0  e  jke ( x sin e  z cos e )  (cos  e  ex  sin  e  ez ) 


e  jke ( x sin e  z cos e )  ( cos  e  ex  sin  e  ez )




  0  H 0  e  jke ( x sin e  z cos e )  cos  e  e  jke ( x sin e  z cos e )  cos  e  ex 

 e  jke ( x sin e  z cos e )  sin  e  e  jke ( x sin e  z cos e )  sin  e  ez

  0  H 0  e  jke x sin e  e  jke z cos e  e  jke z cos e  cos  e  ex 

 e  jke z cos e  e  jke z cos e )  sin  e  ez


  2 0  H 0  e
c)

 jk e x sin  e


 

 j sin( k e z cos  e )  cos  e 



0

 cos(k z cos  )  sin  
e
e
e 

Mit den Ergebnissen aus den Teilaufgaben a) und b) berechnet sich der komplexe
Poynting-Vektor zu

1 ˆ ˆ *
S  E  H
2
1
   2 0  H 0  e  jke x sin e  2 H 0  cos(k e z cos  e )  e  jke x sin e
2


 j sin(k e z cos  e )  cos  e   0 


0

  1
 cos(k z cos  )  sin    
e
e
e  0


*
*
 cos(k e z cos  e )  sin  e 


0
 2 0  H  cos(k e z cos  e )  

  j sin(k z cos  )  cos  
e
e
e

2
0
d)
Nullstellen der magnetischen Feldstärke bei:
cos(ke z cos  e )  0

z  n 

1
2 ke cos  e

(n  1,3,5,7,...)
Zur Bestimmung der Nullstellen der elektrischen Feldstärke betrachten wir
zunächst die Nullstellen der einzelnen Komponenten:
1
ke cos  e
(n  0,1,2,3,...)
1
2 ke cos  e
(n  1,3,5,7,...)
x: sin(ke z cos  e )  0

z  n   
z: cos(ke z cos  e )  0

z  n 


Daraus ergeben sich keine gemeinsamen Nullstellen. Allerdings müssen auch die
Fälle des senkrechten (  e  0 ) und streifenden (  e  90 ) Einfalls berücksichtigt
werden. Für den senkrechten Einfall ergibt sich, dass die z-Komponente immer
null ist und somit verbleibt zu fordern:
x: sin(ke z 1)  0

z  n   
1
ke
(n  0,1,2,3,...)
Für den streifenden Einfall ergibt sich, dass die x-Komponente immer null ist
und somit verbleibt zu fordern:
z: cos(ke z  0)  0

(keine Lösung für z)
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
8
8
8
30
Prof. Dr. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
13. 8. 2015 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen in „differentieller“ Form für komplexe
Feldamplituden?
b) Wie verändert sich der Widerstand eines runden elektrischen Leiters mit der
Frequenz bei Vorliegen eines stark ausgeprägten Skin-Effektes?
c) Wie lautet die eindimensionale, homogene Wellen-Differentialgleichung (ohne
Dämpfung) für eine skalare Größe F(x,t) im Zeitbereich?
d) Wie lautet ihre allgemeine Lösung nach d’Alembert (Formel)?
e) Wie berechnet sich die Wellenzahl (Kreiswellenzahl) für ein verlustloses
Medium aus seinen Eigenschaften (Formel)?
f) Was versteht man unter der so genannten „retardierten Zeit“ (Formel für das
Vakuum)?
Vor-und Zuname:
Matrikel-Nr.:
2. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Anordnung von unendlich langen, parallel zur z-Achse
verlaufenden Leitern. Das ortsfeste Leiterpaar A (1, 2) führt einen Strom + I bzw. – I
wie in der Abbildung gezeigt. Das Leiterpaar B (3, 4) sei stromlos und beweglich. Der
Versatz zwischen den Mittelachsen wird mit x0 bzw. y 0 bezeichnet. Der Abstand a
zwischen den Leitern eines Paares ist jeweils konstant. Die Leiter sind umgeben von
einem isotropem Dielektrikum mit  r  1 und  r  1 .
3
1
4
2
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Ermitteln Sie vorzeichenrichtig den magnetischen Fluss pro Länge 1B ( x0 , y0 )
von Leiter (1) im Leiterpaar B (3, 4) in Abhängigkeit vom Versatz x0 , y0 ! Das
Vorzeichen ergibt sich hierbei aus der Definition der Stromrichtungen in B
(siehe Skizze).
b) Ermitteln Sie nun vorzeichenrichtig den durch das Leiterpaar A (1, 2) verur ( x0 , y0 ) , der B (3, 4) durchsetzt!
sachten magnetischen Fluss pro Länge  AB
 ( x0 , y0 ) für festes y 0 und variablen Verc) Berechnen Sie die Nullstellen von  AB
satz x 0 und erläutern Sie, wie man deren Existenz qualitativ begründen kann!
 ( x0 , y0 ) und  AB
 ( x0 , y0 2) als Funktionsgraphen in
d) Skizzieren Sie qualitativ  AB
Abhängigkeit des Versatzes    x0   ! Kennzeichnen Sie hierbei
insbesondere die Lage der Nullstellen deutlich erkennbar!
3. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle trifft aus der Luft kommend senkrecht auf eine
glatte und ebene Wasseroberfläche und wird teilweise reflektiert und teilweise
transmittiert. Die komplexe Amplitude des einfallenden elektrischen Feldes hat die
folgende Form:
ˆ


E  E0  exp( j k x)  (ey  j  ez )

mit
E0  1 V/m

und e y und ez als Einheitsvektoren in y- bzw. z-Richtung.
x
Luft mit
Einfallende Welle
mit f = 150 kHz
,
und
z
y
Wasser mit
,
und
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben bzw. Fragen:
a) Bestimmen Sie die Wellenzahl k in Luft als Zahlenwert!
b) Bestimmen Sie die Wellenimpedanz  Wasser und die Wellenzahl k Wasser in Wasser
jeweils als Zahlenwerte in einer geeigneten Näherung!
c) Bestimmen Sie die Transmissions- und Reflexionsfaktoren des elektrischen
Feldes t E und r E als Zahlenwerte mit dieser Näherung!
d) Geben Sie die Formel für die komplexe Amplitude des magnetischen Feldes der
einfallenden Welle an! Welchen Zahlenwert hat der Vorfaktor derselben?
e) Geben Sie die Formel für die komplexe Amplitude des reflektierten elektrischen Feldes an! Welchen Zahlenwert hat der Vorfaktor derselben?
f) Geben Sie die Formel für die komplexe Amplitude des transmittierten
elektrischen Feldes an! Welchen Zahlenwert hat der Vorfaktor derselben?
Hinweis: Für alle Zahlenwerte genügen vier signifikante Stellen, also z.B. 1,234  105 ,
wobei die letzte Ziffer (hier die 4) gerundet sein soll. Geben Sie bei komplexen
Größen jeweils Real- und Imaginärteil an!
4. Aufgabe
Das komplexe elektrische Feld einer elektromagnetischen Welle mit Kreisfrequenz 
in einem isotropen Dielektrikum mit Permittivität  r und Permeabilität  r  1 sei
gegeben als:
 
 x   y  
 cos  sin   
a b 
 b

 
 x   y  
E  E 0  exp  j t  k z z     sin   cos  
 a  a   b 
0






Hierbei sind a, b und k z reelle Parameter mit Zahlenwerten größer null und E 0 ist ein
ortsunabhängiger Vorfaktor.
Bearbeiten Sie hierzu folgende Aufgaben bzw. Fragen:
a) Berechnen Sie die elektrische Ladungsdichte zu diesem Feld!
b) Zeigen Sie, dass folgende Relation zwischen Kreisfrequenz  , und den
Parametern a, b und k z herrschen muss:

   
       k z2 !
0 0 r  a   b 
1
2
2
c) Berechnen Sie das zum gegebenen E-Feld korrespondierende H-Feld!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretisch Elektrotechnik II
13. 8. 2015 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen für komplexe Amplituden der Felder:
ˆ
div B  0
ˆ
div D  ˆ
ˆ ˆ
ˆ
rot H  J  j  D
ˆ

rot Eˆ   j  B
b)
Proportional zur Wurzel aus der Frequenz ( ~ f )
c)
2F 1 2F
 
0
 x2 v2  t 2
v = Ausbreitungsgeschwindigkeit (hier rein reell)
d)
F ( x, t )  G( x  v  t )  H ( x  v  t )
G und H sind hinreichend oft differenzierbare Funktionen (rechts- bzw.
linkslaufende Wellen)
e)
kW    0 r 0 r
f)
t ret  t  s / c0
s = Abstand zwischen Quelle und Aufpunkt
Lösung zur 2. Aufgabe
Bei der Lösung dieser Aufgabe geht man sinnvollerweise von folgender Formel aus
dem Skript für den Fluss pro Länge eines vom Strom I durchflossenen Leiters in einem
benachbarten Leiterpaar aus (parallele Anordnung, Leiter unendlich lang):
 
0 r I  s2 
 ln  
2
 s1 
Hierbei ist s1 der Abstand zu demjenigen Leiter des Leiterpaares, der die positive
Stromrichtung gleich definiert – s2 ist der Abstand zu demjenigen Leiter, der die
positive Stromrichtung gegengerichtet definiert.
a)
Der vom Leiter (1) verursachte magnetische Fluss pro Länge 1B ( x0 , y0 ) im
Leiterpaar B (3,4) beträgt mit Verwendung obiger Formel:
2
2
0 I  y0  x0  a 
1B ( x0 , y0 ) 
 ln
2
2

2
y0  x0

b)
  I  y 2  x  a 2 
  0  ln  0
0

 y 2x 2 
 4
0
0



 ( x0 , y 0 )
Der vom Leiterpaar A (1,2) verursachte magnetische Fluss pro Länge  AB
im Leiterpaar B (3,4) ergibt sich aus vorzeichenrichtiger Superposition der
Beiträge von Leiter (1) und (2):
 ( x0 , y0 ) 
 AB
0 I
4
  y 2  x  a 2 
 y 2  x0 2 

 ln  0 2 0 2   ln  2 0
2 


y

x

a
  y0  x0
0

 0



0 I  y0 2  x0  a 2  y0 2  x0  a 2

 ln
2
2 2
4l 
y0  x0






Wie zu sehen ist dies eine in x0 und y 0 symmetrische Funktion.
c)
 ( x0 , y0 ) für beliebige feste y 0 und
Zur Bestimmung der Nullstellen von  AB
variablen Versatz x 0 ist es hinreichend
y
2
0

 x 0  a   y 0  x 0  a 
2
y
2
0
 x0
2

2 2
zu fordern. Nach Ausmultiplizieren folgt:
2
 1
y0  y0 x0  a   y0 x0  a   x0  a  x0  a   y0  2 y0 x0  x0
 
4
2
2
2
2
 2 y 0 2 x0 2  2 y 0 2 a 2
2
2
4
2
2
4
 x0 4  2 x0 2 a 2  a 4
Daraus nach Wegstreichen identischer Terme:
2 y0 a 2  2 x0 a 2  a 4  0
2
2
Dies ist eine quadratische Gleichung in x0 mit den Lösungen:
a2
x0   y0 
2
2
Erläuterung:
Die Nullstellen sind symmetrisch zur senkrechten Mittelachse von Leiterpaar A
angeordnet, wo der Fluss positiv ist. Weit entfernt von dieser Position ist der
Fluss negativ, deshalb müssen diese Nullstellen existieren.
d)
Bei Halbierung des Versatzes in y-Richtung muss das Maximum größer werden.
Gleichzeitig rücken die Nullstelle näher an die x-Achse heran:
y0
2
y0
Lösung zur 3. Aufgabe
Diese Aufgabe ist sinnvollerweise in der die Skin-Effekt-Näherung zu rechnen, denn
im Wasser gilt:
 Wasser
 14,12 GHz  150 kHz
 0 Wasser
Somit ist die Verschiebungsstromdichte deutlich kleiner als die Leitungsstromdichte,
was für diese Näherung spricht.
a)
Wellenzahl in der Luft:
k    2 f   0 0  3,144 103
b)
1
m
Wellenimpedanz im Wasser in Skin-Effekt-Näherung:
 Wasser 
j 0
 Wasser
 (0,2433 + j  0,2433) 
Wellenzahl in Wasser in Skin-Effekt-Näherung:
k Wasser   j Wasser0  (2,4335  j  2,4335)
c)
1
m
Mit der Wellenimpedanz in der Luft von:
Luft 
0
 376,7  .
0
ergibt sich der Reflexionsfaktor für den senkrechten Einfall zu:
rE 
 Wasser  Luft
  0,9987 + j 1,290 10-3
 Wasser  Luft
Der Transmissionsfaktor ergibt sich zu:
t E  1  r E  1,292 10-3 + j 1,290 10-3
d)
Für den Vorfaktor gilt:
H 0  E0 / Luft  2,655 103 A/m
Die Richtung des Feldvektors dieser zirkular polarisierten Welle ergibt sich z.B.
aus der Superposition der beiden linear polarisierten Teilwellen:


ey , E  ez , H


ez , E  ey , H
Somit (  identisch zu oben):
ˆ


H  H 0  exp( j x)  (ez  j  ey )
e)
Für den Vorfaktor gilt:
E 0 r  E0  r E  (0,9887 + j 1,290 10-3 ) V/m
Die Ausbreitungsrichtung ist nun umgekehrt zur einfallenden Welle, also gilt
(  identisch zu oben):
ˆ


E r  E 0 r  exp(  j x)  (ey  j  ez ) .
Anmerkung:
Die reflektierte Welle ist wie die einfallende zirkular polarisiert, die Rotationsrichtung ist allerdings umgekehrt zur einfallenden Welle.
f)
Für den Vorfaktor gilt:
E 0t  E0  t E  (1,292 10-3 + j 1,290 10-3 ) V/m
Das transmittierte elektrische Feld lautet damit ( k Wasser siehe oben):
ˆ


E t  E 0t  exp( j k Wasser x)  (ey  j  ez )
Lösung zur 4. Aufgabe
a)

Berechnung der Ladungsdichte über div D   :
 Dx D y Dz
div D 


x
y
z
  2  x   y   2  x   y 
  r 
sin   sin   
sin   sin    exp  j t  kz
ab  a   b  ab  a   b 


0
Die Ladungsdichte ist also überall im Raum null.
b)


Die Welle muss die Wellengleichung  E  k 2  E  0 mit:
k    0 0 r
lösen. Aus dieser Bedingung lässt sich die angegebene Dispersionsrelation
ableiten, bzw. diese muss für alle drei Komponenten des Feldes gelten.
x-Komponente:
 2
 2
 2 2

 E x   2   E x   2   E x   k z2  E x   2  2  k z2   E x
b
 a 
 b 
 a

 
Daraus folgt:
k2 
2
a
2

2
b
2
 k z2
bzw.

1
0 0 r

2
a
2

2
b
2
 k z2
y-Komponente:
 2
 2
 2 2

2
 E y   2   E y   2   E y   k z  E y   2  2  k z2   E y
b
 a 
 b 
 a

 
und daraus dann dieselbe Schlussfolgerung wie für die x-Komponente.
z-Komponente:
 E z  0  k  E z  0
was immer erfüllt ist.
c)
Das zum elektrischen Feld korrespondierende magnetischen Feld kann wie folgt
ermittelt werden:
  E z y   E y z 


H
 rot E 
   E x z   E z x 
 0 r
 0 r 

  E y x   E x y 




0

(

jk
)

E
z
y


j




( jk z )  E x  0

 0 r 
2
2
    cos x  cos y    cos x  cos y    E  exp  j t  k z 
z
2
 0
  a2

a b  b
 a   b 


j
j


  jk z sin  x  cos y  

a
a b  

j  E 0  exp  j t  k z z 
jk z
 x   y  

 
cos  sin   
 0 r
b
a b  

  2  2 
 x   y  
   2  2   cos  cos  
b 
 a   b 
 a
Aufgabe
1
2
3
4
∑
Theoretische Elektrotechnik
Punkte maximal
6
6
9
9
30
Prof. Christian Schuster
Punkte erreicht
TU Hamburg-Harburg
Vor- und Zuname:
Note:
Matrikel-Nr.:
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
17. 3. 2016 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Hinweise:
1. Aufgabe = „Wissensteil“: Bearbeitung ohne jegliche schriftliche oder
elektronische Hilfsmittel. Stichwortartige Antworten oder Formeln genügen.
Abgabe auf Extrablatt nach 10 Minuten!
2. – 4. Aufgabe = „Rechenteil“: Bearbeitung mit schriftlichen Hilfsmitteln und
einfachem Taschenrechner erlaubt. Abgabe nach weiteren 110 Minuten.
Alle anderen Hilfsmittel sind untersagt, insbesondere müssen Handys und Laptops
ausgeschaltet und verstaut sein.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer!
1. Aufgabe
Bearbeiten Sie folgende Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für die komplexen
Amplituden zeitlich harmonischer Felder?
b) Wie verändert sich der Widerstand eines runden elektrischen Leiters mit der
Frequenz bei Vorliegen eines stark ausgeprägten Skin-Effektes?
c) Wie verändert sich die innere Induktivität eines runden elektrischen Leiters mit
der Frequenz bei Vorliegen eines stark ausgeprägten Skin-Effektes?
d) Wie lautet die Formel für den komplexen Poynting-Vektor und welche Einheit
hat dieser?
e) Erläutern Sie in kurzen Worten, was die Fresnelschen Gleichungen aussagen!
f) Erläutern Sie in kurzen Worten, was man unter einer inhomogenen ebenen
Welle versteht!
Vor - und Zuname
Matrikel - Nr.
2. Aufgabe
Gegeben ist folgende magnetische Flussdichte im Raum, die durch eine stationäre
Stromdichteverteilung hervorgerufen wird:

 r 
B  B0  exp     e
 r0 
( B0  0 , r0  0 ,  r  1 )
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. beantworten Sie die folgenden Fragen:


a) Welche Stromdichteverteilung J hat B hervorgerufen?
b) Berechnen Sie den gesamten, in positive z-Richtung fließenden sowie den
gesamten, in negative z-Richtung fließenden Strom!
c) Berechnen Sie die zugehörige innere Induktivität pro Länge  in z-Richtung für
den Bereich r  0 bis r  r0 !
3. Aufgabe
Im Folgenden sollen Wechselstromdichten der Kreisfrequenz  parallel zur y-Achse in
verschiedenen Anordnungen von leitfähigen Platten bzw. Halbräumen mit ebener
Grenzfläche untersucht werden. Im umgebenden Raum wird Vakuum angenommen.
Platte bzw. Halbraum sind durch 0 und eine jeweilige spezifische Leitfähigkeit 
gekennzeichnet und erstrecken sich in z- bzw. y-Richtung bis ins Unendliche:
z
z
Halbraum
Platte
0
Anordnung 1
Halbraum
Platte
y
y
-t
z
x
y
x
0
Anordnung 2
-t
0
x
Anordnung 3
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. beantworten Sie die folgenden Fragen:
a) Wie lautet allgemein die Differentialgleichung zur Bestimmung der komplexen
Amplitude Ĵ y der Stromdichte als Funktion von x im Leiterinneren?
b) Anordnung 1: Platte der Dicke t in x-Richtung (von –t bis 0) mit an den
Oberflächen fest vorgegebenen Stromdichten Ĵ A und Ĵ B (siehe Skizze).
Bestimmen Sie hierzu Jˆ y ( x) in der Platte!
c) Anordnung 2: Ebener Halbraum mit unendlicher Ausdehnung in positiver xRichtung mit an der Oberfläche fest vorgegebener Stromdichte Ĵ B (siehe
Skizze). Bestimmen Sie hierzu Jˆ y ( x) im Halbraum!
d) Anordnung 3: Platte (Bereich A) und Halbraum (Bereich B) schließen nun
nahtlos aneinander an und bilden damit einen geschichteten, stromdurchflossenen Leiter. Welche Stetigkeitsbedingungen bzw. Sprungbedingungen
müssen an der Grenzfläche zwischen Platte und Halbraum erfüllt sein?
Bestimmen Sie daraus Jˆ y ( x) jeweils in den Bereichen A und B in Abhängigkeit des vorgegebenen Ĵ A !
4. Aufgabe
Eine ebene elektromagnetische Welle mit der elektrischen Feldstärkenamplitude
E0 = 100 V/m und der Frequenz 60 GHz fällt in einem Winkel von  e = 30° zum Lot
auf eine Grenzschicht von Luft zu einem verlustlosen Dielektrikum und wird dort
reflektiert bzw. transmittiert:
+
Medium 1: Luft
y
x
+
z
Medium 2: Dielektrikum
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben bzw. beantworten Sie die folgenden Fragen:
a) Bestimmen Sie den Winkel  r der reflektieren und den Winkel  t der
transmittierten Welle in Zahlenwerten!
b) Bestimmen Sie die Wellenzahlvektoren k e für die einfallende Welle, k r für die
reflektierte Welle und k t für die transmittierte Welle in Zahlenwerten!
c) Berechnen Sie den Reflexionsfaktor und Transmissionsfaktor des elektrischen
Feldes als Zahlenwerte!
d) Berechnen Sie die z-Komponente der gesamten elektrischen Feldstärke in
Medium 1 als Funktion und zerlegen Sie diese gemäß folgender Form:

A  e jke sin e  x  B  cos(ke  cos e  y)  C  e jke cos e  y

e) Berechnen Sie den komplexen Poynting-Vektor der einfallenden und der
transmittierten Welle in Zahlenwerten!
TU Hamburg-Harburg
Theoretische Elektrotechnik
M U S T E R L Ö S U N G
Prof. Christian Schuster
Schriftliche Prüfung Theoretische Elektrotechnik II
17. 3. 2016 – 9:00 Uhr – Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Lösung zur 1. Aufgabe
a)
Maxwell-Gleichungen in differentieller Form für komplexe Amplituden:

div Dˆ  ̂
ˆ
ˆ
rot E   j  B
ˆ
div B  0
 ˆ
ˆ
rot H  J  j  D
b)
Proportional zur Wurzel aus der Frequenz ( ~ f )
c)
Umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Frequenz ( ~ 1 / f )
d)
Komplexer Poynting-Vektor:
e)
Die Fresnelschen Gleichungen machen Aussagen über Feldverhältnisse beim
Einfall einer ebenen Welle auf eine unendlich große, ebene Grenzfläche
zwischen zwei Medien unterschiedlicher Wellenimpedanz in Abhängigkeit des
Einfallswinkels, des Ausfallswinkels und der Polarisation. Sie geben dabei die
Verhältnisse zwischen den ortsunabhängigen Anteilen der komplexen Feldstärkeamplituden von reflektierter zu einfallender Welle (Transmissionsfaktor) bzw.
transmittierter zu einfallender ebener Welle (Reflexionsfaktor) wieder.
f)
Eine inhomogene ebene Welle ist eine ebene Welle, bei der Amplituden- und
Phasenfronten im Raum nicht identisch liegen.
 1  *
S  EH
2
[ W/m 2 ]
Lösung zur 2. Aufgabe
Die Aufgabe wird im Folgenden unter Benützung von Zylinderkoordinaten gelöst
a)
Die Stromdichteverteilung folgt aus dem Ampèreschen Gesetz:



1
J  rot H 
 rot B
0
Hierbei gilt für Zylinderkoordinaten (siehe z.B. Skript):
   1 B B    B B   1  
B 
rot B  er    z  ψ  eψ   r  z  ez    r  Bψ  r 
r  r
ψ 
 z r 
 r ψ z 
Konkret im vorliegenden Fall also:
 1
  1 

r
  B 
J
 rot B  ez 
  r  Bψ   ez  0   exp  r / r0    exp  r / r0 
0
 0 r  r
0 r 
r0


B 1 1 
 B 

r
 ez  0   1    exp  r / r0   0      exp  r / r0   ez
 0 r  r0 
 0  r r0 
Die Stromdichte wechselt also bei r  r0 das Vorzeichen.
b)
Der gesamte, in positive z-Richtung fließende Strom ergibt sich aus der
Integration über die Stromdichte von r  0 bis r  r0 :
0 2
0
 
B 0
r
I  z    J  ez  r dr d  2   J z  r dr  2  0    1    exp  r / r0  dr
 0 0  r0 
0 0
0
r
r
r
r
r

B0  0
1 0
  exp  r / r0  dr    r  exp  r / r0  dr 

 0  0
r0 0

r0
 r
 
B0 
1  2
r0
 2 
  r0  exp  r / r0 0   r0  exp  r / r0      1

0 
r0 
 r0
 0 

 2 
 2 
B0   r0
 1
    (r0 ) 
0   e
 r0


r2
B r
  2  0  (r02 )   2  0  0
e
0 e


Hierbei wurde Gebrauch gemacht von:
 x  exp(ax) dx 
exp( ax)
 ax  1
a2
(*)
Der gesamte, in negative z-Richtung fließende Strom ergibt sich aus der
Integration über die Stromdichte von r  r0 bis r   :
Iz

 r
 
B0 
1  2

 2 
  r0  exp  r / r0 r0   r0  exp  r / r0      1

0 
r0 
 r0
 r0 

B    r  1  
r 2  
B r
 2  0   0    0    0    2  0     2  0  0
 0    e  r0  
e  
0 e
Damit ist der gesamte in z-Richtung fließende Strom null.
c)
Die interne Induktivität pro Länge  in z-Richtung für den Bereich r  0 bis r  r0
lässt sich am einfachsten über die magnetische Energie berechnen:
r0
 r 2
B02
Wm 1
1 1 0  
2

  L  I  z       B  H  r dr d dz 
    exp( 2r / r0 )  r dr

2
2  00 0
0
0
Das bestimmte Integral ergibt unter Ausnutzung der Integrationsregel (*):
r0
 r02
 3r02  r02  r02 
 2r  
3


exp(

2
r
/
r
)

r
dr


exp(

2
r
/
r
)



1



 2       1  2 
0
0
0


 r0
 0  4e  4  4  e 
 4
r0
Durch Einsetzen des Ergebnisses aus Teilaufgabe b für den Strom in positiver zRichtung folgt:
2

B r 
B2
r2 
1
3
 L   2  0  0   0    0  1  2 
2
0 e 
0
4  e 




1 e2  3
L  
 0
8

Lösung zur 3. Aufgabe
Diese Aufgabe ist effektiv eindimensional und durch Anpassen der allgemeinen
Lösung an die Rand- und Sprungbedingungen lösen.
a)
Die allgemeine Differentialgleichung für den Strom im Leiterinneren lautet
(siehe z.B. Skript):
ˆ 2 j ˆ
J  2  J
dS
dS 
mit
2
als Skintiefe.
0
Mit den hier gegebenen Komponenten und Ortsabhängigkeiten ergibt sich für
Jˆ y ( x) :
 2 Jˆ y
x
b)
2

2j ˆ
Jy
d S2
Die allgemeine Lösung für die Platte lautet (siehe z.B. Skript):
Jˆ y ( x)  A1  e
2 j  x / d SA
 A2  e 
2 j  x / d SA
mit
2
d SA 
 A 0
Als Randbedingungen sind die Ströme an beiden Oberflächen vorgegeben. Damit
werden die unbekannten Parameter bestimmt:
Jˆ y (0)  A1  A2  Jˆ B
Jˆ y (t )  A1  e
2 j (  t ) / dSA
A2  Jˆ B  A1

 A2  e 
2 j (  t ) / d SA
(*)
 Jˆ A
(**)
Einsetzen von (*) in (**) ergibt:
A1  e
 2 j t / d SA
 ( Jˆ B  A1 )  e
2 j t / d SA
 Jˆ A

A1 
Jˆ A  Jˆ B  e
e
2 j t / d SA
Einsetzen dieses Ergebnisses in (*) ergibt:
Jˆ  Jˆ  e 2 j t / dSA
Jˆ B  e  2 j t / dSA  Jˆ A
A2  Jˆ B   A2 j t / d B

SA
e
 e 2 j t / dSA e  2 j t / dSA  e 2 j t / dSA
Damit ist die Lösung für die Platte vollständig bestimmt.
e
2 j t / d SA
2 j t / d SA
c)
Die allgemeine Lösung für den ebenen Halbraum lautet (siehe z.B. Skript):
Jˆ y ( x)  A3  e 
2 j  x / d SB
d SB 
mit
2
 B  0
Anpassung an die vorgegebene Randbedingung liefert direkt A3:
Jˆ y (0)  A3  Jˆ B
d)
An der Grenzfläche zwischen Platte (Bereich A) und Halbraum (Bereich B)
liegen nur tangentiale Komponenten für elektrisches, magnetisches und
Strömungsfeld vor. Da keine rein zweidimensionalen Oberflächenladungen oder
–ströme vorhanden sind muss gelten:
Jˆ (0) Jˆ y , B (0)
Eˆ y , A (0)  Eˆ y , B (0) bzw. y , A

A
B
Hˆ z ,A (0)  Hˆ z ,B (0)
und
Mit diesen Stetigkeitsbedingungen bzw. Sprungbedingungen müssen die beiden
allgemeinen Lösungen für Platte und Halbraum (siehe vorherige Teilaufgaben):
Jˆ y , A ( x)  A1  e
2 j  x / d SA
 A2  e 
Jˆ y , B ( x)  A3  e 
2 j  x / d SA
und
(t  x  0)
2 j  x / d SB
(0  x   )
aufeinander abgestimmt werden, d.h. alle unbekannten Parameter müssen
bestimmt werden. Aus der ersten Bedingung folgt:
1
A
 A1  A2  
1
B
 A3

A3 
B
  A1  A2 
A
(* * *)
Für die Anwendung der zweiten Bedingung müssen zunächst die magnetischen


Feldstärken bestimmt werden. Aus rot Eˆ   j 0  Hˆ folgt hier (alle anderen
Ableitungen sind null):
Hˆ z  
1
j 0

 Eˆ y
x

1
j0

 Jˆ y
x
Also:
Hˆ z ,A ( x)  

2j
  A1 
e

j A  0 
d SA
1
2 j  x / d SA
 A2 
2j 
e
dSA
2 j  x / d SA





2 j  2 j  x / dSB 

   A3 
e

j B  0 
d SB

0
1
1
1
1
folgt aus der zweiten Bedingung:




0 dS 0
2
20
Hˆ z , B ( x)  
Wegen
  A1  A2   
1
A
1
B
1
 A3

A3 
B
  A2  A1 
A
(* * **)
Einsetzen von (****) in (***) ergibt:
B

  A2  A1   B   A1  A2 
A
A

 A  A2  A1    B   A1  A2 

A1  A2 
A  B
A  B
Schließlich muss damit noch die Anpassung an die vorgegebene Stromdichte bei
x  t vorgenommen werden:
   B
Jˆ y , A (t )  A2   A
e
   
A
B


A2 
2 j (  t ) / d SA
 e
2j(  t ) / d SA

  Jˆ A


Jˆ A
A  B 
e
A  B
2 j t / d SA
e
2jt / d SA
Damit ist die Lösung den geschichteten Leiter vollständig bestimmt.
Anmerkung:
Für  B   A wird A1  0 und A3  A1 , was zur Lösung für einen homogenen
Halbraum führt.
Lösung zur 4. Aufgabe
a)
Der Winkel der reflektierten Welle ist gleich dem der einfallenden:
 r  30
Der Winkel der transmittierten Welle folgt aus dem Brechungsgesetz in
folgender Form (die rel. Permeabilitäten sind identisch):
 r1  sin(
30)   r2  sin( t )



1 / 2
b)

 1 1
1
   arcsin    14,478
4
 4 2
 t  arcsin 
Der Betrag des Wellenzahlvektors hängt von den Materialwerten und der
Frequenz über k     0 r 0 ab. Somit:
1
ke  k r     0 0  2  60 109    0 0  1257,5 m -1
s
k t  4  ke  2515,0 m 1
Die Richtungen bestimmen sich anhand der bereits berechneten Winkel. Es folgt:
 sin(30) 
 1/ 2 
 628,75 






k e    cos(30)   ke    3 / 2   ke    1089,0  m-1


 0 


0
0






 sin(30) 
 1/ 2 
 628,75 






k r   cos(30)   k r   3 / 2   k r   1089,0 m 1


 0 
 0 
0






 sin(14,478) 
 0,250 
 628,75 






k t    cos(14,478)   kt    0,9682   kt    2435,0  m 1






0
0
0






c)
Für den gegebenen Polarisationsfall ergeben sich der Reflexions- und Transmissionsfaktor des elektrischen Feldes aus den Fresnelschen Formeln zu:
rE 
 2  cos( e )  1  cos( t ) ( 2 / 1 )  cos(30)  cos(14,478)

 2  cos( e )  1  cos( t ) ( 2 / 1 )  cos(30)  cos(14,478)



  r1 /  r2 1 / 4

3 / 4  0,9682
  0,3898
3 / 4  0,9682
t E  1  r E  0,6102
d)
Das gesamte elektrische Feld in Medium 1 ergibt sich aus der Summe des
einfallenden und des reflektierten Feldes:




E1 ( x, y)  E e ( x, y)  E r ( x, y)  Eˆ 1z ( x, y)  e jt  ez
Die z-Komponente der komplexen Amplitude ist hier


Eˆ 1z ( x, y )  E0  e j k e r  E0  r E  e  j k r r
 E0  e jke (sin  e xcos e  y )  E0  rE  e jke (sin  e xcos e  y )

 e
e
 2  cos(k  cos 
 E0  e jke sin e x  e jke cos e  y  r E  e  jke cos e  y
 E0  e jke sin e x
 E0  e jke sin e x
jke cos e  y
e
 jke cos e  y
e



 r E  1  e  jke cos e  y
 y )  r E  1  e  jke cos e  y
Diese Form entspricht der geforderten mit:
A  E0 ,
B  2,
C  r E 1
Zu erkennen ist daran, dass es einen in y-Richtung stehenden Wellenanteil gibt.
e)
Der komplexe Poynting-Vektor der einfallenden Welle ist ( 0  376,7  ):
2

2
ˆe
E

E0
1
ke
Se  


2  2 ke 20 /  r1
 1/ 2 
 1/ 2 
 6,636 



W 
W
   3 / 2   13,27    3 / 2  2    11,49  2
 0 
 0 m
 0 m






Der komplexe Poynting-Vektor der transmittierten Welle ist ( t E  0,6102 ):
2

2
 1 Eˆ t
t E  E0
kt
St  


2  2 k t 20 /  r2
 0,250 
 0,250 
 2,471 



W 
W
   0,9682   9,884    0,9682  2    9,569  2



m
 0 m
0
0





