Klausur zur Vorlesung ,,Elektrodynamik“
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Institut für Theoretische Physik Klausur zur Vorlesung ,,Elektrodynamik“ Prof. Dr. T. Gehrmann NAME: Aufgabe Punkte Frühjahrssemester 2013 27.08.2013 (09:00-12:00) MATRIKELNUMMER: K 1 2 3 ETH 4 5 / UZH Σ • Die Prüfung dauert 3 Stunden. Ordnen Sie nach dem Ende der Prüfung alle Blätter nach Aufgabennummer. • An der Prüfung sind keine Hilfsmittel ausser einem beidseitig beschriebenen A4-Blatt erlaubt. (Insbesondere kein Mobiltelefon und Taschenrechner.) • Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. • Beschriften Sie jedes Blatt oben mit Ihrem Namen und der Aufgabennummer. Teil I: KURZFRAGEN [14 Punkte] Hinweis: Bei den Kurzfragen werden keine Herleitungen erwartet. K1 [1 Punkt] Was besagen Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen für die Poisson-Gleichung ∆φ(~x) = −ρ(~x)/0 in einem endlichen Volumen V ? K2 [2 Punkte] ~ P~ und %F in der Gleichung i) Erklären Sie die Bedeutung von E, h i ~ · 0 E(~ ~ x) + P~ (~x) = %F (~x). ∇ ii) Wie vereinfacht sich obige Gleichung für ein lineares, isotropisches Dielektrikum? K3 [1 Punkt] Wie lautet das magnetische Dipolmoment eines ebenen, geschlossenen Stromkreises? K4 [1.5 Punkte] i) Erklären Sie die Lenz’sche Regel in einem Satz. ii) Skizzieren Sie in folgenden beiden Beispielen die Richtung des Stromflusses j1 (t + ∆t), ~ 1 und B ~ 2 zur magnetischen Flussdichte am Ort der Schleife L1 sowie die Beiträge B zum Zeitpunkt t und t + ∆t. a) b) L1 L1 L2 L2 j2 (t) j2 (t) j2 (t + ∆t) > j2 (t) j2 (t + ∆t) < j2 (t) K5 [2 Punkte] i) Interpretieren Sie die Gleichung d mech PV + PVFeld = dt i Z dA ∂V 3 X Tij nj . j=1 ii) Was ist die Bedeutung von PVmech ? iii) Was ist die Bedeutung von PVFeld ? iv) Was ist die Bedeutung der rechten Seite der Gleichung? K6 [1 Punkt] Eine Punktladung bewege sich im Inertialsystem K mit Geschwindigkeit c/2 in positive x-Richtung. Sei K 0 ein Intertialsystem, welches sich relativ zu K mit Geschwindigkeit c/2 in negative x-Richtung bewegt. Wie gross ist die Geschwindigkeit der Punktladung im Bezugssystem K 0 ? K7 [2.5 Punkte] i) Geben Sie die Maxwellgleichungen in relativistischer 4-er Schreibweise an. ii) Drücken Sie den Feldstärketensor F µν durch das Viererpotential Aµ aus. iii) Drücken Sie die 4-er Stromdichte durch Ladungs- und Stromdichte aus. iv) Wie lautet die Eichtransformation des Viererpotentials Aµ und des Feldstärketensors F µν ? K8 [1 Punkt] Wir betrachten eine elektromagnetische, ebene Welle im freien Raum, welche sich mit Wellenvektor ~k = k~ez und Frequenz ω ausbreitet. Geben Sie das elektrische Feld für den Fall zirkularer Polarisation an. K9 [2 Punkte] Wir betrachten das Strahlungsfeld einer beschleunigten Ladung, welche sich mit Geschwindigkeit ~v bewegt und mit ~v˙ beschleunigt wird. Zeichnen Sie die Flächen gleicher Strahlungsintensität für die beiden Spezialfälle i) ~v˙ entlang −~v (Bremsstrahlung), ii) ~v˙ senkrecht auf ~v (in der durch ~v und ~v˙ aufgespannten Ebene) (Synchrotronstrahlung). Teil II: AUFGABEN [28 Punkte] Aufgabe 1 [5 Punkte] ~ r) auf der Mittelachse (z-Achse) einer Schleife Berechnen Sie das elektrische Feld E(~ mit Radius R und homogener Ladungsdichte λ (siehe Bild). Entwickeln Sie die Lösung für z R. z ~r R λ Aufgabe 2 [5 Punkte] Betrachten Sie einen leitenden Zylinder mit Radius a, mit einem zylindrischen Hohlraum vom Radius b. Die Achsen des Zylinders und des Hohlraums seien parallel. Die Distanz zwischen den Achsen ist d und es gilt d + b < a. Die Stromdichte sei parallel zur Zylinderachse und uniform innerhalb des leitenden Teils des Zylinders, ~j = j0~ez . Berechnen Sie das magnetische Feld im Hohlraum. Aufgabe 3 [7 Punkte] Betrachten Sie ein Medium 1 (Brechungsindex n), in welchem sich eine Schicht der Dicke d des Mediums 2 (n0 6= n) befindet. Aus dem Medium 1 treffe eine ebene Welle senkrecht auf Medium 2. Beide Medien seien lineare, isotrope, nicht permeable (µ = µ0 = µ0 ) Isolatoren ohne Oberflächenladung. Bezeichnen Sie die Wellenvektoren in Schicht i mit ~ki für die durchlaufende Komponente in x-Richtung und ~ki,r für die reflektierte Komponente in −x-Richtung, sowie die einfallenden (reflektierten) Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes mit Ei und Bi (Ei,r und Bi,r ). Nehmen Sie an, dass das elektrische Feld in y-Richtung zeigt. n ~k1 ~k1,r ~k2 ~k2,r x=0 n ′ x=d n ~k3 x a) Geben Sie den Ansatz für das elektrische Feld in allen 3 Schichten an. b) Berechnen Sie das magnetische Feld aus dem elektrischen Feld in allen 3 Schichten. Wir wollen nun die Dicke der Schicht d so bestimmen, dass E1,r = 0 gilt. c) Nehmen Sie an, dass E1,r = 0. Bestimmen Sie das zu lösende Gleichungssystem in den Amplituden E1 , E2 , E2,r und E3 mit Hilfe der Randbedingungen an den Grenzschichten. d) Bestimmen Sie nun die Dicke d des Mediums 2 in Abhängigkeit der Wellenlänge λ0 im Medium 2. Interpretieren Sie das Ergebnis in einem Satz. Hinweis: Welche Bedingung muss die Determinante der Koeffizientenmatrix erfüllen, so dass das Gleichungssystem eine nicht triviale Lösung besitzt? Aufgabe 4 [5 Punkte] Gegeben sei ein statisches, homogenes elektrisches Feld parallel zur x-Achse, sowie ein statisches, homogenes Magnetfeld, welches in der xy-Ebene liegt und mit der x-Achse den Winkel θ einschliesst. Der Betrag des elektrischen Felds sei E0 , der Betrag des Magnetfeldes B0 = 2E0 /c. a) Bestimmen Sie die Relativgeschwindigkeit eines Bezugssystems, in welchem das elektrische und das magnetische Feld parallel zueinander sind. b) Entwickeln Sie dann die Felder in diesem Bezugssystem bis zur ersten Ordnung in θ 1. y ~ B θ ~ E x z Aufgabe 5 [6 Punkte] Eine rechteckige Leiterschleife mit Seitenlängen l und b wird zur Zeit t = 0 aus der ~ 0 fallengelassen (siehe Ruhe direkt oberhalb einer Region mit homogenem Magnetfeld B Abbildung). Die Schleife habe eine Selbstinduktivität L und Masse m, ihr Widerstand R sei vernachlässigbar. Zur Zeit t = 0 fliesse kein Strom durch die Leiterschleife. l t = 0: t > 0: b ~ = ~0 B × ~ =B ~0 × B × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ~g = −g~ez × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ~g = −g~ez a) Berechnen Sie die Stromstärke I(t) und die Geschwindigkeit v(t) der Leiterschleife als Funktionen der Zeit. Betrachten Sie dabei nur den Zeitraum, in welchem sich die Oberkante der Schleife in der Region ohne Magnetfeld befindet (der Gültigkeitsbereich der Lösung braucht dabei nicht explizit angegeben zu werden). Hinweis: In einem Stromkreis mit einer Spule mit Induktivität L und angelegter Span˙ nung U gilt die Beziehung U = LI. b) Wie stark muss das Magnetfeld sein, damit die Schleife nie vollständig ins Magnetfeld eintaucht? Wie bewegt sich die Schleife in diesem Fall? c) Wie verändert sich das Ergebnis aus b), wenn der Widerstand R der Schleife nicht verschwindet? Diskutieren Sie für diesen Fall die Bewegung der Schleife qualitativ. Hinweis: Stellen Sie die Differentialgleichung für v im Falle R > 0 auf. Überlegen Sie sich dann anhand dieser Gleichung, wie die Bewegung v(t) aussieht.
