Klausur - Freie Universität Berlin

Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin
KLAUSUR
ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK)
Wintersemester 13/14
Dienstag, 4.2.14, 10:15 Uhr
1
2
3
4
P
6
7
6
8
27
Name:
Geburtsdatum:
Matrikelnummer:
Studienfach (bei Lehramt: Fächerkombination):
Falls Sie wünschen, dass ich Ihr Ergebnis im Blackboard veröffentliche, geben
Sie hier bitte (in Blockschrift!) ein 5-stelliges Codewort/ eine Code-Nr. an
(evt. die ersten oder letzten Ziffern Ihrer Matrikelnr.)
Unterschrift: (ist erforderlich!)
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Erlaubte Hilfsmittel: Hinweise und Warnungen:
Die Klausur darf nicht mit Bleistift
geschrieben werden.
√
Konstanten wie z.B. 4πǫ0 , e, 2 müssen nicht berechnet werden.
Vereinfachen und kürzen Sie die Ergebnisse – soweit nicht ausdrücklich anders angegeben – soweit wie möglich.
Wenn Sie neue Bezeichnungen einführen, so erläutern Sie diese, evt. anhand
einer Skizze!
Rechnen Sie überall in SI-Einheiten.
Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.
1
Aufgabe 0: Grundwissen
Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage!
1. Kürzen Sie soweit wie möglich:
(x + 2)2
=
x2 − 4
2. Eine Gerade geht durch die beiden Punkte (x1 , y1 ) = (0, 2) und (x2 , y2 ) = (1, 4).
Wie lautet die zugehörige Geradengleichung f (x)?
3. Berechnen Sie x aus:
x2 x3 = 32.
4. Welche der folgenden Größen sind Vektoren aus R3 ? (Unterstreichen reicht):
Kraft,
Energie,
Potenzial (potenzielle Energie),
Drehimpuls
Maximal 2 Minuspunkte.
2
Aufgabe 1: Vermischtes (6 Punkte)
(Die Größen sind absichtlich dimensionslos gehalten, d.h. Einheitsgrößen wie z.B. F0 wurden auf 1 gesetzt
und spielen für die Rechnungen keine Rolle.)
m und ω sind positive Konstanten.
a.) Gegeben sei die beiden Kraftfelder
F~1 = (2xy, y 2 ,
p
x2 + y 2 ),
F~2 = (ẋ, ẏ, 0).
Sind diese Kräfte konservativ? (mit Begründung) (1 Punkt)
b.) Das Kraftfeld F~ = (ex , ey , 0) ist konservativ. Bestimmen Sie das zugehörige Potenzial (potenzielle
Energie) unter der Bedingung V (1, 1, 0) = e. (2 Punkte)
c.) Eine Punktmasse m bewegt sich mit dem Ortsvektor
~r = (cos(ωt), sin(ωt), 0)
Bestimmen Sie ihren Impuls und ihren Drehimpuls (bezogen auf den Koordinatenursprung) in Betrag und
Richtung. Welche Bahnkurve beschreibt m? (Der Begriff reicht – Skizze kann helfen, ist aber nicht verlangt.)
(1.5 Punkte)
d.) Berechnen Sie: (1.5 Punkte)
Z
2
x=0
Z
4
(x + xy) dx dy.
y=0
3
Aufgabe 2: Harmonischer Oszillator (7 Punkte)
Sie dürfen wahlweise dimensionslos rechnen oder die Einheiten der x-Achse als s und die der y-Achse als
cm auffassen.
Gegeben sei ein harmonischer Oszillator mit Masse m und Federkonstante k, der reibungsfrei entlang der
x-Richtung schwingt (keine Schwerkraft, die Feder sei entspannt bei x = 0).
a.) Wie lautet die Bewegungsgleichung dieses Oszillators? (1 Punkt)
b.) Eine Lösung x(t) der Bewegungsgleichung sei durch untenstehende Abb. gegeben.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung x(t) aus der Abb. (es gibt mehrere Möglichkeiten). Auftretende
Konstanten bestimmen Sie aus der Abb.
Welchen Zahlenwert hat das Verhältnis k/m? (2 Punkte)
c.) Wie groß ist die Energie des Oszillators aus b.)? (Entweder k oder m darf im Ergebnis stehenbleiben.)
(1 Punkt)
d.) Wie groß ist die Kraft auf den Oszillator zum Zeitpunkt t = 1? (Entweder k oder m darf im Ergebnis
stehenbleiben.) (1 Punkt)
e.) (Die folgende Aufgabe hat nichts mit dem Oszillator aus der Skizze zu tun): Skizzieren Sie die Bahn
eines harmonischen Oszillators im Phasenraum. Leiten Sie her, um welche Kurve es sich handelt. Tipp:
Dies geht am einfachsten mit Hilfe der Gesamtenergie. (2 Punkte)
1
x(t)
0.5
0
-0.5
-1
-1
4
0
1
2
3
4
5
6
t
Aufgabe 3: Bewegungsgleichungen (6 Punkte)
m und α seien positive Konstanten und ~v sei die Geschwindigkeit.
Auf eine Masse m wirken:
(i) die Schwerkraft (homogenes Schwerefeld)
(ii) eine viskose Reibungskraft vom Betrag |F~R | = α |~v |.
a.) Stellen Sie nach Newton die Bewegungsgleichungen für x, y und z auf. (2 Punkte)
b.) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für z unter folgender Anfangsbedingung: Die Masse werde aus der
Höhe z0 einfach losgelassen. (3 Punkte)
c.) Die folgende Frage hat nichts mit Teil (a,b) zu tun: Geben Sie je ein Beispiel für (irgend)eine homogene
und eine inhomogene Differenzialgleichung (ohne weitere Erklärung – die DGL an sich reicht aus!).
(1 Punkt)
Sollten Sie a.) nicht geschafft haben, so lösen Sie in b.) ersatzweise folgende DGL für x(t): ẍ−3ẋ+2x = t.
Anfangsbedingung: Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen am Koordinatenursprung in Ruhe. (Diese DGL
hat nichts mit der eigentlich gestellten Aufgabe zu tun.)
1 Zusatzpunkt, wenn Sie ohne diesen Ersatz (weitgehend) richtig rechnen!
5
Aufgabe 4: Analytische Mechanik (8 Punkte)
Gegeben sei ein Teilchen der Masse m, das auf einer Schiene der Form:
z(x) = exp(x)
unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei gleitet. Das Teilchen soll die Schiene nicht verlassen können.
a.) Skizzieren Sie in nebenstehendes Koordinatensystem (eine Grobskizze reicht):
Die Schiene, die Masse, sowie alle auf die Masse wirkenden Kräfte.
Wie viele Freiheitsgrade enthält dieses Problem? (1 Punkt)
b.) Geben Sie von jeder Kraft an, ob sie Zwangskraft oder eingeprägte Kraft ist. (1 Punkt)
c.) Stellen Sie die Lagrangefunktion (in angemessenen Koordinaten) auf. Markieren Sie Ihren Potenzialnullpunkt in der Skizze. (2 Punkte)
d.) Stellen Sie die Bewegungsgleichung(en) nach Lagrange auf. (2 Punkte)
e.) Stellen Sie die Bewegungsgleichung(en) wahlweise nach D’Alembert oder Hamilton auf (im HamiltonFall reichen Bewegungsgleichungen 1. Ordnung). (2 Punkte)
Sollten Sie c.) nicht geschafft haben, so können Sie Teil d.) sowie Teil e.) falls Sie sich für Hamilton
entscheiden ersatzweise mit der hypothetischen Lagrange- und Hamiltonfunktion
L(q, q̇, t) =
m 2
(q̇ + q̇ 2 sin q) − sin q cos q,
2
H(q, q̇, t) =
m 2
(q̇ + q̇ 2 sin q) + sin q cos q
2
rechnen. (Diese Funktionen und die Variable q haben nichts mit der eigentlich gestellten Aufgabe zu tun.)
1 Zusatzpunkt, wenn Sie ohne diesen Ersatz (weitgehend) richtig rechnen!
z
✻
✲
x
6
FORMELSAMMLUNG (darf abgerissen werden)
Zylinderkoordinaten: x = r⊥ cos ϕ,
~er⊥ = (cos ϕ, sin ϕ, 0),
2
v =
2
ṙ⊥
+
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
2 2
r⊥
ϕ̇
2
+ ż ,
~ez = (0, 0, 1).
y = r sin ϑ sin ϕ
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
v 2 = ṙ2 + r2 ϑ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 ϑ,
~eϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ).
~e˙ i′ = ~ω × ~ei′ .
F~
F~H,max = −µH |F~⊥ |
,
|F~ |
~v
Gleitreibung:F~G = −µG |F~⊥ | ,
v
Viskose Reibung: Stokes’sche Reibung: F~R
Newton’sche Reibung: F~R
Eulersche Formeln:
ω = 2πν,
ν = 1/T,
z = r cos ϑ
dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ
Kreisbewegung: ~vrot = ~ω × ~r,
Reibungskräfte: Haftreibung
z=z
dV = r⊥ dr⊥ dϕ dz
Kugelkoordinaten: x = r sin ϑ cos ϕ,
~er = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cosϑ),
y = r⊥ sin ϕ
= −fv~v
= −fv v~v .
exp[±iλt] = cos[λt] ± i sin[λt]
Oszillator: ω02 = k/m,
Pendel: ω02 = g/ℓ
Komplexe Zahlen:
χ = |χ| exp[iϕ],
|χ| =
√ ∗
χχ ,
Re χ =
1
(χ + χ∗),
2
Im χ =
1
(χ − χ∗),
2
tan ϕ =
Im χ
Re χ
Arbeit:
W21 = −
V =−
Z
Z
~
r2
~
r1
F~ d~r. Potenzial (potenzielle Energie): V (~r) = −
x
Fx dx + f (y, z),
d
F~ = p~,
dt
V =−
Z
~ = ~s × F~ ,
N
Galilei-Trafo: x′ = x − vt,
y
Fy dy + f (x, z),
V =−
~ ≡ m(~r × ~r˙ ) = ~r × p~,
L
y ′ = y,
z ′ = z,
Analytische Mechanik:
pi =
∂L
,
∂ q̇i
q̇i =
7
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
Z
Z
~
r
F~ d~r
~
r0
z
Fz dz + f (x, y).
~ = dL
~
N
dt
t′ = t − t0