Formelsammlung Elektrizitätslehre
Werbung
Elektrizitaetslehre.nb 1 Formelsammlung Elektrizitätslehre Mehrfachintegrale Kartesische Koordinaten x1 dx Wegstrecke s : s x x0 a1 Fläche A : A y1 dA r a a0 dx dy y y0 x x0 z1 Volumen V : x1 V y1 x1 dV r V dx dy dz z z0 y y0 x x0 Zylinderkoordinaten H Mantelfläche AM: AM A r d dy z 0 R Deckfläche AD: AD 2 r d dr r 0 H V r2 0 R 2 dV r V 2 rH 0 dA r A Volumen V : 2 dA r r d dr dz z 0r 0 h r2 0 Diese Formelsammlung wurde von Jan Peters (www.jan-peters.net) erstellt und hat vielen Studenten durch ihr Vordiplom geholfen. Den Autoren wuerde ein Link zu seiner Downloadseite............................................................. http://www.jan-peters.net/Miscellaneous/LectureNotes sehr freuen! Elektrizitaetslehre.nb 2 Sphärische oder Kugelkoordinaten 2 Oberfläche AK: Ak dA r sin A 0 Vk 2 dV r sin V r 0 0 R 4 R2 rd 0 R Volumen VK: d d r d dr 0 2 4 r2 sin dr d d r 0 0 3 0 R3 Beispiele Volumenintegral : Q r VdQ Flächenintegral : j r n r dA r r I U dV r V AdI Wegintegral : r A j r dA r A E d r C Basisvektormultiplikation e i e i 0 mit i x, y, z ex ey ez ey ez ey ez e ex ez Y ex ex ez ex ex ez e Y e Y Elektrizitaetslehre.nb 3 Elektrostatik Kräfte zwischen Punktladungen 1 F r qi q 4 r Dielektrizitätskonstante : Permittivitätszahl ri 0 r, r ri 3 0 8.85419 10 12 As , Vm 1. r Elektrische Feldstärke F r E r q Dielektrische Verschiebung E r D r Konservative Kraftfelder F r heißt konservativ F r d r hängt nur von P1 , P2 ab. C P1 ,P2 Kriterium : i, j. Fj Fi xi xj mit i j, wenn der Definitionsbereich einfach zusammenhängend Elektrostatische Felder sind immer konservativ. Energiegehalt des elektrischen Feldes : Wel 1 2 E DV Energiedichte des elektrischen Feldes : wel 1 2 E D Elektrische Arbeit C P2 W12 F r dr C P1 2 1 F r dr d N Fj dxj d C j 1 Elektrizitaetslehre.nb 4 Elektrische Spannung U12 W12 E r dr q C P1 ,P2 Elektrisches Potential r Influenz E UP,Po grad Äquipotentialflächen n, also E senkrecht auf den Äquipot entialflächen. Die Flächen r 0; E Leiter sind Äquipotentialgebiete. Raumladungsdichte r dr3 V r dx dy dz Q V V Oberflächenladungsdichte r da S r u, v V D N r r u v E N Gaußsches Gesetz Dda H qi ri V V r dr3 Q V r da Q V V S S du dv Q S Elektrizitaetslehre.nb 5 Kapazität C Q E r da H U12 E r dr C P1 ,P2 A Plattenkondensator : C d Kugelkondensator : C N Parallelschaltung : Cp Ci Serienschaltung : i 1 "Parallele" Dielektrische Materialien : Q A1 A2 C C1 1 2 U d d "Serielle" Dielektrische Materialien : 1 Q A C d 1 d 2 1 U 1 2 C1 Energiegehalt des Kondensators Wel C2 1 C2 1 2 CU2 1 CS a b 4 a N i 1 b 1 Ci Elektrizitaetslehre.nb 6 Stationäre Ströme Ladungstransport im elektrischen Feld dQ I A Stationäre Ströme : j Eine Trägersorte : j da dt A qn v v mit N N Mehrere Trägersorten : j ji r q n r qi ni v i i 1 i 1 Transport ohne Stoßprozesse Vakuum : 1 2 v1 v t0 0 m v22 0 v21 qU12 2 qU v U m Transport mit Stoßprozessen Leiter : v q sign q µ E mit Beweglichkeit µ Eine Trägersorte : j t m n q µE N N ji Mehrere Trägersorten : j i 1 ni qi µi : E E i 1 Ohmsches Gesetz I GU U RI A G l 1 Spezifischer Widerstand : N Serienwiderstand : Rp Ri Parallelschaltung : i 1 N 1 CS i 1 Ladungserhaltung : dQ V j da dt V Für jede Hüllfläche V : j da V 0 1 Ci Elektrizitaetslehre.nb 7 Netzwerkanalyse N Kirchhoffsche Knotenregel : Ik 0 k 1 N Uk Kirchhoffsche Maschenregel : 0 k 1 Maschenstromanalyse : k Knoten, z Zweige m z k 1 Maschengleichungen Quellen Spannungsquelle : U0 Imax Ri Stromquelle I I0 Ii Uk Ri Ii Ri I0 Ii Leistung Elektrische Leistung : Pel dWel dt qE v Leistungsdichte bei bewegter Raumladung : Pel j E E Verlustleistung bei ohmscher Driftbewegung : Pel Verlustleistung am ohmschen Widerstand : Pel U I RI2 Elektrische Energieübertragungsverluste 1 PE U2E j 2 RL U2 R 2 Elektrizitaetslehre.nb 8 Magnetostatik Lorenzkraft Lorenzkraft : F L qv B Superpositionsprinzip : F Lorenzkraftdichte : fL q v B j B E Magnetfelder leisten keine Arbeit B heißt Magnetische Flußdichte. B Magnetische Feldstärke : H : µ Bewegung im Homogenen Magnetfeld Bvy B B ez Bvx v B dvx q dt m 0 vx t vy t v sin v cos dvx t t0 t t0 v dt Bvy cos dvy q dt m Bvx dvz dt 0 q B t t0 cos t z t0 v t m Gyratorenfrequenz Trajektorie : t x t x t0 vx d x t0 v t0 t 0 y t v y t0 sin Schraubenradius R t t0 z t t0 v Kraft und Drehmoment auf stromführende Leiter F j r Leiter B r d3 r V Linienförmige Leiter : F B r Leiter I dr V Drehmoment einer Leiterschleife : Vektorielle Fläche A : R b Drehmoment : Magnetisches Moment m M I A IA B Elektrizitaetslehre.nb 9 Permabilität und Suszeptibilität Magnetische Permabilität : Magnetische Suszeptibilität : 0 : r r 1 Klassifikation von Materialien : 1 1. r 1, Diamagnetismus durch Induktion atomarer Ringströme, wirkt dem äußeren Feld entgegen. 2. r 1, 1 Paramagnetismus : Orientierung vorhandener atomarer Ringströme 3. r 1 Ferromagnetismus. Magnetische Domänen, Weißsche Bezirke geht oberhalb der Curie Temperatur in Paramagnetismus über. Hysteresekurve: Br: Remanenz HC: Koerzitivkraft Magnetisch hart, Br HC groß Magnetisch weich, Br HC klein Zwei zentrale Aussagen : Magnetostatik : B da 0 Quellenfreiheit d. Magnet. Feldes V H dr Amperésches Durchflutungssesetz : A j da A I A Elektrizitaetslehre.nb 10 Beispiele : I Unendlich langer Draht H e 2 r d F Kräfte zw. zwei unendlich langen Drähten : dz r Spezialfall : Gerader Draht H r e 2 a 12 r 1 Zylindersymmetrischer Verteilung H r I 2 a2 I 2 r I1 I2 12 j r ' r ' dr ' 0 r falls 0 r a Zeichnung falls r a Biosavartsches Gesetz 1 Allgemein : H r j r 4 r r r' r' 3 d3 r V I Linienförmige Leiter : H r 4 r V 0 B da 0 mit k B da k Ak Vm i : H dr Iw Vmi Rm i Rmi i C H dr H k lk Iw B H s ls 0 C B 0 k lk lk k wI s ls Bewegungsinduktion E ind v B Uind d A dt d dt B da A t l A B 0 s s 3 ls s r s I 4 r V Magnetischer Kreis V r ds ds s 3 Elektrizitaetslehre.nb 11 Beispiele : Barlowsches Rad Unipolarmaschine a v B dr Uind B C P1 ,P2 r dr 0 1 B a2 wegen v : 2 r e Galvanomagnetismus In einem leitfähigen Medium bewegen sich Ladungsträger mit Ladung q und Geschwindigkeit v. F j q v B E F E v B q j E el E el E j el 1 v qn v qn j H RH j B mit RH 1 Faktor 0,7 bis 1,3, Meßwert qn Halleffekt : UH EHdr EH d RH j C Ruheinduktion d Uind B dt A t da Allgemeines Induktionsgesetz Leiterschleife A t , Magnetfeld B r, t Uind d dt B r, t d a A d dt A t E A t ind r, t d r B d Elektrizitaetslehre.nb 12 Induktivität Grundsätzliche Annahmen : 1. Orstfeste Anordnung mehrer stromdurchflossener Leiterschleifen dIi erzeugt kein Strahlungsfeld 2. QuasistationäreStröme, dt Spule als Generator d d Uind w w und A B t mit dt dt Spule als Verbraucher dI L Uind dt Verketteter Kraftfluß N i j 1 wi µi 4 d rj Ai Ci ri ri rj rj 2 N da Lij Ij Ij j 1 Lij : f Geometrie,µi Lii heißt Selbstinduktion, Lij heißt Gegeninduktion. Es gilt Lij Lji . Elektrizitaetslehre.nb 13 Transformator Allgemein : Uj I j Rj Uind,j N Uj Ij Rj Ljk k 1 dIk dt Spezialfall : Zwei Spulen u1 t L11 I 1 L12 I 2 u2 t L21 I 1 L22 I 2 Man definiert L1 : L11 ; L2 : L22 ; M : L12 L21 Spannungsübersetzung : U2 L21 M U1 I2 0 L11 Stromübersetzung : I2 L12 L1 I1 I2 U2 Kopplungsfaktor : U1 U2 0 I2 0 I1 L22 M L2 M U2 0 L1 L2 Spezialfall : Dreischenkelkern Rm1 Rm2 N L11 L1 L22 w21 N Rm2 Rm3 Rm2 w22 L2 N L21 L12 Rm2 Rm3 Rm1 Rm1 M Rm3 w1 w1 N Rm3 Rm2 Spannungsübersetzung : U2 w2 Rm3 I2 0 U2 U1 Rm3 R2m3 2 U1 Rm1 Rm3 I2 0 Rm2 Rm3 w1 Stromübersetzung : I2 Rm3 I1 w2 I2 w1 I1 U2 0 Rm1 w1 U2 0 w2 w1 Rm3 w2 falls Rm1 Rm2 Elektrizitaetslehre.nb 14 Energieinhalt bei Stromanstieg I 1 LIdI Wmag 2 LI2 1 I 2 I 0 Energiedichte Wmag wmag V 1 1 H B 2 µ H 2 2 Wechselstromlehre Grundlagen t t 0 B da t A B cos t A t d u t D cos t sin t t : u t D sin max dt t U sin t cos t i t D t 0 und U U cos u U sin u t I Vernachlässigungen bei 1 Vernachlässigung parasitärer Elemente : di LP uLp u dt du CP iCp i dt u i 1 1 ; min i u CP LP 2 t . ik t 2 f R, L, C 0 k 3 t uk t . k ue eingeprägte Spannungsquellen 4 MHz Elektrizitaetslehre.nb 15 Komplexe Darstellung U t U cos sin u u t t U ej Für lineare Bauelement U arg Z u i Z arctan t u I I I ej i t Komplexer Leitwert Y 1 Z Im Z Re Z Effektivwerte Ieff 1 T T i2 t dt 0 1 I 1 Ueff 2 U 2 Leistung Momentanleistung : Pm Scheinleistung : PS Blindleistung : PB 1 2 1 2 1 2 U I cos UI u i Ieff Ueff cos i Ieff Ueff sin Ieff Ueff U I sin u auch Wirkleistung
