Nachklausur - Freie Universität Berlin

Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin
NACHKLAUSUR
ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK)
Wintersemester 13/14
Montag, 14.4.14, 14:15 Uhr
0
1
2
3
4
P
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5
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22
Name:
Geburtsdatum:
Matrikelnummer:
Studienfach (bei Lehramt: Fächerkombination):
Falls Sie wünschen, dass ich Ihr Ergebnis im Blackboard veröffentliche, geben
Sie hier bitte (in Blockschrift!) ein 5-stelliges Codewort/ eine Code-Nr. an
(evt. die ersten oder letzten Ziffern Ihrer Matrikelnr.)
Unterschrift: (ist erforderlich!)
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Erlaubte Hilfsmittel: Hinweise und Warnungen:
Die Klausur darf nicht mit Bleistift
geschrieben werden.
√
Konstanten wie z.B. 4πǫ0 , e, 2 müssen nicht berechnet werden.
Vereinfachen und kürzen Sie die Ergebnisse – soweit nicht ausdrücklich anders angegeben – soweit wie möglich.
Wenn Sie neue Bezeichnungen einführen, so erläutern Sie diese, evt. anhand
einer Skizze!
Rechnen Sie überall in SI-Einheiten.
Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.
1
Aufgabe 0: Grundwissen
Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage!
1. An welchen Werten für x schneiden sich die beiden Funktionen:
f1 (x) = −x2 + 8
und f2 (x) = x2
2. Rechnen Sie folgende Einheiten entweder in Newton oder in Joule um und geben Sie in beiden Fällen
an, welche physikalische Größe davon bezeichnet wird (z.B.: Masse, Geschwindigkeit, Kraft, etc.)
(i)
kg · cm2
,
s2
(ii)
g·m
s2
(i)
(ii)
3. Schreiben Sie als Produkt (aus 2 Faktoren!):
x2 − a2
(Kein Faktor darf gleich 1 sein!)
4. Welche der folgenden Größen sind Vektoren aus R3 ? (Unterstreichen reicht):
Arbeit,
Geschwindigkeit,
kinetische Energie,
Impuls
Maximal 2 Minuspunkte.
2
Aufgabe 1: Vermischtes (6 Punkte)
(Die Größen sind absichtlich dimensionslos gehalten, d.h. Einheitsgrößen wie z.B. F0 wurden auf 1 gesetzt
und spielen für die Rechnungen keine Rolle.)
m und ω sind positive Konstanten.
a.) Erklären Sie anhand eines einfachen mechanischen Beispiels Ihrer Wahl, was eine Bewegungsgleichung
ist und wie man mit Hilfe der Newton’schen Axiome eine Bewegungsgleichung aufstellen kann. (Es muss
erkennbar sein, welches Problem in Ihrem Beispiel dargestellt wird.) (1,5 Punkte)
b.) Gegeben sei das Kraftfeld F~ = (ey , 1, x/z). Berechnen Sie die Arbeit, um einen Körper auf direktem
Weg vom Punkt P1 = (0, 1, 0) zum Punkt P2 = (1, 2, 1) zu befördern. (2,5 Punkte)
c.) Gegeben sei das Kraftfeld
F~ = (1, x, 0).
Zeichnen Sie dieses Kraftfeld in das nebenstehende xy-Koordinatensystem in allen vier Quadranten. (Wenn
der 1. Versuch misslingt, können Sie auch selbst ein Achsensystem zeichnen.) (1 Punkt)
d.) Ist die Kraft aus c.) konservativ (mit Begründung)? (1 Punkt)
y
✻
1
✲ x
1
3
Aufgabe 2: Analytische Mechanik (5 Punkte)
α sei eine positive Konstante.
Gegeben seien zwei Punktmassen m1 und m2 , die sich beide (eindimensional) entlang der x-Achse bewegen, wobei m1 sich immer rechts von m2 aufhalte. Zwischen beiden Massen herrsche das (hypothetische)
Potenzial (potenzielle Energie)
α
V =
.
x1 − x2
a.) Wie lautet die Lagrange-Funktion dieses Problems? Wie viele Freiheitsgrade gibt es? (1 Punkt)
b.) Stellen Sie die Bewegungsgleichung(en) auf. (2 Punkte)
c.) Ziehen sich die beiden Massen an oder stoßen sie sich ab? [Erinnerung: α > 0.] Mit Begründung!
(1 Punkt)
d.) Was ist eine zyklische Koordinate? (1 Punkt)
1 Zusatzpunkt, wenn Sie (ohne Rechnung) kurz darstellen, wie sich in diesem Problem eine zyklische
Koordinate einführen lässt!
4
Aufgabe 3: Trägheitstensor (5 Punkte)
R und ρ0 seien positive Konstanten.
Gegeben sei eine Halbkugel (oberer Halbraum) vom Radius R und der Massendichte ρ(r, ϑ, ϕ) = ρ0 cos ϑ,
mit der z-Achse als Symmetrieachse.
a.) Berechnen Sie die beiden Trägheitsmomente Izz und Ixy in Bezug auf den Koordinatenursprung. (Die
explizite Rechnung ist in beiden Fällen verlangt!)
(3 Punkte)
b.) Tragen Sie die errechneten Trägheitsmomente in der folgenden Matrix ein und ergänzen Sie alle jetzt
noch fehlenden Elemente ohne weitere Rechnung. (1 Punkt)
 3

5
0
20 ρ0 πR




3
5
ˆ


I =
0
20 ρ0 πR



c.) Die Halbkugel soll nun mit der Winkelgeschwindigkeit Ω0 um die y-Achse rotieren. Welche kinetische
Energie besitzt sie bei dieser Rotation?
(Wenn Sie a.) und/oder b.) nicht geschafft haben, führen Sie evt. fehlende Elemente bitte als Konstanten
mit.) (1 Punkt)
1/2 Zusatzpunkt, wenn Sie (weitgehend) richtig rechnen!
5
Aufgabe 4: Thermodynamik (6 Punkte)
Gegeben sei ein ideales Gas, beschrieben durch seine Temperatur T , Druck p, Volumen V , Teilchenzahl N ,
Teilchendichte n = N/V .
a.) Im 1. Fall sei das Gas im Volumen V fest eingeschlossen (Temperatur T1 , Druck p1 , Dichte n1 ). Teilchenzahl N und Volumen V seien im Folgenden auf jeden Fall konstant. Das Gas werde (durch Wärmezufuhr
durch die Wände) auf T2 = 3T1 erwärmt. Haben sich die Anfangsgrößen p1 , n1 sowie die durchschnittliche
kinetische Energie hEkin1 i eines Gasmoleküls geändert, nachdem sich erneut ein Gleichgewicht eingestellt
hat? Wenn ja, auf welche Werte (im Vergleich zu den Anfangswerten)? (2 Punkte)
b.) Im 2. Fall befinde sich das Gas zwar wieder im festen Volumen V (z.B. Zimmer), es könne aber Gas
entweichen (Verlust an Teilchen, z.B. über Schlüsselloch oder Fensterritzen), so dass die ganze Zeit auch
ein fester Druck p herrsche. Das Gas werde wieder von T1 auf T2 = 3T1 erwärmt. Ändert sich dadurch die
mittlere kinetische Energie hEkin1 i eines Gasmoleküls? Wenn ja, wie? Ändert sich die insgesamt im Gas
enthaltene innere (kinetische) Energie? Wenn ja, wie? (3 Punkte)
c.) Definieren Sie die Begriffe ”Adiabatischer Prozess” und ”Isothermer Prozess” im Unterschied zueinander.
(Eine Skizze kann hilfreich sein). (1 Punkt)
1/2 Zusatzpunkt, wenn Sie (weitgehend) richtig rechnen!
6
FORMELSAMMLUNG (darf abgerissen werden)
Zylinderkoordinaten: x = r⊥ cos ϕ,
~er⊥ = (cos ϕ, sin ϕ, 0),
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
2
2 2
v 2 = ṙ⊥
+ r⊥
ϕ̇ + ż 2 ,
~ez = (0, 0, 1).
y = r sin ϑ sin ϕ
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
v 2 = ṙ2 + r2 ϑ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 ϑ,
~eϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ).
~e˙ i′ = ~ω × ~ei′ .
F~
,
F~H,max = −µH |F~⊥ |
|F~ |
~v
Gleitreibung:F~G = −µG |F~⊥ | ,
v
Viskose Reibung: Stokes’sche Reibung: F~R
Newton’sche Reibung: F~R
Eulersche Formeln:
ω = 2πν,
= −fv~v
= −fv v~v .
exp[±iλt] = cos[λt] ± i sin[λt]
Oszillator: ω02 = k/m,
ν = 1/T,
z = r cos ϑ
dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ
Kreisbewegung: ~vrot = ~ω × ~r,
Reibungskräfte: Haftreibung
z=z
dV = r⊥ dr⊥ dϕ dz
Kugelkoordinaten: x = r sin ϑ cos ϕ,
~er = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cosϑ),
y = r⊥ sin ϕ
Pendel: ω02 = g/ℓ
Komplexe Zahlen:
χ = |χ| exp[iϕ],
|χ| =
√ ∗
χχ ,
Re χ =
1
(χ + χ∗),
2
Im χ =
1
(χ − χ∗),
2
tan ϕ =
Im χ
Re χ
Arbeit:
W21 = −
V =−
Z
Z
~
r2
~
r1
F~ · d~r. Potenzial (potenzielle Energie): V (~r) = −
x
Fx dx + f (y, z),
d
F~ = p~,
dt
V =−
Z
~ = ~s × F~ ,
N
Galilei-Trafo: x′ = x − vt,
y
Fy dy + f (x, z),
V =−
~ ≡ m(~r × ~r˙ ) = ~r × p~,
L
y ′ = y,
∂L
,
∂ q̇i
q̇i =
∂H
,
∂pi
z ′ = z,
ṗi = −
∂H
∂qi
Hilfen zum Trägheitstensor:
Ixx =
X
mi (yi2 + zi2 ),
i
Ixy = −
3
1 X
Trot =
Ωα Ωβ Iˆα,β ,
2
α,β=1
7
X
mi xi yi
i
~ = IˆΩ.
~
L
~
r
~
r0
F~ · d~r
z
Fz dz + f (x, y).
~
~ = dL
N
dt
Analytische Mechanik:
pi =
Z
Z
t′ = t − t0