Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik

Leibniz Universität Hannover · Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik
Formelsammlung
Grundlagen der Elektrotechnik
H. Haase, H. Garbe
Leibniz Universität Hannover · Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik
Formelsammlung
Grundlagen der Elektrotechnik
H. Haase, H. Garbe
Siebte überarbeitete Auflage
Druck November 2010
Vorwort
In dieser Broschüre sind Definitionen und Formeln zur Vorlesung Grundlagen der
Elektrotechnik an der Universität Hannover zusammengestellt. Großes Gewicht ist
auf selektive Lesbarkeit und ausreichende Erklärung der Symbole gelegt.
Die neun Kapitel behandeln Felder und Netzwerke. Ein ausführlicher Anhang stellt
die häufiger gebrauchten mathematischen Hilfsmittel zusammen. In der Feldtheorie
unerlässliche Integral- und Ableitungsoperationen, die dem Anfänger Schwierigkeiten bereiten, sind koordinatenunabhängig erklärt, wodurch das Wesen der Begriffe
deutlicher hervortritt.
Formeln bilden das Gerüst jeder Ingenieurwissenschaft. Trotzdem muss man nur
einen kleinen Teil davon auswendig kennen. Wichtiger ist es, die hinter den Formeln
stehenden Modelle und Methoden zu beherrschen.
Ob man eine Formel verstanden hat, überprüft man am besten nach einem Gedanken des englischen Physikers P. A. M. Dirac:
,,I understand what an equation means if I have a way of figuring out the
characteristics of its solution without actually solving it.”
Die Autoren hoffen, dass die Sammlung nicht nur beim Lösen von Aufgaben und
Bestehen von Prüfungen hilft, sondern auch über das Studium der Grundlagen der
Elektrotechnik hinaus verwertbar bleibt.
Hannover, Oktober 2001
Helmut Haase und Heyno Garbe
Vorwort zur siebten Auflage
Es wurden einige Druckfehler berichtigt. Falls Sie Anregungen zu Form und Inhalt
der Sammlung geben möchten oder weitere Fehler erkannt haben, schreiben Sie bitte
an [email protected].
Hannover, Oktober 2008
Helmut Haase und Heyno Garbe
Inhaltsverzeichnis
1 Gleichstromnetzwerke
5
2 Elektrostatik
10
3 Stationäres elektrisches Strömungsfeld
18
4 Magnetisches Feld
21
5 Netzwerke mit beliebigem Zeitverlauf von Strom und Spannung
32
6 Periodische und harmonische Größen
34
7 Lineare Netzwerke mit harmonischen Strömen und Spannungen
37
8 Dreiphasensystem mit harmonischen Strömen und Spannungen
44
9 Instationäre Vorgänge in linearen, zeitinvarianten Netzwerken
47
A Mathematik
49
B Mechanik
60
C Wärmelehre
62
D Tabellen
63
Index
68
4
1
Gleichstromnetzwerke
1.1
I=
1.2
Strom als Ladungsdurchsatz pro Zeit
dQD
dt
QD (t) verläuft linear mit der
Zeit t, wenn I Gleichstrom. Der
(Bezugs-)Pfeil legt die Bezugsorientierung fest.
I, QD
Ladungsdurchsatz
Zt
QD (t) =
I(τ )dτ
t0
1.3
Spannung eines Zweipols
U12 =
1.4
dW
dQD
R=
1.7
r=
1.8
G=
U12
1
W
2
Zweipol
QD
QD
P : Punkt im Netzwerk. B: Bezugspunkt im Netzwerk. Das
dort herrschende Bezugspotenzial ϕB ist frei wählbar.
Spannung als Potenzialdifferenz
U12 = ϕ1 − ϕ2
1.6
U12 : Spannung von Klemme 1 nach Klemme 2. dW :
elektrische Energiezufuhr von
außen während einer genügend
kurzen
Zeitspanne.
dQD :
Ladungsdurchsatzerhöhung
während derselben Zeitspanne
Potenzial
ϕP = UP B + ϕB
1.5
QD ist zeitabhängig. QD (t0 ) = 0. dτ : Zeitinkrement. Wenn
I Gleichstrom: QD (t) = I(t − t0 ).
U12 : Spannung von Klemme 1 nach Klemme 2, vgl. 1.3
Widerstand
U
I
Verbraucherpfeilsystem (VS) vorausgesetzt, siehe 1.22
Differentieller Widerstand
dU
dI
Verbraucherpfeilsystem (VS) vorausgesetzt, siehe 1.22
Leitwert
I
1
=
R
U
Verbraucherpfeilsystem (VS) vorausgesetzt, siehe 1.22
5
1.9
P =
Leistung eines Zweipols
dW
= UI
dt
1.10
Aufnahme oder Abgabe von Leistung je nach Vorzeichen
ihres Werts und Wahl des Bezugssystems (VS oder ES,
vgl. 1.22)
Elektrische Energie
Zt2
W12 =
P dt
t1
1.11
η=
Wirkungsgrad
PN
PN
=
PA
PN + PV
1.12
PN : Nutzleistung. PA : aufgewandte Leistung. PV : Verlustleistung
Kirchhoff ’scher Knotenpunktsatz
X
d Iµ = 0
µ
1.13
Vom Knotenpunkt abfließende Ströme werden addiert,
zufließende Ströme werden subtrahiert (Hüllensumme).
Kirchhoff ’scher Maschensatz, Form 1
X
d Uµ = 0
µ
1.14
Quellen gehen mit ihrer Quellenspannung Uq ein. Spannungen mit Bezugspfeil in Umlaufrichtung werden addiert,
Spannungen mit Bezugspfeil entgegen der Umlaufrichtung
werden subtrahiert (Umlaufsumme).
Kirchhoff ’scher Maschensatz, Form 2
X
X
d Uµ = d e Uν
µ
ν
1.15
Quellen gehen mit ihrer eingeprägten Spannung e Uν ein.
Die Umläufe zur Berechnung der linken und der rechten
Summe sind gleich zu orientieren. Spannungen mit Bezugspfeil in Umlaufrichtung werden addiert, Spannungen mit
Bezugspfeil entgegen der Umlaufrichtung werden subtrahiert. Dasselbe gilt für die eingeprägten Spannungen (Umlaufsummen).
Ohm’sches Gesetz
U = RI
1.16
R=
Elektrische Energiezufuhr während t1 ≤ t ≤ t2 . Wenn P
konstant: W12 = P (t2 − t1 )
Verbraucherpfeilsystem(VS) vorausgesetzt, siehe 1.22
Widerstand eines stabförmigen Leiters
ρl
A
1.17
1.17.1
ρ: spezifischer Widerstand. l: Leiterlänge.√ A: Leiterquerschnittsfläche. Der Leiter muss gemäß l À A schlank sein.
Temperatureinf luss auf Widerstand
Lineare Näherung
R = R0 [1 + α0 (ϑ − ϑ0 )]
ϑ: Temperatur. R0 = R(ϑ0 ).
Temperaturbeiwert zu ϑ0 .
6
α0 : linearer Widerstands-
1.17.2
Quadratische Näherung
R = R0 [1 + α0 (ϑ − ϑ0 ) + β0 (ϑ − ϑ0 )2 ]
β0 : quadratischer Widerstands-Temperaturbeiwert zu ϑ0
1.18
Reihenschaltung: Widerstand und Spannungsteilerregel
Rres =
P
µ
Rµ
Durch die Widerstände fließt derselbe Strom.
Uν
Rν
=
Uµ
Rµ
1.19
Parallelschaltung: Leitwert und Stromteilerregel
Gres =
P
µ
Gµ
An den Widerständen liegt dieselbe Spannung.
Iν
Gν
=
Iµ
Gµ
1.20
Stern-Dreieck-Umwandlung
1.20.1
Vom Dreieck zum Stern
R1 =
R12 R31
R12 + R23 + R31
R2 =
R23 R12
R12 + R23 + R31
R3 =
R31 R23
R12 + R23 + R31
1.20.2
G12
G23
1.21.1
3
R3 =
1
R1 =
G1
1
Vom Stern zum Dreieck
G1 G2
=
Das Zielnetzwerk und das AusG1 + G2 + G3
gangsnetzwerk haben gleiches
Klemmenverhalten.
G2 G3
=
G1 + G2 + G3
G31 =
1.21
Das Zielnetzwerk und das Ausgangsnetzwerk haben gleiches
Klemmenverhalten.
G3 G1
G1 + G2 + G3
R2 =
1
G3
1
G2
2
3
1
R13 =
G13
R 23 =
R12 =
1
1
G 23
1
G12
2
Aktive lineare Zweipole
Kennlinienmodell
U = UL −
UL
I
IK
U : Klemmenspannung. I: Klemmenstrom. UL : Leerlaufspannung. IK : Kurzschlussstrom.
Der Zweipol ist im Erzeugerpfeilsystem (ES) beschrieben.
7
U
UL
IK
I
1.21.2
Ersatzspannungsquelle
U = Uqe − Rie I
Uqe = UL
UL
IK
Rie =
1.21.3
Rie
Uqe :
Ersatzquellenspannung.
Rie : Ersatzinnenwidestand. Der
Zweipol ist im Erzeugerpfeilsystem (ES) beschrieben.
I
P
U
Ra
Gie U
Ga
Uqe
Ersatzstromquelle
I = Iqe − Gie U
Iqe = IK
IK
1
=
UL
Rie
Gie =
1.21.4
Iqe : Ersatzquellenstrom. Gie : Ersatzinnenleitwert. Der Zweipol
ist im Erzeugerpfeilsystem (ES)
beschrieben.
Iqe
I
P
Leistungsanpassung
Ra = Rie
oder
Ga = Gie
oder
U=
UL
2
oder
I=
IK
2
Die Bedingungen sind gleichwertig und führen zur maximalen Leistung in der Last Ra oder Ga .
1.21.5
Γ=
Überlagerungssatz
n
X
Γi
i=1
1.22
Γ: zu berechnende Netzwerksgröße (Strom, Spannung oder
Potential) in einem Netzwerk mit n Quellen. Γi : Wert, den
Γ hätte, wenn nur die i-te Quelle wirkt und die Quellenspannungen und Quellenströme aller anderen n − 1 Quellen
auf den Wert null eingestellt sind. Die Γi sind mit den üblichen Netzwerksmethoden zu berechnen. Anwendbar nur auf
lineare Probleme!
Bezugspfeilsysteme für Zweipole (ZP)
Die beiden folgenden Bilder definieren die Koordination der Bezugspfeile (Zählpfeile) für
das jeweilige Pfeilsystem.
1.22.1
Verbraucherpfeilsystem (VS)
Bezugspfeile von U und I sind gleich orientiert. Leistung P = U I zählt als Leistungsaufnahme.
I
½
Wenn
U I > 0,
U I < 0,
dann ist ZP
Verbraucher
Erzeuger
8
¾
.
P
Zweipol
U
1.22.2
Erzeugerpfeilsystem (ES)
Bezugspfeile von U und I sind entgegengesetzt orientiert. Leistung P = U I zählt
als Leistungsabgabe.
I
½
Wenn
1.22.3
U I > 0,
U I < 0,
Erzeuger
Verbraucher
dann ist ZP
¾
.
U
P
Zweipol
Bezugssinn und Richtungssinn
Der Bezugssinn einer skalaren Größe (Strom, Ladungsdurchsatz, Spannung, Leistung,
Energie u. v. a.) ist durch Wahl des Bezugspfeils (Zählpfeils) willkürlich festlegbar.
Wenn der physikalische Richtungssinn (=positiver konventioneller Richtungssinn) mit
dem Bezugssinn übereinstimmt, ist der Wert der Größe positiv; bei negativem Wert
ist ihr physikalischer Richtungssinn dem Bezugssinn entgegengesetzt.
1.22.4
Orientierung und Richtung
Wird für eine Netzwerkmasche, einen Weg oder eine Kurve ein Durchlaufsinn ausgezeichnet, so heißt dieser (positive) Orientierung. Der entgegengesetzte Durchlaufsinn
heißt negative Orientierung. Dagegen abzugrenzen ist die Richtung eines Vektors.
9
2
Elektrostatik
2.1
Ladung eines Raumgebietes (wahre Ladung)
Q = Q+ + Q−
2.2
Ladungsverteilungen
2.2.1
Punktladung
QP , q
2.2.2
Q+ : positive Ladung (Q+ > 0, z. B. positive Ionen)
Q− : negative Ladung (Q− < 0, z. B. Elektronen)
In einem Punkt konzentrierte Ladung
Raumladungsdichte und Raumladung
dQ
dV
Z
Q = ρdV
ρ=
V: Ladungsgebiet. ρ: Raumladungsdichte. dQ: Ladungselement. dV : Volumenelement. Q: Raumladung
V
2.2.3
Flächenladungsdichte und Flächenladung
dQ
dA
Z
Q = σdA
σ=
A: Ladungsfläche. σ: Flächenladungsdichte. dQ: Ladungselement. dA: Flächenelement. Q: Flächenladung
A
2.2.4
Linienladungsdichte und Linienladung
dQ
ds
Z
Q = λds
λ=
S: Ladungslinie. λ: Linienladungsdichte. dQ: Ladungselement. ds: Linienelement. Q: Linienladung
S
2.3
2.3.1
Elektrischer Dipol
Dipolmoment bei endlichem Ladungsabstand
p~ = Q~a
2.3.2
p~ =
~a: Versatz der mit Q bezeichneten Ladung gegen die mit −Q bezeichnete. ~ea : Einheitsvektor von
~a
Q
−Q
~a = a~ea
Dipolmoment eines Punktdipols
lim
a→0
Q→∞
Q~a
a und Q gehen bei ~ea = konst gleichzeitig so gegen 0 bzw.
∞, dass p~ seinen Wert beibehält. ~e : Einheitsvektor von ~a
10
2.3.3
Dipolmoment einer elektrisch neutralen Ladungsverteilung
P
p~ =
Qi~ri
Den Ursprung 0 des Ortsveki
tors ~ri bzw. ~r zweckmäßig in die
Z
Qi bzw. ρ dV
Gegend des Ladungssystems lep~ = ~rρ dV
gen! Die Ladungsverteilung muss
r
r
V
ganz im Endlichen liegen. V: Lari bzw. r
0
dungsgebiet
2.4
Elektrische Polarisation
d~
p
P~ =
dV
2.5
Elektrische Feldstärke
~
~ =F
E
q
2.6
2.6.1
F~ : Kraft auf die Punktladung q.
Elektrische Flussdichte
Darstellung mit Polarisation
~ = ε0 E
~ + P~
D
2.6.2
2.7.1
U12
~
E
entspricht
ε: elektrische Permittivität. εr : relative elektrische Permit~ entspricht εr = konst.
tivität. P~ ∼ E
Die relative elektrische Permittivität εr und die elektrische
Suszeptibilität χe sind Stoffwerte.
Spannung
Definition
Z
~ s
=
Ed~
S12
2.7.2
∼
Permittivität und Suszeptibilität
εr = 1 + χe
2.7
χe : elektrische Suszeptibilität. P~
χe = konst.
Darstellung mit relativer Permittivität
~ = ε0 εr E
~ = εE
~
D
2.6.4
~ abhängig. ε0 : elektrische Feldkonstante. D
~ wird
P~ ist von E
auch als elektrische Erregung oder elektrische Verschiebung
(displacement) bezeichnet.
Darstellung mit elektrischer Suszeptibilität
~ = ε0 (1 + χe )E
~
D
2.6.3
d~
p: Dipolmoment im Volumenelement dV
U12 : Spannung längs des Weges S12 , der von Punkt 1 nach
Punkt 2 führt. Im elektrostatischen Feld hängt sie nicht
vom Verlauf des Weges, sondern nur von der Lage seines
Anfangs- und Endpunkts ab.
Potenzial und Spannung
ϕ1 = U1B + ϕB
ϕ1 : Potenzial in Punkt 1. B: Bezugspunkt. ϕB : Bezugspotenzial. Meistens wird ϕB = 0 gesetzt.
11
2.7.3
Spannung als Potenzialdifferenz
U12 = ϕ1 − ϕ2
2.8
Elektrische Energie
~
W12 : Arbeit, die das E−Feld
an der Punktladung q auf dem
Weg von 1 nach 2 verrichtet
W12 = qU12
2.9
Elektrischer Fluss
Z
~ A
~
Dd
Ψ=
A: orientierte Bilanzfläche, durch die der Fluss tritt.
~ vektorielles Flächenelement
dA:
A
2.10
d
dt
ϕ1,2 : Potenziale in den Punkten 1,2. Identisch mit 1.5
Z
Ladungserhaltungssatz der Elektrostatik
ρdV = 0
V: Bilanzvolumen. ρ: Raumladungsdichte, siehe 2.2.2
V
2.11
I
Wirbelfreiheit des elektrostatischen Felds
~ s=0
Ed~
~
gilt für das E-Feld
beliebiger ruhender Ladungsverteilungen und für beliebige Umlaufwege ∂A. Oben: Integralform,
unten: Differentialform
∂A
~ =0
rotE
2.12
I
Gauß’scher Satz
Z
~ A
~=
Dd
dQ
G
∂V G
~ = ρ.
divD
2.13
2.13.1
Feldeigenschaften an Permittivitäts-Grenzf lächen
Tangentialkoordinate der elektrischen Feldstärke
Et1 = Et2
2.13.2
Et1,2 : Tangentialkoordinaten der elektrischen Feldstärken
~ 1,2 an der Grenzfläche
E
Normalkoordinate der elektrischen Flussdichte bei ladungsfreier
Grenzf läche
Dn1 = Dn2
2.13.3
G:Ladungsgebiet. ∂V G : Hülle um Ladungsgebiet. Bei
Raumladung: dQ=ρdV, bei Flächenladung: dQ=σdA, bei
~
Linienladung: dQ=λds. Das D-Feld
ist ein Quellenfeld. Gilt
auch für bewegte Ladungen. Oben: Integralform, unten:
Differentialform. Grundgleichung
Dn1,2 : Normalkoordinaten der elektrischen Flussdichten
~ 1,2 an der Grenzfläche
D
Normalkoordinate der elektrischen Flussdichte bei ladungsbehafteter Grenzf läche
Dn2 − Dn1 = σ
Dn1,2 : Normalkoordinaten der elektrischen Flussdichten
~ 12 an der Grenzfläche. Koordinatenachse von Stoff 1
D
nach Stoff 2 orientiert. σ: Flächenladungsdichte auf der
Grenzfläche
12
2.13.4
Brechungsgesetz bei ladungsfreier Grenzf läche
tan α1
ε1
=
tan α2
ε2
2.14
~ 1,2 und Grenzflächennormalen.
α1,2 : Winkel zwischen E
ε1,2 : Permittivitäten von Stoff 1, 2
Felder im Raum mit konstanter Permittivität
2.14.1
Elektrische
Integral)
Z
1
dQ
~
D=
~e
4π
a2
G
Flussdichte
einer
Ladungsverteilung
(Coulomb-
~ elektrische Flussdichte im Aufpunkt. G: LadungsgeD:
biet. a~e: Vektor vom dQ-Ort zum Aufpunkt; bei Raumladung: dQ=ρdV, bei Flächenladung: dQ=σdA, bei Linienladung: dQ=λds
2.14.2
Elektrisches Potenzial einer Ladungsverteilung
Z
1
dQ
ϕ=
ϕ: elektrisches Potenzial im Aufpunkt. G: Ladungsgebiet.
4πε
a
a: Abstand vom dQ-Ort zum Aufpunkt; bei RaumlaG
dung: dQ=ρdV, bei Flächenladung: dQ=σdA, bei Linienladung: dQ=λds.
2.14.3
Q
~e
4πa2
~ =
D
2.14.4
ϕ=
Elektrische Flussdichte einer Punktladung
Elektrisches Potenzial einer Punktladung
Q
4πεa
2.14.5
Homogenes Feld beiderseits der geladenen Ebene. ~e: Einheitsnormalenvektor von Ebene zum Aufpunkt. σ: konstante Flächenladungsdichte
Elektrische Flussdichte und Potenzial eines Punktdipols
p + 3(~
p ~e)~e
~ = −~
D
3
4πa
ϕ=
Zylinderfeld (ebenes Radialstrahlenfeld) mit der Linienladung als Achse. a~e: Abstandsvektor von Linienladung zum
Aufpunkt. λ: konstante Linienladungsdichte
Elektrische Flussdichte einer unendlich ausgedehnten ebenen
Flächenladung
~ = σ ~e
D
2
2.14.7
a: Abstand von der Punktladung Q zum Aufpunkt
Elektrische Flussdichte einer unendlich langen geraden Linienladung
~ = λ ~e
D
2πa
2.14.6
Zentralfeld (räumliches Radialstrahlenfeld) mit der Punktladung Q im Zentrum. a~e: Vektor von Q zum Aufpunkt
p~ ~e
4πεa2
p~: Dipolmoment. a~e: Abstandsvektor vom Dipol zum Aufpunkt. Die Gleichung gilt auch für das Fernfeld von Dipolen
mit endlichem Ladungsabstand.
13
2.14.8
Elektrisches Potenzial eines polarisierten Körpers


I
~ Z divP~
1  P~ dA
ϕ=
−
dV 
4πε0
a
a
∂V
V
∂V: Körperoberfläche. V: Körpergebiet. a: Abstand vom
Flächen- bzw. Volumenelement zum Aufpunkt
2.15
Polarisations-Ladungsdichten
2.15.1
Polarisations-Flächenladungsdichte
~ en = Pn
σP = P~
2.15.2
Polarisations-Raumladungsdichte
ρP = −divP~
2.16
P~ : Polarisation an der Körperoberfläche. ~en : äußerer Normaleneinheitsvektor des Oberflächenelements
Bei homogen polarisiertem Körper gilt ρP = 0.
Elektrische Feldstärke aus elektrischem Potenzial
2.16.1
Koordinate
dϕ
Es = −
ds
2.16.2 Vektor
~ = −gradϕ
E
2.17
~ steht senkrecht auf Äquipotenzialflächen und zeigt zum
E
niederen Potenzial ϕ.
Kondensatoren
2.17.1
C=
~
Es : s-Koordinate der elektrischen Feldstärke E
Kapazität
Q1
Q2
=
U12
U21
2.17.2
C=ε
2.17.3
für Zweielektroden-Anordnung mit Q1 + Q2 = 0
Kapazität eines Plattenkondensators
A
d
d: Plattenabstand. A: Plattenfläche. ε: Permittivität√des
Stoffes zwischen den Platten. Vorausgesetzt ist d ¿ A.
Kapazität eines Zylinderkondensators
C = 2πε
l
ra
ln
ri
ri : Innenradius. ra : Außenradius. l: Länge. ε: Permittivität des Stoffes zwischen den Elektroden. Vorausgesetzt ist
l À ri , ra .
2.17.4
Kapazität eines Kugelkondensators
ri ra
C = 4πε
ri : Innenradius. ra : Außenradius. ε: Permittivität des Stofra − ri
fes zwischen den Elektroden
14
2.17.5
Cres
Parallelschaltung: Kapazität und Ladungsteilerregel
P
= Cµ
An den Kondensatoren liegt dieselbe Spannung.
µ
Qν
Cν
=
Qµ
Cµ
2.17.6
Reihenschaltung: Kapazität und Spannungsteilerregel
P 1
1
=
Cres
µ Cµ
Die Kondensatoren tragen die gleiche Ladung.
Uν
Cµ
=
Uµ
Cν
2.17.7
W =
Energieinhalt eines Kondensators
1
QU
2
2.17.8
Energiedichte des elektrischen Felds
dW
1
= DE
dV
2
2.18
Vorausgesetzt ist C = konst., was einer linearen LadungsSpannungs-Kennlinie q(u) entspricht.
Vorausgesetzt ist ε = konst., was einer linearen FlussdichteFeldstärke-Kennlinie d(e) entspricht.
Kräfte und Momente
2.18.1
Coulomb’sches Gesetz
1 Qq
F~ =
F~q : Kraft auf Punktladung q im Feld der Punktladung Q.
~eQq
4πε a2
Der Abstandsvektor a~eQq ist von Q nach q gerichtet.
2.18.2
Kraft auf Punktladung, Coulombkraft
~
F~ = QE
2.18.3
Kraftdichte in Raumladung
~
f~ = ρE
ρ: Raumladungsdichte
2.18.4
Kraft auf Punktdipol
³ ´
~
~ homogen: F~ = 0
F~ = grad p~E
p~: Dipolmoment. Wenn E
2.18.5
Drehmoment auf Punktdipol
~ = p~ × E
~
M
p~: Dipolmoment
15
2.18.6
Kraft auf Grenzf lächen
Kraft auf Elektrode
I
DE
F~ = f~dA mit f~ =
~en
2
∂V
∂V: Elektrodenoberfläche. f~: elektrische Flächenkraftdichte. dA: skalares Flächenelement der Elektrodenoberfläche. D und E: Beträge der elektrischen Flussdichte und Feldstärke im Dielektrikum direkt an der Elektrode. ~en : äußerer Normalen-Einheitsvektor des ElektrodenOberflächenelementes
Kraft auf Permittivitäts-Grenzf läche
· 2 µ
¶
¸
Z
Dn 1
1
E2
F~ = f~dA mit f~ =
−
+ t (ε1 − ε2 ) ~en
2
ε2
ε1
2
A
A: Grenzfläche. f~: elektrische Flächenkraftdichte. dA: skalares Flächenelement der Grenzfläche. Dn und Et : Normalkoordinate der elektrischen Flussdichte bzw. Tangentialkoordinate der elektrischen Feldstärke an der Grenzfläche.
ε1,2 : Permittivitäten. ~en : Normalen-Einheitsvektor des
Grenzflächenelementes, von Stoff 1 nach Stoff 2 orientiert
2.18.7
Maxwell’sche Spannungen im elektrostatischen Feld
Feldspannungsvektor
~ − DE ~en
~σe = Dn E
2
mit
~ en
Dn = D~
~en : Normaleneinheitsvektor des
Flächenelements, für das die
Maxwell’sche Spannung gilt. Sei~
ne Orientierung ist wählbar. E
halbiert den Winkel zwischen ~en
und ~σe
r
E
r
en
.
r
Dn E
r
σe
−
DE r
en
2
Betrag des Feldspannungsvektors
DE
σe =
E, D: Beträge der elektrischen Feldstärke bzw. Flussdichte
2
Feldspannungsvektor, wenn Feld normal zum Flächenelement
DE
~en
~σe liefert fiktive Normal-Zugkraft auf das Flächenelement
~σe =
2
(Zug längs ~en ).
Feldspannungsvektor, wenn Feld parallel zum Flächenelement
DE
~σe = −
~en
~σe liefert fiktive Normal-Druckkraft auf das Flächenelement
2
(Druck entgegen ~en ).
Kraft auf Objekt in Bilanzhülle
I
F~ = ~σe dA
∂V: Bilanzhülle, die Objekt vollständig umschließt. dA: skalares Flächenelement der Hülle
∂V
16
2.18.8
Kraft nach der Methode der virtuellen Verschiebung
¯
¯
dWe ¯¯
dWü ¯¯
Fs = −
+
ds ¯s0
ds ¯s0
Fs : s-Koordinate der Kraft auf Objekt in Bilanzhülle.
ds: virtuelle Verschiebung des Objekts in Richtung der sAchse. dWe : Erhöhung der Feldenergie nach der Verschiebung um ds. dWü : Eintragung weiterer Energien in die Bilanzhülle (außer der Verschiebungsarbeit und der Feldenergie) in Folge der Verschiebung. s0 : Positionskoordinate des
unverschobenen Objekts
17
3
Stationäres elektrisches Strömungsfeld
3.1
Driftladungsdichte
dQD
dV
ρD =
3.2
Elektrische Stromdichte
~ = ρD ~vD
S
3.3
Z
~ A
~
Sd
A
3.4
3.5
dI
dA
dI: Strom durch das zur n-Achse normale Flächenelement dA
Spezif ischer elektrischer Widerstand
E
S
3.6
E, S: Beträge der elektrischen Feldstärke bzw. Stromdichte
Elektrische Leitfähigkeit
S
E
3.7
E, S: Beträge der elektrischen Feldstärke bzw. Stromdichte
Spezif ischer elektrischer Widerstand und Leitfähigkeit
ρκ = 1
3.8
Spezifischer elektrischer Widerstand ρ und Leitfähigkeit κ
sind zueinander reziprok.
Ohm’sches Gesetz
e~
~
~
E = ρS
E+
3.9
e
~ Element der DurchA: Durchtrittsfläche des Stromes. dA:
~
trittsfläche. Orientierung von dA wählbar wie bei Bezugspfeil
Normalkoordinate der elektrischen Stromdichte
Sn =
κ=
ρD : Driftladungsdichte. ~vD : mittlere Geschwindigkeit der
Ladungsträger, Driftgeschwindigkeit
Elektrische Stromstärke
I=
ρ=
QD : Driftladung, d. h. Menge der frei beweglichen Ladungen, nicht zu verwechseln mit wahrer Ladung nach 2.1
~ Elektrische Feldstärke, e E:
~ Eingeprägte elektrische
E:
Feldstärke einer Quelle, ρ: Spezifischer elektrischer Wider~ Stromdichte
stand, S:
Eingeprägte Spannung und Quellenspannung
Z
e~
U=
Ed~s
eS
bzw.
e~
E: Eingeprägte elektrische Feldstärke der Quelle, e S und
Sq : Weg von Klemme zu Klemme durch die Quelle, orientiert wie Bezugspfeil von e U bzw. Uq
Z
~ s
− e Ed~
Uq =
Sq
18
3.10
Elektrischer Widerstand
U
R=
I
3.11
G=
U und I gemäß VS koordiniert
Elektrischer Leitwert
I
U
3.12
U und I gemäß VS koordiniert
Elektrischer Widerstand und Leitwert
RG = 1
3.13
I
Elektrischer Widerstand R und Leitwert G sind zueinander
reziprok.
Kirchhoff ’scher Knotenpunktsatz
~ A
~=0
Sd
∂V: Hülle um Strömungsfeldgebiet.
Strömungsfeld ist quellenfrei.
∂V
3.14
I
∂A: Orientierter Umlaufweg im Strömungsfeld. Das elektrische Strömungsfeld ist wirbelfrei.
∂A
I
Allgemeine Kontinuitätsgleichung
~ A
~=−d
Sd
dt
3.16.1
Z
ρdV
V
∂V
3.16
Tangentialkoordinate der elektrischen Feldstärke
C
ε
=
G
κ
~ 1,2 und der Grenzflächennormalen
α1,2 : Winkel zwischen E
Analogie zur Elektrostatik
CR = ερ
oder
Sn1,2 : Normalkoordinaten der elektrischen Stromdichten
~1,2 an der Grenzfläche
S
Brechungsgesetz
tan α1
κ1
=
tan α2
κ2
3.17
Et1,2 : Tangentialkoordinaten der elektrischen Feldstärken
~ 1,2 an der Grenzfläche
E
Normalkoordinate der elektrischen Stromdichte
Sn1 = Sn2
3.16.3
∂V: Hülle des Raumgebiets. V: Volumen des Raumge~
biets. Im Allgemeinen ist das S-Feld
nicht quellenfrei (z. B.
bei Aufladung einer Kondensatorplatte oder bei schnell
veränderlichen Feldern).
Feldeigenschaften an Leitfähigkeits-Grenzf lächen
Et1 = Et2
3.16.2
elektrische
Kirchhoff ’scher Maschensatz
~ s=0
Ed~
3.15
Das
R: Widerstand einer Zwei-Elektrodenanordnung. C: Kapazität derselben Elektrodenanordnung, wenn der leitfähige
Stoff gegen ein ideales Dielektrikum ausgetauscht ist.
19
3.18
Elektrische Leistungsdichte
dP
= ρS 2 = κE 2
dV
E und S: Beträge der elektrischen Feldstärke bzw. Stromdichte im leitfähigen Gebiet
20
4
Magnetisches Feld
4.1
Lorentzkraft
~
F~ = Q~v × B
4.2
~ magnetische
Q: Punktladung. ~v : Geschwindigkeit von Q. B:
~ ist eine kraftnahe Größe und könnte deshalb
Flussdichte. B
~ so. Die
,,magnetische Feldstärke” heißen. Leider heißt H
~
Gleichung definiert B.
Magnetisches Dipolmoment (elektrische Größe)
4.2.1
Ebene Leiterschleife
~
~ Fläm
~ = IA
m:
~ magnetisches Dipolmoment. I: Stromstärke. A:
~
chenvektor. Bezugspfeil von I und Orientierung von A
rechtshändig koordiniert
4.2.2
m
~ =
Magnetischer Punktdipol
lim
~
IA
A→0
I →∞
m:
~ magnetisches Dipolmoment. A und I gehen bei
~eA = konst gleichzeitig so gegen 0 bzw. ∞, dass m
~ sei~ Bezugspfeil
nen Wert beibehält. ~eA : Einheitsvektor von A.
~ rechtshändig koordiniert
von I und Orientierung von A
4.2.3
Allgemeine Leiterschleife
I
Z
I
~
m
~ =
~r×d~s = I dA
m:
~ magnetisches Dipolmoment. ∂A: Kurve der Leiterschlei2
fe.
I: Strom der Leiterschleife. ~r: Ortsvektor des LiniA
∂A
enelements d~s. Bezugspfeil von I und Linienelement d~s
gleich orientiert. A: Fläche der Leiterschleife. Orientierun~ und des Bezugspfeils vom I
gen des Flächenelements dA
rechtshändig koordiniert
4.2.4
Strömungsgebiet
I
1
~
m
~ =
~r × SdV
2
V
4.3
4.3.1
Größen des Magnetfelds
Magnetisierung eines Stoffes
~
~ = dm
M
dV
4.3.2
m:
~ magnetisches Dipolmoment. V: Volumen des Strömungs~ Stromgebietes. ~r: Ortsvektor des Volumenelements dV. S:
dichte
dm:
~ magnetisches Dipolmoment im Volumenelement dV
des Stoffes. (Atome als Träger von Kreisströmen)
Magnetische Polarisation
~
J~ = µ0 M
Definition der magnetischen Polarisation
4.3.3
Def inition der magnetischen Feldstärke
³
´
~ = µ0 H
~ +M
~
~ magnetische Feldstärke. Magnetisierung M
~ feldstärkeB
H:
~ wird auch als
abhängig. µ0 : magnetische Feldkonstante. H
magnetische Erregung bezeichnet.
21
4.3.4
Verknüpfung mit magnetischer Suszeptibilität
~ = µ0 (1 + χm ) H
~
B
4.3.5
~ ∼H
~ entspricht B
~ ∼H
~
χm : magnetische Suszeptibilität. M
und χm = konst.
Verknüpfung mit relativer Permeabilität
~ = µ0 µr H
~
B
4.3.6
~ ∼H
~ entµr : relative Permeabilität, Permeabilitätszahl. M
~ ∼H
~ und µr = konst.
spricht B
Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität
µr = 1 + χm
Permeabilität
B
µ = µ0 µr =
H
µr und χm sind Stoffwerte.
4.3.7
4.3.8
der
magnetischen
Flussdichte
bzw.
Differentielle Permeabilität
dB
=
Steigung der Magnetisierungskurve B(H). B, H: Beträge
dH
der magnetischen Flussdichte bzw. Feldstärke
µdiff
4.3.9
B, H: Beträge
Feldstärke
Z
Magnetischer Fluss
~ dA
~
B
Φ=
A
4.3.10
~ Element der DurchA: Durchtrittsfläche des Flusses. dA:
~ wählbar, wie bei Bezugstrittsfläche. Orientierung von dA
pfeil
Magnetischer Verkettungsf luss (Spulenf luss)
Allgemeiner Fall
n
X
Ψ=
Φµ
µ=1
Ψ : mit n Umläufen einer Raumkurve (Windungen einer
Spule) verketteter Fluss
Gleichförmige Windungen
Ψ = nΦ
4.3.11
n : Windungszahl. Voraussetzung: Φ = Φ1 = Φ2 = ... Φn
Magnetisches Vektorpotential
~ = rotA
~
B
4.3.12
Magnetisches Skalarpotential
~ = −gradψ
H
4.3.13
~ Seine RoDefinition des magnetischen Vektorpotentials A.
~
tation ist gleich der magnetischen Flussdichte B.
Z
Definition des magnetischen Skalarpotentials ψ. Sein ne~
gativer Gradient ist gleich der magnetischen Feldstärke H.
Magnetische Spannung
~ s
Hd~
V12 =
S12
V12 : Magnetische Spannung längs der orientierten Wegkurve S12 . Die magnetische Spannung hängt i. A. vom Verlauf
des Weges und nicht nur von der Lage seines Anfangs- und
Endpunkts 1 bzw. 2 ab.
22
4.3.14
Magnetisches Skalarpotenzial und magnetische Spannung
ψ1 = V1B + ψB
4.3.15
Magnetische Spannung als Potenzialdifferenz
V12 = ψ1 − ψ2
4.4
ψ1 : Potenzial im Aufpunkt 1. V1B : Magnetische Spannung
vom Aufpunkt 1 zum Bezugspunkt B. Die Mehrdeutigkeit
der magnetischen Spannung (Wegabhängigkeit) schränkt
die Nützlichkeit des Potenzialbegriffs ein. ψB : Bezugspotenzial, meistens wird ψB = 0 gesetzt.
Mehrdeutigkeit des Potenzials beachten und prüfen, ob die
berechnete Potenzialdifferenz zu der V12 zugeordneten Wegkurve passt!
Magnetisches Feld im Raum mit konstanter Permeabilität
4.4.1
Formel von Biot und Savart für Strömungsgebiet
Z ~
S × ~e
~ = 1
~ Stromdichte im VolumeneledV
H
V: Strömungsgebiet. S:
4π
a2
ment
dV.
a~
e
:
Abstandsvektor
von dV zum Aufpunkt
V
4.4.2
Formel von Biot und Savart für Leiterkreis
I
d~s × ~e
∂A: Leiterkreiskurve. I: Strom des Leiterkreises.
a2
d~s: Linienelement in Leiterlängsrichtung, orientiert
∂A
wie I-Bezugspfeil. a~e: Abstandsvektor von d~s zum
Aufpunkt
~ = I
H
4π
4.4.3
Magnetische Feldstärke eines langen geraden Leiters mit Kreisquerschnitt
~ = I r ~eϕ für 0 ≤ r ≤ R;
~ = I 1 ~eϕ für r ≥ R
H
H
2π R2
2π r
I: Strom. r: Abstand des Aufpunkts von Leiterachse.
~eϕ : Einheitsvektor in Umfangsrichtung, rechtshändig zum
I-Bezugspfeil orientiert. R: Leiterradius. Ebenes Feld; die
Feldlinien sind konzentrische Kreise um Leiterachse.
4.4.4
Magnetisches Skalarpotenzial einer Linienleiterschleife beliebiger
Form
Z
~
~edA
I
ψ=
A: Eine Fläche, welche die Leiterschleife als Rand hat.
4π
a2
~ zum Aufa~e: Abstandsvektor vom Flächenelement dA
A
~
punkt. Orientierungen von dA und des Bezugspfeils des
Stroms I rechtshändig koordiniert. ψ ist beim Durchtritt
durch die Fläche unstetig.
4.4.5
Magnetisches Skalarpotenzial und Feldstärke einer kleinen Leiterschleife
m~
~e
m:
~ magnetisches Dipolmoment der Leiterschleife. a~e: Ab;
ψ=
4πa2
standsvektor von der Leiterschleife zum Aufpunkt. Die Formeln gelten in Näherung für das Fernfeld. Für den magne~ + 3(m~
~ e)~e
~ = −m
tischen Punktdipol sind sie überall exakt.
H
4πa3
23
4.4.6
Magnetisches Vektorpotenzial eines Strömungsgebietes
Z ~
SdV
~= µ
A
V: Strömungsgebiet. a: Abstand des Aufpunkts vom Volu4π
a
menelement
dV. µ: Permeabilität
V
4.4.7
Magnetisches Vektorpotenzial einer Leiterschleife
I
d~s
~ = µI
∂A: Leiterkreiskurve. a: Abstand des Aufpunkts vom LiA
4π
a
nienenelement
d~s. µ: Permeabilität
∂A
4.4.8
Magnetisches Vektorpotenzial einer kleinen Leiterschleife
~ × ~e
~= µ m
A
4π a2
m:
~ magnetisches Dipolmoment der Leiterschleife. a~e: Abstandsvektor von der Leiterschleife zum Aufpunkt. Die Formeln gelten in Näherung für das Fernfeld. Für den magnetischen Punktdipol sind sie überall exakt.
4.4.9
Magnetisches Vektorpotenzial eines magnetisierten Körpers


I ~
Z
~
~
µ
M
×
d
A
rot
M
~= 0
A
+
dV 
4π
a
a
∂V
V
∂V: Oberfläche des Körpers. V: Volumen des Körpers.
~ : Magnetisierung. a: Abµ0 : magnetische Feldkonstante. M
~ bzw. des Volumenstand des äußeren Flächenelements dA
elements dV zum Aufpunkt
4.4.10
Oberf lächenstrombelag eines magnetisierten Körpers
~m = M
~ × ~en
C
4.4.11
Magnetisierungsstromdichte eines magnetisierten Körpers
~m = rotM
~
S
4.5
I
~en : Flächennormalen-Einheitsvektor, nach außen gerichtet.
~ m ist Größe zur Beschreibung des Felds eines PermanentC
magneten.
~ entspricht S
~m = 0. S
~m ist
Konstante Magnetisierung M
Größe zur Beschreibung des Felds eines Permanentmagneten.
Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte
~ A
~=0
Bd
∂V
∂V: Beliebige Bilanzhülle. Grundgleichung. Oben: Integralform. Unten: gleichwertige Differentialform
~ =0
divB
24
4.6
Durchf lutungssatz
Z
I
~ s=
Hd~
~ A
~
Sd
A
∂A
o
V =Θ
~ =S
~
rotH
4.6.1
I
o
Magnetische Umlaufspannung
~ s
Hd~
V =
∂A: Orientierter Umlaufweg, geschlossene Wegkurve. Orientierung freigestellt wie Bezugspfeil
∂A
4.6.2
Z
Θ=
Elektrische Durchf lutung
~ A
~ = P Iν
Sd
ν
A
4.7
4.7.1
Tangentialkoordinate der magnetischen Feldstärke
Ht1,2 : Tangentialkoordinaten der magnetischen Feldstärke
~ 1,2 an der Grenzfläche zwischen den Stoffen 1 und 2
H
Normalkoordinate der magnetischen Flussdichte
Bn1 = Bn2
4.7.3
Bn1,2 : Normalkoordinaten der magnetischen Flussdichten
~ 1,2 an der Grenzfläche
B
Brechungsgesetz
tan α1
µ1
=
tan α2
µ2
4.8
~ 1,2 und der Grenzflächennormalen
α1,2 : Winkel zwischen B
Induktionsgesetz
I
Z
~ s=−
Ed~
∂A
4.8.1
~ Stromdichte. dA:
~ Element der
A: Durchströmte Fläche. S:
~
Fläche. Orientierung von dA wählbar, wie bei Bezugspfeil.
Iν : Ströme, welche die Fläche passieren; Orientierung aller
I-Bezugspfeile gleichsinnig.
Feldeigenschaften an Permeabilitäts-Grenzf lächen
Ht1 = Ht2
4.7.2
~ magneA: Durchströmte Fläche. ∂A: Rand von A. H:
~
tische Feldstärke. S: Stromdichte. Orientierungen des Li~
nienelements d~s und des (äußeren) Flächenelements dA
rechtshändig koordiniert. Obere Gleichung: Integralform.
Mittlere Gleichung: Gleichwertige Kurzform. Untere Gleichung: Gleichwertige Differentialform.
¯
¯
¯ ¯ Grundgleichung
¯ ~
¯
¯~¯
mit der Voraussetzung ¯dD/dt
¯ ¿ ¯S
¯.
A
~
∂B
~
dA
∂t
~ magnetische FlussdichA: Fläche. ∂A: Rand der Fläche. B:
~
te. E: elektrische Feldstärke (i. A. Wirbelfeld). Orientie~
rung des Linienelements d~s mit dem Flächenelement dA
rechtshändig koordiniert. Grundgleichung
Induzierte Spannung
ui = uiT + uiM
uiT : transformatorisch induzierte Spannung. uiM : motorisch induzierte Spannung. ui ist eine eingeprägte Spannung.
25
Transformatorisch induzierte Spannung
Z ~
∂B ~
uiT = −
dA
A: Beliebige Bilanzfläche. Orientierung des Bezugspfeils
∂t
~ Die transformatorisch induvon uiT rechtshändig zu dA.
A
zierte Spannung ist eine eingeprägte Spannung.
Motorisch induzierte Spannung
I
~ s
~v × Bd~
uiM =
∂A: Beliebiger Bilanzumlaufweg. Bezugspfeil von uiM orientiert
wie d~s. Die motorisch induzierte Spannung ist eine
∂A
eingeprägte Spannung.
Magnetischer Schwund
Z
dΦ
d
~ A
~
=−
−
Bd
dt
dt
A
A: Beliebige Bilanzfläche, i. A. zeitabhängig, Φ: magnetischer Fluss
Flussregel
−
R
Die Flussregel gilt, außer wenn dA zeitlich unstetig
verläuft. Bezugspfeile von Φ und ui rechtshändig orientiert
dΦ
= ui
dt
4.8.2
Spannungsgleichung für bewegten Leiterkreis mit Spannungsquellen
I
I
Z ~
I
X
X
∂B ~
e~
~
~ s
ρSd~s −
Ed~s = −
dA + ~v × Bd~
Kurz: d u − d e u = ui
∂t
∂A
∂A
A
∂A
∂A: Leiterkreiskurve. A: Fläche, die ∂A als Rand hat.
~ sind rechtshändig koorOrientierungen
von d~s und dA
P
diniert. c u: Umlaufsumme
der
elektrischen SpannunP
gen (ohne Quellen), c e u: Umlaufsumme der eigeprägten
Spannungen der Quellen, ui : induzierte Spannung. Im Fall
~v = 0 und ∂B/∂t = 0, d. h. im Fall ui = 0, bildet die
Gleichung den Kirchhoff’schen Maschensatz.
Elektrische Umlaufspannung
I
X
o
~ s
u= d u=
ρSd~
∂A: Beliebiger Umlaufweg. Die Umlaufspannung erfaßt
Spannungen an Widerständen und zwischen Klemmen. Be∂A
o
zugspfeil von u wie Linienelement d~s orientiert
Spannungsgleichung mit Strom und Klemmenspannung
u + Ri = ui
u: Klemmenspannung. R: Widerstand der Leiterschleife. i: Strom.
Orientierungen rechtshändig koordiniert und gemäß Erzeugerpfeilsystem
~ ;©
dA
u
R
26
d~s; ui ; i
4.9
Induktivität
4.9.1
L=
Selbstinduktivität einer Spule
Ψ (I )
I
4.9.2
Ψ : durch den Spulenstrom I erregter Verkettungsfluss. Bezugspfeile von Ψ und I rechtshändig koordiniert. L > 0
Gegeninduktivität eines Spulenpaares
Gegeninduktivität von Spule 1 gegen Spule 2
M12 =
Ψ1 (I2 )
I2
Ψ1 (I2 ): Verkettungsfluss in Spule 1, der vom Strom I2 der
Spule 2 erregt wird. Die Gegeninduktivität kann negativ
sein.
Gegeninduktivität von Spule 2 gegen Spule 1
M21 =
4.9.3
Ψ2 (I1 )
I1
Ψ2 (I1 ): Verkettungsfluss in Spule 2, der vom Strom I1 der
Spule 1 erregt wird. Die Gegeninduktivität kann negativ
sein.
Magnetische Kopplung zweier Spulen
Gleichheit der Gegeninduktivitäten
M12 = M21 = M
Voraussetzung: lineare Spulenfluss - Strom - Kennlinien
Magnetischer Kopplungskoeff izient
k=√
M
L1 L2
L1,2 : Selbstinduktivitäten der magnetisch gekoppelten
Spulen 1 und 2
Magnetischer Streukoeff izient
σ = 1 − k2
k: Kopplungskoeffizient
Sinnbild für magnetisch gekoppelte Spulen
Real
2
3
Modell
2
1
oder
4
4
1
2
1
2
3
4
4
3
1
Der Weg von der mit
• gekennzeichneten Klemme einer Spule längs ihrer Windungen zu ihrer
anderen Klemme umläuft
die gemeinsame Achse bei
beiden Spulen gleichsinnig.
1
1
2
2
27
3
3
3
4
4
oder
oder
Reihenschaltung zweier magnetisch gekoppelter linearer Spulen
L1
Lres = L1 + L2 + 2M
Voraussetzung: L1 , L2 und M
konstant
L2
M >0
L1 L2
M <0
4.10
Magnetische Netzwerke
4.10.1 Knotenpunktsatz
X
d Φµ = 0
Vom Knotenpunkt abströmende magnetische Flüsse werden
µ
addiert, zuströmende werden subtrahiert (Hüllensumme).
4.10.2 Maschensatz
X
X
d Vµ =
Θν
µ
ν
4.10.3
Linke Seite: Umlaufsumme der magnetischen Spannungen
Vµ der Masche. Rechte Seite: Summe der mit der Masche
verketteten elektrischen Durchflutungen Θν . Bezugspfeil
der Durchflutung rechtshändig zum Umlaufsinn
Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert
Def inition
V
1
Rm =
=
Φ
Gm
Rm : magnetischer Widerstand. Gm : magnetischer Leitwert.
V, Φ: Magnetische Spannung bzw. Fluss des Magnetkreisabschnitts
Magnetischer Widerstand eines stabförmigen Magnetkreisabschnitts
Rm =
l
µA
l: Länge, A: Querschnittsfläche, µ: Permeabilität des Magnetkreisabschnitts
Verknüpfung von Selbstinduktivität und magnetischem Leitwert
L=
n2
Rm
4.11
4.11.1
Kräfte im Magnetfeld
Kraft auf Punktladung
~
F~ = Q~v × B
4.11.2
Rm : magnetischer Widerstand des Magnetkreiskerns.
n: Windungszahl der Spule. Gleicher Fluss in jeder Windung vorausgesetzt
~ magnetische
Q: Punktladung. ~v : Geschwindigkeit von Q. B:
~
Flussdichte. F heißt Lorentzkraft
Kraftdichte auf Strömungsfeldgebiet
~ ×B
~
f~ = S
~ elektrische Stromdichte
S:
28
4.11.3 Kraft auf stromdurchf lossenen ausgedehnten Leiter
Z
~ × BdV
~
F~ = S
V: Leitervolumen. dV : Leitervolumenelement. Dort
~ und die magnetische
herrscht
die elektrische Stromdichte S
V
~
Feldstärke B
4.11.4
I
Kraft auf stromdurchf lossenen linienförmigen Leiter
F~ = I
~
d~s × B
∂A
∂A: Leiterkurve. I: Leiterstrom. d~s: Linienelement, orientiert wie I-Bezugspfeil
4.11.5
Kraft auf kleine Leiterschleife
³
´
~
F~ = grad m
~B
m:
~ magnetisches Dipolmoment. Eine Schleife gilt als klein,
~
wenn die Koordinaten des B-Felds
in ihrem Bereich praktisch linear mit den Ortskoordinaten variieren. Formel gilt
exakt für magnetischen Punktdipol.
4.11.6 Drehmoment auf Leiterschleife
~ =m
~
~ : Drehmoment. m:
M
~ ×B
M
~ Dipolmoment einer beliebigen Leiter~
schleife. Homogenes B-Feld
vorausgesetzt: Gleichung zur
~
Definition von B
4.11.7
Kraft auf Permeabilitäts-Grenzf lächen
Grenzf läche zwischen zwei Permeabilitätsgebieten
· 2µ
¶
¸
Z
Bn 1
1
H2
F~ = f~dA mit f~ =
−
+ t (µ1 − µ2 ) ~en
2
µ2
µ1
2
A
A: Grenzfläche. f~: magnetische Flächenkraftdichte.
dA: skalares Flächenelement der Grenzfläche. Bn und
Ht : Normalkoordinate der magnetischen Flussdichte bzw.
Tangentialkoordinate der magnetischen Feldstärke an
der Grenzfläche. µ1,2 : Permeabilitäten. ~en : NormalenEinheitsvektor des Grenzflächenelementes, von Stoff 1
nach Stoff 2 orientiert
Grenzf läche Eisen-Luft
B2
f~ = n ~en
2µ0
4.11.8
~en : Einheitsvektor der Flächennormalen, von Eisen zur Luft
orientiert. Annahme: µEisen À µLuft = µ0
Maxwell’sche Spannungen im magnetischen Feld
Feldspannungsvektor
~σm
~ − BH ~en
= Bn H
2
mit
~ ~en
Bn = B
r
B
~en : Normaleneinheitsvektor des
Flächenelements, für das die
Maxwell’sche Spannung gilt. Sei~
ne Orientierung ist wählbar. B
halbiert den Winkel zwischen ~en
und ~σm .
29
r
en
.
r
Bn H
r
σm
r
− BH en
2
Betrag des Feldspannungsvektors
σm =
BH
2
H, B: Beträge der magn. Feldstärke bzw. Flussdichte
Feldspannungsvektor, wenn Feld normal zum Flächenelement
~σm =
BH
~en
2
~σm liefert fiktive Normal-Zugkraft auf das Flächenelement
(Zug längs ~en ).
Feldspannungsvektor, wenn Feld parallel zum Flächenelement
~σm = −
BH
~en
2
~σm liefert fiktive Normal-Druckkraft auf das Flächenelement (Druck entgegen ~en ).
Kraft auf Objekt in Bilanzhülle
I
~
F = ~σm dA
∂V: Bilanzhülle, die Objekt vollständig umschließt.
dA: skalares Flächenelement der Hülle
∂V
4.11.9
Kraft nach der Methode der virtuellen Verschiebung
¯
¯
dWm ¯¯
dWü ¯¯
Fs = −
+
ds ¯s0
ds ¯s0
Fs : s-Koordinate der Kraft auf Objekt in Bilanzhülle.
ds; virtuelle Verschiebung des Objekts in Richtung der sAchse. dWm : Erhöhung der Feldenergie nach der Verschiebung um ds. dWü : Eintragung weiterer Energien in die Bilanzhülle (außer der Verschiebungsarbeit und der Feldenergie) in Folge der Verschiebung. s0 : Positionskoordinate des
unverschobenen Objekts
4.12
Energie im magnetischen Feld
4.12.1
Energiedichte bei nichtlinearer Magnetisierungskennlinie
dW
w=
=
dV
ZB
hdb
0
h(b): Magnetisierungskurve. w
gilt für die Flussdichte B.
b
B
h
0 H
4.12.2
w=
Energiedichte bei linearer Magnetisierungskennlinie
dW
BH
=
dV
2
B, H: Beträge
Feldstärke
30
der
magnetischen
Flussdichte
bzw.
4.12.3
Feldenergie einer nichtlinearen Spule
ZΨ
W =
idψ
0
i(ψ): Strom-Spulenfluss-Kennlinie der Spule
ψ
Ψ
i
0 I
4.12.4
W =
4.12.5
W =
Feldenergie einer linearen Spule
ΨI
2
Ψ : Spulenfluss. I: Strom
Feldenergie eines magnetisch gekoppelten linearen Spulenpaares
1
1
L1 I12 + M I1 I2 + L2 I22
2
2
L1,2 : Selbstinduktivitäten. M : Gegeninduktivität. M positiv oder negativ
31
5
5.1
Netzwerke mit beliebigem Zeitverlauf von Strom
und Spannung
Kirchhoff ’sche Sätze
Siehe 1.12 bis 1.14.
5.2
Strom-Spannungsverhalten der Grundschaltelemente
5.2.1
Ohm’scher Widerstand
u = Ri
5.2.2
Verbraucherpfeilsystem (VS)
Lineare Spule
u=L
di
dt
5.2.3
u=
Die Gleichgrößen im Knotenpunkts- und Maschensatz sind
kontextgemäß durch zeitveränderliche Ströme bzw. Spannungen zu ersetzen.
Verbraucherpfeilsystem (VS). Selbstinduktivität L konstant
Nichtlineare Spule
dψ
d
=
(Li)
dt
dt
5.2.4
Verbraucherpfeilsystem (VS). Selbstinduktivität L und
(selbstinduz.) Verkettungsfluss ψ abhängig vom Strom i.
Bezugspfeile von ψ und i rechtshändig koordiniert
Magnetisch gekoppeltes lineares Spulenpaar
u1 = L1
di1
di2
+M
dt
dt
u2 = L2
di2
di1
+M
dt
dt
Beide Spulen im Verbraucherpfeilsystem (VS). Gegeninduktivität M kann positiv oder negativ sein.
5.2.5
Linearer Kondensator
du
i=C
Verbraucherpfeilsystem (VS). C: Kapazität
dt
5.2.6
Nichtlinearer Kondensator
dq
d
i=
Verbraucherpfeilsystem (VS). Ladung q und Kapazität C
=
(Cu)
dt
dt
abhängig von der Spannung u
5.3
Leistung und Energie
5.3.1
Momentanleistung eines Zweipols
p = ui
5.3.2
1
P =
T
p > 0 bedeutet im VS Leistungsaufnahme, im ES Leistungsabgabe.
Wirkleistung eines Zweipols bei periodischer Spannung
tA
Z+T
uidt
tA
T : Periodendauer. P > 0 bedeutet im VS Leistungsaufnahme, im ES Leistungsabgabe. tA beliebig
32
5.3.3
Elektrische Energie eines Zweipols
Zt2
W =
uidt
t1
W : elektrische Energie in der Zeitspanne t1 ≤ t ≤ t2 . Vorzeichenkonvention: W > 0 bedeutet im VS Energieaufnahme, im ES Energieabgabe.
33
6
Periodische und harmonische Größen
6.1
Begriffe
Periodischer Zeitverlauf
x
Harmonischer Zeitverlauf
x
xmax
∆x
x̂
x = x0
t
T
t
t0 0
xmin
T
− x̂
6.1.1
Amplitude
nicht definiert
6.1.2
x
b
Schwankungsbereich
∆x
∆x = 2b
x
6.1.3
Periodendauer
T
T
6.1.4
f=
6.1.5
Frequenz
1
T
f=
Kreisfrequenz
ω = 2πf
6.1.6
ω = 2πf
Phasenwinkel
nicht definiert
6.1.7
1
T
ωt + ϕ0
Nullphasenwinkel
nicht definiert
ϕ0 = ωt0
Der Nullphasenwinkel ist gleich dem Phasenwinkel für t = 0.
34
Periodischer Zeitverlauf
6.1.8
Harmonischer Zeitverlauf
Nullphasenzeit
nicht definiert
6.1.9
Wechselanteil
x∼ = x − x0
6.1.10
x∼ = x
b cos (ωt + ϕ0 ) = x
Gleichanteil
1
x0 =
T
6.1.11
tA
Z+T
xdt
(tA beliebig)
x0 = 0
tA
Gleichrichtwert
1
|x| =
T
tA
Z+T
|x|dt
(tA beliebig)
|x| =
tA
6.1.12 Effektivwert
v
u tA
Z+T
u
u1
X=t
x2 dt (tA beliebig)
T
6.1.13
Formfaktor einer Wechselgröße
X
6.2
π
F = √ ≈1,11
2 2
|x|
6.1.14
S=
2
x
b
π
x
b
X=√
2
tA
F =
ϕ0
ω
t0 =
Scheitelfaktor einer Wechselgröße
|x|max
X
S=
√
x
b
= 2
X
Wechselgröße und Mischgröße
Wechselgrößen und Mischgrößen sind periodisch mit x0 = 0 bzw. x0 6= 0.
6.3
Fourier-Reihenentwicklung periodischer Größen
6.3.1
1
f=
T
6.3.2
Grundfrequenz und Grundkreisfrequenz
bzw.
ω=
2π
T
T : Periode der Zeitfunktion x(t)
Entwicklung der Größe durch harmonische Komponenten
x(t) = x0 +
∞
P
x
bk cos(kωt + ϕk )
k=1
x0 : Gleichanteil. x
bk : Fourieramplituden. ϕk : FourierNullphasenwinkel. Näherung: Endliche Summandenzahl
35
6.3.3
Gleichanteil
1
x0 =
T
6.3.4
xdt
tA beliebig
tA
Komplexe Fourier-Koeff izienten
1
ck =
T
6.3.5
tA
Z+T
tA
Z+T
xe−jkωt dt
tA beliebig
tA
Fourier-Amplituden
x
bk = 2 |ck |
6.3.6
x1 = x
b1 cos(ωt + ϕ1 ): Grundschwingung oder 1. Harmonische. x2 = x
b2 cos(2ωt + ϕ2 ): 2. Harmonische usw.
Fourier-Nullphasenwinkel
ϕk = Arc ck
Winkel von ck mit der reellen Achse
6.3.7
Komplexe Fourier-Koeff izienten nach dem Sprungstellenverfahren


r
r0
X
X
0
1 
1
ck =
si e−jkωti +
s0 e−jkωti 
j 2πk i=1
j ωk i=1 i
mit
si = x(ti+ ) − x(ti− )
und s0i =
dx ¡ 0 ¢ dx ¡ 0 ¢
−
t
t
d t i+
d t i−
ck gilt für abschnittsweise geradlinige periodische Funktionen x(t) mit Sprüngen und Knicken. k: Ordnungszahl. ω: Grundkreisfrequenz. ti : Sprungzeitpunkte.
t0i : Knickzeitpunkte. r: Anzahl Sprünge. r0 : Anzahl Knicke.
si : Sprunghöhen. s0i : Knickhöhen (Höhe der Ableitungssprünge). ti+ , ti− und t0i+ , t0i− : rechts- und linksseitige Nachbarwerte der Sprung- bzw. Knickzeitpunkte
6.3.8
Effektivwert
p
X = x20 + X12 + ...
√
x0 : Gleichanteil. Die Xk = x
bk / 2 sind die Effektivwerte
der harmonischen Komponenten.
6.3.9
Klirrfaktor einer Wechselgröße, Oberschwingungsgehalt
p
X22 + X32 + ...
k=
Zähler: Effektivwert ohne Grundschwingung.
X
X: Effektivwert der Wechselgröße
6.3.10
Wirkleistung bei Strom und Spannung gleicher Grundfrequenz
P = u0 i0 +
∞
P
k=1
Uk Ik cos ψk
u0 , i0 : Gleichanteile. Uk , Ik : Effektivwerte der Harmonischen. ψk = ϕuk − ϕik : Phasenverschiebungswinkel zwischen den Spannungs- und Stromharmonischen. P > 0 bedeutet im VS Leistungsaufnahme, im ES Leistungsabgabe.
36
7
Lineare Netzwerke mit harmonischen Strömen
und Spannungen
7.1
Spannungszeiger
U = U ejϕu
7.2
Stromzeiger
I = Iejϕi
7.3
√
U bildet die harmonische Spannung u = U 2 cos (ωt + ϕu )
in der komplexen Ebene ab. U : Effektivwert. ϕu : Nullphasenwinkel. Die Kreisfrequenz ω tritt in den Hintergrund.
√
I bildet den harmonischen Strom i = I 2 cos (ωt + ϕi ) in
der komplexen Ebene ab. I=Effektivwert. ϕi : Nullphasenwinkel. Die Kreisfrequenz ω tritt in den Hintergrund.
Impedanz und Admittanz eines Zweipols
7.3.1
Z=
bzw.
Y =
Allgemeiner Zweipol
U
I
I
U
Z heißt auch komplexer Widerstand oder komplexe Impedanz. Y heißt auch komplexer Leitwert oder komplexe Admittanz.
Scheinwiderstand- und Scheinleitwert
U
Z = |Z| =
U, I: Effektivwerte. Z ≥ 0, Y ≥ 0
I
bzw.
I
Y = |Y | =
U
Phasenverschiebungswinkel
ϕ = ArcZ = ϕu − ϕi
ArcZ: Winkel von Z mit der reellen Achse.
ϕu , ϕi : Nullphasenwinkel
Verknüpfung von Impedanz und Admittanz
YZ =1
Impedanz und Admittanz sind zueinander reziprok.
Wirkwiderstand und Wirkleitwert
R = ReZ = Z cos ϕ
bzw.
R heißt auch Resistanz und G Konduktanz.
R R 0, G R 0
G = ReY = Y cos ϕ
Blindwiderstand und Blindleitwert
X = ImZ = Z sin ϕ
bzw.
X heißt auch Reaktanz und B Suszeptanz.
X R 0, B R 0
B = ImY = −Y sin ϕ
37
Impedanz und Admittanz in kartesischer und polarer Form
Z = R + jX = Zejϕ
bzw.
Y = G + jB = Y e−jϕ
7.3.2
Ohm’scher Verbraucher
Z=R
bzw.
Y =G
7.3.3
R: Resistanz. X: Reaktanz. G: Konduktanz. B: Suszeptanz.
ϕ: Phasenverschiebungswinkel
R: Ohm’scher Widerstand. G = 1/R: Ohm’scher Leitwert.
Strom und Spannung phasengleich. VS vorausgesetzt
Spule
L: Selbstinduktivität. Strom eilt Spannung um 90◦ nach.
VS vorausgesetzt
Z = jωL
bzw.
1
Y =
jωL
7.3.4
Kondensator
1
Z=
jωC
bzw.
Y = jωC
7.3.5
Spannungsgleichungen eines magnetisch gekoppelten linearen Spulenpaars
U 1 = L1
dI 1
dI
+M 2
dt
dt
U 2 = L2
dI 2
dI
+M 1
dt
dt
7.4
Beide Spulen im Verbraucherpfeilsystem (VS). Gegeninduktivität M kann positiv oder negativ sein (vgl. 4.9).
Kirchhoff ’sche Sätze
Siehe 1.13 bis 1.15
7.5
C: Kapazität. Strom eilt Spannung um 90◦ vor. VS vorausgesetzt
Die Gleichgrößen im Knotenpunkts- und Maschensatz sind
kontextgemäß durch Zeigergrößen zu ersetzen.
Reihenschaltung: Impedanz und Spannungsteilerregel
Z res =
P
µ
Zµ
Durch
die
Widerstände
fließt
derselbe
Strom.
Uν
Z
= ν
Uµ
Zµ
7.6
Parallelschaltung: Admittanz und Stromteilerregel
Y res =
P
µ
Yµ
An
den
Iν
Y
= ν
Iµ
Yµ
38
Widerständen
liegt
dieselbe
Spannung.
7.7
Stern-Dreieck-Umwandlung
7.7.1
Vom Dreieck zum Stern
Z 12 Z 31
Z1 =
Das Zielnetzwerk und das AusZ 12 + Z 23 + Z 31
gangsnetzwerk haben gleiches
Klemmenverhalten.
Z 23 Z 12
Z2 =
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z3 =
7.7.2
Y 31 =
Y 1Y 2
Y1+Y2+Y3
Y 2Y 3
Y1+Y2+Y3
1
Y2
2
3
Z 13 =
1
Y 13
Z 23 =
Z 12 =
1
Y 12
2
1
Kennlinienmodell
UL
I
IK
U : Klemmenspannung. I: Klemmenstrom. U L : Leerlaufspannung. I K : Kurzschlussstrom. Der
Zweipol ist im Erzeugerpfeilsystem (ES) beschrieben.
U
UL
IK
I
0
Ersatzspannungsquelle
U qe = U L
7.8.3
Z2 =
Aktive lineare Zweipole
U = U qe − Z ie I
Z ie
Das Zielnetzwerk und das Ausgangsnetzwerk haben gleiches
Klemmenverhalten.
Y 3Y 1
Y1+Y2+Y3
U = UL −
7.8.2
1
1
Y3
Vom Stern zum Dreieck
Y 23 =
7.8.1
Z3 =
1
Z1 =
Y1
Z 31 Z 23
Z 12 + Z 23 + Z 31
Y 12 =
7.8
3
U qe :
Ersatzquellenspannung.
Z ie : Ersatzinnenwidestand. Der
Zweipol ist im Erzeugerpfeilsystem (ES) beschrieben.
U
= L
IK
Z ie
I
P, Q, S
U qe
U
Za
Ersatzstromquelle
I
I = I qe − Y ie U
I qe = I K
Y ie
I qe : Ersatzquellenstrom. Y ie : Ersatzinnenleitwert. Der Zweipol
ist im Erzeugerpfeilsystem (ES)
beschrieben.
1
I
= K =
UL
Z ie
I qe
P, Q, S
Y ie
Ya
U
39
1
Y 23
7.9
Wirk-Blind-Zerlegung von Strom und Spannung
√
u = U 2 cos (ωt + ϕu )
bzw.
√
i = I 2 cos (ωt + ϕi )
7.9.1
Für die Zerlegungen sind harmonische Verläufe von Strom
und Spannung vorausgesetzt
Zerlegung des Stroms nach der Spannung
U
I = IW e U + IB e U ⊥
Die Koordinaten der Zerlegung
sind der Wirkstrom IW und der
Blindstrom IB .
IW
eU
IB
'
I
eU?
Einheitszeiger der Zerlegungsbasis
U
U
= −jeU
eU =
eU ⊥
eU : Einheitszeiger in Phase mit der Spannung U .
eU ⊥ : Einheitszeiger, der U um 90◦ nacheilt. U : Effektivwert der Spannung
Wirk- und Blindstrom
I
I
IW = Re
= I cos ϕ bzw. IB = Re
= I sin ϕ
eU
eU ⊥
Phasenverschiebungswinkel ϕ = ϕu − ϕi
7.9.2
Zerlegung der Spannung nach dem Strom
U
UB
U = UW eI + UB e⊥I
Die Koordinaten der Zerlegung
sind die Wirkspannung UW und
die Blindspannung UB .
e?I
'
eI
I
UW
Einheitszeiger der Zerlegungsbasis
I
I
= jeI
eI : Einheitszeiger in Phase mit dem Strom I. e⊥I : Einheitszeiger, der I um 90◦ vorauseilt. I: Effektivwert des Stroms
eI =
e⊥I
Wirk- und Blindspannung
UW = Re
U
= U cos ϕ
eI
U
= U sin ϕ
e⊥I
Phasenverschiebungswinkel ϕ = ϕu − ϕi
bzw.
UB = Re
40
7.10
Leistung bei harmonischem Verlauf von Strom und
Spannung
7.10.1
Augenblickswert
p = P + S cos(2ωt + ϕu + ϕi )
P : Wirkleistung. S: Scheinleistung. Spannung und Strom
wie unter 7.9
7.10.2
Scheinleistung
p
S = U I = P 2 + Q2
7.10.3
Wirkleistung
P = U I cos ϕ
U, I, UW , IW : Effektivwerte. UW : Wirkspannung,
IW : Wirkstrom nach 7.9 ϕ = ϕu − ϕi : Phasenverschiebungswinkel
P = U IW = UW I
7.10.4
Blindleistung
Q=
1
T
tA
Z+T
tA
µ
¶
T
u t−
i (t)dt
4
= U I sin ϕ = U IB = UB I
7.10.5
U, I: Effektivwerte. P : Wirkleistung. Q: Blindleistung
Die
Gleichungen
gelten
nur
für
harmonische
Verläufe von u und i. T : Periode. tA beliebig.
U, I, UB , IB : Effektivwerte. ϕ = ϕu − ϕi : Phasenverschiebungswinkel. UB : Blindspannung, IB : Blindstrom
nach 7.9. Spulen verbrauchen, Kondensatoren erzeugen
Blindleistung.
Komplexe Scheinleistung
S = P + jQ = U I ∗ = U Iejϕ = ZI 2 = Y ∗ U 2
P : Wirkleistung. Q: Blindleistung. U, I: Effektivwerte. ϕ=ϕu − ϕi : Phasenverschiebungswinkel. Z: Impedanz.
Y : Admittanz
I
I
Q
S
S
U
S
ES
VS
U
® ES
I
I
S
S
U
U
VS
VS
P
ES
ES
VS
Realisierung der Vorzeichen von P und Q durch Beispielnetzwerke. Sie sind jeweils in die
ihrer Wirk- und Blindleistung entsprechenden Quadranten der S-Ebene eingezeichnet.
Beispiel Im 1. Quadranten (P > 0, Q > 0, 0 < ϕ < π/2) nimmt der rechte Zweipol
Wirk- und Blindleistung auf, der linke gibt sie ab.
41
7.10.6
Leistungsanpassung
Z a = Z ∗ie
oder
Y a = Y ∗ie
Die Bedingungen sind gleichwertig und führen zur maximalen Wirkleistung in der Last Z a oder Y a (vgl. 7.8.2 bzw.
7.8.3).
7.11
Ortskurven
7.11.1
Gerade durch den Ursprung und ihre Inversion
G0 = pB
G0 : Gerade durch den Ursprung. B: komplexe Konstante.
p: reeller Parameter. B ∗ : konjugiert komplexe Konstante.
B = |B|.
Die Inversion einer Geraden durch den Ursprung ergibt wieder eine Gerade durch den Ursprung.
1
1 B∗
=
G0
p B2
7.11.2
Gerade mit Abstand zum Ursprung und ihre Inversion
G = A + pB
A, B: komplexe Konstanten. p: reeller Parameter.
Die Inversion einer Geraden, die nicht durch den Ursprung
geht, ergibt einen Kreis durch den Ursprung.
1
1
=
G
A + pB
Mittelpunkt und Radius des Inversionskreises
M=
7.11.3
1
1
2en Re{A/en }
Kreis mit Abstand zum Ursprung und seine Inversion
A + pB
C + pD
1
C + pD
=
K
A + pB
K=
7.12
B
bzw.
R = |M |
|B|
Der ursprungsfernste Punkt (Scheitelpunkt) des Inversionskreises 1/G ist 2M . Die Einheitskonstante en steht senkrecht auf der Geraden G.
mit en =j
A, B, C, D,: komplexe Konstanten. p: reeller Parameter.Die
Inversion eines Kreises, der nicht durch den Ursprung geht,
führt auf einen Kreis, der ebenfalls nicht durch den Ursprung geht.
Reihenschwingkreis
7.12.1
λ1,2
Eigenwerte
sµ ¶
s
µ ¶2
2
R
R
1
R
1
R
=−
±
−
= − ±j
−
2L
2L
LC
2L
LC
2L
Reihenschwingkreis: Eine ideale Spannungsquelle erregt die
in Serie geschalteten Komponenten Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C.
7.12.2
Dämpfungsgrad
r
R C
D=
2 L
R: Widerstand. L: Induktivität. C: Kapazität. D = 0: ungedämpft schwingende, 0 < D < 1: gedämpft schwingende,
D > 1: aperiodische Eigenlösung. D = 1: aperiodischer
Grenzfall
42
7.12.3
ω0 =
r
Kennkreisfrequenz
1
LC
L: Induktivität. C: Kapazität. Die Kennkreisfrequenz ist
gleich der Eigenkreisfrequenz für R = 0.
7.12.4
Eigenkreisfrequenz
√
e
ω0 : Kennkreisfrequenz. D: Dämpfungsgrad. Die Eigenkreisω = ω0 1 − D2
frequenz ist gleich der Kreisfrequenz der freien Schwingung.
7.12.5
Resonanzfrequenz der Widerstandsspannung
ωR = ω0
ω0 : Kennkreisfrequenz. Die Amplitude der Schwingungsgröße ist bei ihrer Resonanzfrequenz maximal.
ωL = ω0 √
1
1 − 2D2
ω0 : Kennkreisfrequenz. D: Dämpfungsgrad. Die Amplitude
der Schwingungsgröße ist bei ihrer Resonanzfrequenz maximal.
7.12.6
Resonanzfrequenz der Kondensatorspannung
√
ωC = ω0 1 − 2D2
ω0 : Kennkreisfrequenz. D: Dämpfungsgrad. Die Amplitude
der Schwingungsgröße ist bei ihrer Resonanzfrequenz maximal.
7.12.7
Kompensationskreisfrequenz
ωK = ω0
ω0 : Kennkreisfrequenz. Die Reihenschaltung aus R, L und
C hat bei ωK eine reelle Impedanz. Die Kompensationsfrequenz ist bei schwach gedämpften Schwingkreisen eine
Näherung der Resonanzfrequenz.
7.12.8
Frequenz-Bandbreite der Widerstandsspannung
¢
ω0 ¡√
∆f = fgo − fgu mit fgo,gu =
1 + D2 ± D
2π
fgo,gu : obere, untere Grenzfrequenz,
bei der die Wider√
standsspannung den 1/ 2-fachen Wert ihres Resonanzwertes hat. ω0 : Kennkreisfrequenz. D: Dämpfungsgrad
7.12.9
Q=
Güte des Reihenschwingkreis
fR
1
=
∆f
2D
fR = ω0 /(2π): Resonanzfrequenz der Widerstandsspannung. ∆f : Frequenz-Bandbreite der Widerstandsspannung.
D: Dämpfungsgrad
43
8
Dreiphasensystem mit harmonischen Strömen
und Spannungen
8.1
8.1.1
Symmetrische Dreiphasensysteme
Phasenfolge im Zeitdiagramm
u1 u 2 u 3
1, 2, 3
8.1.2
Die Phasenfolge in einem Dreiphasensystem ist die zeitliche
Reihenfolge, in der die gleichartigen Augen-...
Phasenfolge im Zeigerbild
1, 2, 3
...blickswerte der elektrischen
Spannungen in den einzelnen
Strombahnen auftreten. Abgebildet ist der Fall 1, 2, 3.
t
U2
U3
U1
8.1.3
Beziehung zwischen Leiter- und Stranggrößen bei Sternschaltung
√
UL = 3UStr und IL = IStr
Index Str: Stranggrößen. Index L: Leitergrößen. U, I: Effektivwerte
8.1.4
Beziehung zwischen Leiter- und Stranggrößen bei Dreieckschaltung
√
UL = UStr und IL = 3IStr
Index Str: Stranggrößen. Index L: Leitergrößen. U, I: Effektivwerte
8.1.5
Phasenverschiebungswinkel der Stränge
ϕStr = ϕuStr − ϕiStr
8.1.6
Wirkleistung
P = 3UStr IStr cos ϕStr =
Gilt für Stern- und Dreieckschaltung.
√
3UL IL cos ϕStr
Index Str: Stranggrößen. Index L: Leitergrößen. U, I: Effektivwerte. Gilt für Stern- und Dreieckschaltung.
8.1.7
Blindleistung
Q = 3UStr IStr sin ϕStr =
√
3UL IL sin ϕStr
Index Str: Stranggrößen. Index L: Leitergrößen. U, I: Effektivwerte. Gilt für Stern- und Dreieckschaltung.
44
8.1.8
Scheinleistung
√
S = 3UStr IStr = 3UL IL
8.2
8.2.1
Index Str: Stranggrößen. Index L: Leitergrößen. U, I: Effektivwerte. Gilt für Stern- und Dreieckschaltung.
Unsymmetrische Dreiphasensysteme
Dreieckschaltung
Strangströme
1
I 12
U
= 12
Z 12
I 23
U
= 23
Z 23
I 31 =
U 31
Z 31
2
U12;23;31
I1
I2
I3
3
Doppelindex: Stranggrößen. Die
Leiterspannungen erfüllen die
Gleichung U 12 + U 23 + U 31 = 0.
Z12;23;31
1
2
I12
Leitersströme
I 1 = I 12 − I 31 , I 2 = I 23 − I 12 und I 3 = I 31 − I 23
I 12 , I 23 , I 31 : Strangströme
8.2.2
Sternschaltung mit angeschlossenem Sternpunkt
Strangströme
I 1;2;3 Z 1;2;3
1
U 1,2,3
Z 1,2,3
2
U 1;2;3
I 1,2,3 =
Strangspannungen U 1,2,3 beliebig. I 1,2,3 : Strangströme
3
I0
M
Strom des Mittelpunktsleiters
I0 = I1 + I2 + I3
8.2.3
I 1,2,3 : Strangströme
Sternschaltung mit freiem Sternpunkt
Strangströme
µ
¶
µ
¶
U 31
U 12
Z E U 12
Z E U 23
−
I2 =
−
I1 =
Z1
Z2
Z3
Z2
Z3
Z1
µ
¶
µ
¶
Z E U 31
U 23
1
1
1
1
I3 =
−
mit
=
+
+
Z3
Z1
Z2
ZE
Z1
Z2
Z3
U12,23,31 I1,2,3 Z 1,2,3
1
2
V
3
Dreileitersystem: Der Laststernpunkt V ist nicht angeschlossen. Z E : Ersatzwiderstand. Z 1,2,3 : Strangimpedanzen. Die Leiterspannungen erfüllen U 12 + U 23 + U 31 = 0.
45
Strangspannungen
U 1V = Z 1 I 1
U 2V = Z 2 I 2
U 3V = Z 3 I 3
Z 1,2,3 : Strangimpedanzen. I 1,2,3 : Strangströme wie oben.
U 1V,2V,3V : Strangspannungen
8.2.4
p=
Momentanleistung aus Leitergrößen eines Mehrleitersystems
n
P
µ=1
ϕµ iµ
µ: Leiterindex. ϕµ : Leiterpotenziale. iµ : Leiterströme. Gemeinsamer Potenzial-Bezugspunkt beliebig wählbar. n: Leiterzahl. Drehstromsystem mit Mittelpunktsleiter: n = 4,
ohne: n = 3. Gilt für beliebige Last einschließlich Sternund Dreieckschaltung.
46
9
Instationäre Vorgänge in linearen, zeitinvarianten
Netzwerken
9.1
Netzwerk mit einem Speicher
9.1.1
Differentialgleichung
dz
= λz + q
dt
Die Kirchhoff’schen Sätze führen auf eine Differenzialgleichung, die sich in die linksstehende Form kleiden lässt.
z: Kondensatorspannung oder Spulenstrom (Zustandsgröße
des Speichers). λ: Eigenwert. q: Störfunktion mit Zeitverlauf der Quellengrößen.
Anfangswert z(0)
Eigenwert und Eigenzeitkonstante
τ =−
1
λ
Die Eigenzeitkonstante τ ist gleich dem negativen Kehrwert
des Eigenwerts λ.
9.1.2
Lösung durch Integration


Zt
0
z(t) =eλt z(0) + e−λt q(t0 )dt0 
0
0
Die Lösung gilt auch für den Resonanzfall (q ∼ eλt ).
9.1.3
Lösung nach dem Superpositionsverfahren
z(t) = (z(0) − zp (0))eλt + zp (t)
Die Lösung setzt sich aus der partikulären Lösung zp und
der Ausgleichslösung zusammen und gilt nicht für den Resonanzfall (q ∼ eλt ).
Erzwungene oder partikuläre Lösung
zp
9.2
9.2.1
Jede Lösung, welche die DGl. erfüllt, heißt partikulär oder
erzwungen. Sie ist oft vom Zeitverlaufstyp der Anregung
und braucht den Anfangswert nicht zu erfüllen. Für ein
Netzwerk ohne Quellen gilt zp = 0.
Netzwerk mit mehreren Speichen
Differentialgleichung
dz
= Az + q mit Anfangsvektor z(0)
dt
Die Kirchhoff’schen Sätze führen bei einem Netzwerk mit
n Speicherelementen auf eine vektorwertige Differenzialgleichung der angegebenen Form. z: Zustandsvektor mit insgesamt n Kondensatorspannungen oder Spulenströmen als
Koordinaten. A: Systemmatrix vom Typ n × n. q: Störvektor vom Typ n × 1 mit den Zeitfunktionen der Quellengrößen
47
9.2.2
Numerische Lösung
dz
vor. Sie ist damit zahlreichen
dt
numerischen Lösungsverfahren (z. B. nach Runge-Kutta) zugänglich. Lösungsverfahren
siehe auch A.9
Die Vektordifferentialgleichung liegt aufgelöst nach
9.2.3
Lösung nach dem Superpositionsverfahren
z = Zc + z p
Z: Fundamentalmatrix. c: Konstantenvektor. z p : partikuläre Lösung. Alle Größen außer c sind Zeitfunktionen. Die
Lösung setzt sich aus der partikulären Lösung z p und der
Ausgleichslösung zusammen. Gilt nicht für den Fall mehrfacher Eigenwerte!
Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix
λe = Ae
Eigenvektoren e und Eigenwerte λ der Matrix A sind durch
Lösung des nebenstehenden Matrizeneigenwertproblems zu
beschaffen.
Fundamentalmatrix
¡
¢
Z = e1 eλ1 t e2 eλ2 t . . . en eλn t
Die Spalten der Fundamentalmatrix sind jederzeit eigenvektorparallel. λ1,2,...n : Eigenwerte. e1,2,...,n : Eigenvektoren.
Typ der Matrix: n × n. Gilt nicht für den Fall mehrfacher
Eigenwerte!
Erzwungene oder partikuläre Lösung
zp
Jede Lösung, welche die DGl. erfüllt, heißt partikulär oder
erzwungen. Sie ist oft vom Zeitverlaufstyp der Anregung
und braucht den Anfangsvektor nicht zu erfüllen. Für ein
Netzwerk ohne Quellen gilt z p = 0.
Konstantenvektor
Z(0)c = z(0) − z p (0)
Der Konstantenvektor c folgt aus dem nebenstehenden linearen Gleichungssystem mit den Anfangswerten z(0) des
Problems, Z(0) der Fundamentalmatrix und z p (0) der erzwungenen Lösung. Im Fall z(0) = z p (0) gilt c = 0, d. h. es
tritt kein Ausgleichsvorgang auf.
48
A
A.1
Mathematik
Kreisfunktionen
A.1.1
Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens
a
b
cos α =
c
c
Bezeichnungen siehe Bild bei A.3.
tan α =
sin α =
A.1.2
a
b
cot α =
b
a
Eigenschaften und Verknüpfungen
Symmetrie
sin α = − sin(−α)
cos α = cos(−α)
Sinus, Cosinus und Tangens
sin2 α + cos2 α = 1
sin α
cos α
tan α =
Orthogonalität
³π
´
sin
± α = cos α
2
cos
Summe und Differenz zweier Winkel
sin(α + β) = sin α cos β ± cos α sin β
³π
2
´
± α = ∓ sin α
cos(α + β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Winkelverdopplung
cos 2α = cos2 α − sin2 α
sin 2α = 2 sin α cos α
sin 2α =
2 tan α
1 + tan2 α
cos 2α =
1 − tan2 α
1 + tan2 α
Summe und Differenz zweier Funktionen
α−β
sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2
α−β
sin α − sin β = 2 cos α+β
2 sin 2
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos 2
α−β
cos α − cos β = −2 sin α+β
2 sin 2
Produkte von Sinus und Cosinus
1
sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
sin α cos β = [sin(α − β) + sin(α + β)]
2
Quadrat von Sinus und Cosinus
sin2 α =
1
(1 − cos 2α)
2
cos2 α =
1
(1 + cos 2α)
2
Komplexe Darstellung von Sinus und Cosinus
sin α =
1 jα
(e − e−jα )
2j
cos α =
49
1 jα
(e + e−jα )
2
Kreisfunktionswerte für besondere Winkel: siehe Tabellenanhang D.2
A.2
Koordinatensystem im Ortsraum
A.2.1
Einheitsvektor
Der Einheitsvektor ~ek zur Koordinate k im Punkt P führt mit einem Schritt der Länge
eins in die Richtung, in der sich die k-Koordinate vergrößert und die beiden anderen
konstant bleiben.
A.2.2
Kartesische Koordinaten
y
x, y, z
Die Einheitsvektoren ~ex , ~ey , ~ez
bilden in dieser Reihenfolge ein
rechtshändiges System. Sie sind
koordinatenunabhängig.
A.2.3
Zylinderkoordinaten
r, ϕ, z
Die Einheitsvektoren ~er , ~eϕ , ~ez
bilden in dieser Reihenfolge ein
rechtshändiges System. Nur ~ez
ist koordinatenunabhängig.
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
A.2.4
ϕ
x
z
Die Einheitsvektoren ~er , ~eδ , ~eϕ
bilden in dieser Reihenfolge ein
rechtshändiges System. Sie sind
koordinatenabhängig.
x = r sin δ cos ϕ
y = r sin δ sin ϕ
z = r cos δ
r
±
z
x
y
'
Dreieck, Kreis und Kugel
b
q
r
°
b
a
h
®
r
y
Kugelkoordinaten
r, δ, ϕ
A.3
x
z
a
¯
®
p
c
c
Satz des Pythagoras und Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck
a2 + b2 = c2
h2 = pq
Sinus- und Cosinussatz im schiefwinkligen Dreieck
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
50
Winkelsumme und Fläche im schiefwinkligen Dreieck
A=
α+β+γ =π
sh
2
mit
s = Seitenlänge. h=Höhe auf der Seite
Kreisumfang und -f lächeninhalt
A = πr2
U = 2πr
Kugeloberf läche und Volumen
A = 4πr2
A.4
V =
Nullstellen der quadratischen Funktion
2
f (x) = x + px + q
A.5
A.5.1
x1,2
p
=− ±
2
r³ ´
p 2
−q
2
Vektoren
Schreibweisen

Ax
~ = Ax~ex + Ay ~ey + Az ~ez =  Ay 
A
Az

A.5.2 Betrag und Einheitsvektor
¯ ¯
q
¯ ~¯
¯A¯ = A = A2x + A2y + A2z
A.5.3
4π 3
r
3
~ex , ~ey , ~ez : Einheitsvektoren, Ax , Ay und
Az : Koordinaten, Ax~ex , Ay ~ey , Az ~ez : Kom~ Koordinaten sind
ponenten des Vektors A.
Skalare, Komponenten Vektoren.
~eA =
~
A
A
mit
|~eA | = 1
Gleichheit
~=B
~ ⇐⇒ Ax = Bx , Ay = By , Az = Bz
A
A.5.4
Addition und Multiplikation mit einem Skalar




Ax + Bx
cAx
~+B
~ =  Ay + By 
~ = Ac
~ =  cAy 
A
cA
Az + Bz
cAz
A.5.5
Skalarprodukt
~B
~ =B
~A
~ = AB cos α = Ax Bx + Ay By + Az Bz = AB B = ABA
A
~ und B.
~ AB : B-Koα=Winkel zwischen A
~ BA : A-Koordinate von B
~
ordinate von A.
~B
~ ist ein Ska(s. u.). Das Skalarprodukt A
lar.
51
A.5.6
Koordinate und Komponente eines Vektors in Richtung eines anderen Vektors
~?B
A
~
A
~ eB = A cos α
AB = A~
~ B = AB ~eB
bzw. A
~
B
®
~B
A
A.5.7
Orthogonale Zerlegung eines Vektors zur Basis eines anderen
³
´
³
~=A
~B + A
~ ⊥B = ~eB A~
~ eB + ~eB × A
~ × ~eB
A
~?B
A
~
A
´
~
B
®
~B
A
A.5.8
Vektorprodukt


Ay Bz − Az By
¯ ¯
¯~¯
~
~×B
~ =  Az Bx − Ax Bz  = C
mit
C = ¯C
A
¯ = AB sin α
Ax By − Ay Bx
~ steht senkrecht auf A
~ und B.
~ A,
~ B
~ und C~ bilden in dieser
C
Reihenfolge ein rechtshändiges System. α: Winkel zwischen
~ und B
~ mit 0 ≤ α ≤ π. Das Vektorprodukt heißt auch
A
Kreuzprodukt.
A.6
A.6.1
Komplexe Größen
Kartesische, polare und Euler’sche Darstellung
A = A1 + j Aj
bzw.
A = A(cos α+ j sin α)
bzw.
A = Aejα
A1 = ReA: Realteil von A. Aj = ImA: Imaginärteil von A.
A = |A|: Betrag von√A. α: Winkel zwischen A und und der
reellen Achse. j = −1: imaginäre Einheit
A.6.2
Realteil und Imaginärteil
A1 = ReA
bzw.
Aj = ImA
A1 : Realteil von A, Aj : Imaginärteil von A. Der Imaginärteil
ist reell.
A.6.3
Betrag
q
A = |A| = A21 + A2j
A.6.4
Winkel
Aj
α = ArcA = Arctan
+
A1
A: Betrag von A. A1 und Aj : Real- bzw. Imaginärteil von A.
½
0, wenn A1 > 0
π, wenn A1 < 0
α: Winkel zwischen A und und der reellen Achse. A1 : Realteil von A. Aj : Imaginärteil von A.
52
A.6.5
Multiplikation mit einer reellen Konstanten und Summe oder Differenz zweier komplexer Größen
cA = cA1 + j cAj = cA e jα
A.6.6
A ± B = (A1 ± B1 ) + j (Aj ± Bj )
Produkt
AB = BA = A1 B1 − Aj Bj + j (A1 Bj + Aj B1 ) = ABe j(α+β)
A.6.7
Quotient
A
Aj B1 − A1 Bj
A
A1 B1 + Aj Bj
+j
= e j(α−β)
=
2
2
2
2
B
B1 + Bj
B1 + Bj
B
A.6.8
Kehrwert und Potenz mit reellem Exponenten
∗
1
A
A1 − j Ajj
1
= 2 =
= e −jα
2
2
A
A
A1 + Aj
A
An = An e jnα = An (cos nα+ j sin nα)
A.6.9
Wurzel
α + k2π
µ
¶
√ j
√
√
α + k2π
α + k2π
n
n
A = n Ae
= n A cos
+ j sin
n
n
A.6.10
Natürlicher Logarithmus
ln A = ln A+j α
A.6.11
Ungedämpfte Schwingung
¡
¢∗
Ae jωt + Ae jωt
A cos(ωt + α) = A1 cos ωt − Aj sin ωt =
2
mit A = Ae jα = A1 + jAj
A.6.12
Gedämpfte Schwingung
¡
¢∗
AeBt + AeBt
B1 t
Ae
cos(Bj t + α) =
mit A = Ae j α und B = B1 + j Bj
2
A.6.13
Transformation harmonischer Schwingungen in komplexe Größen
Zeitbereich
Komplexe Ebene
Def inition
√ von ruhenden Effektivwertzeigern
a = A 2 cos(ωt + α)
⇔A= Ae jα
√
b = B 2 cos(ωt + β)
⇔B= Be jβ
Summe und Differenz harmonischer Schwingungen
a±b
⇔A±B
Differentiation harmonischer Schwingungen
da
dt
⇔ j ωA
Integration harmonischer Schwingungen
Z
A
adt
⇔
jω
53
A.7
Differentiation
A.7.1
Produkt- und Quotientenregel
u
du
dv
v−u
v = dx
dx
dx
v2
d
d(uv)
du
dv
=
v+u
dx
dx
dx
A.7.2
Kettenregel
du
du dv
=
·
dx
dv dx
A.8
mit
u(v) und v(x)
Integration
A.8.1 Integration durch Substitution und partielle Integration
Z
Z
Z
Z
dx
du
dv
u(x)dx = u(x) dt
bzw.
vdx = uv − u dx
dt
dx
dx
A.9
µ
f
Euler’sches Rückwärtsverfahren
dz
, z, t
dt
µ1
f
¶
=0
z − 0z 1 1
, z, t
h
¶
=0
Oben: Vektordifferentialgleichung. Unten: Zugehöriges algebraisches Gleichungssystem.
z: Zustandsvektor. h: Integrationsschrittweite. 0 t und
1
t: Zeitpunkte am Beginn bzw. Ende des h-Intervalls.
0
z = z(0 t) und 1 z = z(1 t).
54
A.10
Integrale und Ableitungen für Vektor- und Skalarfelder
A.10.1
Integrationsbereiche
Die Integrationsbereiche der folgenden Integrale bedeuten: V: Volumen, A: Fläche,
S: Kurve, ∂V: Oberfläche des Volumens V, ∂A: Randkurve der Fläche A. Sie können
materielle Objekte (Körper, Blätter, Fäden) oder gedachte Bilanzfiguren darstellen.
V, A und S sind nicht mit dem Inhalt eines Volumens bzw. einer Fläche bzw. der
Länge einer Kurve zu verwechseln.
A.10.2
Integrale
Linienintegral
Z
Z
Z
L = ~v d~s = vt d~s = v cos αds = v t l
S
S
(A.10.1)
S
S: Orientierte Raumkurve mit Anfangs- und Endpunkt. ~v : Feldvektor. v: Betrag
des Feldvektors. d~s: vektorielles Wegelement, tangential an Kurve und zum Endpunkt orientiert. vt : Koordinate von ~v in Richtung von Rd~s (Tangentialkoordinate).
α=∠(~v ,d~s). v t : Durchschnitt von vt längs der Kurve. l = ds=Länge der Kurve
S
Beispiel Das Linienintegral der Kraft ist gleich der von der Kraft längs des Weges
geleistete Arbeit.
Sonderfall Der Integrationsweg
verläuft längs der s-Achse von Koordinate s1 nach
Rs
s2 (gerader Weg): L = ~es s12 ~v ds mit ~es =Einheitsvektor in Richtung der s-Achse
Sonderfall Homogenes Feld und beliebiger Integrationsweg: L = ~v~s mit ~s: Schrittvektor vom Anfangs- zum Endpunkt des Weges
Umlauf integral
I
Z
C = ~v d~s =
~v d~s
(A.10.2)
∂A
∂A: Geschlossene orientierte Raumkurve. ~v : Feldvektor. d~s: vektorielles Wegelement,
tangential an Kurve unter Beachtung der Orientierung. Ein Linienintegral heißt Umlaufintegral, wenn der Integrationsweg geschlossen ist.
Sonderfall Vektorfelder, bei denen für beliebige UmläufeIC = 0 gilt, heißen konservativ oder wirbelfrei. Homogene Felder sind wegen C = ~v d~s = ~v~0 = 0 wirbelfrei.
Skalarpotenzial
Z
ϕ(A) =
~v d~s + ϕ(B)
(A.10.3)
SAB
SAB : Beliebige Raumkurve vom Aufpunkt A zum Bezugspunkt B. ~v : Feldvektor.
d~s: vektorielles Wegelement. ϕ(B): wählbares Bezugspotential. Für wirbelfreie Felder
(rot~v = 0) ist das Skalarpotential eindeutig (→Rotation, →Zirkulation).
55
Fluss eines Vektorfelds
Z
Z
Z
~
Φ = ~v dA = vn dA = v cos αdA = v n A
A
A
(A.10.4)
A
~ vektorielles Flächenelement
A: Orientierte Fläche im Raum. ~v : Feldvektor. dA:
(Betrag: Flächeninhalt des Elements, Richtung: lokal senkrecht zur Fläche, Orientierung: wählbar, aber überall zur gleichen Seite der Fläche). vn : Koordinate von ~v
~
~
in Richtung in Richtung von
R dA (Normalkoordinate). α=∠(~v ,dA). v n : Durchschnitt
von vn in der Fläche. A = dA=Flächeninhalt
A
Beispiel Der Fluss Φ der Strömungsgeschwindigkeit in m/s ist gleich dem Volumenstrom in m3 /s.
~ Φ = A~
~v
Sonderfall Homogenes Feld ~v und ebene Fläche A:
Hüllenf luss eines Vektorfelds
I
I
Z
~ = ~v dA
~ = ~v dA
~
H = ~v dA
∂V
(A.10.5)
∂V
~ vektorielles Flächenelement (Be∂V: Oberfläche eines Volumens. ~v : Feldvektor. dA:
trag und Richtung: wie bei Fluss eines Vektorfelds, Orientierung: nach außen).
Beispiel Der Hüllenfluss der Strömungsgeschwindigkeit einer inkompressiblen Flüssigkeit ist gleich null; was durch einen Teil der Oberfläche einströmt, fließt durch die
restliche wieder ab.
Fluss eines Skalarfelds
Z
~
F~ = pdA
(A.10.6)
A
~ vektorielles Flächenelement, wie
A: Orientierte Fläche im Raum. p: skalares Feld. dA:
bei Fluss eines Vektorfelds.
Beispiel Der Fluss einer mechanischen Normalspannunng (Skalarfeld) ist gleich der
Normalkraft auf die Fläche.
Hüllenf luss eines Skalarfelds
I
I
Z
~
~
~
~
H = pdA = pdA = pdA
∂V
(A.10.7)
∂V
~ Wie bei Hüllenfluss eines Vektorfelds
p: Skalarfeld. ∂V und dA:
Beispiel Der Hüllenfluss der Normal-Druckspannung (p < 0), die auf einen untergetauchten Körper wirkt, ist gleich seiner Auftriebskraft.
A.10.3
Ableitungen von Vektor- und Skalarfeldern
Im Folgenden sind die Begriffe Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot)
koordinatensystem-unabhängig als Volumenableitungen definiert. Daraus folgen (hier
nicht dargestellte) verschiedene Formeln für verschiedene Koordinatensysteme.
56
Gradient eines Skalarfelds
Def inition als Volumenableitung
I
1
~
gradp = lim
pdA
V →0 V
(A.10.8)
∂V
Die Integration erstreckt sich über die Oberfläche ∂V eines genügend kleinen
Volumens V, das den Aufpunkt enthält. Bezeichnungen: →Hüllenfluss eines Skalars.
V : Volumeninhalt von V
Der Vektor gradp ist ein aus dem Skalarfeld p gebildeter Vektor. Er hängt vom
Verlauf des Felds in unmittelbarer Nachbarschaft des Aufpunktes ab. Er steht
senkrecht auf den Flächen p = konst (Äquipotenzialflächen) und ist zum größeren p
hin orientiert. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs von p.
Koordinatenweise Def inition
(gradp)s =
∂p
∂s
(A.10.9)
(gradp)s : s-Koordinate von gradp. Das Zeichen ∂ steht für die partielle Ableitung.
Sonderfall Wenn die s-Achse im Aufpunkt eine Äquipotenzialfläche tangiert (tangential verlaufende Koordinatenachse t) gilt (gradp)t = 0.
Betrag und Richtung des Gradienten
|gradp| = (gradp)n
bzw.
~egradp = ~en .
(A.10.10)
Die n-Achse ist diejenige durch den Aufpunkt verlaufende Koordinatenachse, für die
∂p
maximal wird. ~en : zugehöriger Einheitsvektor
der Ausdruck ∂n
Rotation eines Vektorfelds
Def inition als Volumenableitung
I
1
~ × ~v
rot~v = lim
dA
V →0 V
(A.10.11)
∂V
Die Integration erstreckt sich über die Oberfläche ∂V eines genügend kleinen Volumens V, das den Aufpunkt enthält. Bezeichnungen: →Hüllenfluss eines Vektorfelds.
V : Inhalt von V. Der Vektor rot~v ist ein dem Vektorfeld ~v in jedem Aufpunkt zugeordneter weiterer Vektor. Er hängt vom Verlauf des Felds in unmittelbarer Nachbarschaft
des Aufpunktes ab. Felder mit rot~v 6= ~0 heißen Wirbelfelder. Felder mit rot~v = ~0 sind
wirbelfrei. Der Vektor rot~v ist ein Maß für das Drehmoment, welches das Feld ~v ,
umgedeutet in ein Geschwindigkeitsfeld, auf eine kleine Kugel in der Strömung beim
~ der Hülle tangentiaAufpunkt ausüben würde. Nur die zu den Flächenelementen dA
len Feldkomponenten liefern einen Beitrag zu rot ~v .
57
Koordinatenweise Def inition
I
1
(rot~v )A = lim
~v d~s
A→0 A
(A.10.12)
∂A
(rot~v )A : A-Koordinate von rot~v . Das Umlaufintegral erstreckt sich über den Rand ∂A
einer genügend kleinen ebenen Fläche A, die den Aufpunkt enthält. Ihr Inhalt und
~ festgelegt. Die Orientierungen von d~s
ihre Richtung sind durch den Flächenvektor A
~ sind rechtshändig zu koordinieren. Bezeichnungen: →Umlaufintegral.
und A
Betrag und Richtung der Rotation
|rot~v | = (rot~v )m
bzw.
~erot~v = ~em .
(A.10.13)
Der Einheitsvektor ~em bezeichnet die Ausrichtung der Fläche, für welche die
zugehörige Zirkulation maximal wird.
Divergenz eines Vektorfelds
I
1
~
div~v = lim
~v dA
V →0 V
(A.10.14)
∂V
Die Integration erstreckt sich über die Oberfläche ∂V eines genügend kleinen Volumens V, das den Aufpunkt enthält. Bezeichnungen: →Hüllenfluss eines Vektorfelds.
V : Inhalt von V
Der Ausdruck div~v ist ein dem Vektorfeld ~v in jedem Aufpunkt zugeordneter
Skalar. Sein Wert hängt vom Verlauf des Felds in unmittelbarer Nachbarschaft des
Aufpunktes ab. Felder mit div~v 6= 0 heißen Quellenfelder. Felder mit div~v = 0 sind
quellenfrei.
Beispiel Die Strömungsgeschwindigkeit einer inkompressiblen Flüssigkeit ist quellenfrei (→Hüllenfluss eines Vektorfelds).
Beispiel Wenn ~v eine Wärmestromdichte (in W/m2 ) ist, gibt der Vektor rot~v die
Wärmequellendichte (in W/m3 ) am gleichen Ort an.
A.10.4
Integralsätze
Integralsatz von Gauß
Z
I
~
div~v dV = ~v dA
V
(A.10.15)
∂V
V: Bilanzraum. Das Hüllenintegral erstreckt sich über die Oberfläche ∂V (Hülle) des
Bilanzraums V. Bezeichnungen: →Hüllenfluss eines Vektorfelds. Der Gauß’sche Satz
bietet eine besondere Möglichkeit, den Hüllenfluss eines Vektorfelds (linke Seite) als
Volumenintegral (rechte Seite) zu berechnen.
Integralsatz von Stokes
Z
I
~=
rot~v dA
~v d~s
A
(A.10.16)
∂A
A: Beliebige Bilanzfläche, die den Umlaufweg ∂A als Rand hat. Die Orientierungen
~ und d~s sind rechtshändig zu koordinieren. Bezeichnungen: →Umlaufintegral.
von dA
Bei bewegten Flächen gilt die momentane Fläche und der momentane Rand.
58
Zwei weitere Integralsätze
Z
I
~
gradp dV = p dA
V
Z
I
~ × ~v
dA
rot~v dV =
V
∂V
(A.10.17)
∂V
p: Potenzial. Weitere Bezeichnungen: → Integralsatz von Gauß. Der Gauß’sche Satz
Gl. A.10.15 und die beiden weiteren (manchmal ebenfalls nach Gauß benannten)
Sätze Gl. A.10.17 folgen nach gleichem Muster aus den Hüllenintegral-Definitionen
von div~v , gradp bzw. rot~v .
A.10.5
Helmholtz’sches Theorem

~v = −grad 
1
4π

1
+ rot 
4π
Z
div ~v
1
dV −
a
4π
V
Z
V
I
∂V
I
1
rot ~v
dV −
a
4π

~
~v dA 
a

~ × ~v
dA

a
(A.10.18)
∂V
Berechnung eines Felds ~v aus seinen Quellen, seinen Wirbeln und seinen Randwerten.
V: Volumen, in dem die Quelldichte div ~v und die Wirbeldichte rot ~v herrschen.
~ = vn dA und dA
~ × ~v = vt dA(~en × ~et ) die
∂V: Oberfläche von V, auf der mit ~v dA
Normal- und Tangentialkoordinaten vn bzw. vt des Felds ~v bekannt sind. a: Abstand
~ Das Randzwischen Aufpunkt und dem Ort des Integrationselements dV bzw. dA.
feld muss den Gauß’schen Integralsatz Gl. A.10.15 und den rechten Integralsatz von
Gl.-Zeile A.10.17 erfüllen.
59
B
Mechanik
B.1
Bewegung eines Punktes im Raum
~r
R
~v = v~et
~en
~r+d~r
v2
·
~b = ~bt + ~bn = v~
et + ~en
et
d~
r=~
v dt ~ ~
R
~r
~
~r, ~v , b: :Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes im Raum.
v = |~v |: Bahngeschwindigkeit. ~et : Tangenteneinheitsvektor. ~en : Normaleneinheitsvektor, zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet. R: Krümmungsradius. ~bt : Tangentialbeschleunigung. ~bn : Zentripetalbeschleunigung
B.2
Bewegung eines Punktes in der Ebene
Allgemein
Kreisbewegung auf Radius R
~e'
~e'
~er
~er
r
R
'
~0
B.2.1
Bahnkurve
~r = r~er
B.2.2
~r = R~er
Geschwindigkeit
·
·
~v = r~er + rϕ~eϕ
B.2.3
'
~0
~v = R
dϕ
~eϕ = v~eϕ
dt
Beschleunigung
2
2
··
~b = (r·· − rϕ· )~er + (2r· ϕ· + rϕ)~
eϕ
··
~b = −Rϕ· ~er + Rϕ~
eϕ
~b = ~br + ~bϕ
~b = ~br + ~bϕ
v = |~v |: Bahngeschwindigkeit. ~bϕ : Tangentialbeschleunigung. ~br : Zentripetalbeschleu·
·
·
·
nigung. Es gilt ~er = ϕ~eϕ und ~eϕ = −ϕ~er .
B.3
ω=
Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
dϕ
·
=ϕ
dt
bzw.
α=
dω
d2ϕ
··
= 2 =ϕ
dt
dt
60
B.4
Kraft, Moment, Energie und Leistung
Translation
B.4.1
Rotation
Masse und Massenträgheitsmoment als Trägheitsgröße
Z
J=
r2 dm
m
Körper
B.4.2
Bewegungsgleichung
F =m
B.4.3
dv
dt
M =J
Rückstelleffekt von Federelementen
F = −cs
B.4.4
M = −cd ϕ
Widerstandseffekt von Dämpfungselementen
F = −dv
B.4.5
M = −dd ω
Arbeit bei geführter Bewegung
Z
F ds
W =
W =
Z
M dϕ
Führungsweg
B.4.6
B.4.7
1 2
cs
2
Wp =
1
cd ϕ2
2
Wk =
1 2
Jω
2
Kinetische Energie
Wk =
P =
Führungswinkel
Potentielle Energie einer Feder
Wp =
B.4.8
dω
dt
1
mv 2
2
Leistung
dW
= Fv
dt
P =
61
dW
= Mω
dt
C
C.1
P =
C.2
Wärmelehre
Wärmestrom
∆ϑ
R
P : Wärmestrom (Leistung). ∆ϑ: Temperaturdifferenz,
Erwärmung, Übertemperatur. R: Wärmewiderstand
Wärmewiderstände
C.2.1
Stab
l
R=
λA
C.2.2
R=
l: Stablänge. A: Stabquerschnitt. λ: spezifische Wärmeleitfähigkeit
Zylinderschale
1
ra
ln
2πλL ri
L: Zylinderlänge. λ: spezifische Wärmeleitfähigkeit. ri : Innenradius. ra : Außenradius. Radiale Wärmeströmung
C.2.3
Kugelschale
µ
¶
1
1
1
R=
−
4πλ ri
ra
C.2.4
R=
C.2.5
R=
Konvektion
1
αA
P
µ
C.2.6
α: Wärmeübergangszahl in W/(m2 K). A: Wärmeübergangsfläche
Reihenschaltung
Rµ
R: Ersatzwärmewiderstand. Rµ : vom gleichen Wärmestrom
durchflossene Wärmewiderstände
Parallelschaltung
P 1
1
=
R
µ Rµ
C.3
λ: spezifische Wärmeleitfähigkeit. ri : Innenradius. ra : Außenradius. Zentralsymmetrische Wärmeströmung
R: Ersatzwärmewiderstand. Rµ : Wärmewiderstände mit
gleicher Temperaturdifferenz
Wärmebilanzgleichung homogener Körper und Lösung
dϑ
CW
= Pzu − Pab
dt
bzw.
1
ϑ=
CW
Zt
(Pzu − Pab )d t0 + ϑ0
t0
ϑ: Körpertemperatur (homogen). CW : Wärmekapazität in
J/K. Pzu,ab : zugeführte bzw. abgeführte Leistung (i. A.
zeitabhängig). ϑ0 : Körpertemperatur zur Zeit t0 . t0 : Zeit
als Integrationsvariable
62
D
Tabellen
D.1
α
β
γ
δ
ε
ζ
A
B
Γ
∆
E
Z
D.2
Griechisches Alphabet
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
H
Θ
I
K
Λ
M
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
ν
ξ
o
π
ρ
σ
N
Ξ
O
Π
P
Σ
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Werte der Kreisfunktionen für besondere Winkel
π
6
π
4
π
3
π
2
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
sin
0
1
2
1√
2
2
1√
3
2
1
cos
1
1√
3
2
1√
2
2
1
2
0
tan
0
cot
∞
D.3
1√
3
3
√
3
√
1
1
3
∞
1√
3
3
0
Zeichen für Verhältnisgrößen
Sprechweise
Zeichen
Faktor
Sprechweise
Zeichen
Faktor
Per unit
Prozent
Promille
Part per million
pu
%
‰
ppm
1
0,01
0,001
10−6
Part per billion
Part per trillion
Part per quadrillion
ppb
ppt
ppq
10−9
10−12
10−15
D.4
SI-Basis-Einheiten
Größe
Symbol
Einheit
Symbol
Länge
Masse
Zeit
Elektrische Stromstärke
Thermodynamische Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
l
m
t
i
T
I
n
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
m
kg
s
A
K
cd
mol
63
D.5
Abgeleitete SI-Einheiten
Größe
Symbol
Einheit
Symbol
Drehmoment
~
M
Newton·Meter
Nm
Druck, Spannung
p
Pascal
Pa
Ebener Winkel
α
Radiant
rad
Darstellungsvarianten
Elektr. Dipolmoment p~
Coulomb·Meter Cm
kg m2
s2
N
kg
= 2 = 2
m
s m
m
180◦
=
=1=
m π
π
rad
1◦ =
180◦
= As m
Elektr. Durchflutung Θ
Ampere
A
Basiseinheit
V
m
C
N
kg m
= 3
C
s A
= As
C
m2
=
As
m2
1
s 3 A2
=
Ωm
kg m3
=
Elektr. Feldstärke
~
E
Volt/Meter
Elektr. Fluss
Ψ
Coulomb
Elektr. Flussdichte
~
D
Coulomb/
Quadratmeter
Elektr. Leitfähigkeit
κ
Siemens/Meter
S
m
=
Elektr. Leitwert
G
Siemens
S
=
Elektr. Polarisation
P~
Coulomb/
Quadratmeter
Elektr. Potenzial
ϕ
Volt
V
Elektr. Spannung
U
Volt
V
Elektr. spezifischer
Widerstand
ρ
Ohm·Meter
Ωm
Elektr. Strombelag
A
Ampere/Meter
Elektr. Stromdichte
~
S
Ampere/
Quadratmeter
Elektr. Widerstand
R
Ohm
Ω
=
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
W
Joule
J
= Nm = Ws =
64
C
m2
A
m
A
m2
=
1
s 3 A2
=
Ω
kg m2
As
= 2
m
J
W
kg m2
=
= 3
C
A
s A
J
W
kg m2
=
=
= 3
C
A
s A
Vm
kg m3
=
= 3 2
A
s A
=
A
m
A
= 2
m
=
V
kg m2
= 3 2
A
s A
kg m2
s2
Abgeleitete SI-Einheiten (Fortsetzung)
Größe
Symbol
Einheit
Symbol
Frequenz
f
Hertz
Hz
Impuls
p~
Newton·Sekunde Ns
Induktivität
L
Henry
H
Kapazität
C
Farad
F
Kraft
F~
Newton
N
Ladung
Q
Coulomb
C
Leistung
P
Watt
W
Magn. Dipolmoment
m
~
Ampere·Quadratmeter
Am2
Magn. Feldstärke
~
H
Ampere/Meter
A
m
Magn. Fluss
Φ
Weber
Wb
Magn. Flussdichte
Magn. Induktion
~
B
Tesla
T
Magn. Leitwert
Gm
Weber/Ampere
H
Magn. Polarisation
J~
Tesla
T
Magn. Skalarpotenzial
ψ
Ampere
A
Magn. Schwund
−
Volt
V
Magn. Spannung
V
Ampere
A
J
W
kg m2
=
= 3
C
A
s A
Basiseinheit
~
Magn. Vektorpotenzial A
Tesla·Meter
Tm
=
Magn. Widerstand
Henry−1
H−1
dΦ
dt
Rm
65
Darstellungsvarianten
1
s
kg m
=
s
Wb
Vs
kg m2
=
=
= 2 2
A
A
s A
2 4
C
As
A s
=
=
=
V
V
kg m2
kg m
= 2
s
= As
=
J
Nm
=
s
s
kg m2
= VA =
s3
2
= Am
=
=
A
m
kg m2
s2 A
Wb
kg
= 2 = 2
m
s A
= Vs =
Wb
Vs
kg m2
=
= 2 2
A
A
s A
Wb
kg
= 2 = 2
m
s A
Basiseinheit
=
=
kg m
Wb
= 2
m
s A
A
A
s2 A2
=
=
=
Wb
Vs
kg m2
Abgeleitete SI-Einheiten (Fortsetzung)
Größe
Symbol
Einheit
Magnetisierung
~
M
Ampere/Meter
Permeabilität
µ
Henry/Meter
Permittivität
ε
Farad/Meter
Raumladungsdichte
ρ
Coulomb/Kubikmeter
Raumwinkel
Ω
Winkelgeschwindigkeit
ω
D.6
A
m
H
m
Darstellungsvarianten
C
m3
A
m
Vs
kg m
=
= 2 2
Am
s A
As
s4 A2
=
=
Vm
kg m3
As
= 3
m
Steradiant
sr
=
Radiant/Sekunde
rad
s
=
F
m
m2
=m0 = 1
m2
1
=
s
Einige Einheiten außerhalb des SI
Kilopond
1kp
=9,807N
Bar
1bar
=105 Pa
D.7
Symbol
Kalorie
1cal
=4,1868J
Gauß
1G
=10−4 T
Oerstedt
1Oe
=79,577 A/m
Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Zehnerpotenz
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Zehnerpotenz
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yocto
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
66
D.8
Stoffwerte
Stoff
Dichte Spezif ische
Wärme
ρ
Tempera- Spez.
Relat. Relat.
turdehn- Leitfä- Permit- Permeabeiwert
higkeit tivität bilität
kg/m
cp
λ
α
κ
J/(kg K) W/(m · K) 10−6 K−1 S/m
2700
900
3
Aluminium
Wärmeleitfähigkeit
240
33·106
23
−12
Glas
2500
840
0,81
8
10
Kupfer
8900
390
400
17
56·106
−14
Luft
1,3
1000
0,025
1000
10
Öl
900
1900
0,13
250
10−12
−14
εr
1
µr
1
-
1
4
1
-
1
1
1
2,7
1
3
1
-
1...104
PVC
1400
1500
0,16
240
10
Stahl
7800
500
50
12
10·106
4200
0,6
100
50·10−6 80
Wasser, dest. 1000
1
Die Tabelle enthält nur grobe Richtwerte.
D.9
Naturkonstanten
Naturkonstante
Symbol und Wert
Bemerkung
Avogadro-Konstante
NA = 6, 022 · 1023 mol−1
früher Loschmidt’sche
Zahl genannt
Elektrische Feldkonstante
ε0 = 8, 85 · 10−12
Elektronen-Ruhemasse
me = 9, 11 · 10−31 kg
Elementarladung
e = 1, 602 · 10−19 C
Faraday-Konstante
F = 96485
Gravitations-Konstante
G = 6, 67 ·10−11
Magnetische Feldkonstante
µ0 = 4π · 10−7
Protonen-Ruhemasse
mp = 1, 67 · 10−27 kg
m
c0 = 299, 8 · 106
s
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
67
As
Vm
C
mol
µ0 ε0 c20 = 1
F = eNA
Nm2
kg2 l
Vs
Am
g = 9, 81
N
kg
µ0 ε0 c20 = 1
µ0 ε0 c20 = 1
Index
Ableitung
Dipol
Regeln, 54
elektrischer, 10
Admittanz, 37
magnetischer, 21
Alphabet
Dipolmoment
griechisches (Tabelle), 63
elektrisches, 10
Amplitude, 34
magnetisches, 21
Analogie
einer allgemeinen Leiterschleife,
zwischen elektrostatischem und Strömungs21
feld, 19
einer ebenen Leiterschleife, 21
Anpassung, siehe Leistungsanpassung
eines Punktdipols, 21
Arbeit
eines Strömungsgebietes, 21
bei geführter Bewegung, 61
Divergenz
elektrische, 6
eines Vektorfelds, 58
Drehmoment
Bandbreite
im elektrischen Feld, 15
der Widerstandsspannung
auf elektrischen Punktdipol, 15
beim Reihenschwingkreis, 43
im Magnetfeld
Bewegung
auf Leiterschleife, 29
eines Punktes im Raum, 60
Dreieck, 50
eines Punktes in der Ebene, 60
Dreieck-Stern-Umwandlung
Bewegungsgleichung, 61
mit Impedanzen, 39
Bezugspfeil, 8
mit Widerständen, 7
Bezugspfeilsystem
Dreieckschaltung
Erzeuger-, 8
Strang- und Leitergrößen, 44
Verbraucher-, 8
Dreiphasensystem, 44
Bezugssinn, 9
symmetrisches, 44
Biot und Savart
unsymmetrisches, 45
Formel von, 23
Driftladungsdichte, 18
Blindleistung
Durchflutung
bei Drehstrom, 44
elektrische, 25
bei harmonischen Größen, 41
Durchflutungssatz, 25
Blindleitwert, 37
Blindspannung, 40
Effektivwert, 35, 36
Blindstrom, 40
Effektivwertzeiger, 53
Blindwiderstand, 37
Eigenfrequenz
Brechungsgesetz
beim Reihenschwingkreis, 43
für Leitfähigkeitsgrenzflächen, 19
Eigenvektor
für Permeabilitätsgrenzflächen, 25
eines Mehrspeicher-Netzwerks, 48
für Permittivitätsgrenzflächen, 13
Eigenwert
eines Einspeicher-Netzwerks, 47
Cosinussatz, 50
eines Mehrspeicher-Netzwerks, 48
Coulomb’sches Gesetz, 15
eines Reihenschwingkreises, 42
Coulomb-Integral, 13
Einheit
Coulombkraft, 15
außerhalb des SI (Tabelle), 66
SI (Tabelle), 64
Dämpfungselement, 61
Elektrostatik, 10
Dämpfungsgrad
Energie
beim Reihenschwingkreis, 42
einer Spule, 31
Differentiation
eines Kondensators, 15
Regeln, 54
68
elektrische, 6, 12
elektrostatische, 15
kinetische, 61
magnetische, 30
potentielle, einer Feder, 61
Energiedichte
des elektrischen Felds, 15
des magnetischen Felds
bei linearer Kennlinie, 30
bei nichtlinearer Kennlinie, 30
Erregung
elektrische, siehe Flussdichte, elektrische
magnetische, siehe Feldstärke, magnetische
Ersatzspannungsquelle
im Gleichstromnetzwerk, 8
im Wechselstromnetzwerk, 39
Ersatzstromquelle
im Gleichstromnetzwerk, 8
im Wechselstromnetzwerk, 39
Erzeugerpfeilsystem, 9
ES, siehe Erzeugerpfeilsystem
Euler’sche Darstellung
komplexer Größen, 52
Euler’sches Rückwärtsverfahren, 54
einer Linienleiterschleife, 23
eines geraden Leiters, 23
Flächenladung, 10
Flächenladungsdichte, 10
Fluss
eines Skalarfelds, 56
eines Vektorfelds, 56
elektrischer, 12
magnetischer, 22
Flussdichte
elektrische, 11
einer Flächenladung, 13
einer Ladungsverteilung, 13
einer Linienladung, 13
einer Punktladung, 13
eines Punktdipols, 13
magnetische
Definition, 21
Quellenfreiheit, 24
Flussregel, 26
Formfaktor, 35
Fourier-Koeffizient
komplexer, 36
Fourier-Reihe, 35
Frequenz, 34
Frequenz-Bandbreite
der Widerstandsspannung
beim Reihenschwingkreis, 43
Fundamentalmatrix, 48
Feder
Rückstelleffekt, 61
Feld
elektrisches Strömungsfeld, 18
elektrostatisches, 10
im homogenen Raum, 13
magnetisches, 21
im homogenen Raum, 23
Feldenergie
magnetische
einer linearen Spule, 31
einer nichtlinearen Spule, 31
eines Spulenpaars, 31
Feldkonstante
elektrische, 11
magnetische, 21
Werte, 67
Feldstärke
elektrische, 11
aus elektrischem Potenzial, 14
magnetische
Berechnung nach Biot und Savart, 23
Definition, 21
einer kleinen Leiterschleife, 23
Gauß’scher Integralsatz, 58
Gauß’scher Satz der Elektrostatik, 12
Gegeninduktivität eines Spulenpaares,
27
Gleichanteil, 35
Gleichrichtwert, 35
Gleichstromnetzwerke, 5
Gleichung
quadratische, 51
Gradient
eines Skalarfelds, 57
Grenzfläche
der Leitfähigkeit, 19
der Permeabilität, 25
der Permittivität, 12
Griechisches Alphabet
Tabelle der Zeichen, 63
Grundfrequenz, 35
Güte
beim Reihenschwingkreis, 43
Harmonische Größen, 34
69
Helmholtz’sches Theorem, 59
Höhensatz, 50
Hüllenfluss
eines Skalarfelds, 56
eines Vektorfelds, 56
Hüllensumme, 6, 28
Impedanz, 37, 38
und Admittanz, 37
Induktionsgesetz, 25
Induktivität, 27
Innenwiderstand
einer Ersatzquelle, 8
Instationärer Vorgang, 47
Integralsatz, 59
von Gauß, 58
von Stokes, 58
Integration, 54
Inversionskreis, 42
Kapazität, 14
eines Kugelkondensators, 14
eines Plattenkondensators, 14
eines Zylinderkondensators, 14
Kennkreisfrequenz
beim Reihenschwingkreis, 43
Kennlinienmodell
aktiver linearer Zweipole, 7, 39
Kettenregel
der Differentiation, 54
Kirchhoff’sche Sätze, siehe Knotenpunktsatz, Maschensatz
Klirrfaktor
einer Wechselgröße, 36
Knotenpunktsatz, Kirchhoff’scher
bei beliebigem Zeitverlauf der Ströme,
32
für magnetisches Netzwerk, 28
im Gleichstromnetzwerk, 6
im Strömungsfeld, 19
im Wechselstromnetzwerk, 38
Kompensationskreisfrequenz
beim Reihenschwingkreis, 43
Komplexe Größen, 52
Kondensator
Kapazität, 14
Strom-Spannungs-Verhalten, 32
Konduktanz, 37
Kontinuitätsgleichung
des Strömungsfelds, 19
Koordinatensystem, 50
Kopplung
70
magnetische
zweier Spulen, 27
Kopplungskoeffizient
magnetischer
zweier Spulen, 27
Kraft
im elektrischen Feld, 15
auf elektrischen Punktdipol, 15
auf Elektrode, 16
auf Permittivitätsgrenzflächen,
16
auf Punktladung, 15
mit Maxwell’scher Spannung, 16
mit virtueller Verschiebung, 17
im Magnetfeld, 28
auf ausgedehnten Leiter, 29
auf kleine Leiterschleife, Punktdipol, 29
auf Linienleiter, 29
auf Permeabilitätsgrenzfläche, 29
auf Punktladung, 28
auf Strömungsfeldgebiet, 28
mit Maxwell’scher Spannung, 30
mit virtueller Verschiebung, 30
Kraftdichte
in Raumladung, 15
Kreis, 50
Kreisfrequenz, 34
Kreisfunktion, 49
Kreisfunktionen
besondere Werte (Tabelle), 63
Kreuzprodukt
zweier Vektoren, 52
Kugel, 50
Kurzschlussstrom
einer Ersatzquelle, 7
Ladung
wahre, 10
Ladungsdurchsatz, 5
Ladungserhaltungssatz
der Elektrostatik, 12
Ladungsverteilung, 10
Leerlaufspannung
einer Ersatzquelle, 7
Leistung, 6
bei harmonischen Größen, 41
mechanische, 61
momentane, eines Mehrleitersystems,
46
Leistungsanpassung
im Gleichstromnetzwerk, 8
im Wechselstromnetzwerk, 42
Leistungsdichte
elektrische
im Strömungsfeld, 20
Leitfähigkeit
elektrische, 18
Leitwert
elektrischer, 5
im Strömungsfeld, 19
magnetischer
und Selbstinduktivität, 28
Linienintegral, 55
Linienladung, 10
Linienladungsdichte, 10
Lorentzkraft, 21
Orientierung, 9
Ortskurve, 42
Parallelschaltung
von Admittanzen, 38
von Kondensatoren, 15
von Widerständen, 7
Periodendauer, 34
Periodische Größen, 34
Permeabilität
magnetische, 22
relative magnetische, 22
Permittivität
relative elektrische, 11
Permittivitätsgrenzfläche, 12
Phasenfolge, 44
Phasenverschiebungswinkel, 37
Phasenwinkel, 34
Polarisation
elektrische, 11
magnetische, 21
Polarisationsladungsdichte, 14
Potenzial
elektrisches
einer Ladungsverteilung, 13
einer Punktladung, 13
eines polarisierbaren Körpers, 14
eines Punktldipols, 13
eines Zweipols, 5
Zusammenhang mit Spannung,
11
magnetisches, 22
skalaress, 22
vektorielles, 22
Produktregel
der Differentiation, 54
Punktdipol
elektrischer
Dipolmoment, 10
magnetischer
magnetisches Feld, 23
Vektorpotenzial, 24
Punktladung, 10
Pythagoras
Satz des, 50
Magnetisierung, 21
Magnetisierungsstromdichte, 24
Maschensatz, Kirchhoff’scher
bei beliebigem Zeitverlauf der Spannungen, 32
im Gleichstromnetzwerk, 6
im magnetischen Netzwerk, 28
im Strömungsfeld, 19
im Wechselstromnetzwerk, 38
Zusammenhang mit Induktionsgesetz, 26
Massenträgheitsmoment, 61
Mathematik-Anhang, 49
Maxwell’sche Spannung
im elektrischen Feld, 16
im magnetischen Feld, 29
Mechanik-Anhang, 60
Mischgröße, 35
Naturkonstanten (Tabelle), 67
Netzwerk
elektrisches
lineares, mit harmonischen Quellen, 37
mit beliebigem Zeitverlauf der
Quellengrößen, 32
mit Gleichstrom, 5
magnetisches, 28
mit einem Speicher, 47
mit mehreren Speichern, 47
Nullphasenwinkel, 34
Nullphasenzeit, 35
Quellenfreiheit
der magnetischen Flussdichte, 24
des elektrischen Strömungsfelds, 19
Quellenspannung, 18
Quotientenregel
der Differentiation, 54
Oberflächenstrombelag, 24
Oberschwingungsgehalt
einer Wechselgröße, 36
Ohm’sches Gesetz, 6
71
Raumladung
elektrische, 10
Raumladungsdichte, 10
Reaktanz, 37, 38
Reihenschaltung
von Impedanzen, 38
von Kondensatoren, 15
von magnetisch gekoppelten Spulen, 28
von Widerständen, 7
Reihenschwingkreis, 42
Resistanz, 37
Resonanzfrequenz
beim Reihenschwingkreis, 43
Richtung, 9
Richtungssinn, 9
physikalischer, 9
Rotation
eines Vektorfelds, 57
Rückwärtsverfahren
Euler’sches, 54
Skalarprodukt
zweier Vektoren, 51
Spannung
eingeprägte, 18
elektrische, 11
als Potenzialdifferenz, 12
eines Zweipols, 5
induzierte, 25
magnetische, 22
als Potenzialdifferenz, 23
motorisch induzierte, 26
transformatorisch induzierte, 26
Spannungsgleichung
eines magnetisch gekoppelten Spulenpaars, 38
für bewegten Leiterkreis, 26
Spannungsteilerregel
für Impedanzen, 38
für Kondensatoren, 15
für Widerstände, 7
Sprungstellenverfahren
zur Fourier-Reihe, 36
Spule
Strom-Spannungs-Verhalten, 32
Spulenfluss
magnetischer, 22
Spulenpaar
Gegeninduktivität, 27
Strom-Spannungs-Verhalten, 32
Stern-Dreieck-Umwandlung
mit Admittanzen, 39
mit Leitwerten, 7
Sternschaltung
Leiter- und Stranggrössen, 44
Stoffwerte (Tabelle), 67
Stokes’scher Integralsatz, 58
Streukoeffizient
magnetischer
zweier Spulen, 27
Strömungsfeld
elektrisches, 18
Stromdichte
elektrische, 18
aus Stromstärke, 18
Stromstärke
elektrische, 5
im Strömungsfeld, 18
Stromteilerregel
für Admittanzen, 38
für Leitwerte, 7
Suszeptanz, 37
Suszeptibilität
Scheinleistung
bei Drehstrom, 45
bei harmonischen Größen, 41
bei Wechselstom, 41
Scheinleitwert, 37
Scheinwiderstand, 37
Scheitelfaktor
einer harmonischen Größe, 35
einer Wechselgrösse, 35
Schwankungsbereich, 34
Schwingung
gedämpfte, in komplexer Notation, 53
ungedämpfte, in komplexer Notation, 53
Schwund
magnetischer, 26
Selbstinduktivität
einer Spule, 27, 38
und magnetischer Leitwert, 28
SI-System
abgeleitete Einheiten (Tabelle), 64–
66
Basiseinheiten (Tabelle), 63
Sinussatz, 50
Skalarpotenzial, 55
elektrisches, 5
magnetisches, 22
einer kleinen Leiterschleife, 23
einer Linienleiterschleife, 23
72
elektrische, 11
magnetische, 22
im Strömungsfeld, 19
spezifischer, 18
Strom-Spannungs-Verhalten, 32
magnetischer
Definition, 28
eines stabförmigen Magnetkreisabschnittes, 28
Winkelbeschleunigung, 60
Winkelgeschwindigkeit, 60
Wirbelfreiheit
des elektrischen Strömungsfelds, 19
des elektrostatischen Felds, 12
Wirk-Blind-Zerlegung, 40
Wirkleistung
bei Drehstrom, 44
bei harmonischen Größen, 41
bei periodischen Größen, 36
Definition, 32
Wirkleitwert, 37
Wirkspannung, 40
Wirkstrom, 40
Wirkungsgrad, 6
Wirkwiderstand, 37
Tabellen-Anhang, 63
Temperaturbeiwert
des Widerstands, 6
Überlagerungssatz
für Netzwerke, 8
Umlaufintegral, 55
Umlaufspannung
elektrische, 26
magnetische, 25
Umlaufsumme, 6, 26
Vektor, 51
Vektorpotenzial
magnetisches, 22
einer kleinen Leiterschleife, 24
einer Leiterschleife, 24
eines magnetisierbaren Körpers,
24
eines Strömungsgebietes, 24
Vektorprodukt, 52
Verbraucherpfeilsystem, 8
Verhältnisgrößen
Zeichen für (Tabelle), 63
Verkettungsfluss
magnetischer, 22
Verschiebung
elektrische, siehe Flussdichte, elektrische
Vorsatzzeichen
für dezimale Teile und Vielfache
(Tabelle), 66
VS, siehe Verbraucherpfeilsystem
Zählpfeil, siehe Bezugspfeil
Zeiger, 53
Zerlegung
eines Vektors, 52
Wirk-Blind, 40
der Spannung, 40
des Stroms, 40
ZP, siehe Zweipol
Zweipol, 5, 6, 8, 32, 37, 39, 41
aktiver linearer, 7
Wärmebilanzgleichung, 62
Wärmelehre-Anhang, 62
Wärmestrom, 62
Wärmewiderstand, 62
bei Konvektion, 62
einer Kugelschale, 62
einer Parallelschaltung, 62
einer Reihenschaltung, 62
einer Zylinderschale, 62
eines Stabes, 62
Wechselanteil, 35
Wechselgröße, 35
Widerstand
elektrischer, 5
differentieller, 5
eines stabförmigen Leiters, 6
73