P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 8
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P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Übungsblatt 8 Abgabe Freitag 15.12 vor der Vorlesung – Besprechung im neuen Jahr H24 - Magnetfeld von stromdurchflossenen Zylindern [2P] Wir betrachten in dieser Aufgabe unendlich lange stromdurchflossene Zylinder und suchen die ~ x) im gesamten Raum. magnetische Induktion B(~ a) Zunächst betrachten wir einen Kreiszylinder vom Radius R durch den ein über den Quer~ im gesamten schnitt homogener Strom I in Längsrichtung ~ez fließt. Zeigen Sie, dass das Feld B Raum die Form hat 2 p R µ I 0 ~ = (−y ~ e + x ~ e ) ρ = θ(ρ − R) θ(R − ρ) + x2 + y 2 B x y 2πR2 ρ2 ~ b) Nun wollen wir das B-Feld eines stromdruchflossenen, asymmetrischen Hohlzylinders (vgl. Skizze) bestimmen. der ebenso von einem homogenen Strom der Stärke I in z-Richtung durchflossen werde. Wie lautet das Feld im gesamten Raum? Zeigen Sie ferner, dass im Hohlraum des Zylinders ein homogenes Feld herrscht. H25 - Magnetfeld einer rotierenden, geladenen Kugeloberfläche [2P] Eine Kugel vom Radius a trage eine homogen über die Oberfläche verteilte Ladung Q und rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine durch den Kugelmittelpunkt führende Achse. a) Drücken Sie die Ladungsdichte ρ(~x) und den Stromdichtevektor ~j(~x) durch Deltafunktionen ~ · ~j = 0 erfüllt ist, wir es also mit einem magnetoaus und zeigen Sie, dass die Beziehung ∇ statischen Problem zu tun haben. ~ in der Coulomb-Eichung aus dem in der Vorlesung b) Bestimmen Sie das Vektorpotential A Z ~ 0 ~ x) = µ0 d3 x0 j(~x ) . Hierzu sollten Sie eine Darstellung der Form hergeleiteten Integral A(~ |~x − ~x0 | Z ~er0 Q a µ 0 ~ x) = ~ x) , ~ x) = dΩ0 A(~ ω ~ × I(~ mit I(~ , 4π |~x − a~er0 | finden, wobei dΩ0 = dϕ0 dθ0 das Raumwinkelmaß der Kugeloberfläche ist. Zur Integration von I~ empfiehlt es sich die Polarachse ~ez0 in Richtung von ~x zu legen. Für die dann verbleibende θ0 -Integration empfiehlt sich ferner die Substitution ξ = cos θ0 . 1 ~ x) im gesamten Raum und zeigen Sie exc) Berechnen Sie dann die magnetische Induktion B(~ plizit, dass diese den Maxwellgleichungen der Magnetostatik ~ ·B ~ = 0, ∇ ~ ×B ~ = µ0 ~j ∇ genügt. H26 - Kleiner Hilfssatz [1P] Zeigen Sie, dass für zwei differenzierbare Skalarfelder f,g auf R3 und der divergenzfreien Stromstärke ~j der kleine Hilfsatz Z h i ~ x) + g(~x) ~j(~x) · ∇f ~ (~x) , 0 = d3 x f (~x) ~j(~x) · ∇g(~ gilt. Betrachten Sie hierzu div(f g~j) und nutzen Sie, dass ~j im Unendlichen verschwindet. 2
