Versuch

I.6.3 Potentielle Energie eines Teilchensystems
Beispiel: Einzelmassen im Schwerefeld
Ui = migzi
jetzt viele Massen im Schwerefeld:
€
⇒ Gesamtenergie
N
U = ∑migzi
i=1
N
∑m z
i i
= gM
€
i=1
N
= gMzM
∑m
i
i=1
Man muss also m mit M und z mit zM ersetzen.
€
I.6.4 Kinetische Energie eines Teilchensystems
Man erwartet:
Wkin =
M 2
v
2 M
Ergebnis ist falsch, gilt
nur in Sonderfällen!
Warum:
Bewegung in Bezug auf Massenmittelpunkt wurde hier
€
nicht berücksichtigt.
1 N 2
Wkin = ∑mi vi
2 i=1
Richtig ist:



vkin = vm + ui
Setze
2
2

2
v
=
v
+
2
u
v
+
u
kin
m
i
m
i
€
€
N
N

  N
∑miui = ∑mivi − vM∑mi
Es gilt:
i=1
€
i=1
66
€
i=1
⎛ N 
⎞
⎜ ∑mi vi
⎟
N
 ⎟
i=1
⎜
− vM = 0
= ∑mi⎜ N
⎟
i=1
⎜ ∑mi
⎟
⎝ i=1
⎠
daher:
N
1
1 N
Wkin = v2M ∑mi + ∑miu2i
2 i=1
2 i=1
€
1
1 N
Wkin = Mv2M + ∑miu2i
2
2 i=1
€
Wkin = Wkin,M + Wkin,U
€
heißt innere Energie
€
Sonderfall:
starrer, nicht rotierender Körper, keine Vibration
der Moleküle, dann
1
Wkin = Mv2M , d.h.
2
u2i = 0
Jedoch oszillieren die Moleküle in einem starren Körper um ihre
Ruhelage.
€
€
ist Wärme und ist in der Regel groß,
Wärmeenergieinhalt des Körpers
I.7 Stöße
Stöße zwischen Teilchensystemen führen zu großen
Veränderungen von und in kurzer Zeit, d. h. es treten
große Kräfte auf. Einzelheiten der Änderungen sind schwierig
zu verfolgen. Die Prozesse müssen Erhaltungssätzen
gehorchen.
67
Folie:
 N 
p = ∑mi vi = const.
i=1
(abgeschlossenes System,
d.h. ohne äußere Kräfte)
€
I.7.1 Der Kraftstoß
Angenommen im Zeitintervall t1<t<t2 wirke die Kraft
sonst
=0
Def. Kraftstoß:
p2

  

F
dt
=
d
p
=
p
−
p
=
Δ
p
∫
∫
2
1
t2
t1
p1
Man kann mit Kraftstoß die mittlere Kraft definieren.
€

∫ Fdt
t2
 
p2 − p1
F=
=
t 2 − t1 t 2 − t1
t1
Beispiel 1:
€
Versuch:
Kraftstoß
Video
x
68
,
mv1’ − m(−v1) =
F=
€
∫
t2
t1
Fdt = F (t 2 − t1)
m(v'1 +v1)
t 2 − t1
Beispiel 2:
€
Z Stahlkugeln der Einzelmasse m pro Zeiteinheit stoßen auf
eine Wand, v und v’ gegeben
m(v + v' ) =
∫
t2
t1
Fdt = F Δt
Zahl der Kugeln pro Zeiteinheit:
€
ΔN
=Z
Δt
Impulsänderung:
€
€
€
Versuch:
m(v + v' )ΔN = m(v + v' )ZΔt = Ftot Δt
Ftot = m(v + v' )Z
Kugeln fallen auf Waage
69
Video
I.7.2 Elastische, inelastische Stöße
Def. elastischer Stoß:
Impulse und kinetische Energie bleiben erhalten.


p vor = pnach
Wkin vor = Wkinnach
Beispiel: 2 Billardbälle
€
€ Elektronen - Elektronenstoß




m1v1 + m2 v2 = m1v1' + m2 v'2
Impulssatz
m1v12 m2 v22 m1v'12 m2 v'22
+
=
+
2
2
2
2
Energiesatz
vor
€
nach
Def. inelastischer Stoß:
Kinetische Energie bleibt nicht erhalten, ein Teil der
€ Energie wird in andere Energieformen umgewandelt
(Wärme).
Wkin vor = Wkinnach + Q
Dies tritt bei nicht konservativen Kräften auf (z. B. F(v)).
Beispiel:
Stoß von Plastikkugeln
€
Folie:
Klassifikation
I.7.3 Zentraler elastischer Stoß
Vor und nach dem Stoß befinden sich die Körper auf Geraden.
Ergebnis:
Teilchen und Körper tauschen Impuls und
Energie aus.
70
m1v1 + m2 v2 = m1v1’ + m2 v’2
Impulssatz:
m1(v1 - v1') = m2 (v'2 - v2 )
⇒
€
2
Energiesatz:
€
2
m1(v1 - v'1 )(v1 + v'1 ) = m2 (v'2 - v2 )(v'2 + v2 )
⇒
€
v1 + v'1 = v'2 + v2
⎛
⎞
v2 − v1 = −⎜ v'2 - v'1 ⎟
⎝
⎠
⇒
€ ⇒
€und
€
⇒
€
2
m1(v12 - v'1 ) = m2 (v'2 - v22 )
⇒
€
für
2
m1v12 m2 v22 m1v'1 m2 v'2
+
=
+
2
2
2
2
:
v'1 =
m1 - m2
2m2
v1 +
v
m1 + m2
m1 + m2 2
v’2 =
2m1
m -m
v1 + 2 1 v2
m1 + m2
m1 + m2
€
71
Spezialfälle:
1)
m1 = m2
Versuch:
2 Pendelkugeln m1 = m2
vor dem Stoß
Versuch:
Luftkissenbahn m1 = m2
Versuch:
Rechner Albert m1 = m2
v1' = v2 ,v'2 = v1
m1 = m2 = m ⇒
v1 + v2 = v1’ + v’2
€⎛ '
⎞
v2 − v1 = −⎜ v 2 - v'1 ⎟
⎝
⎠
€
'
'
'
'
⇒ v1 + v1 + v1 - v2 = v1 + v2
'
'
⇒ v1 = v2 ,v2 = v1
€
€
€
72
nach dem Stoß
v2 = 0
'
'
⇒ v1 = 0,v2 = v1
€
€
Billiard
2)
m 1 ≠ m 2, v2 = 0
Versuch:
Luftkissenbahn m1 = 2 m2
Versuch:
Rechner Albert m1 = 2 m2
Versuch:
Kugelgerät
Versuch:
2 Pendelkugeln m1 << m2
Versuch:
Flummi auf Erde
m1v1 = m1v1' + m2 v'2
⇒
v'1 =
m1 - m2
v
m1 + m2 1
v’ 2 =
2m1
v1
m1 + m2
€
€
a) m1 >> m2 ⇒ m2=0
v'1 = v1
€
v'2 = 2v1
€
73
a) m1 << m2 ⇒ m1=0
v'1 = -v1
v'2 = 0
€
€
Kinetische Energie:
W 'kin1
€
€
W
’
kin 2
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
m
m
m
m
= m1v1'2 = m1v12 ⎜ 1 2 ⎟ = Wkin1 ⎜ 1 2 ⎟
2
2
⎝ m1 + m2 ⎠
⎝ m1 + m2 ⎠
1
1 4m12m2 2 1
4m1m2
’2
2
= m2 v2 =
v
=
m
v
2
2 m +m 2 1 2 1 1 m +m
1
2
1
2
(
)
(
74
)
2
= Wkin1
4m1m2
(
m1 + m2
)
2
'
Das Verhältnis W kin 2 /Wkin1 stellt die relative
Energieabgabe der ersten Masse an die zweite dar.
Analog für Impuls einsetzen:
€
Δp m1(v1 − v'1)
m − m2
2m2
=
= 1− 1
=
p
m1v1
m1 + m2 m1 + m2
Folie:
Anwendung: Kernkraftwerk
€
Moderation
von Neutronen mit Hilfe leichter Atome. Die
schnellen Neutronen, die bei der Kernspaltung erzeugt
werden, müssen schnell abgebremst werden, bevor sie
entkommen.
⎛ ΔW ⎞
4m1m2
⎜⎜
⎟⎟ =
2
⎝ W ⎠kin (m1 + m2 )
für
235
Uran
€
m1
1
=
m2 235
⎛ ΔW
⎜⎜
⎝ W
⎞
4⋅ 1⋅ 235
⎟⎟ =
≤ 2%
2
236
⎠kin
m1 = 1 (Neutron), m2 = 235
Graphitmoderator:
€
€
€
€
m1 1
=
m2 12
⎛ ΔW
⎜⎜
⎝ W
⎞
4⋅ 1⋅ 12
⎟⎟ =
= 30%
2
13
⎠kin
€
Versuch:
Superelastisch 3 Flummis
€
75
m1 =1, m2 = 12
I.7.4 Zentraler komplett inelastischer (= unelastischer) Stoß
Versuch:
Versuch:
Rechner Albert m1 = m2 inelastisch
Versuch:
2 Sandsäcke m1 = m2
Versuch:
Flummi auf Sand
Ergebnis der Versuche:
v1´ = v2´
Beide Massen haften nach dem Stoß aneinander und
haben daher die gleiche Geschwindigkeit. Der
Gesamtimpuls liefert in diesem Fall die Geschwindigkeit
der beiden Massen nach dem Stoß.
m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v’
v' =
€
m1v1 + m2 v2
m1 + m2
Energieverlust:
€
€
Q = Wkin vor − Wkinnach
m1v12 m2 v22 (m1 + m2 )v'
=
+
−
2
2
2
v´ einsetzen
€
⇒
Q=
m1m2
(v1 − v2 ) 2
2(m1 + m2 )
76
2
Dieser Verlust an kinetischer Energie wird in Wärme umgesetzt.
I.7.5 Stöße in zwei Dimensionen
Versuch:
zwei Massen auf Luftkissentisch Albert
Versuch:
Rechner Albert
Ergebnis:
Die beiden Massen laufen senkrecht auseinander.
Elastischer Stoß in zwei Dimensionen mit gleichen Massen:
m1=m2=m, v2=0
Beachte:
Impulssatz
⇒ 2 Gleichungen,
Energiesatz ⇒ 1 Gleichung
Jedoch: 4 Unbekannte ⇒ vx1’, vx2’, vy1’, vy2’
Es fehlt eine Gleichung.



mv1 = mv1' + mv'2
900
Energiesatz:
€
2
2
mv12 mv'1 mv'2
=
+
2
2
2
Winkel zwischen
und
ist: 90°
€
77
Elastischer Stoß ungleicher Massen:
m1 ≠ m2 ,v2 = 0
2
Energiesatz:
€
2
m1v12 m1v'1 m2 v'2
=
+
2
2
2
Impuls
'
'
x - Komp.: m1v1x = m1v1cosϑ + m2 v2 cos Φ
€
'
'
y – Komp.: 0 = m1v1sinϑ - m2 v2 sin Φ
3 Gleichungen,
4 Unbekannte
€
v1',v'2 ,ϑ,Φ
€
Spezialfall:
€
Ein Proton mit einer Geschwindigkeit v1 = 5km/s stößt auf ein
zweites Proton mit v2 = 0.
m1=m2=m
gemessen
ϑ = 370
5 = 0.8v1' + v'2 cos Φ
0 = 0.6v1' - v'2 sin Φ
2
2
€
25 = v'1 + v'2
€
€
€
v'22 cos2 Φ = 25 −10x0.8v1' + (0.8v1')2
v'22 sin2 Φ = (0.6v1')2
€
v’22 (cos2 Φ + sin2 Φ) = 25 −10x0.8v1’ + (0.8v1’)2 + (0.6v1’)2
€
v'22 = 25 − 8v1' + v1'
€
25 = v'1 + v'2
€
2
2
2
78
2
2
25 - v1' = 25 − 8v1' + v1'
2
8v1’ = 2v1’
€
v1' = 4
€
25 = 16 + v’2
€
v’2 = 3km/s
2
einsetzen
€
⇒
€
€
Φ = 530 ⇒ ϑ + Φ = 900
€ €
79