r = r

Allgemein am besten im System mit Massenmittelpunkt (centre
of mass frame) oder Schwerpunktsystem (M=m1+m2)
  
r = r1 - r2
M=m1+m2
Position
€ vom Schwerpunkt:



M rM = m1r1 + m2 r2



 
MvM = m1v1 + m2 v2 = p1 + p2
ist€die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts im
Laborsystem,
€

F
Abgeschlossenes System, d. h. äuß = 0

dvM
M
=0
dt €
ist konstant vor und nach dem Stoß.
⇒
€
Elastische Stöße im Schwerpunktsystem:
a) kinetische Energie
elastisch: Wkin =
vor
Wkin’
nach dem Stoß
80
Wkin
€


m1v12 m2 v22
=
+
2
2
im Laborsystem
Jetzt:
Bewegung zerlegt in Bewegung des Schwerpunktes und die
Relativbewegung der Massen bezüglich des Schwerpunktes.
  
r = r1 - r2

  m2 r
r1 = rM +
M
€

  m1r
r2 = rM M€
€
€
€
  
v = v1 - v2
Wkin =



M rM = m1r1 + m2 r2
 m 

1
1
m 
m1( vM + 2 v)2 + m2 ( vM − 1 v)2
2
M
2
M
2
2
m
m
m
m2 2
1
1
1
1
2
2
1
= (m1 + m2 )v2M +
v
+
v
2
2 M2
2 M2
€
€
1 2 1 m1m 2 2
= Mv M +
v
2
2 m1 + m2
1
1
Wkin = Mv2M + µv2
2
2
€
€
µ=
m1m 2
m1 + m2
ist reduzierte Masse
kinetische Energie von Schwerpunkt und kinetische Energie im
Schwerpunktsystem
€
81
Abgeschlossenes System (keine äußere Kraft):

vM = const.
W*kin ist kinetische Energie im Schwerpunktsystem
€
b) Impuls im Schwerpunktsystem
*  
r1 = r1 - rM
€
*  
r2 = r2 - rM
€
*
*


p1 = m1v1 = m1v1 - m1vM
 mm 

= m1vM + 1 2 v - m1vM
M
€
€
82
=
m1m2 
v
M


€ p1* = µv


p2* = −µv
€
kin. Energie:


p1* = −p2 *
W *kin
€
p *2
= µv =€
2µ
1
2
2
(p1* = −p2* = p * )
€
nach dem Stoß:
*
*
q
=
−
q
Impuls = 1
2
€
für elastischen Stoß:
W *kin
'
€
q*2
=
= W *kin
2µ
*
*
⇒ p =q
€
ist der Impuls vor dem Stoß
€

q * ist der Impuls nach dem Stoß
ist Streuwinkel im Schwerpunktsystem
€
2 Unbekannte:
,
anstatt 4
83
Beispiel:
In einem Kernreaktor wird ein Neutron (n) emittiert. Moderator
enthält Deuterium (d). n hat die v=1x104 ms-1. Elastischer Stoß
mit dem ruhendem d.
mn=1.7x1027kg, md=3.4x1027kg.
1. Wie groß ist die Geschwindigkeit vom Schwerpunkt im
Laborsystem?
MvM = m1v1 + m2 v2
1.7x1027 x1x104 + 0 1
4
−1
vM =
=
x10
ms
3
(1.7 + 3.4)x1027
€
2. Wie groß ist die Geschwindigkeit von n vor dem Stoß im
Schwerpunktsystem?
€
1
2
v1* = v1 − vM = (1− )x104 = x104 ms −1
3
3
3. 3. Wie groß ist die Geschwindigkeit von d vor dem Stoß im
Schwerpunktsystem?
€
1
1
v2* = v2 − vM = (0 − )x104 = - x104 ms −1
3
3
4. Verhältnis von Wkin im Laborsystem mit W*kin im
Schwerpunktsystem?
€
Wkin
m1v12
m1(v1* )2 m2 (v2* )2
*
=
,Wkin =
+
2
2
2
Wkin
12
3
=
=
*
Wkin
⎛ 2 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 2
⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
€
84
€
Zusammenfassung:


p1 = m1v1
€
€
€
v2=0


q1 = m1v1'
  
p1 = q1 + q2


q2 = m1v'2
 € 

M rM = m1r1 + m2 r2
  
r = r1 - r2
(M=m1+m2)
€
Impuls im Schwerpunktsystem (centre of mass frame = CM):
€


p1* = µv
  
v = v1 - v2


p2* = - µv
€
€
µ=
€
€
Kinetische Energie im Schwerpunktsystem (CM):
€
1
1
= Mv2M + µv2
2
2
WkinLab
€
Falls keine äußere Kraft wirkt:
€

vM = const.
'
WkinLab = Wkin
Lab
€
m1 + m2
 
p1* + p2* = 0
W *kinCM = 21 µv2
€
m1m 2
'
W *kin = W *kin
85
W *kin
'
q*2
p *2
=
,W *kin =
2µ
2µ
p * = q*
ist Streuwinkel im CM (Schwerpunktsystem)
€
€
I.8 Drehimpuls, Drehmoment, Drehimpulssatz
I.8.1 Drehimpuls eines Massenpunktes
Def. Drehimpuls:
  
L=r xp
L heißt Drehimpuls.
€
    
 
L = r x p = r ⋅ p sin( r ,p)
€


 
L = 0, wenn p = 0 , r = 0 oder r || p
€
€
Dimension:
Einheit: kg m2 s-1
€
€
Länge
x Impuls
ist senkrecht zur Ebene mit ,
86
Beispiele für Bewegungen mit Drehimpuls:
Kreisbewegung
    
L = r x p, r ⊥ p
LZ = r⋅ p = r⋅ m⋅ v
€
€
€
Beachte: Angabe des Drehimpulses hängt von der Wahl des
Koordinatensystems ab.
Für Zentralkräfte:
Der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn die Kraft auf dem
Massenpunkt eine Zentralkraft ist.
 
d. h. F || r
  
L=r xp
€
€




dL  dp d r
=r x
+
xp
dt
dt dt
 
 
= r x F + mv x v = 0


F || r
€
€
€
So
⇒
L = const.
87
Beispiel: Planetenbahn
 

FG || r ⇒ L = const.
€
Allgemeiner Fall:

dL   
=r xF=T
dt
Drehimpulssatz
heißt Drehmoment (Torque)
€
Dimension:
Weg x Kraft
Einheit:
mN
 
verschwindet bei Zentralkräften, wo F || r
Versuch:
Versuch:
€
I.8.2 Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten
Verallgemeinerung der Formel
  
L=r xp
88
€
N
 N 
 
L = ∑ Li = ∑ ri x pi =
i=1
i=1
N


i
i i
∑r x mv
i=1
  
vi = vM + ui
Setze:
  
ri = rM + ri '
€
€
€Damit:
 N  


L = ∑ ( rM + ri ' )xmi ( vM + ui )
i=1
€
Beachte:
 
 
= rM × pM + ∑ ri ' ×pi '
€
Bahndrehimpuls des Massenmittelpunktes – abhängig von
Bezugssystem
Drehimpuls in Bezug auf Massenmittelpunkt, Spin
ist eine innere Eigenschaft des Systems unabhängig vom
Bezugssystem.
89
Beispiel:
Erde um Sonne
durch Eigenrotation der
Erde
Versuch:
Drehstuhl + Kreisel
I.9 Kinematik starrer Körper
Def. starrer Körper:
keine Relativbewegung der
Massenpunkte gegeneinander
I.9.1 Bewegung eines starren Körpers
Zwei Bewegungsarten:
1. Massenmittelpunkt ändert Lage im Raum
2. Körper ändert seine Richtung
1. ist eine Translationsbewegung
2. ist eine Rotationsbewegung.
90
€
Versuch:
Änderung der Richtung bedeutet Rotation um eine Achse.
Achse kann sich im Laufe der Zeit ändern.
Versuch:
Beachte:
Buch, Würfel
ω1 + ω 2 ≠ ω 2 + ω1

ω bezeichnet Drehachse
€oben gezeigt: v = rω
Richtung von
d. h.€
:

senkrecht zu ω und
  
v = ωx r
€
Beachte:
€
T Umlaufzeit
heißt Frequenz
Die Größe
Dimension:
heißt Winkelbeschleunigung.
1 / Zeit2
Einheit:
91
s-2
I.9.2 Kinetische Energie eines starren Körpers,
Trägheitsmoment
N
oben:
2
Wkin = ∑ 21 mi vi
i=1
Hier:
ri
vi = riω
€
€
€
N
Wrot =
1
2
2
∑ Δmr ω
2
ii
=: 21 Jω 2
i=1
N
€
2
J = ∑ Δmiri
Dimension:
heißt Trägheitsmoment.
i=1
Masse x Länge2
Einheit:
kg m2
€
Für kontinuierliche Massenverteilung:
Trägheitsmoment:
J=
2
∫ r dm
€
Mit variabler Dichteverteilung:
Beachte:
hat Ähnlichkeit mit Wkin =
92
Beispiel:
Zylinder
Beachte:
Angabe der Drehachse ist wichtig.
Folie:
Verschiebung der Drehachse (Satz von Steiner):
JM ' = ?
€
falls Rotationsachse durch M
(Massenmittelpunkt) Schwerpunkt
In Kapitel I.6.5 wurde gezeigt, dass
93
1
2
2
= MvM +
N
1
2
∑ mu'
i
2
i
i=1
Schwerpunkt
€
Wkin,M
kinetische Energie des Schwerpunktes relativ zum
Wkin,U
kinetische Energie der Massen relativ zum
Schwerpunkt (durch Translation, Rotation, Vibration)
Jetzt:
Rotationsachse durch M’
mit
= 21 (Mz2 + JM )ω 2 = 21 JM ' ω 2
JM ' = JM + Mz2
d. h.
€
Versuch:
€
Hohlzylinder und Vollzylinder auf schiefer Ebene
Hohlzylinder Metall – Vollzylinder aus Holz
94
Anwendung des Energiesatzes:
Abrollbedingung:
Vollzylinder:
⇒
Hohlzylinder:
⇒
daher
vM Vollzylinder > vM Hohlzylinder
Vollzylinder ist schneller als der Hohlzylinder!
Quantitative Messung an einer rollenden Kugel:
Versuch:
abrollende Kugel
95
Folie, Video
I.9.3 Drehimpuls eines starren Körpers
von oben:
N
 
 
= M rM × vM + ∑ mi ri ' ×ui
i=1
Spin
Drehimpuls
(im Massenmittelpunkt)
€
Rotierender starrer Körper in Ruhe, Drehachse durch
Massenmittelpunkt, d. h. vM = 0, betrachte nur den Spin
Q

Li = Δmiri '⊥ ui
ui = ri '⊥ ω
ri '
€
€

2 
Li = Δmiri '⊥ ω
€

2
Li = Δmiri '⊥ ω
€
N 
N

2 

L = ∑ Li = ∑ Δmiri '⊥ ω = JMω
€
i=1
€
i=1
96
Rechnung nur richtig, wenn starrer Körper um Symmetrieachse
rotiert.
z. B.:
,
JM =
1
MR2
2
€
Kugel:
Allgemein: Man findet bei beliebig geformten, starren Körpern
immer 3 Achsen, die durch den Massenmittelpunkt M gehen
und senkrecht aufeinander stehen:
97