Mathematische Hilfsmittel Physikalische Konstanten

Mathematische Hilfsmittel
Koordinatensystem
kartesisch
Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Koordinaten
(x, y, z)
(r, ϑ, ϕ)
(r0 , ϕ, z)
Volumenelement dV
dxdydz
r2 sin ϑdrdϑdϕ
r0 dr0 dzdϕ
Additionstheoreme:
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
sin 2A = 2 sin A cos A
cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
1
cos A cos B = [cos(A + B) + cos(A − B)]
2
1
sin A cos B = [sin(A + B) + sin(A − B)]
2
1
sin A sin B = [cos(A − B) − cos(A + B)]
2
1 = cos2 A + sin2 A
cos 2A = cos2 A − sin2 A
A+B
A−B
sin A + sin B = 2 sin
cos
2
2
A−B
A+B
sin
sin A − sin B = 2 cos
2
2
A+B
A−B
cos A + cos B = 2 cos
cos
2
2
A+B
A−B
cos A − cos B = −2 sin
sin
2
2
Physikalische Konstanten
Fallbeschleunigung
g
= 9, 81
m s−2
Vakuumlichtgeschwindigkeit
c
= 2, 99792458
·108 m s−1
elektrische Feldkonstante
ε0
= 8, 854188
·10−12 F m−1
Planck’sches Wirkungsquantum
h
= 6, 626076
·10−34 J s
Elementarladung
e
= 1, 602177
·10−19 C
Mechanik
Kinematik
a 2
t + v0 t + x 0
2
v(t) = at + v0
lineare Bewegung: x(t) =
a(t) = a
t : Zeit
x : Ort
x0 : Ort zum Zeitpunkt t=0
v : Geschwindigkeit
v0 : Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0
a : Beschleunigung
Kreisbewegung:
α 2
t + ω0 t + ϕ0
2
ω(t) = αt + ω0
ϕ(t) =
α(t) = α
ϕ : Winkel
ϕ0 : Winkel zum Zeitpunkt t=0
ω : Winkelgeschwindigkeit
v = ωr
ω0 : Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0
a = ω2 r
α : Winkelbeschleunigung
r : Radius
Dynamik
(i)
(ii)
(iii)
Trägheitsprinzip + Kräfteaddition
Aktionsprinzip, F = m · a
Reaktionsprinzip
....
Kraft F~
~ = ~r × F~
Drehmoment M
............
Trägheitsmoment θ = mr2 (Massepunkt)
~ = ~r × p~
Drehimpuls L
Masse m
Implus p~
F~ = dp
~
~ = dL
M
dt
~ = θ~
L
ω
dt
p~ = m~v
E=
mv 2
2
Federkraft F~ = −D~x
E=
θω 2
2
D : Federkonstante
x : Auslenkung
Arbeit, Energie, Leistung
Z
W =
F~ d~s
W = mgh
1
W = Dx2
2
1
W = mv 2
2
1
W = θω 2
2
dW
P =
= F~ · ~v
dt
Arbeit
Hubarbeit bzw. potentielle Energie
Spannarbeit bzw. potentielle Energie
Beschleunigungsarbeit bzw. kinetische Energie der linearen Bewegung
Beschleunigungsarbeit bzw. kinetische Energie der Kreisbewegung
Leistung
Fluide
Dichte:
ρ=
m
V
m : Masse
V : Volumen
hydrostatischer Druck:
p = ρgh + p0
h : Höhe
FA = ρFluid · Vverdrängt · g
2σ
h=
ρgr
Auftriebskraft:
Steighöhe in Kapillare:
σ : Oberflächenspannung
r : Kapillarradius
Schwingungen und Wellen
Grundlegende Beziehungen
....
λ
............
Wellenlänge
T
Periodendauer
f = T1
ω = 2π
T
k = 2π
λ
vph = ωk = Tλ
vgr = dω
dk
Frequenz
Kreisfrequenz
Wellenzahl
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Harmonischer Oszillator
Bewegungsgl.
Lösung
einfacher H.O.
H.O. mit Dämpfung
ẍ + ω02 x = 0
q
D
ω0 = m
: Eigenfrequenz
ẍ +
γ
m ẋ
H.O. mit Anregung & Dämpfung
+ ω02 x = 0
ẍ +
γ: Dämpfungskonstante
−δt
x(t) = x0 · cos(ω0 t + ϕ)
x(t) = x0 · e
· cos(ωt + ϕ)
= Re{x0 · ei(ω0 t+ϕ) }
= Re{x0 · e−δt · ei(ωt+ϕ) }
p
δ = γ/2m, ω = ω02 − δ 2
Schwebung
x(t) = x0 · cos
∆ω
2 t
· cos(ωt)
mit
∆ω = ω1 − ω2
und
ω=
Wellen
Wellengleichung:
∂2
∂t2 Ψ(x, t)
Lösung:
Ψ(x, t) = Ψ0 · cos(ωt − kx)
Intensität:
I=
1 dE
A dt
Stehende Welle
Ψ(x, t) = Ψ0 · cos(kx) · cos(ωt)
2
2 ∂
= vph
∂x2 Ψ(x, t)
=
P
A
∝ Ψ20
mit A: Fläche
ω1 +ω2
2
γ
m ẋ
+ ω02 x =
F
m
cos(ωe t)
ωe : Erregerfrequenz
x(t) = x0 · cos(ωe t + ϕ)
= Re{x0 · ei(ωe t+ϕ) }
x0 =
F
m
√
1
(ωe2 −ω02 )2 +4δ 2 ωe2
Optik
Interferenz
Laufwegunterschied
∆x = m · λ
konstruktive Interferenz
∆x = (2m + 1) ·
destruktive Interferenz
λ
2
Phasenunterschied
∆ϕ = m · 2π
m = 0, 1, 2, . . .
∆ϕ = (2m + 1) · π
m = 0, 1, 2, . . .
Interferenz am Spalt
Einzelspalt:
I ES = I0 ·
Minima ⇔ d · sin α = m · λ
sin ξ
ξ
2
m = 1, 2, 3, . . .
d = Spaltbreite
ξ=
Doppelspalt:
I DS = I0 ·
Maxima ⇔ D · sin α = m · λ
sin ξ
ξ
2
· cos2
Φ
2
πd
λ
· sin α
m = 0, 1, 2, . . .
D = Spaltabstand
πd
λ · sin α
= 2πD
λ · sin α
ξ=
Φ
Gitter:
I Gitter = I0 ·
Maxima ⇔ D · sin α = m · λ
sin( n·Φ
2 )
2
m = 0, 1, 2, . . .
n·sin( Φ
2)
D = Spaltabstand
n = 0, 1, 2, . . . = Spaltanzahl
Φ=
2πD
λ
· sin α
Brechung und Reflexion
Snellius’sches Brechungsgesetz:
n1 sin α1 = n2 sin α2 ,
Reflexionsgesetz:
α1 = α2
ni = Brechungsindices
Polarisation
Gesetz von Malus:
I = I0 · cos2 ϕ,
linear polarisiert


a · cos(ωt − kz)
Ψ(z, t) =  b · cos(ωt − kz) 
0
ϕ = Winkel zw. Durchlassrichtung des Polarisators
und E-Feld-Vektors der Lichtwelle
zirkular polarisiert


a · sin(ωt − kz)
Ψ(z, t) = a · cos(ωt − kz)
0
elliptisch polarisiert


a · sin(ωt − kz)
Ψ(z, t) = b · cos(ωt − kz)
0
Geometrische Optik
Abbildungsgleichung:
Vergrößerung:
1
f
=
M=
1
g
+
B
G
1
b
=
b
g
f
= Brennweite (> 0 für konvexe, < 0 für konkave Linsen)
g
= Gegenstandsweite (> 0 vor, < 0 hinter der Linse)
b
= Bildweite (> 0 hinter, < 0 vor der Linse)
B
= Bildgröße
G
= Gegenstandsgröße
Elektrodynamik
Elektrostatik
Coulombgesetz:
F =
elektrische Feldstärke:
~ =
E
1 Q1 ·Q2
4πε0 r 2 ,
F
= elektrostatische Kraft
ε0
= elektrische Feldkonstante
Q
= elektrische Ladung
r
= Abstand der Ladungen
~
F
Q
Kondensator
elektrisches Feld:
Kapazität:
E=
U
d,
C=
ε0 εr A
d,
C=
Q
U
U
= elektrische Spannung
d
= Abstand der Kondensatorplatten
εr
= Dielektrizitätszahl
A
= Fläche der Kondensatorplatten
Stromkreis
Ohmsches Gesetz:
R=
U
I,
Widerstand Reihenschaltung:
R = R1 + R2 ,
Widerstand Parallelschaltung:
1
R
=
1
R1
+
1
R2 ,
R
= elektrischer Widerstand
U
= elektrische Spannung
I
= elektrische Stromstärke
Ri
= Einzelwiderstände