Verschränkung

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Verschränkung
Carl Philipp Zelle
November 17, 2016
Contents
1 Einleitung
1
2 Definition
2
3 ERP Paradoxon
2
4 Versteckte Parameter
3
4.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Beispiel(Drei Photonen Greenberger-Horne-Zeilinger Verschränkung
nach [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Informationsübertragung
7
6 Identifikation verschränkter Zustände
6.1 reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 gemischte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
1
Einleitung
Verschränkung ist eines der bekanntesten Phänomene der Quantenmechanik,
da sich an vielen verschränkten Zuständen die skurrile Natur der Quantenmechanik zeigt. An einfachen verschränkten Zuständen lässt sich sehen,
dass die Quantenmechanik keinesfalls lokal ist, sondern instantane Korrelationen beinhaltet. Dies steht in einem konzeptionellen Widerspruch zur
Relaivitätstheorie, weswegen unter anderem Albert Einstein die Quantenmechanik für unvollständig hielt. Bis in die 1960er Jahre wurde dies kontrovers diskutiert, die Debatte konnte jedoch mit Hilfe von Bells Ungleichung zu Gunsten der Quantenmechanik entschieden werden. Was genau
1
Verschränkung ist und warum sie so seltsam scheint, soll in diesem Text
beleuchtet werden.
2
Definition
Man betrachte den Zustandsraum H, der sich aus den Hilberträumen H1 und
H2 zusammensetzt: H = H1 ⊗ H2 . Ein Beispiel wäre ein System aus zwei
Teilchen. Ein Zustand |ψi ∈ H heißt verschränkt, wenn |ψi =
6 |φi⊗|χi , |φi ∈
H1 , |χi ∈ H2 . Beim 2-Teilchen System sich |ψi also nicht als Produkt zweier
Einteilchenzustände darstellen lässt.[5]
H1 = H2 = span(|0i , |1i), |ψi = √12 (|1i |1i + |0i |0i) wäre ein Beispiel für
einen verschränkten Zustand. Die Annahme, es gebe |φi ∈ H1 , |χi ∈ H2 , sodass |ψi ein Produkt dieser zwei ist, lässt sich durch eine einfache Rechnung
auf einen Widerspruch führen.
3
ERP Paradoxon
In den 1930ern wiesen Einstein Rosen und Podolski auf einen Widerspruch
der quantenmechanischen Verschränkung zur Relativitätstheorie hin. Man
stelle sich in einem Gedankenexperiment zwei Photonen A und B, die in
entgegengesetzte Richtung fliegen, deren Polarisationszustand |ψi allerdings
verschränkt ist, vor:
1
|ψi = √ (|1iA |1iB + |0iA |0iB )
2
Misst man nun die Polarisationsrichtung von A, kollabiert nach den Prinzipien der Quantenmechanik der Zustand instantan auf |1iA |1iB bzw. |0iA |0iB .
Das bedeutet aber auch, dass die Polarisationsrichtung von B nach dieser
Messung schon eindeutig bestimmt ist. Dies wäre nicht der Fall, wenn
keine Messung von A gemacht worden wäre. Die Messung von A beeinflusst
dementsprechend den Zustand von B ohne zeitliche Verzögerung über die
räumliche Distanz der beiden Teilchen hinweg. Die Quantenmechanik ist also
nicht lokal. Dies ist ein konzeptioneller Widerspruch zur Relativitätstheorie,
die lokal ist. ([2])
2
4
4.1
Versteckte Parameter
Idee
Einstein befand in der Folge die Quantenmechanik für unvollständig. Er
schlug versteckte Parameter vor, die jedes Teilchen inne hat und deren ”wahren”
Zustand bestimmen. Das Messergebnis entsteht nicht erst bei der Messung,
sondern ist durch die Parameter determiniert. Bis in die 1960er Jahre standen
sich die Quantenmechanik und die Theorie der versteckten Parameter in einer
zum Teil äußerst kontroversen Debatte gegenüber. Mit Hilfe von Bells Ungleichung konnte schließlich festgestellt werden, dass die Quantenmechanik
vollständig ist und es keine versteckten Parameter gibt.
4.2
Beispiel(Drei Photonen Greenberger-Horne-Zeilinger
Verschränkung nach [1])
Dass es keine versteckten Parameter geben kann, lässt sich gut am Beispiel
von drei verschränkten Photonen sehen. Deren Polarisationszustand sei:
1
|ψi = √ (|H1 H2 H3 i + |V1 V2 V3 i)
2
Hierbei sind |Hi (horizontal polarisiert) und |V i (vertikal polarisiert) die Basiszustände der ersten Basis aus Abbildung 1.
Im Experiment wird in zwei weiteren Basen gemessen: In einer um 45◦
gekippten und einer zirkularen.(Siehe Abb1). Es gilt:
1
1
|Hi = √ (|V 0 i + |H 0 i), |V i = √ (|V 0 i − |H 0 i)
2
2
(1)
1
1
|Hi = √ (|Ri + |Li), |V i = √ (|Ri − |Li)
(2)
2
2
Die Messung eines Photons in der gestrichenen Basis wird als x-Messung
bezeichnet, die in der zirkulären Basis als y-Messung.
Im ersten Versuchsteil wird an zwei Photonen eine y-Messung und an eins
eine x-Messung durchgeführt. Mit den oben angegebenen Basiswechseln(2,
1) ergibt sich:
1
|ψi = (|R1 R2 V30 i + |L1 L2 V30 i + |R1 L2 H30 i + |L1 R2 H30 i)
2
Laut Quantenmechanik treten also nur vier der acht möglichen Kombinationen bei der Messreihe auf. Dies ist experimentell bestätigt worden. Im
3
Figure 1: Drei Polarisationsbasen für die Photonen [3]
weiteren nehmen wir an es gibt versteckte Parameter X, Y , wobei X die xMessung und Y die y-Messung bestimmt. Xi = 1 für |Hi0 i , Xi = −1 für
|Vi0 i und Yi = 1 für |Ri i , Yi = −1 für |Li i. Betrachtet man die Fälle, die in
der Natur auftreten und quantenmechanisch vorhergesagt wurden, sind dies
genau die Fälle, bei denen gilt: Y1 · Y2 · X3 = −1(siehe Tabelle 1)
. Für Permutationen dieser Messung ergibt sich analog:
X1 · Y2 · Y3 = Y1 · X2 · Y3 = −1
Im eigentlichen Versuchsteil wird eine x-Messung an alle drei Photonen durchgeführt.
Der entsprechende Basiswechsel(1) liefert:
1
|ψi = (|H10 H20 H30 i + |H10 V20 V30 i + |V10 V20 H30 i + |V10 H20 V30 i)
2
Für das Produkt der versteckten Parameter ergibt sich wegen Yi2 = 1:
X1 ·X2 ·X3 = (X1 ·Y1 ·Y1 )·(X2 ·Y2 ·Y2 )·(X3 ·Y3 ·Y3 ) = (X1 ·Y2 ·Y3 )·(Y1 ·X2 ·Y3 )·(Y1 ·Y2 ·X3 )
Y1
L
R
L
R
L
R
L
R
Y2
L
R
R
L
L
R
R
L
X3
V’
V’
H’
H’
H’
H’
V’
V’
Y1 · Y2 · X3
(−1) · (−1) · (−1) = −1
1 · 1 · (−1) = −1
(−1) · 1 · 1 = −1
1 · (−1) · 1 = −1
(−1) · (−1) · 1 = 1
1·1·1=1
(−1) · 1 · (−1) = 1
1 · (−1) · (−1) = 1
Table 1: Mögliche Messergebnisse und das Produkt der versteckten Parameter X, Y [3]
4
= (−1) · (−1) · (−1) = −1
Dies ist allerdings nur für die vier Zustände, die gerade nicht von der Quantenmechanik vorhergesagt werden erfüllt. Folglich machen Quantenmechanik
und die Theorie der versteckten Parameter für diesen Versuch entgegengesetzte Vorhersagen. Dieses Experiment wurde 2000 von Zeilinger realisiert und
die Vorhersage der Quantenmechanik konnte bestätigt werden.(siehe Abb.
2)
5
Figure 2: a: Vorhersage QM b: Vorhersage versteckte Parameter c: Experiment [1]
6
5
Informationsübertragung
Dieses und andere Experimente zeigen, dass die Quantenmechanik, obwohl
nicht lokal, die Natur korrekt beschreibt. Instantane Korrelationen existieren.
Nun stellt sich die Frage, ob damit Informationen schneller als Licht übertragen
werden können. Dies lässt sich an unserem einfachen Beispiel anhand von
Dichtematrizen nachrechnen[4]:
1
|ψi = √ (|1iA |1iB + |0iA |0iB )
2
1
ρ = |ψi hψ| = (|1iA |1iB + |0iA |0iB )(h1|A h1|B + h0|A h0|B )
2
Misst man die Photonen A eines Ensembles im Zustand ρ, wird man danach
für die Photonen B einen gemischten Zustand, in dem sich die Hälfte der Photonen im Zustand |1i und die andere Hälfte in |0i befindet, erhalten. Doch
was sieht man, wenn man ohne zu wissen, was bei A passiert, B betrachtet?
Dies lässt sich durchs Ausspuren von A berechnen:
1
ρA = h0|A ρ |0iA + h1|A ρ |1iA = (|1iB h1|B + |0iB h0|B )
2
Dies entspricht geradem dem gemischten Zustand, den man auch nach einer
Messung an A erhält. Folglich spielt es für einen Beobachter der Photonen B keine Rolle, ob vorher A gemessen wurde, wenn er es nicht weiß. Es
wird keine Information instantan übertragen. Die vorige Rechnung lässt sich
verallgemeinern. Spurt man ein Subsystem eines reinen, verschränkten Zustandes aus, erhält man einen gemischten Zustand.[5] Es gibt heutzutage
Ansätze verschränkte Zustände zur Informationsübertragung zu nutzen. Hierbei muss aber immer auch ein Teil der Information klassisch übertragen
werden.(Für ein Beispielprotokoll siehe:[6])
6
6.1
Identifikation verschränkter Zustände
reine Zustände
Wie wir gesehen haben, sind verschränkte Zustände real. Für einen reinen
Zustand gibt es eine vergleichsweise einfache Methode, um zu prüfen, ob er
verschränkt ist.
Sei H = H1 ⊗H2 der betrachtete Hilbertraum und |ψi ∈ H. Weiter sei {|ai i}
eine Basis von H1 und {|bj i} eine Basis von H2 . Dann gilt:
X
|ψi =
dij |ai i ⊗ |bj i , dij = (hai | ⊗ hbj |) |ψi
i,j
7
Man betrachte nun einen Basiswechsel |ãi i = U |ai i , |b˜j i = V |bj i mit U und
V den entsprechenden unitären Basiswechseloperatoren.
X
|ψi =
d˜ij |ãi i ⊗ |b˜j i
i,j
d˜ij = (hãi | ⊗ hb˜j |) |ψi = (hai | U † ⊗ hbj | V † ) |ψi
Einfügen einer 1:
d˜ij =
X
(hai | U † |ap i hap | ⊗ hbj | V † |bq i hbq |) |ψi
p,q
Definiert man uip := hai | U † |ap i und vjq := hbj | V † |bq i und identifiziert (hai |⊗
hbj |) |ψi wieder mit dij erhält man:
d˜ij =
X
uip vjq dij = [udv]ij
p,q
Für jede komplexe Matrix A existieren unitäre Matrizen U und V , sodass U ·
A·V diagonal mit nichtnegativen, reellen Eigenwerten ist (Singulärwertzerlegung).
Das heißt es existieren Basen {|αi i} und {|βi i} von H1 und H2 , sodass:
|ψi =
X
si (|αi i ⊗ |βi i)
i
|ψi lässt sich also genau dann als Produkt zweier Zustände schreiben, und
ist damit verschränkt, wenn alle Singulärwerte von dij außer einem verschwinden. (vgl. [5])
6.2
gemischte Zustände
Nachzuprüfen, ob ein gemischter Zustand verschränkt ist, ist ungleich komplizierter. Es gibt heutzutage keine Methode, mit der sich dies bestimmen
lässt, sondern nur Tests, die nur notwendige Bedingungen für einen nichtverschränkten Zustand liefern.(siehe [5])
References
[1] Anton Zeilinger, Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Matthew Daniell, and
Harald Weinfurter. Experimental test of quantum nonlocality in threephoton Greenberger-Horne-Zeilinger entanglement. Nature Publishing
Group, London, 2000.
8
[2] A Einstein, B Podolsky, and N Rosen. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? 1935.
[3] Theorie Group des Fritz Haber-Instituts der Max-Planck-Gesellschaft.
Probevorlesung,http://www.fhi-berlin.mpg.de/cp/theorie/
probevorlesung.pdf abgerufen am 15.11.2016.
[4] Wikipediaeintrag zu entanglement, https://en.wikipedia.org/wiki/
Quantum_entanglement, abgerufen am 15.11.2016.
[5] F. Mintert, C. Viviescas, and A. Buchleitner. Basic Concepts of Entangled
States, pages 61–86. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2009.
[6] Wikipediaeintrag zu quantum teleportation, https://en.wikipedia.
org/wiki/Quantum_teleportation, abgerufen am 15.11.2016.
9
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