Quantenmechanik für Lehramtskandidaten SS 2006

Quantenmechanik für
Lehramtskandidaten
Universität Tübingen
SS 06
Kurt Bräuer
Ergänzung zum Vorlesungsmitschrieb
der Hörer (kein eigenständiges Skript!)
www.kbraeuer.de
Tübingen, den 28.12.2007
Inhalt
1.
Die Geschichte der Quantenmechanik ............................................................ 1
2.
Allgemeine Grundlagen der Physik und Begründung der QM .................... 13
3.
Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums ................... 23
4.
Gebundene Systeme ....................................................................................... 41
5.
Streuung an Zentralpotentialen ..................................................................... 65
6.
Spinfreiheitsgrade ........................................................................................... 87
Literaturhinweise
Quantenmechanik
A. Grawert, Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1977
Grundkurs Theoretische Physik
A. Linder Teubner Studienbücher Physik 1994
Die fundamentalen Phänomene der Quantenmechanik und ihre Bedeutung für unser Weltbild
K. Bräuer, Logos Verlag 2000 (siehe www.kbraeuer.de)
Einladung zur Mathematik - Eine mathematische Einführung und Begleitung zum Studium
A. Rieckers, K. Bräuer, Logos Verlag 2002 (siehe www.kbraeuer.de)
Gewahrsein, Bewusstsein und Physik
K. Bräuer, Logos Verlag 2005 (siehe www.kbraeuer.de)
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1
1. Die Geschichte der Quantenmechanik
Abbildungen aus 'Microsoft LexiROM Version 2.0'
Strahlung schwarzer Körper: Max Plank 1900
Materie wird erhitzt, glüht (rot, …, weiß)
Farben weitgehend unabhängig vom Material
Strahlungsdichte Ende des 18. Jahrhunderts nicht befriedigend verstanden (Rayleigh & Jean)
Plank: Problem der Körperstrahlung wird durch Atomstrahlung geklärt (diskret schwingende
Oszillatoren)
Interpretation ungeklärt
Plancksche Quantenhypothese:
Emission und Absorption von Energie kann nur in vielfachen einer minimalen Energie E=hυ
erfolgen
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2
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Plank'sches Strahlungsgesetz:
(u: Strahlungsdichte, ν: Frequenz, T: Temperatur)
Die Strahlungsdichte u eines schwarzen Strahlers hängt nur von der Temperatur des Strahlers und von der Frequenz der emittierten Strahlung ab.
Obere Kurve: Das klassische Gesetz von Rayleigh & Jean gilt nur für hohe Temperaturen und niedere Strahlungsdichten. Es führt bei höheren Frequenzen zur Ultraviolettkatastrophe .
Mittlere und untere Kurve: Strahlungsdichte nach dem Plank'schen Strahlungsgesetz für zwei verschiedene Temperaturen.
Fig. 1-1
Photoelektrischer Effekt: Albert Einstein 1905
Emission von Elektronen durch Metall unter dem Einfluss von Licht
Lenard: Energie der ausgesandten Elektronen hängt nicht von Lichtintensität ab, sondern von
der Lichtfarbe (Frequenz)
Klassisch nicht zu erklären
Einstein: erweitert Plancks Hypothese, Licht als Energiequanten auffassen (E=hυ)
dies steht in krassem Widerspruch zu Beugungs- und Interferenzerscheinungen des Lichts
1. Frühgeschichte der Quentenmechanik
3
Photoeffekt
Photonenenergie:
Eγ = hν = ω = mγ c 2
Photonenmasse:
mγ =
hν
c2
Photonenimpuls:
pγ = mc =
hν h
= = k
c
λ
Ein einlaufendes 'Lichtquant' γ löst ein Elektron e aus dem Festkörper. Entgegen den klassischen Vorstellungen
hängt die kinetische Energie des Elektrons nicht mit der Lichtintensität zusammen sondern von der Lichtfrequenz
ν.
Fig. 1-2
Spezifische Wärme fester Körper: Albert Einstein 1905
klassische Theorie: Spezifische Wärmen stimmen nur für hohe Temperaturen
Spezifische Wärme fester Körper:
Zustandssumme:
1
1 − e − hν / kT
n
Innere Energie der Einstein-Oszillatoren:
Z ( hν / kT ) = ∑ e − nhν / kT =
bg
U T = 3 Nhν
1
e
hν / kT
RS ⎯ ⎯⎯→ 3NkT;
− 1 T ⎯ ⎯⎯→ 3 Nhνe
hν << kT
hν >> kT
− hν / kT
;
Spezifische Wärme:
C=
dU
.
dT
Diskrete Energiezustände in einem Festkörper führen bei kleinen Temperaturen zu einer Abflachung der Energiekurve. Dies stimmt mit den experimentellen Funden überein.
Obere Kurve: Nach der klassischen Theorie ist die innere Energie eines Festkörpers proportional zur Temperatur.
Mittlere Kurve: Verlauf der inneren Energie als Funktion der Temperatur bei Zugrundelegung diskreter Energiezustände.
Untere Kurve: Näherung für sehr kleine Temperaturen.
Fig. 1-3
4
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Struktur der Atome: Ernest Rutherford 1911, Niels Bohr 1913
Rutherford: Durchgang von α-Strahlen durch dünnen Materieschicht -> Atommodell (positiv
geladener Kern + Orbitelektronen)
woher kommt Stabilität?
Bohr: Anwendung von Plancks Quantenhypothese erklärt Stabilität
Zerstört innere Konsistenz der Newtonschen Theorie
Atommodell nach Bohr
Bohr's Phasenraumbedingung:
z
Wirkung
pdq = nh
Phasenraumvolumen des Oszillators:
p2
+ 2π 2 mvq 2 = E = nhν
2m
Frequenzbedingung für Linienspektren:
1
ν = E a − Eb
h
Nach dem Bohrschen Atommodell ist die Wirkung eines Elektrons auf seiner Bahn um den Atomkern ein ganzzahlig vielfaches vom Plank'schen Wirkungsquantum h. Damit können die Spektrallinien ganz einfacher Atome
erklärt werden.
Fig. 1-4
b
g
Compton-Effekt: Arthur Holly Compton 1923
Streuung von Röntgenstrahlung an Elektronen
klassisch: Elektronen werden von Lichtwelle angeregt und senden Kugelwelle mit Lichtfrequenz
aus
Compton: Frequenzen des einfallenden und gestreuten Lichtes sind verschieden, wie bei Stoß
zwischen Lichtquant und Elektron mit Energie- und Impulserhaltung
1. Frühgeschichte der Quentenmechanik
5
Compton-Effekt
Energiebilanz:
1
Eγ = hν 0 = hν c + me v 2e
2
Impulsbilanz:
hν 0 hν c
cosθ + me v e cosϑ
=
c
c
hν
p y = 0 = − c sin θ + me v e sin ϑ
c
Verschiebung der Compton-Linie:
2hν cν 0
θ
νc −ν0 = −
sin 2
2
me c
2
px =
Die Streuung von Röntgenstrahlen an Elektronen kann durch einen Teilchencharakter von Licht erklärt werden.
Die Verschiebung der Lichtfrequenz läßt sich aus Energie- und Impulserhaltung genau berechnen.
Fig. 1-5
Materiewellen: Louis Victor Prinz von De Broglie 1924
Wenn Wellen Teilcheneigenschaften haben, müssen Teilchen auch Welleneigenschaften haben!
→ Beugung Interferenz von Elektronenstrahlen
De Broglie Materiewellen
Energie-Frequenz-Beziehung:
E
E
ν = , bzw. ω =
h
Wellenlänge-Impuls-Beziehung:
p
h
λ = , bzw. k =
p
Durch Streuexperimente mit Elektronen an Atomgittern in Kristallen weist man die Wellennatur von Elektronen
nach. Die Beziehungen zwischen den Wellengrößen Frequenz und Wellenzahl und den Teilchengrößen Energie
und Impuls sind die gleichen wie beim Photoeffekt in Fig. 1-2.
Fig. 1-6
Matrizenmechanik: Werner Heisenberg 1925
Erste exakte mathematische Formulierung der Quantenmechanik (Gleichungen für Matrizen)
Spiegeln Newtonsche Prinzipien wie Energie- und Impulserhaltung wieder
Reihenfolge der physikalischen Größen ist relevant
6
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Matrizenmechanik des Harmonischen Oszillators
Ort u. Impuls-Variablen → Operatoren:
x=
F0
GG 1
G0
2mω G
GG 0
H
1
0
2
0
0
2
0
3
0
0
3
0
I
JJ
JJ ,
JJ
K
p=i
F0
GG 1
m ω
G0
2 G
GG 0
H
0
− 1
0
− 2
2
0
0
3
0
0
− 3
0
I
JJ
JJ
JJ
K
Vertauschungsrelation:
x , p = xp − px = i
Hamilton-Funktion→ -Operator:
p2 1
+ mω 2 x 2
2m 2
Eigenwertproblem:
H=
Hψ n = E nψ n
⇒
b g
E n = ω n + 21
In der Matrizenmechanik von Heisenberg werden klassischen Variablen wie Ort und Impuls zu Matrizen. Da es
bei Berechnungen mit diesen Matrizen auf ihre Reihenfolge ankommt, erhält man eine Unschärfebeziehung zwischen Ort und Impuls.
Die diskreten Atomspektren werden durch das diskrete Eigenwertspektrum der Energiematrize erklärt.
Fig. 1-7
Schrödinger-Gleichung: Erwin Schrödinger 1926
Wellengleichung für Materiewellen von DeBroglie
Vorschrift zur Umwandlung von klassischen Bewegungsgleichungen in QM-Wellengleichung
1. Frühgeschichte der Quentenmechanik
7
Wellenmechanik des Harmonischen Oszillators
Schrödinger-Gleichung:
UV b g
W
b g RST
− ∂
− 2 ∂2 1
+ mω 2 x 2 ψ x , t
ψ x, t =
i ∂t
2m ∂x 2 2
Separationsansatz:
b g
bg
ψ x , t = ψ n x e −iE t /
mit b =
mω
⇒
n
bg
ψ b xg =
ψ b xg =
ψ b xg =
: ψ0 x =
1
2
3
b g
En = ω n + 21
1
πb
e− x
2
/ 2b2
E0 =
,
1
2
ω;
x − x 2 / 2b2
e
,
E1 = 23 ω ;
b
πb
x2
1
1 − x 2 / 2b2
e
,
E2 = 25 ω ;
2 2 −
b
πb
2
3
x
x − x 2 / 2b2
1 1
e
, E3 = 72 ω ;
2 3 − 1+ 2
b
πb 3 b
1
2
RS
T
RS
T
d
UV
W
i UVW
Die Wellengleichung von Schrödinger basiert im wesentlichen auf der Dispersionsrelation ω(k) für Elektronen.
Aufgrund von Randbedingungen (hier für x→∞) liefert sie Lösungen mit diskreten Energien.
Fig. 1-8
Materiewellen – erste Schritte zum Verständnis der QM: Bohr, Kramers, Later
1924
Widerspruch zwischen Wellenbild und Teilchenbild sollte aufgeklärt werden
-> Wahrscheinlichkeitswelle (Lichtwellen oder Teilchenwellen sind nicht real),
Wellenintensität ~ Wahrscheinlichkeit
Aber auch klassische Wahrscheinlichkeitswellen zeigen keine Interferenzphänomene
Kopenhagener Deutung der QM: 1927
Ausführliche Diskussion zwischen Bohr, Schrödinger und Kopenhagener Arbeitsgruppe
Ergebnis ist nicht leicht zu akzeptieren!
Sprache
Jedes physikalische Experiment muss in den Begriffen der klassischen Physik beschrieben werden
Unbestimmtheitsrelation
Anwendung klassischer Begriffe ist begrenzt durch Unbestimmtheitsrelation (z.B. Ort und Impuls eines Wirkungsquantums nicht beliebig genau)
8
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Zur Unschärferelation zwischen Ort x und Impuls p
Ort und Impuls sind nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmbar. Hier zum Beispiel wird zur
Ortsmessung eine Lochblende verwendet. Je genauer der Ort gemessen wird, umso breiter wird die
Impulsverteilung hinter der Blende.
Fig. 1-9
Wahrscheinlichkeitsfeld
Wahrscheinlichkeitsfeld beschreibt Wahrscheinlichkeit für bestimmte Messergebnisse und für
Ungenauigkeit
Zu den klassischen Messfehlern kommt noch die prinzipielle Unbestimmtheit
1. Frühgeschichte der Quentenmechanik
9
Zur Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik
Der abstrakte Quantenzustand oben wird dargestellt durch Wahrscheinlichkeiten für sprachlich fassbare Zustände. Bei einer Messung wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion reduziert. Je nach vorgehen bleibt zum Beispiel eine
Elektronenverteilung mit einer definierten Energie übrig oder ein relativ zum Kern lokalisiertes Elektron.
Fig. 1-10
Zeitliche Entwicklung
QM erlaubt Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Keine Beschreibung des Ablaufes von Ereignissen sondern von Möglichkeiten
Messung: Möglichkeiten zu Tatsachen,
unscharfe Tatsachen Grundlage für erneute Entwicklung von Möglichkeiten
Interpretation quantenmechanischer Prozesse
drei Schritte:
1) experimentelle Ausgangssituation in Wahrscheinlichkeitsfeld übersetzen
2) zeitliche Entwicklung des Feldes wird berechnet
3) neue Messung am System, Ausgang mit Wahrscheinlichkeitsfeld bestimmt
zweiter Schritt kann nicht in Begriffe der klassischen Physik gefasst werden (Überlagerung von
Möglichkeiten)
Man kann etwa kein Elektron auf seiner Bahn um den Atomkern beobachten.
Man ist versucht zusagen, das Elektron sei zwischen zwei Messungen irgendwo gewesenen. Das
wäre aber ein Missbrauch der Sprache.
10
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Beobachtung eines Wasserstoff-Hüllenatoms
Zur Beobachtung eines Elektrons in einem Wasserstoffatom kann ein Mikroskop verwenden. Der Impulsübertrag
zwischen jedem 'Lichtquant' und dem Elektron ist jedoch so groß, daß das Elektron aus dem Atom herausgeschlagen wird. Die Elektronenbahn im Atom kann grundsätzlich nicht beobachtet werden
Fig. 1-11
Wellen-Teilchen-Dualismus und Komplementarität
Im Atom erscheint ein Elektron wellenartig und teilchenartig.
Auch bei der Quanteninterferenz an einer Lochblende ist das so.
Die Widersprüche zwischen Teilchenbild und Wellenbild werden durch die Unschärfe aufgelöst.
Bohr: Beide Bilder gebrauchen.
Quanteninterferenz an einer Lochblende
Eine Elektronenwelle passiert eine Doppellochblende und wir auf einer Photoplatte registriert. Nach längerer Zeit
bildet sich aus den Einschlägen einzelner Elektronen ein Interferenzmuster. Nach den Gesetzen der klassischen
Physik müßte die Photoplatte wie rechts dargestellt belichtet werden.
Fig. 1-12
Was geschieht wirklich bei einem atomaren Vorgang?
Im Sinne der Kopenhagener Interpretation ist diese Frage nicht sinnvoll. Begriffe der klassischen
Physik gelten nur für Präparation und Messung.
1. Frühgeschichte der Quentenmechanik
11
Anektode vom Kosaken und dem Rabbi
Es war einmal ein Kosak, der einen Rabbi fast jeden Tag zur selben Zeit über den Stadtplatz gehen sah. Eines Tages fragte er neugierig, 'Wohin gehst du, Rabbi?'
Der Rabbi antwortete: 'Das weiß ich nicht so recht'.
'Du kommst hier jeden Tag um diese Zeit vorbei. Du musst doch wissen, wohin du gehst:'
Als der Rabbi hartnäckig dabei blieb, dass er es nicht wisse, war der Kosak zunächst irritiert,
wurde dann argwöhnisch und schleppte den Rabbi schließlich ins Gefängnis. Als er die Zelle
absperrte, sah der Rabbi ihn an und sagte freundlich: 'Siehst du, das konnte ich vorhin absolut
nicht wissen'.
Bevor der Kosak ihn aufgehalten hatte, wusste der Rabbi, wohin er ging, aber danach nicht mehr.
Diese Unterbrechung könnte als Messprozess betrachtet werden. Er brachte neue Möglichkeiten
mit sich und legte eine davon fest.
13
2. Allgemeine Grundlagen der Physik
und Begründung der QM
1. Mechanische Wirkungen
Physikalische Grundgrößen (Messgrößen): Länge x, Zeit t, Kraft F
Abgeleitete Größe: (mittlere) Geschwindigkeit
Theoretische Begriffe: Bahnkurven, Geschwindigkeitsfelder, Energiefelder, Impulsfelder, Wirkungsfelder
Grundlage aller physikalischen Gesetze ist der objektive (kontextunabhängige) Zusammenhang
zwischen Ursache und Wirkung (Kausalzusammenhang)
Bewegung auf Bahnkurven ist stark vereinfachte Näherung, mit der viele Phänomene erfasst
werden können (Ausnahme: Quantenphänomene)
Wirkungsfeld:
reine mathematische Begriffsbildung!
S ( x, t ) :
(2-1)
=
dS
totale Änderung
des Wirkungsfeldes
∇S
⋅ dx +
≡p
( Impulsfeld )
∂
∂
p = −∇E = F
∇S =
∂t
∂t
=F
∂t S
dt = p ⋅ dx − Edt = pμ dx μ
≡− E
( Energiefeld )
( ct , − dx )
(
⇒ pμ = c −1E , p
)
( Meßgröße )
=F
( Kraftfeld )
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14
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Impulsfeld:
p = ∫ dtF
( Kraftstoß )
Energiefeld:
E = − ∫ dxF
( Arbeit )
( für Felder )
Bewegungsgleichung: ∂ t p = −∇E
(2-2)
Masse und Energiefunktion
Kontextunabhängigkeit (Objektivität) → Ausbreitungsgeschwindigkeit des Wirkungsfeldes
Wirkungsfeld kontextunabhängig, Wirkung verschiedene Impulse gleich ⇒ E(p)
ε
p' = p +
(2-3)
,
kleine Impulsdifferenz
( )
E ' = E + ε ⋅∇( p ) E + O ε 2
und
Taylor-Entwicklung
des Energiefeldes
S ' = S.
also
dS '
totale Änderung
des Wirkungsfeldes
= p ' ⋅ dx −
(2-4)
E ' dt
p
E +∇( ) E ⋅ε
p +ε
(
)
= p ⋅ dx − Edt + ε ⋅ dx − ∇( p ) Edt .
dS
!
dS ' = dS
⇒
( dx − ∇( ) Edt ) = 0
(2-5)
⇒
p
Kontextunabhängigkeit
∇( p ) E =
dx
Geschwindigkeitsfeld für
= v (S ) =
dt
die Ausbreitung der Wirkungen.
Zu Unterscheiden: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Äquipotentialpunkten des Wirkungsfeldes
(Phasengeschwindigkeit)
dS = pdx − Edt ⇒ v (
H)
≡
∂x
E
= .
∂t dS =0 p
(2-6)
Trägheit der Materie
Kontextunabhängigkeit bezüglich des Bezugssystems x′ = x + η t
(
)
dS ' = p ⋅ ( dx + η dt ) − E + ε ⋅∇( ) E dt
dx '
p
E'
⎛
⎞
p
= p ⋅ dx − Edt + ⎜ p ⋅η − ε ⋅∇( ) E ⎟ dt.
⎜
⎟
S
=v ( ) ⎠
⎝
dS
(2-7)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
dS ' = dS
15
p ⋅η = v ( ) ⋅ ε .
⇒
(2-8)
S
Kontextunabhängigkeit
( p, v ( ) fest vorgegeben )
(2-9)
⇒ η ∝ε,
S
also mη = ε und
p = m v ( ).
S
bekannt
als Masse
Die Energiefunktion E(p)
∇( ) E = v ( ) =
p
S
1
1
1 2
p ⇒ E = ∫ d3 p p =
p +
2m
m
m
V
(2-10)
Potential
( Integrationskonstante )
unabhängig vom Impuls
oder
1
∂S
+
∇⋅S
∂t 2m
(
)
2
+ V = 0.
p
−E
Grundgleichungen der Mechanik
p = ∇( x ) S
∂
1
∇( x ) S
0= S+
∂t
2m
∂
p = −∇( x ) E
∂t
(
( Führungsbedingung ) ,
)
2
+V
(2-11)
( Hamilton-Jacobi-Gleichung ) ,
( Bewegungsgleichung der Felder ) .
Beispiele für Dynamik des Wirkungsfeldes
Abbildung 2-1
Zeitliche Entwicklung eines freien Wirkungsfeldes mit Anfangswerten S=p0x und
S ( x, t ) = p0 x − p02 / ( 2m0 ) t
m=1, p0=v(S)=1.
16
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Abbildung 2-2
Zeitliche Entwicklung eines freien Wirkungsfeldes mit 2 verschiedenen Startimpulse p1=1 (ganz links) und p2=2
(weiter rechts). Es ist wieder m=1.
Abbildung 2-3
Zeitliche Entwicklung eines freien, Gauß-förmigen Wirkungsfeldes mit m=1. Nachdem die Gauß-form des Feldes
zunächst zerfließt, kommt es am Ende zu einem Brechen, wie bei Wasserwellen, die auf den Strand auflaufen.
2. Klassische Mechanik
Ein klassisches Objekt bewegt sich so, dass der Geschwindigkeitsvektor auf der Bahnkurve immer mit dem des Wirkungsfeldes übereinstimmt
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
Position des Objekts:
17
x (t ) ;
(2-12)
Geschwindigkeit des Objekts: x ( t ) = v ( t ) = v ( S ) ( x ( t ) , t ) ;
!
Geschwindigkeitsfeld der Wirkung
Beispiel freier Fall
Abbildung 2-4
Links: Wirkungsfeld des freien Falles eines Körpers in einem homogenen (konstanten) Kraftfeld. Die Werte des
Wirkungsfeldes sind Farbkodiert entsprechend der Farbtabelle. Die grünen Pfeile geben das Geschwindigkeitsfeld
in Form von Vektoren an.
Rechts: Bahnkurven eines frei fallenden Körpers im homogenen Kraftfeld. Die grünen Pfeile entsprechen denen im
linken Bild..
⎧ x = ∇( p ) E ;
⎪
S
=v ( )
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: ⎨
⎪ p = −∇E .
⎩ =Kraft =Kraft
(2-13)
Hamiltonsches Prinzip
Bewegung einer 'Punktmasse' (Idealisierung) verläuft entlang p = ∇S , also orthogonal zu den
Äquipotentiallinien mit dS=0. Für die Bewegung der 'Punktmasse' ist dS maximal:
Die Wirkungsfunktion ist für die wirklich durchlaufene Bahnkurve extremal.
dS = p ⋅ dx − Edt = ( p ⋅ v − E ) dt ,
( L ist die Langrange-Funktion ) ;
L
Bestimme x(t ) so, dass gilt:
⎧ dS = Ldt = extremal
bzw. δ ∫ dS = 0,
∫
⎪⎪ ∫
⎨ ∫ dSdx = ∫ Ldtdx = extremal δ ∫ dSdx = 0,
⎪
Variation des
⎪⎩
Wirkungsintegrals
( Punktteilchenmechanik ) ;
( Kontinuumsmechanik ) .
Elastitzitätstheorie, Hydrodynamik, ...
(2-14)
18
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Dies drückt (2-12) als Variationsprinzip aus, was die Berechung von Bewegungsgleichungen
auch für komplexere Potentiale oder Systeme erlaubt.
3. Quantenmechanik
Felder (Wirkung, Impuls, Energie, Geschwindigkeit, elektromagnetische) sind nicht punktgenau
festgelegt.
z.B. sind immer nur mittlere Geschwindigkeiten v = Δx / Δt messbar.
Der Euklidsche Punkt (ohne Ausdehnung) existiert nur gedanklich (Idealisierung), nicht wirklich
(Zenon von Eleat, Aristoteles)
Die invariante Größe ist das Wirkungsfeld. Seine Unschärfe ist immer größer als das Plancksche
Wirkungsquantum
2
⎛
⎛
⎞ ⎞
⎜ Δf x , t ≡ ⎜ f x , t − f ( x , t ) ⎟ ⎟
⎜⎜ ( ) ∫ ⎜ ( )
⎟ ⎟⎟
Mittelwert ⎠ ⎠
⎝
⎝
ΔS ( x , t ) ≥
Plancksches
Wirkungsquantum
Streuung
oder
Unschärfe
(2-15)
Statistische Behandlung
Unschärfe: mittlere Impuls eines ruhenden Wirkungsquantums ist 0, Kinetische Energie ist größer als Mittelwert ( p 2 / 2m ) > Mittelwert ( p ) / 2m . Wird durch Quantenpotential berücksichtigt
2
=0
(2-16)
Wahrscheinlichkeit für
Ansprechen eines Detektors: ρ ( x , t )
Q(ρ) = −
Quantenpotential:
2
∇2 ρ
2m
ρ
Grundgleichungen:
2
⎧ ∂S 1
⎪ ∂t + 2m ∇S + V + Q ( ρ ) = 0;
⎪
Quantenpotential
⎨
⎪ ∂ρ + ∇ ⋅ ρ m −1∇S = 0;
⎪ ∂t
S
v( )
⎩
( )
( Kontinuität oder Invarianz der Wirkung ) ;
(2-17)
( Kontinuität der Wahrscheinlichkeit ) .
Die Gleichungen drücken aus, welche Wirkung mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint
Transformation zu linearem, aber komplexem Gleichungssystem:
ψ ( x , t ) ≡ ρ ( x , t )eiS ( x ,t ) /
⇒ −
2
⎞
∂ψ ⎛
= ⎜−
Δ + V ⎟ψ
i ∂t ⎝ 2m
⎠
Schrödinger-Gleichung
(2-18)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
19
Beweis
⎧R
⎩R
S⎫
(2-19)
ψ = ⎨ + i ⎬ψ ,
⎭
( ) ( )
⎧ ∇R
∇S ⎫
∇ψ = ⎨
+i
⎬ψ ,
⎩ R
⎭
2
⎧⎪ ∇R 2 ∇S 2
∇R ∇ S
∇2R
∇R
∇2S
2
∇ ψ = ⎨ 2 − 2 + 2i
+
−
+i
R
R
R2
⎪⎩ R
⎧⎪ ∇S 2
∇ R ∇S
∇2 R
∇ 2 S ⎫⎪
= ⎨− 2 + 2i
+
+i
⎬ψ .
R
R
⎪⎩
⎪⎭
( ) ( )
( )
( )( ) (
( )( ) (
) ( )
( )⎫⎪⎬ψ
) ( )
⎪⎭
Einsetzen und kürzen von ψ ergibt
⎧
0=
i
2
ψ + ⎨−
⎩ 2m
∇2 + V +
ψ
∇2 R ⎫
⎬ψ
2m R ⎭
(2-20)
2
( )
( )( )
2
⎧
∇R ∇ S
⎧
⎫ ⎪ ∇S
R
= ⎨−i
+ S⎬+ ⎨
−2 i
−
R
2mR
⎩
⎭ ⎪ 2m
⎩
( ∇S )
=S+
2m
2
( ∇ R ) −i
2
+V −
2
2mR
( ∇ R ) − i ( ∇ S ) ⎫⎪ + V
2
2
⎬
2m ⎪
⎭
2mR
( )( )
∇R ∇S
R
−2 i
−i
R
2mR
=0
Hamilton-Jacobi-Gleichung
2
(∇ S ) .
2
2m
=0
Kontinuitäts-Gleichung
Für den Realteil der Gleichung gilt dann
( ∇S )
S+
2
2m
+V + Q = 0 .
(2-21)
Das ist genau die Hamilton-Jacobi-Gleichung!
Wir multiplizieren nun den Imaginärteil mit (-2R2/ ) und erhalten
( )( )
( )
R ∇ R ∇S R 2 ∇ 2 S
+
m
m
⎛ ∇S ⎞
⎟
= ∂ t R 2 + ∇ ⋅ ⎜⎜ R 2
m ⎟⎠
⎝
2 RR + 2
(2-22)
( )
= ρ + ∇ ⋅ ( ρv ) = 0.
Das ist genau die Kontinuitäts-Gleichung!
Die Unschärfe (Plancksches Wirkungsquantum) führt zu Nichtlokalität, Quantensprüngen, Wellen-Teilchen-Dualismus (Komplementarität), …
4. Heisenbergsche Unschärferelation mit reellen Feldern
Unschärfepotential Q in (2-16) garantiert Heisenbergsche Unschärferelation
20
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Δx
2
Δp
2
Streuung
Streuung
des Ortes
des Impulses
≥
( Unschärfe ) ( Unschärfe )
(2-23)
2
4
.
Nachweis der Unschärferelationen üblicherweise mit Operatoralgebren und imaginären Einheit
i=√-1.
Hier: ausschließlich mit reellen Feldern und Ableitungen
Nach Definition und Interpretation
2
2
! ( Δp )
ΔR
3
=
−
Δ
=
Q =−
d
x
d
xR
R
d 3 x ∇R =
ρ
∫
∫
∫
2m
2m
2m
2m
R
( )
2
3
( )
also: ∫ d 3 x ∇R =
mit
∫x
2
( Δp )
(2-24)
2
2
2
( (
))
R∇ 2 Rdx = ∫ R∇ 2 ( x 2 R ) dx = ∫ R ∇ ⋅ 2 xR + x 2∇R dx
(
)
(2-25)
= ∫ R 6 R + 2 x ⋅∇R + 2 x ⋅∇R + x 2∇ 2 R dx
= 6 + 4∫ Rx ⋅∇Rdx + ∫ x 2 R∇ 2 Rdx
=0
ist
3
∫ Rx ⋅∇Rdx = − 2 .
Also ist
(
)
(
)(
( ∇R ) + 2α x ⋅ R∇R ) dx
)
2
(2-26)
0 ≤ ∫ xR + α∇R dx = ∫ xR + α∇R ⋅ xR + α∇R dx
(
= ∫ x2ρ + α 2
= Δx
=
( Δx )
2
( Δp )
2
2
≥
2
( Δp )
+α
2
2
( Δp )
2
2
9
2
2
( Δp ) ⎛⎜ α 2 − 2α
− 3α =
2
⎜
2
⎝
3
2 ( Δp )
⎛
2
2
⎜⎛
2
⎞ ⎛ 3 2 ⎞
3
⎜ ⎜α −
⎟ −⎜
⎟ +
2
2
⎜ ⎝⎜
2 ( Δp ) ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ( Δp ) ⎠⎟
⎜
≥0
⎝
4
4 ( Δp )
4
oder Δx Δp ≥ 3
2
2
( Δx )
2
( Δp )
2
2
+
Δx 2 ⎞
⎟
2
( Δp ) ⎟⎠
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
Damit die Ungleichung (2-26) erfüllt sein kann, muss die rechte Seite reell sein. Also muss der
Radikant positiv sein und wir erhalten die Heisenbergsche Unschärferelation
⇒ ΔxΔp ≥
2
( pro Dimension ) .
(2-27)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
21
5. Relativistischer Energiesatz
Viererimpuls
dS = ∇S ⋅ dx −∂ t S dt = p ⋅ dx − Edt = pμ dx μ
≡p
( Impuls )
≡E
( ?, p )
( Energie )
(2-28)
( ct , dr )
→ pμ = ( c −1 E , − p )
Energiefeld durch Ableiten des Wirkungsfeldes nach der invarianten Zeit τ = γ −1t :
∂S
= ∂ μ S ∂τ x μ = pμ v μ = m0 vμ v μ = −m0 c 2 , also
∂τ
γ ( c ,v )
2
Ruhemasse
(2-29)
−c
pμ p μ = p 2 − c −2 E 2 = −m02 c 2 , oder
( Einstein-Relation )
E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4
Ruhemasse oder invariante Masse m0 und träge Masse m:
pμ = ( c −1 E , − p ) = m0 γ ( c, −v ) , also
(2-30)
Ruhemasse
p = γ m0 v = mv
Nichtrelativistische Näherung für die Energiefunktion:
E=
p 2 c 2 + m02 c 4 = m0 c 2 1 +
⎞
p2
1 p2
1 p2
2⎛
2
m
c
1
...
m
c
=
+
+
=
+
+ ...
⎜
⎟
0
0
2 2
m02 c 2
2
m
c
2
m
0
0
⎝
⎠
( )
1 11
1+ x =1+ x − x 2 + O x3
2 24
(2-31)
siehe nichtrelativistischer
Energiesatz
Homogenität raumzeitlicher Bezüge:
⎛
⎞
⎜
⎟!
⎟ = ∂ μ S ( xν )
∂ μ S ⎜ xν + ε ν
⎜
Infinitesimale ⎟
Translation des ⎟
⎜
Koord.Syst. ⎠
⎝
p μ ( xν + ε ν ) = p μ ( xν ) + ∂κ p μ ( xν ) ε κ + O ( ε 2 )
⇒ ∂ν p μ = ∂ν ∂ μ S = 0
( Erhaltung des Viererimpulses )
insbesondere: ∂ μ ∂ μ S = 0
(2-32)
22
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Kontinuität des Wirkungsstromes
E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4
∂μ S (∂μ S ) − S
pμ p μ = ( ∂ μ S ) ( ∂ μ S ) = −m0 c 2 , oder
⇔
(∂
μ
(2-33)
∂ μ S ) = − m0 c 2 , also
=0
( Impulserhaltung )
∂ μ S ( ∂ μ S ) = − m0 c 2
Wirkungsstrom
( Kontinuitätsgleichung )
Quellen
6. Elektrodynamik
Eichinvarianz der Elektrodynamischen Potentiale (siehe Kapitel über das elektromagnetische
Feld):
∂ψ
⎧
,
⎧E′ = E
⎪φ′ = φ +
∂t
⇒ ⎨
⎨
⎩ B′ = B
⎪ A′ = A − ∇ψ ;
⎩
(2-34)
Auch das Wirkungsfeld ist nur über Kräfte (Ableitungen der Wirkung) bestimmbar, kann also
geeicht werden.
S → S ( Mat ) + S ( Eich ) ;
(2-35)
dS → pμ dx μ + eAμ dx μ .
=
Mat
∂μ S( )
=
Eich
∂μ S ( )
übliche Notation
(
)
(2-36)
= − m02 c 2
(2-37)
∂ μ S ( Eich ) = eAμ = e ϕ , − A .
Kontinuität des Wirkungsfeldes entsprechend (2-33):
(
∂ μ S ∂ μ S = − c12 ( E + eϕ ) + p + eA
2
)
2
= − c12 E 2 + p 2 − 2 c12 eEϕ + 2ep ⋅ A − e 2ϕ 2 + e 2 A2 = −m02 c 2 .
Mechanik
Elektrodynamische
Wechselwirkung
Elektrodynamik
Aμ entspricht offensichtlich dem elektromagnetischen Viererpotential
Nun müssen die mechanischen und die elektromagnetischen Anteile für sich kontinuierlich sein.
Kontinuität der Eichanteile:
(2-38)
elektromagn.
Feldtensor
∂ μ F μν = ∂ μ ( ∂ μ Aν − ∂ν Aμ ) = μ0 jν
erhaltener
Strom
Quelle
Nach dem letzten Kapitel 'Lorentz-Invarianz und Begründung der elektromagnetischen Gesetze'
ist diese Kontinuitätsgleichung äquivalent zu den Maxwell-Gleichungen
Alle elektromagnetischen Phänomene, insbesondere auch die des Lichtes begründen sich aus der
Relativität aller raumzeitlichen Bezüge und aus der Kontinuität unseres Weltbewusstseins.
23
3. Formale Grundlagen der
Mechanik eines Wirkungsquantums
1. Statistische Deutung der Wellenfunktion
Wellenfunktion
(3-1)
ψ ( x , t ) = ρ ( x , t )eiS ( x ,t ) / ,
mit
Wirkungsfeld:
S ( x, t )
Wahrscheinlichkeitsfeld:
ρ ( x, t )
Plancksches Wirkungsquantum:
( Meßwerte, Kraft, Implus, Energie,...)
( Meßwahrscheinlichkeit )
( Minimale Streuung oder Unschärfe der Wirkung )
Normierung:
∞
1=
∫
−∞
d 3 x ψ ( x, t ) =
2
∞
∫
d 3 x ρ e − iS /
−∞
ψ*
ρ eiS / =
ψ
∞
∫
d 3 xρ
(3-2)
−∞
ρ ( x , t ) : Wahrscheinlichkeitsdichte, bei einer Ortsmessung
zur Zeit t eine Wirkung am Ort x zu finden
Abb. 3-1
Einfaches quantenmechanisches Experiment.
www.kbraeuer.de
Tübingen, den 28.12.2007
24
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Abb. 3-2
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Ortsmessung mit Ortserwartungswert <x> und Streuung (Δx)2.
Kontinuität der Wahrscheinlichkeitsdichte:
Die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt Wirkung auftritt, bleibt erhalten (Voraussetzung für bewusste Welterfahrung).
∂
∂
ρ = ψ *ψ
∂t
∂t
⎛∂
⎞
⎛∂ ⎞
= ⎜ ψ * ⎟ψ + ψ * ⎜ ψ ⎟
⎝ ∂t
⎠
⎝ ∂t ⎠
i⎛ ∂
∂ ⎞
⎞
⎛ i ⎞⎛
ψ * ⎟ψ +ψ * ⎜ − ⎟ ⎜ −
ψ⎟
= ⎜
⎝ i ∂t
⎠
⎝
⎠ ⎝ i ∂t ⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎜
⎜
⎟
⎛
⎞
⎞ ⎟
i
⎛ i⎞ ⎛
= ⎜ ⎜−
Δ + V ⎟ψ * ⎟ψ + ψ * ⎜ − ⎟ ⎜ ⎜ −
Δ + V ⎟ψ ⎟
⎝
⎠ ⎜ ⎝ 2m
⎜ ⎝ 2m
⎟
⎠
⎠ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ Schrödinger-Gleichung ⎠
⎝ Schrödinger-Gleichung (kompl. konj.) ⎠
2
2
⎞ i⎛
⎞
⎛
⎞ ⎞
i⎛ ⎛
= ⎜ψ ⎜ −
Δ + V ⎟ψ * ⎟ − ⎜ψ * ⎜ −
Δ + V ⎟ψ ⎟
⎠
⎝ 2m
⎠ ⎠
⎝ ⎝ 2m
⎠
⎝
2
2
⎞
i⎛
= ⎜ −ψ
Δψ * +ψ *
Δψ ⎟
2m
2m
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
ψΔψ *
ψ * Δψ
=i
−
+
⎟
2m ⎜⎜
⎟
⎝ ∇⋅(ψ∇ψ *)−( ∇ψ )⋅( ∇ψ *) ∇⋅(ψ *∇ψ ) −( ∇ψ *)⋅(∇ψ ) ⎠
=i
2m
(
∇ ⋅ −ψ∇ψ * +ψ * ∇ψ
)
⎛
⎞
ψ * 1i ∇ψ −ψ 1i ∇ψ * ⎟
= −∇ ⋅ ⎜
⎝ 2m
⎠
(
)
j
also
(3-3)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
25
Kontinuitätsgleichung:
∂
ρ +∇⋅ j = 0
∂t
mit
j=
2m
(ψ *
1
i
(3-4)
∇ψ −ψ 1i ∇ψ *
)
erhaltene Wahrscheinlichkeitsstromdicht
j=ρ
entspricht
∇S
m
p
=v
m
also
∫
(3-5)
j ⋅ df
F
ist ein Mass dafür, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Meßereignisses
innerhalb und außerhalb des von F umschlossenen Gebiets ändert
In Lehrbüchern ∫jdf oft interpretiert als 'Wahrscheinlichkeit dafür, dass durch die Fläche F pro
Sekunde ein Teilchen hindurch tritt'. Es sind aber keine Teilchen im Spiel, sondern nur Wirkungen, die innerhalb oder außerhalb auftreten können.
Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit für eine Wirkung
∞
∞
(3-6)
∞
∂
∂
2
d 3 x ψ = ∫ d 3 x ρ = − ∫ d 3 x∇ ⋅ j = − ∫ df ⋅ j = 0
∫
∂t −∞
∂t
−∞
−∞
Kugel
( R =∞ )
Beispiel: Zerfließen eines Wellenpakets (Pfi SS 99 6/16)
2. Erwartungswerte und Operatoren (Observable)
Statistische Interpretation der Quantenwellenfunktion ψ:
Wegen der prinzipiellen Unschärfe von Wirkungen gibt es keine genauen Vorhersagen von Messergebnissen. Wichtig sind dann Mittelwerte und Streuungen
∞
Mittelwert oder Erwartunswert des Orts:
x ≡
∫
d 3 xx ψ
≡
(x −
(3-7)
2
−∞
Streung oder mittleres Schwankungsquadrat:
( Δx )
2
x
)
2
= x2 − x
2
Erwartungswerte von Messgrößen berechnet man in der Regel mit Operatoren, das ist mathematisch oft von großem Vorteil.
26
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
∞
p =
∫
−∞
∫
∫d
−∞
i
=
ρ eiS /
∫
d 3 xψ *
−∞
i
(
∇ ρ eiS / − eiS / ∇ ρ
)
(3-8)
∞
3
xψ * ∇ψ − ∫ d 3 x ρ e − iS / eiS / ∇ ρ
i
i
−∞
ψ*
∞
=
∞
d 3 xψ * ∇S ψ
−∞
ψ *ψ ∇S
∞
=
∞
d 3x ρ p =
∇ −
i
∫d
3
x ρ∇ ρ
−∞
∞
=
d
i ∫
∞
3
x∇ ρ ρ −
−∞
i
3
∫ d x( ∇ ρ )
ρ =0
−∞
=0
=
i
∇
also
(3-9)
pˆ = ∇
i
Dies kann für jede Messgröße (Erwartungswerte für Ort, Impuls, Energie, …) durchgeführt werden.
Impulsoperator:
Diese direkte Identifizierung der Operatoren beruht darauf, dass wir in der Quantenwellenfunktion ψ die Wahrscheinlichkeit ρ für Wirkungen S sehen.
Konventionell geht man in den Lehrbüchern anders vor: Man betrachtet die Dynamik der Erwartungswerte und schließt daraus auf die Operatoren:
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
27
Zeitliche Änderung des Erwartungswertes
∞
(3-10)
∞
∂
∂ 2
∂
∂
⎛
⎞
x = ∫ d 3 xx ψ = ∫ d 3 xx ⎜ψ * ψ +ψ ψ * ⎟
∂t
∂t
∂t
∂t
⎝
⎠
−∞
−∞
2
2
⎛
⎞
⎞ ⎞
⎛ i ⎞⎛
⎛ i ⎞⎛
= ∫ d xx ⎜ψ * ⎜ − ⎟ ⎜ −
Δ + V ⎟ψ +ψ ⎜ ⎟ ⎜ −
Δ + V ⎟ψ * ⎟
⎝
⎠ ⎝ 2m
⎝ ⎠ ⎝ 2m
⎠
⎠ ⎠
−∞
⎝
∞
2
2
⎛
⎞
⎞ ⎞
⎛ i ⎞⎛
⎛ i ⎞⎛
= ∫ d 3 xx ⎜ψ * ⎜ ⎟ ⎜
Δ ⎟ψ −ψ ⎜ ⎟ ⎜
Δ ⎟ψ * ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2m ⎠
⎝ ⎠ ⎝ 2m ⎠ ⎠
−∞
⎝
∞
3
∞
=i
d
2m ∫
3
xx (ψ * Δψ −ψΔψ *)
−∞
⎛
⎞
⎜
⎟
=i
∫ d x ⎜⎜ ∇ ⋅ xψ * ∇ψ − xψ∇ψ * − ( ( ∂ k xψ *) ∂ kψ − ( ∂ k xψ ) ∂ kψ *) ⎟⎟
2m −∞
→ 0 bei Integration
⎝
⎠
∞
⎛
⎞
3 ⎜
⎟
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
*
*
*
*
d
x
x
x
x
x
= −i
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
(
)
(
)
(
)
(
)
k
k
k
k
k
k
k
k
∫ ⎜
2m −∞
⎟
eˆk
eˆk
⎝
⎠
∞
(
3
)
∞
= −i
∞
d x (ψ * ∇ψ −ψ∇ψ *) = −i
d
2m ∫
2m ∫
3
−∞
=
3
−∞
x 2ψ * ∇ψ =
∞
d
m∫
3
xψ * 1i ∇ψ
−∞
1
∇
m i
also:
i
∇ = p
(3-11)
oder
Impulsoperator pˆ =
i
∇
28
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Kräfte:
(3-12)
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∞
∞
⎟
∂
∂
∂
∂
3
3 ⎜
p = ∫ d x ψ * ∇ψ = ∫ d x ⎜ ψ * ∇ ψ + ∇ψ
ψ *⎟
i −∞
i −∞
∂t
∂t
∂t
∂t
⎜
⎟
partielle Integration →
⎜
⎟
∂
⎜ −( ∇ψ *) ∂tψ +
⎟
⎝ ( Oberflächenintegral =0)
⎠
(
⎛
⎜
∞
⎜
= ∫ d 3 x ⎜ − ∇ψ *
i −∞
⎜
⎜⎜
⎝
(
(
∞
=
⎞
⎟
2
2
⎛ i⎛
⎛i⎛
⎞ ⎞
⎞ ⎞⎟
Δ + V ⎟ψ ⎟ + ∇ψ ⎜ ⎜ −
Δ + V ⎟ψ * ⎟ ⎟
⎜− ⎜−
⎝ 2m
⎠ ⎠
⎠ ⎠⎟
⎝
⎝ ⎝ 2m
⎟⎟
∂
∂
ψ
ψ*
∂t
∂t
⎠
(
)
(
)
2
2
⎞ ∞ 3
3 ⎛
−
∇
Δ
−
∇
Δ
d
x
*
*
ψ
ψ
ψ
ψ
⎟ + ∫ d x ∇ψ * Vψ + ∇ψ Vψ *
∫ ⎜⎝
2m
2m
⎠ −∞
−∞
(
)
(
∞
=
)
2
2
⎛
⎛i⎛
⎛i⎛
⎞ ⎞
⎞ ⎞⎞
3
∇
−
Δ
+
+
∇
−
Δ + V ⎟ψ * ⎟ ⎟
d
x
V
ψ
*
ψ
ψ
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
∫
⎜
i −∞
⎠ ⎠
⎠ ⎠ ⎟⎠
⎝ ⎝ 2m
⎝ ⎝ 2m
⎝
∞
=
)
)
((
)
)
(
)
)
2
2
⎞
3 ⎛
Δ
∇
−
∇
d
x
*
Δψ * ⎟ + Oberflächenintegral
ψ
ψ
ψ
(
)
⎜
∫−∞ ⎝
2m
2m
⎠
=0
(
)
=0
∞
((
)
)
+ ∫ d 3 x ∇ψ * Vψ −ψ∇Vψ * + Oberflächenintegral
−∞
=0
⎛
⎞
⎜
= ∫ d x ∇ψ * Vψ −ψ V ∇ψ * −ψψ * ∇V ⎟
⎜
⎟
−∞
=0
⎝
⎠
∞
3
(
= −∇V = F
)
( Erwartungswert der Kraft )
Ehrenfestscher Satz:
In Analogie zur Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik ist die zweifache Ableitung des
Ortserwartungswertes gleich dem Erwartungswert der Kraft.
Ganz entsprechend lässt sich ableiten:
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
29
(3-13)
∞
E = Ekin + E pot =
2
⎛
⎞
3
−
Δ + V ⎟ψ
d
x
ψ
*
⎜
∫−∞
⎝ 2m
⎠
Hˆ
= Hˆ = −
∂
, also
i ∂t
Schrödinger-Gleichung
Operator der kinintischen Energie
Eˆ kin = −
Operator der potentiallen Energie
Eˆ pot = V
Energieoperator ( Hamilton-Operator ) Eˆ = −
2
2m
Δ
∂
= Hˆ
i ∂t
allgemein:
∞
O =
∫
(3-14)
d 3 xψ * Oˆψ
−∞
Konzept:
Den Observablen (physikalisch beobachtbare Größen der klassischen Mechanik) korrespondieren in der Quantenmechanik Operatoren, die auf die Zustandsfunktion wirken.
Identifikation:
Operator ≡ Observable
(3-15)
Hermitizität der quantenmechanischen Operatoren
Physikalische Messwerte sind immer reelle Zahlen, daher müssen die Operatoren hermitesch
sein!
∞
Ein Operator heißt hermitesch, wenn gilt:
∫
d xψ * Oˆψ =
3
−∞
∞
∫
(3-16)
( )
d 3 x Oˆψ *ψ
−∞
(3-17)
Erwartungswerte hermitescher Operatoren sind reel:
∞
2 Im Oˆ = Oˆ − Oˆ * =
∫
−∞
d xψ * Oˆψ −
3
∞
∫
−∞
d xψ Oˆ *ψ * =
3
∞
∫
−∞
( )
d x Oˆψ *ψ −
3
weil Oˆ hermitesch
=0
∞
∫d
−∞
3
( )
xψ Oˆψ *
30
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
∞
Ortsoperator:
∫
∞
∫
d 3 xψ * xˆψ =
−∞
d 3 xψ * xˆ *ψ =
−∞
∞
∫
(3-18)
d 3 xxˆ *ψ *ψ
−∞
∞
∫ d x ( xˆψ ) *ψ
=
3
−∞
∞
Impulsoperator:
∫
∞
∫d
d 3 xψ * pˆψ =
−∞
−∞
3
⎛
⎞
xψ * ⎜ ∇ ⎟ψ
⎝i ⎠
∞
⎛
⎞
= − ∫ d 3 x ⎜ ∇ψ * ⎟ψ +
i
⎝i
⎠
−∞
∫
d 2 fψ *ψ
∂Kugel ( R = 0 )
≡ OI = 0
∞
∞
⎛
⎞
= ∫ d 3 x ⎜ − ∇ψ * ⎟ψ = ∫ d 3 x ( pˆ *ψ *)ψ
⎝ i
⎠ −∞
−∞
∞
= ∫ d 3 x ( pˆψ ) *ψ
−∞
analog:
Energie, Kraft, Drehimpuls, Moment
nicht hermitesch: xˆ ⋅ pˆ
∞
∫d
3
(3-19)
xψ * xˆ ⋅ pˆψ =
−∞
∞
∫d
∞
3
−∞
⎛
⎞
xψ * x ⋅ ∇ψ = − ∫ d 3 x ⎜ ∇ψ * ⋅ x ⎟ψ + OI
i
⎝i
⎠
=0
−∞
∞
⎛
⎞
= − ∫ d 3 x ⎜ x ⋅ ∇ψ * +ψ * ∇ ⋅ x ⎟ψ
i =3 ⎠
⎝ i
−∞
∞
=
∫d
3
−∞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
x ⎜ x ⋅ ⎜ − ∇ ⎟ψ * ⎟ψ − 3
i
⎝ ⎝ i ⎠ ⎠
∞
=
∫ d x ( xˆ ⋅ pˆψ ) *ψ − 3 i
3
−∞
hermitesch: 1
( xˆ ⋅ pˆ + pˆ ⋅ xˆ )
2
∞
denn
3
∫ d xψ * pˆ ⋅ xˆψ =
−∞
(3-20)
∞
i
∫d
xψ * ∇ ⋅ xψ = −
−∞
∞
=−
3
i
∫
−∞
(
∞
∫ d x ( ∇ψ *) ⋅ xψ + OI
3
i
)
=0
−∞
d 3 xx ⋅ ∇ψ * ψ = −
∞
i
⎛
⎞
⎜
⎟
= ∫ d x ⎜ − ∇ ⋅ xψ * ⎟ψ + 3
i
−∞
⎜ piˆ*
⎟
⎝
⎠
∞
3
∞
=
∫ d x ( pˆ ⋅ xˆψ ) *ψ + 3 i
3
−∞
∫d
−∞
3
⎛
⎞
x ⎜ ∇ ⋅ xψ * −ψ * ∇ ⋅ x ⎟ψ
3 ⎠
⎝
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
31
Interessant ist dabei auch
xˆ ⋅ pˆ ≠ pˆ ⋅ xˆ
(3-21)
ˆ ˆ − BA
ˆˆ
Kommutator ( Vertauschungsklammer ) : ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ≡ AB
(3-22)
Heisenbergsche Vertauschungsrelation
[ xˆk , pˆ l ]ψ
oder
⎛
⎞
= ⎜ xˆk ∂ lψ − ∂ l xˆkψ ⎟ = δ klψ
⎟ i
i⎜
xˆk ∂ lψ +δ klψ ⎠
⎝
[ xˆk , pˆ l ] =
i
(3-23)
δ kl
später sehen wir, dass diese Relation mit der Heisenbergschen Unschärferelation ΔxΔp ≥
2
zu-
sammenhängt, also mit der Unschärfe von Wirkungen
Bewegungsgleichung von Erwartungswerten
(3-24)
∞
∂ ˆ
∂
O = ∫ d 3 xψ * Oˆψ
∂t
∂t −∞
⎛
⎞
⎜
⎟
∞
∂
∂
⎜
⎟ i
⎛
⎞
⎛
⎞
= ∫ d 3 x ⎜ ⎜ ψ * ⎟ Oˆψ +ψ * Oˆ ⎜ ψ ⎟ ⎟ =
∂t
⎠
⎝ ∂t ⎠ ⎟
−∞
⎜⎝
i
⎜ i Hˆψ *
− Hˆ ψ ⎟
⎝
⎠
=
=
i
⎛
⎞
3
ˆ ˆψ ⎟ = i
ˆ ˆψ −ψ * OH
⎜
*
ψ
d
x
HO
∫ ⎜
⎟
−∞
⎝ Hˆ ist hermitesch!
⎠
∞
i ⎡ ˆ ˆ⎤
⎣ H ,O ⎦
∞
ˆ ˆψ
)
∫ d x ( ( Hˆψ ) * Oˆψ −ψ * OH
3
−∞
∞
∫d
−∞
3
xψ * ⎣⎡ Hˆ , Oˆ ⎦⎤ψ
32
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
ist Oberservable explizit zeitabhängig:
Beispiel:
∂ ˆ
∂ ˆ
i
O =
O + ⎡⎣ Hˆ , Oˆ ⎤⎦
∂t
∂t
Bildschirm
(3-25)
in
Abb. 3-1 bewegt sich
Erhaltungsgrößen
⎡ Hˆ , Oˆ ⎤ =0 ⇒ 0= ∂ Oˆ
⎣
⎦
∂t
der Erwartungswert ändert sich also nicht mit der Zeit, er ist erhalten
(3-26)
Beispiel: Impuls eines freien Wirkungsquantums (V=0)
pˆ 2
pˆ 2
⎡ Hˆ ( frei ) , pˆ ⎤ = Hˆ ( frei ) pˆ − pH
ˆ ˆ ( frei ) =
ˆ − pˆ
p
=0
⎣
⎦
2m
2m
(3-27)
3. Messwerte und Messwahrscheinlichkeiten
Messapparat spricht an oder nicht, oder zeigt einen bestimmten Wert
(Beispiel: Punkt auf Photopapier wird schwarz, Geiger-Müller-Zähler knackt, …)
Neben Mittelwerten ist also interessant, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmte Messwert
auftritt.
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
33
Formalismus
Eigenwertgleichung für Operator ( Observable ) : Aˆφn = an
(3-28)
φn
Eigenwert Eigenfunktion,
Eigenzustand
φn bilden Orthonormalsystem
φn absolut quadratisch integriebar
Annahmen:
Mathematische Anmerkungen:
a) Eigenwerte sind reell (da Observablen hermitesch)
( )
an = ∫ d 3 xφn* Aˆφn = ∫ d 3 x Aˆφn
*
(3-29)
φn = an* ∈
Aˆ hermitesch
b)
(
(3-30)
)
*
3
*
3
∫ d xψ m Aˆψ n = ∫ d x Aˆψ m ψ n für beliebige Zustandsvektoren ψ m ,ψ n
da
(
*
0 = ∫ d 3 x (ψ m + βψ n ) Aˆ (ψ m + βψ n ) − ∫ d 3 x Aˆ (ψ m + βψ n )
) (ψ
*
m
+ βψ n )
da Aˆ hermitesch
(
)
*
= ∫ d 3 xψ m* Aˆψ m − ∫ d 3 x Aˆψ m ψ m
=0
*
*
⎛
⎞
+ β ⎜ ∫ d 3 xψ n* Aˆψ m + ∫ d 3 xψ m* Aˆψ n − ∫ d 3 x Aˆψ n ψ m − ∫ d 3 x Aˆψ m ψ n ⎟
⎝
⎠
*
⎛
⎞
+ β 2 ⎜ ∫ d 3 xψ n* Aˆψ n − ∫ d 3 x Aˆψ n ψ n ⎟
⎝
⎠
(
(
)
(
)
)
=0
also:
*
*
⎛
⎞
0 = β ⎜ ∫ d 3 xψ n* Aˆψ m − ∫ d 3 x Aˆψ n ψ m + ∫ d 3 xψ m* Aˆψ n − ∫ d 3 x Aˆψ m ψ n ⎟
⎝
⎠
(
)
=0
(
(
( da β
beliebig )
)
*
also: ∫ d 3 xψ m* Aˆψ n = ∫ d 3 x Aˆψ m ψ n
( da für jedes Paar von Zustandfunktionen ψ
c) Eigenfunktionen hermitischer Operatoren sind orthogonal
m
,ψ n )
)
34
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(3-31)
3
*
∫ d xφmφn = δ mn
( am − an ) ∫ d 3 xφm*φn = ∫ d 3 x ( Aˆφm ) φn − ∫ d 3 xφm* Aˆφn
*
da
=0
≠ 0 ∀m ≠ `n
∫
= d 3 xφm* Aˆφn
d) Reihenentwicklung einer beliebigen Zustandsfunktion
(3-32)
∞
ψ ( x , t ) = ∑ cn ( t ) φn ( x )
n=0
cn = ∫ d 3 xφn*ψ
mit
führt direkt auf die Heisenbergsche Matrizenmechanik:
∫d
3
xφm ( x )
∂
cm = ∫ d 3 xφm Hˆ φn cn
i ∂t
⇒ −
(3-33)
Hˆ mn
∫d
3
xφm ( x )
−
∂
ψ ( x , t ) = Hˆ ψ ( x , t )
i ∂t ∞
∞
∑ cn (t )φn ( x )
∑ cn ( t )φn ( x )
n =0
⇒ −
∂
cm = ∫ d 3 xφm Hˆ φn cn
i ∂t
Hˆ mn
n =0
∂
c = Hˆ mn c
i ∂t
− i ( Hˆ )t /
c ( t ) = e mn c ( 0 )
(
−
also:
und
)
e) Normierung
1 = ∫ d 3x ψ =
2
∞
∑ ∫d
m,n =0
3
xcm* ( t ) φm* ( x ) cn ( t ) φn ( x ) =
∞
∑ c (t ) c (t ) ∫ d
m,n =0
*
m
3
n
xφm* ( x ) φn ( x )
δ mn
∞
= ∑ cn ( t )
2
n=0
f) Erwartungswert und Streuung einer Observablen in der Eigenbasis:
(3-34)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
35
(3-35)
Oˆ = ∫ d 3 xψ * ( x ) Oˆψ ( x )
=
∞
∑
m,n=0
3
*
*
ˆ (t )φ ( x ) =
n
n
∫ d xcm ( t ) φm ( x ) Oc
∞
∑ c (t ) o c (t ) ∫ d
m,n=0
*
m
n n
3
xφm* ( x ) φn ( x )
δ mn
∞
= ∑ on cn ( t )
2
n =0
( )
ΔOˆ
2
= Oˆ 2 − Oˆ
2
∞
= ∑ o cn ( t )
n=0
2
n
2
2⎞
⎛ ∞
− ⎜ ∑ on cn ( t ) ⎟
⎝ n=0
⎠
2
4. Interpretation:
Mögliche Messwerte eine Observablen Ô sind die Eigenwerte oi.
Wahrscheinlichkeit für dieses Messergebnis ist ci
2
(neben diskreten Messwerten gibt es auch kontinuierliche, z.B. Impuls bei freiem Wirkungsquant)
Scharfe Messungen:
( ΔOˆ )
∞
∑o
n=0
2
n
2
cn ( t ) = δ nk für festes k
2
=0 ⇒
(3-36)
( reiner Zustand ) :
cn ( t ) → ok2 und
2
2
2⎞
⎛ ∞
2
⎜ ∑ on cn ( t ) ⎟ → ok
⎝ n=0
⎠
Gemischter oder verschränkter Zustand:
(3-37)
z.B.
ψ = ckφk + clφl mit
ck = cl =
1
2
2
Oˆ = ok ck + ol cl = ( ok + ol
2
( )
ΔOˆ
2
1
:
2
)
2
1
⎛1
⎞ 1
= o ck + o cl − ⎜ ( ok + ol ) ⎟ = ( ok2 + ol2 ) − ( ok + ol
2
4
⎝2
⎠
1⎛
1
⎞ 1
= ⎜ ok2 + ol2 − ( ok2 + ol2 + 2ok ol ) ⎟ = ( ok2 + ol2 − 2ok ol )
2⎝
2
⎠ 4
2
1
= ( ok − ol )
4
2
k
2
2
l
2
Präparation und zeitliche Enwicklung
Beginn eines Experiments ist eine Messung (t=0)
Das Messgerät zeigt einen bestimmten Messwert an (reiner Zustand), also
)
2
36
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
ψ ( x , t = 0 ) = φk ,
(c
i
2
= δ ik
)
(3-38)
Zeitliche Entwicklung wird durch Schrödinger-Gleichung bestimmt
mit der Zeit wird die Observable in der Regel unscharf
Ausnahme:
(
)
ˆ ˆφ = Ho
ˆ φ
Observable Oˆ bleibt scharf für ⎡⎣ Hˆ , Oˆ ⎤⎦ = 0 : Oˆ Hˆ φn = HO
n
n n
= o Hˆ φ
n
( )
⋅ ( Hˆ φ ) ∝ φ
(
n
(3-39)
)
⋅ auch Hˆ φn ist Eigenfunktion zum Eigenwert on
n
n
⋅ Hˆ φn = Enφn
damit folgt:
cn ( t ) = ∫ d 3 xφn*ψ = −
i
∫d
3
(
)
*
i
i
i
xφn* Hˆ ψ = − ∫ d 3 x Hˆ φn ψ = − En ∫ d 3 xφn*ψ = − En cn ( t )
(3-40)
Hermitizität von Hˆ
mit Schrödinger-Gleichung − ψ = Hˆ ψ
i
also
cn ( t ) = cn ( 0 ) e − iEnt /
und
cn ( t ) = cn ( 0 )
2
2
( zeitunabhängig )
Für vertauschbare Observablen lassen sich gemeinsame Eigenvektoren angeben.
5. Der Impuls in der Quantenmechanik
Eigenwertgleichung für Impulsoperator:
Eigenwertgleichung:
Lösung für alle reelle p :
pˆφ ( x ) =
φp ( x ) =
i
(3-41)
∇φ ( x ) = pφ ( x )
1
( 2π )
3/ 2
eip⋅ x /
'ebene Wellen', Wellenvektor k = p /
nicht quadratisch integierbar!
aber orthogonal und normiert
Entwicklung nach pˆ − Eigenfunktionen ψ ( x , t ) = d 3 pψ ( p, t ) φ p ( x )
∫
ψ ( p, t ) = ∫ d 3 pφ p* ( x )ψ ( x , t )
entspricht Fourier-Transformation
(3-42)
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
Normierung:
∫d
3
xφ p* ' ( x ) φ p ( x ) = δ ( p '− p ) = δ ( px' − px' ) δ ( p 'y − p 'y ) δ ( pz' − pz' )
1 = ∫ d 3x ψ ( x ) = ∫ d 3 p ψ ( p)
2
Erwartungswert:
37
(3-43)
2
i
pˆ = ∫ d 3 xψ * ( x ) pˆψ ( x ) = ∫ d 3 x d 3 p 'ψ * ( p ') φx* ( p ') ∇ d 3 pψ ( p ) φx ( p )
ψ *(x)
pˆ
ψ (x)
i
= ∫ d 3 xd 3 pd 3 p 'ψ * ( p ' )ψ ( p ) φx* ( p ' ) ∇ φx ( p )
p
= ∫ d 3 pd 3 p 'ψ * ( p ' )ψ ( p ) p d 3 xφx* ( p ') φx ( p )
δ ( p '− p )
= ∫ d 3 pp ψ ( p )
2
Wahrscheinlichkeit
für Messung von p
Interpretation
Bei Impulsmessung kann im Prinzip (an freier Wirkung) jeder beliebige Impuls gemessen werden
ψ ( p ) ist Wahrscheinlichkeit für Messung des Wertes p.
2
6. Physikalische Observale
Jeder Observablen kann ein hermitescher Operator zugewiesen werden, der ein vollständiges
System von Eigenfunktionen besitzt.
Observablen Typ I:
diskreten Eigenwerten und
quadratische integrierbaren Eigenfunktionen
Observablen Typ II: kontinuierlichen Eigenwerten und
beschränkten, aber nicht quadratische integrierbaren Eigenfunktionen
(3-44)
der Begriff 'Messwahrscheinlichkeit' zu einer Observablen setzt Existenz eines vollständigen Systems von Observablen voraus
der Begriff 'physikalische Observable' beinhaltet so ein wohldefinierte Messvorschrift
38
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Definition: Jeder Observablen ist in der Quantenmechanik ein hermitescher Operator
zugeordnet, der ein vollständiges System von Eigenfunktionen besitzt
(3-45)
7. Gaussches Wellenpaket (Übung)
Wellenfunktion zur Zeit t = 0 :
ψ ( x, 0 ) =
ψ ( p, 0 ) =
Fourier-Transformierte:
Erwartunswerte Ort und Impuls:
Streuungen:
1
e
b π
b
π
e
(3-46)
⎛ x2
p x⎞
− ⎜⎜ 2 + i 0 ⎟⎟
⎝ 2b
⎠
⎛ ( p − p )2 b 2 ⎞
0
⎟
−⎜
⎜
⎟
2 2
⎝
⎠
p0
t , p t = p0
m
b (t )
, ( Δp )t =
( Δx )t =
2
b (t ) 2
xt=
Streuung von Ort und Impuls verhalten sich reziprok: je genauer das eine, desto unbestimmter ist
das andere
8. Heisenbergsche Unschärferelation
Der Zusammenhang vom Gausschen Wellenpaket gilt allgemein
(3-47)
Heisenbergsche Unschärferelation:
Ort und Impuls:
( Δpˆ ) ⋅ ( Δxˆ ) ≥ 2
Allgemein:
( ΔAˆ ) ⋅ ( ΔBˆ ) ≥ 12
j
j
⎡ Aˆ , Bˆ ⎤
⎣
⎦
Die gute Messung einer Observablen stört die Messung der anderen
nichtvertauschbare Observablen sind nicht gemeinsam genau messbar
Beweis:
( alternativ zu dem in Kapitel 2 )
(3-48)
Hilfsgrößen: A ≡ Aˆ − Aˆ , B ≡ Bˆ − Bˆ ,
→
und
A2 =
( Aˆ − Aˆ ) = ( ΔAˆ ) ,
⎡⎣ A, B ⎤⎦ = ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤
⎣
⎦
2
2
B2 =
( Bˆ − Bˆ ) = ( ΔBˆ )
2
2
3. Formale Grundlagen der Mechanik eines Wirkungsquantums
mit β ∈ :
(
)
39
((
2
) ) ( ( A + iβ B )ψ )
*
0 ≤ ∫ d 3 x A + iβ B ψ = ∫ d 3 x A + iβ B ψ
2
= ∫ d 3 x Aψ + β 2 ∫ d 3 x Bψ
+ iβ
(3-49)
2
{∫ d x ( Aψ ) Bψ − ∫ d x ( Bψ ) Aψ }
*
3
*
3
= ∫ d 3 x Aψ + β 2 ∫ d 3 x Bψ + i β ∫ d 3 x (ψ ) ⎡⎣ A, B ⎤⎦ψ
2
für beliebige ψ :
2
( )
2
( )
*
0≤ β2
(i ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ) + ( ΔAˆ )
+ 2β
( )
2 ΔBˆ
(
( )
) + ( ΔAˆ )
2
( ΔBˆ )
2
2
≥0
minimal 0
oder
2
⎞
i ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤⎦
⎟ − ⎣
4
⎟
⎟
4 ΔBˆ
⎠
( )
(
( )( )
2
( ΔBˆ )
2
2
⎛
i ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦
2
⎜
= β +
2
⎜
⎜
2 ΔBˆ
⎝
also
(3-50)
2
0 ≤ ΔAˆ + β 2 ΔBˆ + i β ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦
)
(3-51)
2
i ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦
2
2
ˆ
ˆ
ΔA ΔB −
≥0
4
1 ⎡ ˆ ˆ⎤
A, B ⎦
ΔAˆ ΔBˆ ≥
2 ⎣
dabei wird wohl ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ∈ i angenommen
( )( )
(
)
Wichtige Unschärferelationen:
(3-52)
Ort-Impuls:
( Δxˆ )( Δpˆ ) ≥
Energie-Zeit:
( ΔEˆ ) ( Δt ) ≥ 2
2
( Zeit ist jedoch kein Observalble!)
Lk
( Li ≡ −iε ijk x j ∂ k )
2
Unschärferelationen betreffen immer das Produkt von 2 Observablen, jede für sich ist nicht eingeschränkt
Komponenten des Drehimpulses:
1
( ΔLi ) ( ΔL j ) ≥ ε ijk
40
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
9. Dirac-Schreibweise
(3-53)
Sprechweisen:
Ket:
( Dualraum )
Bra:
Büstenhalter
Bracket:
( Inneres Produkt )
oder
Klammer
Hilbertraumvektoren:
(3-54)
f
( diskret, kontinuierlich, Bezeichnung willkürlich, z.B. 'n ')
z.B.
vONS
f n oder n
vollständiges
Orthonormalsystem:
Inneres Produkt:
δ nn ' = f n f n '
Allgemeiner
Entwicklungssatz:
Inneres Produkt mit
Operatoren:
⎧ d 3 xf n* ( x ) f n ' ( x ) oder
⎪∫
=⎨
*
⎪∑ f m ,n f m ,n '
⎩m
⎧ d 3 x′ x′ x′ f oder
⎪∫
⎪
f ( x′)
f =⎨
⎪∑ n n f
⎪⎩
cn
ˆ ( x ) oder
⎧ d 3 xf n* ( x ) Of
n
∫
⎪
ˆ
f O g =⎨
* ˆ
⎪∑ f m ,n Of
m,n '
⎩m
Beispiele:
(3-55)
Funktion in Ortsdarstellung:
x f
( Inneres Produkt von eigentlichem Vektor
mit uneigentlichem Vektor x )
x p =
Fourier-Transformation:
eip⋅ x /
x′ x
( 2π )
= δ ( x′ − x )
p
= ∫ d 3x p x x
x
= ∫ d3 p x p p
3/ 2
f
41
4.
Gebundene Systeme
1. Analytische Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung am Beispiel des
Eindimensionalen Harmonischen Oszillators
Harmonischer Oszillator:
( eindimensional )
Schrödinger-Gleichung
⎛ p 2 mω 2 x 2 ⎞
i ∂
−
+
ψ =⎜
⎟ψ
2 ⎠
∂t
⎝ 2m
(4-1)
Hˆ
Hamilton-Operator:
Eigenwertgleichung:
∂
mω 2 x 2
+
2m ∂x 2
2
− iEn t /
⇒ Hˆ χ n = En χ n
ψ = χe
Hˆ = −
2
2
Koordinatentransformation:
(4-2)
1/ 4
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
2m ⎠
x= ⎝
q
1/ 4
⎛ mω 2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
1/ 4
⎛ mω 2 ⎞
⎜
⎟
∂ ∂q ∂ ⎝ 2 ⎠ ∂
=
=
∂x ∂x ∂q ⎛ 2 ⎞1/ 4 ∂q
⎜
⎟
⎝ 2m ⎠
Führt auf
www.kbraeuer.de
Tübingen, den 28.12.2007
42
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(4-3)
1/ 2
1/ 2
⎛
⎞
⎛ mω 2 ⎞
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2 ⎠ ∂2
2m ⎠ mω 2 q 2
⎜
⎟
⎝
⎝
+
− En ⎟ χ n ( q ) = 0,
1/
2
1/
2
2
⎜ − 2m
2
⎛ 2 ⎞ ∂q ⎛ mω 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
m
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ ⎛ 2 ⎞1/ 2 ⎛ mω 2 ⎞1/ 2 ∂ 2 ⎛ 2 ⎞1/ 2 ⎛ mω 2 ⎞1/ 2
⎞
2
⎜−⎜
⎟
q
E
+
−
n χ n ( q ) = 0,
⎜ ⎝ 2m ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ∂q 2 ⎝⎜ 2m ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎟
⎝
⎠
⎛ ∂2
⎞
2
⎜ 2 − q + ξ n ⎟ χ n ( q ) = 0,
⎝ ∂q
⎠
mit ξ n =
En
1/ 2
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2m ⎠
1/ 2
⎛ mω 2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
=
2 En
ω
Asymptotisches Verhalten
⎛ ∂2
⎞
q → ∞, ⎜ 2 − q 2 + ξ ⎟ χ n ( q ) = 0,
⎜ ∂q
⎟
q2
⎝
⎠
χn ( q ) ∼ e
(4-4)
− q2 / 2
Ansatz: χ n ( q ) = e − q / 2 H n
2
DGL für Hn
⎛ ∂2
⎞ − q2 / 2
2
Hn = 0
⎜ 2 − q +ξ ⎟e
⎝ ∂q
⎠
2
2
∂ − q2 / 2
∂
e
H n = −qe− q / 2 H n + e − q / 2
Hn
∂q
∂q
2
∂ 2 − q2 / 2
∂
− q2 / 2
− q2 / 2 2
− q2 / 2
− q2 / 2 ∂
e
H
e
H
e
q
H
2
e
q
H
e
Hn
=
−
+
−
+
n
n
n
n
∂q 2
∂q
∂q 2
e− q
2
/2
⎛
⎞
∂
∂2
2
1
2
q
q
−
+
−
+
− q2 + ξ ⎟ H n = 0
⎜
2
∂q ∂q
⎝
⎠
⎛ ∂2
⎞
∂
⎜ 2 − 2q + ξ − 1⎟ H n = 0
∂q
⎝ ∂q
⎠
Potenzreihenansatz:
(4-5)
4. Gebundene Systeme
43
Potzenzeihenansatz:
(4-6)
∞
H n = ∑ aν qν
ν =0
∞
∂
H n = ∑ (ν + 1) aν +1qν
∂q
ν =0
Rekursionsformel:
q
∞
∂
H n = ∑ν aν qν
∂q
ν =0
∞
∂2
H n = ∑ (ν + 1)(ν + 2 ) aν + 2 qν
2
∂q
ν =0
⎛ ∂2
⎞
∂
⎜ 2 − 2q + ξ − 1 ⎟ H n = 0 →
∂q
⎝ ∂q
⎠
( (ν + 1)(ν + 2 ) aν +2 − 2ν aν + (ξ − 1) aν ) qν = 0
(ν + 1)(ν + 2 ) aν + 2 + ( −2ν + ξ − 1) aν
=0
(4-7)
Asymtotisches Verhalten:
(ν + 1)(ν + 2 ) aν + 2
ν → ∞,
aν + 2
2
ν
2ν aν
aν
∞
1 2v
1
1
1
q = 1 + 21 q 2 + 22 q 4 + 23 q 6 + … 2ν q 2 v + …
v!
2!
3!
v =0 v !
H ( q ) ∝ e2 q = ∑
2
a6
also
Gesammtlösung:
aν
aν + 2 2
=
aν
ν
e − q / 2 H ( q ) → e − q / 2 e 2 q = e3 q
2
2
2
2
/4
nicht quadratintegrabel!!!
notwendig für quadratintegrable Lösungen: Reihe bricht ab
Potzenzeihenansatz:
(4-8)
∞
H = ∑ aν qν
ν =0
Rekursionsformel:
∞
∂
H = ∑ (ν + 1) aν +1qν
∂q
ν =0
q
∞
∂
H = ∑ν aν qν
∂q
ν =0
∞
∂2
H
=
(ν + 1)(ν + 2 ) aν + 2 qν
∑
2
∂q
ν =0
⎛ ∂2
⎞
∂
⎜ 2 − 2q + ξ − 1 ⎟ H = 0 →
∂q
⎝ ∂q
⎠
( (ν + 1)(ν + 2 ) aν +2 − 2ν aν + (ξ − 1) aν ) qν = 0
(ν + 1)(ν + 2 ) aν + 2 + ( −2ν + ξ − 1) aν
=0
44
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(ν + 1)(ν + 2 ) aν +2 + ( −2ν + ξ − 1) aν
(4-9)
=0
Bedingung für Abbrechen der Folge:
ξ n = 2n + 1, n = 0,1, 2 : aν + 2 =
( 2ν − ξ n + 1) a
(ν + 1)(ν + 2 ) ν
= 0 für n = ν
Hermitesche Polynome:
a0 = a1 = 1
n = 0:
n = 1:
n = 2:
n = 3:
( 2ν − 2n ) a
(ν + 1)(ν + 2 ) ν
( 2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0) a = 0
=
(4-10)
aν + 2 =
a2
0
2
( 2 ⋅1 − 2 ⋅1) a = 0
a3 =
1
2⋅3
( 2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2 ) a = −2 a = ( 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ) a = 0
a2 =
0
4
2
2
3⋅ 4
( 2 ⋅1 − 2 ⋅ 3) a = − 2 a = ( 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3) a = 0
a3 =
1
5
3
2⋅3
3
4⋅5
mit Normierung: H 0 ( q ) = 1
(4-11)
H1 ( q ) = 2q
H 2 ( q ) = 4q 2 − 2
H 3 ( q ) = 8q 3 − 12q
H n +1 = 2qH n − 2nH n −1
( z.B. n = 1: H
2
= 2qH1 − 2 H 0 = 4q 2 − 2 )
Lösung der Schrödinger-Gleichung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator:
En =
ω
2
( 2n + 1) = ω (
ξn
1
2
+ n) , χn ( x ) =
4
mω
1
2n n ! 4 π
e
−
mω x 2
2
⎛ mω ⎞
H n ⎜⎜
x ⎟⎟
⎝
⎠
(4-12)
4. Gebundene Systeme
45
2. Numerische Lösungmethode
allgemeine Wiederholung: Heisenbergsche Matrizenmechanik:
(4-13)
Stationäre Schrödinger-Gleichung Hˆ χ = E χ
Entwicklung in Orthogonalbasis: χ = ∑ φi ci
Basis
Transformation:
∑ Hˆ φi ci = ∑ Eφi ci
Projektion
∑∫d
3
xφ j Hˆ φi ci = ∑ E ∫ d 3 xφ jφi ci
j Hˆ i
→
∑
oder
ˆ = Ec
Hc
j 1 i =δ ji
j Hˆ i ci = Ec j
( Eigenwertproblem )
Anwendung für Computerlösung:
Für wirkliche Messungen und Rechnungen muss man diskretisieren.
Der kontinuierliche Raum mit reellen Koordinaten ist eine (geniale) mathematische Konstruktion. Er existiert nicht wirklich, nur gedanklich (Aristoteles).
46
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(4-14)
Diskrete Basis:
Stützstellen:
⎛ n −1 ⎞
− 1⎟ xmax ∈ [ − xmax , xmax ] , n ∈
xn = ⎜ 2
⎝ N −1 ⎠
=
N
1− 2 n + N
1− N
2
xmax
N −1
Orthogonalbasis:
⎧1 ∀x ∈ [ xn − 12 Δx, xn + 12 Δx ]
φn ( x ) ≡ ⎨
⎩0 sonst
Grenzfall N → ∞, Δx → 0: Δ1x φn ( x ) → δ ( x − xn ) ( Vollständige Orthonormalbasis )
Δx = xn +1 − xn =
Entwicklung:
χ ( x) =
∞
N
−∞
n =1
∫ dx′χ ( x′) δ ( x′) → ∑
χ ( xn ) ≡
cn φn ( x )
∞
Projektion:
∫ dxφ χ = Δxχ ( x ) = Δxc
n
n
n
−∞
Diskretisierung des Laplace-Operators:
∂ 2x f ( x )
=
lim Δx →0
∂x
f ( x + Δx ) − f ( x − Δx )
(4-15)
2Δx
Differenzenquotient
f ( x + 2Δx ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x − 2Δx )
−
2Δx
2Δx
=
2h
f ( x + 2Δx ) + f ( x − 2Δx ) − 2 f ( x )
=
2
( 2Δx )
=
f ( x + Δx ) + f ( x − Δx ) − 2 f ( x )
Δx 2
Diskretisierung der stationären Schrödinger-Gleichung
2 Δx →Δx
(4-16)
Eigenwertgleichung: Hˆ χ = E χ
∞
∫
−∞
∞
dxφi Hˆ χ ( x ) =
∞
∫ dxφ E χ ( x ) = ΔxEc
i
i
−∞
⎛− 2
mω 2 2 ⎞
φ
dx
Δ
+
x ⎟ χ ( x ) = ΔxEci
∫ i ⎜⎝ 2m
2
⎠
−∞
∞
⎛ − 2 φ + φ − 2φ
mω 2 2 ⎞
i +1
i −1
i
φ
dx
+
xi ⎟ χ ( x ) = ΔxEci
⎜
i
∫ ⎜ 2 m ( Δx ) 2
⎟
2
−∞
⎝
⎠
2
2
− ci +1 + ci −1 − 2ci mω 2
+
xi ci = Eci
2
2m
2
( Δx )
4. Gebundene Systeme
47
Matrixschreibweise:
⎛
⎜
⎜ ⎛ −2
⎜⎜ 1
2
1 ⎜⎜
−
⎜⎜ 0
2 m ( Δx ) 2 ⎜ ⎜
⎜⎜
⎜ ⎜⎝ 0
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟ ⎛V x
0⎞
⎛ c0 ⎞ ⎟ ⎜ ( 1 )
⎜
⎟⎟ ⎜ 0
⎟
0⎟
⎜ 0 ⎟⎟ ⎜
⎟⎟ + ⎜
0 ⎟c + ⎜
⎜
⎟⎟ ⎜
⎟
1⎟
⎜ 0 ⎟⎟ ⎜ 0
⎜c ⎟⎟ ⎜
−2 ⎟⎠
⎝ N +1 ⎠
⎟ ⎝ 0
⎟
⎠
Randbedingungen
1
0
1
1
−2
0
1
Dˆ 2 c + Rˆ
Laplace-Operator
in φi -Basis
0
0
V ( xi
)
0
0
⎞
⎟
0 ⎟
⎟
⎟ c = Ec
⎟
0 ⎟
V ( xN ) ⎟⎠
0
Vˆ
Potential-Operator
in φi -Basis
(4-17)
Eigenwertproblem:
Kastenpotential:
Lösung:
⎛− 2 ˆ2 ˆ⎞
D + V ⎟ cn = En cn ,
⎜
⎝ 2m
⎠
⎧0 ∀x ∈ [ 0, π ]
V ( x) = ⎨
⎩∞ sonst
1 ∂2
1
sin ( nx ) = n 2 sin ( nx )
−
2
2 ∂x
2
En
En = , 2, 4.5,8,12.5,…
1
2
( mit Rˆ = 0)
(4-18)
(4-19)
(m =
= 1)
48
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
3. Lösung der vollständigen Schrödinger-Gleichung (Zeitentwicklung)
(4-20)
2
Schrödinger-Gleichung: - ∂
⎛
⎞
ψ = ⎜−
Δ + V ⎟ψ
i ∂t
⎝ 2m
⎠
Hamilton-Operator Hˆ
ψ ( x, t ) = e− iHt / ψ ( x, 0 )
ˆ
Formale Lösung:
Auswertung der operatorwertigen e-Funktion
Darstellung in Basis n :
nψ
= ∑ n e − iHt / m m ψ
(4-21)
ˆ
t
m
c (t )
≡e
t =0
c ( 0)
− i n Hˆ m t /
n Hˆ m = Enδ mn ⇒ cn = ∑ e −iEnt / cn ( 0 )
für Eigenbasis:
(
c ( t ) = U diag e
insgesammt:
nψ
t
(
nm
)
( me
− iEm t /
ˆ /
− iHt
m
)
)U
(
n
T
mk
)(
c ( 0)
kψ
t =0
)
MatLap-Programm für (4-20)
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung wird in nur einer Zeile (Zeile 36) gelöst!
Zeile 27: c0 = e
−( x − x
)2 / ( 2 b 2 )
eipx
Zeile 28: c ( t ) = e − iHt c0
ˆ
Die MatLab-Funktion mexp wertet die operatorwertige e-Funktion aus.
(4-22)
4. Gebundene Systeme
49
50
Harmonischer Oszillator mit p=0
Harmonischer Oszillator mit p>0
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
4. Gebundene Systeme
51
52
Kastenpotential mit p=0
Kastenpotential mit p>0
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
4. Gebundene Systeme
53
4. Drehimpuls (für 3D-Probleme wie Atomspektren)
Rotationssymmetrie des Potentials → Erhaltung des Bahndrehimpulses
Radialanteile und Winkelanteile der Wellenfunktion separieren
Bahndrehimpuls
(4-23)
M = x× p
Bahndrehimpuls:
QM-Operatoren:
M → x × ∇ = Lˆ
i
Bahndrehimpulsoperator ˆ 1
L j = ε jkl xk ∂ l ( in Einheiten von
i
∂
)
∂xl
Lˆ2 = ∑ Lˆ2j
Vertauschungsrelationen
⎛
⎞
⎜
⎟
⎡ Lˆ j , Lˆk ⎤ = −2ε jlmε kno ⎜ xˆl pˆ m xˆn pˆ o − xˆn pˆ o xˆl pˆ m ⎟ = −i
⎣
⎦
⎜⎜
⎟⎟
⎝ xˆn xˆl pˆ m pˆ o + i δ nm xˆl pˆ o xˆn xˆl pˆ m pˆ o + i δ ol xˆn pˆ m ⎠
= −i
−1
( xˆ pˆ − xˆ pˆ δ
k
j
o
o
jk
− xˆ j pˆ k + xˆm pˆ mδ jk
)
⎛
⎞ (4-24)
⎜
⎟
−1
⎜ ε jlmε kmo xˆl pˆ o − ε jlmε knl xˆn pˆ m ⎟
⎜
⎟
ε mjl ε knl =
=
⎜ δ ε δjlmε−okm
⎟
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
km jn
mn jk
⎝ jo kl jk ol
⎠
= iε jkl Lˆl
ˆ ˆ ˆ + ABA
ˆ ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ 2 = Aˆ ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ + ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ Aˆ
Zwischenrechnung: ⎡⎣ Aˆ 2 , Bˆ ⎤⎦ = Aˆ 2 Bˆ − ABA
⎣
⎦ ⎣
⎦
(4-25)
0
also
(
)
⎡ Lˆ2 , Lˆk ⎤ = Lˆ j ⎡ Lˆ j , Lˆk ⎤ + ⎡ Lˆ j , Lˆk ⎤ Lˆ j = iε jkl Lˆ j Lˆl + Lˆl Lˆ j = i ( ε jkl + ε lkj ) Lˆ j Lˆl = 0
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
ε jkl −ε jkl
also gilt die
Unschärferelation:
⎛
⎜ allg:
⎝
( )( )
ΔAˆ ΔBˆ ≥
1 ⎡ ˆ ˆ⎤ ⎞
A, B ⎦ ⎟
2 ⎣
⎠
und gleichzeitig meßbar:
weiterhin:
( etwa )
( ΔLˆ )( )
( etwa )
Lˆ2 und Lˆ3
1
1 ˆ
L3
ΔLˆ2 ≥
2
(4-26)
54
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
⎡ Lˆ j , xˆk ⎤ = ε jmn
⎣
⎦
⎡ Lˆ j , pˆ k ⎤ = iε jkl pˆ l
⎣
⎦
( analog )
⎛
⎡ Lˆ j , rˆ ⎤ = iε jkl ⎜ xˆk ∂ l
⎣
⎦
i ⎜⎝
⎞
1
1
xˆk ∂ l ⎟
−
⎟
xˆm xˆm
xˆm xˆm
⎠
⎛
⎜
− xl
= iε jkl ⎜ xˆk
i ⎜ ( xm xˆm )3/ 2
⎜
⎝
⎛ xˆ xˆ ⎞
= −ε jkl ⎜ k 3 l ⎟ = ε jlk
⎝ r ⎠
⎡ Lˆ j , pˆ 2 ⎤ = 0
⎣
⎦
(4-27)
⎛
⎞
⎟
1⎜
⎜ xˆm pˆ n xˆk − xˆk xˆm pˆ n ⎟ = −iε jmk xˆm = iε jkl xˆl
⎜ xˆ p + δ
⎟
k n
nk
i
⎝
⎠
+ xˆk
⎞
⎟
1
1
xˆk ∂ l ⎟
∂l −
xm xm
xm xm
⎟
⎟
=0
⎠
⎛ xˆk xˆl ⎞
⎜ 3 ⎟=0
⎝ r ⎠
( da a = −a ⇒ a = 0 )
( analog )
also auch:
⎡
⎤
pˆ 2
⎡ Lˆ j , Hˆ ⎤ = ⎢ Lˆ j ,
ˆ )⎥ = 0
+
V
r
Lˆ j ist Erhaltungsgröße
(
⎣
⎦
⎣ 2m
⎦
Drehimpulsoperatoren in Kugelkoordinaten (unabhängig von r wegen [Lj,r]=0)
(
)
4. Gebundene Systeme
55
⎛ r sin ϑ cos φ ⎞
⎜
⎟
x = ⎜ r sin ϑ sin φ ⎟ ,
⎜ r cos ϑ ⎟
⎝
⎠
⎛ ∂r ⎞ ⎛ ∂r x ∂r y
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ∂ϑ ⎟ = ⎜ ∂ϑ x ∂ ϑ y
⎜∂ ⎟ ⎜∂ x ∂ y
φ
⎝ φ⎠ ⎝ φ
Kugelkoordinaten:
(4-28)
d 3 x = r 2 dr sin ϑ dϑ dϕ
dΩ
∂r z ⎞ ⎛ ∂ x ⎞
⎟⎜ ⎟
∂ϑ z ⎟ ⎜ ∂ y ⎟
∂φ z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂ z ⎟⎠
⎛
⎞ ⎛ sin ϑ cos φ
∂r
⎜
⎟ ⎜
r −1∂ϑ
⎜
⎟ = ⎜ cos ϑ cos φ
⎜⎜
⎟⎟ ⎜ − sin φ
−1
⎝ ( r sin ϑ ) ∂φ ⎠ ⎝
sin ϑ sin φ
cos ϑ sin φ
cos φ
cos ϑ ⎞ ⎛ ∂ x ⎞
⎟⎜ ⎟
− sin ϑ ⎟ ⎜ ∂ y ⎟
0 ⎟⎠ ⎜⎝ ∂ z ⎟⎠
U
U U =1 ⇒ U
t
−1
⎛ ∂ x ⎞ ⎛ sin ϑ cos φ
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ∂ y ⎟ = ⎜ sin ϑ sin φ
⎜ ∂ ⎟ ⎜ cos ϑ
⎝ z⎠ ⎝
=U
t
cos ϑ cos φ
cos ϑ sin φ
− sin ϑ
⎞
− sin φ ⎞ ⎛
∂r
⎜
⎟
⎟
r −1∂ϑ
cos φ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
−1
0 ⎠ ⎜ ( r sin ϑ ) ∂ ⎟⎟
φ ⎠
⎝
Ut
( xˆ1 pˆ 2 − xˆ2 pˆ1 ) = i −1 ( xˆ1∂ 2 − xˆ2∂1 ) = i −1r sin ϑ ( cos φ∂ 2 − sin φ∂1 )
−1
= i −1r sin ϑ cos φ ( sin ϑ sin φ∂ r + r −1 cos ϑ sin φ∂ϑ + ( r sin ϑ ) cos φ∂φ )
Lˆ3 =
−1
∂2
(
−i −1r sin ϑ sin φ sin ϑ cos φ∂ r + r −1 cos ϑ cos φ∂ϑ − ( r sin ϑ ) sin φ∂φ
−1
)
∂1
= i −1r sin 2 ϑ ( cos φ sin φ − cos φ sin φ ) ∂ r + i −1 sin ϑ cos ϑ ( cos φ sin φ − cos φ sin φ ) ∂ϑ
+i
−1
( cos
2
φ + sin φ ) ∂φ
0
2
= −i∂φ
'analog':
L± = Lx ± iLy
= e ± iφ ( ±∂ϑ + i ctgϑ ∂φ )
und:
L2 = −
1
1
∂ϑ ( sin ϑ∂ϑ ) −
∂2
2 φ
sin ϑ
( sin ϑ )
0
(4-29)
56
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Eigenwerte und Eigenfunktionen der Bahndrehimpulsoperatoren
⎡ Lˆ2 , Lˆz ⎤ = 0 → gemeinsame Eigenfunktionen ψ (ϑ , ϕ ) :
⎣
⎦
2
⎧⎪ Lˆ ψ ( x ) = λψ ( x )
⎨ˆ
⎪⎩ Lzψ ( x ) = μψ ( x )
ψ ( x ) = χ ( r ) Y (ϑ , ϕ )
Ansatz:
mit
(4-30)
∫d
3
x ψ = ∫ r 2 dr χ
2
2
∫ dΩ Y
2
Längere Rechnungen führen auf die Kugelfunktionen Y
⎧ Lˆ2Yl , m = l ( l + 1) Yl ,m
⎪
⎪ LˆzYl , m = mYl , m
⎪ˆ
⎪ L±Yl ,m = ( l ± m + 1)( l ∓ m )Yl , m ±1
⎨
⎪Y = ( −1)m Y *
l ,m
⎪ l ,− m
2
l
2
1
+
⎪
Y
=
∑
l
m
,
⎪
4π
⎩m
(4-31)
mit m = −l , −l + 1,… l − 1, l + 1
:
(4-32)
einige Funktionen
Y0,0 =
1
4π
Y1,0 =
3
cos ϑ
4π
Y2,0 =
5 1
15 ± iφ
15 ±2iφ 2
e sin ϑ cos ϑ Y2,±2 =
e sin ϑ
3cos 2 ϑ − 1) Y2,±1 = ∓
(
8π 2
8π
32π
Y1,±1 = ∓
3 ± iφ
e sin ϑ
8π
4. Gebundene Systeme
57
Entwicklung nach Kugelfunktionen
(4-33)
ψ ( x ) = ∑ χ l ,m ( r ) Yl ,m (ϑ , ϕ )
l ,m
χ l ,m ( r ) = ∫ d ΩYl *,mψ
1 = ∫ d 3 x ψ = ∑ ∫ r 2 dr χ l , m
2
2
Interpretation
∞
∞
Lˆ2 = ∫ d 3 xψ * Lˆ2ψ = ∑ l ( l + 1) ∫ r 2 dr χ l ,m
0
∞
Lˆ3 = ∫ d 3 xψ * Lˆ3ψ = ∑ m ∫ r 2 dr χ l , m
0
2
2
r 2 dr χ l ,m ist Wahrscheinlichkeit
⎫
∫
⎪
0
⎪
bei
gleichzeitiger Messung der Obser⎬ →
⎪
vablen Lˆ2 und Lˆ3 die Werte l ( l + 1) und m
⎪
⎭
zu finden
Drehimpuls wird in Einheiten von = gemessen!
Diskrete Messwerte: Richtungsquantelung des Drehimpulses
2
(4-34)
58
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Streuung der Drehimpulsoperatoren:
( ΔLˆ )
1
2
l ,m
≡ ∫ d ΩYl*,m Lˆ12Yl ,m = ∫ d ΩYl *, m
(
(
)
(
1
d ΩYl *,m (…) Yl , m + 2 + ( l − m + 1)( l + m ) Lˆ+Yl ,m −1 + ( l + m + 1)( l − m ) Lˆ−Yl ,m +1 + (…) Yl , m − 2
∫
4
1
=
( l − m + 1)( l + m ) ( l + m + 1)( l − m ) + ( l + m + 1)( l − m ) ( l − m + 1)( l + m )
4
1
=
( l − m + 1)( l + m + 1)( l + m ) ( l − m )
2
1
1
=
l 2 + 2l + m 2 + 1)( l 2 − m 2 ) =
(
( l 4 + 2l 3 + l 2 − 2lm2 − m4 − m2 )
2
2
1
=
l 4 + 2l 3 + l 2 − 2lm 2 − m 4 − m 2 )
(
2
1
= ( l ( l + 1) − m 2 )
2
analog:
2
1
ΔLˆ2
= ( l ( l + 1) − m 2 )
l ,m
2
=
(
( )
(4-35)
)
2
1 ˆ
1
L+ + Lˆ− Yl ,m = ∫ d ΩYl *,m Lˆ2+ + Lˆ+ Lˆ− + Lˆ− Lˆ+ + Lˆ2− Yl , m
4
4
)
)
4. Gebundene Systeme
59
4. Gebundene Zustände im Zentralpotential (Wasserstoffproblem)
Kugelkoordinaten:
Laplace-Operator
in Kugelkoordinaten:
⎛ r sin ϑ cos ϕ ⎞
⎜
⎟
x = ⎜ r sin ϑ sin ϕ ⎟
⎜ r cos ϑ ⎟
⎝
⎠
1
1
1
Δ = 2 ∂ r ( r 2∂ r ) + 2
∂ϑ ( sin ϑ∂ϑ ) + 2
∂2
2 ϕ
r
r sin ϑ
r ( sin ϑ )
−
(4-36)
⎞
1 ⎛⎜
1
1
−
∂ ( sin ϑ∂ϑ ) −
∂2 ⎟
2 ⎜ sin ϑ ϑ
2 φ⎟
r ⎝
( sin ϑ ) ⎠
Lˆ2
Stationäre
⎛
⎞
2
2
⎛
⎞
1
⎜
Δ +V (r )⎟ χ = ⎜ −
∂ r ( r 2 ∂ r ) + Lˆ2 + V ( r ) ⎟ χ
Schrödinger-Gleichung: E χ = −
2
⎜ 2m
⎟
⎝ 2m r
⎠
x ⎠
⎝
Radiale Schrödinger-Gleichung
(
Produktansatz: ψ ( x ) = φ ( r ) Yl ,m ( Ω )
⇒
)
(4-37)
⎛
⎞
⎛
⎞
2
1⎜
⎜
⎟
⎟
2
Eφ = ⎜ −
∂ r ∂ r ) − l ( l + 1) ⎟ + V ⎟ φ
2 ⎜ r (
⎟
⎜ 2m r ⎜ 2 r ∂ + r 2 ∂ 2
⎟
⎝ r r
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
l ( l + 1) ⎟
2
2
⎜
=−
∂r + ∂r −
φ + Vφ
2m ⎜
r
r2 ⎟
⎜⎜
Zentrifugal- ⎟
⎟
barriere ⎠
⎝
2
Unabhängig von magnetischer Quantenzahl m → Entartung der Energie
Coulomb-Wechselwirkung
Ze 2
V (r ) = −
r
also
⎧ Z = 1: Wasserstoffatom
⎪
⎨ Z = 2 : einfach ionisiertes Heliumatom
⎪
⎩
(4-38)
60
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
l ( l + 1) 2m Ze 2 2mE ⎞
⎛ 2 2
∂
+
∂
−
− 2
+ 2 ⎟φ = 0
⎜ r
r
r
r2
r
⎝
⎠
oder mit Bohrschem Radius rB =
2
2
:
(4-39)
1
me
l ( l + 1) 2 Z 2mE ⎞
⎛ 2 2
−
+ 2 ⎟φ = 0
⎜ ∂r + ∂r −
r
r2
r rB
⎝
⎠
Lösungen:
φn ,l = −
( 2α n )
3
(4-40)
( n − l − 1)! eα r 2α r l L2l +1 2α r
( n ) n+l ( n )
3
2n ( ( n + l ) !)
n
2mEn
Z
nr0
mit
αn = −
und
Lσμ (ξ ) = ∂σξ Lμ (ξ ) ,
2
=
μ
ν ⎛ μ ⎞ μ!
Lμ (ξ ) = ∑ ( −1) ⎜ ⎟ ξ ν
ν =0
⎝ν ⎠ ν !
Energien: En = −
( Laguerresche Polynome )
2
Z2
1
2
2mrB ( N + l + 1) 2
≡n
Hauptquantenzahl
1
rB =
2
me 2
=
(197.32MeVfm / c )
2
0.511MeV / c 2 ⋅1.44 ⋅10−13 MeVcm
=
(197.32 fm )
2
0.511 ⋅1.44 ⋅10−13 ⋅1013 fm
1cm
= 52912 fm
10−13 cm
10−15 m
o
10−5 A
o
0.529 A
4. Gebundene Systeme
61
Numerische Lösung analog (4-14)-(4-19):
Parameter:
Randwerte:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Potential:
Hamilton-Operator:
= m = e = Z = 1 ( rB = 1)
φ ( x0 = 0 ) = φ ( xN +1 ) = 0
0⎞
⎛0 1 0
⎜
⎟
−1 0 1
0⎟
⎜
1
⎜ 0 −1 0 1 0 ⎟
∂ r → Dˆ1 =
2Δx ⎜
⎟
1⎟
⎜
⎜0 0
−1 0 ⎟⎠
⎝
0⎞
⎛ −2 1 0
⎜
⎟
1 −2 1
0⎟
⎜
1
⎜ 0 1 −2 1 0 ⎟
∂ r2 → Dˆ 2 =
2
⎟
( Δx ) ⎜
1⎟
⎜
⎜
1 −2 ⎠⎟
⎝ 0 0
⎛ x2−1 0 0
⎞
⎜
⎟
0 x3−1
1
⎜
⎟
ˆ
→ X inv =
⎜
r
0 ⎟
⎜⎜
⎟
0 xN−1 ⎟⎠
⎝
Hˆ = 1 Dˆ + Xˆ Dˆ − 1 l ( l + 1) Xˆ 2 + Xˆ
2
2
ˆ =Ec
Eigenwertgleichung: Hc
n
MatLab-Programm
(4-41)
inv
1
2
inv
inv
62
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Balmer-Reihe (Beobachtung von Energie-Niveaus von Atomen)
In gemischten Zuständen oszilliert Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit auch die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Kapitel 3) mit Winkelgeschwindigkeiten
ρ = F ( e ± iω
mn t
) , mit
ωmn = ΔEmn / = ( Em − En ) /
(4-42)
Wahrscheinlichkeitsdicht und Wahrscheinlichkeitsstromdichte sind Quellen der elektromagnetischen Felder (Maxwell-Gleichungen)
Coulomb-Gesetz: ∇ ⋅ E = − ρ = − ψ
Ampere-Gesetz:
(4-43)
2
∇ × B = −ρ p = − j = −
(ψ
2m
*
Das führt in Atomspektren zur berühmten Balmer-Formel
i
∇ψ − ψ i ∇ψ *
)
4. Gebundene Systeme
63
Beobachtbarer Ferquenzen:
ν n→m =
±
Emision
Absorption
En − Em
= ±Z 2
h
2
mr02
1⎛ 1
1 ⎞
⎜ 2− 2⎟
h⎝m n ⎠
(4-44)
(197.32 MeVFm / c )2
( 0.511MeV / c2 )(51913 Fm)2
13.6eV 2 ⎛ 1
1 ⎞
3.29 ⋅1015 2 ⎛ 1
1 ⎞
⋅Z ⎜ 2 − 2 ⎟ = ±
⋅Z ⎜ 2 − 2 ⎟
h
s
⎝m n ⎠
⎝m n ⎠
λn→m = c /ν n→m
=±
Lyman-Serie:
ν n→1
Balmer-Serie:
ν n→2
Paschen-Serie: ν n →3
Brackett-Serie: ν n →4
Pfund-Serie:
ν n →5
( tief ultraviolett )
( sichtbar, H
α
, H β , H γ ,...)
( infrarot )
( infrarot )
( infrarot )
Ausblick:
(4-39) beschreibt Atom mit einem 'Elektron', also Wasserstoff oder Ionen mit einem 'Restelektron'.
Korrektur durch Mitbewegung des Atomkerns
Atome allgemein:
viele 'Elektronen' mit Wechselwirkung
64
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
2
N
N
⎛
x
C
C
− ∂ tψ ( x1 , x2 ,… , xN , t ) = ∑ ⎜ −
Δ ( n ) + V ( ) ( xn ) + ∑ Vn( ) ( xn − xm
i
2
m
n =1 ⎝
m< n
(4-45)
⎞
) ⎟ψ ( x , x ,… , x , t )
⎠
1
2
N
Spinfreiheitsgrade:
'innerer Freiheitsgrad' der Wirkungsquanten, äußern sich durch Aufspaltung von Wirkungsquanten in inhomogenen magnetischen Feldern (Stern-Gerlach-Versuch)
Spinfreiheitsgrade und Bahndrehimpulsfreiheitsgrade werden zum Gesamtdrehimpuls gekoppelt,
von dem atomare Spektren ebenfalls abhängen.
Pauli-Prinzip:
Jeder atomare Zustand kann nur einfach besetzt werden
Grund: Ununterscheidbarkeit der Wirkungsquanten
ψ n ( x1 )ψ m ( x2 ) = ψ n ( x2 )ψ m ( x1 )
2
ρ ( x1 , x2 )
(4-46)
2
ρ ( x1 , x2 )
also:
⎧⎪+: Symmetrisch unter Vertauschung ( Bosonen )
⎪⎩-: Antisymmetrisch unter Vertauschung ( Fermionen )
ψ n ( x1 )ψ m ( x2 ) = ±ψ n ( x2 )ψ m ( x1 ) ⎨
'Elektronen' sind Fermionen, für zwei Quanten im selben Zustand gilt daher
m = n : ψ n ( x1 )ψ n ( x2 ) = −ψ n ( x2 )ψ n ( x1 )
⇒ ψ n ( x1 )ψ n ( x2 ) = 0
( da
(4-47)
a = -a ⇒ a = 0 )
Daher sammeln sich die 'Elektronen' nicht alle im Grundzustand sondern füllen die Zustände
sukzessive auf (bei niederer Temperatur)
Das ist auch Grundlage des chemischen Verhaltens der Elemente
65
5.
Streuung an Zentralpotentialen
Potential soll für große Abstände hinreichend schnell verschwinden
große Entfernung: Wirkungsquantum praktisch frei
Experiment: Zahl der in einen Raumwinkel gestreuten Wirkungen (differentielle Wirkungs- oder
Streuquerschnitt)
1. Stationäre Behandlung, Streuquerschnitte
Schrödinger-Gleichung: E
Hˆ
χ
( k > 0)
( einf )
= eikz
Impuls:
Energie:
Einfallende Wirkung:
Asymptotisches Verhalten:
(5-1)
⎛− 2
⎞
∂
ψ =⎜
Δ + V ⎟ψ
∂t
⎝ 2m
⎠
χ ( asy ) = f (θ )
( r →∞ )
p= k
k2
2m
( f : Streuamplitude )
E=
eikr
r
2
Ein- und Ausströme
(
1
χ ( einf )* i ∇χ ( einf ) − χ ( einf ) i ∇χ ( einf )*
2m
⎞
1 ⎛ −ikz
⎜ e i ∇ eikz − eikz i ∇ e− ikz ⎟
=
⎟
2m ⎜
− keˆz
keˆz
⎝
⎠
k
eˆz
=
m
j ( einf ) =
)
(5-2)
(mit Fußnote2)
j (Streu )
⎛
1 ⎜ *
e −ikr
eikr
eikr
e− ikr
*
θ
θ
θ
=
⎜ f (θ )
∇
−
∇
f
f
f
(
)
(
)
(
)
2m ⎜
r i (ik − r −1 )eˆ
r
r i ( −ik − r −1 )eˆ
r
r
r
⎜
−1
−1
+ r eˆθ ∂θ
+ r eˆθ ∂θ
⎝
2
1 1
f (θ ) ik − r −1 eˆr + ik + r −1 eˆr
=
2 i
2m r
+ f * (θ ) r −1eˆθ ∂θ f (θ ) − f (θ ) r −1eˆθ ∂θ f * (θ ) )
(
((
) (
) )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(5-3)
k f (θ )
⎛1 ⎞
=
eˆr + O ⎜ 3 eˆθ ⎟
2
m r
⎝r
⎠
2
Wahrscheinlichkeit, ein Wirkungsquantum auf dem Flächenelement dF erscheint:
2
∇ = eˆr ∂ r + r −1eˆθ ∂θ + ( r sin θ ) eˆϕ ∂ϕ
www.kbraeuer.de
−1
Tübingen, den 28.12.2007
66
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
j (Streu ) ⋅ dF =
r 2 sin θ
dθ dϕ eˆr
ˆ
≡r 2d Ω
(5-4)
2
k
⎛1⎞
f (θ ) d Ω + O ⎜ ⎟
m
⎝r⎠
Differentielle Wirkungsquerschnitt
dσ ≡
j(
Streu )
j(
⋅ dF
einf )
(5-5)
2
⎛1⎞
= f (θ ) d Ω + O ⎜ ⎟
⎝r⎠
Experiment:
(5-6)
Zahl der pro Sekunde einfallende Wirkungsquanten: N einf
Zahl der Streuzentren ( Targets ) :
nT
Zahl der Wirkungen im Raumwinkel pro Sekunde:
Differentieller Wirkungsquerschnitt:
dσ =
dN Streu
dN Streu
nT N einf
Mehrfachstreuungen werden vernachlässigt
Totaler Wirkungsqueschnitt:
π
σ = ∫ d Ω f (θ ) = 2π ∫ dθ sin θ f (θ )
2
2
(5-7)
0
2. Rutherfordscher Streuquerschnitt (Bornsche Näherung)
Rutherford beobachtet 1911 den Durchgang von α-Strahlen (schnelle, zweifach geladene Heliumkerne 42 He (Wirkungsquanten!), also 2 'Protonen' + 2 'Neutronen')
Analyse des Rutherfordschen Streuquerschnitts weist auf Planetenmodell für Atome hin (viele αWirkungen werden von der Materie gar nicht beeinflusst, Streuquerschnitt wird durch CoulombWechselwirkung erklärt.)
Umschreiben der
Schrödinger-Gleichung: −
⎛− 2
⎞
i ∂
Δ + V ⎟ψ
ψ =⎜
∂t
⎝ 2m
⎠
=E=
→
2 2
k
2m
( Δ + k )ψ = 2m Vψ
2
2
(5-8)
5. Streuung an Zentralpotentialen
67
Aufbau der Streulösung
⎛
⎞
2
⎜ Δ + k ⎟ψ 0 = 0
⎝ −k2
⎠
freie Lösung
( einlaufende ebene Welle ) :
ψ 0 = eikz ,
G
Partikuläre Lösung:
(±)
(5-9)
± ik x − x′
1 e
,
( x , x′ ) = −
4π x − x′
( Δ + k ) G ( ) ( x , x′ ) = δ ( x − x′ )
2
±
Beweis der Partikulärlösung:
∇G ( ± ) ( x , 0 ) = −∇
± ik x
1 e
4π x
= −eˆr ∂ r
(5-10)
1 e ± ikr
4π r
1⎞
⎛
= −eˆr ⎜ ±ik − ⎟ G ( ± ) ( x , 0 )
r⎠
⎝
1
1 e± ikr
1 1
1 ⎞ e± ikr
2⎛
ΔG ( ± ) ( x , 0 ) = − 2 ∂ r r 2 ∂ r
=−
∂
±
−
r
ik
r
⎜
⎟
r
r⎠ r
4π r
4π r 2
⎝
Δ
1
4π
1
=−
4π
=−
1
1 1
∂ ±ikr − 1) e ± ikr = −
( ±ik + ( ±ikr − 1)( ±ik ) ) e±ikr
2 r (
r
4π r 2
1
−k 2 r ) e ± ikr
2 (
r
= k 2 ΔG ( ± ) ( x , 0 )
also
( Δ + k ) G( ) ( x, 0) = 0
2
±
(5-11)
für x ≠ 0
und
∫
d 3 xΔG ( ± ) ( x , 0 ) =
Kugel
∫
d 2 f ⋅∇G ( ± ) ( x , 0 ) = −
Kugeloberfläche
(R → 0)
1
1 ⎞ e± ikR
⎛
2
ˆ
ˆ
R
d
e
e
ik
Ω
⋅
±
−
r
r ⎜
⎟
4π ∫
R⎠ R
⎝
(5-12)
⎯⎯⎯
→1
R =0
∫
d 3 xk 2G ( ± ) ( x , 0 ) = −
Kugel
1
4π
∫
r 2 drd 2 Ωk 2
Kugel
R →0
e ± ikr
1
=−
r
4π
∫
rdrd 2 Ωk 2 = 0
Kugel
R →0
Insgesamt:
( Δ + k ) G( ) ( x, 0 ) = δ ( x ) oder
( Δ + k ) G ( ) ( x , x′ ) = δ ( x − x′ )
Streulösung insgesamt:
2
±
2
±
(5-13)
68
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Streulösung:
ψ ( x ) = eikz + ∫ d 3 x G ( + ) ( x , x′ )
2m
2
Propagator
( auslaufend )
löst ( Δ + k 2 )ψ =
2m
2
V ( r ′ )ψ ( x′ )
(5-14)
Vertex
( Δ + k )ψ = ∫ d x ( Δ + k ) G ( ) ( x, x′) 2m V ( r′)ψ ( x′)
Vψ :
2
3
+
2
2
δ ( x − x′ )
=
2m
2
V ( r )ψ ( x )
Streuamplitude
Ausdehnung des Potentials klein:
(
x − x ′ = x + x ′ ⋅ ∇′ x − x ′
r
(
= eˆi ∂ i ( xk − xk′ )
(
)
x′= 0
)
(5-15)
2 1/ 2
= eˆi ( xi − xi′ ) ( xk − xk′ )
→ x / x ≡ eˆr
+ O ( x′ 2 )
)
2 −1 / 2
r + x′ ⋅ eˆr
± ik x − x′
e
2m
1
d 3 x′
V ( r ′ )ψ ( x′ )
ψ (x) = e −
∫
x − x′ 2
4π
ikz
e
± ik ( r + x′⋅eˆr )
r + x′⋅eˆr
1 2m 3 −ikx′⋅eˆr
e −ikr
′
′
′
d
x
e
V
r
x
ψ
(
)
(
)
4π 2 ∫
r
ikr
Asymptotische Form der Streulösung:
e
ψ → eikz + f (θ )
r
also
= eikz −
f (θ ) = −
1 2m 3 −ikx′⋅eˆr
d x′e
V ( r ′ )ψ ( x′ )
4π 2 ∫
(5-16)
dies stellt Zusammenhang zwischen bekannter Lösung ψ und Streuamplitutde her
Näherung durch Iteration:
(5-17)
∞
ψ ( x ) = ∑ψ ( n ) ( x ),
n =0
⎧ψ ( x ) = eikz
⎪
⎨ ( n)
1 2m 3 − ikx′⋅eˆr
e −ikr
( n −1)
′
′
′
ψ
d
x
e
V
r
x
(
)
(
)
⎪ψ ( x ) = −
4π 2 ∫
r
⎩
Erste Bornsche Näherung für die Streuamplitude:
( 0)
1 2m 3 ikx′⋅( eˆ0 −eˆr )
d x′e
V ( r ′ ),
4π 2 ∫
Eine nicht triviale Integration über die Winkel führt auf
f (θ ) = −
f (θ ) = −
Yukawa-Potential
m
2
( eˆ0 = eˆz )
1
dr ′r ′ sin ( 2kr ′ sin θ / 2 ) V ( r ′ )
k sin θ / 2 ∫
(5-18)
(5-19)
5. Streuung an Zentralpotentialen
69
V (r) = g
(5-20)
e− μr
r
mg
1
e− μr′
′
′
′
sin
2
sin
/
2
θ
dr
r
kr
(
)
2
k sin θ / 2 ∫
r′
2mg
1
=− 2
2
2
4k sin θ / 2 + μ 2
f (θ ) = −
Coulomb-Potential
V ( r ) = Z1Z 2 e2
(5-21)
1
r
1
1
dr ′r ′ sin ( 2kr ′ sin θ / 2 )
∫
k sin θ / 2
r′
2
2mZ1Z 2e
1
= −
2
2
2
lim μ → 0
4k sin θ / 2 + μ 2
f (θ ) = −
mg
2
2mZ1Z 2 e 2
1
4k sin 2 θ / 2
Z1Z 2e 2
1
=
−
2
2 2
k
E sin θ / 2
=E
=−
2
2
2m
Rutherford-Streuquerschnitt
2
2
⎛ Z Z e2 ⎞
dσ
1
= f (θ ) = ⎜ 1 2 ⎟
4
dΩ
⎝ 4 E ⎠ sin θ / 2
Der totale Wirkungsquerschnitt divergiert.
(5-22)
3. Allgemeine Bestimmung von Streuzuständen
Radiale Schrödinger-Gleichung
Produktansatz:
⇒
u (r)
Yl ,m ( Ω )
r
⎛
⎞
⎛
⎞
2
u (r ) ⎜
1⎜
⎟ u (r )
⎟
2
E
= ⎜−
∂ r ∂ r ) − l ( l + 1) ⎟ + V ⎟
2 ⎜ r (
r
⎟
⎜ 2m r ⎜ 2 r ∂ + r 2 ∂ 2
⎟ r
⎝ r r
⎠
⎝
⎠
ψ (x) =
(5-23)
also
2
1
2m
⎛
⎞ u (r)
0 = ⎜ ∂ 2r + ∂ r − 2 l ( l + 1) + 2 ( E − V ) ⎟
r
r
⎝
⎠ r
Produktregel anwenden:
(5-24)
70
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
∂r
u 1⎛ 1
⎞
= ⎜ − u + ∂ru ⎟
r r⎝ r
⎠
∂ r2
u
= ∂r
r
(5-25)
1⎛ 1
1⎛ 1
1
⎞
⎞ 1⎛ 1
2 ⎞
⎜ − u + ∂ru ⎟ = − 2 ⎜ − u + ∂ru ⎟ + ⎜ 2 u − ∂ru + ∂r u ⎟
r⎝ r
r
r
r
r
r
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1⎛ 1
1
1
⎞ 1⎛ 1
⎞
= ⎜ 2 u − ∂ r u ⎟ + ⎜ 2 u − ∂ r u + ∂ r2u ⎟
r⎝r
r
r
⎠ r⎝r
⎠
1⎛ 2
2
⎞
= ⎜ 2 u − ∂ r u + ∂ r2u ⎟
r⎝r
r
⎠
Transformierte Schrödinger-Gleichung:
⎛
⎞
⎜ 2 2
⎟
2
1
1
2
m
⎛
⎞
2
⎜ 2 − ∂ r + ∂ r + ⎜ − + ∂ r ⎟ − 2 l ( l + 1) + 2 ( E − V ) ⎟ u
r
r⎝ r
⎠ r
⎜r
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
2 2
1
2m
⎜2 2
⎟
2
= ⎜ 2 − ∂ r + ∂ r − 2 + ∂ r − 2 l ( l + 1) + 2 ( E − V ) ⎟ u
r
r
r
r
⎜r
⎟
⎝
⎠
1
2m
⎛
⎞
= ⎜ ∂ 2r − 2 l ( l + 1) + 2 ( E − V ) ⎟ u
r
⎝
⎠
(5-26)
1
0=
r
Freie Gleichung (V=0, 2mE/==k2):
1
⎛
⎞
0 = ⎜ ∂ 2r − 2 l ( l + 1) + k 2 ⎟ u
r
⎝
⎠
Skalierung:
(5-27)
5. Streuung an Zentralpotentialen
⎧ ρ = kr
⎨ 2
2 2
⎩∂ r = k ∂ ρ
71
(5-28)
⎛
⎞
1
⇒ 0 = ⎜ ∂ 2ρ − 2 l ( l + 1) + 1⎟ u ( ρ )
ρ
⎝
⎠
Numerische Lösung analog Kapitel 4: gebundene Systeme
r∈
(+)
∂ 2r u ( r )
n ( max )
, n ∈ {1,… N } , Δr ≡ r2 − r1 ;
r
N
0⎞
⎛ c0 = 0 ⎞
⎛ −2 1 0
⎜
⎟
⎜
⎟
0 ⎟
1 −2 1
0⎟
⎜
⎜
1
1
⎜
⎟;
⎜ 0 1 −2 1 0 ⎟ c +
→
2
2
⎟
⎟
Δr ) ⎜
(
( Δr ) ⎜
1⎟
⎜ 0 ⎟
⎜
⎜ 0 0
⎟
⎜
⎟
1 −2 ⎠
⎝
⎝ cN +1 = 1⎠
→ rn ≡
− Rˆ
Dˆ 2
1
u (r )
r2
⎛ 1
⎜ r 2 l ( l + 1)
⎜ 1
⎜
⎜
→ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0
⎜⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ c;
⎟
⎟
0
⎟
⎟
1
l
l
1
+
(
)
⎟⎟
rN2
⎠
0
1
l ( l + 1)
r22
0
Lˆl
1
⎛
⎞
0 = ⎜ ∂ r2 − 2 l ( l + 1) + k 2 ⎟ u ( l ) ( r ) →
r
⎝
⎠
( Dˆ
2
)
− l (l + 1) Lˆl + k 2 1ˆ c (l ) = Rˆ
( inhomogenes lineares Problem )
(5-29)
72
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Die 'Streulösungen' u(l) des freien Problems (V=0) haben eine analytische Darstellungen, die
(5-30)
sphärischen Besselfunktion:
jl ( ρ ) ≡
u( ) ( ρ )
l
ρ
:
j0 ( ρ ) =
j1 ( ρ ) =
sin ( ρ )
ρ
sin ( ρ )
ρ
2
,
−
cos ( ρ )
ρ
,
3cos ( ρ )
⎛ 3 1⎞
j2 ( ρ ) = ⎜ 3 − ⎟ sin ( ρ ) −
,
ρ⎠
ρ2
⎝ρ
jl +1 ( ρ ) =
Asymptotik:
2l + 1
ρ
jl ( ρ ) ⎯⎯⎯
→
ρ →∞
jl ( ρ ) − jl −1 ( ρ ) ;
sin ( ρ − lπ / 2 )
.
ρ
Entwicklung der ebenen Wellen nach den freien Streulösungen:
eikz = eikr cos ϑ = ∑ f l ( ρ ) Yl 0 (ϑ , ϕ ) → f l ( ρ ) = ∫ d Ωeiρ cos ϑ Yl *0 (ϑ , ϕ )
l
numerische Auswertung
(5-31)
5. Streuung an Zentralpotentialen
73
fl ( ρ m ) = ∫ d Ωeiρm cosϑYl*0 (ϑ , 0 )
fl
(5-32)
2π ∑ eiρm cosϑn Yl *0 (ϑn , 0 ) Δϑ sin ϑn
( emn )
y
das legt die Entwicklung nahe:
(5-33)
eikz = eikr cosϑ = ∑ i l 4π ( 2l + 1) jl ( ρ ) Yl 0 (ϑ , ϕ )
l
Die analytische Ableitung dieser Entwicklung ist aufwendig.
Streuphasen und Streuquerschnitt
Potential führt asymptotisch zu einer Verschiebung der Phase in den Streulösungen u(l)
asymptotisches Verhalten der Streulösungen (siehe Abbildung oben):
Asymptotik frei (V = 0 ) :
⎛
⎞
⎜
⎟
π
u ( r ) ⎯⎯⎯
→
sin
kr
−
l
/
2
ρ →∞
⎜
( 0) ⎟
≡
δ
l
⎝
⎠
δ l( 0) : Phasenverschiebung durch Zentrifugalbarriere Asymptotik mit V ≠ 0:
(5-34)
(l )
→ sin ( kr − lπ / 2 + δ l )
u ( l ) ( r ) ⎯⎯⎯
ρ →∞
δ l : Phasenverschiebung durch Potential V ( r )
Zusammenhang mit Streuquerschnitt:
l ( l + 1)
r2
74
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
1) einlaufende ebene Welle:
eikz = ∑ i l
l
4π ( 2l + 1) jl ( kr ) Yl 0 (θ , ϕ )
eiπ l / 2
⎯⎯⎯
→ ∑ eiπ l / 2 4π ( 2l + 1)
r →∞
l
2) Ansatz der Streulösung
( asymptotisch )
(5-35)
sin ( kr − lπ / 2 )
Yl 0 (θ , ϕ )
kr
⎛
⎞
⎜ − i( kr −lπ / 2)
i ( kr − lπ / 2 ) ⎟
e
⎛ 1⎞ e
⎟ Y (θ , ϕ )
= ∑ eiπ l / 2 4π ( 2l + 1) ⎜ − ⎟ ⎜
−
⎜
⎟ l0
i
kr
kr
2
⎝
⎠
l
⎜⎜ Einlaufende
Auslaufende ⎟
⎟
Kugelwell ⎠
⎝ Kugelwell
eikr
χ ( Ansatz ) = eikz + f (θ )
r
⎛
⎞ e − ikr
⎛ 1 ⎞1
= ⎜ ∑ 4π ( 2l + 1) ⎜ − ⎟ eilπ Yl 0 (θ , ϕ ) ⎟
⎝ 2i ⎠ k
⎝ l
⎠ r
A(
Ansatz )
⎛
⎞ eikr
⎛ 1 ⎞1
+ ⎜ ∑ 4π ( 2l + 1) ⎜ − ⎟ Yl 0 (θ , ϕ ) + f (θ ) ⎟
⎝ 2i ⎠ k
⎝ l
⎠ r
B(
3) Streulösung:
χ ( Lösung ) = ∑ Cl
Ansatz )
sin ( kr − lπ / 2 + δ l )
l
⎛
= ⎜ ∑ Cl e − iδl
⎝ l
kr
ilπ / 2
⎞ e − ikr
⎛ 1 ⎞e
Y
,
−
θ
ϕ
(
)
⎟
l0
⎜
⎟
⎝ 2i ⎠ k
⎠ r
A(
⎛
+ ⎜ ∑ Cl eiδl
⎝ l
Yl 0 (ϑ , ϕ )
Lösung )
− ilπ / 2
⎞ eikr
⎛ 1 ⎞e
Y
,
θ
ϕ
−
(
)
⎟
l0
⎜
⎟
⎝ 2i ⎠ k
⎠ r
B(
Lösung )
(5-36)
Vergleich einlaufende Kugelwellen:
A( Ansatz ) = A( Lösung ) :
⎛ 1 ⎞1
4π ( 2l + 1) ⎜ − ⎟ eilπ Yl 0 (θ , ϕ ) = Cl e − iδl
⎝ 2i ⎠ k
Cl = eilπ / 2 4π ( 2l + 1)eiδl
ilπ / 2
⎛ 1 ⎞e
Yl 0 (θ , ϕ )
−
⎜
⎟
⎝ 2i ⎠ k
5. Streuung an Zentralpotentialen
75
(5-37)
Vergleich auslaufende Kugelwellen:
B ( Ansatz ) = B ( Lösung ) :
f (θ ) = ∑ Cl
l
4π ( 2 l +1)
eilπ / 2 eiδl
= −∑
l
− ilπ / 2
⎛ 1 ⎞e
⎛ 1 ⎞1
eiδl ⎜ − ⎟
Yl 0 (θ , ϕ ) − ∑ 4π ( 2l + 1) ⎜ − ⎟ Yl 0 (θ , ϕ )
⎝ 2i ⎠ k
⎝ 2i ⎠ k
l
1
e i 2δ l − 1
4π ( 2l + 1) Yl 0 (θ , ϕ )
2i
k
eiδl sin δ l
= −∑ eiδl 4π ( 2l + 1)
l
sin δ l
Yl 0 (θ , ϕ )
k
(5-38)
Differentieller Wirkungsquerschnitt:
∂σ
1
= 2
∂Ω k
∑ eiδl sin δ l 4π ( 2l + 1)Yl 0 (θ ,ϕ )
2
l
Totaler Wirkungsquerschnitt:
σ T = ∫ d Ω f (θ ) =
2
4π
k2
∑ ( 2l + 1) sin
l
2
δ l ∫ d Ω Yl 0 (θ , ϕ )
2
1
=
4π
k2
∑ ( 2l + 1) sin
2
δl
l
4. Streuphasenbestimmung
Wir vergleichen die freie Schrödinger-Gleichung und die mit Potential:
(5-39)
⎛
⎞
1
0 = ⎜ ∂ 2ρ − 2 l ( l + 1) + 1⎟ vl ( ρ )
ρ
⎝
⎠
≡ H0
⎛
1
V⎞
0 = ⎜ ∂ 2ρ − 2 l ( l + 1) + 1 − ⎟ ul ( ρ )
E⎠
ρ
⎝
≡ H1
Es gilt natürlich
0 = vl H1ul − ul H 0 vl = vl ∂ 2ρ ul − vl
also
vl
V
ul = vl ∂ 2ρ ul − ul ∂ 2ρ vl
E
V
ul − ul ∂ 2ρ vl ,
E
76
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(5-42)
Mit
⎧0 für r = 0
vl ( ρ ) → ⎨
⎩sin ( ρ − lπ / 2 ) für ρ → ∞
⎪⎧cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
und ⎨
⎧0 für r = 0
⎪⎩ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
ul ( ρ ) → ⎨
⎩sin ( ρ − lπ / 2 + δ l ) für ρ → ∞
(5-43)
folgt
⎛
⎞
∞
V
⎜
⎟
2
2
∫0 d ρ vl E ul = ∫0 d ρ ⎜ vl ∂ ρ ul − ul ∂ ρ vl ⎟
⎜ ∂ ρ ( vl ∂ ρ ul )−( ∂ ρ vl )( ∂ ρ ul ) ∂ ρ ( ul ∂ ρ vl )−( ∂ ρ vl )( ∂ ρ ul ) ⎟
⎝
⎠
∞
∞
(
= ∫ d ρ ∂ ρ ( vl ∂ ρ ul ) − ∂ ρ ( ul ∂ ρ vl )
)
0
= ( vl ∂ ρ ul − ul ∂ ρ vl )
∞
0
= sin ( ρ − lπ / 2 ) cos ( ρ − lπ / 2 + δ l )
sin ( ρ − lπ / 2 + δ l )
−
cos ( ρ − lπ / 2 ) cos δ l −sin ( ρ −lπ / 2 ) sin δ l
cos ( ρ − lπ / 2 )
sin ( ρ − lπ / 2 ) cos δ l + cos( ρ −lπ / 2 ) sin δ l
= sin ( ρ − lπ / 2 ) cos ( ρ − lπ / 2 ) ( cos δ l − cos δ l )
(
− sin δ l sin ( ρ − lπ / 2 ) + cos ( ρ − lπ / 2 )
2
2
)
1
also: sin δ l = −
(5-44)
∞
1
d ρVvl ul
E ∫0
5. Bornsche Näherung für die Streuphase:
ul
vl , → sin δ l
∞
(5-45)
∞
2
1
2m
− ∫ d ρVvl2 = − 2 ∫ drV ( r ) ( krjl ( kr ) )
E0
k0
6. Streuung am Kastenpotential
Potential
⎧⎪V ( r ) = −V0 < 0 ∀r < R,
V =⎨
sonst,
⎪⎩V ( r ) = 0
(5-46)
Lösungen für kleine Energien (l=0)
⎛
⎞
⎜ 2
2m ⎟
⎪⎧cl sin (κ r )
2
⎜ ∂ r + k − 2 V0 ⎟ u0 ( r ) = 0 → u0 ( r ) = ⎨sin kr + δ
⎪⎩ (
0)
⎜
⎟
κ2
⎝
⎠
2m
κ 2 = k 2 − 2 V0 = k 2 (1 − V0 / E )
Anpassung der Lösungen an der Kontaktstelle
∀r < R,
∀r ≥ R,
(5-47)
5. Streuung an Zentralpotentialen
77
Stetigkeit:
cl sin (κ R ) = sin ( kR + δ 0 )
Differenzierbarkeit: κ cl cos (κ R ) = k cos ( kR + δ 0 )
→
also
tan (κ R )
κ
=
tan ( kR + δ 0 )
k
(5-48)
78
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
⎛k
(5-49)
⎞
δ 0 = −kR + arctan ⎜ tan (κ R ) ⎟ + nπ
⎝κ
⎠
kleine Energien (kR)<<1:
arctan ( x ) = x + O ( x3 )
δ0
−kR +
(5-50)
tan (κ R ) ⎞
⎛
3
tan (κ R ) + nπ = k R ⎜ −1 +
⎟ + nπ + O ( k )
κ
κR ⎠
⎝
k
Streulänge a
= ka + nπ + O ( k
3
)
Totaler Wirkungsquerschnitt
σ
4π
sin 2 (δ 0 )
2
k
4π 2 4π 2 2
δ 0 = 2 k a = 4π a 2 + O ( k 2 )
2
k
k
(5-51)
Beispiel für Streulänge a
R=
2
( Bohrscher Radius ) ,
2
em
V0 = 13.6eV
2m
κ =κ 0 =
R=
κ0 =
2
e2 m
( Bindungsenergie Wasserstoffatom ) ,
2
=
2m
2
c = 197 MeV Fm.
2
1.44 MeV Fm0.511MeV / c 2
V0 =
a / R = −1 +
m = 0.511MeV / c 2 ,
V0 ,
(197 MeV Fm )
κ 0 R = 31.5
mit e 2 = 1.44 MeV Fm,
2 ⋅ 0.511MeV
(197 MeV Fm )
tan (κ 0 R )
= −.9953
κ0R
2
= 52741Fm
13.6 ⋅10−3 MeV = .589 ⋅10−3 Fm −1
(5-52)
5. Streuung an Zentralpotentialen
79
7. Streuphasen des Yukawa-Potentials
Coulomb-Potential hat wegen langer Reichweite (1/r) keine konstanten Streuphasen
Strategie: wir berechnen Potential 'massiver' Wechselwirkung und betrachten dann den Grenzübergang zum Coulomb-Potential
e− μr
1
→g
r μ →0 r
Stationäre, radiale Schrödingergleichung:
Yukawa-Potential: V ( ) = g
μ
( Coulomb-Potential )
2m
⎛ 2 1
⎞
⎜ ∂ r − 2 l ( l + 1) + 2 ( E − V ) ⎟ u = 0
r
⎝
⎠
Asymptotik:
(5-53)
(5-54)
80
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(5-55)
2m
⎛ 2 2m ⎞
2
⎜ ∂ r + 2 E ⎟ u = 0 ⇒ u0 → sin ( kr ) , mit k = 2 E
⎝
⎠
Konstanten:
(5-56)
Elektronenladung:
e2 = 1.44 MeV Fm
Elektronenmasse:
m = 0.511MeV / c 2
Plancks Wirkungsquantum: c = 197 MeV Fm
Bohrscher Radius:
aB =
2
e2 m
=
(197 MeV Fm )
2
1.44MeV Fm ⋅ 0.511MeV
= 52741 Fm
10−15 m
0
10−5 A
0
= 0.527 A
Zum Vergleich
Rutherford-Streuquerschnitt:
2
⎛ e2 ⎞
1
dσ Coul / d Ω = ⎜
⎟
4
⎝ 4 E ⎠ sin ϑ / 2
σ Coul ist nicht definiert!
(5-57)
Berechnung Rutherford-Streuquerschnitt durch analytisches Lösen der konfluenten, hypergeometrischen DGL.
Größenordnungen:
σ
σ
4
5 ⋅10 fm σ
Protonen-Radius: rp 1 fm
Elektronen-Radius re 3 fm
Bohrscher-Radius: rb
(5-58)
π r 2 3 fm 2
π r 2 30 fm 2
π r 2 1010 fm 2
Berechnung des 'klassischen' Elektronenradius:
Annahme: Ladung e homogen auf Kugeloberfläche verteilt, Energie E=mc2
E=
1
8πε 0
∫ dV ∫ dV ′
ρ ( r ) ρ ( r′)
r − r′
=
1
e2
2
8πε 0 ⎛
2⎞
⎜ 4π R ⎟
⎝ A ⎠
∫ dA∫ dA′
1
r − r′
(5-59)
ρ2
∫ dA′
−1/ 2
1
= ∫ R 2 dφ ′d cos ϑ ′ ( r 2 + R 2 − 2rR cos ϑ ′ )
r − r′
= 2π R 2
= −2π
= 4π R
1/ 2 1
2
2
2
′
+
−
r
R
rR
ϑ
2
cos
(
) −1
( −2rR )
⎛
⎞
1/ 2
1/ 2
R⎜ 2
2
2
2
+
−
−
+
+
r
R
rR
r
R
rR
2
2
(
) (
) ⎟⎟
r⎜
⎝
⎠
R−r
R+r
(5-60)
5. Streuung an Zentralpotentialen
81
∫ dA ∫ dA′
2
1
= R1 ( 4π R 2 )
r − r′
(5-61)
4π R
E=
R=
1
8πε 0
∫ dA∫ dA′
ρ ( r ) ρ ( r′)
r − r′
1 e2
1
1
1 e2
2 2
4π R ) =
=
= m0 c 2
(
2
2
2 4πε 0 ( 4π R ) R
2 R 4πε 0
1 e2
1
1
1
= 2.3 ⋅1023 Jm
= 1.41 ⋅10−15 m
2
2
9
2 4πε 0 m0 c
2
9.11kg ⋅ ( 0.299 ⋅10 m / s )
(5-62)
82
1. Kleine Reichweite des Potentials, μ=1000aB
2. Mittlere Reichweite des Potentials, μ=.5aB
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
5. Streuung an Zentralpotentialen
83
84
3. Große Reichweite des Potentials, μ=.1aB
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
5. Streuung an Zentralpotentialen
85
86
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
87
6.
Spinfreiheitsgrade
1. Experimenteller Befund (Stern-Gerlach 1922 Frankfurt)
Strahl von Wasserstoffatomen durchquert inhomogenes Magnetfeld senkrecht zur Feldrichtung
Klassische Betrachtung
Einfachste Vorstellung: Bohrsches Atommodell – Elektron auf Kreisbahn
(6-1)
Bahnradius:
r
Dichte:
ρ=
Kreisstrom:
I = A( Querschn.) ρ v =
e
( Querschn.)
2π rA
Bahndrehimpuls
m0 vr
π r2
magn. Dipolmoment:
μ=
ev
2π r
M
I A evr e
=
=
2c
2 m0 c
c
Masse
Elektron
Energie der WW:
EW = − μ ⋅ B = −
ablenkende Kraft:
K = ∇ μ⋅B =
(
)
( für B = B eˆ ,
z z
klassisch: Orientierung willkürlich
e
M ⋅B
2m0 c
e
M j ∇B j
2m0 c
∂ z Bz ≠ 0
)
⎡
⎤
e
e
K3 ∈ ⎢ −
M ∂ z Bz ,
M ∂ z Bz ⎥
2m0 c
⎣ 2m0 c
⎦
→ kontinuierlich Aufspaltung
Experiment
Aufspaltung in 2 diskrete Teilstrahlen (siehe Abbildung oben)
www.kbraeuer.de
Tübingen, den 28.12.2007
88
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
(6-2)
1. Vermutung: gequantelter Bahndrehimpuls M → Lˆ ,
e
K3 =
m ∂ z Bz ,
2m0c
m = −l , −l + 1,… l − 1, l
aber: Wasserstoff-Grundzustand l = 0 ⇒
K3 = 0
Folgerung:
Innerer Freiheitsgrad des 'Elektrons' Spin:
1
1
le ≡ s = , ms = ± ,
2
2
( Eigendrehung, Spiralbahn, ...? )
Experiment:
K3 = ±
e
∂ z Bz
2m0 c
μB
μ B : Bohrsches Magneton
Wechselwirkungsenergie Bahndrehimpuls:
Wechselwirkungsenergie Spin:
Gyromagnetische Verhältnisse:
(l )
EW
EW( s ) = ±
s=1/2: Elektron, Myon, Proton, Neutron, Quarks
Photon
e
m0 c
⎧ e
μ3 ⎪⎪ 2m0 c
=⎨
M3 ⎪ e
⎪⎩ m0 c
Weitere Wirkungsquanten mit Spin
s=1:
e
= −μ ⋅ B = −
2m0 c
lˆz Bz
Mz
sˆz Bz
Mz
für Bahndrehimpuls;
für Spin.
(6-3)
5. Streuung an Zentralpotentialen
89
2. Beschreibung des Spins in der Quantenmechanik
Quantenfeld oder Zustandsbeschreibung:
Quantenfeld:
Spinfreiheitsgrad:
Ψ = ψ ( x, t ) χ ( s )
χ ( s ) = c+ | 12 , 12 > +c− | 12 , − 12 >
sˆ
ms
sˆ
(6-4)
ms
⎛c ⎞
Matrixdarstellung: χ ( s ) = ⎜ + ⎟
⎝ c− ⎠
⎛1⎞
⎛0⎞
Basisspinoren:
| 12 , 12 >= ⎜ ⎟ , | 12 , − 12 >= ⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝1⎠
Spinoren
Spinoperatoren: Paulischen Spinmatrizen
⎛0 1⎞
⎛ 0 −i ⎞
⎛1 0 ⎞
⎟, σ2 = ⎜
⎟, σ3 = ⎜
⎟.
⎝1 0⎠
⎝i 0 ⎠
⎝ 0 −1⎠
σ1 = ⎜
(6-5)
mit
σ †j = σ j , σ 2j = 1,
( 'Dagger' † = *t :
Transponieren und komplex konjugieren )
⎛ 0 −i ⎞
⎛ 0 i ⎞ ⎛ 0 −i ⎞
z.B. σ = ⎜
⎟ =⎜
⎟ =⎜
⎟ = σ2,
⎝i 0 ⎠
⎝ −i 0 ⎠ ⎝ i 0 ⎠
0 ⎞ ⎛1 0⎞
⎛ 0 −i ⎞ ⎛ 0 −i ⎞ ⎛ −i ⋅ i
σ 22 = ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟=⎜
⎟.
−i ⋅ i ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⎝ i 0 ⎠⎝ i 0 ⎠ ⎝ 0
*t
†
2
und der Drehimpulsalgebra
t
(6-6)
90
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
⎛0 1⎞⎛0
⎟⎜
⎝1 0⎠⎝ i
⎛ 0 −i ⎞ ⎛ 1
σ 2σ 3 = ⎜
⎟⎜
⎝ i 0 ⎠⎝0
⎛1 0 ⎞⎛0
σ 3σ1 = ⎜
⎟⎜
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1
( für j ≠ k ≠ l ≠ j ) : σ 1 σ 2 = ⎜
σ j σ k = iε jklσ l
−i ⎞ ⎛ i
⎟=⎜
0 ⎠ ⎝0
0⎞ ⎛0
⎟=⎜
−1⎠ ⎝ −i
1⎞ ⎛ 0
⎟=⎜
0 ⎠ ⎝ −1
0⎞
⎟ = iσ 3
−i ⎠
i⎞
⎟ = iσ 1
0⎠
(6-7)
1⎞
⎟ = iσ 2
0⎠
Eigenwerte:
σ1
σ1
σ2
σ2
σ3
σ3
σ
(6-8)
⎛0 1⎞⎛1⎞ ⎛0⎞ 1 1
, 12 = ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 ,− 2
⎝1 0⎠⎝0⎠ ⎝1⎠
⎛0 1⎞⎛0⎞ ⎛1⎞ 1 1
1
1
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 , 2
2 ,− 2 = ⎜
⎝1 0⎠⎝1⎠ ⎝0⎠
(Spinflip )
⎛ 0 −i ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
1
1
, 12 = ⎜
⎟⎜ ⎟ = i⎜ ⎟ = i 2 ,− 2
i
0
0
1
⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 −i ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛1⎞
1
1
1
1
⎟ ⎜ ⎟ = −i ⎜ ⎟ = −i 2 , − 2
2 ,− 2 = ⎜
i
0
1
0
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
(Spinflip )
⎛1 0 ⎞⎛1⎞ ⎛0⎞ 1 1
, 12 = ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 , 2
⎝ 0 −1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛1 0 ⎞⎛0⎞
⎛1⎞ 1 1
1
1
⎟⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ = 2 ,− 2
2 ,− 2 = ⎜
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎝0⎠
( Eigenwert
1
2
(Spinflip )
1
2
1
2
2 1
2
(Spinflip )
+ 1 = 2ms )
( Eigenwert 1 = 2ms ) ,
also sˆ3 = 12 σ 3
⎛
⎞
1 1
⎜ Eigenwert 3 = 4 ⋅ 2 ( 2 + 1) = 4 s ( s + 1) ⎟
σ 2 = 4 sˆ2
⎝
⎠
1
also allgemein: sˆ = 2 σ
⎛1 0⎞ 1
1
, ms = 3 ⎜
⎟ 2 , ms = 3 2 , ms
0
1
⎝
⎠
Schrödinger-Gleichung mit Spin-Freiheitsgraden
(6-9)
⎛
⎞
⎜
⎟
2
e
⎜
− ∂t Ψ = −
Δ +V −
σ ⋅ B ⎟⎟ Ψ
⎜ 2m
2mc
i
⎜
⎟
e
⎜
⎟
− sˆ
mc
⎝
⎠
Erwartungswerte
Hˆ = −
2
2m
Δ +V −
sˆ , ms ψ
= sˆ, ms ψ −
= ψ −
e
σ ⋅B = ψ
2mc
2
2m
2
2m
−
2
2m
Δ +V −
Δ + V ψ sˆ, ms − sˆ, ms ψ
Δ +V ψ −
e
σ ⋅B Ψ
2mc
ψ sˆ , ms
e
σ ⋅ B ψ sˆ, ms
2mc
e
ψ B ψ ⋅ sˆ, ms σ sˆ, ms
2mc
(6-10)
5. Streuung an Zentralpotentialen
91
3. Periodensystem der Elemente
Elemente werden mit steigender Kernladungszahl entsprechend ihrer chemischen Eigenschaften
in Perioden sowie Haupt- und Nebengruppen eingeteilt. Das chemische Verhalten wiederholt
sich periodisch.
Begründung dafür durch Atomphysik
Pauli-Prinzip oder Paulisches Ausschließungsprinzip (siehe Ende Kapitel 4- Gebundene Systeme)
'Ein System gleichartiger Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) geht niemals in einen Zustand über, in dem zwei dieser Teilchen am selben Ort und mit gleichem Spin angetroffen werden oder den gleichen Impuls und Spin haben. Insbesondere stimmen in einem Atom zwei Elektronen niemals in allen Quantenzahlen überein.'3
Begründung: Fermionen-Quantenfelder verhalten sich unter Quantenaustausch antisymmetrisch
für Wirkungsquanten 1, 2 in Zuständen a, b :
(6-11)
Ψ ab ( r1 , r2 ) = −Ψ ab ( r2 , r1 ) ⇒ Ψ aa ( r1 , r2 ) = 0.
Energieformel für das Coulomb-Potential:
En = −
2
Z2
1
2
2mrB ( N + l + 1) 2
(6-12)
≡n
Hauptquantenzahl
Korrekturen
Abschirmung des Potentials durch innere besetze Zustände
Spin-Bahn-Wechselwirkung: Im Ruhesystem des 'Elektrons' bewegt sich der 'Atomkern' und
erzeugt ein magnetisches Moment
V(
Spin − Bahn )
∝ Lˆ ⋅ sˆ
Wechselwirkung der 'Elektronen' untereinander
Korrkturen können durch Störungrechnungen bestimmt werden
3
(c) Meyers Lexikonverlag
(6-13)
92
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Pfeile geben die Verschiebung der Niveaus durch die Korrekturen an
Anzahl von Zuständen pro 'Schale'
Schale Haupt-QZ, Spin Anzahl Elemente
n
N Gesamt
K
1s
2 ⋅1 = 2
2
L
2s 2 p
2 ⋅ (1 + 3) = 8
10
M
3s 3 p
N
4 s 3d 4 p
O
5s 4d 5 p
P
6 s 4 f 5d 6 p
Q
7 s 5 f 6d ...
Alkalimetalle:
2 ⋅ (1 + 3) = 8
2 ⋅ (1 + 5 + 3) = 18
2 ⋅ (1 + 5 + 3) = 18
2 ⋅ (1 + 7 + 5 + 3) = 32
18
36
54
86
( Schema wird komplexer )
1 'Elektron' in neuer Schale
Erdalkalimetalle: 2 'Elektronen' in neuer Schale
Nebengruppen:
(6-14)
Spin
d-Zustände ( l=2 )
Landthaniden:
Actiniden:
f-Zustände ( l=3)
f-Zustände ( l=3)
Halogene:
1 'Elektronen' fehlen in Schale
Edelgase:
Schale ist voll
( Wasserstoff, Lithium, Natrium, Kalium, ...)
( Beryllium, Mangan, Calcium, ...)
( Fluor, Chlor, ...)
( Helium, Neon, Argon, Krypton, ...)
(6-15)
Ausnahmen: Actinium-Lanthan, Kupfer, Chrom
5. Streuung an Zentralpotentialen
93
94
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
4. Quantenbit, Quantenteleportation und Quantencomputer
2-Spin-Zustände
Es ist
ψ ( S =0, M =0)
12
= ( s1 , s2 ) S = 0, M = 0
=
1
2
(
↑↓
− ↓↑
12
12
=
1
2
(
1
2
, 12
)
12
, − 12
1
1 2
2
− 12 , − 12
1
1 2
, 12
2
)
(6-16)
Beweis:
(6-17)
mit
σ1 ⋅σ 2
1
2
, + 12
1
1 2
, − 12
2
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎛ 0 −i 1 ⎞ ⎛ 0 −i 0 ⎞
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜⎛
⎞⎛ ⎞⎟
⎛
⎞⎛ ⎞ ⎛
⎞⎛ ⎞
= ⎜⎜
+ ⎜⎜
⎟ ⎜⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎜ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ i 0 ⎠⎝ 0 ⎠ ⎠1 ⎝ ⎝ i 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎠ 2
⎜
⎟ ⎜
⎟
1
1
1 1
⎝ σ1 x 2 ,+ 2 1 ⎠1 ⎝ σ 2 x 2 ,− 2 2 ⎠2
⎛ ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞
+⎜⎜
⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜
⎟⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 0 −1⎠⎝ 0 ⎠ ⎠1 ⎝ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠2
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −i ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠1 ⎝ 0 ⎠2 ⎝ i ⎠1 ⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠1 ⎝ −1⎠2
= 2 12 , − 12 1 12 , + 12 2 − 12 , + 12 1 12 , − 12
(1−i )
2
2
und
σ1 ⋅σ 2
1
2
, − 12
1
1 2
, 12
2
= 2 12 , + 12
, − 12
1
1 2
2
− 12 , − 12
1
1 2
, + 12
2
ist
σ 1 ⋅ σ 2 ψ ( S =0, M =0)
12
=
1
2
=
1
2
(σ
(2
⋅σ 2
1
1
2
, − 12
− 2 ,+
=
1
2
(3
= −3 ψ
1
2
, 12
1
1 2
, − 12
1
1 2
, + 12
2
1
2
1
2
1
1
2 1 2
, − 12
1
1 2
,−
2
− σ1 ⋅σ 2
− 12 , + 12
1
2 2
, + 12
2
+
1
2
,−
1
1 2
1
2
, − 12
1
1
2 1 2
− 3 12 , + 12
, − 12
1
1 2
,+
2
1
2 2
, − 12
2
1
1 2
, 12
2
)
)
)
( S = 0, M = 0 )
12
also:
2
Sˆ 2 = ( sˆ1 + sˆ2 ) =
S = 0, M = 0 )
Sˆ 2 ψ (
Sˆz ψ ( S =0, M =0)
12
12
1
4
(σ 1 + σ 2 )
=
⎛
⎞
= 14 ⎜ σ 12 + σ 22 + 2σ 1 ⋅ σ 2 ⎟
⎜
⎟
3
⎝ 3
⎠
=0
1
2
(6-18)
( 3 + 3 − 2 ⋅ 3) = 0
= ( sˆ1 + sˆ2 ) ψ ( S = 0, M =0)
=
Analog:
1 1
2 4
2
((
1
2
−
1
2
)
1
2
,
1
1
2 1 2
12
, − 12
2
− ( − 12 + 12 ) 12 , − 12
1
1 2
, 12
2
)
5. Streuung an Zentralpotentialen
95
ψ ( S =1, M =1)
ψ ( S =0, M =0)
ψ ( S =0, M =−1)
12
12
12
= ↑↑
=
1
2
(
= ↓↓
(6-19)
12
↑↓
12
+ ↓↑
12
)
12
Kein Nichtlokaler Austausch von Information
direkten Übermittlung von Informationen ohne Zeitverzug:
Alice in Amsterdam präpariert S=0,M=0 Spin-Zustand
sie schickt das zweite Spinquant an Bob nach Boston
sie nimmt am ersten Spinquant Messung (in Richtung a) vor
im Moment der Messung wird Quantenfunktion reduziert und eindeutige Richtung des ersten
Spins festgelegt
Instantan wird damit auch Richtung des zweiten Spins in Boston festgelegt (Entfernung spielt
keine Rolle)
Mißt Bob seinen Spin in derselben Richtung wie Alice, wird sein Spin genau die entgegengesetzte
Orientierung haben
aber er erhält keine Information über das Verhalten von Alice.
wird sich auch nicht ändern, wenn Bob eine andere Richtung für die Spinmessung wählt als Alice
Nichtlokalität feststellen durch Korrelation der Messungen von Alice und Bob (Einstein, Podolsky und Rosen in EPR-Experimente)
Alice in Amsterdam
ψ (0, 0 )
ψ (0 , 0 )
Bob in Boston
(↑ ,↑ )
1
12
2
(↑ )
(↑ )
1
12
2
Messung →
ψ 1,
ψ
2
=σx ψ
1
⎧⎪ ↑
⎪⎩ ↓
ψ 1=⎨
1
oder
ψ
2
1
⎧⎪ ↓
oder
=⎨ 2
⎪⎩ ↑ 2
=σx ψ 1
Fig. 6-1
Quantenbits
1 'Elektronenspin' kann mehr Information übertragen als ein klassisches Bit
Alice in Amsterdam möchte eine Zweibitnachricht an Bob in Boston übersenden
Bob in Boston präpariert einen Zweispinzustand |ψ>12
er sendet das erste Spinquant an Alice (keine Wechselwirkung mit Umgebung! Dekohärenz)
96
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Alice dreht Spin in B-Feld um i-Achs i ∈ {0,1, 2,3}
( keine Drehung, um x, y, z -Achse )
Alice sendet Spin zurück an Bob
er analysiert 2-Spin-Zustand und analysiert 'i'
also: Alice sendte Spin mit 2 Einstellungsmöglichkeiten (1 Bit), Bob erhält jedeoch 2 Bits
das ist Grundlage des Quantencomputers
ψ (0, 0 )
ψ (0, 0 )
Alice in Amsterdam
Bob in Boston
2 bit: i∈{0,..,3}
(↑ ,↑ )
(↑ )
(↑ )
1
12
1
2
2
12
Drehung um i-Achse
σ i(1) ψ (0,0 )
σ i(1) ψ (0,0 )
12
12
(↵ ↑ )
(↑ )
Transfer von
einem Qubit
, i ∈ {0,..,3}
1
2
(↵ ↑ ,↑ )
, i ∈ {0,..,3}
1
2
Analyse des Zustandes →
2 bit: i∈{0,..,3}
Bobs Analyse:
σ
(1)
0
σ
(1)
1
σ
(1)
2
σ
(1)
3
ψ
( 0,0 )
ψ
( 0,0 )
ψ
( 0,0 )
ψ
( 0,0 )
12
12
12
12
⎛1 0⎞
=⎜
⎟
⎝0 1⎠
(1)
⎛0 1⎞
=⎜
⎟
⎝1 0⎠
(1)
⎛ 0 −i ⎞
=⎜
⎟
⎝i 0 ⎠
ψ ( 0,0)
ψ ( 0,0)
(1)
⎛1 0 ⎞
=⎜
⎟
⎝ 0 −1 ⎠
(1)
12
12
ψ ( 0,0)
ψ ( 0,0)
=
1
2
{ ↑↓
12
=
1
2
( ↓↓
12
12
12
=i
=
1
2
1
2
{ ↓↓
{ ↑↓
− ↓↑
− ↑↑
12
12
(6-20)
12
}= ψ(
12
)= (ψ(
+ ↑↑
+ ↓↑
0,0 )
12
1, −1)
1
2
12
12
}=i (ψ(
1, −1)
1
2
}= ψ(
− ψ (1,1)
12
12
+ ψ (1,1)
)
12
)
1,0 )
12
12
Zur Analyse schickt man den 2-Spin-Zustand durch verschiedene orientierte inhomogene Magnetfelder.
5. Streuung an Zentralpotentialen
97
Quantenteleportation
Die Realisierung der Quantenteleportation durch die Innsbrucker Forschergruppe [BOUW97]
erregte in den öffentlichen Medien großes Interesse. Es wurde als erster Schritt zur Realisierung
des vom Raumschiff Enterprise bekannten 'beamen' interpretiert (Spoke: 'Beam me up Scotty,
there is no intelligence on earth!')
Experiment:
Alice in Amsterdam
(↑ ) ,
ψ ( A) 1 = α ↑ 1 + β ↓
1
ψ
(↑
123
P12( 0,0 ) ψ
(↑
123
1
1
,↑ 2
, ↑ 2 ),
ψ
Bob in Boston
1
(↑ , ↑ ) ,
2
ψ (0, 0 )
3
23
(↑ )
)
3
(↑ ),
( 0 ,0 )
3
12
Projektion → Teleportation:
ψ
( A)
1
ψ
( A)
→ ψ
3
( A)
3
Fig. 6-2
Alice präpariert Spinquant mit unbekanntem Zustand
ψ ( A) 1 = α ↑ 1 + β ↓
(6-21)
1
Bob präpariert zwei Spinquanten wieder in einen Singulettzustand
ψ ( 0,0 )
23
=
Bob schickt das Spinquant zwei an Alice
Gesamtquantenfeld:
1
2
{↑↓
23
− ↓↑
23
}
(6-22)
98
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
ψ b A g ψ b 0,0g
1
23
{ A + β B } 21 { AB − BA }
1
=
{α AAB − α ABA + β BAB − β BBA }
2
1
=
{α AAB − β BBA }
2
R F
I 1 F
1| 1
+
S− α G ABA + BAA JJ + 2 β GG BAB + ABB
2| 2 G
K H
T H
R F
I 1 F
1| 1
JJ + 2 β GG BAB − ABB
G
+
−
ABA
−
BAA
α
S
2| 2 G
K H
T H
1 b g
1 b g
=
ψ
αB −
ψ
βA
2
2
1
− ψ b g eα A − β B j
2
= α
1
1
23
(6-23)
23
123
123
123
123
123
123
123
123
123
+a
123
123
+b
123
123
−b
−a
123
I U|
JJ V
K |W
I U|
JJ V
K |W
1, −1
1,1
3
12
12
3
1, 0
3
12
−
1 b 0,0g
ψ
2
12
ψ b Ag
3
3
Dreiquantenfeld enthält eine Komponente mit drittem Quant im Zustand |ψ(A)>
Wenn Alice ihre zwei Spinquanten auf diesen Singulettzustand projiziert, reduziert Sie das Quantenfeld genau so, dass Quant drei in den ursprünglichen Zustand von Alicens Quant eins wechselt
instantaner Prozess: im Moment der Projektion wird Zustand teleportiert
Quantencomputer
Die faszinierenden Möglichkeiten von Alice und Bob können zum Bau von Quantencomputern
verwendet werden
ein Qubit mehr Information enthält als klassisches Bit
man entwickelt gerade quantenmechanische Logikschaltungen, bei denen die Superposition quantenmechanischer Zustände für hochgradig parallele Datenverarbeitung ausgenutzt wird
Rechenaufgabe: a + b = c; a, b ∈ {1 2} ⇒ c ∈ {2 3 4}
Klassischer Computer
⎧1 + 1 = 2
⎪1 + 2 = 3
⎪
vier Rechenschritte ⎨
⎪2 + 1 = 3
⎪⎩2 + 2 = 4
Quantencomputer
ρ ({11} , {12} , {21} , {2 2} )
Wahrscheinlichkeiten für zu
addierende Zahlenpaare
↓ Addition ↓
ρ ({2} , {3} , {3} , {4} )
Wahrscheinlichkeit für
Ergebniss der Addition
(6-24)
5. Streuung an Zentralpotentialen
99
Faktorisierungsalgorithmus von Shor (1994)
Zerlegung natürliche Zahlen in Primfaktoren ist wichtig für Kryptographie
Klassischer Computer mit 10^10 Divisionen/Sekunde braucht für Faktorisierung einer Zahl mit
100 Stellen mehr als 10 Milliarden Jahre (durch ausprobieren)
Durch Superposition der Rechenschritte könnte das Problem in sehr kurzer Zeit gelöst werden
Suchalgorithmus von Grover (1994)
Suche in Telefonbuch mit 1.000.000 Einträgen nach bestimmter Nummer:
Einzelne Einträge müssen nacheinander überprüft werden
Im Mittel brauch man N/2 Versuche (500.000 )
Mit Quantenalgorithmus von Grover benötigt man √N Versuche (1000)
Realisierung von Quantencomputer
Viele Möglichkeiten, z.B.
Ionenfallen:
einzelne Ionen (Bits) werden durch Felder (LASER) in Raumbereiche gesperrt und beeinfluss
(Tunneln,…)
Problem ist Kühlung (fast 0 Grad), möglich für
etwa 10-20 Ionen
Kernspinresonanz:
Quantencomputer besteht aus einzelnem Molekül
mit etwa 10 Atomen
Zustände durch Spinflips der Atome
5. EPR-Experimente und die Bell‘schen Ungleichungen
Unschärfe der Quantenmechanik führt zur Statistik
Einstein: Gott würfelt nicht, Wechselwirkung ist kausal (lokal), Quantenmechanik ist unvollständig (verborgene Parameter)
Experimente zur Klärung vorgeschlagen von Einstein, Podolsky und Rosen (EPR) 1935
Berühmtes Experiment: Aspect et.al 1983
Mathematische Behandlung: Ungleichungen von Bell 1987
100
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
Experiment
α1 ↑ 1 + β1 ↓
1
ψ 12( 0,0)
←⎯
⎯
⎯⎯
→ α 2 ↑ + β2 ↓
2
Singulett Zustand
zerfällt
Messung A
2
Messung B
Abstrakte Beschreibung der Analyse
(1)
⎧
⎪+1 für sa = ↑
Messung A : A a , μa , b , μb , λA , λB , λ ) = ⎨
(1)
⎪⎩−1 für sa = ↓
verborgene
Polarisation &
(
Parameter
Geräteparameter
⎧+1 für sb(2) = ↑
⎪
Messung B : B a , μa , b , μb , λ A , λB , λ = ⎨
(2)
⎪⎩−1 für sb = ↓
(
)
!
!
(
)
Bell: lokaler Kontext: A = A ( a , μa , λ A , λ ) , B = B b , μb , λB , λ .
Mittelung über Geräteparameter: A ( a , λA , λ ) = PA ( μ A ) A ( a , μ A , λA , λ ) d μ A
∫
(
)
(
)
B b , λB , λ = ∫ PB ( μ B ) B b , μ B , λB , λ d μ B
Verteilungen
(
)
A ( a , μ A , λA , λ ) = B b , μ B , λB , λ = ±1 = 1 ⇒
A ( a , λA , λ ) ≤ 1 und
(
)
B b , λB , λ ≤ 1
Spin-Korrelationen mit Mittelung über verborene Parameter:
( )
(
)
P a , b = AB = ∫ P ( λA , λB , λ ) A ( a , λ A , λ ) B b , λB , λ d λA d λB d λ
→ Bellsche Ungleichung:
( )
( ) ( )
P a , b − P ( a , c ) + P d , c + P d , b ≤ 2.
Beispiele für Spinkorrelationen
Messreihe:
A : 1 1 −1 1
B : 1 −1 1 −1
C : −1 −1 1 −1
Korrelationen:
AA =
1
4
AB =
1
4
AC =
1
4
(1⋅1 + 1⋅1 + ( −1) ⋅ ( −1) + 1⋅1) = 1
(1⋅1 + 1⋅ ( −1) + ( −1) ⋅1 + 1⋅ ( −1) ) = −
(1⋅ ( −1) + 1⋅ ( −1) + ( −1) ⋅1 + 1⋅ ( −1) ) = −1
1
4
Um Bereiche zu finden, für welche die Bell'schen Ungleichungen verletzt werden, wählen wir die
Winkel α, β und γ wie folgt
5. Streuung an Zentralpotentialen
101
Also:
Quantenmechanik und Aspect-Experimente sind mit lokalem Kontext (verborgenen Parametern)
nicht verträglich
Quantenphänomene sind nichtlokal (nichtklassisch)
Quantenmechanische Berechnung der Spinkorrelation
( )
P a , b = S = 0, S z = 0 eˆ( a ) ⋅ σ ( A)eˆ(b ) ⋅ σ ( B ) S = 0, S z = 0
∈ ] − 1,1[ .
(6-25)
Zur Berechnung verwenden wir die Definition
a+ =
1
2
(a
x
+ ia y ) , a− =
1
2
(a
x
− ia y )
(6-26)
und erhalten
a ⋅ b = (a− + a+ )(b− + b+ ) − (a− − a+ )(b− − b+ ) + az bz
(6-27)
= (a−b− + a+b+ + a−b+ + a+b− ) − (a−b− + a+b+ − a−b+ − a+b− ) + az bz
= 2(a−b+ + a+b− ) + az bz ,
oder mit den Spinmatrizen
a ⋅ σ = 2(a−σ + + a+σ − ) + azσ z .
Spin-Flip-Matrizen:
(6-28)
102
Kurt Bräuer: Quantenmechanik für Lehramtskandidaten
⎛
⎞
⎜
1 ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 −i ⎞ ⎟ ⎛ 0
σ+ = ⎜⎜
⎟+i⎜
⎟⎟ = ⎜
2 ⎜⎝1 0⎠ ⎝ i 0 ⎠⎟ ⎝0
⎜ σ
⎟
σxy
x
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
1 ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 −i ⎞ ⎛ 0
σ− = ⎜⎜
⎟−i⎜
⎟⎟ = ⎜
2 ⎜⎝1 0⎠ ⎝ i 0 ⎠⎟ ⎝1
⎜ σ
⎟
σxy
x
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞
σz = ⎜
⎟,
⎝ 0 −1⎠
(6-29)
1⎞
⎟,
0⎠
⎧
⎪σ + ↑ = 0
⎨
⎪⎩σ + ↓ = ↑
0⎞
⎟,
0⎠
⎧σ − ↑ = ↓
⎪
⎨
⎪⎩σ − ↓ = 0
⎧
⎪σ z ↑ = ↑
⎨
⎪⎩σ z ↓ = − ↓
Damit berechnen wir zunächst die Matrixelemente
M ↑↓ ,↑↓ = ↑↓ eˆ(a ) ⋅ σ ( A)eˆ(b ) ⋅ σ ( B ) ↑↓ = −ez(a ) ⋅ ez(b ) ,
M ↓↑ ,↓↑ = ↓↑ eˆ(a ) ⋅ σ ( A)eˆ(b ) ⋅ σ ( B ) ↓↑ = −ez(a ) ⋅ ez(b ) ,
M ↑↓ ,↓↑ = ↑↓ eˆ(a ) ⋅ σ ( A)eˆ(b ) ⋅ σ ( B ) ↓↑ = 4e+( a )e−( b ) ,
M ↓↑ ,↑↓ = ↓↑ eˆ(a ) ⋅ σ ( A)eˆ(b ) ⋅ σ ( B ) ↑↓ = 4e−( a )e+( b ) .
Damit wird insgesamt
(6-30)
5. Streuung an Zentralpotentialen
103
( )
(6-31)
P a , b = S = 0, S z = 0 eˆ ( a ) ⋅ σ (1) eˆ ( b ) ⋅ σ ( 2) S = 0, S z = 0
1
(↑↓ − ↓↑) eˆ ( a ) ⋅ σ (1) eˆ (b) ⋅ σ (2) (↑↓ − ↓↑)
2
1
= M ↑↓,↑↓ + M ↓↑,↓↑ − M ↑↓,↓↑ − M ↓↑,↑↓
2
= −eˆ z( a ) ⋅ eˆ z( b ) − 2eˆ+( a ) ⋅ eˆ−(b ) − 2eˆ−( a ) ⋅ eˆ+( b )
=
(
)
= −eˆ ( a ) ⋅ eˆ ( b )
( )
= − cos a , b .