1M - Institut für Theoretische Physik

S U P E R S Y M M E T R I S C H E E RW E I T E R U N G
DES P T -SYMMETRISCHEN
D O P P E L- D E LTA - P O T E N T I A L S
nikolas abt
bachelorarbeit
prüfer: prof. dr. günter wunner
..
. institut für theoretische physik
universität stuttgart
pfaffenwaldring ,  stuttgart
Zur Erkenntnis der Dinge braucht man nur zweierlei in Betracht zu ziehen, nämlich
uns, die wir erkennen, und die Dinge selbst, die es zu erkennen gilt.
— René Descartes, 
I N H A LT S V E R Z E I C H N I S
 einleitung
. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



 P T -symmetrie

. P T -Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. P T -symmetrische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 bose-einstein-kondensate
. Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 supersymmetrie
. Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . .
.. SuSy-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
.. SuSy-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . .
. Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . .
.. Kanonische Darstellung . . . . . . . . . . .
.. Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . .
.. Übergang in die Ortsdarstellung . . . . . .
.. Konstruktion des Superpotentials . . . . . .
.. Ein einfaches Beispiel: Das Kastenpotential
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










 doppel-delta-potential
. Analytische Lösung des Doppel-Delta-Potentials
. Numerische Lösung des Doppel-Delta-Potentials
.. GPE ohne Nichtlinearität . . . . . . . . . .
.. GPE mit Nichtlinearität . . . . . . . . . .
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




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




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 supersymmetrische erweiterung des doppel-delta-potentials
. Entfernen des Grundzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Entfernen des angeregten Zustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Verhalten an der Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Variante der Generierung des Superpotentials . . . . . . . . . . . . .
 susy-erweiterung des nichtlinearen doppel-delta-potentials 
. Spektrum mit Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Variation des Superpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 zusammenfassung

v
vi
Inhaltsverzeichnis
literaturverzeichnis

danksagung

1
EINLEITUNG
.
motivation
Die Supersymmetrie verknüpft die Welt der Fermionen mit der der Bosonen. Dabei wird jedem Teilchen ein supersymmetrischer Partner zugeordnet. Der Partner
eines Fermions ist ein Boson, der Partner eines Bosons ist ein Fermion. Im Standardmodell der Teilchenphysik wäre der supersymmetrische Partner des Neutrinos
das Sneutrino, der supersymmetrische Partner eines Gluons wäre ein Gluino. Die
Theorie der Supersymmetrie ist jedoch viel allgemeiner anwendbar. Man kann den
Formalismus auf die Quantenmechanik ausdehnen und zwei Systeme miteinander
verknüpfen.
Der letzte Aspekt steht im Zentrum dieser Bachelorarbeit. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik verknüpft die Supersymmetrie zwei Systeme mit verschiedenen Potentialen V1 und V2 , die nahezu dasselbe Spektrum besitzen. Bis auf den
Grundzustand von V1 treten alle Zustände mit identischen Energien aber unterschiedlichen Wellenfunktionen in V2 auf. Dies kann man auch so auffassen, dass
man über den Formalismus der Supersymmetrie aus einem gegebenen Quantensystem mit einem Potential V1 ein zweites mit einem Potential V2 bestimmen kann, in
dem der ehemalige Grundzustand entfernt wurde, aber alle anderen Energieeigenwerte unverändert vorkommen. Der erste angeregte Zustand aus dem System mit
V1 wird zum Grundzustand des Systems mit V2 .
Ganz neue Perspektiven des Supersymmetrie-Formalismus ergeben sich in nichthermiteschen P T -symmetrischen Quantensystemen. Diese zeichnen sich dadurch
aus, dass ihr Hamiltonoperator symmetrisch unter gleichzeitiger Raum-Zeit-Spiegelung ist. Trotz ihrer Nichthermitizität ermöglichen sie reelle Energieeigenwerte
und sogar vollständig reelle Spektren []. In der Physik lassen sich diese Eigenschaften für konkrete Anwendungen nutzen. Insbesondere kann man ausnutzen,
dass in P T -symmetrischen Systemen ein Partnersystem V2 gefunden werden kann,
in dem ein beliebiger Zustand entfernt wurde. Miri et al. haben gezeigt, dass diese
Zusammenhänge es erlauben, in einem P T -symmetrischen optischen Wellenleiter
einzelne Moden gezielt zu entfernen []. Dies kann z.B. genutzt werden, um störende Moden zu beseitigen, ohne den Transport der erwünschten zu behindern.
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der supersymmetrischen Erweiterung
des P T -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials im Rahmen der Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensats anhand der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ausgehend
von diesem System werden zuerst dessen Spektrum und die Eigenzustände berechnet und diskutiert. Diese Ergebnisse werden anschließend dazu verwendet, um den
Supersymmetrie-Formalismus explizit anzuwenden und das Spektrum sowie den
Zustand des Partnerpotentials zu erhalten. Ziel ist es, zu zeigen, dass sich der Formalismus der Supersymmetrie auch in diesem System eignet, um gezielt einzelne
Eigenzustände zu entfernen.


Einleitung
Das gewählte System beschreibt den idealisierten Fall eines in einer Doppelmulde gefangenes Bose-Einsein-Kondensats, bei dem auf einer Seite Atome eingekoppelt und auf der anderen Seite ausgekoppelt werden. Wie gezeigt werden konnte,
eignet sich dieses System sehr gut für den ersten experimentellen Nachweis eines
Quantensystems mit P T -Symmetrie []. Das besondere Interesse an der Supersymmetrie besteht darin, dass in der nichtlinearen Gross-Pitaevskii-Gleichung bei einer Verstärkung des Ein- und Auskoppelprozesses vom stationären Grundzustand
zwei P T -gebrochene Lösungen abzweigen, die eine dynamische Instabilität in das
System einführen. Wenn es gelingen könnte, diese Zustände zu entfernen, ohne das
restliche Spektrum zu stören, wäre das im Experiment von großem Vorteil.
Aufgabe dieser Bachelorarbeit ist es, den ersten Schritt auf dem Weg zum Entfernen der abzweigenden P T -gebrochenen Lösungen durchzuführen. Dafür wird der
2
Fall ohne Gross-Pitaevskii-Nichtlinearität ∝ ψ behandelt, für den die nichtrelativistische Supersymmetrie entwickelt wurde. Es wird gezeigt, dass die Anwendung
des Supersymmetrie-Formalismus tatsächlich genutzt werden kann, um beliebige
P T -symmetrische oder P T -gebrochene Zustände dieses Systems zu entfernen. Dabei wird auf Besonderheiten der Anwendung der Supersymmetrie auf das singuläre Delta-Potential eingegangen. Des Weiteren wird kommentiert, wie mögliche
Erweiterungen auf nichtlineare Systeme aussehen könnten. Eine Methode zur Bestimmung des Potentials V2 , die auch für Systeme mit schwacher Nichtlinearität
gute Näherungslösungen produziert, wird entwickelt und es wird gezeigt, warum
sie für starke Nichtlinearitäten nicht anwendbar ist.
.
aufbau der arbeit
Zu Beginn werden in Kapitel  die P T -Symmetrie und die Eigenschaften von P T symmetrischen Systemen erläutert, da diese notwendig sind, um Effekte wie das
Auftreten von rein reellen Eigenwerten in nicht-hermiteschen Quantensystemen
zu verstehen. Anschließend wird in Kapitel  die Gross-Pitaevskii-Gleichung hergeleitet, die die Grundlage für die Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensats
in einem externen Potential bietet. Daraufhin behandelt Kapitel  die Theorie der
Supersymmetrie und schildert den Übergang der Bose-Fermi-Supersymmetrie zur
supersymmetrischen Quantenmechanik, die Gegenstand dieser Arbeit ist. Die beiden folgenden Kapitel beschäftigen sich ausschließlich mit der Präsentation der numerischen Ergebnisse für das Doppel-Delta-Potential ohne Nichtlinearität. Zuletzt
wird in Kapitel  darauf eingegangen, welche Auswirkungen die Nichtlinearität auf
die Anwendung des Supersymmetrie-Formalismus hat.
2
P T -SYMMETRIE
In dieser Arbeit soll ein P T -symmetrisches Quantensystem im Hinblick auf die supersymmetrische Erweiterung untersucht werden. Dafür ist es notwendig, grundlegende Aspekte der P T -Symmetrie zu kennen. Dieses Kapitel wird einige davon
aufgreifen und erläutern. Die Darstellungen folgen teilweise denen aus [–].
.
P T -operator
Für quantenmechanische Zustände kann der Paritätsoperator P eingeführt werden,
dessen Anwendung auf den Zustand eine Raumspiegelung bewirkt. In der Ortsdarstellung entspräche dies dem Ersetzen der Variable x durch −x. Die Forderung
lautet
!
!
P |xi = | − x i ,
P |p i = | − p i .
(.)
Daraus folgt zum einen, dass dieser Operator sein eigenes Inverses ist P P = 1,
zum anderen kann seine Wirkung auf den Orts- und Impulsoperator in Form einer
Kommutatorrelation formuliert werden als
{P , x̂} = {P , p̂ } = 0 ,
(.)
wobei {·, ·} den Antikommutator darstellt. Ebenso kann man den Zeitumkehroperator T einführen, der eine Zeitumkehr zur Folge hat. Für diesen Operator soll gelten
!
T |x i = |x i ,
!
T |p i = | − p i .
(.)
Auch er ist sein eigenes Inverses T T = 1. Für ihn gelten die Kommutatorrelationen
[ T , x̂ ] = {T , p̂} = 0 .
(.)
Da noch die explizite Wirkung auf die Zeit fehlt, betrachten wir die Wirkung auf
die imaginäre Einheit. Unter Ausnutzung der Vertauschungsrelation für Ort und
Impuls folgt
(.)
T i h̄T = T ( x̂ p̂ − p̂ x̂ ) T = − x̂ p̂ + p̂ x̂
= −i h̄ .
(.)
Diese komplexe Konjugation ist äquivalent zu einer Zeitumkehr, da beispielsweise
die Zeitentwicklung durch e −i E t / h̄ beschrieben wird. Die Kombination von Paritätsund Zeitumkehroperator führt zum P T -Operator, der auch direkt durch die Relationen
{P T , x̂ } = [ P T , p̂ ] = {P T , i h̄}
(.)(.)
=
(.)
0
(.)


P T -Symmetrie
definiert werden kann.
Für die Eigenwerte und Eigenzustände betrachten wir die zweifache Anwendung
auf einen quantenmechanischen Zustand |ψi, der Eigenzustand zum P T -Operator
sein soll. Die doppelte Anwendung muss gemäß Gleichung (.) wieder den alten
Zustand hervorbringen.
(.)
!
P T P T |ψi = P T (λ|ψi) = λ∗ P T |ψi = |λ|2 |ψi = |ψi
⇒ λ = eiϕ
(.)
Das heißt, die Eigenwerte des P T -Operators sind Elemente der komplexen Zahlen
mit Betrag eins. Da die globale Phase in der Schrödingergleichung frei wählbar ist,
betrachten wir den ebenfalls P T -symmetrischen Zustand |ψ̃i = eiα |ψi.
P T |ψ̃i = P T eiα |ψi
= e−iα P T |ψi
= e−iα eiϕ e−iα |ψ̃i
P T |ψ̃i = ei ϕ̃ |ψ̃i
(.)
Es gilt ϕ̃ = ϕ − 2α. Das heißt, durch die freie Wahl der globalen Phase kann man
stets einen Zustand finden, für den der P T -Operator den Eigenwert eins hat. Dadurch wird erreicht, dass die Anwendung des P T -Operators den Zustand invariant lässt. Man nennt diese Zustände exakt P T -symmetrisch. Wird die vorherige
Aussage umformuliert, heißt das, dass die gleichzeitige komplexe Konjugation und
Raumspiegelung wieder denselben Zustand ergibt und man erhält in der Ortsdarstellung
ψ (x ) = ψ ∗ (−x ) .
.
(.)
P T -symmetrische systeme
Ein quantenmechanisches System ist genau dann P T -symmetrisch, wenn der Kommutator zwischen dem Hamiltonoperator H und dem P T -Operator verschwindet.
Der Hamiltonoperator ist gegeben durch H = p̂ 2 /2m + V ( x̂ ) . Damit ergibt sich
!
!
p̂ 2
p̂ 2
+ V ( x̂ ) − P T
+ V ( x̂ ) P T
[ H, P T ] P T =
2m
2m
(.)
= V ( x̂ ) − P T V ( x̂ ) P T
(.)
!
= V ( x̂ ) − V ∗ ( − x̂ ) = 0
⇒ V ( x̂ ) = V ∗ ( − x̂ ) .
(.)
Das bedeutet, ein Hamiltonoperator ist immer genau dann P T -symmetrisch, wenn
der Realteil des Potentials eine gerade Funktion im Ort und der Imaginärteil eine
ungerade Funktion im Ort ist.
An dieser Stelle soll explizit betont werden, dass die Forderung nach einem hermiteschen Hamiltonoperator in der Quantenmechanik essentiell ist, da sie sofort

P T -Symmetrie
V
2
ψ Abb. .: Doppelmulden-Potential (grün) eines großen hermiteschen Systems mit einer möglichen
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wellenfunktion (rot). Das relevante System befindet sich im
Kasten, die zugehörige lokale Wellenfunktion und das lokale Potential sind die durchgezogenen
Linien.
auf reelle, also messbare, Eigen- und Erwartungswerte führt und die Normerhaltung garantiert. Nicht-hermitesche Operatoren haben sich jedoch in der Beschreibung offener Quantensysteme als sehr erfolgreich erwiesen. Mit nicht-hermiteschen
Hamiltonoperatoren können komplexe Energien erreicht werden, die eine effektive
Beschreibung zeitabhängiger Phänomene mit der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ermöglichen. Ein Beispiel ist der Zerfall einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit aus einem lokalen Raumbereich. Dazu nehmen wir ein physikalisches System mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator H an, dessen Eigenzustände φ n
und Energien n bekannt sein sollen. Addieren wir i Γ /2 zum Potential, so lautet
die neue Schrödingergleichung []
i
i h̄∂t ψ (x, t ) = H + Γ ψ (x, t ) ,
2
(.)
welche durch
ψn (x, t ) = φn (x )e−in t/h̄ eΓ t/2h̄
(.)
gelöst wird. Betrachtet man das Betragsquadrat
2
2 ψn (x, t ) = φn (x ) eΓ t/h̄ ,
(.)
so sieht man direkt, dass ein negatives Γ genau den Effekt einer abnehmenden
Wahrscheinlichkeitsamplitude hervorruft. Zur Veranschaulichung betrachten wir
das für uns relevante System, welches in ein größeres hermitesches System eingebettet ist, siehe Abbildung .. Die Dynamik im großen System (gestrichelte und
durchgezogene Linien) erlaubt einen Wahrscheinlichkeitsstrom aus der linken in
die rechte Mulde. Das lokale System (durchgezogene Linien) sieht dann nur die abnehmende Amplitude, was durch ein rein reelles Potential nicht beschrieben werden kann, da der äußere Bereich nicht zugänglich ist. Fügt man nun dem Potential
einen Imaginärteil iΓ /2 wie in Gleichung (.) mit Γ < 0 hinzu, so erhält man eine
korrekte Beschreibung des Systems [].

P T -Symmetrie
Jedoch gibt es Klassen von nicht-hermiteschen Hamiltonoperatoren, die ein rein
reelles Energiespektrum aufweisen. Dies bedeutet im Umkehrschluss, dass nichthermitesche Hamiltonoperatoren unter gewissen Bedingungen geeignet sein könnten, auch gebundene Zustände zu beschreiben []. Insbesondere können nicht-hermitesche P T -symmetrische Hamiltonoperatoren physikalische Systeme beschreiben, bei denen Gewinn- und Verlustterme auftreten, wie gleich ersichtlich werden
wird. In der Optik wurden P T -symmetrische Systeme mit komplexem Brechungsindex experimentell nachgewiesen [], doch das experimentelle Pendant in einem
Quantensystem fehlt. Jedoch ist die Untersuchung, ob Bose-Einstein-Kondensate
sich dafür eignen, Teil aktueller Forschungen [, ] und auch Gegenstand dieser
Arbeit.
Möchte man eine physikalische Interpretation eines komplexen Potentials ange 2
ben, kann die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte % = ψ in der
Ortsdarstellung betrachtet werden.
i ∗
ψ Hψ − ψH† ψ ∗
h̄
"
!
i
h̄2 2
∗
=− ψ −
∇ + Re[V ] + iIm[V ] ψ
h̄
2m
%̇ = −
! #
h̄2 2
∇ + Re[V ] − iIm[V ] ψ ∗
−ψ −
2m
"
#
i h̄
2
∗
∗
= −∇ ·
(ψ∇ψ − ψ ∇ψ ) + %Im[V ]
2m
h̄
(.)
Dies entspricht der Kontinuitätsgleichung
%̇ − ∇ · j = 0 ,
j=
h̄
(ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ )
2mi
(.)
aus der hermiteschen Quantenmechanik, wobei zusätzlich der Term 2%Im[V ]/h̄
auftritt, der je nach Vorzeichen von Im[V ] als Quelle oder Senke wirkt. Eine Möglichkeit wäre dabei das kohärente Ein- und Auskoppeln von Atomen in einem BoseEinstein-Kondensat []. Im Folgenden sollen weitere Eigenschaften nicht-hermitescher P T -symmetrischer Quantensysteme betrachtet werden. Gegeben seien zwei
Zustände |ψi und |φi zum Hamiltonoperator H mit den Eigenwerten ψ und φ .
Für das Skalarprodukt der beiden Eigenzustände gilt dann
1
hφ|H|ψi
ψ
1
= hφ| H† + 2iIm[V (x̂ )] |ψi
ψ
φ
2i
= hφ|ψi + hφ|Im[V (x̂ )]|ψi
ψ
ψ
hφ|ψi =
oder
hφ|ψi =
2i
hφ|Im[V (x̂ )]|ψi .
ψ − φ
(.)

P T -Symmetrie
Das heißt, die Zustände sind, bis auf zufällige Ausnahmen, nur dann orthogonal,
wenn der Imaginärteil des Potentials verschwindet.
Für die zeitliche Ableitung der Norm ergibt sich
d
hψ|ψi = hψ̇|ψi + hψ|ψ̇i
dt
1
= hψ| H − H† |ψi
i h̄
2
= hψ|Im[V (x̂ )]|ψi .
h̄
(.)
Auch hier gilt, wie schon für die Orthogonalität, dass die Normerhaltung nur für
hermitesche Systeme garantiert ist. Will man die P T -Symmetrie als eine globale
Quantentheorie formulieren, muss damit ein neues Skalarprodukt eingeführt werden, das die Orthogonalität und Normerhaltung gewährleistet. Bender, Brody und
Jones schlugen daher hφ|CP T |ψi als Skalarprodukt vor [], wobei C die Vertauschungsrelationen
C2 = 1 ,
[C, H] = [C, P T ] = 0
(.)
erfüllen muss. Jedoch stößt man mit dieser Formulierung der Quantenmechanik
auf einen Widerspruch zur Relativitätstheorie, nämlich dass raumartig getrennte
Ereignisse keinen kausalen Zusammenhang haben können [].
Eine weitere Konsequenz in einem P T -symmetrischen Quantensystem ist, dass
ein P T -symmetrischer Zustand |ψi stets nur reelle Eigenwerte aufweist. Der Zustand |ψi soll dabei die Eigenwertgleichung H|ψi = |ψi erfüllen. Dann gilt
HP T |ψi = ∗ P T |ψi
Heiϕ |ψi = ∗ eiϕ |ψi
H|ψi = ∗ |ψi .
(.)
Es muss also = ∗ erfüllt sein.
Geht man einen Schritt weiter und betrachtet ein nichtlineares System, bei dem
der Hamiltonoperator selbst vom Betrag des aktuellen Zustands abhängt, kann allgemein gezeigt werden [], dass diese Systeme folgende Eigenschaften erfüllen.
. Die Eigenwerte sind entweder reell oder treten als komplex konjugierte Paare
auf.
. Die Eigenwerte sind genau dann reell, wenn der Zustand selbst P T -symmetrisch ist.
. Wenn |ψi ein Eigenzustand zu ist, dann ist P T |ψi ein Eigenzustand zu ∗ .
Die letzte und die erste Eigenschaft sind in Kombination besonders interessant.
Kennt man einen Eigenzustand zum komplexen Eigenwert , so kennt man automatisch einen weiteren Eigenzustand, der sich durch Anwendung des P T -Operators
ergibt, da es wegen der Eigenschaft  auch die Energie ∗ geben muss.
3
B O S E - E I N S T E I N - K O N D E N S AT E
Eine Grundlage für diese Arbeit bietet der Vorschlag von Klaiman et al. [], dass
sich Bose-Einstein-Kondensate dazu eignen könnten, einen Nachweis für die P T Symmetrie in Quantensystemen zu finden. Um Bose-Einstein-Kondensate zu beschreiben, kann man auf die Gross-Pitaevskii-Gleichung zurückgreifen, deren Herleitung hier geschildert werden soll.
.
bose-einstein-kondensation
Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin und unterliegen nicht dem PauliVerbot, sie können also in einem Ensemble alle denselben Einteilchenzustand besetzen. Dies wird von der Bose-Einstein-Statistik für ein ideales Bose-Gas und der
zugehörigen Einteilchen-Verteilungsfunktion für die Energieniveaus bei der Temperatur T durch
f ( ) =
1
e(−µ)/kT
−1
(.)
mit dem chemischen Potential µ und der Boltzmann-Konstante k beschrieben. Für
sehr niedrige Temperaturen wird die Besetzungswahrscheinlichkeit des Grundzustands immer größer, für T = 0 K befinden sich alle Bosonen im selben quantenmechanischen Zustand. Wie die statistische Behandlung zeigt [], setzt der Phasenübergang von einem Bose-Gas in einer Falle zu einem Kondensat schon bei einer
kritischen Temperatur Tc > 0 K ein. Definiert ist Tc als die höchste Temperatur, bei
der eine makroskopische Besetzung des energieärmsten Zustands auftritt. Für ein
ideales Bose-Gas in einer harmonischen Falle lautet diese
Tc =
2π
h̄2 n2/3
,
ζ 3/2 (2/3) mk
(.)
wobei n die Anzahldichte, m die Masse der Teilchen in der Falle und ζ (x ) die Riemannsche Zetafunktion ist. Diese Temperatur kann auch dadurch motiviert werden, dass die thermische de Broglie-Wellenlänge λT mit dem mittleren Teilchenabstand, der proportional zu n−1/3 ist, vergleichbar werden soll. Ist λT in der Größenordnung von n−1/3 , setzt die Bose-Einstein-Kondensation ein [].
.
streutheorie
In diesem Kapitel soll kurz darauf eingegangen werden, welche Wechselwirkungen
zwischen Atomen bei niedrigen Temperaturen eine Rolle spielen. Dazu wird auf
die elementare Streutheorie eingegangen und der Begriff der Streulänge eingeführt.
Die Darstellung folgt der aus [, ].


Bose-Einstein-Kondensate
Die Abstände von Atomen in kalten verdünnten Gasen sind in der Regel wesentlich größer als die Reichweite der interatomaren Wechselwirkung, weswegen man
sich darauf beschränken kann, die dominante Wechselwirkung zweier Teilchen zu
betrachten. Die Physik der Wechselwirkung wird dann durch die Streutheorie beschrieben. Nimmt man an, dass eine einfallende ebene Welle mit Wellenvektor k
an einem Zentralpotential gestreut wird, muss diese bei großen Abständen vom
Streuzentrum die Form
ψ = eikr + f (ϑ )
eikr
r
(.)
annehmen, wobei f (ϑ ) die Streuamplitude bezeichnet und ϑ der Winkel zwischen
einfallender Welle und der Beobachtungsrichtung ist. Eine ebene Welle kann stets
in Legendre-Polynome Pl (cos ϑ ) zerlegt werden, wobei l den Drehimpuls bezeichnen soll. In einem Zentralpotential ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße, also
muss sich auch die Linearkombination der einfallenden ebenen Welle und der gestreuten Kugelwelle wieder zerlegen lassen. Man findet, dass sich die Streuamplitude durch
f (ϑ ) =
∞
1X
(2l + 1)eiδl sin (δl ) Pl (cos ϑ )
k
(.)
l =0
beschreiben lässt, wobei man δl als Streuphasen bezeichnet. Die Streuphase steht
in direktem Zusammenhang mit dem Streuquerschnitt
Z1
σ = 2π
−1
∞
2 4π X
f
d (cos ϑ ) (ϑ ) = 2
(2l + 1) sin2 δl .
k
(.)
l =0
Weil die Art der Wechselwirkung für neutrale Teilchen durch das Lennard-JonesPotential beschrieben wird und dieses ∝ r −6 ist, kann man alle Beiträge l > 0 vernachlässigen []. Diese genäherte Beschreibung wird auch s-Wellen-Streuung genannt. Für nicht unterscheidbare Teilchen muss noch die zugehörige Statistik berücksichtigt werden und man erhält für den Streuquerschnitt
σ = 8πa2 ,
(.)
wobei man a als Streulänge bezeichnet. Für positive Streulängen erhält man eine
repulsive, für negative Streulängen eine attraktive Wechselwirkung. Da die interatomare Wechselwirkung stark lokalisiert ist, kann man für sie ein Pseudopotential
der Form
U (r1 , r2 ) =
4πh̄2 a
δ (r1 − r2 )
m
ansetzen, welches denselben Prozess beschreibt.
(.)

Bose-Einstein-Kondensate
.
gross-pitaevskii-gleichung
Geht man einen Schritt weiter und beschreibt nicht nur die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen, sondern beispielsweise ein Bose-Einstein-Kondensat mit N
Teilchen und kurzreichweitiger Wechselwirkung, so lautet der Hamiltonoperator
des Vielteilchensystems
#
N "
X
h̄2 2
4πh̄2 a X
−
H=
∇i + V (ri ) +
δ ( ri − rj ) .
2m
m
i =1
(.)
i<j
Der Hamiltonoperator setzt sich aus der kinetischen Energie, der Wechselwirkung
zwischen den Teilchen, welche durch die Deltafunktion realisiert wird, und einem
externen Potential V zusammen. Da sich Teilchen in der kondensierten Phase alle
in ein und demselben Zustand φ befinden, kann man für die Gesamtwellenfunktion den Hartree-Ansatz
N
Y
φ ( ri )
(.)
mit der Nebenbedingung
Z
2
d3 r φ = 1
(.)
Ψ ({ri }) =
i =1
wählen. Die Energie des Systems erhält man durch bilden des Erwartungswerts
hφ|H|φi des Hamiltonoperators. Diese lautet
Z
E=N
"
#
2
2 N − 1 4πh̄2 a 4
h̄2 ∇φ(r) + V (r) φ(r) +
φ(r) .
d r
2m
2
m
3
(.)
√
Weiterhin wählt man ψ (r) = N φ(r), nähert N − 1 ≈ N , was für N 1 gerechtfertigt ist, und fasst die Gleichung (.) als Energiefunktional E [ψ ] auf. Die Nebenbedingung ist dann äquivalent zur Teilchenerhaltung
Z
2
N = d3 r ψ .
(.)
Nun wird die freie Energie F = E −µN mit dem Lagrangemultiplikator µ minimiert,
um die Bestimmungsgleichung für den Grundzustand des Systems zu finden. Das
Resultat ist die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE),
" 2
#
2
h̄ 2
4πh̄2 a ψ (r) ψ (r) = µψ (r) .
−
∇ + V (r) +
2m
m
(.)
Da man auch eine zeitabhängige GPE formulieren kann, aus welcher sich für stationäre Zustände die zeitunabhängige GPE ergibt, eignet sich diese ebenfalls zur
Beschreibung angeregter Zustände [, ].

Bose-Einstein-Kondensate
Da in dieser Arbeit die eindimensionale GPE numerisch behandelt wird, soll hier
noch kurz die Transformation auf dimensionslose Koordinaten dargelegt werden.
Dazu geht man von
#
" 2
2
h̄ 2
4πh̄2 a ψ
(x̃ ) ψ (x̃ ) = µψ (x̃ )
−
∂ + Ṽ (x̃ ) +
2m x̃
m
(.)
aus und wählt anschließend x̃ = lx. Es muss beachtet werden, dass sich dabei auch
die Ableitung transformiert. Multipliziert man Gleichung (.) noch mit 2ml 2 /h̄2 ,
erhält man die finale Form
2 (.)
−∂2x + V (x ) + g ψ (x ) ψ (x ) = −κ2 ψ (x ) ,
wobei V (x ) = 2ml 2 Ṽ (lx )/h̄2 , g = 8πal 2 und κ2 = −2ml 2 µ/h̄2 ist.
4
SUPERSYMMETRIE
In der Physik spielen Symmetrien eine wichtige Rolle. Sie erleichtern die Beschreibung eines physikalischen Systems und führen zu Erhaltungssätzen []. In diesem
Kapitel wollen wir eine Symmetrie kennenlernen, die Transformationen zwischen
bosonischen und fermionischen Zuständen beschreibt, die Supersymmetrie (SuSy).
Die Idee, eine gemeinsame Theorie für Bosonen und Fermionen aufzustellen, wurde erstmals in den er Jahren formuliert und entspringt der Quantenfeldtheorie
[]. Dort wurde der Formalismus eingeführt, um elegant Divergenzen zu beseitigen. Durch die Einführung dieser Theorie wurden neue Teilchen, die SuSy-Teilchen,
vorausgesagt. Die SuSy-Teilchen treten als Partner der Teilchen des Standardmodells auf. Jedem Fermion wird ein Boson, jedem Boson wird ein Fermion als SuSyParter zugeordnet. In einer exakten oder ungebrochenen Theorie haben die SuSyTeilchen die gleiche Masse wie ihre Partner des Standardmodells. Sie wurden bisher
aber noch nicht entdeckt, weswegen man davon ausgeht, dass die Supersymmetrie
spontan gebrochen wird [–]. Später wurde durch Nicolai das Konzept der Supersymmetrie erstmals in der nichtrelativistischen Quantenmechanik eingeführt
[]. Dort findet der Formalismus hauptsächlich Anwendung, um die Schrödingergleichung für bestimmte Probleme auf einem einfacheren Weg zu lösen. In diesem
Kapitel wird zuerst auf die lineare und nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
eingegangen, später sollen die wichtigsten Aspekte der supersymmetrischen nichtrelativistischen Quantenmechanik erläutert werden. Die Darstellungen in diesem
Kapitel beziehen sich im Wesentlichen auf [].
.
lineare bose-fermi-supersymmetrie
Da die Supersymmetrie eine Transformation zwischen bosonischen und fermionischen Zuständen beschreiben soll, benötigt man einen supersymmetrischen Operator Q, der diese SuSy-Transformation gemäß
Q|Bosoni ∝ |Fermioni
Q|Fermioni ∝ |Bosoni
(.)
vermittelt. Wie ein solcher aufgebaut werden kann, soll in diesem Abschnitt erklärt
werden.
.. SuSy-Operatoren
Das einfachste supersymmetrische Modell ist die Existenz von Bosonen und Fermionen ohne Wechselwirkung. Die bosonischen und fermionischen Zustände lassen sich elegant in der Besetzungszahldarstellung |ni formulieren. Die bosonischen


Supersymmetrie
Erzeuger bzw. Vernichter werden durch b+ bzw. b− dargestellt, die fermionischen
durch f + bzw. f − . Wendet man b± auf einen bosonischen Zustand an, ergibt sich
p
nb + 1 |nb + 1i ,
√
b− |nb i = nb |nb − 1i .
b+ |nb i =
(.)
Die beiden Operatoren b± sind zueinander adjungiert, b+ = (b− )† . Zum Beweis
betrachten wir das Matrixelement hnb |b− |nb + 1i. Dieses ergibt
p
nb + 1 = hnb |b− |nb + 1i
= (hnb |b− |nb + 1i)†
= hnb + 1|b−† |nb i
= hnb + 1|b+ |nb i
⇒ b + = (b − )† .
(.)
Es muss darauf Rücksicht genommen werden, dass aus einem Zustand ohne Bosonen auch keins mehr entfernt werden kann, weswegen b− |0i = 0 gilt. Man definiert
den Anzahloperator n̂b = b+ b− , der bei Anwendung auf den Zustand
(.)
n̂b |nb i = b+ b− |nb i = nb |nb i
(.)
gerade die Besetzungszahl nb ergibt. Daraus lassen sich die Vertauschungsrelationen
[b − , b + ] = 1 ,
[b + , b + ] = [b − , b − ] = 0
(.)
berechnen. Für Fermionen definiert man wie für die Bosonen in Gleichung (.) die
Wirkung der fermionischen Operatoren f ± auf die Zustände gemäß
f + |nf i =
f − |nf i =
q
p
nf + 1 |nf + 1i ,
nf |nf − 1i .
(.)
Für die fermionischen Erzeuger und Vernichter gilt ebenfalls die Relation f + =
(f − )† , deren Beweis analog zu Gleichung (.) durchzuführen ist. Auch der Anzahloperator n̂f = f + f − genügt der Eigenwertgleichung n̂f |nf i = nf |nf i. Für Fermionen muss allerdings dass Pauli-Verbot berücksichtigt werden, das besagt, dass
niemals zwei Fermionen denselben Zustand besetzen können. Daher gilt in Kombination mit der Tatsache, dass auch im Vakuum kein Fermion mehr entfernt werden
kann,
f − |0i = f + |1i = 0 .
(.)
Für fermionische Systeme gelten daher die Antikommutatorrelationen
{f − , f + } = 1 ,
{f + , f + } = {f − , f − } = 0 ,
(.)

Supersymmetrie
die genau diese Beziehungen sicherstellen. Geht man nun in ein System über, in
dem sowohl Fermionen als auch Bosonen existieren, aber nicht wechselwirken, ist
eine geeignete Basis der Produktzustand
|nb , nf i = |nb i ⊗ |nf i .
(.)
In dieser Darstellung wird auch die Bedeutung der Zustände klar ersichtlich. Es
handelt sich um einen bosonischen Zustand, wenn nf = 0 ist, und um einen fermionischen Zustand, wenn nf = 1 ist. Will man nun Operatoren konstruieren, die
die gewünschte Vorschrift (.) erfüllen, so wird dies bereits durch den Ansatz
Q1 = b − f + + b + f −
(.)
gewährleistet, denn
Q1 |nb , 1i ∝ |nb + 1, 0i ,
Q1 |nb , 0i ∝ |nb − 1, 1i .
(.)
Man findet einen zweiten Operator Q2 = −i (b− f + − b+ f − ), der ebenfalls Gleichung
(.) erfüllt. Die Operatoren Q1 und Q2 besitzen die Vertauschungsrelation
h
ih
i
{Q1 , Q2 } = b− f + + b+ f − −i (b− f + − b+ f − ) +
ih
i
h
−i (b− f + − b+ f − ) b− f + + b+ f −
i
(.) h − + + −
= i b f b f − b + f − b− f + − b− f + b + f − + b + f − b− f +
=0.
(.)
Das Ziel lautet nun, einen Hamiltonoperator HS zu finden, der die Vertauschungsrelationen
[HS , Qi ] = 0 ,
i = 1, 2
(.)
erfüllt. Diese Forderung wird wegen (.) durch den Ansatz
HS = Q12 = Q22
(.)
gewährleistet. HS ist damit supersymmetrisch, denn er bleibt unter der Transformation, die durch Q1 bzw. Q2 vermittelt wird, invariant.
..
SuSy-Oszillator
Um ein besseres Verständnis für die Operatoren Q1 und Q2 zu erlangen, betrachten
wir den supersymmetrischen Hamiltonoperator
h̄ω 2
Q1 + Q22
2
i2 h
i2 h̄ω h − +
=
b f + b + f − − b− f + − b + f −
2
= h̄ω f + b− b+ f − + b+ f − f + b−
HS =

Supersymmetrie
= h̄ω b+ b− + f + f −
(.)
= h̄ω n̂b + n̂f .
(.)
(.)
Die Eigenwerte dieses Hamiltonoperators, HS |nb , nf i = Enb ,nf |nb , nf i, lauten
Enb ,nf = h̄ω nb + nf .
(.)
Dies ist das Spektrum von bosonischen und fermionischen harmonischen Oszillatoren ohne Nullpunktsenergie.
Die Aussage der Gleichung (.) kann man direkt auf ein Problem der Quantenfeldtheorie übertragen. Dort treten Divergenzen in der Energie auf, welche nur
durch eine Renormierung beseitigt werden können []. Die Supersymmetrie bildet eine Erweiterung der Lie-Algebren und könnte dabei helfen, diese Divergenzen
in relativistischen Quantenfeldtheorien auf natürliche Weise, d.h. ohne Renormierung, zu beseitigen []. Dies wird an Gleichung (.) klar. Tritt ein quantisiertes
Feld auf, wie zum Beispiel das elektromagnetische Strahlungsfeld mit Photonen als
elementare Anregungen, dessen Moden die Energie Ek = h̄ωk (nb,k + 1/2) besitzen,
würde bei einer Summe über unendlich viele Moden k schon allein der Vakuumserwartungswert divergieren. Durch die Erweiterung um den fermionischen Anteil
wird die Nullpunktsenergie auf den Wert null gezwungen. Das erfordert jedoch die
Existenz des fermionisches Feldes und seiner Anregungen, also der SuSy-Teilchen.
Die Erweiterung der Lie-Algebra bezieht sich speziell
aufo die Erweiterung des Komn
mutators [HS , Qi ] = 0 um den Antikommutator Qi , Qj = 2HS δij und wird dann
als Super-Liealgebra oder SuSy-Algebra bezeichnet [].
Betrachten wir das Energiespektrum (.) noch etwas genauer. Der Grundzustand liegt bei E0,0 = 0. Da nf die Werte null und eins annehmen kann, sind alle
Energien bis auf den Grundzustand zweifach entartet. Die beiden Werte, die nf annehmen kann, können auch als zwei Partnersysteme interpretiert werden, die bis
auf den Grundzustand dasselbe Spektrum aufweisen. Diese Sichtweise wird später in der supersymmetrischen Quantenmechanik eine entscheidende Rolle spielen.
Definiert man neue Operatoren
Q± =
1
(Q ± iQ2 ) ,
2 1
(.)
so kann man zwischen diesen beiden Systemen wechseln. In der Erzeuger- und
Vernichterdarstellung der Bosonen bzw. Fermionen nehmen diese Operatoren die
Form
Q+ = b − f + ,
Q− = b + f −
(.)
an. Somit ist der Wechsel zwischen fermionischem System und bosonischem System direkt ersichtlich. Im Gegensatz zu den Operatoren Q1 und Q2 , die jeden Zustand transformiert haben, gibt es für die Operatoren Q+ und Q− eine vorgegebene
Richtung. Der Operator Q+ erzeugt ein Fermion unter Vernichtung eines Bosons,
der Operator Q− erzeugt ein Boson unter Vernichtung eines Fermions. In dieser

Supersymmetrie
nf = 0
nf = 1
Q+




Q−

nb = 0
nb = 0
E0,0 = 0
Abb. .: Energieeigenwerte des SuSy-Oszillators für verschiedene Kombinationen nb , nf . Der
Wechsel zwischen den Systemen nf = 0 und nf = 1 wird durch die Operatoren Q± vermittelt.
Darstellung kann auch ohne Kenntnis des Energiespektrums gezeigt werden, dass
der Grundzustand nicht entartet ist. Denn es gilt
Q+ |0, 0i = b− f + |0, 0i = f + b− |0, 0i = 0 .
(.)
Zusammengefasst gilt für den SuSy-Oszillator also, dass der Grundzustand die
Energie null besitzt und alle Zustände bis auf den Grundzustand zweifach entartet sind. Der direkte Wechsel zwischen fermionischen und bosonischen Zuständen
wird durch die Operatoren Q± vermittelt, siehe dazu auch Abbildung ..
Ein einschränkender Aspekt der linearen Bose-Fermi-Supersymmetrie ist, dass
zwischen bosonischem und fermionischem System keine Wechselwirkung stattfinden kann, was man sehr einfach an Gleichung (.) sieht. Um eine Wechselwirkung zulassen zu können, muss man zur nichtlinearen Bose-Fermi-Supersymmetrie übergehen, welche im folgenden Abschnitt . behandelt werden soll.
.
nichtlineare bose-fermi-supersymmetrie
Bisher haben wir uns mit Operatoren beschäftigt, bei denen die Erzeuger und Vernichter für Fermionen und Bosonen nur linear auftraten. Dabei stellte sich aber
heraus, dass dadurch keine Wechselwirkung bzw. Kopplung zwischen den beiden
Systemen realisiert werden kann. Nun wollen wir Operatoren finden, die einen
nichtlinearen Zusammenhang aufweisen, aber immer noch einen supersymmetrischen Hamiltonoperator generieren.
..
Kanonische Darstellung
Ein erster Ansatz ist, die bosonischen Erzeuger und Vernichter gemäß
b± → B± (b+ , b− )
(.)
in den Operatoren Q1 und Q2 zu substituieren, wobei B± beliebige Funktionen von
b± sind. Nun muss wieder überprüft werden, ob der Hamiltonoperator HS = Q12 =

Supersymmetrie
Q22 unter dieser Substitution seine supersymmetrische Eigenschaft behält. Dies ist
durch die Nilpotenz {f ± , f ± } = 0 der fermionischen Erzeuger und Vernichter direkt
erfüllt.
Im Fall der linearen Bose-Fermi-Symmetrie hatten wir als Basis die Besetzungszahldarstellung |nb , nf i gewählt, da der Hamiltonoperator (.) mit den Besetzungszahloperatoren kommutierte. Betrachten wir erneut die Kommutatoren, ergibt sich
[HS , n̂f ] = [Q12 , n̂f ] = [B+ B− + n̂f , n̂f ] = [B+ B− , n̂f ] = 0 ,
[HS , n̂b ] = [Q12 , n̂b ] = [B+ B− + n̂f , n̂b ] = [B+ B− , n̂b ],0 .
Auf Grund der sehr allgemeinen Struktur der Operatoren B± (b+ , b− ) kann man
nicht mehr annehmen, dass [B+ B− , b+ b− ] = 0 erfüllt ist. Wir benötigen neben nf
noch eine weitere Quantenzahl, mit der wir das System charakterisieren können,
was durch die Angabe der Energie E gewährleistet wird. Wir können unser physikalisches System also mittels
HS |E, nf i = E|E, nf i ,
n̂f |E, nf i = nf |E, nf i
(.)
beschreiben. Nun wollen wir die Struktur des Hamiltonoperators noch etwas genauer betrachten. Die Gleichung (.) lässt eine sehr einfache Darstellung zu. Die
fermionischen Erzeuger und Vernichter kann man als 2×2-Matrizen darstellen, die
Eigenzustände als Vektoren mit zwei Einträgen, denn
   

0 0 1 0
   =   =
f + |0i =
b 
     b |1i ,
1 0 0 1
(.)
   

0 1 0 1
−






   =   =
b |0i .
f |1i =
b 
0 0 1 0
Verwenden wir diese Matrixdarstellung, ergibt sich
HS = Q12 = Q22 = B− B+ f + f − + B+ B− f − f +






0 1 0 0
0 0 0 1
+
−
− +
 
 + B B 

 
= B B 



0 0  1 0 
1 0  0 0 




B+ B−

H1 0 
0
 =: 
 .
= 



−
+
0
B B
0 H2 
(.)
Die Darstellung in der Form (.) nennt man auch die kanonische Darstellung. In
dieser Art und Weise umgeht man geschickt das Auftreten von fermionischen Operatoren. Geht man für die Operatoren in eine 2×2-Darstellung über, muss dies auch
Supersymmetrie

für die Eigenzustände |E, nf i erfüllt werden. Betrachten wir die Wirkung von n̂f auf
die Eigenzustände, ergibt sich
n̂f |E, 0i = 0 ,
n̂f |E, 1i = |E, 1i .
Dies bedeutet, dass sich die Eigenzustände darstellen lassen als


|E, 0i
 ,
|E, nf i = 
|E, 1i
(.)
denn es gilt


 

0 0 |E, 0i  0 
 
 = 
 .
n̂f |E, nf i = 
 
 

0 1 |E, 1i
|E, 1i
Man kann aufgrund von Gleichung (.) die Matrixelemente hE, 0|B+ B− |E, 0i als
ein bosonisches Subsystem, die Matrixelemente hE, 1|B− B+ |E, 1i als fermionisches
Subsystem betrachten.
.. Superpotential
Wählt man als Basis nicht mehr die Besetzungszahl, sondern geht für den Hamiltonoperator zur Darstellung HS = p̂2 /2m + V (q̂ ) über, so kann man in Anlehnung
an die Erzeuger- und Vernichterdarstellung des harmonischen Oszillators die Operatoren B± mit
i
1
B± = √ W (q̂ ) ∓ √ p̂
2
2m
(.)
ansetzen, wobei W ein geeignet gewähltes Superpotential ist. Der Hamiltonoperator
(.) kann auch geschrieben werden als
HS =
i
1 n − +o
1h
B , B 1 − B− , B+ σz ,
2
2
(.)
wobei σz die Pauli-Matrix für die Spinkomponente in z-Richtung ist. Die Kommutatoren lauten
!
!
n
o 1
i
i
− +
B ,B =
W (q̂ ) + √ p̂ W (q̂ ) − √ p̂ +
2
m
m
!
!
1
i
i
W (q̂ ) − √ p̂ W (q̂ ) + √ p̂
2
m
m
2
p̂
= W 2 (q̂ ) +
(.)
m

Supersymmetrie
und
!
!
h
i 1
i
i
− +
W (q̂ ) + √ p̂ W (q̂ ) − √ p̂ −
B ,B =
2
m
m
!
!
i
1
i
W (q̂ ) − √ p̂ W (q̂ ) + √ p̂
2
m
m
i
h̄ dW
= √ [p̂, W (q̂ )] = √
.
m
m dq
(.)
Für Gleichung (.) wurde angenommen, dass sich W (q̂ ) als Potenzreihe in q̂ zerlegen lässt []. Damit ergibt sich für den Hamiltonoperator
!
1 p̂2
h̄ dW
2
HS =
+W 1− √
σz
(.)
2 m
2 m dq
bzw.
 2
 p̂ + 1 W 2 (q̂ ) − √h̄ W 0 (q )
 2m 2
m
HS = 

0
p̂2
2m
+
1
2
0
W 2 (q̂ ) + √h̄m



 .
W 0 (q ) 
(.)
Dies ist die gewünschte Form, wobei die bosonischen und fermionischen Subsysteme ein unterschiedliches Potential besitzen.
Das Superpotential beinhaltet eine weitere wichtige Information. Es gibt an, ob
der Grundzustand entartet ist oder nicht. Um diese Information zu erlangen, nehmen wir an, es gibt einen Grundzustand bei E = 0. Mit HS |0, nf i = 0 folgen aus der
kanonischen Darstellung die zwei Gleichungen
B+ B− |0, 0i = 0 ,
(.)
B− B+ |0, 1i = 0 .
Dies sind wegen der Definition von B± zwei Differentialgleichungen erster Ord(1)
(2)
nung. In der Ortsdarstellung ergibt dies mit φ0 (x ) := hx|0, 0i und φ0 (x ) :=
hx|0, 1i
h̄ d (1)
(1)
φ0 = −W φ0 ,
√
m dx
h̄ d (2)
(2)
φ = +W φ0 .
√
m dx 0
(.)
Diese beiden Gleichungen lassen sich durch Separation einfach lösen und die Grundzustände beider Subsysteme lauten
(1)
φ0 (x ) = C1 e−
(2)
φ0 (x )
= C2 e
√
√ R
m x
h̄ 0 dx̃ W (x̃ )
R
m x
h̄ 0 dx̃ W (x̃ )
,
(.)
.
Aus der Forderung nach der Normierbarkeit des Grundzustands muss bei x → ∞
das Integral im Exponent von Gleichung (.) für die obere Zeile gegen +∞ und
für die untere gegen −∞ gehen. Diese Forderung nach Normierbarkeit kann aber

Supersymmetrie
E
1.
2.
3.
0
Abb. .: Energieschemata für die verschiedenen Fälle der Supersymmetrie, 1. & 2. entsprechen
der exakten, 3. der gebrochenen Supersymmetrie. Dabei stehen die beiden Spalten innerhalb der
drei Kästen jeweils für die Energieniveaus der beiden Systeme mit nf = 0 und nf = 1.
offensichtlich nur für einen Grundzustand erfüllt werden. Daher kann man drei
Aussagen über den supersymmetrischen Hamiltonoperator machen.
. Es gibt einen Grundzustand bei E = 0 und er gehört zu B+ B− .
. Es gibt einen Grundzustand bei E = 0 und er gehört zu B− B+ .
. Der Grundzustand liegt bei E > 0 und ist zweifach entartet [].
Die ersten beiden Fälle bezeichnen die exakte, der dritte Fall die gebrochene Supersymmetrie, siehe auch Abbildung ..
.
supersymmetrische quantenmechanik
.. Übergang in die Ortsdarstellung
Da wir bisher die Supersymmetrie im Rahmen der Operatordarstellung kennengelernt haben, wollen wir jetzt in die Ortsdarstellung übergehen. Wichtig ist hierbei, dass wir uns von der Vorstellung einer Transformation zwischen Bosonen und
Fermionen lösen und die Supersymmetrie als ein mathematisches Konzept interpretieren, dass die Verknüpfung zwischen zwei beliebigen quantenmechanischen
Systemen beschreibt. An der Darstellung (.) ändert sich nichts, wir ersetzen lediglich
q̂ → x ,
p̂ → −i h̄∂x .
(.)
Wir beschränken uns hier auf eine Dimension, da wir später den Formalismus der
Supersymmetrie auf die eindimensionale GPE (.) anwenden. Beim Übergang
zur Ortsdarstellung nimmt der Hamiltonoperator (.) die Form
 2

− h̄ ∂2 + 1 W 2 (x ) − √h̄ W 0 (x )

0
 2m x 2

m

HS = 
2


0
− h̄ ∂2 + 1 W 2 (x ) + √h̄ W 0 (x ) 
2m x
2
 
 2

 H1 0 
− h̄ ∂2 + V1 (x )
0
 = 

=  2m x
 

h̄2 2
0
− 2m ∂x + V2 (x )
0 H2 
m
(.)

Supersymmetrie
an, wobei die Potentiale V1,2 als
#
#
"
"
1
1
h̄
h̄
0
0
2
2
V1 =
W ( x ) − √ W ( x ) , V2 =
W (x ) + √ W (x )
2
2
m
m
(.)
definiert wurden. Die Operatoren B± (.) lauten in der Ortsdarstellung
1
h̄
B± = √ W (x ) ∓ √ ∂x .
2
2m
(.)
Auch in der Ortsdarstellung lässt sich der Hamiltonoperator faktorisieren und geht
wieder in die Form (.) über. Der Einfachheit halber nehmen wir an, es gibt einen
Grundzustand mit der Energie E = 0 und er gehört zu H1 . Des Weiteren sollen
beide Hamiltonoperatoren die stationären Schrödingergleichungen
(1)
(1) (1)
(2)
(2) (2)
H1 φn = En φn ,
(.)
H2 φn = En φn
erfüllen. Im nächsten Schritt wollen wir überprüfen, wie die beiden Zustände zusammenhängen. Es gilt
(1)
− (1)
− + − (1)
− (1)
H2 B φn = B B B φn = En B φn ,
(.)
(2)
(2)
(2)
(2)
H1 B+ φn = B+ B− B+ φn = En B+ φn .
(1)
(1)
Das heißt, B− φn ist Eigenzustand zum Hamiltonoperator H2 mit der Energie En
(2)
(2)
und B+ φn ist Eigenzustand zum Hamiltonoperator H1 mit der Energie En . Es
wurde im vorherigen Abschnitt .. gezeigt, dass, wenn es einen Grundzustand
bei E = 0 gibt und dieser zu H1 gehört, es für H2 nur einen Grundzustand bei E , 0
geben kann. Die Hamiltonoperatoren haben also bis auf die Grundzustandsenergie
dasselbe Spektrum. Es gilt daher
(2)
(1)
En = En + 1 ,
(1)
wobei E0
(.)
= 0 ist. Mit diesem Zusammenhang kann nun eine direkte Relation
(1)
(2)
zwischen den Wellenfunktionen φn und φn hergeleitet werden. Es gilt mit Gleichung (.)
(2)
(1)
(1)
En B− φn+1 = B− H1 φn+1
(1)
= B− B+ B− φn+1
(1)
= H2 B− φn+1 .
(2)
(1)
In Verbindung mit Gleichung (.) bedeutet dies, dass φn = λB− φn+1 gilt, wobei
λ eine noch zu bestimmende Konstante ist. Auf gleiche Weise findet man die Glei-

Supersymmetrie
(1)
(2)
chung φn+1 = λB+ φn . Zur Bestimmung der Konstante λ setzen wir diese beiden
Gleichungen ineinander ein und erhalten
(2)
(1)
(2)
(2)
φn = λB− φn+1 = λ2 B− B+ φn = λ2 H2 φn .
Das heißt, die Konstante λ lautet
1
1
=q
.
λ= q
(1)
(2)
En + 1
En
(.)
Daher lassen sich die beiden Wellenfunktionen gemäß
1
1
(1)
(1)
(2)
(2)
B− φn+1 , φn+1 = q
φn = q
B+ φn
(1)
(2)
En + 1
En
(.)
ineinander überführen. Vergleichen wir diese Eigenschaft mit der linearen BoseFermi-Symmetrie aus Abschnitt ., erkennt man, dass nun nicht mehr Q± sondern
B± den Wechsel zwischen den beiden Systemen vermittelt. Des Weiteren können
wir, sofern ein Superpotential W bekannt ist, aus dem die beiden Potentiale V1,2
entstehen, durch Kenntnis der Wellenfunktionen eines Systems die des anderen
vollständig berechnen. Dazu muss lediglich eine Differentialgleichung erster Ordnung der Form (.) anstatt die Schrödingergleichung, also eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, gelöst werden, was die Problematik stark vereinfacht.
..
Konstruktion des Superpotentials
Bisher wurde nur davon ausgegangen, dass ein Superpotential W existiert. Anstelle
davon auszugehen, dass es ein W gibt, woraus die beiden Potentiale V1,2 generiert
werden, nehmen wir an, dass wir ein Potential V1 haben und daran interessiert
sind, zu V2 zu gelangen. Dazu muss das Superpotential explizit berechnet werden.
Zu diesem Zweck wird vorausgesetzt, dass der Grundzustand von H1 bekannt ist.
Dann gilt
(1)
H1 φ0 (x )
"
#
h̄2 2
(1)
= −
∂x + V1 (x ) φ0 (x )
2m
" 2
(
)#
h̄ 2 1
h̄
(1)
2
0
= −
∂x +
W ( x ) − √ W ( x ) φ0 ( x ) = 0 ,
2m
2
m
weswegen
(1)
h̄2 ∂2x φ0
h̄
= W2 − √ W0
(
1
)
m φ
m
0

Supersymmetrie
erfüllt sein muss. Nutzt man die Kettenregel (φ0 /φ)0 = φ00 /φ − (φ0 /φ)2 aus, ergibt
sich




(1) 2
(1)
h̄2  ∂x φ0 
h̄2  ∂x φ0 
h̄

 + ∂x 
 = W 2 − √ W 0 .




(
1
)
(
1
)
m φ
m
m
φ0
0
Durch einen einfachen Koeffizientenvergleich hat man damit eine Bestimmungsgleichung für das Superpotential W gefunden, die
(1)
h̄ ∂x φ0 (x )
h̄
(1)
W (x ) = − √
= − √ ∂x ln φ0 (x )
m φ (1) ( x )
m
(.)
0
lautet. Eine weitere Art, zum Superpotential zu gelangen, ohne den Grundzustand
zu kennen, ist das Lösen der Differentialgleichung
h̄
W 2 (x ) − √ W 0 (x ) = 2V1 (x ) .
m
(.)
.. Ein einfaches Beispiel: Das Kastenpotential
Da bisher nur die Theorie besprochen wurde, sollen nun zur Veranschaulichung
das Superpotential des Kastenpotentials in einer Dimension mit der Grundzustandsenergie null und dessen supersymmetrischer Partner berechnet werden. Der Hamiltonoperator dafür lautet




h̄ 2 h̄
0 , 0 6 x 6 π ,
H1 = −
∂x −
+

2m
2m 

∞ , sonst.
2
2
Als Lösungen für die Zustände ergibt sich
r
2
(1)
φn =
sin [(n + 1)x ] , n ∈ N0
π
(.)
(.)
mit den Eigenenergien
(1)
En =
h̄2
n(n + 2) .
2m
(.)
Mit Kenntnis von Gleichung (.) kann nun das Superpotential zu
(1)
h̄
h̄ ∂x φ0
= − √ cot(x )
W (x ) = − √
(
1
)
m φ
m
(.)
0
berechnet werden, woraus das supersymmetrische Partnerpotential
"
#
i
h̄2 h
1
h̄
0
2
V2 ( x ) =
W (x ) + √ W (x ) =
2 sin−2 (x ) − 1
2
2m
m
(.)

Supersymmetrie
resultiert. Da wir zwar die Energien für H2 kennen, die Zustände aber nicht, müssen wir noch B± angeben, mit denen der Wechsel zwischen den beiden Partnersystemen möglich ist. Mit Gleichung (.) folgt
h̄
h̄
B± = − √
cot(x ) ∓ √ ∂x .
2m
2m
(.)
Damit wird nun der Grundzustand von H2 berechnet. Es gilt mit (.)
r
2m h̄ 2
1
(2)
− (1)
φ0 = q
B φ1 = −
√ √ [cot(x ) sin(2x ) − 2 cos(2x )]
(1)
3h̄2 m π
E1
r
8
=−
sin2 (x ) .
3π
(.)
Auf gleiche Art und Weise kann man nun alle Zustände berechnen. In Abbildung
. sind die ersten drei, bzw. zwei, Wellenfunktionen bei ihrer entsprechenden Energie im Potential eingezeichnet.
2mE
h̄2
V1
V2

/

x=0
x=π
x=0
(1,2)
Abb. .: Partnerpotentiale V1 und V2 . Die Wellenfunktionen φn
x=π
sind in rot eingezeichnet.
5
D O P P E L - D E LTA - P O T E N T I A L
In Kapitel  wurde im Rahmen der Streutheorie unter Berücksichtigung reiner sWellen-Streuung die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) (.) hergeleitet. In dieser
besteht noch die Wahl eines externen Potentials V (x ). Mit diesem Potential kann
man erreichen, dass ein Quantengas in einen kondensierten Zustand übergeht. Die
Idee für einen Nachweis der P T -Symmetrie in einem Bose-Einstein-Kondensat besteht darin, ein P T -symmetrisches Potential anzusetzen. Dazu wurde ein Doppelmulden-Potential vorgeschlagen [], wobei in der einen Mulde Atome eingekoppelt, aus der anderen ausgekoppelt werden. Um jedoch generelle Eigenschaften zu
betrachten und zu verstehen, bietet es sich an, das System so einfach wie möglich
zu gestalten und die Doppelmulde auf zwei unendlich dünne Mulden in Form von
Delta-Funktionen zu reduzieren [].
.
analytische lösung des doppel-delta-potentials
Das verwendete Potential lautet
a
a
V (x ) = (V0 + iγ )δ x −
+ (V0 − iγ )δ x +
2
2
a
a
= νδ x − + ν ∗ δ x +
.
2
2
(.)
Dabei soll a der Abstand zwischen beiden Töpfen sein, V0 deren Tiefe und γ die
Stärke der Ein- und Auskopplung von Atomen. Der linke Topf hat einen negativen Imaginärteil, dort wird also ausgekoppelt, der rechte Topf hat einen positiven
Imaginärteil, es werden dort Atome eingekoppelt. Die GPE nimmt dann die Form
2 a
a
−∂2x + νδ x −
+ ν ∗ δ x + + g ψ (x ) ψ (x ) = −κ2 ψ (x )
(.)
2
2
an.
Um ein Gefühl für die Art der Lösungen zu bekommen, vernachlässigen wir im
ersten Schritt die Nichtlinearität. Für die Form in Gleichung (.) wurde bereits angenommen, dass gebundene Zustände existieren, die Energie also negativ ist. Die
Art der Lösung unterscheidet sich je nach Bereich. Außerhalb der Töpfe muss die
Wellenfunktion exponentiell abklingen, innerhalb ist die Wellenfunktion eine Linearkombination zweier Exponentialfunktionen. Die Ansätze lauten
a
x<− :
2
a
a
− <x< :
2
2
a
x> :
2
ψ (x ) = Aeκx ,
ψ (x ) = Ceκx + De−κx ,
(.)
ψ (x ) = Be−κx ,


Doppel-Delta-Potential
κ (a, γ = 0)
Re κ (a, γ = ±0.3)
Im κ (a, γ = ±0.3)

.
κ
.
.
.

-.

.

.
a

.

Abb. .: Numerische Lösung der Gleichung (.) für drei verschiedene Werte von γ und V0 = −1
in Abhängigkeit von a. Bis acrit = 2 gibt es nur eine Lösung mit positivem κ bei γ = 0. Bei γ , 0
tritt die zweite Lösung früher auf.
wobei die Anforderung Re κ > 0 gestellt werden muss. Das Auftreten der DeltaFunktionen in Gleichung (.) kann man ausnutzen, um den Einfluss des Potentials
zu bestimmen. Integriert man in einer kleinen Umgebung ±a/2 ± ε um die Töpfe
erhält man
a
a
a
ψ0
+ ε − ψ 0 − ε = νψ
,
2
2
2
(.)
a
a
a
0
0
∗
ψ − −ε −ψ − +ε = ν ψ −
.
2
2
2
Alle Terme, in denen nur ψ vorkommt, fallen weg, da man die Stetigkeit der Wellenfunktion verlangt. Somit hat man mit den Sprungbedingungen für die Ableitungen
der Wellenfunktionen in Gleichung (.) und der Stetigkeit vier Gleichungen, die
zur Verfügung stehen, um die Energie zu bestimmen. Durch Einsetzen der Ansätze
(.) erhält man das lineare Gleichungssystem

   
2κ aκ 

   
1
1
+
∗
ν e 

  C  = 0 .
(.)


aκ
 D  0
e
1
1 + 2κ
ν
Dieses Gleichungssystem hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Matrix verschwindet. Daraus folgt
2κ
2κ
e−2aκ = 1 +
1+ ∗ .
ν
ν
(.)
Zur weiteren Vereinfachung setzen wir γ = 0 und nehmen an, dass V0 = −1 ist.
Man erhält dann eine Bestimmungsgleichung für die Energie in Abhängigkeit vom
Abstand. Diese Gleichung lässt sich nur numerisch lösen. Wie man in Abbildung
. sehen kann, existiert für γ = 0 nur eine Lösung für acrit = 2. Überschreitet man
Doppel-Delta-Potential

diesen Wert, erhält man zwei Lösungen mit einem positiven κ. Die Eigenschaften,
dass es erst ab einem bestimmten Abstand zwei Lösungen gibt, bleibt auch für γ ≶ 0
erhalten. Hier existiert die zweite Lösung allerdings schon ab einem kleineren Wert
von a. Ein besonderes Merkmal ist die Bifurkation für ein nichtverschwindendes γ
(bei a ' 2.6 für γ = ±0.3) und das Auftreten zweier komplex konjugierter Paare
κ. In Kapitel  wurde erwähnt, dass im Fall komplex konjugierter Eigenwerte sich
die Zustände durch gegenseitiges Anwenden des P T -Operators ergeben. Der interessante Bereich ist derjenige, bei dem zwei Zustände existieren, da später der
Supersymmetrie-Formalismus darauf angewendet werden soll. Ohne die Existenz
eines angeregten Zustands würde das Partnersystem des Doppel-Delta-Potentials
keine Lösungen besitzen. Daher wählen wir a = 2.2, um zu garantieren, dass zwei
Zustände existieren.
.
numerische lösung des doppel-delta-potentials
Für das Energiespektrum und die Zustände bei verschiedenen γ-Werten wurde
die GPE für das Doppel-Delta-Potential numerisch gelöst. Dazu wurde das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung und eine fünfdimensionale Nullstellensuche
0
verwendet, die die Parameter Re[ψ (0)], ψ (0) = 0 und κ solange verändert, bis die
2
R
0
Bedingungen ψ (∞) = 0, ψ (∞) = 0 und dx ψ = 1 erfüllt sind [].
.. GPE ohne Nichtlinearität
Um wieder einen ersten Eindruck über das Verhalten des Systems zu bekommen,
2
wurde die GPE ohne den nichtlinearen Term g ψ gelöst. Das Spektrum ist in Abbildung . dargestellt. Da die Energie mit E = −κ2 definiert wurde, ist der obere
Zweig derjenige, der zum Grundzustand gehört. Bei kleinen Werten für γ sind sowohl der Grundzustand κ0 , als auch der angeregte Zustand κ1 rein reell. Erhöht
man die Kopplungsstärke γ, so nähern sich die Werte für κ immer weiter an, bis
sie bei γ = γcrit ' 0.4 identisch sind. Überschreitet man den kritischen Wert γcrit ,
werden die Lösungen komplexwertig, jedoch sind die Beziehungen
Re κ0 = Re κ1 ,
Im κ0 = −Im κ1
(.)
stets erfüllt, d.h. die Zustände haben zueinander konjugiert komplexe Energien. Da
der Realteil, der die Energie misst, somit für beide Lösungen identisch ist, gibt es
keinen echten Grundzustand mehr. In der Abbildung wird die (prinzipiell beliebige) Bezeichnung Im κ0 > 0 und Im κ1 < 0 gewählt.
Im nächsten Schritt sollen die Eigenschaften der Wellenfunktionen betrachtet
werden. Die Abbildung . a) zeigt den Grundzustand für das Doppel-Delta-Potential
mit g = γ = 0. Dieser ist rein reell und P T -symmetrisch. Die beiden Knicke in der
Wellenfunktion resultieren aus den beiden Delta-Funktionen. Diese Eigenschaft
zieht sich durch alle Wellenfunktionen. In Abbildung . b) ist der angeregte Zustand dargestellt. Dieser hat einen Knoten bei x = 0 und fällt wesentlich langsamer
ab als der angeregte Zustand, was auf die geringere Energie zurückzuführen ist.
Des Weiteren ist dieser Zustand rein imaginär, auch er ist damit P T -symmetrisch.
Erhöht man nun den Wert für γ, so steigt der Imaginärteil beim Grundzustand und

Doppel-Delta-Potential
.
Re κ0
Im κ0
Re κ1
Im κ1
.
.
κ
.

-.
-.
-.

.
.
.
.
γ
.
.
.
.
Abb. .: Numerische Lösung der GPE im Fall g = 0 für den Grundzustand κ0 und den angeregten Zustand κ1 in Abhängigkeit der Kopplungskonstante γ. Rechts von der Bifurkation
unterscheiden sich die Zustände nur im Imaginärteil und die Bezeichnung Im κ0 > 0, Im κ1 < 0
wird gewählt.
der Realteil beim angeregten Zustand, siehe Abbildungen . c) und d). Nichtsdestotrotz bleibt die P T -Symmetrie der Wellenfunktionen erhalten. Fasst man die
Nichtlinearität als einen Teil des Hamiltonoperators auf, so hat dieser solche Eigenfunktionen, die ihn selbst P T -symmetrisch formen. Geht man noch einen Schritt
weiter und betrachtet einen Wert für γ, der rechts von der Bifurkation liegt, ergibt sich das Verhalten der Wellenfunktion aus Abbildung ..Daran ist sehr gut zu
erkennen, dass wenn komplex konjugierte Energieeigenwerte auftreten, die zugehörigen Zustände sich durch gegenseitiges Anwenden des P T -Operators ergeben.
Des Weiteren ist offensichtlich die P T -Symmetrie gebrochen.
.. GPE mit Nichtlinearität
Da es von Interesse ist, wie sich die Wechselwirkung unter den Teilchen in einem
Kondensat auf die Form der Wellenfunktion und ihre Symmetrieeigenschaften auswirkt, werden in diesem Abschnitt die numerischen Lösungen der GPE im Fall g , 0
skizziert. Die numerischen Lösungen für κ befinden sich in Abbildung .. Wie diese zeigt, tritt schon bei Werten γ < γcrit eine Bifurkation auf, in der zwei komplexkonjugierte Werte κ vom Grundzustand abspalten, welche nach Abschnitt . zu
P T -gebrochenen Wellenfunktionen gehören. Dies bedeutet, dass in dem Bereich
0.3 < γ < 0.4 insgesamt vier Lösungen existieren. Dieser Bereich weist eine Instabilität des Grundzustands in der Zeitentwicklung auf und führt durch kleinste Fluktuationen in der stationären Lösung zur Zerstörung des Systems [].

Doppel-Delta-Potential
a)
b)
.
.
ψ .
Im ψ
Im ψ
Re ψ
.
.
ψ
ψ
.
.

-.
.
-.

-
ψ .
-
-

x


-.
-

-
-
c)
.
ψ 
.
Re ψ

.
Im ψ
ψ .
.
Re ψ
.
Im ψ
.
.
ψ
ψ

d)
.
.

-.

-.
-.
-.
-.
-.
-

x
-.
-
-

x



-
-
-
-

x




Abb. .: Wellenfunktionen für a) den Grundzustand
bei g = γ = 0, wobei der Realteil der Wellenfunktion nicht dargestellt ist, weil dieser mit ψ zusammenfällt, b) den angeregten Zustand
bei g = γ = 0, c) den Grundzustand bei g = 0 und γ = 0.3, d) den angeregten Zustand bei g = 0
und γ = 0.3.
a)
b)
ψ .
Re ψ
.

-.
-.
-
-

x



Im ψ
.

-.
-
Re ψ
.
Im ψ
ψ
ψ
.
ψ .
-.
-
-
-

x



Abb. .: Wellenfunktionen für a) den Zustand mit Im κ > 0 und b) den Zustand mit Im κ < 0
bei g = 0 und γ = 0.5.

Doppel-Delta-Potential
.
.
κ
.
.

Re κ̃, Re κ̂
Re κ0
Re κ1
Im κ̃
Im κ̂
-.
-.

.
.
.
.
γ
.
.
.
.
Abb. .: Numerische Lösung der GPE für κ in Abhängigkeit der Kopplungskonstante γ im Fall
g = 1. Man erkennt den Grund- (κ0 ) und angeregten Zustand (κ1 ). Vom Grundzustand spalten
bei γ ' 0.31 zwei komplex-konjugierte Lösungen κ̃ bzw. κ̂ ab.
6
S U P E R S Y M M E T R I S C H E E RW E I T E R U N G D E S D O P P E L - D E LTA POTENTIALS
In diesem Kapitel soll der Supersymmetrie-Formalismus auf das Problem des Doppel-Delta-Potentials angewendet werden. Das besondere an den P T -symmetrischen
Zuständen ist, dass die Real- und Imaginärteile der Wellenfunktionen aller Zustände für ein nichtverschwindendes γ niemals gleichzeitig null sind. Eine Einschränkung an der Konstruktion des Superpotentials ist die Notwendigkeit, dass die Wellenfunktionen keine Knoten aufweisen, siehe Gleichung (.), da die Wellenfunktion im Nenner auftritt und ein Knoten damit eine Divergenz zur Folge hat. Die
Tatsache, dass auch angeregte Zustände für ein nichtverschwindendes γ keine Knoten haben, kann ausgenutzt werden, um einen angeregten Zustand zur Konstruktion des Superpotentials zu verwenden. Diese Idee wurde zuerst von Miri et al. im
Zusammenhang mit optischen Wellenleitern formuliert []. Dort wird die Ausbreitung der Wellen in der paraxialen Näherung durch die Helmholtz-Gleichung beschrieben, welche für einen schwach variierenden Brechungsindex dieselbe Form
wie die stationäre Schrödingergleichung annimmt, wobei der Brechungsindex P T symmetrisch sein muss. Die Konstruktion von Partnerpotentialen wurde dazu genutzt, um einzelne Moden zu entfernen. Dies führt dazu, dass Moden, die die Phasenbeziehungen zerstören, entfernt werden. Überträgt man diese Idee auf das P T symmetrische Doppel-Delta-Potential und die GPE mit Nichtlinearität, so könnte
man die P T -gebrochenen Zustände, die die Instabilität verursachen, entfernen. In
diesem Kapitel soll die Idee des selektiven Entfernens einzelner P T -symmetrischer
oder P T -gebrochener Zustände im linearen Fall verfolgt werden.
.
entfernen des grundzustands
Wie auch für die erste Untersuchung des Doppel-Delta-Potentials soll zuerst der supersymmetrische Partner des Systems ohne Nichtlinearität berechnet werden. Des
Weiteren wollen wir, dass die Supersymmetrie exakt ist, d.h. die Energie des Grundzustands muss bei null liegen. Dazu kann einfach die Grundzustandsenergie vom
Hamiltonoperator subtrahiert werden. Die GPE ohne Nichtlinearität soll dann als
das System H1 mit dem Potential V1 interpretiert werden. Die zu lösende Differentialgleichung lautet
"
2 #
a
a
(1)
(1)
(1)
2
∗
H1 φ0 = −∂x + νδ x −
φ0 = 0 .
(.)
+ ν δ x + + κ0
2
2
Da der Hamiltonoperator wieder faktorisiert werden soll, dieser aber in dimensionslosen Einheiten formuliert ist, müssen neue Operatoren B± eingeführt werden.
Diese lauten
B± = W (x ) ∓ ∂x .
(.)


Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
Eingesetzt in Gleichung (.) ergibt dies

 

−∂2 + W 2 (x ) − W 0 (x )
 H1 0 
0
 = 
 ,
HS =  x
 

2
0
2
0
−∂x + W (x ) + W (x )
0 H2 
(.)
wobei wir wieder
V1 ( x ) = W 2 ( x ) − W 0 ( x ) , V2 ( x ) = W 2 ( x ) + W 0 ( x )
(.)
definieren. Daraus erhält man analog zur Herleitung von Gleichung (.)
(1)
W (x ) = −
∂x φ0 ( x )
(1)
.
(.)
φ0 (x )
Da hier der Fall g = 0 behandelt wird, können wir die Lösungen der Wellenfunktionen aus Kapitel . verwenden. Diese können aus Gleichung (.) entnommen
werden. Die Amplituden der Wellenfunktion in Gleichung . kürzen sich, da diese ortsunabhängig sind. Den Zusammenhang der Amplituden zwischen den DeltaFunktionen erhält man aus (.), welcher D = −C (1 + 2κ/ν ) exp(aκ ) lautet. Damit
ergibt sich für das Superpotential


Aκeκx


− Aeκx = −κ


−κ (2x−a)

1+(1+ 2κ
 Cκeκx −Dκe−κx
ν )e
W =
− Ceκx +De−κx = −κ
2κ
−κ

1−(1+ ν )e (2x−a)




−κx

 Bκe−κx
=κ
Be
für x < − 2a ,
für − 2a < x <
für x >
a
2
a
2
,
(.)
.
Aus diesem Superpotential können nun die Partnerpotentiale V1 = W 2 − W 0 und
V2 = W 2 + W 0 berechnet werden. Für V1 ergibt sich außerhalb des Bereichs der
Delta-Funktionen erwartungsgemäß V1 = κ2 , da die Supersymmetrie als exakt konstruiert wurde, sodass die Grundzustandsenergie null ist. Das Potential V2 liegt
rechts und links der Delta-Funktionen ebenfalls bei V2 = κ2 , dazwischen ist es von
der Form aus Gleichung (.), siehe Abbildung .. Der Sprung von V2 bei x = ±1.1
resultiert aus dem Knick in der Wellenfunktion bzw. aus dem Superpotential. Die(2)
ser Sprung muss berechnet werden, da er sich auch in der Wellenfunktion φ0
niederschlägt. Dazu gehen wir von
h
i (2)
(2)
∂2x − W 2 + W 0 φ0 = Eφ0
aus. Die Integration um x = a/2 in einer ε-Umgebung ergibt
a
2 +ε
Z
a
(2)
∆∂x ψ
= lim
dx W 0 φ0 ,
ε→0
2
(.)
a
2 −ε
da alle anderen Terme des Integrals stetig sind und im Grenzwert ε → 0 verschwinden. Weil das Superpotential nach Gleichung (.) den Sprung bei x = a/2 von
(1)
∂x φ0 (x ) erbt, ist die Ableitung unendlich und man kann die Ableitung der Wel-

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
.
.
V
.

-.
-.
V2
V1
-
-

x
-



Abb. .: Partnerpotentiale V1,2 , generiert aus der Grundzustandswellenfunktion des DoppelDelta-Potentials bei g = γ = 0. Alle auftretenden Potentiale sind rein reell.
lenfunktion an dieser Stelle durch das Ergebnis von Gleichung (.) ersetzen. Es
gilt
a
a


2 +ε
2 +ε
Z
Z
 ∂x φ0(1) 
a

dx W 0 = ∆W
= lim
dx ∂x −
lim

(1) 
ε→0
ε→0
2
φ
a
2 −ε
a
2 −ε
0


(1) a
 ∂x φ(1) a + ε

∂
φ
−
ε
x 0


0
2
2

= lim − (1) −

(
1
)
ε→0 
φ0 2a + ε
φ0 2a − ε 
1
(1) a
= − (1) ∆∂x φ0
2
φ0 2a
(.)
= −ν .
(.)
Analog kann man den Sprung bei x = −a/2 herleiten. Die Substitution der Ableitung des Superpotentials nimmt die Form W 0 → −νδ (x − a/2) bzw. W 0 → −ν ∗ δ (x +
a/2) an. Damit ergibt sich für den Sprung der Wellenfunktion des Partnerpotentials V2 gemäß Gleichung (.)
(2) a
(2)
∆∂x φ0
= −νφ0
2
(.)
a
(2)
(2)
∆∂x φ0 − = −ν ∗ φ0 .
2
Mit den korrekten Delta-Funktionen aus W 0 können nun auch die vollständigen
Potentiale V1 und V2 angegeben werden. Diese lauten
a
a
V1 =κ2 + νδ x −
+ ν ∗δ x +
,
(.)
2
2

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
.
.
φ0
(2)
.
φ(2) 0
.
.
.
.
.

(2)
Im φ0
-
.


.

-
-
-

x



Abb. .: Grundzustand für das Partnersystem H2 im Fall g = γ = 0. In dem integrierten Schau(1)
bild befindet sich zum Vergleich in grün die Lösung φ0
(2)
tentials. Der Realteil der Wellenfunktion φ0
des ursprünglichen Doppel-Delta-Po-
ist nicht mit dargestellt, da dieser mit ihrem Betrag
zusammenfällt.
a
a
V2 = − νδ x −
− ν ∗δ x +
2
2



κ2



 
 2 1+(1+ 2κν )e−κ(2x−a) 2
+
κ

−κ (2x−a)
1−(1+ 2κ

ν )e




κ 2
für x < − 2a ,
für − 2a < x <
für x >
a
2
a
2
,
(.)
.
Die Form des Potentials V2 lässt bereits Annahmen über die Form der Wellen(2)
funktion
zu.
Der Grundzustand φ0 ist symmetrisch und muss bei einer Energie
(2)
(1)
E < E liegen, da er sonst nicht gebunden wäre. Die numerische Lösung für
0
(2)
φ0
0
ist in Abbildung . dargestellt. Diese Wellenfunktion hat eine gänzlich andere
Form als die aus H1 . Der Realteil ist bei x = 0 maximal und nimmt nach außen hin
(2)
(1)
ab. Des Weiteren ist die Wellenfunktion φ0 weniger stark lokalisiert als φ0 . Dies
(1)
ist darauf zurückzuführen, dass die Bindungsenergie für φ0 etwa bei |E| ' 0.3920
(2)
liegt, während die für φ0 lediglich |E| ' 0.0077 beträgt.
Da das gesamte Spektrum für verschiedene γ-Werte von Interesse ist, wurde dieses ausgerechnet. Dazu musste die Differentialgleichung
2
h
i (2)
(2)
(2) (2)
(2)
φ0
−∂2x + W 2 (x ) + W 0 (x ) φ0 = E0 φ0 = κ0
(.)
gelöst werden. Dabei sind für die Konstruktion von W zwischen den Delta-Funktio(1)
nen nach Gleichung (.) die numerischen Lösungen für φ0 herangezogen worden.
(1)
Außerhalb wurde der bekannte Wert für κ0
eingesetzt. In Gleichung (.) wur-

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
.
.
.
κ
.

(2)
Re κ0
-.
(2)
Im κ0
-.
-.
(1)
κ0

.
.
.
.
γ
.
.
.
.
(2)
Abb. .: Real- und Imaginärteil für κ0 bei entferntem Grundzustand bzw. Zustand mit negativem Imaginärteil in der Energie nach der Bifurkation. Zum Vergleich ist das Spektrum von H1 ,
(1)
also κ0 mit abgebildet.
de bewusst
(2)
E0
=+
(2)
κ0
2
angesetzt, da bereits der Potentialverlauf von V2 aus
Abbildung . eine positive Energie erwarten lässt. Das Spektrum ist in Abbildung
. dargestellt. Die generelle Struktur bleibt im Vergleich zum alten Spektrum erhalten, abgesehen davon, dass das System nach dem Entfernen des ursprünglichen
Grundzustands nur noch genau einen Zustand aufweist. Man hat bis zu einem Wert
γcrit eine rein reelle Lösung, für größere γ erhält man eine komplexe Lösung. Für
γ > γcrit wurde der Zustand mit negativem Imaginärteil in der Energie entfernt.
(2)
(2)
Bei γcrit nimmt κ0 und damit auch E0 den Wert null an. Dies ist verständlich,
wenn man daran denkt, dass an der Bifurkation der angeregte Zustand dieselbe
Energie wie der Grundzustand hat. Da dieser nach Konstruktion bei null liegt, gilt
dies dann auch für den Energiewert des Partnersystems H2 . Ein weiterer Aspekt
des Spektrums ist die Tatsache, dass rechts vom kritischen Wert γcrit der Real- und
der Imaginärteil die Beziehung
(2)
(2)
Re κ0 = −Im κ0
(.)
erfüllen. Diese Beziehung ergibt sich aus der Tatsache, dass rechts der Bifurkation
(1)
im ursprünglichen System Re κ0
Lösung
(2)
κ0
(2)
κ0
ergibt sich dann
=±
r
(1)
κ0
(1)
= Re κ1
(1)
bzw. Im κ0
(1)
= −Im κ1
gilt. Für die
r 2 2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
− κ1
= ± 2i Re κ0 Im κ0 − Re κ1 Im κ1
q
(1)
(1)
= ± 2Re κ1 Im κ1 (−1 + i ) ,
(.)
unter Berücksichtigung, dass der Zustand mit negativem Imaginärteil entfernt
wurde. Daraus folgt direkt die Beziehung (.).

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
a)
b)
.
(2)
.
Re φ0
.
Im φ0
(2)
(2)
.
.
Re φ0
.
Im φ0

-.
-

x
-




(2)

-.
-
(2)
.
-.
-.
-
φ(2) 0
.
φ0
(2)
.
φ0
.
φ(2) 0
-.
-
-
-

x



Abb. .: Wellenfunktionen von H2 für a) γ = 0.3 und g = 0 bei entferntem Grundzustand und
b) γ = 0.5 und g = 0 bei entferntem Zustand mit Im κ < 0.
(1)
Für steigendes γ wurde der Betrag des Imaginärteils der Wellenfunktionen φn
(2)
zunehmend größer, was auch auf φ0 zutrifft, siehe Abbildung .. Die Lösungen
sind für γ < γcrit P T -symmetrisch. Überschreitet man den den kritischen Wert γcrit
so sind das Potential V2 und die Wellenfunktion P T -gebrochen, wie es auch für die
(1)
Wellenfunktionen φn der Fall war.
.
entfernen des angeregten zustands
Wie zu Beginn dieses Kapitels erwähnt wurde, kann neben dem Grundzustand
auch ein angeregter Zustand zum Berechnen des Superpotentials herangezogen
werden, vorausgesetzt dieser hat keinen Knoten. Wie man dem Kapitel  entnehmen kann, ist dies für den angeregten Zustand im Doppel-Delta-Potential erfüllt,
wenn die Kopplung an die Umgebung einen Wert γ > 0 annimmt. An dem Vorgehen
zum Berechnen des Superpotentials ändert sich nichts, es wird statt des Zustands
(1)
(1)
φ0 lediglich der Zustand φ1 in die Gleichung (.) eingesetzt. Es wird dann erneut die Differentialgleichung (.) gelöst, mit dem Unterschied, dass die Energie
mit
2
(2)
(2)
E0 = − κ 0
(.)
angesetzt wird. Das Spektrum für den entfernten angeregten Zustand ist in Abbildung . dargestellt. Wie diese zeigt, hat man im Bereich 0 < γ < γcrit wieder,
(2)
wie erwartet, rein reelle Lösungen. Der Abfall auf κ0 = 0 bei γcrit tritt ebenfalls
auf. Das Spektrum geht zu kleineren γ hin nicht bis γ = 0, da die numerische Berechnung zu instabil wurde. Für γ → 0 nähert man sich dem Regime, in dem die
(1)
Wellenfunktion φ1 am Ursprung sich immer weiter einer Form mit einem Knoten
nähert, die dann eine Divergenz des Partnerpotentials V2 zur Folge hat. Für komplexe Energien gilt stets der Zusammenhang
(2)
(2)
Re κ0 = Im κ0 ,
(.)
da erneut der Zustand mit negativem Imaginärteil in der Energie entfernt wurde.
Die Wellenfunktionen für verschiedene γ-Werte sind in Abbildung . dargestellt.

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
.
.
.
κ
.
.
.
.
(2)
Re κ0

-.
(2)
Im κ0

.
.
.
(2)
Abb. .: Real und Imaginärteil für κ0
Im <˛0.
.
γ
.
.
.
.
bei entferntem angeregten Zustand bzw. Zustand mit
Wie für alle vorherigen Problemstellungen gilt auch hier wieder, dass der Zustand
(2)
φ0
nicht mehr P T -symmetrisch ist, wenn man sich in einem Bereich γ > γcrit
(2)
befindet. Geht man zu kleinen γ über, so steigt der Wert φ0 (0) stetig an. Dies liegt
an der Form des Potentials V2 , wie man Abbildung . entnehmen kann. Dieses
wird für kleine γ sehr schmal und sehr tief, bis es für γ → 0 bei x = 0 divergiert. Es
gilt
lim V2 (0) → ∞ .
γ→0
Dort existieren keine gebundenen Zustände und der Supersymmetrie-Formalismus
kann nicht mehr angewendet werden. Auch die P T -gebrochene Lösung wird verständlich. Wenn das Potential V2 (x ) nicht mehr P T -symmetrisch ist, ist der Hamiltonoperator auch nicht mehr P T -symmetrisch.
.
verhalten an der bifurkation
An der Bifurkation in Abbildung . sind die Energieeigenwerte und auch die Wellenfunktionen identisch. Nach Konstruktion entfernt die Anwendung des Supersymmetrie-Formalismus immer denjenigen Zustand, der die Energie null besitzt.
Der Zustand mit Energie null wurde dadurch erreicht, dass wir H1 aus dem Doppel-Delta-Potential mit einer Energieverschiebung konstruierten, welche gerade
der Energie entsprach, die zum zu entfernenden Zustand gehört. Da, wie bereits
erwähnt, die Zustände identisch sind und bei der Energie null liegen, sollte man
erwarten, dass es keine Lösung mehr gibt. Die numerische Lösung bringt jedoch
einen Zustand hervor, der P T -symmetrisch ist, siehe Abbildung .. Daraus können zwei verschiedene Schlüsse gezogen werden.

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
a)
b)
.
(2)
.
Re φ0

Im φ0
(2)
(2)
.
Re φ0

Im φ0

-.
-
-
-.
-.
-.
-.
-
-.

x
.

.

.
(2)
.

-.
(2)
.
-.
-
φ(2) 0

φ0
(2)

φ0
.
φ(2) 0
-
-.
-
-.
c)
(2)
(2)
Im φ0
.
φ0
(2)
φ0
.

.
φ(2) 0
.
(2)
.

d)
Re φ0
.
.
.
φ(2) 0

.

x

(2)
.
Re φ0
.
(2)
Im φ0

-.
-.
-.
-.
-.
-
-

x


-.
-
-
-

x



Abb. .: Wellenfunktionen des Hamiltonoperators H2 bei entferntem angeregten Zustand für a)
γ = 0.05, b) γ = 0.1, c) γ = 0.3 und d) den entfernten Zustand mit Im κ(1) < 0 im Fall γ = 0.5
jeweils mit g = 0.
. Der Supersymmetrie-Formalismus scheitert bei der Beschreibung des Partnerpotentials V2 , wenn das Potential V1 entartete Energieeigenwerte mit identischen Zuständen aufweist.
. Vor der Bifurkation gibt es zwei Zustände, die bei der Bifurkation immer noch
existieren, aber nicht unterscheidbar sind. Der Supersymmetrie-Formalismus
entfernt einen beliebigen der beiden Zustände und die Supersymmetrie ist für
die Parameter an der Bifurkation gebrochen.
Die Aussage  steht allerdings im Widerspruch zu der Tatsache, dass, wenn die
Supersymmetrie gebrochen ist, es keinen Zustand bei E = 0 geben kann. Der Widerspruch kann umgangen werden, wenn man die ursprünglich eingeführte Energieverschiebung für die Exaktheit der Supersymmetrie wieder rückgängig macht.
Beide Schlüsse sind aber nur mögliche Interpretationen. Die wichtigste Tatsache
ist, dass es im Potential V2 , egal welchen der beiden Zustände man entfernt, immer
einen Zustand gibt, auch an der Bifurkation.
.
variante der generierung des superpotentials
In Kapitel  wurde erwähnt, dass sich das Superpotential entweder aus dem zu
entfernenden Zustand mit
W =−
∂x ψ
ψ
(.)

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
b)

ReV2
ReV2

ImV2
ImV2

V2
V2
a)





-
-
-
-
-
-
-
-
-

x
-

-

-

x
-

d)

ReV2
ReV2

ImV2
ImV2


V2
V2
c)





-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-

x




-
-
-
-
-

x




Abb. .: Potentialverläufe V2 zu den Wellenfunktionen a)-d) aus Abbildung ..
gewinnen lässt, oder durch das Lösen der Differentialgleichung
W 2 − W 0 = V1 .
(.)
Die Differentialgleichung soll nun für
2
a
a
(1)
V1 (x ) = κn
+ νδ x − + ν ∗ δ x +
2
2
2
(1)
gelöst werden, wobei κn
die Energie des zu entfernenden Zustands im ursprünglichen System ist. Abseits der Deltafunktionen gilt nach Separation der Variablen
dW
2 = dx .
(1)
2
W − κn
Dies kann einfach integriert werden und ergibt
(1)
(1)
W (x ) = −κn tanh κn (x − ξ ) ,
(.)
wobei die Konstante ξ aus der Anfangsbedingung W (0) folgt. Die Fälle für x > a/2
und x < −a/2 aus Gleichung (.) sind in dieser Lösung auch enthalten, wenn man
ξ → ±∞ gehen lässt. Das heißt, Gleichung (.) ist eine allgemeinere Lösung. Abbildung . zeigt das Superpotential und die zugehörigen Potentiale V1,2 im Fall
γ = 0.3 für die Anfangsbedingung W (0) = 0. Wie man an der Abbildung sieht,
stimmen die Superpotentiale nicht überein. Trotzdem liefert V2 , egal aus welchem
Superpotential es konstruiert wird, Zustände mit identischen Energien. Das neue,

φ0
(2)
Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
.
.
.
.
.
.
.
.

-.
-.
-.
-
φ(2) 0
(2)
Re φ0
(2)
Im φ0
-
-

x



(2)
Abb. .: Real-, Imaginärteil und Betragsquadrat der Wellenfunktion φ0 bei entferntem Grundzustand an der Bifurkation γ ' 0.4005.
mit WDGL gewonnene, Potential V2 hat für γ = 0.3 wieder einen Zustand bei derselben Energie wie dasjenige V2 , das aus Gleichung (.) gewonnen wurde. Jedoch
haben die Wellenfunktionen wegen des unterschiedlichen Potentials eine andere
Form, siehe Abbildung .. Bei x ' ±2.4 hat das Potential V2 einen Ausschlag nach
unten, was sich in einer erhöhten Wahrscheinlichkeitsamplitude der Wellenfunktion ausdrückt.

Supersymmetrische Erweiterung des Doppel-Delta-Potentials
a)

b)
.
Re WDGL (x )
.
Re W (x )
Im W (x )

.
W
W
.
Im WDGL (x )
.

-.
-.
-.
-
-.
-.
-

x
-


-

x
-
c)


d)
.


-.

V
V
-
-.
-
-.
Re V2 (x )
-
Re V1 (x )
-

x
-


-
Im V2 (x )
-

Im V1 (x )
-

x
-


Abb. .: a) & b) Superpotentiale WDGL aus der Differentialgleichung und W aus der Wellenfunktion für den Fall g = 0 und γ = 0.3. c) & d) Partnerpotentiale V1,2 , die aus WDGL gewonnen
wurden.
b)
.
φ(2) 0
φ(2) 0
.
(2)
.
Re φ0
(2)
Im φ0
.
Im φ0
(2)
Re φ0
φ0
φ0
(2)
a)
.
.
.
.
.

-.
-.
-.
-.
-.
-
(2)
(2)
.
.

-.
-
-

x



-.
-

x
-


Abb. .: Wellenfunktion mit g = 0 und γ = 0.3 für a) das Potential V2 aus Abbildung .,
das mit dem Superpotential aus der Differentialgleichung (.) konstruiert wurde, bzw. b) das
(1)
Potential V2 in Abbildung ., das mit dem aus der Wellenfunktionen φ0
potential generiert wurde.
stammenden Super-
7
S U S Y- E RW E I T E R U N G D E S N I C H T L I N E A R E N D O P P E L - D E LTA POTENTIALS
Bisher wurde das Doppel-Delta-Potential bzw. die GPE nur ohne die Nichtlinearität
2
g ψ betrachtet. Da diese Nichtlinearität aber starke Auswirkungen auf die Energieeigenwerte und die Zahl der Lösungen hat, soll nun der Superpartner für das
System mit Nichtlinearität betrachtet werden. Weil die Supersymmetrie nur für die
lineare Quantenmechanik entwickelt wurde, ist nicht zu erwarten, dass die direkte
Anwendung auf die nichtlineare GPE erfolgreich ist. Trotzdem sollen hier ein paar
Vorbetrachtungen erfolgen, die helfen können, die Nichtlinearität in folgenden Arbeiten zu behandeln.
.
spektrum mit nichtlinearität
Sehr schnell erkennt man aus dem Vorgehen in Abschnitt .., dass die Gewinnung des Superpotentials über Gleichung (.) nicht richtig sein kann. Dieser Weg
behandelt die Nichtlinearität wie einen gewöhnlichen Teil des Potentials V1 . Dieses
lautet nun
a
a
(2)
(1) 2
∗
V1 (x ) = κ0 + νδ x −
+ ν δ x + + g φ0 .
(.)
2
2
Das wird vermutlich nicht auf die richtige Lösung führen, da die Nichtlinearität
(1)
somit auch in das Potential V2 mit der Form der Wellenfunktion φ0 eingeht und
nicht mit der Form des neuen Systems. Zu Beginn berechnen wir daher das Partnersystem mit dem Potential V2 , das aus dem Superpotential W konstruiert wird,
welches aus der Differentialgleichung (.) mit V1 aus (.) generiert wird. Auch
(1)
hier geht die Wellenfunktion φ0 explizit ein. Dieser Weg beinhaltet aber durch
die Wahl von W (0) eine zusätzliche Freiheit, die im nächsten Abschnitt ausgenutzt
(2)
wird. Wie die Abbildung . zeigt, nimmt κ0 einen höheren Wert bei γ = 0 an
als das zugehörige lineare System aus Abbildung ., was auch erwartet wurde, da
(1)
das Spektrum von E0
für γ = 0 bei steigender Nichtlinearität g ebenfalls höhere
(2)
Werte annahm. Für ein steigendes γ sinkt der Wert für κ0 . Allerdings nehmen die
(2)
Werte für κ0 nicht den erwarteten (idealen) Verlauf an, der sich aus der bekannten
Energie des angeregten Zustands ergibt. Die Kurve κid wird mittels
r
κid =
(1)
κ0
2
(1)
− κ1
2
(.)
(1)
berechnet, wobei κ0,1 den Energiewerten des ursprünglichen Doppel-Delta-Potentials entsprechen. Für die exakte Supersymmetrie subtrahieren wir den Energiewert
des Grundzustands von allen Energien, woraus wir dann den entsprechenden Energieeigenwert für das Partnersystem H2 berechnen.


SuSy-Erweiterung des nichtlinearen Doppel-Delta-Potentials
.
.
.
.
κ
.
(2)
.
κ0 (g = 0.01)
.
κid (g = 0.01)
.
κ0 (g = 0.1)
.
κid (g = 0.1)
.
(2)

.
.
.
.
.
γ
(2)
(2)
Abb. .: Energiespektrum E0 , dargestellt in κ0 für verschiedene Werte g der Nichtlinearität.
Für beide Werte von g sind der numerisch berechnete und der ideale Verlauf nach Gleichung (.)
eingezeichnet.
(2)
Die numerisch berechneten κ0 liegen stets über den richtigen Werten, wobei die
Abweichung bei kleinen g weniger stark ist. Man sieht deutlich, dass für g = 0.01
der gewünschte Effekt, nämlich die Existenz einer nahezu unveränderten Energie
bei entferntem Grundzustand, weiterhin besteht. Da die Streulänge a und damit
der Parameter g der Nichtlinearität durch Feshbach-Resonanzen gesteuert werden
können [, ], sind kleine Nichtlinearitäten g 0.01 experimentell durchaus realisierbar. Da jedoch interessante Effekte wie die Instabilität und eine höhere Anzahl
an Lösungen bei stärkerem g auftreten, muss eine Methode für die Berechnung des
Partnerpotentials V2 gefunden werden, die ein stärkeres g zulässt, sowie exakte Supersymmetrie und die gleichen Energieeigenwerte aufweist.
.
variation des superpotentials
Es wurde festgestellt, dass die Supersymmetrie für ein nichtverschwindendes g
nicht mehr erfüllt ist. Um zu erreichen, dass der Grundzustand von H2 bei der
gleichen Energie liegt, wie der angeregte Zustand von H1 , wäre ein Ansatz, die Integrationskonstante in W durch die Angabe von W (0) , 0 vorzugeben. Dabei soll
die Forderung nach der korrekten Energie erfüllt sein, also die Bedingung
r
(2)
κ0 =
(1)
κ0
2
(1)
− κ1
2
gelten. Weil das Superpotential im Allgemeinen komplex sein kann, hat man vier
Möglichkeiten, den Wert von W im Ursprung zu wählen.
. Re W (0) = 0 ∧ Im W (0) = 0
Dieser Fall führt wieder zu den Ergebnissen, dass die Supersymmetrie nicht
mehr erfüllt ist, da bisher immer angenommen wurde, dass das Superpoten-

SuSy-Erweiterung des nichtlinearen Doppel-Delta-Potentials
a)
b)


.
Re W
.
Re V2

Im W

Im V2
.


V2
W
.
.
.


-.
-.
-
-
-
-
-
-
-
x
-
-


-
-

-
-
-
-
-
x
-
-



Abb. .: a) Superpotential W und b) Partnerpotential V2 für g = 0.1 und γ = 0. Das Superpotential im Ursprung ist rein reell.
tial im Ursprung gleich null ist, weil dort die Ableitung der Wellenfunktion
gleich null ist.
. Re W (0) , 0 ∧ Im W (0) = 0
Die numerische Berechnung von W mit γ = 0 zeigte, dass der Realteil des Superpotentials nicht mehr antisymmetrisch ist und damit das Partnerpotential
V2 keine P T -Symmetrie mehr aufweist und rein reell ist. Diese Eigenschaft
kann auch direkt an der Differentialgleichung verstanden werden. Es gilt
(1) 2
(1)
W 0 = W 2 − g φ0 − κ0 − V1 .
Damit das Partnerpotential V2 P T -symmetrisch sein kann, muss ein rein reelles W 0 symmetrisch sein. Dies erfordert, dass W antisymmetrisch ist. Das
(1) 2
Betragsquadrat der Wellenfunktion φ und das Potential V1 sind bereits
0
symmetrisch und rein reell. Wenn nun das Superpotential im Ursprung nicht
identisch null ist, führt dies dazu, dass die Ableitung rechts und links der
Null verschiedene Werte annimmt. Dies bedeutet, dass wenn das Superpotential im Ursprung nicht verschwindet, man ein P T -gebrochenes V2 erhält, was
durch die Abbildung . bestätigt wird.
. Re W (0) = 0 ∧ Im W (0) , 0
Fordert man γ = 0, lässt aber einen Imaginärteil in W zu, erhält man eine
weitere Differentialgleichung,
Im W 0 = Im W 2 ,
für den Imaginärteil von W , die mit der Differentialgleichung für den Realteil
gekoppelt ist. Löst man dieses Problem numerisch, zeigt sich, dass das Superpotential einen antisymmetrischen Real- aber einen symmetrischen Imaginärteil hat, siehe Abbildung .. Daraus erhält man dann ein P T -symmetrisches
Partnerpotential V2 . Fordert man nun, dass die Energie exakt dem Wert des
(1)
Energieeigenwertes κ1 aus dem System H1 entspricht, ist die einzige Lösung
(2)
φ0 = 0. Es existiert damit kein Zustand bei dieser Energie.

SuSy-Erweiterung des nichtlinearen Doppel-Delta-Potentials
a)
b)
.
.
.
Re W
.
.
Im W
.
.

V2
W

-.
-.
-.
-.
Re V2
-.
-.
-.
-
-
-

x


-.
-

Im V2
-
-

x



Abb. .: a) Superpotential W und b) Partnerpotential V2 für g = 0.1 und γ = 0. Das Superpotential ist im Ursprung rein imaginär.
a)
b)

Re W

Im W

Re V2
Im V2
V2

W
.

.
.
.
.

-.
-.
-.
-.
-
-
-
-
-
-

x



-
-
-
-

x



Abb. .: a) Superpotential W und b) Partnerpotential V2 für g = 0.1 und γ = 0. Das Superpotential im Ursprung wurde komplex gewählt.
. Re W (0) , 0 ∧ Im W (0) , 0
Diese Startwerte stellen die Kombination von Fall  und  dar. Das Superpotential ist asymmetrisch und damit auch V2 , siehe Abbildung ..
All diese vier Fälle führen zu keinem V2 , das die Eigenschaften P T -Symmetrie und
exakte Supersymmetrie erfüllt. Eine Variation des Superpotentials im Ursprung
bringt also nicht den gewünschten Erfolg.
.
diskussion
Wie sich gezeigt hat, führt der Weg über ein Superpotential W für starke Nichtlinearitäten nicht zum gesuchten Partnerpotential V2 . Auch die Freiheit, ein W (0)
vorzugeben, konnte nicht dazu genutzt werden, um die korrekte Energie des verbleibenden Zustands im neuen System zu erzwingen. Trotzdem werden für schwache Nichtlinearitäten auf diesem Weg sehr gute Ergebnisse erzielt, und der Formalismus bleibt prinzipiell anwendbar.
Ein erfolgversprechender Weg, die Nichtlinearität vollständig zu behandeln, könnte darin liegen, zur Vielteilchengleichung (.) zurückzukehren und sie in zweiter
Quantisierung zu formulieren. Sollte es gelingen, diese Gleichung inklusive des
Wechselwirkungsterms in geeignete Operatoren B± nach Gleichung (.) zu faktorisieren, ließe sich ein konsistenter Supersymmetrie-Formalismus analog des Vorgehens aus Abschnitt . aufbauen. Es wäre interessant zu sehen, ob man daraus
SuSy-Erweiterung des nichtlinearen Doppel-Delta-Potentials

im Mean-Field-Grenzwert zwei Gross-Pitaevskii-Gleichungen gewinnen kann, die
alle gewünschten Eigenschaften erfüllen.
8
Z U S A M M E N FA S S U N G
Ausgangspunkt dieser Arbeit war die Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensats mit der Gross-Pitaevskii-Gleichung in einem externen Potential. Als externes
Potential wurde eine nicht-hermitesche P T -symmetrische Doppel-Delta-Geometrie gewählt, da diese den idealisierten Fall eines in einer Doppelmulde gefangenen
Bose-Einstein-Kondensats, bei dem auf einer Seite Atome eingekoppelt und auf der
anderen Seite ausgekoppelt werden, beschreibt [].
Ausgehend von diesem System wurde zuerst die analytische Lösung für eine verschwindende Nichtlinearität hergeleitet. Es hat sich gezeigt, dass dieses System erst
ab einem gewissen Abstand zwischen den Delta-Funktionen zwei Lösungen besitzt.
Da jedoch zwei Zustände nötig sind, um später den Supersymmetrie-Formalismus
anzuwenden, wurde der Abstand so gewählt, dass die Existenz zweier Zustände
gewährleistet ist. Im nächsten Schritt wurden, ebenfalls für eine verschwindende
Nichtlinearität, das Energiespektrum und die zugehörigen Zustände in Abhängigkeit der Kopplung an die Umgebung, sprich der Kopplungskonstante γ, numerisch
berechnet. Die Energieeigenwerte sind bis zu einer kritischen Kopplungskonstante rein reell. An dieser Stelle tritt eine Bifurkation auf, die Energien vom Grundund angeregtem Zustand sind gleich, sie haben sogar identische Wellenfunktionen.
Nach der Bifurkation gibt es zwei komplexe Energien, die zueinander komplexkonjugiert sind. Des Weiteren wurde bestätigt, dass die Zustände links der Bifurkation P T -symmetrisch, rechts der Bifurkation P T -gebrochen sind. Für eine nichtverschwindende Nichtlinearität in der Gross-Pitaevskii-Gleichung stellt man fest,
dass die Bifurkation früher stattfindet als im linearen Fall, und es einen Bereich
der Kopplungskonstante gibt, in dem insgesamt sogar vier Zustände existieren.
Aufgabe dieser Bachelorarbeit war die supersymmetrische Erweiterung des P T symmetrischen Doppel-Delta-Potentials. Dafür wurden die bisherigen Ergebnisse
herangezogen. Zu Beginn wurde wieder nur das lineare System ohne Gross-Pitaevksii-Nichtlinearität betrachtet, da die Supersymmetrie für solche entworfen wurde.
Mit Hilfe des Grundzustandes aus dem Doppel-Delta-Potential wurde ein Superpotential konstruiert, mit dem es möglich war ein Partnerpotential zu berechnen, das,
anstelle von zwei Zuständen, nur noch einen gebundenen Zustand hat. Die Energie von diesem Zustand entspricht exakt der Energie des angeregten Zustandes aus
dem Doppel-Delta-Potential. Im Anschluss wurde wieder das Spektrum mit steigender Kopplungskonstante berechnet. Auch für eine existierende Kopplung liegt
die Energie des Grundzustands des berechneten Partnerpotentials bei der des angeregten Zustands aus dem ursprünglichen Potential. Die Struktur, dass links der
kritischen Kopplungskonstante die Energie rein reell und der Zustand P T -symmetrisch bzw. rechts der kritischen Kopplungskonstante die Energie komplex und der
Zustand P T -gebrochen sind, bleibt erhalten.
Weil für eine existierende Kopplung an die Umgebung die Wellenfunktionen des
angeregten Zustandes keinen Knoten besitzt, kann auch aus diesem Zustand ein
Superpotential generiert werden. Da die Supersymmetrie immer den Zustand ent-


Zusammenfassung
fernt, aus dem das Superpotential generiert wird, fehlt im Partnersystem nun der
angeregte statt der Grundzustand. Dieses System hat für jede Kopplungskonstante
größer null exakt einen Zustand bei der Energie des Grundzustandes aus dem ursprünglichen Doppel-Delta-Potential. Auch hier ist die Energie links der kritischen
Kopplungskonstante rein reell und der Zustand ist P T -symmetrisch. Für zu starke Kopplung erhält man eine P T -gebrochen Wellenfunktionen und eine komplexe
Energie. Bei sehr kleinen Kopplungen nimmt der angeregte Zustand im Ursprung
extrem kleine Werte an, was dazu führt, dass das Partnerpotential sehr schmal und
sehr tief wird.
Neben der Berechnung der Spektren für den entfernten Grund- bzw. angeregten Zustand wurde gezeigt, dass am Punkt der Bifurkation nicht wie erwartet das
Partnerpotential keine Lösung besitzt, sondern stets ein Zustand existiert. Daraus
kann man die Schlüsse ziehen, dass die Supersymmetrie sich entweder nicht dazu
eignet, entartete Energien mit identischen Zuständen zu beschreiben, oder die Supersymmetrie spontan gebrochen wird. Beides sind aber nur im Ergebnis ununterscheidbare Annahmen. Der wichtige Aspekt ist, dass immer eine Lösung gefunden
wird.
Des Weiteren wurde eine Strategie entwickelt, mit der man das Superpotential,
und damit das Partnerpotential, nicht aus der Wellenfunktion des Grundzustandes
erhält, sondern eine Differentialgleichung ersten Grades löst. Es stellte sich heraus,
dass diese Konstruktion des Superpotentials eine Verallgemeinerung darstellt und
die Berechnung aus dem Grundzustand über eine entsprechende Wahl einer auf
diesem Weg zusätzlich auftretende Integrationskonstante beinhaltet. Diese Variante der Berechnung des Superpotentials hat zwar ein anderes Partnerpotential zur
Folge, an der Tatsache, dass dieses nur einen Zustand bei der Energie des nicht entfernten Zustandes aus dem ursprünglichen System hat, ändert sich jedoch nichts.
Man kann also festhalten, dass sich die Supersymmetrie, unabhängig von der
Wahl des Superpotentials, sehr gut dazu eignet, Partnersysteme des Doppel-Delta-Potentials bei verschwindender Gross-Pitaevskii-Nichtlinearität zu produzieren,
die alle Eigenschaften des ursprünglichen Systems aufweisen. Dazu gehört, ob die
Energieeigenwerte reell oder komplex, und die Wellenfunktionen P T -symmetrisch
oder P T -gebrochen sind.
Da die Motivation war, eine Möglichkeit zu finden, störende P T -gebrochene Zustände, die eine dynamische Instabilität in die nichtlineare GPE einführen, zu entfernen, wurde auch die Nichtlinearität in dieser Arbeit behandelt. Dabei wurde
dieselbe Strategie wie beim linearen Fall, d.h. die Konstruktion eines Partnerpotentials über ein Superpotential, gewählt. Es zeigte sich, dass diese Vorgehensweise
für kleine Nichtlinearitäten gute Näherungslösungen produziert, welche im Experiment realisiert werden könnten. Für starke Nichtlinearitäten schlägt diese Variante aber fehl. Auch die Freiheit einer Integrationskonstante bzw. die Vorgabe des
Superpotentials im Ursprung konnte nicht dazu ausgenutzt werden, ein entsprechendes System zu erzwingen, das einen Zustand bei der korrekten Energie besitzt.
Nichtsdestotrotz erhält man gute Näherungslösungen für kleine Nichtlinearitäten
und der Formalismus bleibt prinzipiell anwendbar.
Zukünftige Forschung könnte sich mit den Fragen beschäftigen, was die genaue
Ursache für die Diskrepanz in den Energien bei Berücksichtigung der Nichtlinearität ist, und wie man ein Partnersystem finden kann, welches alle Eigenschaften des
Zusammenfassung

ursprünglichen Systems besitzt, allerdings keine Zustände auftreten, die eine dynamische Instabilität des Systems zur Folge haben. Ein vielversprechender Weg wäre
die Beschreibung des Kondensats in zweiter Quantisierung und die anschließende
Faktorisierung des Hamiltonoperators in geeignete Operatoren B± .
L I T E R AT U RV E R Z E I C H N I S
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Feshbach Resonance. Phys. Rev. Lett. ,  ().

DA N K S A G U N G
Ich möchte allen danken, die mich beim Schreiben meiner Bachelorarbeit unterstützt haben. Besonders möchte ich mich für die hervorragende Unterstützung von
Holger Cartarius bedanken, durch dessen Initiative diese Bachelorarbeit erst zustande kam. Auf meine Fragen hatte er immer eine passende Antwort und er war
in jeder Hinsicht eine große Hilfe. Des Weiteren danke ich Herrn Prof. Günter Wunner, der es mir möglich machte meine Bachelorarbeit am . Institut für Theoretische
Physik anzufertigen. Auch Dennis Dast möchte ich danken, der mir bei Fragen zur
Numerik helfen konnte. Zuletzt möchte ich mich bei allen Mitarbeitern des ITP
für die angenehme Arbeitsatmosphäre und den freundlichen Umgang miteinander
bedanken.

E H R E N WÖ R T L I C H E E R K L Ä R U N G
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre,
ä dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
ä dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich
oder sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet habe,
ä dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen
Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
ä dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht ha-
be, es sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
ä und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexem-
plars übereinstimmt.
Stuttgart, den ..
Nikolas Abt