Aufgaben mit Lösungen zu: Harmonische Schwingungen

LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
03.07.2011
Aufgaben mit Lösungen zu: Harmonische Schwingungen
Von Reibungskräften wird abgesehen, und alle Federn werden als masselos betrachtet.
1) Zeige, dass für beliebige Winkel ϕ gilt: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 .
Hinweis: Zeichne im Einheitskreis einen Winkel ϕ mit 0° < ϕ < 90° . Zeichne die Strecken der
Länge sin ϕ und cos ϕ und verwende den Satz des Pythagoras.
2) Ein horizontaler Federschwinger besteht aus einer Feder mit der Federkonstanten D und einem
Körper der Masse m.
Gib an, wie die Gesamtenergie Wges des Federschwingers von der Amplitude s bzw. von der
maximalen Geschwindigkeit v abhängt.
Gib die kinetische Energie Wkin und die Spannenergie WSp in Abhängigkeit von der Zeit t an.
Zeige rechnerisch, dass die Summe aus kinetischer Energie Wkin und Spannenergie WSp zu jedem
Zeitpunkt gleich der Gesamtenergie Wges ist. Verwende dabei das Ergebnis aus 1).
3) Ein Körper K mit der Masse 500 g befindet sich in einer Höhe von 1 m
oberhalb einer Feder, die die Federkonstante 40 N m hat und in
entspanntem Zustand 30 cm lang ist. Der Körper wird losgelassen und fällt
auf die Feder.
a) Begründe, dass der Körper beim Auftreffen auf die Feder noch nicht
seine größte Geschwindigkeit erreicht hat.
In welchem Abstand vom Boden erreicht der Körper seine größte
Geschwindigkeit?
b) In welchem Abstand vom Boden hebt der Körper wieder von der Platte
ab?
06c_aufloes_harmonischeschwingungen
1/2
K
1m
30 cm
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
03.07.2011
Lösungen
1)
1
ϕ
sin ϕ
Pythagoras: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1
cos ϕ
2) Abhängigkeit der Gesamtenergie von der Amplitude bzw. der maximalen Geschwindigkeit:
n = 1 mv 2 und W = W
m = 1 D s 2
Wges = W
kin
ges
Sp
2
2
Abhängigkeit der kinetischen Energie und der Spannenergie von der Zeit:
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) und v ( t ) = v ⋅ cos (ω t + ϕ )
(
)
(
)
2
1
1
m ⋅ ( v ( t ) ) = m v ⋅ cos (ω t + ϕ )
2
2
2
= Wges ⋅ cos (ω t + ϕ )
Wkin ( t ) =
2
=
1 2
n ⋅ cos 2 (ω t + ϕ )
mv ⋅ cos 2 (ω t + ϕ ) = W
kin
2
2
2
1
1
1 2
m ⋅ sin 2 (ω t + ϕ )
D ⋅ ( s ( t ) ) = D s ⋅ sin (ω t + ϕ ) = Ds ⋅ sin 2 (ω t + ϕ ) = W
Sp
2
2
2
= Wges ⋅ sin 2 (ω t + ϕ )
Nachweis, dass die Summe aus kinetischer Energie und Spannenergie gleich der Gesamtenergie ist:
Wkin ( t ) + WSp ( t ) = Wges ⋅ cos 2 (ω t + ϕ ) + Wges ⋅ sin 2 (ω t + ϕ )
WSp ( t ) =
= Wges ⋅ ( sin 2 (ω t + ϕ ) + cos 2 (ω t + ϕ ) )
= Wges
3) a) Begründung, dass der Körper beim Auftreffen auf die Feder noch nicht seine größte
Geschwindigkeit erreicht hat:
Beim Auftreffen auf die Platte erfährt der Körper die Gewichtskraft nach unten (und sonst keine
Kraft), also beschleunigt der Körper nach unten, wird also schneller.
Abstand vom Boden bei der größten Geschwindigkeit:
Die Geschwindigkeit ist maximal, wenn die Beschleunigung Null ist, wenn also die resultierende Kraft auf den Körper Null ist, wenn also die Federkraft denselben Betrag wie die
Gewichtskraft hat. Dann ist die Feder um folgende Strecke s zusammengedrückt:
Ds = mg
N
0,5 kg ⋅ 9,81
mg
kg
=
≈ 0,123 m = 12,3 cm
s=
N
D
40
m
Dort ist der Abstand zum Boden 30 cm − 12,3 cm = 17, 7 cm .
b) Der Körper hebt wieder von der Platte ab, wenn die Feder wieder entspannt ist, also 30 cm
oberhalb des Bodens.
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