MuLö 3

Energiemethoden, Prof. Popov, WiSe 11/12, 3. Woche
Lagrange-Gleichungen 2. Art (nicht-konservativ)
Tutorium
glatt
y
g
m1
l
k
ϕ
m2
l
x
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetische Energie T , die potentielle Energie U und die Dissipationsfunktion D
als Funktion von ϕ und ϕ̇ auf. Wie ist die Lagrangefunktion L definiert?
(c) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion
1
L = (2m1 sin2 ϕ + m2 )l2 ϕ̇2 − (2m1 + m2 )gl cos ϕ − 2kl2 (1 − cos ϕ)2
2
wobei je nach Art der Widerstandskraft (CoulombReibung, lineare Dämpfung, Luftwiderstand) ν = 1, 2, 3
einzusetzen und der entsprechende Koeffizient bν zu verwenden sind.
Die zugehörige generalisierte Kraft kann dann mittels der
Beziehung
Qi := −
weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System.
π
3
(d) Wie groß muß die Federsteifigkeit k sein, damit das System für ϕS =
hat?
(e) Welche weiteren Gleichgewichtslagen sind im Bereich − π2 < ϕ <
Federsteifigkeit k den in Teil (d) bestimmten Wert hat?
eine Gleichgewichtslage
π
2
vorhanden, wenn die
m1
g
bestimmt werden.
1
1
d|ẏ1 |2 = d(2lϕ̇ sin ϕ)2
2
2
= 2dl2 ϕ̇2 sin2 ϕ.
k
ϕ
(9)
D=
l
ey
∂D
∂ q̇i
Im vorliegenden Fall (linearer Dämpfer mit Dämpfungskonstante d) sind ν = 2 und bν = d zu verwenden. Damit
lautet die Dissipationsfunktion
Geg: k, d, m1 , m2 , l, g
d
Version 28. November 2011
5. Dissipationsfunktion und/oder generalisierte Kräfte:
Einige nicht-konservative generalisierte Kräfte lassen sich
mittels einer Dissipationsfunktion beschreiben. Diese hat
die Form
1
(8)
D = bν |v rel |ν ,
ν
Aufgabe 31
Ein starrer Körper (Masse m1 ) gleitet reibungsfrei in vertikaler
Richtung und ist über eine masselose Stange (Länge l) mit einer
Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körper ist außerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Federsteifigkeit
k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt. Die entspannte
Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m2 ist über eine weitere d
Stange (Länge l) gelenkig an den Boden gekoppelt.
Lösungshinweise Seite 1
l
m2
Die (hier einzige) generalisierte Kraft ist:
ex
(a) Das System hat genau einen Freiheitsgrad, d.h.
es kann auch nur eine generalisierte Koordinate geben.
Ich wähle ϕ
(b) 1. Kinematik
r 1 = 2l cos ϕey
(1)
v 1 = −2lϕ̇ sin ϕey
(2)
r 2 = l sin ϕex + l cos ϕey
(3)
v 2 = lϕ̇ cos ϕex − lϕ̇ sin ϕey
(4)
∂D
∂ ϕ̇
= −4d l2 ϕ̇ sin2 ϕ
Qϕ = −
Qϕ =
i=1
Fi ·
∂ri
∂ϕ
∂r1
∂ϕ
= −dẏ1 ey · (−2l) sin ϕey
= FD
(12)
(c) Ableitungen:
(5)
2
1
U = 2m1 g l cos ϕ + m2 g l cos ϕ + k 2l cos ϕ − 2l
(6)
2
4. Lagrange- Funktion:
1 L = K − U = 2m1 sin2 ϕ + m2 l2 ϕ̇2 ...
2
− 2m1 + m2 g l cos ϕ...
2
− 2k l2 cos ϕ − 1
n
X
= −4d l2 ϕ̇ sin2 ϕ.
K=
(11)
Diese generalisierte Kraft lässt sich allerdings auch anders
bestimmen. Nämlich ist nach Definition:
2. Kinetische Energie:
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
1
2 2
= m1 4l ϕ̇ sin2 ϕ
2
1
+ m2 l2 ϕ̇2 cos2 ϕ + l2 ϕ̇2 sin2 ϕ
2
1 = 2m1 sin2 ϕ + m2 l2 ϕ̇2
2
3. Potentielle Energie:
(10)
(7)
∂L
= 4m1 sin2 ϕ + m2 l2 ϕ̇
(13)
∂ ϕ̇
d ∂L
= 8m1 sin ϕ cos ϕϕ̇2 l2
dt ∂ ϕ̇
+ 4m1 sin2 ϕ + m2 l2 ϕ̈
(14)
∂L
= 4m1 sin ϕ cos ϕ l2 ϕ̇2 + 2m1 + m2 g l sin ϕ
∂ϕ
(15)
+ 4k l2 cos ϕ − 1 sin ϕ
∂D
= 4d l2 ϕ̇ sin2 ϕ
(16)
∂ ϕ̇
Lagrangegleichungen 2. Art: Die Gleichungen lauten:
d ∂L ∂L h ∂D i n o
(17)
+
− Qϕ = 0
−
dt ∂ ϕ̇ ∂ϕ
∂ ϕ̇
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Lagrange-Gleichungen 2. Art (nicht-konservativ)
Lösungshinweise Seite 2
Version 28. November 2011
f
Kinematische Beziehungen:
Die Gleichung ohne beide geklammerten Terme gilt für
~
Systeme, bei denen alle Kräfte aus einem Potential herx ϕ̇1 = ẋ1 /R und x̃ = 2 x1
geleitet werden können. Der Term in eckigen Klammern
Massenträgheitsmoment:
wird benutzt, falls es Kräfte gibt, deren Einfluss mittels
R
x
Θ1S = 12 m1 R2
1
einer Dissipationsfunktion beschrieben wird. Wird der Anteil des Dämpfer dort berücksichtigt, so entfällt der Term
in geschweiften Klammern. Dieser (bei dem man die generalisierte Kraft direkt berechnet) kann für jede Art von Kinetische Energie:
Kräften benutzt werden.
1
1
1
K = m1 ẋ21 + Θ1S ϕ̇21 + m2 ẋ22
Im vorliegenden Problem benutzt man also entweder Qϕ
2
2
2
aus Gleichung (11) bzw. (12) und setzt dies zwischen die
1
3
= m1 ẋ21 + m2 ẋ22
geschweiften Klammern. Oder(!) man benutzt die Dissi4
2
pationsfunktion (10) und setzt diese in die eckigen Klammern ein. Es ergibt sich dann die Bewegungsdifferential- Potentielle Energie der Feder:
gleichung:
1
U = c (x2 − x1 )2
2
2
⇒ 4m1 sin ϕ cos ϕ ϕ̇2 l2 + 4m1 sin ϕ + m2 l2 ϕ̈
Berechnung der generalisierten Kraft:
− 4k l2 cos ϕ − 1 sin ϕ
− 2m1 + m2 g l sin ϕ + 4d l2 ϕ̇ sin2 ϕ = 0 (18) Virtuelle Arbeit:
(d) Gleichgewichtslage bei ϕs =
π
3
Statisches Gleichgewicht heißt:
ϕ̈ = ϕ̇ = 0
(24)
(25)
∂(2x1 )
∂ x̃
δx1 = P
δx1
∂x1
∂x1
= 2P δx1 = Q1 δx1
δW = P δx̃ = P
⇒
Q1 = 2P
⇒ − 4k l2 cos ϕs − 1 sin ϕs − 2m1 + m2 g l sin ϕs = 0 Mit der Lagrange Funktion L = T − U gilt:
1
(19)
⇒ − 4k l2 − 1 2m1 + m2 g l = 0
d ∂L
∂L
2
−
= Qi
i = 1, 2
dt ∂ ẋi
∂xi
(26)
2kl = 2m1 + m2 g
2m1 + m2
k=
g
2l
(24) und (25) und (26) eingesetzt, es ergeben sich die Be(20) wegungsgleichungen des Systems:
3
m1 ẍ1 − c (x2 − x1 ) = 2P (t)
2
m2 ẍ2 + c (x2 − x1 ) = 0
(e) Weitere Gleichgewichtslagen
bei der berechneten Steifigkeit: (20) in (19)
⇒
h
i
−2 cos ϕs − 1 − 1 sin ϕs = 0
⇒ sin ϕs = 0 ⇒ ϕs2 = 0
außerdem cos ϕs =
π
1
⇒ ϕs3 = −
2
3
(27)
(21)
(22)
(23)
Aufgabe 32
Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m1 , Radius R), einer Zahnstange 3 und
einem Gleitkörper 2 (Masse m2 ). Die Masse der Zahnstange soll vernachlässigt werden. Zudem
soll für eine erste Untersuchung des Schwingungsverhaltens auf eine Berücksichtigung der Reibung
verzichtet werden.
reibungsfreies Gleiten
P (t)
Durch eine periodische
2
Kraft P (t) wird das Syc
stem zu Schwingungen
3
angeregt. Bestimme mit
1
Hilfe der Lagrangeschen
Gleichungen die Bewegungsgleichungen
des
Systems!
reibungsfreies Gleiten
Geg.: m1 , m2 , R, P (t), c
(28)
(29)
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Lagrange-Gleichungen 2. Art (nicht-konservativ)
Hausaufgabe
Lösungshinweise Seite 3
Version 28. November 2011
In (38) wird der Einfluss des Dämpfers in der partiellen
Ableitung der Dissipationsfunktion berücksichtigt, in (39)
geschieht das mittels der generalisierten Kraft QD . Im Folgenden wird (38) verwendet.
Aufgabe 27
R
Das skizzierte System wird durch das Moment M (t) zum Schwingen angeregt. In der eingezeichneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Länge l0 gespannt;
die untere Feder ist so gespannt, daß x = 0 die Gleichgewichtslage ist. Die Seile seien undehnbar.
Es werden ausschließlich kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage betrachtet.
(a) Stellen Sie die kinetische Energie
m, ΘS
T und potentielle Energie U für
c
M (t)
das System auf.
c
(b) Bestimmen Sie die Dissipationsfunktion D oder die generalisierte
d
Kraft Q.
S
x
(c) Bestimmen
Sie
nun
die
Bewegungsdifferentialgleichung in
r
der Schwerpunktskoordinate x.
Um welche Länge muß die untere
Feder gespannt sein, damit x = 0
reines Rollen
die Gleichgewichtslage ist?
(d) Bestimmen sie die Amplitude der
stationären Schwingung!
Geg.: m, ΘS , M (t) = M0 cos Ωt, M0 , Ω, c, d
(a) Kinematik: In der gezeichneten Lage sind die Federn
bereits gespannt. Seien l0 und lu die Auslenkungen der
oberen bzw. der unteren Feder.
Für das rollende Rad besteht zwischen Drehwinkel ϕ und
Verschiebung des Mittelpunktes der Zusammenhang
ẋ
x
→ ϕ̇ = .
ϕ=
R
R
Potentiellen und kinetischen Energie:
2
1
R+r
1
2
x
U = c (l0 + 2x) + c lu −
2
2
R
ΘS
1 S 2
1
1
2
m + 2 ẋ2
K = mẋ + Θ ϕ̇ =
2
2
2
R
(b) Dissipationsfunktion:
partielle Ableitungen:
ΘS
d ∂L
= m + 2 ẍ
dt ∂ ẋ
R
∂L
R+r
R+r
= c −2(l0 + 2x) +
(lu −
x)
∂x
R
R
∂D
= dẋ
∂ ẋ
2l0 − lu
(31)
R+r
=0
R
⇒
lu =
2R
l0
R+r
(45)
(35)
besteht aus einem starren
Körper der Masse m, der auf einer Ebene reibungsfrei gleitet und mit zwei Federn und zwei Dämpfern an die Umgebung gebunden ist. Im Körperschwerpunkt ist ein mathematisches Pendel (Länge
l, Masse m) angebracht, das von einem Wind der Geschwindigkeit v w von unten angeblasen wird (Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendelmasse wird durch
die Kraft P (t) = P0 cos Ωtex erregt. Die Bewegung
verläuft im Erdschwerefeld.
ex
ey
g
x
c
c
m
b
b
ϕ
l
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems
bzgl. der generalisierten Koordinaten x und ϕ
auf.
m
(b) Berechnen Sie den Betrag der Relativgeschwindigkeit |v rel | zwischen Pendelmasse und Wind.
(c) Lagrange-Funktion:
L=K−U
(36)
"
2 #
S
Θ
1
R+r
1
2
2
m + 2 ẋ − c (l0 + 2x) + lu −
x
=
2
R
2
R
(37)
(c) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf.
P (t)
vw
(d) Geben Sie die generalisierten Nicht-Potentialkräfte Qx und Qϕ an, die nicht durch D modellierbar sind.
(e) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System.
Hinweis: v rel = v m − v w ; v m : Geschw. der Pendelmasse, v w Windgeschwindigkeit
Geg.: m, b, c, k, l, g, vw , P0 , Ω
(a) Kinematik:
Lagrange-Gleichung 2.Art:
alternativ:
(44)
Setzt man den Wert für lu in (43) ein, so folgt:
"
(32)
2 #
M (t)
R+r
ΘS
x=
.
m + 2 ẍ + dẋ + c 4 +
R
R
R
∂r D
∂(xex )
= −dẋex ·
= −dẋ.
(34)
∂x
∂x
Das Erregermoment muss über seine generalisierte Kraft
in den Formalismus eingefügt werden:
d ∂L ∂L ∂D
−
+
= QM
dt ∂ ẋ
∂x
∂ ẋ
d ∂L ∂L
−
= QM + QD
dt ∂ ẋ
∂x
(42)
Im Gleichgewicht gilt ẋ = ẍ = 0 und nach Vorgabe auch
(30) x = 0. Außerdem ist hierfür auch M (t) anzunehmen. Einsetzen dieser Bedingungen in (43) ergibt
QD = F D
QM
(41)
Durch Einsetzen in (38) erhält man die Differentialgleichung:
ΘS
m + 2 ẍ + dẋ+
R
R+r
M (t)
R+r
+ c 2 (l0 + 2x) −
x
=
(43)
lu −
R
R
R
1
(33)
D = dẋ2
2
Alternativ ist die Darstellung über eine generalisierte Aufgabe 30
Das skizzierte System
Kraft möglich:
∂ϕ
∂(ϕez )
M (t)
= M (t) ·
= M (t)ez ·
=
∂x
∂x
R
(40)
(38)
(39)
v 1 ≡ ṙ 1 = ẋex
r1 = xex ⇒
r2 = (x + l sin ϕ)ex + l cos ϕey
v 2 = ẋ + l cos ϕϕ̇ ex + −l sin ϕϕ̇ ey
(46)
(47)
(48)
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Lagrange-Gleichungen 2. Art (nicht-konservativ)
Kinetische Energie:
1
1
mv 21 + mv 22
2
2
2
2 i
1 h
1
2
= mẋ + m ẋ + l cos ϕϕ̇ + −l sin ϕϕ̇
2
2
1
2
(49)
= m 2ẋ + 2lẋϕ̇ cos ϕ + l2 ϕ̇2
2
K=
Potentielle Energie:
U = −mgl cos ϕ + cx2
(50)
Lösungshinweise Seite 4
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∂L
= mlẋ cos ϕ + ml2 ϕ̇
∂ ϕ̇
d ∂L
= mlẍ cos ϕ − mlẋϕ̇ sin ϕ + ml2 ϕ̈
dt ∂ ϕ̇
∂L
= −mlϕ̇ẋ sin ϕ − mgl sin ϕ
∂ϕ
1
∂D
= k|v rel | 2l2 ϕ̇ + 2l(ẋ cos ϕ − vw sin ϕ)
∂ ϕ̇
2
L=K −U
(51) Bewegungsdifferentialgleichungssystem:
m
2ẋ2 + 2lẋϕ̇ cos ϕ + l2 ϕ̇2 + mgl cos ϕ − cx2
L=
2mẍ + mlϕ̈ cos ϕ − mlϕ̇2 sin ϕ + 2cx + 2bẋ+
2
(52)
+ k|v rel | ẋ + lϕ̇ cos ϕ = P (t)
(b) Relativgeschwindigkeit zwischen Wind und Kugel
v w = −vw ey
(53)
v rel = ẋ + l cos ϕϕ̇ ex + −l sin ϕϕ̇ ey − −vw ey
v rel = ẋ + l cos ϕϕ̇ ex + vw − l sin ϕϕ̇ ey
(54)
q
2
2
|v rel | =
ẋ + l cos ϕϕ̇ + vw − l sin ϕϕ̇
q
2 + l 2 ϕ̇2 + 2l ϕ̇ ẋ cos ϕ − v sin ϕ
(55)
|v rel | = ẋ2 + vw
w
v rel = v m − v w
(c) Dissipationsfunktion
1
D = bẋ2 + k|v rel |3
(56)
3
3
k 2
2
ẋ + vw
+ l2 ϕ̇2 + 2lϕ̇ ẋ cos ϕ − vw sin ϕ 2
D = bẋ2 +
3
(57)
(d) generalisierte Kräfte:
δWp = P (t)ex δr 2
∂r2
∂r 2
δx +
δϕ
= P (t)ex
∂x
∂ϕ
δWp = P (t) δx + l cos ϕδϕ
Qx = P (t)
Qϕ = P (t)l cos ϕ
(e) Ableitungen:
∂L
= 2mẋ + mlϕ̇ cos ϕ
∂ ẋ
d ∂L
= 2mẍ + mlϕ̈ cos ϕ − mlϕ̇2 sin ϕ
dt ∂ ẋ
∂L
= −2cx
∂x
k
∂D
= 2bẋ + |v rel | 2ẋ + 2lϕ̇ cos ϕ
∂ ẋ
2
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(68)
(69)
(70)
Lagrange-Gleichungen 2.Art:
d ∂L
∂L
∂D
−
+
= Qi
dt ∂ q̇i
∂qi
∂ q̇i
Lagrange-Funktion:
(67)
(71)
(72)
ml2 ϕ̈ + mlẍ cos ϕ + mgl sin ϕ+
+ k|v rel | l2 ϕ̇ + l(ẋ cos ϕ − vw sin ϕ) = P (t)l cos ϕ (73)