teilchenphysik. - auf fam

UNIVERSITÄT KARLSRUHE
Vortrag zum Seminar
E XPERIMENTELLE M ETHODEN
T EILCHENPHYSIK
DER
mit dem Thema
E LEKTROMAGNETISCHE
W ECHSELWIRKUNG VON P HOTONEN
E LEKTRONEN MIT M ATERIE
Michael Ralph Pape
WS 1998/1999
1
UND
1 EINLEITUNG
2
1 Einleitung
Unsere experimentellen Kenntnisse über den Atomkern und die Elementarteilchen erhalten wir hauptsächlich, indem wir Stoffe mit Mikroteilchen beschießen.
Die dabei entstehenden Reaktionsprodukte hinterlassen Spuren in den Stoffen.
Aus diesen können dann Rückschlüsse auf die Teilchen gezogen werden.
Ein wichtiges Hilfmittel um diese Prozesse darzustellen, sind die F EYNMANN D IAGRAMME . In ihnen wird vertikal die Zeit und horizontal eine Ortskoordinate
aufgetragen. Ein gleichförmig bewegtes Teilchen wird durch eine gerade „Weltlinie” dargestellt. Die Steigung der Linie gibt die Geschwindigkeit des Teilchens
an. Photonen werden als Wellenlinie dargestellt. Gewöhnlich kennzeichnet man
die Linien geladener Teilchen noch mit einem Pfeil. Ein Elekronenpfeil zeigt in
die Zukunft, ein Positronenpfeil in die Vergangenheit. Alle Ereignisse werden
durch Punkte oder Knoten dargestellt, in denen sich die Linien kreuzen, berühren, verzweigen oder vereinen. In den Vertizes gilt Energie- und Impulserhaltung.
Feynmann-Diagramme veranschaulichen in erster Linie mathematische Audrücke
für die entsprechenden Teilchen.
2 Wechselwirkung von Elektronen mit Materie
Die hauptsächlichen Vorgänge, die zum Energieverlust bei Elektronen führen,
sind Ionisation und Anregung. Bei relativistischen Energien tritt zusätzlich Bremsstrahlung hinzu.
2 WECHSELWIRKUNG VON ELEKTRONEN MIT MATERIE
3
2.1 Inelastische Streuung
2.1.1 Ionisationsverluste
Im Ionisationsbereich
EB < Ee < Ec erleidet das Elektron viele Streuungen
aufgrund seiner kleinen Masse. BETHE hat unter Berücksichtigung dieser und
anderer Besonderheiten den spezifischen Ionisationsverlust für Elektronen abgeleitet. Er erhielt:
( dE
dx )ion
mit NV Atomdichte, =
e
und < EB
( )
Ee p
e4 NV Z
p
(ln(
2
2
(e) ) +
4 "0 me c
2<EB >
q
1
1
v2
c2
p1 ),
dem Koeffizienten der Lorentz-Transformation
> der mittleren Bindungsenergie der Hüllenelektronen.
Stark vereinfacht gilt dann:
( dE
dx )ion
Z ln(Ee) .
2.1.2 Strahlungsverluste
Strahlungsverluste treten im dem Bereich Ee
> Ec auf.
Schnelle geladene Teilchen verlieren Energie durch Wechselwirkung mit dem
Coulombfeld der Kerne der durchdrungenen Materie. Sie werden abgelenkt.
Dieser Vorgang wird als Coulombstreuung bezeichnet. Die Ablenkung bremst
oder beschleunigt die Teilchen. Ein beschleunigtes Teilchen strahlt und setzt
einen Teil seiner kinetischen Energie in Form von Photonen frei. Diese Strahlung
nennt man Bremsstrahlung.
Der Bremsstrahlungsverlust von Elektronen mit hoher kinetischer Energie, d.h.
Ee mZe1c=23 , ergibt sich zu
Z2
( dE
dx )rad = 4 NA A
re Ee ln( Z = ) = XEe
2
183
1 3
0
mit Z , A Ladungs- und Massezahl des bremsenden Mediums, E e der Energie
2
des einfallenden Elektrons und re = 4"e0 me c2 dem Elektronenradius.
2 WECHSELWIRKUNG VON ELEKTRONEN MIT MATERIE
4
Ee
( dE
dx )rad = X0 wird die Strahlungslänge X0 definiert. Durch Integration
X
dieser Gleichung erhalten wir E (X ) = E0 e X0 . Diese Funktion beschreibt die
Durch
exponentielle Schwächung der Energie eines geladenen Teilchens durch Bremsstrahlungsverluste.
Bemerkenswert ist, daß die Bremsstrahlungsverluste proportional zur Energie
und umgekehrt proportional zum Massequadrat der einfallenden Elektronen sind.
Die Ionisationsverluste hingegen sind proportional zum Logarithmus der Energie. D.h. für Bremsstrahlungsverluste gilt
( dE
dx )rad
Z Ee
2
und
( dE
dx )rad
me
1
2
und für Ionisationsverluste gilt
( dE
dx )ion
ln(Ee) .
Insgesamt ergibt sich für den Strahlungsverlust von Elektronen
dE = ( dE ) + ( dE ) .
dx
dx ion
dx rad
Sind Bremsstrahlungs- und Ionisationsverluste gerade gleich, so haben die einfallenden Elektronen gerade die kritische Energie.
Bei Energiewerten die weit unterhalb der kritischen Energie Ec , die näherungsweise durch Ec = 600MeV
Z , gegeben ist, überwiegt die Anregung und Ionisation
der gebundenen Absorberelektronen. Oberhalb der kritischen Energie überwiegen die Strahlungsverluste.
2.2 Strahlungslänge
Strahlungslänge ist der Abstand, in dem die Energie eines Teilchens (e ) aufgrund von Strahlungsverlusten (z.B. durch Aussenden eines Photons) um den
Faktor e abnimmt.
Für die Wechselwirkung von Teilchen (e ) mit dem Kern gilt:
X0 = 4NA Z Are ln( ) ,
Z =
mit A der Atommasse, NA der Avogadrokonstante, Z der Ladungszahl des Targets, der Feinstrukturkonstanten und r e2 dem klassischen Elektronenradius.
2
2
183
1 3
Für die Wechselwirkung von Teilchen (e ) mit den Kern- und Hüllenelektronen
gilt:
2 WECHSELWIRKUNG VON ELEKTRONEN MIT MATERIE
5
A
X0 = 4NA Z (Z +1)
re ln( Z = ) .
183
1 3
2
Dies kommt zustande, weil Bremsstrahlung auch durch die Wechselwirkung des
einfallenden Teilchens mit den Elektronen der Targetmaterie emittiert wird. Da
bei atomaren Targetelektronen die Ladung gleich 1 ist, erhält man dadurch einen
zusätzlichen Beitrag zum Wirkungsquerschnitt der proportional zur Zahl der Targetelektronen ist, also Z .
Unter Berücksichtigung der Abschirmeffekte der Hüllenelektronen gilt genauer:
;4A
X0 = Z (Z716
+1)ln(
183
p
Z
)
.
Material Wasser
Blei
Eisen Kohlenstoff
X0 [cm]
0.56
1.76
36
18.8
Luft
Wasserstoff
30000
700000
2.3 Elastische Streuung
2.3.1 M;llerstreuung (e
e
!e e
)
Bei der M;llerstreuung geht es um die Streuung von Elektronen an Elektronen. Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen erfolgt
durch Absorption und Emission von Lichtquanten. Da die beiden Elektronen
nicht unterscheidbar sind, sind hier zwei Graphen denkbar. Die ausgetauschten
Photonen sind nicht als freie Teilchen, sondern als virtuelle Teilchen aufzufassen.
Diese dürfen innerhalb kurzer Zeit, in Übereinstimmung mit der Unschärferelati =2; den Energieerhaltungssatz verletzen. Die beiden Elektronen
on 4E 4t h
sind nicht unterscheidbar.
2 WECHSELWIRKUNG VON ELEKTRONEN MIT MATERIE
6
e+ ! e e+ )
2.3.2 Bhabhastreuung (e
Hier geht es um die Streuung von Elektronen an Positronen. In der FeynmannDarstellung sind zwei Graphen denkbar. Der Erste heißt Austauschdiagramm
und der zweite Annihilations- oder Vernichtungsdiagramm.
Die virtuellen Photonen in den beiden Diagrammen der Bhabha-Streuung haben
verschiedene Eigenschaften. Betrachtet man beide Reaktionen im Schwerpunktsystem, so haben die im Austauschdiagramm einfallenden und emittierten Elektronen gleiche Energie, aber entgegengesetzten Impuls. Daher sind Energie und
Impuls des virtuellen Photons gegeben durch
E = Ee
Ee = 0
0
und
p = pe
pe = +2pe.
0
Definieren wir die Masse des virtuellen Photons durch E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 , so
finden wir
(mc2 )2 =
(2pe c)2
< 0.
Das virtuelle Photon trägt nur Impuls, aber keine Energie. Das Quadrat seiner
Masse ist negativ. Ein solches Photon wird raumartig genannt.
Im Vernichtungsdiagramm ist die Situation umgekehrt.
E = Ee
+ Ee+ = 2E
und
p = pe
+ pe+ = 0.
Das virtuelle Photon trägt nur Energie, aber keinen Impuls. Das Quadrat seiner
Masse ist durch (mc2 )2 = (2E )2
wird zeitartig genannt.
> 0 gegeben. Es ist positiv und das Photon
Bei der Bhabha-Streuung kommen sowohl zeit- wie auch raumartige Photonen
vor. Die Übereinstimmung von Experiment und Theorie zeigt, daß dieses Konzept richtig ist, obwohl es fremdartig klingt.
3 WECHSELWIRKUNG VON PHOTONEN MIT MATERIE
7
3 Wechselwirkung von Photonen mit Materie
Photonen wechselwirken hauptsächlich durch drei Reaktionen mit Materie; durch
den Photoeffekt, den Compton-Effekt und durch die Paarerzeugung. Die vollständige Behandlung dieser drei Prozesse ist ziemlich kompliziert. Die wesentlichen Tatsachen sind jedoch einfach.
Beim Photoeffekt wird das Photon von einem Atom absorbiert und ein Elektron
aus der Schale geworfen.
Im Compton-Effekt wird das Photon an einem Elektron des Atoms gestreut.
Bei der Paarerzeugung zerfällt das Photon in ein Elektron und ein Positron. Diese Reaktion ist im freien Raum unmöglich, da Energie und Impuls beim Zerfall
des Photons in zwei massive Teilchen nicht gleichzeitig erhalten bleiben können.
Im Coulombfeld des Kerns, der für den Ausgleich der Energie- und Impulsbilanz
sorgt, tritt allerdings Paarerzeugung auf.
Die Energieabhängigkeit der drei Reaktionen ist sehr verschieden. Bei niedriger
Energie, d.h. E < 100 keV, überwiegt der Photoeffekt. Der Comptoneffekt ist
dort klein und die Paarerzeugung energetisch nicht möglich. Bei E 1 MeV ist
der Comptoneffekt wesentlich und bei E
> 2 MeV überwiegt der Photoeffekt.
Zwei der drei Reaktionen, der Photoeffekt und die Paarerzeugung, vernichten
das wechselwirkende Photonen. In der Compton-Streuung verliert das gestreute
Photon Energie.
3.1 Photoeffekt (E
< 100 keV)
Als Photoeffekt bezeichnet man den Prozess der Emission eines Elektrons aus
3 WECHSELWIRKUNG VON PHOTONEN MIT MATERIE
8
der i-ten Schale der Elektronenhülle infolge der Absorption eines Photons. Die
kinetische Energie des sogenannten Photoelektrons E e beträgt nach Einstein
Ee = E
EB(i)
mit
i = K, L, M, ...,
h der Energie des Gammaquants und EB(i) der Bindungsenergie eines
Elektrons auf der i-ten Schale.
E
=
Auf das Atom wird ein Teil des Impulses des Photons übertragen, da Impulsund Energieerhaltungssatz gleichzeitig gelten müssen, kann der Photoeffekt nur
an einem gebundenen Elektron stattfinden. Für den Photoeffekt an einem freien
Elektron kann der Impuls- und Energieerhaltungssatz nicht gleichzeitig gelten.
Dies erklärt auch die wesentlichen Merkmale des Photoeffekts.
Es treten starke Maxima im Wirkungsquerschnitt P h (E ) auf, wenn die Ener-
gie der Quanten gerade ausreicht, um Elektronen der i-ten Schale aus dem Atom
( i)
freizusetzten (E = EB ). Unterhalb dieser Energien kann der Photoeffekt aus
Gründen der Energieerhaltung nur an den jeweils höheren, d.h. schwächer gebundenen Schalen stattfinden. Oberhalb dieser Energiewerte sinkt die Wahrscheinlichkeit des Photoeffektes mit steigender Gammaenergie.
Die untere Energieschwelle ergibt sich aus der Bindungsenergie der äußeren
Elektronenschale des Atoms.
Infolge der Auffüllung der freigewordenen Plätze auf den inneren Schalen durch
äußere Hüllenelektronen wird charakteristische Röntgenstrahlung emittiert. Im
nichtrelativistischen Bereich und nicht in unmittelbarer Nachbarschaft der Absorptionskanten ergibt sich ein relativ einfacher und geschlossener Ausdruck für
(K )
den Wirkungsquerschnitt P h an der K-Schale.
3 WECHSELWIRKUNG VON PHOTONEN MIT MATERIE
9
<E (K ) >
Mit " = mEec2 der reduzierten Photonenenergie und "K = mBe c2 der reduzierten
(K )
K-Schalenenergie folgt im Falle E > EB d.h. "K < " < 1:
p
P(Kh) = 323
re "Z= "Z= ,
4
2
5
5
7 2
7 2
EBK , d.h. " > 1:
PKh = 4 re Z" Z" .
und für hohe Energien E
(
K)
2
(
)
)
4
2
5
5
Multipliziert man P h mit dem Faktor 5/4 so erhält man gute Näherungen für
den Gesamtwirkungsquerschnitt P h in den entsprechenden Energiebereichen
(
E .
Der Wirkungsquerschnitt für die Absorption eines Photons der Energie
E in
der K-Schale ist wegen der Nähe des dritten Stoßpartners, des Atomkerns, der
den Rückstoß übernimmt, besonders groß (ca. 80% des totalen Wirkungsquerschnitts).
3.2 Compton-Effekt (E
1 MeV)
Bei der Compton-Streuung von Gammaquanten wird nur ein Teil der Gammaenergie auf das Elektron übertragen. Im Ergebnis ändern Gammaquant und Elektron ihre Richtung und Energie. Im Gegensatz zum Photoeffekt spielt hierbei
die Bindung des Elektrons im Atom keine prinzipielle Rolle. Man kann bei
(i)
genügend großer Gammaenergie E EB von der Streuung an einen freien,
ruhenden Elektron ausgehen. Die unten stehende Abbildung zeigt den ComptonEffekt an einem Hüllenelektron und das zugehörige Impulsdiagramm.
Aus dem Energieerhaltungssatz
E = E
und dem Impulserhaltungssatz
0
+ Ee
3 WECHSELWIRKUNG VON PHOTONEN MIT MATERIE
E
E
c = c
in x-Richtung:
10
cos # + pe cos '
E
0 = c sin # pe sin '
0
0
und in y-Richtung:
kann man bei relativistischer Betrachtung die Energie der gestreuten Quanten
und die der Rückstoßelektronen folgern. Es gilt
E
0
=
E
"
1+ (1
cos
#)
Ee = (1
bzw.
cos #) "
E
1+ (1
cos
#) .
Die Größe des Energieübertrags zwischen Photon und Elektron ist richtungsabhängig. Der maximale Energieübertrag findet unter
Rückwärtsstreuung des Photons.
#
= 180o statt, also bei
Bei genügend hoher Einschußenergie, " 1, wird die Energie der rückgestreuten Quanten unabhängig von der Einschußenergie. Es gilt dann:
me c2 =2:
E (180o) =
0
Für die Änderung der Wellenlänge gilt
4 = = c(1
0
cos #)
mit c = mhe c der Comptonwellenlänge.
Für relativistische Photonenenergie erhält man den Klein-Nishina Wirkungsquerschnitt, bezogen auf ein Elektron. Er lautet für die extremen Fälle
"1:
ce = T h (1
"1:
mit T h =
2");
ce = 38 T h 1" ( 12 + ln 2");
8
3
re der klassischen Thomson-Streuung.
2
Für die Compton-Streuung an Atomen erhöht sich der Wirkungsquerschnitt um
den Faktor Z , weil im Atom genau
stehen. Es gilt c = Z ce .
3.3 Paarbildung (E
Z , potentielle Streupartner zur Verfügung
> 2 MeV)
3 WECHSELWIRKUNG VON PHOTONEN MIT MATERIE
11
Als Paarbildungseffekt bezeichnet man den Prozeß der Emission eines Positrons
und eines Elektrons infolge der Absorption eines Gammaquants im CoulombFeld des Atoms. Der Kern erhält einen Rückstoßimpuls. Ohne ihn als Stoßpartner wäre dieser Prozess, wie auch der Photoeffekt, durch den Energie- und
Impulserhaltungssatz verboten.
Die Geburt des Paares erfolgt nicht im Kern, sondern außerhalb, etwa in der Entfernung einer Compton-Wellenlänge c vom Kernrand. So kann die Übertragung
des Rückstoßimpulses an den Kern über das Coulombfeld erfolgen.
Als Schwellenenergie des Paarbildungseffektes im Kernfeld ergibt sich aus der
Summe der Ruhemassen von Elektron und Positron der Wert 2m e c2 = 1; 02 MeV.
Für den Fall, daß die Kernladung nicht durch die Atomelektronen abgeschirmt
wird, d.h. für 1 < " < Z137
1=3 ergibt sich der Paarerzeugungsquerschnitt von
p = 4 re2 Z 2 ( 97 ln 2"
109
54
).
Das Gammaquant muß also dem Kern sehr nahe kommen um überhaupt eine
Paarerzeugung wahrscheinlich werden zu lassen. Für die vollständige Abschirmung des Kernes dagegen, also für " Z137
1=3 , ergibt sich der Paarerzeugungsquerschnitt zu
p = 4 re2 Z 2 ( 97 ln( Z183= )
1 3
1
54
).
Für hohe Energien strebt der Paarerzeugungswirkungsquerschnitt, unter Vernachlässigung des kleinen Terms
gigen Grenzwert
p =
7
9
1
54
, asymptotisch gegen den energieunabhän-
4 re Z ln( Z = ) NAA X .
2
183
2
1 3
7
9
1
0
Bei hohen Energien dominiert die Absorption von Gammaquanten infolge Paarbildung gegenüber allen anderen Prozessen.
Die dabei entstandenen Elektronen und Positronen entstehen mit großer Wahrscheinlichkeit in Vorwärtsrichtung bezüglich der Richtung des einfallenden Gammaquants. Der mittlere Winkel zwischen den beiden Teilchen verringert sich mit
steigender Gammaenergie nach der Beziehung
=
me c2 .
E
LITERATUR
12
3.4 Photonenschauer
Beim Eintritt hochenergetischer Gammaquanten E > 100 MeV in Stoffe kommt
es zu dieser spezifischen Erscheinung. Die primären Gammaquanten erzeugen
mit hoher Wahrscheinlichkeit je ein Positron-Elektronen-Paar. Diese entsenden hochenergetische Bremsstrahlungsquanten, von denen wiederum jedes ein
Positron-Elektronen-Paar erzeugen kann. Dabei steigt anfangs die Anzahl der
Elektronen und Positronen mit wachsender Eindringtiefe des Schauers in den
Stoff. Dabei verringert sich die mittlere Energie der Teilchen. Dies hat zur Folge, daß Ionisationsverluste zunehmen, während die Strahlungsverluste geringer
werden und schließlich die Teilchenzahl mit wachsender Eindringtiefe wieder
abnimmt.
Ähnlich verläuft die Schauerbildung beim Einschuß hochenergetischer Elektronen. Der einzige Unterschied ist dann, daß hier der primäre Prozess die Entsendung von hochenergetischen Bremsquanten ist.
Die mittlere freie Weglänge eines -Quants, bevor es ein Paar erzeugt, ist Xp =
9
7
X0 : D.h. ein Schritt im Graph ist ca. eine Strahlungslänge.
Literatur
[1] Kleinknecht: Particle Detectors
[2] Grupen: Teilchendetektoren
[3] Musiol, Ranft: Kern- und Elementarteilchenphysik
[4] Frauenfelder: Teilchen und Kerne