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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 7.
Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß
Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7
I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz
Betrachten wir einen Körper mit der Masse m,
der sich unter der Wirkung einer (im Allgemeinen zeit- oder ortsabhängigen) Kraft F bewegt.
Das zweite Newtonsche Gesetz für den Körper

dv 
lautet:
m
F.
dt

Indem wir diese Gleichung mit v multiplizieren, erhalten wir

dv   
(1)
m  v  F  v (Skalarprodukt!)
dt
Die linke Seite der Gleichung kann in der Form
 
2

dv  m d  v  v  m d v
m v 

dt
2 dt
2 dt
dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben
   dr
wir wie folgt um: F  v  F  .
dt
Die Gleichung (1) nimmt die Form
 
m
d v 2  F  dr
2
an. Bestimmte Integration ergibt

v2
r2
 
m
2
v 2 d v  r F  dr oder
1
1
 
 
 

r
mv22 mv12 2  

  F  dr .

2
2
r1
Die Größe K 
(2)
mv 2
ist die kinetische Energie
2
des Körpers.

r2
 
Das Integral W   F  dr nennt man die von

r1

der Kraft F auf dem Weg zwischen r1 und r2
geleistete Arbeit.
Gleichung (2) sagt aus, dass Änderung der kinetischen Energie eines Objektes gleich der
durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Arbeit ist.
K2  K1  W .
(Arbeitssatz)
II. Eigenschaften der Arbeit.

r2
 
-Arbeit ist als Integral W   F  dr definiert.

r1
-Bei einer konstanten Kraft gilt

 r2    
 
W  F  dr  F  r2  r1   F r

r1
W  F  r  cos


F

r
- Wann ist W=0?  F  0 oder r  0 oder
  90 .
- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die
Arbeit von B nach A.
-Die Arbeit ist eine additive Größe (Die Arbeit
mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist
gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräfte). Folgt aus der Definition.
III. Leistung
Betrachten wir die Bewegung innerhalb eines
infinitesimal kleinen Zeitintervalls dt , so kann
man den Arbeitssatz in der Differentialform
schreiben: dK  dW .
dK dW
Dividieren durch dt ergibt
. (3)

dt
dt
Die Größe dW / dt heißt Leistung der Kraft.
Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche
Änderung der kinetischen Energie eines Objektes gleich der durch die einwirkenden
Kräfte aufgebrachten Leistung ist.
Einheiten:
[ Arbeit ]  Newton  Meter  {Joule}
[ Leistung ]  Joule pro Sekunde  {Watt}
1 Kilowattstunde  103  3600 J = 3, 6 106 Joule
IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungssatz
Betrachten wir eine eindimensionale Bewegung unter der Einwirkung einer Kraft F ( x) ,
die nur von der Koordinate abhängt.
Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:
mv  F  x  .
Multiplizieren mit v ergibt
dv
dx
m v  F  x
oder mvdv  F  x  dx
dt
dt
Bestimmte Integration ergibt
x
mv 2 mv02

  F  x dx  U  x0   U  x  ,
2
2
x0
(4)
wobei U  x    F  x dx Stammfunktion zur
Funktion  F ( x) ist (unbestimmtes Integral).
1
(4) kann wie folgt umgeschrieben werden:
mv 2
mv 2
(5)
 U  x   0  U  x0  .
2
2
Die Größe U ( x) heißt potentielle Energie und
mv 2
die Summe E 
 U  x   K  U - volle
2
Energie des Systems.
Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie
des Systems erhalten bleibt (Energieerhaltungssatz): E  K  U  konst .
Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt
nur dann, wenn die Kräfte nur von der Koordinate abhängen (im Allgemeinen Fall gilt das
für konservative Kräfte, s. nächste Vorlesung).
Bemerkung: Aus der Definition der potentielU
len Energie folgt, dass F  x   
. Diese
x
Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.
V. Beispiele
1. Potentielle Energie der Schwerekraft.
Die Schwerekraft ist gleich
F  mg . Die Potentielle
Energie ist demnach
U   mgdh  mgh  C .
C ist eine beliebige Konstante,
die z.B. gleich Null gesetzt
werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat
mv 2
 mgh  konst .
die Form
2
2. Potentielle Energie einer elastischen Feder.
Die Federkraft ist gleich F  cx .
Die potentielle Energie demnach
x2
U   cxdx  c .
2
mv 2
x2
 c  konst .
Energieerhaltungssatz:
2
2
3. Potentielle Energie der Gravitationskraft im
allgemeinen Fall.
Mm
F  G 2 .
r
Mm
Mm
U   G 2 dr  G
.
r
r
Energieerhaltungssatz:
mv 2
Mm
E
G
 konst .
2
r
Ist ein Perpetuum mobile möglich?
Die auf dem geschlossenen Weg geleistete Arbeit ist gleich
1 1 1 1 1 1 1 1
W  GMm           0
 r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 
Kräfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen
Weg Null ist, heißen konservativ.
VI. Ein Pendel
Zu bestimmen ist das Bewegungsgesetz und die Stangenkraft für ein Pendel bestehend
aus einem leichten Stab und
einer Kugel, die man als ein
Massenpunkt betrachten kann.
Zum Zeitpunkt t  0 wird es
aus der Ruhelage um den
Winkel  0 ausgelenkt und
freigelassen.
Lösung: Wir schreiben zunächst den Energiemv02
mv 2
erhaltungssatz
 mgh 
 mgh0 .
2
2
Unter Berücksichtigung der geometrischen
Beziehung h  l (1  cos  ) und v0  0 ergibt
v2
 gl (1  cos  )  gl (1  cos 0 )
2
Daraus folgt
v  2 gl  cos   cos 0  .
sich
Wir wollen das 2. Newtonsche
Gesetz in polarer Basis schreiben. Die zirkularen und radialen
Komponenten der Beschleunigung sind gleich
2
a  l , ar  l  
Für die zirkularen und radialen
Kraftkomponenten haben wir:
F  mg sin  Fr  mg cos   FN
Das 2.N.G. ist dann: ml  mg sin  ,
ml    mg cos   FN
Aus der zweiten Gleichung können wir die
Stangenkraft als Funktion des Winkels  berechnen:
v2
FN  mg cos   m  mg  3cos   2cos 0  .
l
Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der
d
 2 gl  cos   cos 0 
Gleichung v  l
dt
durch Trennung der Variablen und Integration.
2
2