Script zur Vorlesung : Theoretische Physik IV: Quantenmechanik

Script zur Vorlesung :
Theoretische Physik IV: Quantenmechanik
Vorlesung SS 16
Prof. Dr. Jens Timmer
8. September 2016
1
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung
1 Die
1.1
1.2
1.3
4
Schrödinger-Gleichung
Die Ausgangslage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schrödingers geniale Spekulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Motivation über Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
9
19
2 Formalisierung
24
2.1 Physikalische Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Mathematische Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Zurück zur Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Unschärferelationen
55
4 Erste Anwendungen
4.1 Freies Teilchen . . . . . . . . . . .
4.2 Potentialbarriere und Tunneleffekt .
4.3 Potentialtopf . . . . . . . . . . . .
4.4 Harmonischer Oszillator . . . . . .
4.5 Periodische Potentiale . . . . . . .
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5 Drehimpuls
5.1 Der quantenmechanische Drehimpuls .
5.2 Eigenfunktionen von L̂z . . . . . . . .
5.3 Eigenfunktionen von L̂2 . . . . . . . .
5.4 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren
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61
62
67
74
77
92
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98
98
103
104
109
6 Wasserstoffatom
113
6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Lösung der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Bewegung im (elektro)magnetischen Feld
122
7.1 Magnetismus, Zeeman-Effekt & Landau-Niveaus . . . . . . . . . . . 122
7.2 U(1) Eichsymmetrie & minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Aharanov-Bohm Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Spin
130
2
9 Näherungsmethoden für stationäre Zustände
134
9.1 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2 Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3 WKB-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10 Vielteilchen Systeme
10.1 Symmetrie der Vielteilchenwellenfunktionen
10.2 Hartree-Fock Näherung . . . . . . . . . . . .
10.3 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Verschränkte Zustände . . . . . . . . . . . .
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146
146
149
151
155
11 Einstein-Podolsky-Rosen – Paradoxon
165
11.1 Theorien verborgener Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Bell’sche Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3
0
Einleitung
Technicalities:
• Skript, Übungsanmeldung und Kommunikation über homepage
• Skript ist dünn, ersetzt nicht das Studium von Lehrbüchern !
Hierarchie
– Vorlesung: Konzepte
– Bücher: Konzepte und Details
– Übungen: Rechnen & Verständnis
Viele Stunden darauf verwenden. Nicht versuchen es mit Google zu lösen.
Wird zu Katastrophe führen.
Abgeben in 2er-Gruppen.
Fragen zu den Übungen an Daniel Kaschek
• Kurzklausuren. Klausur, letzter Vorlesungstermin o.k. ?
• Scheinkriterium, 50 % der Übungspunkte, Bestehen der Klausur
• FOLIE Inhaltsverzeichnis
• Bemerkung Vektorpfeile und Nomenklatur
• Wenn etwas unklar: Fragen ! In der Vorlesung, bitte keine mails.
• Zwei Bemerkungen in eigener Sache
• Münsteraufgaben, Münsterführung
Literatur:
• Schwabl. Quantenmechanik
• Grawert. Quantenmechanik
• Greiner ...
• Cohen-Tannoudji ...
Unterschiede der Bücher:
• Verhältnis Text zu Gleichungen
4
1
Die Schrödinger-Gleichung
Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
∂
~2
i~ ψ(~x, t) = −
∆ + V (~x, t) ψ(~x, t),
∂t
2m
∆=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x21 ∂x22 ∂x23
Eigenschaften:
• Partielle Differentialgleichung
• Linear
• Keine konstanten Koeffizienten
• Wesentlich komplex, Kap. 1.3
• Wellenfunktion ψ
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, siehe Original-paper auf hompage
~2
−
∆ + V (~x) ψ(~x) = Eψ(~x)
2m
Betrachte zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: Was ist der Unterschied zu allem,
was wir bisher gesehen haben ?
• Bedeutung von ψ vor der Hand unklar
• Keine andere fundamentale Gleichung der Physik ist komplex
1.1
Die Ausgangslage
• Stabilität von Atomen
Klassisches Bild
– Elektron rotiert um Atomkern
– Beschleunigte Bewegung
– Elektrodynamik: Energie wird abgestrahlt
– Klassische Mechanik: Elektron spiralisiert in Kern
– (Deutlicher) Widerspruch zur Erfahrung
5
• Klassisches Licht: Elekromagnetische Welle
– Charakteristische Welleneigenschaft: Interferenz
– Doppelspalt-Experiment
ZEICHNUNG
Aber auch Teilcheneigenschaften: Photonen
– Einstein, 1905: Photo-Effekt:
Elektromagnetische Wellen verhalten sich wie Teilchen mit Energie E =
~ω
Energie E des herausgeschlagenen Elektrons:
E = ~ω − A,
A : Ablösearbeit
Energie E nicht abhängig von Intensität des Lichtes
– Comptom-Effekt, 1922
Stoß von Photonen auf freie Elektronen führt zur Abnahme der Energie,
E = ~ω, d.h. Zunahme der Wellenlänge
∆λ =
h
(1 − cos φ),
mc
Compton-Wellenlänge λC =
h
mc
Für λ λC gilt klassisches Streuverhalten
• Klassische Teilchen: Punktförmig mit (x, p)
– Charakteristische Teilcheneigenschaft: Energieübertrag bei Stoß
– Doppelspaltexperiment Billiard-Kugeln
6
Abbildung 1.1
Aber auch Welleneigenschaften
– de Broglie, 1924: Impuls p~ = ~~k, Wellenzahl |~k| =
2π
,
λ
λ=
h
p
– Doppelspaltexperiment Elektronen
Abbildung 1.2
– Kein Interferenzmuster, wenn man annimmt, dass Elektron entweder
durch Spalt 1 oder Spalt 2 geht
7
– Auf dem Schirm werden immer nur ”ganze” Elektronen beobachtet, Elektron ”teilt” sich nicht
– Interferenzmuster verschwindet, wenn durch zusätzliche Messung bestimmt wird, durch welchen Spalt das Elektron geflogen ist
– Quanteneffekte für mirkoskopische Systeme
∗ kleine Massen
∗ niedrige Temperaturen
∗ kleine Längen
– Quanteneffekte für markoskopische Systeme, siehe Vorlesung Statistsche
Physik
∗
∗
∗
∗
∗
Supraleitung
Magnetismus
Spezifische Wärme
Schwarz-Körper Strahlung, Planck 14.12.1900, Geburtstunde der QM
Verschränkte Zustände (180 km), Kap. 10.4
• Welle-Teilchen Dualismus
– Sowohl klassisches Licht als auch klassische Teilchen zeigen sowohl Wellenals auch Teilcheneigenschaften
– Welleneigenschaften, wenn es um Ausbreitung geht
– Teilcheneigenschaften, wenn es um Wechselwirkung geht
– Dualismus, kein Widerspruch, da nicht in der selben Hinsicht
~
• Elektrisches Feld E
~ 2 ∝ Anzahl der Photonen
– Quadrierte Größe |E|
~ ist physikalisch: Kraft
– Nicht-quadrierte Größe E
– Erinnere dies für die Interpretation der Wellenfunktion ψ
• Quantenmechanik
– In Einklang mit allen experimentellen Fakten, teilweise mit Genauigkeit
10−10 , gyromagnetischer Faktor
– Grundlage für ca. 40% unseres Bruttosozialproduktes
8
– In gewisser Weise bis heute nicht verstanden, Kap. 11
– Alle Gründerväter der Quantenmechanik haben sie am Ende ihres Lebens
gehasst
1.2
Schrödingers geniale Spekulation
E. Schrödinger. Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik 79, 1926,
490-527
• Erinnere Hamilton’sche Bewegungsgleichungen:
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
• Kanonische Transformation:
Koordinatentransformation (q, p) → (Q(q, p, t), P (q, p, t)) und H(q, p, t) →
K(Q, P, t), so dass die Hamilton’schen Gleichungen invariant bleiben:
Q̇i =
∂K
,
∂Pi
Ṗi = −
∂K
∂Qi
• Erinnere Hamilton’sches Prinzip, Variationsproblem, mit Lagrange-Funktion
L(q, q̇, t). Bahnkurve so, dass :
Z
δ
L(q, q̇, t) dt = 0
Inverse Legendre-Transformation
Z
δ
!
X
Z
pi q̇i − H(q, p, t) dt = 0, resp. δ
i
!
X
Pi Q̇i − K(Q, P, t) dt = 0
i
Lagrange-Funktion hat eine Eichfreiheit1 : Addition von
ändert Variationsproblem nicht, da
1
Erinnere Potentiale in der E-Dynamik
9
d
Φ
dt
zum Integranden
Z
d
Φ dt = 0
dt
δ
Wähle hier Φ(q, Q, t)
• Hinreichende Bedingung für Lösung des Variationsproblems
X
pi q̇i − H(q, p, t) =
i
X
Pi Q̇i − K(Q, P, t) +
i
d
Φ(q, Q, t)
dt
• Zeitableitung
X ∂Φ
∂Φ
∂Φ
d
Φ(q, Q, t) =
q̇i +
Q̇i +
dt
∂qi
∂Qi
∂t
i
eingesetzt, Argumente unterdrückt:
X
i
∂Φ
pi −
∂qi
X
∂Φ
∂Φ
Q̇i + H − K +
q̇i =
Pi +
∂Qi
∂t
i
Gleichung erfüllt, wenn
∂Φ(q, Q, t)
∂qi
∂Φ(q, Q, t)
Pi = −
∂Qi
∂Φ(q, Q, t)
K = H+
∂t
pi =
Gleichungen aufgelöst ergibt:
Qi = Qi (q, p, t)
Pi = Pi (q, p, t)
H(q, p, t) → K(Q, P, t)
Φ heißt Erzeugende der Transformation
10
(1)
(2)
• Übung: Harmonischer Oszillator
• Ein Ziel: Finde Transformation, so dass möglichst viele Koordinaten zyklisch
sind
• Hängt von Wahl der Koordinaten ab. Erinnere Pendel, keine zyklischen Koordinaten bei q = (x, y, z), aber zyklische Koordinate bei q = (r, ϕ, θ)
• Der einfachste Hamiltonian ist der, der identisch verschwindet:
”Münchhausen-Transformation”
Die kanonische Transformation, die dies leistet, sei W (q, Q, t)
• Mit Gl. (2) gilt
∂W (q, Q, t)
+ H(q, p, t) = 0
∂t
Mit Gl. (1) und Qi = const, folgt für W (q, Q, t) = W (q, t) = W :
Hamilton-Jakobische partielle Differentialgleichung für W :
∂W
∂W
∂W
+ H q1 , . . . , q f ,
,...,
,t = 0
∂t
∂q1
∂qf
• Betrachte zeitunabhängigen Hamiltonian: E = H
Folge: W linear in t:
W (q, t) = S(q) − Et,
W wie Wirkung
Verkürzte Hamilton-Jacobi-Gleichung:
∂S
∂S
H q1 , . . . , q f ,
,...,
=E
∂q1
∂qf
• Geometrische Interpretation in kartesischen Koordinaten (x, y, z)
W (x, y, z, t) = S(x, y, z) − Et
(3)
• S = const. bedeutet feste Fläche im Raum, verschiedene Konstanten geben
verschiedene Flächen
11
Abbildung 1.3: mit S = 0, E, 2E, . . .
W = const. bedeutet bewegte Fläche im Raum
Fläche W = C = const. wandert über Flächen S = E, 2E, . . .
Analogie zu Welle Y mit
Y (x, t) = Y (z),
mit z = x − vt
Abbildung 1.4
12
• Wellenphänomen: Die Flächen W = const. beschreiben Ausbreitung von
Wirkungswellen
• Impuls und Geschwindigkeit des Massenpunktes mit Gln. (1, 3)
pi =
∂W
∂S
=
,
∂xi
∂xi
vi =
1 ∂S
m ∂xi
In Vektorform
~
~
p~ = ∇W
= ∇S
Abbildung 1.5
Bahnkurven sind die orthogonale Trajektorien der Wellenflächen W =const, bzw.
S = const.
Analog zu Lichtstrahlen als orthogonale Trajektorien der optischen Wellenflächen
Geschwindigkeit u der Wirkungswellen:
• Zeitpunkt t0 : Fläche W = C fällt mit Fläche S = C + Et0 zusammen
Zeitpunkt t0 + dt: S + dS = C + E(t0 + dt)
• Zunahme von S:
– Einerseits: dS = Edt
13
– Andererseits: dS = |∇S|ds, ds: senkrechter Abstand der benachbarten
S-Flächen
– Zusammen
u=
ds
E
=
dt
|∇S|
• Mit verkürzter Hamilton-Jacobi-Gleichung
1
2m
"
∂S
∂x
2
+
∂S
∂y
2
+
∂S
∂y
2 #
+V =E
oder
~
∇S
2
= 2m(E − V )
(4)
folgt Fortpflanzungsgeschwindigkeit u der Wirkungswellen, anschaulich klar.
E
u= p
2m(E − V )
u=
E
mv
Geschwindigkeit der Wirkungswellen u ist umgekehrt proportional zur Teilchengeschwindigkeit v
Erinnere Elektrodynamik
~ oder B
~
• Elektromagnetische Wellen, Φ = E
∆Φ =
1 ∂2
n2 ∂ 2
Φ
=
Φ
c02 ∂t2
c2 ∂t2
(5)
Ist Brechungsindex n konstant, löst
~
Φ = Φ0 ei(nk~x−ωt)
die Gleichung
14
(6)
• Mit Phase Θ
Θ = n~k~x − ωt
sind Flächen gleicher Phase – die optischen Wellenflächen – die Ebenen x =
const.
• Der Fall n 6= const., i.e. inhomogene Medien
– Gl. (5) schwer zu lösen
– Ausweg: Geometrische Optik oder Strahlenoptik
– Lichtstrahl: Orthogonale Trajektorie auf Flächen konstanter Phase
– Funktioniert, wenn Wellenlänge klein gegen räumliche Änderungen im Medium
Ansatz, Verallgemeinerung von Gl. (6)
Φ = A(x)ei(kL(~x)−ωt) ,
Phase Θ : kL(~x) − ωt
mit Eikonal L(x)
• Berechne Ableitungen, das ist jetzt technisch
∂Φ
∂A
∂L
=
+ ikA
eiΘ
∂x
∂x
∂x
2
∂ Φ
=
∂x2
2
2
∂ A
∂A ∂L
∂ L
+ 2ik
+ ikA 2 − k 2 A
2
∂x
∂x ∂x
∂x
n2 ∂ 2 Φ
ω 2 n2 iΘ
=
−
Ae = −k 2 n2 AeiΘ ,
2
2
2
c ∂t
c
Mit entsprechenden Termen für
gesetzt:
∂2Φ
∂y 2
und
∂2Φ
∂z 2
k2 =
∂L
∂x
2 !
ω2
c2
in Wellengleichung, Gl. (5), ein-
2
2
2
~
~
~
∆A + ik(2∇A∇L + A∆L) − k A (∇L) − n = 0
Teile durch
k2A =
15
eiΘ
4π 2
A
n2 λ2
Trenne Real- und Imaginärteil:
n2 λ2 ∆A
− ((∇L)2 − n2 )
2
4π A
∇A∇L
0 = 2
+ ∆L
A
0 =
(7)
• Geometrische Optik: Wellenlänge klein gegen räumliche Änderungen
=⇒ Vernachlässige 1. Term in Gl. (7)
• Merke für nachher: Dies ist die Näherung von der Wellenoptik zur geometrischen Optik
• Ergibt Differentialgleichung des Eikonals
(∇L)2 = n2
(8)
• Für geometrische Optik gilt das Fermat’sche Prinzip, 1679, Prinzip des
kürzesten Lichtweges
Z
P1
nds = extremal
(9)
P0
Man kann zeigen:
(i) Extremalwert ist das Eikonal
Z
P1
L(P0 , P1 ) =
nds
P0
und L genügt Gl. (8).
(ii) Gl. (8) und Gl. (9) sind äquivalent
(iii) Eikonal-Gleichung und Fermat’sches Prinzip beinhalten die gesamte geometrische Optik
Wir kamen zu Gl. (8) ausgehend von der Wellenoptik
Ergo: Die geometrische Optik ist der Grenzfall der Wellenoptik für λ → 0
16
• Beachte: Eikonalgleichung, Gl. (8), hat die selbe Form wie Hamilton-JacobiGleichung, Gl. (4)
2
~
∇L(x)
= n(x)2
2
~
∇S(x)
= 2m(E − V (x))
Flächen konstanter Wirkung S = const. fallen mit Eikonalflächen L =
const. zusammen, wenn
2m(E − V ) ∝ n2 ,
oder n ∝
√
E−V
• Kein Wunder: Analog zum Fermat’schen Prinzip in der Optik gilt in der Mechanik das Jacobi’sche Prinzip
Z
P2
√
E − V ds = extremal
P1
Bahnkurven und Lichtstrahlen sind orthogonale Trajektorien der entsprechenden Flächen
• Zusammenfassung:
– Die klassische Mechanik entspricht der geometrischen Optik, d.h. der für
verschwindene Wellenlängen gültigen Näherung der Wellenoptik.
– In geometrischer Optik eine Spur von Wellen: Wellenflächen, die die Strahlen ergeben
– In klassischer Mechanik eine Spur von Wellen: Wirkungswellen, die die
Bahnkurven ergeben
– Geometrische Optik und klassische Mechanik können keine eigentlichen
Wellenphänomene beschreiben: Beugung, Interferenz
λ, ~ → 0
allgemein
E-Dynamik geometrische Optik Wellenoptik
Mechanik klassische Mechanik
??
17
• Schrödingers geniale Spekulation: Treibe Analogie zwischen Eikonal- und
Hamilton-Jacobi-Gleichung auf die Spitze
p
W = S − Et, |∇W | = |∇S| = 2m(E − V ) = mv
2π
Θ = kL − ωt, |∇Θ| =
λ
– W ∝ Θ, Dimension des Proportionalitätsfaktors: Eine Wirkung, nur eine
natürliche Wahl :-)
W = ~Θ
– Damit:
E = ~ω,
λ=
h
h
=p
mv
2m(E − V )
Frage:
Was für eine Mechanik wäre es, die nicht dem Grenzfall λ → 0 der geometrischen Optik, sondern der Wellenoptik selbst entspräche ?
• In dieser Mechanik müßte eine Größe Ψ, die die dem Massenpunkt zugeordnete Welle beschreibt, die zu Wellengleichung Gl. (5) analoge Wellengleichung
erfüllen:
∆Ψ =
1 ∂ 2Ψ
,
u2 ∂t2
u2 =
E2
2m(E − V )
(10)
Ansatz2 :
Ψ(x, t) = B(x)ei
S 0 (x)−Et
~
Unbekanntes S 0 (x) statt S(x), weil es grade nicht die Näherung λ → 0 sein
soll.
• Eingesetzt in Wellengleichung Gl. (10), ergibt sich für Grenzfall λ → 0, d.h. ~ →
0, die Hamilton-Jacobi Gleichung mit S 0 = S
2
Diesen Ansatz werden wir in Kap. 9.3 Störungstheorie wieder sehen
18
• Kein Grenzfall:
Fasse unbekannte Funktionen S 0 (x) und B(x) in Amplitudenfunktion ψ(x) zusammen.
Et
Ψ(x, t) = ψ(x)e−i ~
Eingesetzt in Wellengleichung Gl. (10) folgt für ψ(x) der Welle die
Differentialgleichung:
∆ψ = −
2m
(E − V )ψ
~2
oder umsortiert die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
~2
∆ + V (x) ψ(x) = Eψ(x)
−
2m
• Drei wichtige Eigenschaften:
– Eigenwertproblem
– Bestimmungsgleichung für ψ(x)
– Energien E lassen sich berechnen, ohne dass man wissen muss, was ψ(x)
bedeutet
1.3
Motivation über Dispersionsrelation
Zeitabhängige Schrödiger-Gleichung soll folgende Eigenschaften haben
• linear, damit Superpositionsprinzip gilt
• Wellenlösungen, damit Interferenz möglich ist
• Dispersionsrelation für Materie erfüllen3
Dispersionsrelationen
3
In vielen Büchern steht auch noch, dass die Gleichung erster Ordnung Zeitableitung haben soll,
damit durch den Anfangszustand die Zeitentwicklung festgelegt ist. Das ist Quatsch, wie man an
der elektromagnetischen Wellengleichung sieht.
19
1. Woche
• Beschreiben Zusammenhang zwischen räumlichem und zeitlichen Verhalten
• Erinnere
E = ~ω,
In ω =
2π
T
p~ = ~~k
steckt die Zeit, in Wellenvektor |~k| =
2π
λ
steckt der Raum
• Dispersionsrelation beschreibt Beziehung zwischen Impuls und Energie oder
entsprechend Wellenvektor und Frequenz4
• Beispiele
– Elektromagnetische Wellen, Photonen
E = cp,
lineare Abhängigkeit
– Nicht-relativistische Materie
1 2
p , quadratische Abhängigkeit
2m
– Relativistische Materie, Ruhemasse m0
p
E 2 = (m0 c2 )2 + c2 p2 , oder E = (m0 c2 )2 + c2 p2
E=
Übung
– Phononen im Festkörper
Übung
Erinnere Elektrodynamik
• Aus Maxwell-Gleichungen folgte Wellengleichung fürs elektromagnetische Feld,
hier mal B, weil E grade benutzt :-)
∂2
1 ∂2
B
=
B
∂x2
c2 ∂t2
Lösung
B(x, t) = Bo e−i(ωt−kx)
• Intuition:
4
Die meisten würden die Reihenfolge dieser Aussagen mit obiger umdrehen
20
– In ω steckt Energie E, in k Impuls p
– Ableiten nach der Zeit holt ω und damit E aus dem Exponenten
Ableiten nach dem Ort holt k und damit p aus dem Exponenten
– Dispersionsrelation: E = cp =⇒ Es muss gleich häufig nach t und nach x
abgeleitet werden
– Einfachste Möglichkeit:
1∂
∂
B=−
B
∂x
c ∂t
Beweis durch einsetzen
ikB0 e−i(ωt−kx) =
iω
B0 e−i(ωt−kx) ,
c
~k =
~ω
c
pc = E
– Dass in der elektromagnetischen Wellengleichung zweimal und nicht nur
einmal abgeleitet wird, sagen die Maxwell’schen Gleichungen
Betrachte nun nicht-relativistische Materie:
E=
1 2
p
2m
• Ansatz
ψ(x, t) = A exp(−i(ωt − kx)) = A exp
∂
−iE
E
p ψ =
A exp
−i t + i x
∂t
~
~
~
ip
E
p ∂
ψ =
A exp
−i t + i x
∂x
~
~
~
Der Energie E wird der Energie-Operator Ê
E
Ê = i~
∂
∂t
dem Impuls p der Impuls-Operator p̂
p
p̂ =
21
~ ∂
i ∂x
E
p −i t + i x
~
~
=⇒
=⇒
∂
i~
ψ = Eψ
∂t
~ ∂
ψ = pψ
i ∂x
zugeordnet:
Korrespondenz-Prinzip: Den klassischen physikalischen Größen werden in der Quantemechanik Operatoren zugeordnet
• Da die Dispersionsrelation quadratisch ist, muss Energie-Operator einmal, der
1
Impuls-Operator zweimal angewendet werden, ergänze noch 2m
∂
~2 ∂ 2
i~
ψ= −
ψ
∂t
2m ∂x2
die freie zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
• Merke
i unumgänglich auf Grund der Dispersionsrelation für nicht-relativistische Materie
Aber: Dies ist nur die einfachste Möglichkeit. Erinnere elektromagnetische Wellengleichung: Dort wurde die einfachste Möglichkeit nicht genutzt.
Übung: Wie sieht das im relativistischen Falle aus ?
• Hamiltonfunktion allgemein
H(x, p, t) =
1 2
p + V (x, t)
2m
Potential V taucht in Argument der Wellenfunktion nicht auf, ergibt einfach
addititven Beitrag
~2 ∂ 2
∂
ψ(x, t) = −
+ V (x, t) ψ(x, t)
i~
∂t
2m ∂x2
die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
• Mit Hamilton-Operator
Ĥ = −
~2 ∂ 2
+ V (x, t)
2m ∂x2
22
• Hängt Potential V (x) nicht von der Zeit ab, wähle Separationsansatz
E
ψ(x, t) = ψu (x) e−i ~ t
Eingesetzt:
E
E
Eψu (x) e−i ~ t = Ĥψu (x) e−i ~ t
E
Teile durch e−i ~ t , ergibt zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Ĥψ(x) = Eψ(x)
eine gewöhnliche Differentialgleichung
Lösungen sind die stationären Zustände des Systems
Beachte:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
ist die natürliche Formulierung, nicht
Eψ(x) = Ĥψ(x)
Interpretation von ψ
• |ψ(x, t)|2 dx = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)dx ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zum
Zeitpunkt t am Orte (x, x + dx) zu detektieren
• Es gilt
Z
dx|ψ(x, t)|2 = 1
• Beachte: Die Wellenfunktion fasst Welleneigenschaften (bei Ausbreitung) und
Teilcheneigenschaften (bei Detektion) von Quantenobjekten zusammen.
Vergleich klassischer Physik und Quantenmechanik für Punktteilchen
23
Beschreibung des
Zustands durch
(Kinematik)
Zeitentwicklung
(Dynamik)
klassisch
(~x, p~), Element
eines 6-dimensionalen Raumes
Bewegungsgleichung,
gewöhnliche, i.a. nicht-lineare
Differentialgleichung
Ergebnis einer Messung völlig bestimmt
bei bekanntem Zustand
quantenmechanisch
Wellenfunktion ψ(~x, t),
Element eines unendlichdimensionalen Vektorraums über C
Schrödinger-Gleichung,
lineare partielle
Differentialgleichung
nur Wahrscheinlichkeitsaussagen
Lessons learned:
• Schrödinger: Verhältnis von Wellenoptik zu geometrischer Optik auf die Mechanik übertragen. Geometrische Optik entspricht Klassischer Mechanik.
• Geniale physikalische Spekulation, keine streng mathematische Herleitung
• Korrespondenz-Prinzip: Klassischen Größen werden (Differential-)Operatoren
zugeordnet
• i in zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung ”folgt” aus (nicht-relativistischer)
Dispersionsrelation für Materie
2
Formalisierung
2.1
Physikalische Formalisierung
• Keine physikalische Theorie ist beweisbar, am Ende entscheidet das Experiment
• Physikalische Theorien sind motivierbar5 , siehe letztes Kapitel
• Formuliere sie durch Axiome, um sie auf den Punkt zu bringen
Die Axiome der klassischen Mechanik
1. Der Zustand ist durch einen Punkt (x, p) im Phasenraum P gegeben
5
Für Genießer: Maxwell-Gleichungen durch Newton’sches Argumentieren motiviert, aber am
Ende Lorentz- nicht Galilei-invariant.
24
2. Eine Observable ist eine reellwertige Funktion f : P → R auf dem Phasenraum
3. Die Zeitentwicklung im Phasenraum ist durch die Hamilton’schen Gleichungen
gegeben
∂H
∂H
, ṗ = −
ẋ =
∂p
∂x
Daraus folgt Zeitentwicklung der Observable
f˙(x, p) = {f (x, p), H(x, p)},
{., .} Poisson-Klammer
Die Axiome der Quantenmechanik6
1. Der Zustand ist durch einen Vektor |ψi in einem (unendlich-dimensionalen)
Hilbertraum H gegeben.
2. Eine Observable A entspricht einem hermiteschen/selbstadjungierten linearen Operator
 : H → H mit Eigenfunktionen |ni und Eigenwerten an .
P
3. Sei |ψi = n cn |ni. Die Wahrscheinlichkeit P der Messung von an ist
P (Messung von  an |ψi ergibt an ) = |cn |2 = hψ|P̂|ni |ψi
mit P̂|ni = |nihn| dem Projektor auf |ni
Daraus folgt: Der Erwartungswert von A ist
hAi = hψ|Â|ψi
4. Die Messung von an führt zu einem Kollaps der Wellenfunktion |ψi → |ni
5. Zeitentwicklung von |ψi für geschlossene Systeme ist gegeben durch
Schrödinger-Gleichung
∂
i~ |ψi = Ĥ|ψi
∂t
Zentral:
• Zufall des Messausgangs liegt nicht an Unkenntnis des Zustands
6
Unterstrichen ist, was wir im Folgenden lernen werden
25
• Im Unterschied zur Statistischen Physik
• Der Kollaps der Wellenfunktion kann nicht durch eine Schrödinger-Gleichung
beschrieben werden. Schon allein deshalb, weil er zufällig ist, nicht wie
Schrödinger-Gleichung deterministisch
Betrachte zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Ĥψ(x) = Eψ(x)
Zwei Aufbaustücke:
• Operator Ĥ
– ”Frißt” ψ(x) und gibt Eψ(x) aus
– Eigenwert-Problem, der Eigenwert E muss reell sein
– Frage: Welche Eigenschaften müssen Operatoren in der Quantenmechanik
erfüllen ?
– Wie wird eine Messung mathematisch abgebildet ?
• Wellenfunktion ψ(x)
– In welchen Raum leben die Wellenfunktionen ψ(x) ?
2.1.1
Zustände
• Schrödinger-Gleichung ist linear =⇒ Wellenfunktionen bilden Vektorraum
• Für Wellenfunktion ψ(x) muss gelten
Z
dx|ψ(x)|2 = 1
D.h., sie liegen im Raum der quadratintegrablen Funktionen L2
R
• dx|ψ(x)|2 stellt ein Skalarprodukt dar
• Wir brauchen Vektorraum mit Skalarprodukt: Einen Hilbertraum
26
2.1.2
Operatoren
Zeit-abhängige Schrödinger-Gleichung
Êψ(x, t) = Ĥψ(x, t)
∂
~2 ∂ 2
i~
ψ(x, t) =
−
+ V (x, t) ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
• Verallgemeinertes Eigenwert-Problem
Operator1 ψ = Operator2 ψ
• Beispiel: Harmonischer Oszillator:
~2 ∂ 2
mω 2 2
∂
ψ(x, t) =
−
+
x ψ(x, t)
i~
∂t
2m ∂x2
2
Êψ(x, t) = Ĥkin ψ(x, t) + Ĥpot ψ(x, t)
mit
– Energie-Operator Ê
∂
ψ(x, t)
ψ(x, t) nach i~
∂t
Zeitableitung
– Kinetischer Energie Operator Ĥkin
ψ(x, t) nach −
~2 ∂ 2
ψ(x, t)
2m ∂x2
Ortsableitung
– Potentieller7 Energie Operator Ĥpot
ψ(x, t) nach const. x2 ψ(x, t)
Multiplikation mit x2
– Alle diese Operatoren O sind linear im Sinne von:
O(αψ1 + βψ2 ) = αO(ψ1 ) + βO(ψ2 )
• Wir müssen über lineare Operatoren mit reellen Eigenwerten nachdenken, die
in Hilberträumen wirken
7
:-)
27
2.1.3
Observable
Ausflug: Klassische Statistik
• Definition Zufallsvariable X
– Etwas, das eine Wahrscheinlichkeitsdichte pX (x) hat
– Wahrscheinlichkeit, eine Realisierung x in (x, x + dx) zu beobachten, ist
pX (x)dx
R
– pX (x) ≥ 0, pX (x) dx = 1
Abbildung 2.1
• Prominentes Beispiel:
Gaußverteilung oder Normalverteilung:
p(x) = √
(x−µ)2
1
e− 2σ2
2πσ
Bezeichnung: N (µ, σ 2 )
• Physikalisch entsteht Zufall entweder durch
– Chaos, bei Würfel und in der Statistischen Physik realisiert
28
– viele Einflüsse á la Brownian Motion
– Quantenmechanik
• Erwartungswert hf (x)i
Z
hf (x)i =
dx f (x) p(x)
(11)
Beachte: Erwartungswert ist eine Zahl
• Beispiele: Momente
Z
k
µk = hx i =
xk p(x) dx
1. Moment: Mittelwert
Z
µ1 = x̄ = µ = hxi =
2. Moment
Z
2
µ2 = hx i =
x p(x) dx
x2 p(x) dx
Varianz σ 2
σ 2 = h(x − hxi)2 i = hx2 i − hxi2 = µ2 − µ21
• Wie Erwartungswert in der Quantenmechanik definieren ?
Wir haben:
– Wellenfunktion ψ(x)
– Wahrscheinlichkeit Teilchen in (x, x+dx) zu finden: p(x)dx = |ψ(x)|2 dx =
ψ(x)∗ ψ(x)dx
– Zu Observablen A gehören Operatoren Â, die Wellenfunktionen fressen
wollen
– Naive Analogie zu Gl. (11):
Z ∞
Z
2
hAi =
dx Â|ψ(x)| =
−∞
∞
−∞
geht nicht
29
dx Âψ(x)∗ ψ(x)
– Einzige vernünftige Möglichkeit
Z
∞
hAi =
dx ψ ∗ (x)Âψ(x)
−∞
Da hAi reell sein muss, müssen Eigenwerte von  reell sein.
– Wir müssen über hermitesche/selbstadjungierte Operatoren nachdenken
2.1.4
Messungen
• ψ(x) ist ”irgendwie”
• Messung gibt zufälligen Wert für Observable
• ”Sofortige” zweite Messung ergibt denselben Wert
• Messung muss ψ(x) verändert haben
• Wir müssen über die mathematische Formulierung einer Messung nachdenken
Quantenmechanik hat die Mathematik sehr befruchtet, Funktionalanalysis.
• Delta-Distribution
• 1930 von Physiker Dirac lax eingeführt
• 1945 von Mathematiker Schwartz rigoros behandelt, Übung
2.2
2.2.1
Mathematische Formalisierung
Hilbert-Raum
Wellenfunktionen leben im Hilbert-Raum H
1. H ist ein Vektorraum über C
• Kommutativ-Gesetz
• Assoziativ-Gesetz
• Existenz des Null-Vektors
• Die üblichen Vektor-Gesetze
30
2. Es existiert ein Skalarprodukt: ha|bi
c Dirac
• Bra- und Ket-Vektoren, von bra-ket: Klammer, • Ket-Vektoren: ”normale” Vektoren
Im endlich-dimensionalen:


b1


|bi :=  ... 
bn
• Bra-Vektoren leben im Dualraum: Lineare Funktionale: Werfen Vektor auf
Zahlen
Im endlich-dimensionalen:
ha| := (a∗1 , . . . , a∗n )
Bilden auch einen Vektorraum
• Es gelten die üblichen Gesetze für das Skalarprodukt
• Die Norm ist durch
| |ai | :=
p
ha|ai
gegeben.
Es gilt die Cauchy-Schwarze Ungleichung
|ha|bi| ≤ | |ai | · | |bi | oder |ha|bi|2 ≤ ha|aihb|bi
• Hier besonders wichtig: Der abzählbar unendlich-dimensionale L2 -Raum
der quadratintegrablen Funktionen
Z
hψ|ψi = dx ψ ∗ (x)ψ(x)
Bra-Vektoren:
R
dx ψ ∗ , warten auf ein ψ
3. Es gibt eine abzählbare Menge von paarweise orthogonalen Vektoren, deren
lineare Hülle dicht in H ist. Diese bilden eine Basis
4. Hilbert-Raum ist vollständig: Zu jeder Cauchy-Folge in H existiert ein Grenzelement in H
31
Bemerkungen
• Für endlich-dimensionale Hilbert-Räume folgen 3. und 4. aus 1. und 2. Für
Quantenmechanik aber (abzählbar-)unendlich dimensionale Vektorräume von
besonderem Interesse
• Für Genießer: Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt
Wichtige Definitionen:
• Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren |ai und |bi heißen orthogonal, wenn gilt:
ha|bi = 0
• Orthonormalsystem
Menge {|an i} von Vektoren heißt Orthonormalsystem, wenn gilt
han |am i = δnm
• Vollständiges Orthonormalsystem
Orthonormalsystem {|an i} heißt vollständig, wenn jeder Vektor |bi darin ausgedrückt werden kann:
|bi =
X
cn |an i
n
mit
cm = ham |bi = ham |
X
cn |an i
n
Vollständiges System von Basisvektoren kann stets in ein orthonormiertes System überführt werden
Bras und Kets revisited
• Mit
|φi =
X
i
32
ci |ψi i
folgt für normierte Zustände
1 = hφ|φi =
X
X
hψj |c∗j ci |ψi i =
|ci |2
ij
i
also
X
|ci |2 = 1
i
Für später: Interpretation: |ci |2 ist Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messuung
von |φi der Basiszustand |ψi i gemessen wird
• Vollständigkeitsrelation und Projektoren
Betrachte
|φi =
X
hψi |φi|ψi i
i
=
X
|ψi ihψi |φi
i
!
X
=
|ψi ihψi | |φi
i
→
X
|ψi ihψi | = 1 Vollständigkeitsrelation
i
Einschieben der Eins oft sehr nützlich
Betrachte einen Summanden ergibt Projektionsoperator Pj
Pj = |ψj ihψj |
Warum ?
Pj |φi =
X
|ψj ihψj |hψi |φi|ψi i = hψj |φi|ψj i = cj |ψj i
i
Das j-te Element wird herausprojeziert
|ψj ihψj | ist aus der linearen Algebra als dyadisches Produkt bekannt
33




a1
a1 b 1 . . . a 1 b n
 .. 
 .
.. 
 .  · (b1 , . . . , bn ) =  ..
. 
an
an b1 . . . an bn
Es gilt
Pj2 = |ψj ihψj |ψj ihψj | = Pj
Projektsoperator ist idempotent
Eigenwerte des Projektionsoperators sind 0 und 1
Sei
Pj ψ = λψ
dann
Pj2 ψ = λ2 ψ = Pj ψ = λψ,
λ2 = λ λ = 0, 1
Interpretation klar.
Summen von Projektionsoperatoren projezieren auf Teilräume
• Basistransformationen
Zustand |φi sei in Basis {|ψi i} gegeben
X
|φi =
ci |ψi i, mit ci = hψi |φi
i
Um in eine andere Basis {|an i}zu gelangen, Eins einschieben
X
X
|φi =
hψi |φi
|an ihan |ψi i
n
i
=
XX
n
|i
hψi |φihan |ψi i |an i =
X
n
{z
=kn
34
}
kn |an i
• Kontinuierliche Basen
Bisher: Diskrete Basiszustände |ψi i mit (über)abzählbarer Dimension
Betrachte freie zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
−
~2 d2
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx
Lösung:
ψ(x) = √
1
eipx/~ := |pi,
2π~
p∈R
Sicher nicht normierbar, uneigentlicher Zustandsvektor
Gesamtheit der ebenen Wellen definieren auch eine Basis:
Z
|φi =
dp c(p)|pi
Basis ist überabzählbar unendlich dimensional
Normierung
1
hp|p i =
2π~
0
Z
0
dp ei(p−p )x/~ = δ(p − p0 )
Von diskreter Basis zu kontinuierlicher Basis:
i → x
Z
X
→
dx
i
δij → δ(x − x0 )
2. Woche
2.2.2
Lineare Operatoren im Hilbert-Raum
Definition
• Ein Operator fˆ bildet einen Zustand |ψi auf einen Zustand |φi ab:
|φi = fˆ(|ψi)
In der Quantenmechanik sind lineare Operatoren A von Interesse.
35
• Definition:
Für lineare Operatoren  gilt:
Â(c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 Â|ψ1 i + c2 Â|ψ2 i
Beispiel: Der Impuls-Operator p̂ =
~ d
i dx
ist linear
Darstellung von Operatoren
• Endlich-dimensionaler Fall
Stellen wir Bras hψ| und Kets |ψi in einer Basis |ii dar
hψ| = (ψ1∗ , . . . , ψn∗ ) =
X
ψi∗ hi|
i


ψ1
 ..  X
ψi |ii
|ψi =  .  =
i
ψn
so ist Operator A eine Matrix mit Elementen
Aij = hi|A|ji
Es folgt
A=
X
Aij |iihj|
ij
• Ist |ii Eigenbasis von A
A|ii = λi |ii
so folgt der Spektralsatz
A=
X
λi |iihi|
i
Spektralsatz auch im unendlich-dimensionalen formulierbar, siehe Übung.
Hermitesche/selbstadjungierte Operatoren
36
• Der zu Operator A adjungierte Operator A† ist definiert durch
hA† φ|ψi = hφ|Aψi
Adjungierter Operator A† wälzt Wirkung von A auf Ket-Vektor auf Bra-Vektor
um
• Wegen hφ|ψi = hψ|φi∗ gilt
hφ|Aψi = hA† φ|ψi = hψ|A† φi∗
In Dirac-Notation
hφ|A|ψi = hψ|A† |φi∗
• Endlich dimensionaler Vektorraum
Sei A eine n × n Matrix, dargestellt in Basis |ii, so gilt
hi|A|ji∗ = A∗ij = hj|A|ii†ji
Adjungierte Matrix durch Transposition und komplexe Konjugation
• Definition:
Ein Operator ist hermitesch, wenn gilt
A = A†
• Sind ferner Definitionsbereiche
selbstadjungiert8 .
von
A
und
A†
identisch,
heißt
A
• Beispiele:
– Endlich dimensionaler Vektorraum
Eine n × n Matrix ist selbstadjungiert, wenn sie reell und symmetrisch ist
– Der Ortsoperator ist (trivial )hermitesch
Z ∞
Z ∞
∗
dx ψ (xψ) =
dx (xψ ∗ )ψ
−∞
8
−∞
Nur im unendlich-dimensionalen relevant. Wir werden die Begriffe synonym verwenden
37
d
– Der Impulsoperator p̂ = ~i dx
ist hermitesch
Z ∞
Z
~ d
dψ
~ ∞
∗
dx ψ
ψ =
dx ψ ∗
i dx
i −∞
dx
−∞
Z
~ ∗ ∞
~ ∞
dψ ∗
=
ψ ψ|−∞ −
ψ
dx
i
i −∞
dx
∗
Z ∞
~ d
=
dx
ψ ψ
i dx
−∞
– Damit folgt: Hamilton-Operator
H=−
~2 ∂ 2
+ V (x)
2m ∂x2
ist auch hermitesch
• Es gilt
(A† )†
(λA)†
(A + B)†
(AB)†
=
=
=
=
A
λ∗ A†
A† + B †
B † A†
Übersetzung in die Physik
• (Fast) alle Operatoren der Quantenmechanik sind hermitesch, wichtige Ausnahme siehe Kap. 4.4
• Schrödinger-Gleichung ist Eigenwert-Problem, betrachte zeitunabhängigen Fall
Ĥψ = Eψ
(12)
Im endlich-dimensionalen Falle führt dies auf den bekannten Fall aus der linearen Algebra





h11 . . . h1n
ψ1
ψ1
 .. . .
 . 
.  . 
 .
. ..   ..  = E  .. 
hn1 . . . hnn
ψn
ψn
Im allgemeinen hat Gl. (12) unendlich viele Lösungen n = 1, 2, . . .
Ĥψn = En ψn
38
• Wir müssen über Eigenwerte und Eigenfunktionen hermitescher Operatoren
nachdenken
Wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren
(i) Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell
Beweis:
– Sei a Eigenwert von Â
Âψ = aψ
– Dann gilt
a=
hψ|Aψi
hAψ|ψi
=
= a∗
hψ|ψi
hψ|ψi
(ii) Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren sind orthogonal
Beweis:
– Multipliziere
Âψn = an ψn
mit
∗
ψm
,
ergibt
∗
∗
ψm
Âψn = an ψm
ψn
(13)
Entsprechend
Âψm = am ψm
mit ψn∗ , ergibt
ψn∗ Âψm = am ψn∗ ψm
– Subtrahiere Gl. (14) komplex konjugiert von Gl. (13) und integriere
Z ∞
Z ∞
∗
∗
†
∗
∗
dx ψm Âψn − (Â ψm ) ψn =
dx (an ψm
ψn − a∗m ψm
ψn )
−∞
−∞
 hermitesch =⇒ linke Seite = 0, damit
Z ∞
∗
∗
ψn = 0
(an − am )
dx ψm
−∞
39
(14)
– Drei Fälle :
1. n = m
∗ Eigenwerte sind reell.
∗ Gleichung trivial erfüllt
2. n 6= m, nicht entartete Eigenwerte an 6= am
∗ Es folgt
Z
∞
∗
ψn = 0
dx ψm
−∞
∗ Mit der richtigen Normierung
Z
hψm |ψn i =
∞
∗
dx ψm
ψn = δij
−∞
∗ Eigenfunktionen eines hermitschen Operators zu verschiedenen
nicht-entarteten Eigenwerten sind orthogonal
3. Betrachte n 6= m, entartete Eigenwerte an = am
∗ Zugehörige Eigenfunktionen nicht notwendiger Weise orthogonal
∗ Orthogonalisierung durch Bildung von Linearkombinationen
∗ Entartung physikalisch relevant, da mit Symmetrien des Problems
verbunden
(iii) Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren sind vollständig
Beweis:
– Eigenfuntionen {ψn } vollständig bedeutet für beliebige Wellenfunktion φ:
φ(x) =
∞
X
cn ψn (x)
n=1
φ läßt sich nach ψn entwickeln
∗
– Zur Berechnung der cn , multipliziere mit ψm
und integriere
Z ∞
X Z ∞
∗
∗
ψ n = cm
dx ψm φ =
cn
dx ψm
−∞
−∞
n
|
{z
}
=δnm
ergo
Z
∞
cm =
−∞
40
∗
dx ψm
(x)φ(x)
– φ sei normiert, so folgt
Z
Z ∞
∗
dx φ φ =
1=
∞
dx
−∞
−∞
X
c∗n cm ψn∗ ψm =
nm
und damit
1=
∞
X
X
c∗n cm δnm
nm
|cn |2
n=1
{cn } ist unendlich-dimensionaler Vektor der Länge 1.
– Es besteht ein-eindeutiger Zusammenhang zwischen φ(x) und cn
Berechnung von Erwartungswerten
• Betrachte beliebige Wellenfunktion φ(x) und Operator  mit seinem orthogonalen, vollständigen und normierten System von Eigenfunktionen ψn (x)
Âψn (x) = an ψn (x)
• Frage: Wie lautet Erwartungswert von A ?
Z
∞
dx φ∗ (x)Âφ(x)
hAi =
−∞
Mit {ψn } Eigenfunktionen von Â
φ(x) =
∞
X
cn ψn (x),
cn = hψn |φi
n=1
folgt
Z
∞
X
∗
c∗m cn ψm
Âψn
|{z}
−∞
nm
=an ψn
Z ∞
X
∗
∗
=
cm cn an
dx ψm
ψn
−∞
nm
|
{z
}
=δnm
X
=
c∗m cn an
hAi =
dx
n
41
Ergo
hAi =
∞
X
|cn |2 an
(15)
n=1
• Interpretation
– Erwartungswert von A ist Summe über Eigenwerte von  gewichtet mit
|cn |2 , dem quadrierten Überlapp |hψn |φi|2 von ψn und φ
– Ist φ Eigenfunktion von Â, d.h. φ = ψk , so gilt ck = 1 und cl = 0 für l 6= k
Dann
hÂi = ak
eine scharfe Messung
Korrespondenz-Prinzip revisited:
• Observablen werden hermitesche Operatoren zugeordnet
A(x, p)
Â(x̂, p̂)
Das ist nicht eindeutig:
– Trivial nicht eindeutig:
 2 2
 p̂ x̂
2 2
1 2 2
(p̂ x̂ + x̂2 p̂2 )
px
 12
(p̂x̂ + x̂p̂)2
4
nicht hermitesch
hermitesch
hermitesch
– Tiefsinnig nicht eindeutig
Groenewald-van-Hove Theorem, 1946, 1951
Quantisierung ist nicht konsistent für Potenzen > 2
• FAPP (For all practical purposes), Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls, geht alles
gut.
3. Halbwoche
Inverser Operator
• Definition:
Wenn für |φi = A|ψi ein Operator A−1 mit A−1 |φi = |ψi existiert, so heißt
dieser inverser Operator
42
• Es gilt
A−1 A = AA−1 = 1
Unitäre Operatoren
• Definition: Ein Operator U ist unitär, wenn gilt
U † = U −1
und damit
U †U = U U † = 1
• Betrachte unitäre Transformation U eines
– Zustandes:
|ψ 0 i = U |ψi
– Operators:
A0 = U AU †
so bleiben experimentell messbare Größen invariant:
– Skalarprodukte
hφ|ψi = hφ|U † U |ψi = hφ0 |ψ 0 i
– Erwartungswerte:
hψ|A|ψi = hψ|U † U AU † U |ψi = hψ 0 |A0 |ψ 0 i
– Eigenwerte:
Sei
U ψ = λψ
dann gilt
hψ|ψi = hψ|U † U ψi = hU ψ|U ψi = |λ|2 hψ|ψi
=⇒
|λ|2 = 1
Alle Eigenwerte eines unitären Operators sind vom Betrage eins.
Beispiel: Zeitentwicklungsoperator
43
– Betrachte zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, zeitunabhängiges Potential
i~
∂
|ψi = Ĥψ
∂t
Formale Lösung:
|ψ(t)i = U (t − t0 )|ψ(t0 )i
i
U (t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 )
i
e− ~ Ĥ(t−t0 ) definiert über Potenzreihe9
e
Ât
=
∞
X
Ân tn
n=0
1
= 1 + Ât + Â2 t2 + . . .
n!
2
– Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) ist unitär:
i
U † (t, t0 ) = e ~ H(t−t0 ) = U (t0 , t) = U −1 (t, t0 )
und erhält somit die Norm der Wellenfunktion
hψ(t)|ψ(t)i = hψ(t0 )|U † (t, t0 )U (t, t0 )|ψ(t0 )i = hψ(t0 )|ψ(t0 )i = 1
2.2.3
Kommutatoren
• Betrachte zwei Operatoren A und B. Der Kommutator [., .] ist definiert als
[A, B] := AB − BA
Kommutator misst, ob zwei Operatoren vertauschen
• Erinnere endlich-dimensionalen Fall: Für Matrizen A und B gilt in der Regel:
[A, B] = AB − BA 6= 0
9
Wunderschöner Artikel: Moler & van Loan. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later, SIAM Review, 2003, 45(1), 3-49.
44
• Betrachte Kommutator von Orts- und Impulsoperator
~ d
~
d
d
[x̂, p̂] = x,
=
x − x
i dx
i
dx dx
Beachte: Operatoren wollen auf Zustände angewandt werden
Daher
d
d
xψ = 1ψ + x ψ =
dx
dx
Somit
~
[x̂, p̂] =
i
d
1+x
dx
d
d
x −1−x
dx
dx
=−
ψ
~
i
oder
[x̂, p̂] = i~
• Beachte: Orts- und Impulsoperator bezüglich verschiedener Komponenten vertauschen
~ ∂
∂
∂
~
[x̂i , p̂j ] = xi ,
−
xi , i 6= j
=
xi
i ∂xj
i
∂xj
∂xj
Wegen:
∂
∂
xi ψ = xi
ψ
∂xj
∂xj
folgt
[x̂i , p̂j ] = 0
• Übung: Berechne diverse Kommutatoren
• Definition: Antikommutator
[A, B]+ := AB + BA
• Frage: Wann ergibt das Produkt zweier hermitescher Operatoren wieder einen
hermiteschen Operator ?
Übung:
Verschwindet der Kommutator, [A, B] = 0, ist das Produkt AB hermitesch
45
Wichtiger Satz:
• Zwei Operatoren  und B̂ kommutieren genau dann, wenn ein Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen beider Operatoren existiert.
• Gemeinsame Eigenfunktionen =⇒ Â und B̂ kommutieren
Beweis:
Sei ψn Eigenfunktion von  und B̂, dann folgt:
ABψn = Abn ψn = an bn ψn = bn an ψn = Ban ψn = BAψn ,
∀ψn
=⇒ [A, B] = 0
• Â und B̂ kommutieren =⇒ Es existiert gemeinsames Eigensystem
Annahme: Eigenwerte seien nicht entartet, Satz gilt aber auch sonst.
Beweis:
Sei
Âψn = an ψn
Dann gilt
B̂ Âψn = an B̂ψn
Mit Kommutativität:
B̂ Âψn = ÂB̂ψn
Damit zusammen
Â(B̂ψn ) = an (B̂ψn )
=⇒ φn = B̂ψn ist auch Eigenfunktion von  mit Eigenwert an
• Da Eigenwerte nicht-entartet sind, sind Eigenfunktionen eindeutig =⇒ φn ∝ ψn
B̂ψn = bn ψn
ψn ist Eigenfunktion von B̂ zum Eigenwert bn .
• Dieses wird später, Kap. 6, wichtig zur Definition von Quantenzahlen.
46
2.3
2.3.1
Zurück zur Physik
Die Messung
Der Ablauf, Axiome der Quantenmechanik revisited
• Zeitentwicklung von ψ(x, t) durch Schrödinger-Gleichung gegeben
• Observable A durch Operator  gegeben
• Bestimme Eigenfunktionen |ni mit Eigenwerten an von Â
• Messung zum Zeitpunkt t: Projeziere ψ(x, t) auf |ni
cn = hn|ψ(x, t)i
• |cn |2 gibt Wahrscheinlichkeit, dass an gemessen wird.
Beachte:
|cn |2 = hn|ψ(x, t)i∗ hn|ψ(x, t)i, mit hn|ψ(x, t)i∗ = hψ(x, t)|ni
= hψ(x, t) |nihn| ψ(x, t)i
| {z }
Projektor
• Wird an gemessen, geht Zustand |ψ(x, t)i in Zustand |ni über
• Wird mehrfach an identisch präpariertem Zustand |ψ(x, t)i gemessen, erinnere
Gl. (15), so gilt:
hAi =
∞
X
|cn |2 an
n=1
Interpretation
• Erwartungswert von A ist Summe über Eigenwerte von  gewichtet mit |cn |2 ,
der Wahrscheinlichkeit, dass an auftritt
|cn |2 ergibt sich aus Überlapp von |ψ(x, t)i und |ni
• Ist ψ Eigenfunktion von Â, d.h. ψ = |ki, so gilt ck = 1 und cl = 0 für l 6= k
Dann
hÂi = ak
eine scharfe Messung
47
• Ist ψ nicht Eigenfunktion von Â, so wird eine einzelne Messung einen der
Eigenwerte an liefern und zwar mit Wahrscheinlichkeit |cn |2 .
• Ergebnis einer einzelnen Messung ist also unbestimmt10 .
• Merke: Die Zeitentwicklung des Zustandes ist deterministisch. Zustand bestimmt aber nicht deterministisch Ergebnis einer Messung
FOLIE
Zentral:
• Zufall des Messausgangs liegt nicht an Unkenntnis des Zustands
• Im Unterschied zur Statistischen Physik
• Der Kollaps der Wellenfunktion kann nicht durch eine Schrödinger-Gleichung
beschrieben werden.
2.3.2
Impulsdarstellung
• Bisher Ortsdarstellung: ψ(x, t)
• Jetzt Impulsdarstellung: φ(p, t)
Fourier-Transformation
• Betrachte Fourier-Transformation
1
f (y) = √
2π
∞
Z
dx g(x)e−ixy
−∞
Dann gilt inverse Fourier-Transformation
1
g(x) = √
2π
Z
∞
dy f (y)eixy
−∞
Informationserhaltende Transformation
Fourier-Transformation ist unitär, Beweis als Übung
10
und zwar in einem sehr tiefen Sinne, siehe Kap. 11
48
Kurzklausur
• Für Wellenfunktionen ψ(x, t)
1
φ(p, t) = √
2π~
Z
∞
dx ψ(x, t)e−ixp/~
−∞
und
Z
1
ψ(x, t) = √
2π~
∞
dp φ(p, t)eixp/~
−∞
φ(p, t): Impulsdarstellung
• Betrachte ebene Welle mit Impuls p0 im Ortsraum:
1
ψ(x) = √
eip0 x/~
2π~
Im Impulsraum:
1
φ(p) = √
2π~
Z
−ipx/~
dx ψ(x)e
Wie transformieren sich die Operatoren ?
1
=
2π~
√1
2π~
Z
dx e−i(p−p0 )x/~ = δ(p − p0 )
Vorfaktoren unterdrückt
• Ortsoperator in Ortsdarstellung x̂x ψ(x) = xψ(x):
Z
xψ(x) = x dp φ(p)eixp/~
Z
Z
∞
0
P.I.:
dp uv = uv|−∞ − dp u0 v
Z
∂
~
xψ(x) = −x dp
φ(p) eixp/~
∂p
ix
Z
∂
~
xψ(x) = −
dp φ(p) eixp/~
i
∂p
R
0
Fourier-Transformation mit dx e−ixp /~
Z
Z
Z
∂
0
−ixp0 /~
φ(p) dx eix(p−p )
dx xψ(x)e
= dp
∂p
R
0
Ausnutzen von dx eix(p−p ) = δ(p − p0 ) ergibt (Beweis als Übung):
49
Z
0
dx xψ(x)e−ixp /~ = −
~ ∂
φ(p)
i ∂p
Damit Ortsoperator in Impulsdarstellung
x̂p φ(p) = −
~ ∂
φ(p)
i ∂p
• Impulsoperator, analoge Rechnung als Übung
p̂p φ(p) = pφ(p)
• Hamiltonoperator in Impulsdarstellung
~ ∂
−
i ∂p
1 2
p̂ + V
Ĥ =
2m
• Kommutator [x̂p , p̂p ] in Impulsdarstellung
~ ∂
~ ∂
∂
[x̂, p̂] = −
,p = −
p−p
i ∂p
i ∂p
∂p
Analog zu oben: Operatoren wollen auf Zustände wirken
∂
∂
pφ(p) = 1φ(p) + p
φ(p) =
∂p
∂p
∂
1+p
φ(p)
∂p
Damit
[x̂p , p̂p ] = −
~
= i~
i
Es gilt allgemein: Kommutatoren sind darstellungsunabhängig
• Erwartungswerte von Observablen sind darstellungsunabhängig
hAi = hψ(x)|Âx |ψ(x)i = hφ(p)|Âp |φ(p)i
Beweis als Übung
Energiedarstellung: Darstellung in Eigenfunktionen des Hamilton-Operators
50
2.3.3
Ehrenfest Theorem
Die klassische Mechanik muß als Grenzfall in der Quantenmechanik enthalten sein.
• Betrachte Schrödinger-Gleichung und ihr konjugiert komplexes
∂
ψ(x, t) = Hψ(x, t)
∂t
∂
−i~ ψ ∗ (x, t) = Hψ ∗ (x, t)
∂t
i~
Für Operator A ist der Mittelwert
Z
hAi(t) =
d3 xψ ∗ (x, t)A(t)ψ(x, t)
• Zeitliche Ableitung, alle Argumente unterdrückt

d
hAi =
dt
Z

 ∂ψ ∗
∂ψ 


∗ ∂A
∗
dx 
Aψ + ψ
ψ+ψ A

∂t
∂t
∂t 
 |{z}
|{z}
= i Hψ ∗
=− i Hψ
~
 ~


Z
i
∂A 
=
dx   Hψ ∗ Aψ − ψ ∗ AHψ  + ψ ∗
ψ
~ |{z}
∂t
=ψ ∗ H
Z
i ∗
∗ ∂A
(ψ (HA − AH)ψ) + ψ
ψ
=
dx
~
∂t
Ergibt
d
i
hAi = h[H, A]i +
dt
~
∂A
∂t
• Vergleich mit klassischer Mechanik
d
∂f
f (q, p, t) = {H, f } +
dt
∂t
mit Poisson-Klammer
{f, g} =
∂f ∂g ∂g ∂f
−
∂p ∂q ∂p ∂q
51
(16)
Andere Formulierung des Korrespondenz-Prinzips:
Klassische Poisson-Klammer entspricht quantenmechanischem Kommutator
multipliziert mit ~i
• Zwei wichtige Kommutatoren, Beweise als Übung
"
#
X p2j
−i~pi
[H, xi ] =
, xi =
2m
m
j
~ ∂
∂V
[H, pi ] = V (x),
= i~
i ∂xi
∂xi
• Anwendung von Gl. (16) auf x und p, mit Kraft: F (x) = −∇V (x)
1
d
hxi =
hpi
dt
m
d
hpi = −h∇V (x)i = hF (x)i
dt
Fasse zusammmen:
m
d2
hxi = hF (x)i erscheint bekannt
dt2
• Ehrenfest Theorem: Die klassischen Gleichungen gelten für die Mittelwerte
• ABER: Das bedeutet nicht, dass die Mittelwerte hxi und hpi den klassischen
Bewegungsgleichungen genügen.
• Dazu muss man Mittelwert der Kraft
Z
hF (x)i =
dxψ ∗ (x, t)F (x)ψ(x, t)
durch ihren Wert F (hxi) an der Stelle hxi ersetzen dürfen
• Wann gilt dies ? Betrachte Taylor-Entwicklung
1
F (x) = F (hxi) + F 0 (hxi)(x − hxi) + F 00 (hxi)(x − hxi)2 + . . .
2
52
Wegen h(x − hxi)i = 0 entfällt 2. Term
1
F (x) = F (hxi) + F 00 (hxi)(x − hxi)2 + . . .
2
Ersetzen von hF (x)i durch F (hxi) ist exakt, wenn zweite und höhere Ableitungen verschwinden. Näherungsweise gut, wenn Wellenfunktion so gut lokalisiert
ist, dass sich F (x) im Bereich ihrer Ausdehnung nur langsam ändert
(∆x)2 F 00 (hxi)
1
F (hxi)
• Erinnere Schrödinger-Kapitel, Ableitung der Eikonal-Gleichung, Gl. (7)
2.3.4
Heisenberg- & Wechselwirkungsbild
• Bisher Schrödinger-Bild: Operatoren zeitunabhängig, Zustand zeitabhängig
|ψ(t)i = U (t0 , t)|ψ(t0 )i
U (t0 , t) = e−iH(t−t0 )/~
• Heisenberg-Bild: Operatoren zeitabhängig, Zustand zeitunabhängig, t0 = 0
hA(t)i = hψ(t)|A|ψ(t)i = hU (t)ψ(0)|A|U (t)ψ(0)i
Wälze U (t) auf A um
hA(t)i = hψ(0)|U † (t)AU (t)|ψ(0)i
Ergibt zeitabhängigen Heisenberg-Operator
AH (t) = U † (t)AU (t)
• Bewegungsgleichung für Heisenberg-Operatoren AH
ȦH =
53
i
[H, AH ]
~
• Wechselwirkungsbild
– Betrachte Hamilton-Operator mit zeitunabhängigem Teil H0 und eventuell zeitabhängiger Störung V (t)
H = H0 + V (t)
– Wechselwirkungsbild liegt zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Bild:
Zustände und Operatoren sind zeitabhängig
– Geeignet, wenn man H0 nach Eigenenergien und Eigenzuständen ”gut
kennt”
– Man interessiert sich für Modifikationen durch V
– Idee: Wälze H0 -Dynamik auf Observablen ab, Transformation auf das
durch die H0 -Dynamik bewegte Basissystem
– Relativ-Bewegungsgleichung für ψ durch V erzeugt.
54
Lessons learned
• Die Axiome der Quantenmechanik:
– Zustände leben im Hilbertraum
– Observable durch selbstadjungierte Operatoren repräsentiert
– Projektion der Wellenfunktion auf Eigenzustände des selbstadjungierten
Operators
– Eigenwert als zufälliges Messergebnis
– Wahrscheinlichkeit durch Überlapp von Wellenfunktion mit Eigenzuständen gegeben
– Kollaps der Wellenfunktion auf zugehörigen Eigenzustand
• Drei wichtige Eigenschaften selbstadjungierter Operatoren:
– Eigenwerte sind reell
– Eigenzustände sind orthogonal
– Eigenzustände sind vollständig
• Groenewald-van-Hove Theorem: Korrespondenz-Prinzip nicht konsistent
• Kommutatoren messen Vertauschbarkeit von Operatoren
• Impulsdarstellung
• Ehrenfest-Theorem: Klassische Mechanik als Grenzfall der Quantenmechanik
• Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
4. Woche
3
Unschärferelationen
• Erinnere Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung:
hφ|φihψ|ψi ≥ |hφ|ψi|2
• Betrachte zwei hermitesche Operatoren  und B̂ und Zustand ψ
55
Definiere Operatoren A und B durch Abziehen des Mittelwertes im Zustand ψ
A = Â − hÂi = Â − h|ψ|Â|ψi
B entsprechend
• Setze Aψ und Bψ in Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung ein
hAψ|AψihBψ|Bψi ≥ |hAψ|Bψi|2
Hermitezität ausnutzen
hψ|A2 |ψihψ|B 2 |ψi ≥ |hψ|AB|ψi|2
(17)
• Mit Antikommutator
[A, B]+ = AB + BA
zerlege AB in hermiteschen und einen anti-hermiteschen Anteil
1
1
AB = [A, B]+ + [A, B]
2
2
mit
[A, B]†+ = [A, B]+
hψ|[A, B]+ |ψi ∈ R
hermitesch
und
[A, B]† = −[A, B] antihermitesch
hψ|[A, B]|ψi
rein imaginär
• Zerlegung eines Operators in einen hermiteschen und einen antihermiteschen
bedeutet für Erwartungswert Zerlegung in Real- und Imaginärteil
Damit gilt für Betragsquadrat:
1
1
|hψ|AB|ψi|2 = hψ|[A, B]+ |ψi2 + |hψ|[A, B]|ψi|2
4
4
56
(18)
• Die Mittelwerte hÂi und hB̂i sind Zahlen, kommutieren mit allem.
Daher gilt
[Â, B̂] = [A, B]
Damit folgt bei Vernachlässigung des ersten Terms in Gl. (18)
1
|hψ|AB|ψi|2 ≥ |hψ|[Â, B̂]|ψi|2
4
(19)
Warum der erste und nicht der zweite Term vernachlässig wird, wird unten
klar.
• Die Unschärfe ∆A ist die Standardabweichung von Â, Wurzel aus der Varianz
(∆A)2 = hψ|(Â − hÂi)2 |ψi
∆B entsprechend
• Somit folgt für das Produkt der Unschärfen mit Gl. (17)
1
∆A∆B ≥ |h[Â, B̂]i|
2
die Heisenberg’sche Unschärfe-Relation:
Nicht-kommutierende Operatoren sind nicht simultan scharf messbar
• Betrachte : Â = x̂i und B̂ = p̂j
Erinnere:
[x̂i , p̂j ] = i~δij
Es folgt der wichtige Spezialfall der Orts-Impulsunschärfe:
∆xi ∆pj ≥
~
δij
2
Physikalisch/mathematische Interpretation
• Kommutierende Operatoren
– Erinnere: Kommutieren zwei Operatoren A und B, so haben sie die gleichen Eigenfunktionen |ni
57
– Messung von A ergibt Eigenwert an und überführt Wellenfunktion |ψi in
Eigenfunktion |ni
– Unmittelbar anschließende Messung von B ergibt bn und lässt Eigenfunktion |ni unverändert
– Messung von A ergibt wieder an und |ni
– Dieses lässt beliebig häufig wiederholen
– Ergo: Man kann von scharfen Messwerten sprechen
• Nicht-kommutierende Operatoren
– Messung von A ergibt Eigenwert an überführt Wellenfunktion |ψi in Eigenfunktion |ni
– Diese ist nicht Eigenfunktion von B
– Messung von B ergibt bm und lässt |ni kollabieren in Eigenfunktion |mi
von B
– |mi ist keine Eigenfunktion von A
– Messung von A ergibt Eigenwert an0 und Kollaps in Eigenfunktion |n0 i
– Diese wechselseitigen Zerstörung der Eigenfunktionen iteriert
– Die Messwerte ändern sich ständig
– Ergo: Man kann nicht von scharfen Messwerten sprechen
Unschärferelation ist eine Ungleichung
Unter welchen Bedingungen an die Wellenfunktion wird das Gleichheitszeichen angenommen ?
• Gleichheitszeichen bei Cauchy-Schwarz’scher Ungleichung wird angenommen
für
Bψ = zAψ, z ∈ C
(20)
Gleichheitszeichen in Gl. (19) wird angenommen, wenn Erwartungswert des
Antikommutators verschwindet
hψ|AB|ψi + hψ|BA|ψi = hAψ|Bψi + hBψ|Aψi = 0
Gl. (20) eingesetzt
0 = hAψ|zAψi + hzAψ|Aψi = hAψ|zAψi + hAψ|zAψi∗ = (z + z ∗ )hAψ|Aψi
Ergo: z muss rein imaginär sein
58
• Eingesetzt in Gl. (20)
Bψ = iλAψ,
λ reell
• Für A = x̂ und B = p̂ ergibt sich die Differentialgleichung
~ ∂
− hpi ψ = iλ(x − hxi)ψ
i ∂x
Lösung: Gauß’sches Wellenpaket, siehe Kap. 4.1. Beweis als Übung
Beweis der Orts-Impuls Unschärfe auf Grund der Fourier-Transformation
• Sei ψ(x) eine quadrat-integrable Funktion
• Dann ist11
1
ψ̃(k) = √
2π
Z
∞
dx ψ(x)e−ikx
−∞
die Fourier-Transformierte von ψ(x)
• Sei ferner
2
(∆x)
(∆k)2
Z ∞
1
= √
dx ψ ∗ (x)(x − hxi)2 ψ(x)
2π −∞
Z ∞
1
dk ψ̃ ∗ (k)(k − hki)2 ψ̃(k)
= √
2π −∞
dann gilt
∆x∆k ≥
1
2
• Beweis als Übung
• Mit de Broglie-Beziehung p = ~k folgt
∆x∆p ≥
11
mal wieder nomenklatorisch flexibel bleiben :-)
59
~
2
Energie-Zeit Unschärfe
• Betrachte ψ(t) und Fourier-Transformierte
1
ψ̃(ω) = √
2π
Z
∞
dt ψ(t)e−iωt
−∞
und
2
(∆t)
(∆ω)2
Z ∞
1
= √
dt ψ ∗ (t)(t − hti)2 ψ(t)
2π −∞
Z ∞
1
dω ψ̃ ∗ (ω)(ω − hωi)2 ψ̃(ω)
= √
2π −∞
Es folgt analog
∆ω∆t ≥
1
2
∆E∆t ≥
~
2
und mit E = ~ω folgt
• Aber: Die Zeit t ist in der Quantenmechanik keine Observable, nur ein Parameter. Es gibt keinen Zeit-Operator
• Daher lässt Zeit-Energie Unschärfe sich nicht aus Kommutator-Relation ableiten
• Bedeutung von ∆t: Zeitdauer, keine Standardabweichung in obigem Sinne
• Anwendungsbeispiele
– Durchgangsdauer und Energieunschärfe
Energieunschärfe eines freien Wellenpaketes mit p0 und ∆p
∆E ≈
p0 ∆p
m
Zeitunschärfe ∆t: Zeit, die das Teilchen an Stelle x gefunden werden kann,
d.h. die Zeit, die das Wellenpaket mit Ausdehnung ∆x für Durchgang
durch Ort x benötigt
∆x
m∆x
∆t ≈
=
v0
p0
60
Somit
~
2
– Energie-Zeit-Unschärfe hat praktische Konsequenzen in der Spektroskopie:
∆E∆t ≈ ∆x∆p ≥
∗ Hat ein angeregter Zustand die Lebensdauer ∆t, dann ist die Frequenz, resp. die Energie nur bis auf ∆ω, resp. die Energie ∆E bestimmt.
∗ Endliche Lebensdauern führen zu verbreiterten Emissionslinien im
Spektrum
Lessons learned
• Observable, die zu nicht kommutierenden Operatoren gehören, sind nicht simultan scharf messbar
• Die Zeit ist in der Quantenmechanik keine Observable, es gibt keinen ”ZeitOperator”
• Energie-Zeit Unschärfe in besonderem Sinne
5. Halbwoche
4
Erste Anwendungen
Überblick
• Zentral ist der Hamilton-Operator, in Ortsdarstellung:
Ĥ = −
~2 ∂ 2
+ V (x)
2m ∂x2
• Bewegungsgleichung: Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
∂
~2 ∂ 2
i~ φ(x, t) = −
+ V (x) φ(x, t)
∂t
2m ∂x2
• Im zeitunabhängigen Falle: Separationsansatz:
φ(x, t) = ψ(x)e−
61
iEt
~
• Ergibt zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
~2 ∂ 2
−
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
2m ∂x2
• Das heißt, die Fragestellungen klassifizieren sich nach dem Potential V (x)
– Freies Teilchen
– Potentialbarriere
– Kastenpotential
– Harmonischer Oszillator
– Periodische Potentiale
• Bestimme Eigenfunktionen und Eigenwerte, das Energiespektrum, von Ĥ
4.1
Freies Teilchen
• Mit V (x) = 0 folgt für zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
−
~2 d2
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Lösung: trigonometische Funktionen
Ansatz: ψ(x) = Ae±ikx
• Es folgt
−
~2
A(−k 2 )e±ikx = EAe±ikx
2m
mit Energie E
E=
bzw.
k=
~2 k 2
2m
1√
2mE
~
62
• Für jede Energie E existieren zwei Lösungen, jeder Eigenwerte ist zweifach
entartet
ψ± (x) = Ae±ikx
Jeder Wert E ≥ 0 ist Eigenwert, keine Quantisierung, sondern kontinuierliches
Spektrum
• Energie kann scharf gemessen werden ∆E = 0
• Zeitabhängige Lösung
ψ± (x, t) = Ae±ikx e−i/~Et
ergibt mit ω = E/~
ψ+ (x, t) = Aei(kx−ωt) rechtslaufende Welle
ψ− (x, t) = Aei(−kx−ωt) linkslaufende Welle
Allgemeine Lösung: Linearkombination
ψ(x, t) = Aeikx + Be−ikx e−iωt
• Quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude für freies Teilchen ist eine
Welle.
Dies erlaubt Effekte wie Interferenz, so war es konstruiert.
Betrachte Messung von Ort und Impuls
• Eigenwert-Gleichung für Impuls-Operator
p̂φ(x) = λφ(x)
~ d
φ(x) = λφ(x)
i dx
Ansatz:
φ± (x) = Ae±ikx
p̂Ae±ikx =
~ d
~
Ae±ikx = A(±ik)e±ikx = ±pφ± (x)
i dx
i
63
Ergo
p̂ψ± (x) = ±pψ± (x)
ψ± (x) ist auch Eigenfunktion von Impuls-Operator und beschreibt damit Teilchen mit scharfem Impuls, ∆p = 0
• Da sowohl ∆E = 0 als auch ∆p = 0 müssen die entsprechenden Operatoren
kommutieren
[Ĥ, p̂] = 0
was trivial richtig ist.
Beispiel für simultane Eigenfunktionen kommutierender Operatoren
• Unschärferelation fordert ∆x = ∞
In der Tat:
|ψ± (x)|2 = |A|2 |e±ikx |2 = |A|2 = const.
• ψ± (x) ist nicht normierbar. Realistischerer Ansatz: lokalisierte Wellenpakete
Wellenpakete
• Konstruiere lokalisierte Lösung durch Superposition
1
ψ(x, t) = √
2π
Z
∞
dk a(k)ei(kx−ω(k)t)
−∞
Anfangsbedingung, t = 0
1
ψ(x, 0) = √
2π
Z
∞
dk a(k)eikx
−∞
a(k) ist Fouriertransformierte von ψ(x, 0)
• Gehe in Impulsdarstellung, immer im Hinterkopf: p = ~k
1
φ(p, t) = √ a(k)e−iω(k)t
~
64
(21)
• Für geeignetes a(k) sind alle Varianten normierbar
Z
Z
Z
2
2
dp |φ(p, t)| = dk |a(k)| = dx |ψ(x, t)|2 = 1
• Beachte: Wellenpaket ist keine Eigenfunktion von Ĥ
Zerfliessen von freien Wellenpakten
• Quantenmechanische Dispersion
• Betrachte Gauß’sches Wellenpaket
2
a(k) = Ce−α(k−k0 )
α legt Breite fest, C sorgt für Normierung
• Bisher ganz allgemein, gilt auch für elektromagnetische Wellen.
• Erinnere unterschiedliche Dispersionsrelationen
~k 2
2m
ω = ck
ω =
Schrödinger-Gleichung
Maxwell-Gleichung
Entwickele ω(k) um k0
dω 1 d2 ω ω(k) = ω(k0 ) +
(k − k0 ) +
(k − k0 )2 + . . .
2
dk k0
2 dk k0
ω(k) = ω0 + vG (k − k0 ) + β(k − k0 )2 + . . .
vG : Gruppengeschwindigkeit, β: Dispersionsparameter
• Hier: Entwicklung bricht (spätestens) nach quadratischem Term ab
Eingesetzt in Gl. (21)
Z
C
2
2
ψ(x, t) = √
dke−α(k−k0 ) eikx e−i(ω0 +vG (k−k0 )+β(k−k0 ) )t
2π
C
1
(x − vG t)2
i(k0 x−ω0 t)
= √ √
e
exp −
4(α + iβt)
2 α + iβt
65
Beweis als Übung
Damit Wahrscheinlichkeitsdichte
|C|2
α(x − vG t)2
2
|ψ(x, t)| = p
exp −
2(α2 + β 2 t2 )
2 α 2 + β 2 t2
Erinnere Varianz von Gauß-Verteilung
σ2 =
α2 + β 2 t2
= (∆x)2
α
Abbildung 4.1
• Im Impulsraum folgt
|C|2 −2α(k−k0 )2
|φ(p, t)| =
e
= |φ(p)|2 ,
~
2
zeitunabhängig
und damit
~
∆p = √
2 α
• Damit folgt für die Unschärferelation
r
~
~
β 2 t2
∆x∆p =
1+ 2 ≥
2
α
2
Beachte: Für t = 0 gilt minimale Unschärfe.
66
• Quantenmechanischer Fall:
dω ~k0
,
vG =
=
dk k0
m
β=
~
2m
Dispersion gilt für jede Art von freien Wellenpaketen.
• Elektrodynamischer Fall, im Vakuum
vG = c,
β=0
Darum keine Dispersion im Vakuum, aber natürlich in Materie, wo ω = ck
nicht gilt.
4.2
Potentialbarriere und Tunneleffekt
• Betrachte Teilchen mit Energie E und eine Potentialbarriere V (x)

 0 für x < −a
V0 für − a ≤ x ≤ a 0 < E < V0
V (x) =

0 für x > a
Abbildung 4.2
• Klassisch: Teilchen kann Barriere nicht überwinden
• Quantenmechanisch: Es gibt endliche Tunnelwahrscheinlichkeit T (E), ein von
links kommendes Teilchen rechts der Barriere zu finden
67
• Intuition, Faktor e−iωt im Folgenden unterdrückt:
– Rechts und links der Barriere: freies Teilchen
ψ(x) ∝ e±ikx ,
k=
1√
2mE
~
– In der Barriere, Schrödinger-Gleichung
~2 d2
−
+ V0 ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
oder
−
~ 2 d2
ψ(x) = (E − V0 ) ψ(x)
| {z }
2m dx2
<0
Lösung: Exponentielles Verhalten12
ψ(x) ∝ e±gx ,
g=
1p
2m(V0 − E)
~
Allgemeine Lösung

 Aeikx + Be−ikx für x < −a
Ce−gx + Degx für − a ≤ x ≤ a
ψ(x) =

F eikx + Ge−ikx für x > a
Abbildung 4.3: mit A, B und F
12
g statt κ :-)
68
(22)
• Bei x = −a und x = a müssen die Wellenfunktionen für endliches Potential V0
stetig und differenzierbar aneinander anschließen
Beweise:
– Intuitiv
∗ Angenommen ψ(x) oder ψ 0 (x) wären unstetig, dann bewirkt
ψ(x) ∝ Θ(x − a) für ψ 00 (x) ∝ δ 0 (x − a)
ψ 0 (x) ∝ Θ(x − a) für ψ 00 (x) ∝ δ(x − a)
∗ ψ 00 (±a) hat aber höchstens endliche Sprungstelle
∗ Widerspruch
∗ Analoge Argumentation: Bei unendlichen Sprüngen von V (x) bleibt
ψ(x) stetig, aber ψ 0 (x) wird unstetig
– Physikalisch: ψ 0 (x) entspricht Impuls, dieser kann nicht unendlich sein,
daher muss ψ(x) stetig sein.
– Mathematisch
∗ Integriere Schrödinger-Gleichung über das Intervall [a − , a + ]
~2
−
2m
Z
a+
a−
d2
dx 2 ψ(x) =
dx
Z
a+
Z
a+
dx Eψ(x) −
a−
~2 0
(ψ (a + ) − ψ 0 (a − )) =
−
2m
Z
dx V (x)ψ(x)
a−
a+
Z
a+
dx Eψ(x) −
a−
dx V (x)ψ(x)
a−
∗ Für → 0 folgt verschwindet 1. Integral auf jeden Fall, zweites, wenn
Sprung in V (x) endlich
• Anschlußbedingung bei x = −a
Stetigkeit
Ae−ika + Beika = Cega + De−ga
Differenzierbarkeit
ik(Ae−ika − Beika ) = −g(Cega − De−ga )
In Matrixschreibweise
69
e−ika eika
e−ika −eika
A
B
=
ega
e−ga
ig ga
e
− igk e−ga
k
C
D
Umgestellt
A
B
1
=
2
eika
eika
−ika
e
−e−ika
ega
e−ga
ig ga
e
− igk e−ga
k
C
D
Ergibt
mit
1
M (a) =
2
A
B
= M (a)
1+
1−
ig
ega+ika
k
ig
ega−ika
k
C
D
1−
1+
ig
e−ga+ika
k
ig
e−ga−ika
k
• Anschlußbedingung bei x = a
Analoge Rechnung
• Zusammenhang
A
B
F
G
und
mit
A
B
= M (−a)
F
G
= M (a)M (−a)
1−
1 2
1+
C
D
:
 M (−a)−1 =
ik
g
ik
g
ega+ika
e−ga−ika
−1
F
G
1+
1+
ik
g
ik
g
ega−ika

e−ga−ika

Ergibt
iη
A
(cosh 2ga + i2 sinh 2ga)e2ika
sinh
2ga
F
s
=
B
G
− iη2 sinh 2ga
(cosh 2ga − i2 sinh 2ga)e−2ika
mit
g k
−
k g
g k
η =
+
k g
=
70
• Betrachte von links einlaufendes Teilchen, d.h. G = 0. Dann
A = F (cosh 2ga +
B = −F
i
sinh 2ga)e2ika
2
iη
sinh 2ga
2
Abbildung 4.4: Wellenfunktion
• Definiere Transmissionsamplitude S(E):
S(E) :=
F
e−2ika
=
A
cosh 2ga + i2 sinh 2ga
Definiere Tunnelwahrscheinlichkeit T (E) = |S(E)|2 , dass Teilchen, das auf
Schwelle trifft, diese durchdringt:
T (E) :=
1
1 + (1 +
(2 /4)) sinh2
2ga
• Betrachte Grenzfall einer sehr hohen und breiten Barriere: ga 1
Dann gilt
1
1
sinh 2ga = (e2ga − e−2ga ) ≈ e2ga 1
2
2
Damit
−1
2
16(gk)2 −4ga
−4ga
T (E) ≈ 1 +
4e
= 2
e
4
(g + k 2 )2
71
Mit k =
1
~
√
2mE und g =
1
~
p
2m(V0 − E)
ap
16E(V0 − E)
T (E) ≈
exp −4
2m(V0 − E)
V02
~
Ziehe Vorfaktor in den Exponenten
ap
2m(V0 − E) + log
T (E) ≈ exp −4
~
16E(V0 − E)
V02
Logarithmus wächst viel langsamer als Wurzel, vernachlässige ihn
ap
T (E) ≈ exp −4
2m(V0 − E)
~
Ergebnis: Für sehr hohe und breite Barriere, ga 0
T (E) ≈ e−β
4a p
β =
2m(V0 − E)
~
Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt exponentiell ab mit der
– Breite der Barriere
– Wurzel der Masse
– Wurzel aus der Energiedifferenz
• Tunneleffekt ist ein Wellenphänomen. Geht auch mit elektromagnetischen Wellen: Evaneszente Wellen, lateinisch: evanescere: verschwinden. Z.B. bei Totalreflexion
72
Abbildung 4.5
• Technisch: Grundlage des Rastertunnelmikroskopes, Nobelpreis 1986 für
G. Binnig und H. Rohrer
– Halte Metallspitze über abzutastender Oberfläche
– Zwischenraum entspricht Potentialbarriere
– Lege Spannung zwischen Metallspitze und Oberfläche an
– Strom misst den Abstand
73
– Quantitative Beziehung zwischen Abstand und Strom schwierig
– Praxis: Halte Strom konstant und variiere Abstand durch Piezokristalle
– Abstand ∝ Spannung an Piezokristall
Übung: α-Zerfall
4.3
Potentialtopf
Unendlich hoher Potentialtopf
• Sei
0
∞
V (x) =
für 0 < x < L
sonst
• Lösung muss im Außenbereich verschwinden, sonst wäre Erwartungswert der
potentiellen Energie
Z
∞
dx V (x)|ψ(x)|2
hV i =
−∞
unendlich
• Schrödinger-Gleichung im Innenbereich
−
~2 d2
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Allgemeine Lösung
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
• Wellenfunktion muss stetig sein: ψ(0) = ψ(L) = 0
ψn (x) = A sin(kn x),
kn =
nπ
, n = 1, 2, . . .
L
Richtig normiert:
r
ψn (x) =
74
πnx 2
sin
L
L
Abbildung 4.6
• Energiespektrum durch Einsetzen in Schrödinger-Gleichung
En =
π 2 ~2 2
n , n = 1, 2, . . .
2mL2
En ∝ n2 mag zunächst überraschen, da Energielücken zwischen benachbarten
Energie-Eigenwerten damit auch groß werden.
Aber relativ werden Abstände kleiner
En+1 − En
2n + 1
2
∆En
=
=
→
2
En
En
n
n
• Fünf Beobachtungen
– Tiefster Energiewert liegt nicht bei Null
– Es gibt nur diskrete Energiewerte.
Es gilt allgemein: Lokalisierte Lösungen führen über Randbedingungen zu
diskreten Energieeigenwerten
– Für große Massen und breite Töpfe ergibt sich Quasi-Kontinuum, der
klassische Grenzfall
75
– Für große n oszilliert ψn (x) sehr schnell. Wahrscheinlichkeit p∆x (x) Teilchen in [x, x + ∆x] zu finden
2
p∆x (x) =
L
Z
x+∆x
dx sin2
x
nπ ∆x
x ≈
,
L
L
für
L
∆x
n
– Verringerung von L erhöht die Energie: Es gibt einen Druck
• E1 6= 0 ist in Übereinstimmung mit der Unschärferelation
– Wäre E1 = 0 wäre p scharf bestimmt. Dann müsste ∆x = ∞ gelten. Geht
aber bei beschränktem System nicht
– Überschlagsrechnung
∆x ≈ L, damit ∆p ≈ ~/L
~2
2
die Grundzustandsenergie
Dazu gehört E = 2mL
2 , bis auf Faktor π
• Beachte:
– Durch Randbedingungen wird aus überabzählbar unendlich dimensionaler
Schrödinger-Gleichung ein abzählbar unendlicher Lösungsraum
– Die ganze Rechnung geht ohne dass man über ψ nachdenken muss
Endlicher Potentialtopf als Übung
• Nichttriviale Anschlussbedingungen analog zur Potential-Barriere
• V (x) ist endlich, ψ(x) verschwindet außerhalb des Potentialtopfes nicht
• V (x) macht bei x = ±a einen Sprung, also auch V (x)ψ(x)
• Also macht
d2
ψ(x)
dx2
einen endlichen Sprung
• Damit hat erste Ableitung einen Knick.
• ψ(x) einmal stetig differenzierbar
76
4.4
Harmonischer Oszillator
• Hamilton-Funktion des klassischen harmonischen Oszillators:
H=
mω 2 2
p2
+
x
2m
2
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
~2 d2
mω 2 2
−
x ψ(x) = Eψ(x)
+
2m dx2
2
mit charakteristischer Länge
r
x0 =
4.4.1
~
ωm
”Klassische” Lösung
• Führe dimensionslose Größen und y ein
=
2E
,
~ω
y=
x
,
x0
u(y) = ψ(x(y))
(23)
ergibt:
d2 u(y)
+ ( − y 2 )u(y) = 0
dy 2
(24)
• Betrachte u(y) für y → ∞
u00 ≈ y 2 u,
für y 2 Lösung:
u(y) ∝ e±y
2 /2
,
für y → ±∞
d ±y2 /2
2
e
= ±ye±y /2
dy
d2 ±y2 /2
2
2
2
e
= ±e±y /2 + y 2 e±y /2 ≈ y 2 e±y /2 ,
2
dy
Normierbarkeit: Explodierende Lösung ist raus
77
für y → ±∞
• Ansatz:
u(y) = v(y)e−y
2 /2
(25)
Mit
u00 = (v 00 − 2yv 0 − v + vy 2 ) e−y
2 /2
eingesetzt in Gl. (24) folgt Differentialgleichung für v(y)
v 00 − 2yv 0 + ( − 1)v = 0
(26)
• Polynomansatz für v(y)
v(y) =
∞
X
am y m
(27)
m=0
Damit diese Potenzreihe Gl. (26) erfüllen kann muss der Koeffizient jeder Potenz y k verschwinden und es muss gelten:
(k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + ( − 1)ak = 0
oder die Rekursionsgleichung
ak+2 =
2k + 1 − ak
(k + 2)(k + 1)
(28)
Werden a0 , a1 und festgelegt, ergibt sich Gl. (27) und damit Lösung von
Gl. (25)
• Betrachte ak für große und gerade k: k 1, k , k = 2l
a2l+2 ≈
2
1
a2l = a2l
k
l
a2l ∝
=⇒
1
l!
Damit folgt, für y → ±∞ dominieren die hohen Potenzen:
v(y) ≈
∞
X
2l
a2l y ∝
l=0
∞
X
(y 2 )l
l=0
l!
Für ungrade Potenzen, k = 2l + 1 entsprechend
78
= ey
2
Damit wird Ansatz aus Gl. (25) nicht normierbar:
u(y) = v(y)e−y
2 /2
2
∝ ey e−y
2 /2
= ey
2 /2
• Ansatz Gl. (27) gescheitert ?
6. Woche
• Einzige Rettung: Rekursion in Gl. (28) muss abbrechen
Dies ist genau dann der Fall, wenn einen der diskreten Werte
n = 2n + 1,
n = 0, 1, 2, . . .
(29)
annimmt.
Dann bricht je nachdem entweder die gerade oder die ungrade Folge ab.
Die jeweils andere wird durch a0 = 0, resp. a1 = 0 zum Schweigen gebracht.
• Als Lösung erhalten wir damit ein endliches Polynom Hn (y), das entweder
grade oder ungrade ist und insgesamt
u(y) = cn Hn (y)e−y
2 /2
Explizite niedrigste Lösungen :
– Für n = 0 ist 0 = 1
Aus a1 = 0 folgt a2l+1 = 0
a0 = 0, a4 = a6 = . . . = 0
Mit a0 6= 0 folgt a2 = 0+1−1
2·1
Damit
2
v(y) = H0 (y) = a0 , u(y) = c0 a0 e−y /2
– Für n = 1 ist 1 = 3
Mit a0 = 0 folgt a2l = 0
a1 = 0, a5 = a7 = . . . = 0
Aus a1 6= 0 folgt a3 = 2+1−3
3·1
Damit
2
v(y) = H1 (y) = a1 y, u(y) = c1 a1 ye−y /2
– Für n = 2 ist 2 = 5
Mit a1 = 0 folgt a2l+1 = 0
Aus a0 6= 0 folgt a2 = 0+1−5
a0 = −2a0 und a4 =
2·1
a6 = a8 = . . . = 0
Damit
v(y) = H2 (y) = a0 (1 − 2y 2 ),
79
4+1−5
a2
4·3
=0
u(y) = c2 a0 (1 − 2y 2 )e−y
2 /2
• Diese endlichen Polynome, die Gl. (26) lösen, heissen Hermite-Polynome
Richtig normiert:
H0 (y)
H1 (y)
H2 (y)
H3 (y)
H4 (y)
=
=
=
=
=
1
2y
4y 2 − 2
8y 3 − 12y
16y 4 − 48y 2 + 12
Fingerübungen damit als Übung
• In aller Schönheit:
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
1 π −1/4
x2
x
ψn (x) = √ √
Hn
exp − 2
x0 2n n!
x0
2x0
Abbildung 4.7
Energieeigenwerte mit Gln. (23, 29):
En =
80
1
n+
2
~ω
4.4.2
Ableitung per Leiteroperatoren, algebraische Methode
• Definiere Leiter-Operatoren a und a† , seinen adjungierten Operator
ωmx + ip
√
2ωm~
ωmx − ip
= √
2ωm~
a =
a†
Beachte: a und a† sind nicht hermitesch, Beweis als Übung
• In Umkehrung
r
~
(a + a† )
2ωm
r
~ωm
p = −i
(a − a† )
2
(30)
[a, a† ] = 1
q
(32)
x =
(31)
• Es gilt, Übung
• Mit charakteristischer Länge x0 =
~
ωm
1
d
x
+ x0
a = √
dx
2 x0
1
d
x
†
− x0
a = √
dx
2 x0
Mit Gln. (30, 31) ergibt sich Hamilton-Operator zu, Übung
1
H = ~ω(a† a + aa† )
2
• Addiere a† a − a† a, unter Benutzung des Kommutators, Gl. (32), folgt
1
1
1
†
†
†
†
†
H = ~ω(a a + a a + aa
− a a}) = ~ω a a +
= ~ω n̂ +
| {z
2
2
2
=1
mit Besetzungszahloperator n̂ := a† a
81
• Aufgabe: Finde Eigenwerte und Eigenfunktionen,
Fockzustände, des Besetzungszahloperators.
die
sogenannten
• Es sei ψν Eigenfunktion zum Eigenwert ν von n̂
n̂ψν = νψν
• Berechnung von ψ0
Aus
νhψν |ψν i = hψν |n̂ψν i = hψν |a† aψν i = haψν |aψν i ≥ 0
folgt
ν≥0
Kleinstmöglicher Eigenwert: ν = 0
Um zugehörige Eigenfunktion zu berechnen, beachte, dass Norm von aψ0 muss
verschwinden:
aψ0 = 0
(33)
d.h.
d
x
+ x0
x0
dx
ψ0 = 0
Normierte Lösung dieser Differentialgleichung
ψ0 (x) =
1
√
πx0
−1/2
e
− 12
x
x0
2
• Berechnung der übrigen Eigenfunktionen
Es gilt, Übung
[n̂, a† ] = a†
und [n̂, a] = −a
Behauptung: a† ψν ist Eigenfunktion von n̂ zum Eigenwert ν + 1
Beweis:
82
Addiere geschickt eine Null:
n̂a† ψν = (a† n̂ + |n̂a† {z
− a† n̂})ψν = (a† n̂ + a† )ψν = (ν + 1)a† ψν
a†
Damit
a† ψν ∝ ψν+1
Normierung, wieder geschickt Null addieren
ha† ψν |a† ψν i = hψν |aa† ψν i = hψν |(aa† − a† a + a† a)ψν i
= hψν |(a† a + 1)ψν i = hψν |(n̂ + 1)ψν i =
= (ν + 1)hψν |ψν i > 0
Somit gilt für normierte ψν und ψν+1
√
a† ψν = ν + 1 ψν+1
Iteriere
1
1
ψν = √ a† ψν−1 = √ (a† )n ψ0
ν
ν!
• Behauptung: aψν ist Eigenfunktion von n̂ zum Eigenwert ν − 1
Beweis:
n̂aψν = (an̂ + n̂a
− an̂})ψν = (an̂ − a)ψν = (ν − 1)aψν
| {z
−a
Damit
aψν ∝ ψν−1
Normierung:
haψν |aψν i = hψν |a† aψν i = νhψν |ψν i = ν ≥ 0, für ν ≥ 0
ν = 0 hatten wir schon oben, Gl. (33)
Für ν ≥ 1
aψν =
83
√
νψν−1
(34)
• Behauptung: Mit ψν , ν = 0, 1, 2, . . . sind alle Eigenfunktionen gefunden
Beweis durch Widerspruch:
Nehme an, es gäbe einen Eigenwert ν = n + α mit 0 < α < 1 und n ∈ N
n̂ψν = (n + α)ψν
Dann folgt mit Gl. (34)
n̂(an ψν ) = α(an ψν )
und
n̂(an+1 ψν ) = (α − 1)(an+1 ψν )
Norm von an+1 ψν existiert, aber α − 1 ist negativ. Widerspruch zur Positivität
der Eigenwerte
• Zusammengefasst:
Zustand
Grundzustand ψ0
1. angeregter Zustand ψ1 = a† ψ0
2. angeregter Zustand ψ2 = (a† )2 ψ0
..
.
ν
0
1
2
..
.
E
~ω/2
3~ω/2
5~ω/2
..
.
• a† erhöht Energieeigenwert um ~ω =⇒ Erzeugungsoperator eines Energiequantums
a erniedrigt Energieeigenwert um ~ω =⇒ Vernichtungsoperator eines Energiequantums
– a† und a zentral in der Quantenfeldtheorie
– Dort werden auch die Felder quantisiert
– Felder haben Moden, das sind im wesentlichen harmonische Oszillatoren
– Diese können angeregt, erzeugt, und abgeregt, vernichtet werden.
– Stichwort: Zweite Quantisierung
• Berechnung der Wellenfunktionen, Faktoren unterdrückt
1
1
ψν = √ a† ψν−1 = √ (a† )n ψ0
ν
ν!
84
– Grundzustand: Von oben
ψ0 ∝ e−x
2 /2
– Erster angeregter Zustand
d
2
2
2
2
†
ψ1 ∝ a ψ0 ∝ x −
e−x /2 = xe−x /2 − (−xe−x /2 ) = 2xe−x /2
dx
– Zweiter angeregter Zustand
d
2
2
†
ψ2 ∝ a ψ1 ∝ x −
2xe−x /2 = (4x2 − 2)e−x /2
dx
– Allgemein
ψn ∝ Hn (x)e−x
2 /2
In Übereinstimmung mit Kap. 4.4
4.4.3
Nullpunktsenergie
• Analog zum Potentialtopf: Klassisch ist niedrigste Energie des harmonischen
Oszillators: E = 0
Quantenmechanisch: E =
~ω
2
• Berechnung des Unschärfeprodukts ∆x∆p
• Mittelwert und Varianz des Ortes
hxi = hψn |xψn i ∝ hψn |(a + a† )ψn i ∝ hψn |ψn−1 i + hψn |ψn+1 i = 0
und
(∆x)2 = hx2 i =
~
†
hψn |(a2 + aa
+ a† a} +a†2 )ψn i = x20 (n + 1/2)
{z
|
2ωm
=2n̂+1
• Analog für den Impuls
hpi ∝ hψn |(a − a† )ψn i = 0,
85
(∆p)2 = hp2 i =
~2
(n + 1/2)
x20
Aus
(∆x)2 (∆p)2 = hp2 ihx2 i ≥
~2
4
folgt Ungleichung für Energie
E = hHi =
hp2 i mω 2 ~2 1
hp2 i mω 2 2
+
hx i ≥
+
2m
2
2m
2 4 hp2 i
• Ableitung nach hp2 i liefert Bedingung für Minimum
1
mω 2 ~2
1
!
−
=0
2
2
2m
8 hp imin
Somit:
hp2 imin =
m~ω
2
Für die Energie gilt
E≥
m~ω mω 2 ~2 2
~ω
+
=
4m
8 m~ω
2
Ergo: Nullpunktsenergie ist der
Unschärferelation vereinbar ist.
4.4.4
kleinste
Energiewert,
der
mit
der
Vergleich mit klassischem Oszilllator
• Für große Werte von n ist die Wellenfunktion ψn (x) an den Rändern größer als
in der Mitte
• Das entspricht klassischem Fall
• Berechnung der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit
x(t) = A sin ωt,
dx
= ωA cos ωt
dt
Damit
dx = ωA cos ωt dt = ω
p
A2 − A2 sin2 ωt dt = ω
86
p
A2 − x(t)2 dt
oder
dt =
dx
p
2
ω A − x(t)2
folgt für relative Zeitspanne, die das Teilchen im Intervall
• Mit Periode T = 2π
ω
dx ist, Faktor 2 für hin und zurück
dt
dx
= p
T
π A2 − x(t)2
Abbildung 4.8
4.4.5
Kohärente Zustände
• Für die stationären Zustände ψn (x) gilt hxi = hpi = 0. Sie haben also nichts
mit klassischer Oszillationsbewegung gemeinsam.
• Ziel:
Bestimme Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, die eine periodische Bewegung darstellen
87
• Betrachte normierte Eigenfunktionen φα des Vernichtungsoperators a
aφα = αφα ,
• Mit
α ∈ C,
da nicht hermitesch
1
1
αn
hψn |φα i = √ h(a† )n ψ0 |φα i = √ hψ0 |an φα i = √ hψ0 |φα i
n!
n!
n!
und
1
ψn = √ (a† )n ψ0
n!
folgt die Entwicklung von φα nach ψn
∞
∞
X
X
(αa† )n
αn
†
√ ψn = C
ψ0 = Ceαa ψ0
φα = C
n!
n!
n=0
n=0
(35)
Normierungskonstante C ergibt sich aus Orthonormalität der ψn
1 = hφα |φα i = C 2
X |α|2n
= C 2 e|α|
n!
n
2
zu
C = e−|α|
2 /2
• Für die Zeitentwicklung Separationsansatz
ψn (x, t) = ψn (x)e−i
En
t
~
umkehren
Mit
1
En = ~ω n +
2
ergibt sich
φα (x, t) = e
−|α|2 /2
∞
X
(αe−iωt )n
√
ψn (x)e−iωt/2
n!
n=0
(36)
oder
φα (x, t) = φα(t) (x)e−iωt/2 ,
mit α(t) = αe−iωt
φα (x, t) ist Lösung der zeitabhängigen Schrödinger Gleichung und heißt
kohärenter Zustand, Schrödinger 1926. Warum kohärent wird unten klar
88
• Der Erwartungswert des Ortes im Zustand φα (x, t) ist zeitabhängig
x0
x0
hxi = hφα(t) |x|φα(t) i = √ hφα(t) |(a + a† )φα(t) i = √ (α(t) + α∗ (t))
2
2
• Mit α = |α|eiδ folgt
hxi =
√
2x0 |α| cos(ωt − δ)
Genau wie im klassischen Falle
• Analog für Impuls
hpi =
√ ~
2 |α| sin(ωt − δ)
x0
• Merke: Kohärenter Zustand ist ein Wellenpaket, dessen mittlerer Ort durch den
Realteil und dessen mittlerer Impuls durch den Imaginärteil von α(t) festgelegt
ist.
• Kohärente Zustände zeigen minimale Unschärfe
– Erinnere
~
(a2 + aa† + a† a + a†2 )
2ωm
~ωm 2
=
(a − aa† − a† a + a†2 )
2
x̂2 =
p̂2
Berechne
(∆x(t))2 = hx(t)2 i − hx(t)i2
(∆p(t))2 entsprechend
– hx(t)i und hp(t)i haben wir schon
– hx(t)2 i & hp(t)2 i sind sehr einfach zuberechnen
Es tauchen Terme, Argumente und Faktoren unterdrückt, wie
hφ|a2 |φi = hφ|aα|φi = hφ|α2 |φi = α2
89
– Es ergibt sich
r
∆x =
~
,
2ωm
r
∆p =
~ωm
2
und damit
~
2
– Minimale Unschärfe. Ergo: Kohärente Zustande sind Gauß’sches Wellenpaket
∆x∆p =
– Ausgehend von
†
φα = Ceαa ψ0
unter Verwendung vom Baker-Hausdorff Formel für Operatoren
eA+B = eA eB e−[A,B]
läßt sich Wellenfunktion explizit berechnen.
– Für die Wahrscheinlichkeitsdichte folgt
!
√
2
(x
−
x
1
2|α|
cos(ωt
−
δ))
0
exp −
|φα (x, t)|2 = √
x20
πx0
Merke: Kohärenter Zustand ist ein Gauß’sches Wellenpaket, das mit der
Zeit nicht zerfließt. Dies liegt am fine-tuning der Phasen in Gl. (36)
• Klassischer Grenzfall:
– Für großes |α| folgt große Oszillationsamplitude, also der klassische Fall
– Dann haben die Koeffizienten
n0 = |α|2
αn
n!
in Gl. (35) ein scharfes Maximum bei
– Relative Breite der beitragenden n-Werte nimmt ab wie
n − n0
1
∝√
n0
n0
– Energie des kohärenten Zustands ist wegen n0 ≈ |α|2
hφα |H|φα i = ~ω|α|2 =
mit A =
mω 2 A2
2
√
2x0 |α| der Amplitude der klassischen Schwingung.
90
– Erinnere Ehrenfest Theorem
(∆x)2 F 00 (hxi)
1
F (hxi)
Für harmonischen Oszillator gilt F 00 = 0, daher funktioniert oszillatorisches Verhalten ohne jeden Limes
• Kohärente Zustände wichtig in der (Quanten-)Optik
4.4.6
Drei-dimensionaler Fall
• Hamiltonoperator des drei-dimensionalen harmonischen Oszillators
H=−
mω 2 r2
~2
∆+
2m
2
zerfällt in drei unabhängige Operatoren für x-, y- und z-Bewegung
• Damit ergibt sich Wellenfunktion Ψnx ,ny ,nz (x, y, z) als Produkt der eindimensionalen Lösungen ψnx , ψny und ψnz .
Ψnx ,ny ,nz (x, y, z) = ψnx (x)ψny (y)ψnz (z)
und die Energie zu
En =
3
nx + ny + nz +
2
3
~ω = n +
~ω
2
mit Hauptquantenzahl n = nx + ny + nz
• Außer Grundzustand sind alle Eigenwerte entartet
n
0
1
2
3
Anzahl Eigenfunktionen
1
3
6
10
Quantenzahlen
(0,0,0)
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
(2,0,0) (0,2,0), . . . , (1,1,0) . . .
(3,0,0), . . . , (2,1,0) . . . (1,1,1)
• Anwendung: Schalenmodell des Atomkerns
– Protonen Z und Neutronen N , Pauli-Prinzip
91
– Insgesamt vier Nukleonen pro Zustand
– 3-dimensionaler Oszillator als einfachste Näherung
– Empirisch: Ist eine Schale abgeschlossen, ist sie besonders stabil
– Modell erklärt die magischen Zahlen
Z = N = 2, 8, 20, ...
Atomkerne von 4 He,
16
O und
40
Ca sind besonders stabil
– Analog zu abgeschlossenen Elektronenschale bei Edelgasen
7. Woche
4.5
Periodische Potentiale
Zentral für Festkörperphysik, Kristall mit Gitterkonstante a zwischen Atomen
• Sei V (x) periodisches Potential mit V (x + a) = V (x)
H(x + a) = −
~2 d2
+ V (x + a) = H(x)
2m dx2
Definiere Verschiebungsopterator Ta , erinnere Übung
Ta ψ(x) := ψ(x + a)
• Berechne Kommutator von H und Ta
Ta H(x)ψ(x) = H(x + a)ψ(x + a) = H(x)Ta ψ(x)
Damit
[Ta , H] = 0
• Explizite Darstellung des Verschiebungsoperators
X 1 dn
~ d
n
ψ(x)
a
,
p̂
=
ψ(x + a) =
n! dxn
i dx
n
X 1 iap̂ n
=
ψ(x)
n!
~
n
Ta
=: Ta ψ(x)
iap̂
= exp
~
92
Impulsoperator wirkt als Erzeugende der Translation
Damit [Ta , H] = 0 sofort klar, da Ta mit kinetischer Energie vertauscht und
potentielle Energie periodisch ist.
• Floquet-Bloch Theorem
Betrachte Eigenwertgleichung
Ta ψ(x) = λa ψ(x)
Mit
T−a Ta ψ(x) = Ta T−a ψ(x) = ψ(x)
folgt
λa λ−a = 1 =⇒ λa = eσa
Betrachte
u(x) := e−σx ψ(x)
Es folgt:
Ta u(x) = u(x + a) = e−σ(x+a) Ta ψ(x)
= e−σ(x+a) eσa ψ(x) = e−σx ψ(x)
= u(x)
Ergo: u(x) ist Eigenfunktion von Ta : u(x + a) = u(x) und damit periodisch
• Wegen Periodizität
|ψ(x + a)|2 = |ψ(x)|2 =⇒ eσa = eiqa ,
q∈R
folgt das
Floquet-Bloch Theorem:
In einem periodischen Potential ist die Wellenfunktion gegeben durch
ψ(x) = eiqx u(x),
mit u(x + a) = u(x)
Beispiel: Kronig-Penney Modell mit periodischem δ-Potential
93
• Betrachte Potential:
n=∞
X
V (x) = −V0
δ(x + na),
V0 > 0
n=−∞
Im Bereich 0 < x < a ist V (x) = 0
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx ,
mit k 2 =
2mE
~2
• Nun gilt mit Floquet-Bloch Theorem
ψ(x − a)
u(x)
ψ(x − a)
ψ(x)
mit
folgt
=
=
=
=
eiq(x−a) u(x − a) = eiq(x−a) u(x)
ψ(x) e−iqx
ψ(x) e−iqa
eiqa ψ(x − a)
Also gilt im Bereich a < x < 2a
ψ(x) = eiqa (Aeik(x−a) + Be−ik(x−a) )
• Wellenfunktion in a stetig, aber Ableitung nicht
Z
a+
dx Eψ(x) +
0=
a−
~2 d2
ψ(x) + V0 δ(x − a)ψ(x)
2m dx2
Für → 0 folgt
d
d
2m
ψ(a + 0) − ψ(a − 0) = − 2 V0 ψ(a)
dx
dx
~
• Zwei Anschlussbedingungen bei a
Stetigkeit:
Aeika + Be−ika = eiqa (A + B)
Ableitung:
eiqa (ikA − ikB) − (ikAeika − ikBe−ika ) +
94
2m
V0 (Aeika + Be−ika ) = 0
~2
Matrixschreibweise:
eiqa − eika
e−ika − eiqa
A
=0
ik(eiqa − eika ) + 2m
V eika −ik(eiqa − eika ) + 2m
V e−ika
B
~2 0
~2 0
Determinante muss verschwinden
2m
0 = −ik 2ei(k+q)a − 2 − 2e2iqa + 2ei(q−k)a + 2 V0 (eika − e−ika )eiqa
~
Multipliziere mit e−iqa , dividiere durch −4ik, ...
cos(qa) = cos(ka) −
amV0 sin(ka)
=: f (ka)
~2
ka
• Beachte: Linke Seite hat Werte in [−1, 1]
Ergo: Gleichung hat nur eine Lösung, wenn f (ka) auch im Bereich [−1, 1] liegt.
• Erinnere k 2 =
2mE
~2
Betrachte E < 0, gebundene Zustände
k = iβ,
β = |2mE/~|2 ∈ R+
Mit sin(iγ) = i sinh γ, cos(iγ) = cosh γ, folgt
f (iβa) = cosh(βa) −
amV0 sinh(βa)
~2
βa
monoton wachsende Funktion, die bei β0 a grösser als 1 wird.
Damit
|E| = β 2
~2
~2
< β02
= Emin
2m
2m
95
Abbildung 4.9
Es sind keine beliebig tiefen Energien erlaubt
• Betrachte E > 0
f (ka), Einsstellen liegen bei ka = x mit
cos x −
amV0 sin x
=1
~2
x
Abbildung 4.10: für f (ka)
Es entstehen Energiebänder
96
Abbildung 4.11: für E(ka)
Energiebänder spielen zentrale Rolle in der Festkörperphysik, Stichworte: Leitungsband, Valenzband
Übung: Kronig-Penney Modell mit periodischem Kastenpotential
Lessons learned:
• Quantenmechanische Dispersion: (freie) Wellenpakete zerfliessen
• Tunneleffekt als Wellenphänomen
• Diskrete Energien im Potentialtopf und beim harmonischen Oszillator
• Jeweils Nullpunktsenergien in Übereinstimmung mit der Unschärferelation
• Harmonischer Oszillator: (Nicht-hermitesche) Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden wichtig in Quantenfeldtheorie
• Harmonischer Oszillator: Kohärente Zustände, Ehrenfest-Theorem und klassischer Grenzfall
• Periodische Potentiale: Energiebänder in der Festkörperphysik
97
5
Drehimpuls
• In ≥ 2 Dimensionen zusätzlich zu Translation auch Rotation. Speziell wichtig
für Atomphysik.
• Klassischer Drehimpuls
~ = m~r × ~v = ~r × p~
L
• Rotation in x-y -Ebene
Lz = xpy − ypx
5.1
Der quantenmechanische Drehimpuls
Betrachte Lz
• Korrespondenz-Prinzip: Ersetze die klassischen Impulse durch die entsprechenden Operatoren
p̂x =
~ ∂
,
i ∂x
p̂y =
~ ∂
i ∂y
• Damit Operator L̂z
~
L̂z =
i
∂
∂
x
−y
∂y
∂x
~ˆ = (L̂x , L̂y , L̂z )T mit
• Rotation um beliebige Achse: L
~
L̂x =
i
∂
∂
y
−z
∂z
∂y
,
~
L̂y =
i
∂
∂
z
−x
∂x
∂z
Erinnere Kap. 4.5: Impulsoperator war Erzeugende der Translation
• Betrachte Drehung um x-Achse um Winkel α
 
 
x0
1
0
0
x
 y 0  =  0 cos α − sin α   y  =
z0
0 sin α cos α
z

98
Für infinitesimalen Winkel α = folgt
x0 = x,
y 0 = y − z,
z 0 = z + y
• Für Funktion ψ(x, y, z) folgt:
ψ(x0 , y 0 , z 0 ) = ψ(x, y − z, z + y)
∂
∂
=
1 − z
+ y
ψ(x, y, z)
∂y
∂z
i
=
1 + Lx ψ(x, y, z)
~
Der Drehimpuls-Operator ist Erzeuger der Drehung
• Endliche Drehung R(α)
R(α) = exp
iα
Lx
~
Kommutatoren
• Kommutator [L̂x , L̂y ] = L̂x L̂y − L̂x L̂y
L̂x L̂y
∂
∂
∂
∂
= −~ y
−z
z
−x
∂z
∂y
∂x
∂z

2

 ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ 


= −~ y
z
−y x −z z
+z x 
∂z ∂x
∂z ∂z
∂y ∂x
∂y ∂z 
 |{z}
2
=1+z
∂
∂z
∂
∂ ∂
∂2
∂ ∂
2
2 ∂ ∂
= −~ y
+ yz
− yx 2 − z
+ zx
∂x
∂z ∂x
∂z
∂y ∂x
∂y ∂z
und
L̂y L̂x
∂
∂
∂
∂
= −~ z
−x
y
−z
∂x
∂z
∂z
∂y
∂ ∂
∂2
∂
∂ ∂
2
2 ∂ ∂
= −~ zy
−z
− xy 2 + x
+ xy
∂x ∂z
∂x ∂y
∂z
∂y
∂z ∂y
2
99
• Damit Kommutator
[L̂x , L̂y ] = L̂x L̂y − L̂x L̂y
∂
∂
~
∂
∂
2
−x
= i~
x
−y
= i~L̂z
= −~ y
∂x
∂y
i
∂y
∂x
Wie in der Klassischen Mechanik: Drehungen um verschiedene Achsen vertauschen nicht
• Merke:
[L̂x , L̂y ] = i~L̂z
Entsprechend
[L̂y , L̂z ] = i~L̂x
[L̂z , L̂x ] = i~L̂y
Dies impliziert Unschärferelationen
• Da die L̂i nicht kommutieren, kann immer nur eine Komponente des Drehimpulses scharf gemessen werden.
Betrachte Quadrat des Drehimpulsoperators L̂2
• L̂2 :
~ˆ · L
~ˆ = L̂2 + L̂2 + L̂2
L̂2 = L
x
y
z
• Es gilt
[L̂2 , L̂x ] = [L̂2 , L̂y ] = [L̂2 , L̂z ] = 0
• L̂2 und L̂i kommutieren. Daher können L̂2 und einer der L̂i s simultan diagonalisiert und ohne Unschärfe gemessen werden.
• Alle Kommutator-Relationen gelten auch für den Spin von Elementarteilchen,
siehe Kap. 8
Kugel-(sphärische-)Koordinaten und Zylinder-Koordinaten
100
• Azimutwinkel φ: 0 ≤ φ ≤ 2π
• Polarwinkel θ : 0 ≤ θ ≤ π
p
• Radius r: x2 + y 2 + z 2
Abbildung 5.1
• Kugelkoordinaten:
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
• Zylinderkoordinaten in x-y-Ebene
x = r cos φ
y = r sin φ
z = z
mit r =
p
x2 + y 2
Berechnung von L̂z in Zylinderkoordinaten
101
• Ausgangspunkt: L̂z in kartesischen Koordinaten
~
∂
∂
x
−y
L̂z =
i
∂y
∂x
• Für Funktion f (x, y) = f (x(φ), y(φ)) gilt
df
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
dφ
∂x ∂φ ∂y ∂φ
• Mit
∂x
= −r sin φ = −y
∂φ
∂y
= r cos φ = x
∂φ
folgt
∂f
∂f
∂f
= −y
+x
∂φ
∂x
∂y
und damit
∂
∂
∂
=x
−y
∂φ
∂y
∂x
Folglich, L̂z in Zylinder- (und Kugel-) Koordinaten:
L̂z =
~ ∂
i ∂φ
• Übung: Zeige, dass in Kugelkoordinaten gilt:
∂
1 ∂2
1 ∂
2
2
L̂ = −~
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Übung: Auf Grund von welchem mathematisch-intuitiven Argument kommutieren L̂2 und L̂z ?
102
5.2
Eigenfunktionen von L̂z
Betrachte Eigenwert-Gleichung von L̂z
• Beispiel für Quantisierung
L̂z ψ(φ) =
~ ∂
ψ(φ) = λψ(φ)
i ∂φ
• Lösung durch Hingucken
i
ψ(φ) = Ae ~ λφ
• Es muss gelten
i
ψ(φ + 2π) = e ~ λ2π ψ(φ) = ψ(φ)
Dies führt zur Quantisierung:
i
e ~ λ2π = 1 = ei2πm →
i
λ2π = i2πm,
~
m = 0, ±1, ±2, . . .
• Damit Eigenwerte λ und Eigenfunktionen ψm von L̂x
λ = m~, m = 0, ±1, ±2, . . .
ψm (φ) = Am eimφ
Energie der zweidimensionalen Bewegung
• Klassische Formel der Rotationsenergie in der x-y-Ebene
H=
1
L2z
= L2z ,
2
2mr
2I
I = mr2 das Trägheitsmoment
Siehe Analogie zur freien Bewegung: E =
p2
2m
• Quantenmechanisch:
Ĥ =
103
1 2
L̂
2I z
• Eigenwertgleichung:
1 2
L̂ ψ = E ψ
2I z
Aus
L̂z ψ = m~ ψ
folgt
L̂2z ψ = m2 ~2 ψ
• Ergo: Die Eigenfunktionen ψ(φ) von L̂z sind auch Eigenfunktionen von Ĥ mit
den Eigenwerten
Em =
~2 2
m
2I
Merke:
• Drehimpuls-Eigenfunktionen sind auch Energie-Eigenfunktionen
• Zustände mit m 6= 0 sind zweifach entartet, die beiden Eigenfunktionen entsprechen den entgegengesetzen Drehsinnen
• Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Drehimpulseigenzustand ist |ψm (φ)|2 =
|Am |2 , damit unabhänhig von φ =⇒ Kenntnis von Drehimpuls schließt Kenntins des Ortes aus.
5.3
Eigenfunktionen von L̂2
• Die Eigenwert-Gleichnung des Operators L̂2 ergibt:
L̂2 Ylm (θ, φ) = ~2 l(l + 1)Ylm (θ, φ),
l≥0
mit
2
2
L̂ = −~
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
1 ∂2
sin θ
+
∂θ
sin2 θ ∂φ2
104
• Ergebnis
1/2
2l + 1 l − |m|!
|m|
Ylm (θ, φ) =
Pl (cos θ) eimφ
4π l + |m|!
dm
Plm (x) = (1 − x2 )m/2 m Pl (x)
dx
1 dl 2
Pl (x) = l
(x − 1)l
2 l! dxl
mit
l = 0, 1, 2, . . .
m = −l, . . . , 0, . . . , l
Drehimpulsquantenzahl
magnetische Quantenzahl
und
– Ylm (θ, φ) : Kugelflächenfunktionen
– Plm (x) : Legendre-Funktionen
– Pl (x) : Legendre-Polynome
Übung zu Legendre-Polynomen
• Es gilt
∗
Yl,−m (θ, φ) = Ylm
(θ, φ)
und
L̂z Ylm (θ, φ) = m~ Ylm (θ, φ)
Ylm sind Eigenfunktionen von L̂z und L̂2 . Das geht, da L̂z und L̂2 kommutieren.
• Drehimpulseigenfunktionen Ylm bilden orthonormales und vollständiges System
von Eigenfunktionen
Z 2π Z 1
∗
(θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ) = δll0 δmm0
dφ
d cos θ Ylm
0
0
• Quantenmechanischer Drehimpuls wird durch die Quantenzahlen l und m beschrieben:
– l legt Betrag des Drehimlupses fest: L2 = l(l + 1)~2
– m legt Projektion auf z-Achse fest: Lz = m~
105
– Beispiel l = 2
√
L p
= 2(2 + 1) = 6,
~
m = −2, −1, 0, 1, 2
Abbildung 5.2
Das ergibt folgende Eigenfunktionen
√
• l = 0, m = 0 liefert Y00 = 1/ 4π
Kugelförmige Wellenfunktion, genannt s-Orbital. Radialabhängigkeit nächstes
Kapitel
106
Abbildung 5.3
• l = 1, m = 0 liefert Y10 =
p
3/4π cos θ
Das pz -Orbital
Abbildung 5.4
107
• l = 1, m = ±1 liefert Y1,±1 = −
p
3/8π sin θe±iφ
Durch Linearkombination zu reellen Orbitalen
r
3
1
sin θ cos φ px − Orbital
− √ (Y11 + Y1,−1 ) =
4π
2
r
1
3
− √ (Y11 − Y1,−1 ) =
sin θ sin φ py − Orbital
4π
2
Abbildung 5.5
Energie der drei-dimensionalen Rotation
• Klassisch
H=
1 2
1
2
L
=
L
2mr2
2I
Ergibt quantenmechanisch
Ĥ =
1 2
L̂
2I
• Eigenfunktionen Ylm sind also auch Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung
für die drei-dimensionale Rotation
ĤYlm =
~2
l(l + 1)Ylm
2I
Die Energieeigenwerte
El =
~2
l(l + 1)
2I
108
~ zur
hängen nicht von m ab, sind damit unabhängig von Orientierung von L
z-Achse
• Wegen m = −l, . . . , 0, . . . l gibt es zu jedem Eigenwert 2l + 1 Eigenfunktionen,
El ist 2(l + 1)-fach entartet
Rotationsspektroskopie
• Durch elektromagnetische Strahlung der Energie ~ω, Bereich Mikrowellen,
können Übergänge zwischen benachbarten Rotationsniveaus induziert werden
~ω = El+1 − El =
~2
(l + 1),
I
l = 0, 1, 2, . . .
Absorptionsspektroskopie: Aus einer Richtung kommend, in alle Richtungen
abstrahlen
• Rotationsspektrum weist äquidistante Linien bei
~ω =
~2 ~2 ~2
, 2 , 3 ,...
I
I
I
auf
Damit läßt sich Trägheitsmoment eines Moleküls bestimmen
5.4
Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren
Die Bedingungen für die Quantenzahlen l und m
l = 0, 1, 2, . . . ,
m = 0, ±1, ±2, . . .
ergaben sich oben als Lösung der Eigenwert-Gleichung für L2
Hier: Rein algebraische Ermittlung von möglichen Eigenwerten, d.h. vergiss alles
außer
[Lx , Ly ] = i~Lz und zyklisch, [L2 , Li ] = 0
109
8. Woche
Kurzklausur
• Definiere die Operatoren
L± = Lx ± iLy
Diese haben folgende Eigenschaften
(L± )† = L∓
[Lz , L± ] = i~Ly ± ~Lx = ±~L±
[L+ , Li ] = −2i[Lx , Ly ] = 2~Lz
[L2 , L± ] = 0
L2 = L+ L− − ~Lz + L2z = L− L+ + ~Lz + L2z
(37)
(38)
(39)
(40)
Beweise als Übung
• Es sei ψlz Eigenfunktion von Lz
Lz ψlz = lz ψlz
Mit Gl. (38) folgt
Lz L± ψlz = L± Lz ψlz ± ~L± ψlz
oder
Lz (L± ψlz ) = (lz ± ~)L± ψlz
• Interpretation:
– Ist ψlz Eigenfunktion zu Lz mit Eigenwert lz , dann ist L± ψlz Eigenfunktion
zu Lz mit Eigenwert lz ± ~
– L± erhöht/erniedrigt Eigenwert lz um ~
– Beachte Analogie zu Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren a† und a
• Bezeichne Eigenfunktionen von L2 und Lz als ψlm und repräsentiere Eigenwertgleichungen als
L2 ψlm = ~2 l(l + 1) ψlm , l ∈ R+
Lz ψlm = ~m ψlm ,
m∈R
110
Offensichtlich lässt sich jeder der Eigenwerte des positiv semidefiniten Operators L2 und des Operators Lz so darstellen13 . Beachte: Wegen l ∈ R+ und
m ∈ R ist dies allgemeinster Ansatz, wir hätten auch
L2 ψlm = λ1 ψlm ,
Lz ψlm = λ2 ψlm ,
λ1 ∈ R+
λ2 ∈ R
schreiben können
• Damit
L± ψlm ∝ ψl,m±1
• Mit Gl. (39) folgt
L2 (L± ψlm ) = L± L2 ψlm = ~2 l(l + 1)(L± ψlm )
Ergo: L± ψlm ist Eigenfunktion von L2 zum gleichen Eigenwert wie ψlm
• Betrachte die Norm von L± ψlm , verwende Gln. (37, 40), ψlm sei normiert
hL± ψlm |L± ψlm i = hψlm |L∓ L± ψlm i
= hψlm |(L2 − L2z ∓ ~Lz )ψlm i
= ~2 (l(l + 1)) − m2 ∓ m)
Damit folgt
p
L± ψlm = ~ (l(l + 1)) − m(m ± 1)ψl,m±1
Da Norm nicht negativ
hL± ψlm |L± ψlm i = ~2 (l(l + 1)) − m(m ± 1) ≥ 0
Daher gilt:
für m > 0 : l(l + 1) ≥ m(m + 1)
für m < 0 : l(l + 1) ≥ m(m − 1) = (−m)(−m + 1) = |m|(|m| + 1)
Zusammen
l(l + 1) ≥ |m|(|m| + 1) und damit |m| ≤ l
13
Nachtigall, ick hör Dir trabsen
111
(41)
• Sie nun l fester Wert und M das maximale zugehörige m ≤ l
Damit L+ ψlM nicht Eigenfunktion mit größerem Eigenwert M + 1 ist, muss
gelten
L+ ψlM = 0
Aus Normierungsgleichung (41) folgt sofort
l(l + 1) = M (M + 1) und damit M = l
• Analog: Sei µ minimales m
Damit L− ψlµ nicht Eigenfunktion mit kleinerem Eigenwert µ − 1 sein kann,
muss L− ψlµ = 0 gelten und damit µ = −l.
• Nun lassen sich rekursiv alle Werte von m gewinnen
L− ψll ∝ ψl,l−1 ,
(L− )2 ψll ∝ L− ψl,l−1 ∝ ψl,l−2 ,
...
Damit dies am Ende auf −l führt, muss l − k = −l, wobei k eine natürliche
Zahl ist
Daraus folgt: l = k2 , k ∈ N
• Knaller 1: Allein aus der algebraischen Struktur der Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls folgt für das Eigenwertspektrum, dass es nur zwei
Möglichkeiten gibt
Entweder : l = 0, 1, 2, 3. . . .
1 3 5
oder l = , , , . . .
2 2 2
mit den zugehörigen Werten für m in ganzzahligen Schritten
m = l, l − 1, . . . , −l + 1, −l
• Knaller II: Ganzzahlige Drehimpulse von Natur bei Bahndrehimpuls genutzt.
Frage: Halbzahlige Drehimpulse auch genutzt ? Ja, beim Spin, Kap. 8.
112
Lessons learned:
• Drehimpuls-Operator ist infinitesimale Erzeugende der Drehung
• [Lx , Ly ] = i~Lz und zyklisch
• [Li , L2 ] = 0, simultan diagonalisierbar, gleichzeitig scharf messbar, gleiche Eigenfunktionen
• Drehimpulseigenwerte können nur ganz- oder halbzahlig sein
• Bahndrehimpuls realisiert ganzzahlige Drehimpulseingenwerte
6
Wasserstoffatom
6.1
Hamiltonian
• Vom Zweikörper-Problem zum Einkörper-Problem
– Schwerpunkts- und Relativbewegung separieren
– Reduzierte Masse, im wesentlichen unverändert
• Klassischer Hamiltonian
H=
p2
e2
1
p
−
2m 4π0 x2 + y 2 + z 2
Quantenmechanisch:
~2
Ĥ = −
2m
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
−
e2
1
p
2
4π0 x + y 2 + z 2
• Da V nur vom Radius |r| abhängt, V ist Zentralfeld, gehe in Kugelkoordinaten:
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
113
Damit
V (r) = −
e2 1
4π0 r
• Operator für kinetische Energie T̂ in Kugelkoordinaten:
~2
T̂ = −
2m
1 ∂
r
r ∂r
2
~2
−
2mr2
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
sin θ
∂θ
1 ∂2
+
sin2 θ ∂φ2
Merke: In Kugelkoordinaten ist Berechnung des Potentials einfacher, Berechnung der kinetischen Energie aber schwieriger.
• Mit
1 ∂
sin θ ∂θ
~2
T̂ = −
2m
1 ∂
r
r ∂r
2
L̂ = −~
2
∂
1 ∂2
sin θ
+
∂θ
sin2 θ ∂φ2
folgt
2
+
L̂2
L̂2
=
T̂
+
r
2mr2
2mr2
Tr : Kinetische Energie der Radialbewegung
L̂2
:
2mr2
Kinetische Energie der Winkelbewegung
• Somit der allgemeine Hamilton-Operator für Zentralpotentiale
Ĥ = T̂r + V (r) +
L̂2
2mr2
Hier
Ĥ = T̂r −
L̂2
e2 1
+
4π0 r 2mr2
Übung: SO(4) - Symmetrie
6.2
Lösung der Schrödinger-Gleichung
• Löse
Ĥψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ)
Eigenfunktionen von Term
L̂2
2mr2
bekannt: Kugelflächenfunktionen Ylm
114
• Separationsansatz
ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ)
Damit
L̂2
Tr + V (r) +
2mr2
!
R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ)
• Mit
L̂2
~2 l(l + 1)
R(r)Y
(θ,
φ)
=
R(r)Ylm (θ, φ)
lm
2mr2
2mr2
folgt
~2 l(l + 1)
R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ)
Tr + V (r) +
2mr2
Teile durch Ylm (θ, φ), ergibt Radialgleichung
~2
−
2m
1 ∂
r
r ∂r
2
!
~2 l(l + 1)
+
+ V (r) R(r) = ER(r)
2mr2
eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
• Transformation:
R(r) =
Mit
1 ∂
r
r ∂r
2
u(r)
r
u(r)
1 ∂2
=
u(r)
r
r ∂r2
folgt
1
r
~2 l(l + 1)
e2 1
~2 ∂ 2
u(r)
−
+
−
u(r) = E
2
2
2m ∂r
2mr
4π0 r
r
1
streichen
r
und damit die übliche Form der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung
~2 d2
−
+ Veff (r) u(r) = Eu(r)
2m dr2
mit dem effektiven Potential der Radialbewegung
115
(42)
e2 1 ~2 l(l + 1) 1
+
Veff (r) = −
4π0 r
2m
r2
ganz in Analogie zur Klassischen Mechanik mit abstoßendem Zentrifugalterm
Abbildung 6.1
• Randbedingungen
– Fall r → ∞
Aus Normierbarkeit
Z
3
2
Z
∞
r2
d x |ψ(x)| =
0
folgt
lim |u(r)| ≤
r→∞
u(r) muss stärker abfallen als
√1
r
116
a
r1/2+
1
|u(r)|2 < ∞
r2
mit > 0
– Fall r = 0
Für V (r) 6= δ(x) gilt u(0) = 0, denn sonst
∆ψ(0) = ∆|r=0
u(r)
= δ(x)u(0)
r
Diese führen ganz analog zum Harmonischen Oszillator wieder zur Quantisierung, Radial- oder Hauptquantenzahl
• Schema der Lösung
– Grenzfall r → 0: Gl. (42) geht über in
~2 ∂ 2
~2 l(l + 1)
−
+
u(r) = E u(r)
2m ∂r2
2mr2
Lösung
u(r) = Arl+1 + Br−l
B-Term wegen Randbedingung raus
Ansatz
u(r) = rl+1 (a0 + a1 r + . . .)
– Grenzfall r → ∞: Gl. (42) geht über in
−
~2 ∂ 2
= E u(r)
2m ∂r2
Lösung
u(r) = Ce−gr
– Vereinigter Ansatz
u(r) = rl+1 e−gr w(r)
Einsetzen in Gl. (42) gibt Differentialgleichung für w(r)
– Jetzt ganz analog zum harmonischen Oszillator:
P
– Potenzreihenansatz w(r) = i ai ri
– Eingesetzt: Rekursionsgleichung für Koeffizienten
– Divergierende Lösung: Reihe muss abbrechen
117
(43)
– Quantisierungsbedingung
• Energieeigenwerte:
1
En = −Ry 2 ,
n
µe4
= 13.67eV,
mit Rydberg-Konstante Ry =
32π 2 20 ~2
µ=
mp me
mp + me
Kugelsymmetrie: Energieeigenwerte unabhängig von m
SO(4) Symmetrie des 1r -Potentials Energieeigenwerte auch unabhängig von l
Beweis als Übung
• Eigenfunktionen
ψnlm (r, θ, φ) = Anl Rnl (r)Ylm (θ, φ)
Normierungsfaktor Anl
Anl =
(n − l − 1)! αn3
2n((n + l)!)3
αn =
2
na0
mit Bohr’schem Atomradius a0
a0 =
4π0 ~2
= 5.2917 · 10−11 m ≈ 0.5Å
me2
Radial-Wellenfunktionen, erinnere Ansatz Gl. (43)
2l+1
Rnl = (αn r)l e−αn r/2 Ln−l
(αn r)
mit den Laguerre-Polynomen
Lsm (x)
=
m−s
X
k=0
(−1)k+s
(m!)2
xk
k!(k + s)(m − k − s)
• Struktur der Radial-Wellenfunktionen: Rnl (r) ∝ e−r · Polynom(r) mit n − l − 1
Nullstellen
Radiale Wahrscheinlichkeitsdichte: r2 Rnl (r)
118
Abbildung 6.2
• Man zeigt leicht
hri ∝ n2 ,
für große n
• Konvention: Eigenfunktionen zu l = 0, 1, 2, 3 werden als s-, p-, d- und f-Orbitale
bezeichnet
• Aus Normierungsfaktor Anl folgt, beachte: 0! = 1
n − l − 1 ≥ 0,
resp. l ≤ n − 1
Damit ergibt sich für die Quantenzahlen
n l
1 0
2 0
1
0
3 1
2
4 ...
m
0
0
0, ±1
0
0, ±1
0, ±1, ±2
...
Entartungsgrad
1
4-fach
9-fach
16-fach
119
Für den Entartungsgrad gn gilt:
n−1
X
gn =
(2l + 1) = n2
l=0
Spektroskopie am Wasserstoffatom
• Spektroskopie misst Energiedifferenzen zwischen Zuständen
EPhoton = ~ω = ∆EAtom = Ei − Ef
folgt
~ω = Ry
1
1
− 2+ 2
ni
nf
!
• Wichtigste Fälle
nf = 1 ni = 2, 3, . . . Lyman-Serie
nf = 2 ni = 3, 4, . . . Balmer-Serie
nf = 3 ni = 4, 5, . . . Paschen-Serie
im UV
im Sichtbaren
im Infrarot
Abschlußbemerkungen:
• Dass es drei Quantenzahlen gibt sollte nicht überraschen, da es sich um ein
drei-dimensionales Problem handelt
• Wie gehabt: Grundzustandsenergie minimale mit Unschärferelation verträgliche Energie
• Klassischer Grenzfall: Es lassen sich Wellenpakete konstruieren, die lokalisiert
sind und dem 3. Kepler’schen Gesetz T 2 ∝ r3 gehorchen
• Korrekturen
– Feinstrukturkonstante:
e20
1
≈
~c
137
– Relativistische Korrekturen ergeben Feinstruktur, Stichworte: Relativistische kinetische Energie, Darwin-Term und Spin-Bahn-Kopplung. Effektgröße: α2
α=
120
– Quantenfeldtheorie: Lamb-Verschiebung. Effektgröße: α3 log α
– Wechselwirkung Elektron und Kernspin: Hyperfeinstruktur. Effektgröße:
me /mK ≈ 1/2000
–
Abbildung 6.3
– Theorie und Experiment: Beliebig gute Übereinstimmung
Lessons learned:
• Separationsansatz nach Winkeln und Radius
• Winkelanteil aus L̂2 Eigenfunktionen
• Lösung Radialgleichung analog zum harmonischen Oszillator.
• Quantisierung der Hauptquantenzahl n aus Radialgleichung
• Hauptquantenzahlen sind entartet
• Entartungen werden durch relativistische, quantenfeldtheoretische und
Kernspin-Effekte aufgehoben.
121
7
Bewegung im (elektro)magnetischen Feld
Betrachte Teilchen mit Masse m und Ladung e im elektromagnetischen Feld
7.1
Magnetismus, Zeeman-Effekt & Landau-Niveaus
• Hamilton-Funktion
H=
e 2
1 p − A + eV
2m
c
mit Vektorpotential A und skalarem Potential V
• Erinnere Klassische Mechanik:
p ist der kanonische Impuls, mẋ = p − ec A ist kinetischer Impuls
• Es gilt
[x̂i , p̂j ] = i~δij ,
[x̂i , x̂j ] = [p̂i , p̂j ] = 0
e
[x̂i , mẋˆj ] = i~δij , [mˆ˙xi , mˆ˙xj ] = i~ ijk Bk
c
Das nicht-kommutieren der kinetischen Impulse hat wichtige Konsequenzen
• Korrespondenz-Prinzip ergibt Schrödinger-Gleichung
∂
i~ ψ =
∂t
1
2m
!
2
e
~
∇ − A + eV ψ
i
c
Multipliziere Quadrat aus, verwende Coulomb-Eichung ∇A = 0, ergibt
i~
∂
~2 2
i~e
e2
ψ=−
∇ ψ+
A∇ψ +
A2 ψ + eV ψ
∂t
2m
mc
2mc2
• Wähle konstantes Magnetfeld B||ez
1
A = − (x × B)
2
Betrachte A abhängige Terme:
122
• 2. Term RHS
i~e
i~e 1
A · ∇ψ = −
(x × B) · ∇ψ
mc
mc 2
i~e
e
= −
(x × ∇) · Bψ = −
L · Bψ
2mc
2mc
Dies liefert einen14 Beitrag zum Paramagnetismus, verstärkt äußeres Magnetfeld
• 3. Term RHS
e2
e2
2
A
ψ
=
(x × B)2 ψ
2
2
2mc
8mc
e2
~ 2 − (~x · B)
~ 2 )ψ,
(~x2 B
=
8mc2
e2 |B|2 2
(x + y 2 )ψ
=
2
8mc
B||ez
Diamagnetismus, schwächt äußeres Magnetfeld ab. Reinst quantenmechanisches Phänomen. Extremfall: Supraleiter
• Meistens : Paramagnetismus grösser als Diamagnetismus
Ausnahmen:
– Metallelektronen
– freie Elektronen
– Neutronensterne
Normaler Zeeman-Effekt
• Betrachte Wasserstoffatom in konstantem Magnetfeld
• Mit H0 Hamilton-Operator H-Atom ohne Magnetfeld, A2 Term vernachlässigt,
H = H0 −
14
e
BLz ,
2mc
Spin fehlt, siehe Kap. 8
123
B||ez
• Wirkung auf ψnlml , ml zur Unterscheidung von der Masse m
Hψnlml =
Ry e~B
ml ψnlml
− 2 −
n
2mc
da ψnlml auch Eigenfunktion von Lz mit Eigenwert ~ml
• Damit
Enlml = −
Ry
+ ~ωL ml
n2
mit Larmor-Frequenz
ωL = −
e0 ~B
e~B
=
2mc
2mc
• Magnetfeld hebt die (2l + 1)-fache Entartung der Energieniveaus auf
Die Größe der Aufspaltung ist unabhängig von l
• Zur vollständigen Beschreibung muss noch der Spin berücksichtigt werden:
Anomaler Zeeman-Effekt
• Übung: Spin & B-Feld
Freie Elektronen im Magnetfeld
• Sei B||x3
Dann hat Vektorpotential nur Komponenten senkrecht zu B
p3 Anteil der kinetischen Energie unverändert
H = H⊥ +
p23
2m
In x3 Richtung freie Bewegung
• Ausgedrückt durch kinetischen Impuls
H⊥ =
Erinnere
m 2
(ẋ + ẋ22 )
2 1
e
[mẋi , mẋj ] = i~ B,
c
124
[ẋ1 , ẋ1 ] = [ẋ2 , ẋ2 ] = 0
• Skala rausnehmen
mẋi
πi = p
e0 B/c
Damit [π1 , π2 ] = i~, wie bei Ort und Impuls, und Hamiltonoperator
H⊥ =
1 e0 B 2
(π + π22 )
2 cm 1
wie der des Harmonischen Oszillators.
• Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
1
1
a=
(π2 + iπ1 ), a† =
(π2 − iπ1 )
2~
2~
Damit
1
†
H⊥ = ~ωz a a +
2
mit Zyklotronfrequenz
ωz =
e0 B
cm
• Energieeigenwerte:
1
En = ~ωz n +
2
genannt Landau-Niveaus, wichtig in der Festkörperphysik
7.2
9. Woche
U(1) Eichsymmetrie & minimale Kopplung
Im folgenden c = 1
~ B
~ und Potentiale A,
~ V
• Erinnere Elektrodynamik, Felder E,
~
~ = −∇ V − ∂ A
E
∂t
Es gilt Eichinvarianz: Transformation der Potentiale
~ =∇
~ × A,
~
B
~→A
~0 = A
~ + ∇χ,
~
A
V →V0 =V −
∂χ
∂t
~ and B
~ nicht
mit χ(~x, t) beliebige differenzierbare Funktion ändern E
125
(44)
• Phase der Wellenfunktion ψ ist nicht beobachtbar
• |ψ(x, t)|2 ändert sich nicht unter
ψ(x, t) → eiφ(x,t) ψ(x, t)
eiφ(x,t) ist lokale Eichsymmetrie beschrieben durch U (1):
– lokal, weil von x und t abhängig
– Eichsymmetrie, weil sich nicht ändert
– Drehung auf dem Kreis: U (1): eindimensionale unitäre Gruppe
– eine Lie-Gruppe
• Betrachte freie Schrödinger-Gleichung
1 2
p̂ ψ(x, t)
2m
2
∂
1
∂
i~ ψ(x, t) =
−i~
ψ(x, t)
∂t
2m
∂xi
Êψ(x, t) =
und berechne
∂
∂φ(x, t) iφ(x,t)
∂ iφ(x,t)
e
ψ(x, t) = eiφ(x,t) ψ(x, t) + i
e
ψ(x, t)
∂t
∂t
∂t
∂
∂
∂φ(x, t) iφ(x,t)
eiφ(x,t) ψ(x, t) = eiφ(x,t)
ψ(x, t) + i
e
ψ(x, t)
∂xi
∂xi
∂xi
Legt nahe, die ”alten” partiellen Ableitungen
kovarianten Ableitungen15 :
15
und
∂
∂φ(x, t)
+i
∂t
∂t
∂
∂φ(x, t)
=
+i
∂xi
∂xi
Dt =
Dxi
∂
∂t
Da steckt viel Differentialgeometrie drin
126
∂
∂xi
zu ersetzen durch die
• Ersetze im Impulsoperator nun
∂
∂xi
durch Dxi , so folgt:
p̂i = −i~Dxi = −i~
∂
∂φ(x, t)
+~
∂xi
∂xi
Analog für Energie-Operator
Ê = i~Dt = i~
∂φ(x, t)
∂
−~
∂t
∂t
• Setze dies in freie Schrödinger-Gleichung ein
2
∂φ(x, t)
1
∂
∂φ(x, t)
∂
ψ(x, t) =
−i~
+~
ψ(x, t)
i~ − ~
∂t
∂t
2m
∂xi
∂xi
Identifiziere ~φ(x, t) mit −eχ(x, t), gehe ins 3-dimensionale, sortiere Terme, so
folgt mit Gl. (44)
∂
1
2
i~ ψ(x, t) =
(−i~∇ − eA(x, t)) + eV (x, t) ψ(x, t)
∂t
2m
oder
Êψ =
1
(p̂ − eA)2 + eV
2m
ψ
Ersetzen von p̂ durch p̂ − eA und Addition von eV heißt minimale Kopplung
• Beachte: Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz bringt die elektromagnetische Wechselwirkung, die Photonen, in die Welt
• Elementarteilchenphysik, nichtabelsche Eichtheorien mit nichtkommutierenden
Gruppen
– schwache Wechselwirkung: SU (2)-Gruppe, W & Z-Bosonen
– starke Wechselwirkung: SU (3)-Gruppe, Gluonen
– Nur die Allgemeine Relativitätstheorie sträubt sich ...
127
7.3
Aharanov-Bohm Effekt
• Theorie: 1959, 1949, 1939
• Experiment: 1960
~ and B
~ physikalisch relevant, da sie Lorentz-Kraft festle• Klassische Physik: E
~
gen, Potentiale A und V eher Hilfsgrößen
• Betrachte Schrödinger-Gleichung mit Vektorpotential A und Einfluss der Eichung
A → A0 = A + ∇χ
Ungeeicht:
∂
i~ ψ =
∂t
1
2
(−i~∇ − eA) ψ
2m
Im Falle der Eichung gilt
ie
ψ0 = e ~ χψ
• Betrachte unendlich lange Spule, außerhalb verschwindet Magnetfeld
B = rot A = 0
Dort ist A durch Gradienten eines skalaren Feldes χ darstellbar
A = ∇χ
Z x
~ s)
χ(x) =
d~s A(~
x0
• Wellenfunktion entweder aus
∂
i~ ψ =
∂t
1
2
(−i~∇ − eA) ψ
2m
oder aus eichtransformierter Gleichung ohne Vektorpotential
A0 = A + ∇(−χ) = 0
nämlich
∂
i~ ψ 0 =
∂t
1
2
(−i~∇) ψ 0
2m
128
(45)
• Zusammenhang der Wellenfunktionen mit Gl. (45), χ durch −χ ersetzen
Z x
ie
0 ie
χ
0
ψ = ψ e ~ = ψ exp
ds A(s)
~ x0
• Betrachte Doppelspaltexperiment mit unendlich langer Spule zwischen den
Spalten
Abbildung 7.1
• Wellenfunktion ψ1,A , wenn nur Spalt 1 geöffnet ist, ergibt sich aus Wellenfunktion ψ1,0 ohne Feld aus
Z
ie
ds A(s)
ψ1,A = ψ1,0 exp
~ 1
Entsprechend für Spalt 2
ψ2,A = ψ2,0 exp
ie
~
Z
ds A(s)
2
• Superposition auf dem Schirm
Z
Z
ie
ie
ψA = ψ1,0 exp
ds A(s) + ψ2,0 exp
ds A(s)
~ 1
~ 2
129
ψ1,0 und ψ2,0 unbekannt, aber relative Phase bekannt
Z
Z
I
Z
ds A(s) − ds A(s) = ds A(s) = df rot A = ΦB
1
2
mit ΦB dem magnetischen Fluss der unendlichen Spule
• Phasenrelation zwischen ψ1 und ψ2 wird bei Änderung des magnetischen Flus~ das
ses ΦB , den die Elektronen nicht sehen, der aber das Vektorpotential A,
die Elektronen sehen, verändert und damit Interferenzbild auf dem Schirm verschoben.
~ (und V ) sind fundamental, nicht B
~ (und E)
~
• Ergo: A
Physikalische Effekte hängen nur von eichinvarianten Größen ab, hier dem magnetischen Fluss ΦB
Lessons learned:
~
• Para- und Diamagnetismus als lineare und quadratische Effekte von B
• Aufhebung der m-Entartung im Wasserstoffatom, normaler Zeeman Effekt
• Landau-Niveaus analog zum harmonischen Oszillator bei freien Elektronen
• Eichsymmetrien induzieren Wechselwirkungen
• Potentiale sind physikalischer als Kräfte
8
Spin
• Stern-Gerlach Versuch: Elektron hat ”inneren Drehimpuls”, genannt Spin, der
nur die Werte +~/2 und −~/2 annehmen kann
~ =
• Spin ist messbar, es muss also einen selbstadjungierten Spinoperator S
(Sx , Sy , Sz ) geben, der ein Drehimpulsoperator ist. Sei ~e Einheitsvektor, so gilt
~ · ~e |~e, ±i = ± ~ |~e, ±i
S
2
130
Sei o.B.d.A: ~e = ~ez . Bezeichnungsweise
|~ez , ±i =
| ↑i
| ↓i
• Eigenwertgleichung für Sz lautet dann:
Sz
| ↑i
| ↓i
~
=
2
+| ↑i
−| ↓i
~
=
2
1 0
0 −1
| ↑i
| ↓i
~
= σz
2
| ↑i
| ↓i
mit der Pauli-Spinmatrix σz
σz =
1 0
0 −1
• Da Sz hermitesch, sind die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Zustände
| ↑i und | ↓i orthogonal
h↑ | ↓i = 0
Normierung auf 1
h↑ | ↑i = h↓ | ↓i = 1
• Bestimmung der Pauli-Spinmatrizen σx und σy
Erinnere Kap. 5.4, Vertauschungsrelationen für Drehimpulsoperatoren
[Si , Sj ] = i~ijk Sk ,
[Sz , S± ] = ±~S± ,
[S+ , S− ] = 2~Sz
mit
S± = Sx ± iSy ,
Für Spin S =
1
2
1
1
entsprechend Sx = (S+ + S− ) Sy = (S+ − S− )
2
2i
hat S 2 den Eigenwert 43 ~2
3
S 2 | ↑i = ~2 | ↑i,
4
131
3
S 2 | ↓i = ~2 | ↓i
4
(46)
Nach Kap. 5.4, Normargument Gl. (41), folgt mit l =
S+ | ↑i = 0,
S+ | ↓i = ~| ↑i,
1
2
und m = ± 12
S− | ↑i = ~| ↓i
S− | ↓i = 0
(47)
(48)
Damit Darstellung der Spinoperatoren in der Basis der Zustände | ↑i und | ↓i
S± =
h↑ |S± | ↑i h↑ |S± | ↓i
h↓ |S± | ↑i h↓ |S± | ↓i
Mit Gln. (47, 48) folgt
S+ = ~
0 1
0 0
,
S− = ~
0 0
1 0
~ = ~ ~σ die Pauli-Spinmatrizen
und damit mit Gl. (46) und S
2
σx =
0 1
1 0
,
σy =
0 −i
i 0
,
σz =
1 0
0 −1
Zusammen mit der Einheitsmatrix spannen die Pauli-Matrizen den Raum aller
2 × 2 Matrizen auf
• Eigenschaften der Pauli-Spinmatrizen
σx2 = σy2 = σz2 = 1
[σx , σy ] = 2iσz und zyklisch
[σx , σy ]+ = 0 und zyklisch
σx σy = −σy σx = iσz und zyklisch
σx σy σz = i1
Sp σx = Sp σy = Sp σz = 0
Det σx Det σy Det σz = −1
Spinoren
• Allgemeiner Spinzustand | i in Basis {| ↑i, | ↓i}
| i = a+ | ↑i + a− | ↓i,
a+ , a− ∈ C,
132
mit |a+ |2 + |a− |2 = 1
• Darstellung des allgemeinen Zustandes | i durch Spinor χ, dessen Komponenten
sich durch Projektion auf Basissystem ergeben
a+
χ=
, a+ = h↑ | i, a− = h↓ | i
a−
Polarisation von Photonen
• Photonen haben Spin 1, Spin 1 ist normaler Weise 3-komponentig
• Da Licht transversale Welle, geht ein Freiheitsgrad verloren
• Den jeweils zwei mal drei Möglichkeiten von Spin
1
2
Teilchen entspricht
– Horizontal / vertikal, entspricht Eigenzuständen zu σz
1
0
|hi =
, |vi =
0
1
– ±45◦ polarisiert, entspricht Eigenzuständen zu σx
1
1
1
◦
| + 45 i = √
= √ (|hi + |vi)
2 1
2
1
1
1
| − 45◦ i = √
= √ (|hi − |vi)
2 −1
2
– rechts/links zirkular polarisiert, entspricht Eigenzuständen zu σy
1
1
1
|Ri = √
= √ (|hi + i|vi)
2 i
2
1
1
1
|Li = √
= √ (|hi − i|vi)
2 −i
2
Magnetisches Moment µ
• Allgemeine Definition
µ=−
∂H
∂B
Für paramagnetischen Anteil des Bahndrehimpulses, siehe Kap. 7.1, gilt
µBahn =
133
e
L
2mc
• Für Spin gilt
e
S
2mc
mit Landé- oder gyromagnetischem Faktor g fast genau 2
µSpin = g
• Gesamtes magnetisches Moment des Elektrons damit
e
e
µ = µBahn + µSpin =
(L + 2S) =
(L + σ~)
2mc
2mc
Gesamt-Wechselwirkungsenergie mit Magnetfeld
L
e0 ~
H = −µ · B = µB
+ σ · B Bohr’sches Magneton: µB =
~
2mc
Lessons learned:
• Spin nutzt die Möglichkeit auf halbzahligen Drehimpuls aus Kapitel 5.4
• Photonen, obwohl Spin 1, sehr ähnlich zu massiven Spin 12 -Teilchen
• Spin gibt Beitrag zu magnetischem Moment mit Landé-Faktor fast genau 2
9
Näherungsmethoden für stationäre Zustände
Exakt lösbare Systeme sind selten, hier drei Näherungsmethoden
• Störungstheorie
Gut, wenn sich Problem nur wenig von exakt lösbarem unterscheidet
Ausführlich
• Variationsprinzip
Gut zur Berechnung der Grundzustandsenergie, wenn qualitative Vorstellung
von Form der Wellenfunktion vorhanden
Nur das Prinzip
• WKB-Näherung
Gut, wenn nah am klassischen Grenzfall
Nur das Prinzip
134
9.1
Störungstheorie
Hamilton-Operator bestehe aus zwei Anteilen
H = H0 + H1
Formuliere dies als
H = H0 + λH1
• Annahmen
– Eigenwerte En0 und Eigenfunktionen |n0 i von H0 seien exakt bekannt
H0 |n0 i = En0 |n0 i
– ”Störterm” λH1 sei klein im Vergleich zu H0
• Gesucht: Die Zustände |ni und Eigenwerte En von
H|ni = En |ni
• Ansatz: Entwickele Eigenwerte und Eigenfunktionen in λ
En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . .
|ni = |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i + . . .
Nicht entartete Störungstheorie, betrachte diskreten Teil des Spektrums
• Setze alles in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ein:
(H0 +λH1 )(|n0 i+λ|n1 i+λ2 |n2 i+. . .) = (En0 +λEn1 +λ2 En1 +. . .)(|n0 i+λ|n1 i+λ2 |n2 i+. . .
Koeffizientenvergleich für
λ0 : H0 |n0 i = En0 |n0 i
λ1 : H0 |n1 i + H1 |n0 i = En0 |n1 i + En1 |n0 i
λ2 : H0 |n2 i + H1 |n1 i = En0 |n2 i + En1 |n1 i + En2 |n0 i
λ damit auf 1 gesetzt und ursprüngliches Problem wieder hergestellt
135
(49)
(50)
(51)
• Bequem: Normierung von |ni durch
hn0 |ni = 1
Dann
hn0 |ni = hn0 |n0 i + λhn0 |n1 i + λ2 hn0 |n2 i + . . . = 1
Muss ∀λ gelten. Damit folgt
hn0 |n1 i = hn0 |n2 i = . . . = 0
(52)
• 1. Ordnungs-Korrektur der Energie
Multipliziere Gl. (50) mit hn0 |
hn0 |H0 |n1 i + hn0 |H1 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i
und nutze Gl. (49) adjungiert
En0 hn0 |n1 i + hn0 |H1 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i
ergibt
En1 = hn0 |H1 |n0 i
Merke: 1. Ordnungs-Korrektur der Energie ist Erwartungswert des StörHamiltonian bezüglich des ungestörten Zustandes
• 1. Ordnungs-Korrektur der Zustände
Da die ungestörten Zustände |m0 i ein vollständiges Orthonormalsystem bilden,
gilt wegen Gl. (52) die Entwicklung
|n1 i =
X
cm |m0 i,
mit cm = hm0 |n1 i
m6=n
Multipliziere Gl. (50) mit hm0 |, verschieden von hn0 |
hm0 |H0 |n1 i +hm0 |H1 |n0 i = En0 hm0 |n1 i +En1 hm0 |n0 i
| {z }
| {z }
| {z }
=cm
0
=cm Em
136
=0
Es folgt
0
cm (En0 − Em
) = hm0 |H1 |n0 i
und somit die erste Korrektur zum Zustand |n0 i
|n1 i =
X hm0 |H1 |n0 i
|m0 i
0
0
En − Em
m6=n
(53)
• Energie in 2. Ordnung
Multipliziere Gl. (51) mit hn0 | und nutze Gln. (52, 53)
En2 = hn0 |H1 |n1 i =
X |hm0 |H1 |n0 i|2
0
En0 − Em
m6=n
(54)
• Bemerkungen
– Für Grundzustand ist die Verschiebung zweiter Ordnung E02 immer negativ
– Häufig ist Störungsreihe nicht konvergent,
asymptotische Reihe
Asymptotische Reihe für Funktion f (λ) :
f (λ) =
k
X
ai λi + Rk (λ),
i=0
Rk (λ)
= 0,
λ→0
λk
lim
aber
noch
eine
lim Rk (λ) = ∞
k→∞
Für kleine λ ist kurze Entwicklung gut.
– Störungstheorie funktioniert, wenn sich Zustand mit kleinem λ nicht qualitativ von ungestörten System unterscheidet
– Aber: Kleinheit des Störterms muss nicht an kleinem λ liegen, kann auch
in Struktur von H1 kodiert sein
• Übung: Oszillator mit kubischer/quartischer Störung
Störungstheorie für entartete Zustände
137
• Seien |n01 i, |n02 i, . . . |n0k i entartet, d.h. ∃ k > 1 mit
H0 |n0i i = |n0i i,
i = 1, . . . , k
Führt zu Divergenzen in der Entwicklung nach
hm0 |H1 |n0 i
0
En0 − Em
• Idee: Gehe in entartetem Unterraum in Basissystem {|n0α i}, in dem H1 diagonalisiert wird
hn0α |H1 |n0β i = H1α δαβ
(55)
Dann fallen divergente Terme raus
• Die Matrixelemente, 1 der Lesbarkeit wegen wenn nötig nach oben
Hij1 = hn0i |H1 |n0j i
bilden eine hermitesche Matrix
• Die gesuchten neuen Zustände
|n0α i =
X
cαi |n0i i
i
geben die Matrixelemente
1
Hαβ
= hn0α |H1 |n0β i =
X
c∗iα Hij1 cjβ
(56)
ij
• Satz: Jede hermitesche Matrix kann durch unitäre Trnasformation auf Diagonalgestalt gebracht werden
Damit kann man die cαi immer so wählen, dass Gl. (55) erfüllt ist.
• Gl. (55, 56) zusammen
X
c∗iα Hij1 cjβ = H1α δαβ
ij
multipliziere mit ciα , nutze Unitarität:
X
ciα c∗jα = δij
α
138
• Ergibt Eigenwert-Gleichung
X
Hij1 cjβ = H1β ciβ
(57)
j
• Lösung aus
Det(Hij1 − H1β δij ) = 0
Gemeinsam mit Gl. (57) erhält man die gesuchten Zustände
• Übung : Linearer Stark-Effekt
Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt
• Einfluß von äußerem elektrischen Feld auf Wasserstoff-Atom für n = 1
• Störung
H1 = −eEz,
~ z
E||e
• Berechne Matrixelemente
hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i
• Auswahlregeln
– Aus [Lz , z] = 0 folgt
hn, l, m|[Lz , z]|n0 , l0 , m0 i = hn, l, m|Lz z−zLz |n0 , l0 , m0 i = (m−m0 )hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i = 0
und damit die Auswahlregel m0 = m
– Absorption oder Abstrahlung eines Photons ändert Bahndrehimpuls um
1, daher gilt Auswahlregel
hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i =
6 0,
nur, wenn l0 = l ± 1
• Störungstheorie 1. Ordnung
E11 = −eE h1, 0, 0|z|1, 0, 0i = 0
Kein Effekt 1. Ordnung !
139
• Störungstheorie 2. Ordnung
Benötigte Matrixelemente nach Gl. (54)
hn, l, m|z|1, 0, 0i
Auf Grund der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen und
Y00 = const. und z = r cos θ ∝ rY10
folgen die Auswahlregeln: m = 0 und l = 1
E12
=
∞
X
e2 E 2
n=2
|hn, 1, 0|z|1, 0, 0i|2
E10 − En0
n = 2 - Term, a0 Bohr’scher Atomradius:
Z
a0
r2 e−r/2
√ r (2re−r )
h2, 1, 0|z|1, 0, 0i = √
dr
3
2 6
√
Z
7
a0
2
2
= √
a0
dr r4 e−r/2 =
5
3
3
Mit
E10 − E20 = −
3 e2
8 a0
folgt
E12 ≈ −1.48 a30 E 2
Mit allen n - Termen, Trick zum Ausrechnen: Rekursionsgleichungen für
Laguerre-Polynome
E12 =
9 3 2
aE ,
4 0
beachte 1.48 ≈
2 9
·
3 4
Quadratischer Stark-Effekt
• Übung: Störungstheorie für Stark-Effekt im H-Atom für n = 2
Beispiel Heliumatom
140
• Näherungsweise Bestimmung des Grundzustandsenergie des Heliumatoms
• Störung: Wechselwirkung zwischen den Elektronen
p2
p2
H = 1 + 2 − 2e2
2m 2m
|
{z
1
1
+
r1 r2
+
}
=Ho
e2
|~r − ~r |
| 1 {z 2}
=H1
Energie im ungestörten Grundzustand E00 ist die Doppelte derjenigen im
Grundzustand eines wasserstoffähnlichen Atoms mit Z = 2
E10
e2
= −2 · 4
≈ −108 eV
2a0
• Zugehöriger Eigenvektor |1i ist Produkt der Einteilchen-Eigenvektoren.
|1i =
8 − 2(r1a+r2 )
0
e
πa0
1. Ordnung Korrektur zu E10
E11
Z Z
= h1|H1 |1i =
−
4
(r +r )
64e2 e a0 1 2
5 e2
dr1 dr2
=
πa20 |~r1 − ~r2 |
4 a0
• Somit
E1 ≈ E10 + E11 = −
11e2
≈ −74 eV
4a0
Experimenteller Wert: E0 = −78.96 eV: Störungstheorie 1. Ordnung not too
bad.
• Physikalische Interpretation: Abschirmeffekt des Kernpotentials durch das jeweils andere Elektron
141
10. Woche
9.2
Variationsprinzip
• Ziel: Bestimme Näherungsweise Energie E0 und Wellenfunktion ψ0 des Grundzustandes
• Ansatz: Test-Wellenfunktion ψT , z.B. parametrisierte Linearkombination von
Wellenfunktionen
• Ritz’sches Variationsprinzip: Der zu ψT gehörende Erwartungswert der Energie
ET ist immer größer oder gleich der exakten Grundzustandsenergie E0
ET =
hψT |H|ψT i
≥ E0
hψT |ψT i
Gleichheit wenn ψT = ψ0
• Beweis:
Betrachte exakte Eigenfunktionen |ψn i und Eigenwerte En
H|ψn i = En |ψn i
Entwickle Test-Wellenfunktion bezüglich der Eigenfunktionen
|ψT i =
X
cn |ψn i
n
Betrachte
hψT |H − E0 |ψT i =
X
=
X
=
X
c∗n cm hψn |H − E0 |ψm i
nm
nm
c∗n cm (Em − E0 ) hψn |ψm i
| {z }
=δnm
|cn |2 (En − E0 ) ≥ 0
n
Gleichheitszeichen für |c0 |2 = 1 und |cn6=0 |2 = 0, d.h. Test-Wellenfunktion ψT
ist identisch mit exakter Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 .
• Strategie:
142
– Wähle Ansatz für Test-Wellenfunktion, der freie Parameter µ
~ enthält
– Hier lässt sich qualitatives Vorwissen einbringen
– Bestimme Parameter so, dass
hψT (µ)|H|ψT (µ)i
hψT (µ)|ψT (µ)i
minimal wird
– Variationsprinzip garantiert, dass die so gewonnene Wellenfunktion die
Optimale im Rahmen des gewählten Ansatzes ist
• Genauigkeit
Sei |0i wahrer Grundzustand, |i der Fehler von |ψT i
|ψT i = |0i + |i,
mit h0|i = 0
Dann folgt
hψT |H|ψT i
= E0 + h|H|i = E0 + O(2 )
hψT |ψT i
Merke: Energie wird beim Variationsverfahren genauer bestimmt als Wellenfunktion
9.3
WKB-Näherung
• WKB: Wentzel-Kramers-Brillouin
Semi-klassische Näherung
• Betrachte Zustand mit hinreichend großer Energie
Wellenlänge dann klein gegen charakteristischen Distanz, auf der sich Potential
ändert
Wellenfunktion kann durch ortsabhängige Wellenzahl beschrieben werden
• Erinnere Schrödingers Ansatz: Der Kreis schließt sich
• Für die ein-dimensionale zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
−
~2 00
ψ (x) = (E − V (x))ψ(x)
2m
verwende allgemeinen Ansatz
143
ψ(x) = eiS(x)/~ ,
S(x) ∈ C
(58)
mit
ψ 0 (x) =
und
ψ 00 (x) =
i 0
S (x)eiS(x)/~
~
1
i 00
S (x)eiS(x)/~ − 2 S 0 (x)2 eiS(x)/~
~
~
• Ansatz eingesetzt
S 0 (x)2 = 2m(E − V (x)) + i~S 00 (x)
(59)
• Idee: Entwickele S nach Potenzen von ~
• Letzter Term in Gl. (59) klein
Nullte Näherung:
S00 (x)2 = 2m(E − V (x)) ≡ p(x)2
(60)
Lösung:
Z
S0 (x) = ±
dx p(x) + const
und damit in Gl. (58) eingesetzt
i
ψ(x) = const exp ±
~
Z
dx p(x)
• Ansatz für systematische Entwicklung in ~
~
S(x) = S0 (x) + S1 (x) +
i
2
~
S2 (x) + . . .
i
S0 erfüllt Gl. (59) in Ordnung ~0
Bestimme S1 (x) so, dass Gl. (59) in Ordnung ~1 erfüllt wird, S2 (x) sorgt für
Ordnung ~2 , usw.
144
• Bestimmung von S1 (x)
Setze S(x) ≈ S0 (x) + ~i S1 (x) in Gl. (59) und nutze Gl. (60), so folgt für Terme
der Ordnung ~
2~ 0
S (x)S10 (x) = i~S000 (x)
i 0
Aufgelöst nach S1 :
S10 (x) = −
1 S000 (x)
2 S00 (x)
Integriert:
1
1
S1 (x) = − log |S00 (x)| + const = log |p(x)|− 2 + const
2
Lösung in erster Ordnug von ~, setze S(x) ≈ S0 (x) + ~i S1 (x) in Gl. (58) ein
• Ergibt WKB-Näherung
Z
const.
i
ψ(x) = p
exp ±
dx p(x)
~
|p(x)|
• ± entspricht zwei unabhängigen Lösungen.
Allgemeine Lösung
Z
Z
i
B
i
ψ(x) = p
exp
dx p(x) + p
exp −
dx p(x)
~
~
|p(x)|
|p(x)|
A
Gültigkeitsbereich der WKB-Näherung
• Letzter Term in Gl. (59) wird als klein angesehen.
Gilt wenn:
|i~S000 (x)| p(x)2
Mit Gl. (60) entspricht dies
dV m~ p3
dx Für konstantes Potential gilt WKB-Näherung exakt
145
• Mit Wellenlänge λ und kinetischer Energie Ekin
λ=
2π~
,
p
Ekin =
p2
2m
folgt
dV λ Ekin
dx • Änderung des Potentials im Bereich einer Wellenlänge klein gegen kinetische
Energie.
• WKB-Näherung gilt nicht für p(x) = 0, z.B. an den Umkehrpunkten des harmonischen Oszillators, dann muss man stückeln
Übung: Potentialbarriere in WKB-Näherung
Lessons learned:
• Störungstheorie:
– Entwicklung nach Parameter λ, der aber de facto wieder rausfällt
– Oft nur asymptotische Reihe, erste Terme gute Näherung
– Entartete Zustände: Diagonalisiere H1 gibt ”gute” Basis
~
– Stark-Effekt bei H-Atom für n = 1 quadratischer Effekt in E
– Helium Atom: 1. Ordnung gute Näherung für Grundzustandsenergie
• Variationsmethode: Näherung der Nullpunktsenergie und Eigenfunktion, gut
bei qualitativem Vorwissen
• WKB Näherung. Ausgehend von der Klassik: Entwicklung in ~. Erinnert sehr
an Schrödinger’s geniale Spekulation aus Kap. 1.2
10
10.1
Vielteilchen Systeme
Symmetrie der Vielteilchenwellenfunktionen
• Betrachte N nicht wechselwirkende Teilchen mit Hamiltonian
146
H=
X
hi (xi , pi )
i
Eigenwertgleichung für Einteilchen Hamiltonian hi
hi |ki i = ki |ki i
mit Eigenzuständen |ki i, ki Quantenzahl
• Betrachte zunächst unterscheidbare Teilchen
Dann Gesamtwellenfunktion Produkt der Ein-Teilchenzustände:
|k1 , k2 , . . . , kN i = |k1 i|k2 i . . . |kN i
Eigenwertgleichung für System:
X
X
H|k1 , . . . , kN i =
hi |k1 i . . . |kN i =
|k1 i . . . hi |ki i . . . |kN i
i
=
i
X
ki |k1 , . . . , kN i
i
In Quantenmechanik Ununterscheidbarkeit fundamental
• Betrachte zwei Teilchen mit Gesamtwellenfunktion ψ(r1 , r2 ) und Permutionsoperator P̂ :
P̂ ψ(r1 , r2 ) = ψ(r2 , r1 )
Nochmalige Anwendung:
P̂ ψ(r2 , r1 ) = ψ(r1 , r2 )
damit
∀ψ : P̂ 2 ψ(r1 , r2 ) = ψ(r1 , r2 ) =⇒ P̂ 2 = 1
Folglich hat P̂ Eigenwerte λ = ±1. Zudem ist [P̂ , Ĥ] = 0
• Gemeinsame Eigenzustände zu Ĥ und P̂ definieren offensichtlich zwei Arten
von Teilchen
147
• Spin-Statistik Theorem16 , Pauli, 1940
– Bosonen, Spin ganz-zahlig, S = 0, 1, . . ., besitzen eine symmetrische Vielteilchenwellenfunktion: ψS = P̂ ψS
Besetzungszahlen können alle Werte 0, 1, . . . ∞ annehmen
– Fermionen, Spin halb-zahlig, S = 12 , 32 , . . ., besitzen eine anti-symmetrische
Vielteilchenwellenfunktion: ψA = −P̂ ψA
Besetzungszahlen können die Werte 0, 1 annehmen
Zusammenfassend:
P̂ ψ(r1 , r2 ) = (−1)2S ψ(r2 , r1 )
(61)
Folge: Reiner Produktansatz
ψ(r1 , r2 ) = φa (r1 )φb (r2 )
geht für ununterscheidbare Teilchen nicht durch.
• (Anti)symmetrisierung:
1
ψS (r1 , r2 ) = √ (φa (r1 )φb (r2 ) + φa (r2 )φb (r1 ))
2
1
ψA (r1 , r2 ) = √ (φa (r1 )φb (r2 ) − φa (r2 )φb (r1 ))
2
Folge: Pauli-Prinzip: Für identische Einteilchen-Wellenfunktionen verschwindet
die antisymmetrische Gesamtwellenfunktion
φa = φb
=⇒
ψA = 0
Zwei Elektronen können nicht im selben Zustand sein. Hierbei ist der Spin zu
berücksichtigen.
Betrachte N Teilchen
• Permutationsoperator:
P̂ij ψ(r1 , . . . , ri , . . . , rj , . . . , rN ) = ψ(r1 , . . . , rj , . . . , ri , . . . , rN )
16
Leseempfehlung: R.F. Streater, A.S. Wightman. PCT, Spin and Statistics, and All That
148
Damit
ψS (r1 , . . . , rN ) = A
X
P̂ ψ(r1 , . . . , rN )
P
1 X
(−1)P P̂ ψ(r1 , . . . , rN )
ψA (r1 , . . . , rN ) = √
N! P
mit
P
(−1) =
+1 für gerade Anzahl von Vertauschungen
−1 für ungerade Anzahl von Vertauschungen
Normierungsfaktor A abhängig davon, wie viele der Quantenzahlen gleich sind
• Geht man vom Produktansatz von Einteilchen-Wellenfunktionen aus, folgt für
den antisymmetrischen Fall:
1 X
(−1)P P̂ φa (r1 ) . . . , φl (rN )
ψA (r1 , . . . , rN ) = √
N! P
Dieses läßt sich als Determinante schreiben:


1

ψA (r1 , . . . , rN ) = √
det 

N!
φa (r1 ) . . . φa (rN )
φb (r1 ) . . . φb (rN )
..
..
.
.
φl (r1 ) . . . φl (rN )





(62)
die Slater-Determinante
Diese verschwindet in Übereinstimmung mit dem Pauli-Prinzip, wenn zwei Zeilen gleich sind.
10.2
Hartree-Fock Näherung
Betrachte Atom mit N Elektronen
• Hamilton-Operator
H=
N X
i=1
~2 2 Ze2
−
∇ −
2m i
ri
149
+
X
i>j
e2
|xi − xj |
Schrödinger-Gleichung
HΨ(x1 , . . . , xN ) = EΨ(x1 , . . . , xN )
Exakte Lösung hoffnungslos
• Idee: Jedes Elektron sieht neben dem Kernpotential ein weiteres effektives Potential, das durch die anderen Elektronen verursacht wird.
• Hartree-Näherung: Produktansatz für Wellenfunktion
Ψ(x1 , . . . , xN ) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) . . . ψN (xN )
(63)
Beachte: Keine Anti-Symmetriesierung
• Variationsansatz, technische Rechnung
• Ergebnis: Für jedes der ψi (xi ) gilt die Hartree-Gleichung:
−~2 2 Ze2
∇ −
+ Vi (xi ) ψi (xi ) = i ψi (xi )
2m i
ri
mit
Vi (xi ) =
XZ
d 3 xj
j6=i
e2
|ψj (xj )|2
|xi − xj |
(64)
(65)
Hartree-Gleichung für jedes der ψi (x) enthält im Potential Vi (x) nicht-linear
alle übrigen Wellenfunktionen ψj6=i
• Ein Selbstkonsistenz-Problem: Die {ψs } müssen so gewählt werden, dass sie
Potentiale {Vs } ergeben, die mit Gl. (64) die {ψs } reproduzieren.
• Iterative Lösung
1. Setze k = 0, wähle Start-Wellenfunktionen ψi0 , z.B. |n, l, mi vom H-Atom
2. Setze k → k + 1 berechne Vik (xi ) ∀i nach Gl. (65)
3. Berechne ψik (x) ∀i nach Gl. (64)
4. Überprüfe ob Vik (xi ) = Vik−1 (xi ) und ψik (xi ) = ψik−1 (xi ) ∀i
Wenn ja: fertig. Wenn nein: Gehe zu 2.
• Beispiel für eine mean field Theorie oder Molekularfeld-Näherung
150
• Hartree-Fock Näherung: Verwende statt Produktwellenansatz Gl. (63) SlaterDeterminanten nach Gl. (62)
Führt auf einen nichtlokalen Austauschterm im Analogon zu Gl. (65) und ist
besser als Hartree-Näherung
10.3
Dichtematrix
Reine Zustände
• Bisher haben wir nur reine Zustände |ψi betrachtet. Diese lassen sich
durch Wellenfunktionen beschreiben, z.B. ”Elektron befindet sich in Zustand
|n, l, mi”
• Viele Teilchen mit Zustand |ψi: Reine Gesamtheit oder Reines Ensemble
• Beachte: Die Superposition von zwei reinen Zuständen gibt wieder einen reinen Zustand, d.h. lässt sich wieder durch Wellenfunktion |φi = a|ψ1 i + b|ψ2 i
beschreiben.
• Definition: Sei |ni ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann ist die Spur der
Matrix M definiert als
X
Sp (M ) =
hn|M |ni
n
Spur ist unabhängig von der Basis, im Eigenvektorsystem von M besonders
anschaulich
• Definition Dichtematrix17 ρ für reine Zustände:
ρ := |ψihψ|
• Für Observable A kann Erwartungswert hAi mit Dichtematrix berechnet werden. Sei |ni Orthonormalsystem. Trick: Einschieben der Eins
X
hAi = hψ|A|ψi =
hψ|A|nihn|ψi
n
X
=
hn|ψihψ|A|ni
n
X
=
hn|ρA|ni = Sp (ρA)
n
17
Eigentlich Dichteoperator, wird in einer Basis zur Matrix
151
Man zeigt leicht:
Sp ρ = 1 :
X
hn|ψihψ|ni =
X
n
hψ|nihn|ψi = hψ|ψi = 1
n
ρ2 = ρ : |ψihψ|ψihψ| = |ψihψ|
ρ† = ρ : |ψi† = hψ|
Für reine Zustände ist das reine Spielerei
Gemischte Zustände oder Gemischte Gesamtheit oder Gemischtes Ensemble
• Betrachte Ensemble von N Teilchen, von denen sich Ni im Zustand |ψi i befinden
• Wahrscheinlichkeit, das sich ein zufällig herausgegriffenes Teilchen im Zustand
|ψi i befindet, ist
X
Ni
,
pi = 1
pi =
N
i
• Gemischter Zustand lässt sich nicht durch Wellenfunktion beschreiben
X
@ |φi mit |φi =
pi |ψi i
i
aber durch eine Dichtematrix
• Definition Dichtematrix ρ für gemischte Zustände:
X
X
ρ :=
pi |ψi ihψi | :=
pi ρ i
i
i
Es gilt wieder hAi = Sp (ρA):
X
XX
hAi =
pi hψi |A|ψi i =
pi hψi |A|nihn|ψi i
i
=
i
=
i
XX
X
n
hn|pi ψi ihψi |A|ni
n
hn|ρA|ni = Sp (ρA)
n
Es gilt immer noch
Sp ρ = 1,
152
ρ† = ρ
aber nun
ρ2 6= ρ und Sp ρ2 < 1,
falls pi 6= 0 für mehr als ein i
Beweis der 2. Aussage:
Sp ρ2 =
XX
hn|pi |ψi ihψi |pj |ψj ihψj |ni
n
=
ij
XX
n
=
pi pj hψi |ψj ihψj |nihn|ψi i
ij
X
pi pj |hψi |ψj i|2 <
ij
X
pi p j = 1
ij
Zeitentwicklung der Dichtematrix ρ
• Betrachte ein ρi
∂
∂
ρi = (|ψi ihψi |) =
∂t
∂t
∂
∂
|ψi i hψi | + |ψi i
hψi |
∂t
∂t
Mit Schrödingergleichung
i
∂
|ψi i = − H|ψi i,
∂t
~
∂
i
hψi | = hψi |H
dt
~
folgt
∂
i
i
i
i
ρi = − H|ψi ihψi | + |ψi ihψi |H = − Hρi + ρi H
∂t
~
~
~
~
P
und mit ρ = i pi ρi folgt die von-Neumann-Gleichung
∂
i
ρ = − [H, ρ]
∂t
~
Beachte: Klassische Bewegungsgleichung für Phasenraumdichte ρk (q, p, t)
∂
ρk = {H, ρk },
∂t
Liouville-Gleichung
(66)
• Zusammenhang: Ersetze (klassische) Poisson-Klammer durch (quantenmechanischen) Kommutator
i
{H, ρk } → − [H, ρ]
~
153
• Es gilt: Sp ρ2 ist im Schrödingerbild zeitunabhängig
Beweis: Zyklische
Invarianz
der Spur, erinnere Zeitentwicklungsoperator
i
U (t, t0 ) = exp − ~ Ĥ(t − t0 ) und Unitarität U † U = 1
Sp ρ2 (t) = Sp U ρ(t0 )U † U ρ(t0 )U † = Sp ρ2 (t0 )
Damit folgt: Einmal rein, immer rein. Einmal gemischt, immer gemischt
Merke:
=
=
• Unterscheidung reiner und gemischter Zustand an Hand von ρ2 6=ρ und Sp ρ2 <1
• Auch für Dichtematrix Dynamik
• Dichtematrix-Formalismus allgemeiner als Wellenfunktion, da sich gemischte
Zustände nicht durch Wellenfunktionen, wohl aber durch Dichtematrizen beschreiben lassen.
Beispiel
• Betrachte Zwei-Niveau-System, z.B. Spin, mit | ↑i und | ↓i
• Befindet sich System in einem der Zustände, gilt für Wellenfunktion und Dichtematrix
oder
1
|ψi = | ↑i → ρ = | ↑ih↑ | =
0
0
|ψi = | ↓i → ρ = | ↓ih↓ | =
0
0
0 0
1
• Kohärente Superposition der Zustände, z.B.:
1
|ψi = √ (| ↑i + | ↓i) → ρ =
2
1/2 1/2
1/2 1/2
(67)
ergibt wieder einen reinen Zustand, da ρ2 = ρ und Sp ρ2 = 1.
• Gemisch der Zustände mit p1 = p2 = 0.5 ergibt
1
1
1/2 0
ρ = | ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | =
0 1/2
2
2
154
(68)
1
(| ↑ih↑ | ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | ↓ih↓ | + | ↑ih↑ | ↓ih↓ | + | ↓ih↓ | ↑ih↑ |)
4
1
1
1
| ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | = ρ 6= ρ
=
4
4
2
ρ2 =
• Off-Diagonalelemente des reinen Zustands in Gl. (67) beschreiben die Kohärenz
zwischen | ↑i und | ↓i, die im Gemisch nicht existiert.
• Last not least: Es gibt keine Wellenfunktion, die die Dichtematrix des gemischten Zustands ergeben würde.
• Erinnere Übungsblatt 10: Blochvektor
Bloch-Kugel
Bloch-Vektor Betrag = 1: Reiner Zustand
Bloch-Vektor Betrag < 1: Gemischter Zustand
10.4
Verschränkte Zustände
Übergang von Ein-Teilchen zu N -Teilchen Fall
• Klassische Mechanik:
Zustandsraum ist Phasenraum (q, p)
Phasenraum von N Teilchen ist das kartesische Produkt der Einteilchen Phasenräume
Dimensionen addieren sich
• Quantenmechanik:
Zustandsraum ist Hilbertraum, ein Vektorraum.
Für Vektorräume ist Produktraum für N Teilchen das Tensorprodukt der Ausgangsvektorräume
Dimensionen multiplizieren sich
Betrachte 2-Teilchen System
• Seien HA und HB zwei Hilberträume mit Basisvektoren {|ei i} und {|fj i}
Definition Tensorprodukt
155
• Das Tensorprodukt H = HA ⊗ HB ist der Vektorraum, der durch die Paare
von Basisvektoren {|ei , fj i} aufgespannt wird
• Nomenklatur
|ei , fj i ≡ |ei i ⊗ |fj i
• Das Tensorprodukt ist wieder ein Hilbertraum, Vektorgesetze gelten und Skalarprodukt existiert
• Dimension des Hilbertraums H
dimH = dimHA · dimHB
• Sei |ai =
P
P
ai |ei i ∈ HA und |bi = j bj |fj i ∈ HB , dann ist
!
!
X
X
X
|ai ⊗ |bi =
ai |ei i ⊗
bj |fj i =
ai bj |ei i ⊗ |fj i
i
i
j
ij
das Tensorprodukt der beiden Vektoren
Skalarprodukt
• Für Skalarprodukt von zwei Vektoren |xi, |yi des Tensorproduktraum H
|xi =
X
xij |ei i ⊗ |fj i,
|yi =
i,j
X
ykl |ei i ⊗ |fj i
k,l
gilt:
hy|xi =
X
∗
ylk
xij hei |ek ihfj |fl i
i,j,k,l
• Im Falle von Orthonormalbasen |ei i und |fj i :
X
∗
hy|xi
yji
xij
i,j
Anders formuliert:
Seien |ψi, |φi aus H mit |ψi = |αi ⊗ |βi und |φi = |γi ⊗ |δi dann gilt
hψ|φi = hα|γihβ|δi
156
(69)
11. Woche
Operatoren
• Sei A linearer Operator und |ψi Vektor in HA und B linearer Operator und
|φi Vektor in HB , so gilt
(A ⊗ B)(|ψi ⊗ |φi) = A|ψi ⊗ B|φi
• Mit den Erweiterungen der Operatoren A → A ⊗ 1 und B → 1 ⊗ B auf
H folgt, dass Operatoren, die auf verschiedene Hilberträume wirken, immer
kommutieren
(A ⊗ 1)(1 ⊗ B) = (1 ⊗ B)(A ⊗ 1)
• Allgemein lässt sich Operator C auf H immer als Linearkombination der Form
C=
X
Ai ⊗ Bi
i
schreiben
Analog ist der allgemeinste Vektor |ψi in H von der Form
X
|ψi =
cij |ai i ⊗ |bj i
(70)
i,j
• Beachte: In diesem Sinne ist H ”größer” als die Menge der Produkte von
Zuständen aus HA und HB mit Gl. (69): cij 00 >00 ai bj .
• Frage: Lässt sich jedem Vektor aus H ein Zustand aus HA und HB zuordnen ?
Separable und verschränkte Zustände
• Definition: Ein Vektor |ψi ∈ H heißt separabel, wenn es Vektoren |ai ∈ H1
und |bi ∈ H2 gibt, so dass gilt
|ψi = |ai ⊗ |bi
157
• Andernfalls heißt der Vektor verschränkt
Der berühmteste verschränkte (Spin-, Polarisations-)Zustand
1
|ψi = √ (| ↑i ⊗ | ↓i + | ↓i ⊗ | ↑i)
2
siehe Kap. 11
• Theorem: Schmidt-Zerlegung:
Jeder Zustand |ψi ∈ H = HA ⊗ HB lässt sich darstellen als
|ψi =
X
λi |jA i ⊗ |jB i,
λi ∈ R+ ,
X
i
λ2i = 1
(71)
i
mit {|jA i} Orthonormalbasis auf HA und {|jB i} ONB auf HB
Dieses ist eine Aussage über die Existenz dieser ONBs
Wesentlich einfacher als Gl. (70), da nur über einen Index summiert wird.
• Bezüglich der Frage nach Zuordnung von Zuständen aus HA und HB , betrachte
Projektor |ψihψ| in Basis |jA i, |jB i
|ψihψ| =
X
λj λj 0 |jA ihjA0 | ⊗ |jB ihjB0 |
j,j 0
Annahme: Schmidt-Zerlegung, Gl. (71), habe nur einen nicht verschwindenden Koeffizienten, λj = δjk , Zustand ist separabel.
• Es folgt:
|ψihψ| = |kA ihkA | ⊗ |kB ihkB |
Bilde die partielle Spur über vollständige Basis {|mi} von HB
SpB |ψihψ| =
X
|kA ihkA |hm|kB ihkB |mi
m
=
X
m
|kA ihkA |hkB |mihm| kB i
| {z }
=1
= |kA ihkA |hkB |kB i = |kA ihkA |
158
• Damit ist eindeutige Zuordnung zwischen |ψi ∈ H und |kA i ∈ HA gelungen.
Analog für HB
SpA |ψihψ| = |kB ihkB |
• Interpretation:
Partielle Spurbildung bedeutet, auf alle Information des entsprechenden Unterraums zu verzichten
Das Resultat sagt, dass unter der Annahme λj = δjk der Verzicht auf die
Information über einen Teilraum die Identifikation von |ψi ∈ H mit einem
Zustand im anderen Teilraum nicht beeinträchtigt.
Annahme: Schmidt-Zerlegung habe mehr als einen nicht-verschindenden Term, verschränktes System
• Partielle Spurbildung für HB
SpB |ψihψ| =
XX
m
=
X
j,j 0
λj λj 0 |jA ihjA0 | hm|jB i hjB0 i|mi
| {z } | {z }
=δmj
=δj 0 m
λm |mA ihmA |
(72)
m
führt auf einen diagonalen Operator mit Eigenwerten λ2m < 1 auf HA
• Interpretation: SpB |ψihψ| lässt sich nicht mit einem Zustand in HA identifizieren, sondern nur mit einem Gemisch.
• Merke: Partielle Spurbildung führt im Allgemeinen auf operator-wertige Ausdrücke wie Gl. (72)
• Nur für separable Zustände gilt dies nicht.
Dichtematrizen
• Die Dichtematrix des Gesamtzustandes ist
ρ = |ψihψ|
159
• Durch partielle Spurbildung
ρA = SpB |ψihψ|
ρB = SpA |ψihψ|
ergeben sich die auf HA , resp. HB reduzierten Dichtematrizen
• Für ρA (ρB ) gilt
Spρ2A ≤ 1
Spρ2A = 1 ⇐⇒ ρA = |φihφ|
(73)
Gilt Gl. (73), so ist der durch ρA beschriebene Zustand ein reiner Zustand, der
durch |φi ∈ HA dargestellt wird.
• Anderenfalls repräsentiert ρA einen gemischten Zustand
Beispiele
• Sei ρA = |φihφ|
Dann gilt
!
ρA =
X
ci |ii
i
=
X
!
X
c∗j hj|
j
ci c∗j |iihj|
i,j



= 

|c1 |2 c1 c∗2 c1 c∗3
c2 c∗1 |c2 |2 c2 c∗3
c3 c∗1 c3 c∗2 |c2 3|2
..
.
...
...
...
..
.





(74)
Diagonalisieren führt auf


1 0 ...
 0 0



..
..
.
.
(75)
da |φi Eigenvektor von ρA zum Eigenwert 1 ist und der zu |φi orthogonale
Unterraum zum entarteten Eigenwert 0 gehört.
160
• Ein gemischter Zustand hat wegen Gl. (72) die Form


|c1 |2
0
 0 |c2 |2

...


und kann nicht in die Form von Gl. (75) gebracht werden.
• Die
Nicht-Diagonal
Terme
in
Gl.
(74)
beschreiben
die
kohärenten Überlagerungen der Basiszustände |ji. Diese beschreiben Interferenzen. Partielle Spurbildung bewirkt im Allgemeinen ihr Verschwinden:
Dekohärenz
• Merke: Ein Zustand ist genau dann verschränkt, wenn die Dichtematrizen der
ausreduzierten Teilräume gemischte Zustände beschreiben
Beispiele
• Betrachte Zwei-Zustandssysteme: Spin
tonen
1
2
Systeme oder Polarisation von Pho-
• | ↓i = |0i, | ↑i = |1i
• Wähle Basis {|00i, |10i, |01i, |11i} mit |iji = |ii ⊗ |ji
Beispiel a
• |ψa i = |0i ⊗ |1i
• Spin von Teilchen 1 up, Spin von Teilchen 2 down oder Polarisation von Photon
1 horizontal, Polarisation von Photon 2 vertikal.
• Dichtematrix ρ = |ψa ihψa |

0
 0
ρ=
 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
0
Seien |ni und |mi die Basisvektoren. Martixelement ρmn gegeben durch
ρmn = hm|ρ|ni = hm|ψa ihψa |ni = hm|(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)|ni
161
Beispiele:
ρ13 =
=
=
=
h00|ρ|01i
(h0| ⊗ h0|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(|0i| ⊗ |1i)
h0|0i · h0|1i · h0|0i · h1|1i
1·0·1·1=0
ρ33 =
=
=
=
h01|ρ|01i
(h0| ⊗ h1|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(|0i| ⊗ |1i)
h0|0i · h1|1i · h0|0i · h1|1i
1·1·1·1=1
• Partielle Spurbildung bezüglich Teilchen 2 mit (1 ⊗ |ji), j = 0, 1
Sp2 ρ = ρ1
1
X
=
hj|ρ|ji
j=0
= (1 ⊗ h0|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(1 ⊗ |0i) + (1 ⊗ h1|)|(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(1 ⊗ |1i)
= 0 + |0ih|0|
Dies ist Darstellung von ρ1 in der HA Basis {|0i, |1i}
• Damit reduzierte Dichtematrix:
ρ1 =
1 0
0 0
,
ρ2 = ρ Sp ρ21 = 1
Demnach ist |ψa i separabel
Beispiel b
• |ψb i =
√1 (|0i
2
+ |1i) ⊗ |1i
• Teilchen 1: Superposition von Spin up und spin down, Teilchen 2: Spin up
• Dichtematrix

0
1
0
ρ= 
2 0
0
162
0
0
0
0
0
0
1
1

0
0 

1 
1
• Reduzierte Dichtematrizen:
1
ρ1 = Sp2 ρ =
2
ρ2 = Sp1 ρ =
1 1
1 1
1 0
0 0
= ρ21
= ρ22
Damit |ψb i separabel
Beispiel c
• |ψc i =
√1 (|0i
2
⊗ |1i) +
√1 (|1i
2
⊗ |0i)
• Beide Teilchen in Superposition zweier Zustände
• Beachte: Dies ist ein reiner Zustand
• Dichtematrix

0
1
0
ρ= 

0
2
0
0
1
1
0
0
1
1
0

0
0 
,
0 
0
ρ2 = ρ,
Sp ρ21 = 1
• Reduzierte Dichtematrix:
1
ρ1 =
2
1 0
0 1
Beachte: Diagonalelemente sind verschwunden: Dekohärenz
1 1 0
2
ρ1 =
6= ρ1 , Sp ρ21 < 1
4 0 1
Gilt entsprechend für ρ2
Damit ist |ψc i nicht separabel
• Nach partieller Spurbildung ergibt sich ein Gemisch von Zuständen
• Das Gesamtsystem lässt sich nicht mit der ”reduzierten” Information über die
beiden Untersysteme beschreiben
163
• Merke: Handelt es sich bei den Dichtematrizen der ausreduzierten Teilräume
um reine Zustände, ist der Zustand separabel, sind es Dichtematrizen zu gemischten Zuständen, ist der Zustand verschränkt
Verschränkheit/Separabilität, resp. Gemischheit/Reinheit lässt sich messen
P
• Seien pi Wahrscheinlichkeiten, pi ≤ 1, i pi = 1, definiere Entropie S
X
S=−
pi log pi , erinnere: 0 log 0 = 0
i
Mass für Unwissenheit/Überraschung
• von Neumann Entropie für Dichtematrizen ρ
S = − Sp ρ log ρ
– Für reine Zustände ist sie Null
– Für Gemische positiv mit S ≤ log dim H
– Gleichheit bei Gleichverteilung der Zustände im Gemisch
Lessons learned
• Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen hat Konsequenzen::
– Bosonen: symmetrische Wellenfunktionen
– Fermionen: anti-symmetrische Wellenfunktionen
• Hartree-Fock als Selbstkonsistenzmethode für Viel-Elektronen Atome
• Dichtematrix als allgemeine Beschreibung quantenmechanischer Zustände
• Verschränkte Zustände auf Grund des Tensorproduktes
• Ausreduzierte Dichtematrizen (reiner) verschränkter Zustände beschreiben ein
Gemisch
164
11
Einstein-Podolsky-Rosen – Paradoxon
Übung: Fassen Sie EPR paper stichwortartig zusammen
11.1
Theorien verborgener Parameter
Natürliche Erwartung an eine physikalische Theorie
• Lokal, die 1.: keine Informationsübertragung schneller als Lichtgeschwindigkeit
• Lokal, die 2.: Messung am Orte A sollte Messung am Orte B in keiner Weise
beeinflussen
• Deterministisch: Zustand gibt eindeutiges Messergebnis
• Real: Theorie und Realität in 1 zu 1 Verhältnis
Klassische Physik:
• Alles im grünen Bereich
Quantenmechanik:
• Lokal, die 1.: O.K.
• Lokal, die 2.: Nein
• Deterministisch: Nein
• Real: Nein
Theorien verborgener Parameter
• Klassische Statistische Physik von 1023 Teilchen
– Im Prinzip alle (deterministischen) Trajektorien ermittelbar
– Aber: Praktisch nicht machbar und inhaltlich nicht relevant
• Übertragung auf die Quantenmechanik
– Es gibt eine zu Grunde liegende lokale, deterministische, reale Theorie,
die individuelle Messergebnisse festlegt
– Nur kennen wir sie nicht
165
– Beispiel: Spin-Messung
Quantenmechanik: Bei Messung von Sx im Eigenzustand Sz : Für jedes
Teilchen 50 % Wahrscheinlichkeit für ±~/2
Theorie verborgener Parameter legt für jedes Teilchen fest, ob +~/2 oder
−~/2 resultiert, so dass in je 50 % der Fälle ±~/2 vorkommt
Einstein, Podolsky, Rosen. Can18 Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ? 1935, modernisiert von Bohm, 1951
• Betrachte 2 Spin 1/2 Teilchen im (verschränkten) Singulett-Zustand
1
|0, 0i = √ (| ↑i| ↓i − | ↓i| ↑i)
2
Präparation:
– Spin 1/2 Teilchen: Zweiatomigen Molekül mit Gesamtspin 0 mit Laser in
2 Spin 1/2 Teilchen zerschießen
– Polarisierte Photonen: Parametrische Fluoreszenz von nichtlinear optischen Kristallen. Aus einem Photon der Energie E werden zwei verschränkte der Energie E/2
• Teilchen bewegen sich von einander weg.
• Misst man die z-Komponenten der Spins und findet bei Teilchen 1 Spin up, so
ergibt sich für Teilchen 2 spin down.
• Misst man stattdessen die x-Komponenten, so impliziert +~/2 bei Teilchen 1
−~/2 bei Teilchen 2
• Messung an einem Teilchen legt Ergebnis für das andere fest, auch wenn dieses raum-zeitlich getrennt ist, d.h. keine Information mit Lichtgeschwindigkeit
ausgetauscht werden konnte. Nicht-lokal, die 2.
• Aber: Kein Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie, lokal, die 1., da
keine Information übermittelt werden kann
• EPR: Da Teilchen separiert, kann es keine Beeinflussung der Teilchen geben.
Deshalb müssen die Werte von Sx , Sz , usw. schon vor der Messung festgelegen
haben.
18
Fehlender Artikel wird auf schlechstes English des Russen Podolsky zurückgeführt
166
• Forderung nach einer vollständigeren (more complete) Theorie mit verborgenen
Parameter
11.2
Bell’sche Ungleichungen
Kausale Inferenz
• Beobachtbar sind nur Korrelationen
• Von Korrelationen auf Kausalitäten schließen geht nicht
• Aber man kann auf Grund von Korrelationen bestimmte Kausalstrukturen ausschließen: Kausale Inferenz
Zwei widerstreitende Theorien
• Einigt Euch auf ein Experiment
• Berechnet Vorhersagen basierend auf den beiden Theorien
• Am Ende entscheidet das Experiment :-)
Quantenmechanische Vorhersage:
• Messung Spinkomponente Sz1 des ersten Teilchens in z-Richtung
Messung Spinkomponente Sφ2 des zweiten Teilchen in Winkel φ zur z-Achse
• Falls erste Messung + ~2 ergibt, ist Sz2 notwendiger Weise − ~2 , Spinor:
0
χ− =
1
Koplanarer Spinoperator Ŝφ ist gegeben durch, erinnere Pauli-Spinmatrizen
~ cos φ sin φ
Ŝφ = Ŝz cos φ + Ŝx sin φ =
2 sin φ − cos φ
• Eigenvektoren von Ŝφ
| ↑i =
cos φ2
sin φ2
,
167
| ↓i =
− sin φ2
cos φ2
Entwicklung der Wellenfunktion χ− nach Eigenvektoren
φ cos φ2
φ − sin φ2
0
= sin
+ cos
1
sin φ2
cos φ2
2
2
• Damit Wahrscheinlichkeit, dass Messung an Teilchen 2 Spin up ergibt:
P++ (φ) = sin2
φ
2
Die anderen möglichen Ergebnisse
φ
P+− (φ) = cos2 ,
2
φ
P−+ (φ) = cos2 ,
2
P−− (φ) = sin2
φ
2
• Mittelwert des Produktes Sz1 Sφ2 : Kovarianzkoeffizient C(φ)
~2
(P++ (φ) − P+− (φ) − P−+ (φ) + P−− (φ))
8 ~2
2 φ
2 φ
− cos
=
sin
4
2
2
2
~
CQM (φ) = − cos(φ)
4
CQM (φ) =
(76)
Vorhersage von Theorien verborgener Parameter
• Parameter λ legt Werte von Sz1 und Sφ2 fest
• Jedes Teilchenpaar hat bestimmten Wert von λ, das einzige, was wir darüber
wissen:
Z
dλ p(λ) = 1
• Kovarianzkoeffizient:
Z
Chv (φ) =
dλ p(λ)Sz1 (λ)Sφ2 (λ)
• Betrachte weiteres Experiment mit Winkel θ zur z-Achse
Z
C(φ) − C(θ) =
dλ p(λ)(Sz1 (λ)Sφ2 (λ) − Sz1 (λ)Sθ2 (λ))
168
Es muss gelten
Sφ1 (λ) = −Sφ2 (λ),
Sθ1 (λ) = −Sθ2 (λ)
Damit
Z
C(φ) − C(θ) = −
~2
4Z
mit (Sφ1 (λ))2 =
C(φ) − C(θ) = −
dλ p(λ)Sz1 (λ)(Sφ1 (λ) − Sθ1 (λ))
4
dλ p(λ)Sz1 (λ)Sφ1 (λ) 1 − 2 Sφ1 (λ)Sθ1 (λ)
~
• Betragsmässige Abschätzung
Z
4
|C(φ) − C(θ)| ≤ dλ p(λ)|Sz1 (λ)Sφ1 (λ)| 1 − 2 Sφ1 (λ)Sθ1 (λ)
~
• Mit |Sz1 (λ)Sφ1 (λ)| =
~2
4
und Sθ1 (λ) = −Sθ2 (λ)
2
Z
~
− Sφ1 (λ)Sθ1 (λ)
|C(φ) − C(θ)| ≤
dλ p(λ)
4
Z
~2
=
+ dλ p(λ)Sφ1 (λ)Sθ2 (λ)
4
Damit
|Chv (φ) − Chv (θ)| − Chv (θ − φ) ≤
~2
4
(77)
die Bell’sche Ungleichung
• Folgt notwendig aus jeder lokalen, deterministischen, realen Theorie verborgener Parameter
Vergleich mit Vorhersage der Quantenmechanik. Betrachte Fall: θ = 2φ
• Gl. (76) ergibt:
CQM (φ) = −
~2
cos φ,
4
CQM (θ) = −
~2
cos 2φ
4
In Gl. (77) eingesetzt
~2
~2
(| cos φ − cos 2φ| + cos φ) ≤
4
4
169
• Für 0 ≤ φ ≤ π ist die Ungleichung verletzt, maximale Verletzung bei φ = π/3,
Cosinus-Terme ergeben dort 3/2.
• Ergo: Quantenmechanik im Widerspruch zu verborgenen Parametern
Vergleich mit dem Experiment
• Freedman, Clauser, 1972: Erster Bericht über Verletzung der Bell’schen Ungleichung
• Aspect, 1982: Deutlicher Hinweis auf Verletzung
• Kritik an den Experimenten: Loopholes
– Effizienz der Detektoren
– wirkliche raum-zeitliche Trennung der Detektoren
• Final ausgeräumt Dezember 2015
170
Lessons learned:
• Quantenmechanische Messungen stellen Eigenschaften nicht fest, sondern her
• Wir stehen selbst enttäuscht und sehn betroffen
den Vorhang zu und alle Fragen offen
Bertolt Brecht: Der gute Mensch von Sezuan
174