Vorlesungsskript - walser-h-m.ch

Hans Walser
Raumgeometrie
Modul 1
Der Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
ii
Inhalt
1 Zeichnen von Würfeln ................................................................................................ 1 1.1 Würfel im Karonetz ............................................................................................. 1 1.1.1 Der 2-1-1-Würfel ....................................................................................... 1 1.1.2 Der 5-3-2-Würfel ....................................................................................... 1 1.1.3 Autostereogramm ...................................................................................... 2 1.2 Kavalierperspektive und Militärperspektive ....................................................... 3 1.2.1 Kavalierperspektive ................................................................................... 3 1.2.2 Militärperspektive ...................................................................................... 3 1.2.3 Was sehen wir eigentlich? ......................................................................... 4 1.2.4 Sichtbarkeit ................................................................................................ 5 1.3 Axonometrische Darstellung ............................................................................... 5 1.3.1 Isometrische Axonometrie ......................................................................... 5 1.3.2 Dimetrische Axonometrie .......................................................................... 7 1.3.3 Allgemeiner Fall: Verkürzungsverhältnis gegeben ................................... 9 1.3.4 Theoretischer Hintergrund ....................................................................... 10 2 Symmetrieebenen im Würfel .................................................................................... 14 2.1 Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen ............................................... 14 2.2 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel dazu .... 15 2.3 Alle Symmetrieebenen des Würfels .................................................................. 16 3 Konstruktionen im Würfel ........................................................................................ 17 3.1 Schnitt zweier Ebenen ....................................................................................... 17 3.2 Schnitt einer Ebene mit einer Geraden .............................................................. 18 Modul 1 für die Lehrveranstaltung: Raumgeometrie
Sommer 2000 Erstausgabe
Sommer 2002 Neue Moduleinteilung, Ergänzungen und Fehlerkorrekturen
Sommer 2003 Geringfügige Überarbeitung
Sommer 2004 Grafische Überarbeitung, Ergänzungen
Sommer 2005 Ergänzungen und Kürzungen
Sommer 2006 Geändertes Layout. Fehlerkorrekturen, MathType
Sommer 2007 Geändertes Layout. Erweiterungen und Kürzungen
Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitung
Frühjahr 2010 Formale Änderung. Grafische Überarbeitung
last modified: 9. Mai 2014
Hans Walser
Mathematisches Institut, Uni Basel
www.walser-h-m.ch/hans/
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
1
1 Zeichnen von Würfeln
1.1 Würfel im Karonetz
Wir wollen mit möglichst wenig Aufwand unter Verwendung eines Karopapiers einen
Würfel zeichnen.
1.1.1 Der 2-1-1-Würfel
Bild eines Würfels
1.1.2 Der 5-3-2-Würfel
Bild eines Würfels
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
2
1.1.3 Autostereogramm
Wir zeichnen nebeneinander einen 10-2-2-Würfel (links) und einen 10-3-2-Würfel
(rechts).
Bild von zwei Würfeln
Betrachten wir den linken Würfel mit dem linken Auge und den rechten Würfel mit
dem rechten Auge und schauen "durch das Bild hindurch", so taucht in der Mitte das
dreidimensionale Bild eines Würfels auf. Die äußeren Würfelbilder verschwimmen.
Wenn es nicht klappt: Üben, üben, üben ;-).
Autostereogramm
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Autostereogramm/Autostereogramm.htm
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Autostereogramm/Autostereogramm.pdf
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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1.2 Kavalierperspektive und Militärperspektive
1.2.1 Kavalierperspektive
Die Parameter α und q sind frei wählbar. Häufig werden die Werte α = 45° und q =
verwendet.
Frontquadrat
q
1
Kavalierperspektive
1.2.2 Militärperspektive
Bodenquadrat
q
1
Militärperspektive
1
2
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
4
Andere Disposition:
Grundriss unverzerrt
Richtung der z-Achse
senkrecht
Militärperspektive
Andere Disposition
Die Militärperspektive diente zur Darstellung von flächenmäßig ausgedehnten Anlagen,
zum Beispiel Festungen. Sie wird heute gelegentlich bei 3D-Stadtplänen verwendet.
1.2.3 Was sehen wir eigentlich?
Das folgende Beispiel verdanke ich Frantisek Kurina. Das folgende Bild kann als Würfel in Militärperspektive interpretiert werden.
Würfel?
Bei anderer Interpretation der Punkte und Kanten kann ein anderer Körper gesehen
werden:
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
5
z
x
y
Andere Interpretation
1.2.4 Sichtbarkeit
Sichtbarkeit
1.3 Axonometrische Darstellung
Das Verkürzungsverhältnis r : s : t gibt an, wie in der Darstellung des räumlichen Koordinatensystems die Einheiten auf der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse verkürzt
werden.
1.3.1 Isometrische Axonometrie
Bei der isometrischen Axonometrie ist das Verkürzungsverhältnis r : s : t = 1 :1 :1 .
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
6
Raster für isometrische Axonometrie
Im Unterricht kann mit Rhomben mit einem spitzen Winkel von 60° ein Legespiel verwendet werden, das - neben anderen Figuren - die spielerische isometrische Darstellung
von Würfeln erlaubt.
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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Legespiel
Unmögliche Figuren
1.3.2 Dimetrische Axonometrie
Bei der dimetrischen Axonometrie ist das Verkürzungsverhältnis r:s:t = 1:2:2 . Wir
zeichnen zunächst ein passendes Koordinatensystem.
Rezept 1 (exakt): Wir zeichnen zunächst ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 2:2:3. Die y-Achse und die z-Achse liegen auf den Schenkeln, die x-Achse
auf der Symmetrieachse dieses Dreieckes. Das Verkürzungsverhältnis r:s:t = 1:2:2
dient zum Einzeichnen der Einheiten auf den Achsen.
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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z
1
3
2
1
2
y
1
1
x
Dimetrische Axonometrie, exaktes Rezept
Rezept 2 (approximativ): Wir arbeiten mit den angegebenen Winkeln.
z
1
7,18°
41,41°
1
1
y
x
Dimetrische Axonometrie, handwerkliches Rezept
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
9
In das Koordinatensystem der dimetrischen Axonometrie kann nun der Einheitswürfel
eingezeichnet werden.
z
1
1
y
1
x
Einheitswürfel
1.3.3 Allgemeiner Fall: Verkürzungsverhältnis gegeben
2
2
2
2
Wir zeichnen ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis r :s :t so, dass die zu t gehörige
Seite waagrecht liegt. Die Spitze dieses Dreieckes wird zum Koordinatenursprung. Die
z-Achse steht senkrecht, die x-Achse und die y-Achse ergeben sich als Winkelhalbierende zwischen der Horizontalen und der beiden Schrägseiten des Dreieckes. Die Einheitslängen müssen im Verhältnis r:s:t abgetragen werden.
Wir illustrieren das Vorgehen am Beispiel r:s:t = 4:5:6 .
6
1,6
4
2,5
3,6
Allgemeines Vorgehen
5
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
10
Nun kann der Einheitswürfel eingezeichnet werden.
Einheitswürfel
1.3.4 Theoretischer Hintergrund
1.3.4.1 Disposition
! !
!
Wir denken uns drei paarweise orthogonale Einheitsvektoren a , b und c gemäß Figur.
Die eingezeichneten Winkel ϑ und ψ werden als EULERsche Winkel bezeichnet.
ζ
!
c ϑ
!
c
!
a
ψ
ϑ
!
b
EULERsche Winkel
! !
!
Für die drei Einheitsvektoren a , b und c erhalten wir im kartesischen ξ , η, ζ -System
die Darstellungen:
⎡ sin (ψ ) cos (ϑ ) ⎤
⎡ cos (ψ ) cos (ϑ ) ⎤
⎡ sin (ϑ ) ⎤
! ⎢
⎥ ! ⎢
⎥ ! ⎢
⎥
a = ⎢ − cos (ψ ) ⎥ , b = ⎢
sin (ψ )
⎥, c = ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ − sin (ψ ) sin (ϑ ) ⎥⎦
⎢⎣ − cos (ψ ) sin (ϑ ) ⎥⎦
⎢⎣ cos (ϑ ) ⎥⎦
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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1.3.4.2 Projektion auf die Aufrissebene
Diese drei Vektoren denken wir uns als Basisvektoren eines räumlichen kartesischen
x,y,z-Systems. Uns interessiert nur die ”Ansicht” im kartesischen ξ , η, ζ -System, also
die Orthogonalprojektion auf die η, ζ -Ebene, die so genannte Aufrissebene. Dafür erhalten wir:
0
0
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ 0 ⎤
!
⎢
⎥ !
⎢
⎥ !
⎢
⎥
a′′ = ⎢ − cos (ψ ) ⎥ , b′′ = ⎢
sin (ψ )
⎥ , c′′ = ⎢ 0 ⎥
⎢⎣ − sin (ψ ) sin (ϑ ) ⎥⎦
⎢⎣ − cos (ψ ) sin (ϑ ) ⎥⎦
⎢⎣ cos (ϑ ) ⎥⎦
Bei vorgegebenen EULERschen Winkeln ϑ und ψ können wir damit die Ansicht des
! !
!
durch die drei Einheitsvektoren a , b und c aufgespannten kartesischen x,y,z-Systems
in der η, ζ -Ebene zeichnen.
1.3.4.3 Komplexe Zahlenebene
In unseren Beispielen waren aber nicht die beiden Eulerschen Winkel ϑ und ψ gege! !
!
ben, sondern das Verkürzungsverhältnis r : s : t = a′′ : b′′ : c′′ . Zur Bearbeitung dieses
Problems interpretieren wir die η, ζ -Ebene als komplexe Zahlenebene mit der η -Achse
als reeller und der ζ -Achse als imaginärer Achse. Ferner definieren wir die den Vekto! !
!
ren a′′ , b′′ und c′′ entsprechenden komplexen Zahlen:
a = − cos (ψ ) − i sin (ψ ) sin (ϑ )
r= a
b = sin (ψ ) − i cos (ψ ) sin (ϑ )
s= b
c = i cos (ϑ )
t= c
Komplexe Zahlen
Damit gilt zunächst:
a 2 = ( cos (ψ )) − ( sin (ψ )) ( sin (ϑ )) + 2i cos (ψ ) sin (ψ ) sin (ϑ )
2
2
2
b 2 = ( sin (ψ )) − ( cos (ψ )) ( sin (ϑ )) − 2i sin (ψ ) cos (ψ ) sin (ϑ )
2
c2 =
a2 + b2 + c2 = 1
2
− ( cos (ϑ ))
−
1
2
2
+0
=0
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
2
2
12
2
2
2
2
Wegen a + b + c = 0 bilden die drei komplexen Zahlen a , b und c ein geschlos! !
!
senes Dreieck. Aus r : s : t = a′′ : b′′ : c′′ = a : b : c ergibt sich die Stimmigkeit der
oben beschriebenen Konstruktion. Die Achsenrichtungen ergeben sich als Argumente
2
2
von a , b und c ; diese Argumente sind je die Hälfte der Argumente von a , b und
c 2 . Deshalb muss mit Winkelhalbierenden gearbeitet werden.
1.3.4.4 Berechnung der Verkürzungen
Die Verkürzungen r = a , s = b und t = c können bei gegebenem Verkürzungsverhältnis r:s:t wie folgt berechnet werden:
Zunächst ist:
r 2 = a = ( cos (ψ )) + ( sin (ψ )) ( sin (ϑ ))
2
2
2
s 2 = b = ( sin (ψ )) + ( cos (ψ )) ( sin (ϑ ))
2
2
2
2
2
( cos (ϑ ))2
2
t2 = c =
2
2
2
Damit wird r + s + t = 2 . Das weitere Vorgehen erläutern wir am konkreten Beispiel
r:s:t = 4:5:6 .
2
2
2
Aus r:s:t = 4:5:6 folgt r = 4λ , s = 5λ und t = 6 λ mit λ > 0 . Aus r + s + t = 2 er2
2
2
halten wir 16 λ + 25λ + 36λ = 2 .
Damit ist λ =
2
77
≈ 0.16116 und r = 4λ ≈ 0.6446 , s = 5λ ≈ 0.8058 , t = 6 λ ≈ 0.9670 .
1.3.4.5 Berechnung der EULERschen Winkel
Zunächst ist t = cos(ϑ ) , also:
ϑ = arccos(t )
Setzen wir t = cos(ϑ ) in die Beziehung r 2 = ( cos (ψ )) + ( sin (ψ )) ( sin (ϑ ))
ergibt sich
2
(
)
r 2 = ( cos (ψ )) + ( sin (ψ )) 1 − t 2 ,
2
2
und weiter:
(sin (ψ ))2 = 1−rt 2
2
Somit ist:
2 ⎞
⎛
ψ = arcsin ⎜ 1−r2 ⎟
⎝ t ⎠
Im Beispiel r:s:t = 4:5:6 ergibt sich ϑ ≈ 14.763° und ψ ≈ 52.239° .
2
2
ein,
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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1.3.4.6 EULERsche Winkel und Maple
Das folgende Maple-Programm ergibt einen Würfel mit r:s:t = 4:5:6 und eine eingezeichnete Achtelskugel mit einer 10°-Teilung:
#Achtelskugel:
plot3d([cos(u)*cos(v), cos(u)*sin(v), sin(u)],
u = 0..Pi/2, v = 0..Pi/2, grid = [10, 10], color = blue, thickness = 2):
#Würfel:
plot3d({[1,u,v],[0,u,v],[v,1,u],[v,0,u],[u,v,1],[u,v,0]},
u = 0..1, v = 0..1, grid = [2,2], color = red, thickness =2):
plots[display3d]({",""}, style = wireframe, axes = none,
scaling = constrained, orientation = [37.76, 75.24]);
Würfel mit Orientierungskugel
Wir entnehmen der Figur:
Maple:
Theta = 37.76° = Geogr. Länge
Phi
= 75.24° = Poldistanz
EULERsche Winkel für r:s:t = 4:5:6 sind:
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
ϑ = 14.76°
ψ = 52.24°
2 Symmetrieebenen im Würfel
2.1 Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen
Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen
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Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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2.2 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel
dazu
Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel dazu
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
2.3 Alle Symmetrieebenen des Würfels
Alle Symmetrieebenen, Sichtbarkeit
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Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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3 Konstruktionen im Würfel
3.1 Schnitt zweier Ebenen
Ebene ABC mit Ebene PQR schneiden
R
B
A
P
C
Q
Schnittgerade und Sichtbarkeit
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel
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3.2 Schnitt einer Ebene mit einer Geraden
Ebene ABC mit Gerade PQ schneiden
B
A
P
C
Q
Durchstoßpunkt