Sportaufgabe
Werbung
Lösungen zur Sport-Aufgabe Aufgabe a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass England, Japan, Nigeria und die Schweiz einer Gruppe zugelost werden? Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn Südafrika, Australien, Paraguay und Mexiko in einer Gruppe spielen sollen? Für England, Japan, Nigeria und die Schweiz ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,1254=0,0002441 Für die andere Gruppe ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null, weil die Anforderungen der FIFA nicht erfüllt werden. Aufgabe b) Die Gruppen stehen fest. Orakel Paul (der Krake) hat vorhergesagt, dass Deutschland und Frankreich im Finale aufeinander treffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul recht hat? Wir nehmen in dieser Lösung an, dass es rein zufällig ist, welche Mannschaft in einem Spiel gewinnt. Wenn man andere Erfahrungswerte hinzuziehen möchte, ist das natürlich auch möglich. Es gibt nur zwei Ausgangssituationen für das Achtelfinale, sodass Deutschland und Frankreich im Achtelfinale aufeinander treffen. Entweder müssen Deutschland und Frankreich beide auf dem ersten Platz der Gruppenplatzierung landen oder beide auf dem zweiten Platz. Diese Situation kann man mit dem folgenden Baumdiagramm darstellen: 1 1 1 ⋅ = 4 4 16 1 1 1 ⋅ = 4 4 16 Dass die Ausgangssituation „Deutschland, 1. Platz und Frankreich, 1. Platz“ eintrifft, 1 1 1 erfolgt also mit der Wahrscheinlichkeit P(A1) = 4 ∗ 4 = 16 . Dass die Ausgangssituation „Deutschland, 2. Platz und Frankreich, 2. Platz“ eintrifft, 1 1 1 erfolgt ebenso mit der Wahrscheinlichkeit P(A2) = 4 ∗ 4 = 16 . Wir betrachten nun den Fall, dass Deutschland und Frankreich beide auf dem ersten Platz der Gruppe sind. Für den zweiten Fall berechnet sich analog die gleiche Wahrscheinlichkeit. Achtelfinale 1.Gruppe A: Frankreich 2.Gruppe B Viertelfinale ½ Halbfinale Finale Frankreich 1.Gruppe C 2.Gruppe D ½ Frankreich ½ 1.Gruppe E 2.Gruppe F 1.Gruppe G 2.Gruppe H 1.Gruppe B 2.Gruppe A Frankreich Deutschland ½ 1.Gruppe D: Deutschland 2.Gruppe C Deutschland ½ Deutschland ½ 1.Gruppe F 2.Gruppe E 1.Gruppe H 2.Gruppe G Die Wahrscheinlichkeit, dass Frankreich und Deutschland im Finale aufeinandertreffen, wenn beide als Gruppensieger aus der Gruppenphase kommen 1 3 1 3 1 1 1 beträgt P (B1) = ∗ = ⋅ = . 2 2 8 8 64 Die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt sich im Fall, dass Frankreich und Deutschland 1 3 1 3 1 1 1 beide auf dem zweiten Platz ihrer Gruppe sind: P (B2) = ∗ = ⋅ = . 2 2 8 8 Daraus ergibt sich folgender Baum, der das gesamte Problem erfasst: 64 Und damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit: P A1 ⋅P B1 P A2 ⋅P B2 = 1 1 1 1 1 1 ∗ ∗ =2⋅ = . 16 64 16 64 1024 512 Aufgabe c) Der Fußball hat einen Umfang von 68–70 cm und ein Gewicht von 410–450 g. Beim Rugby gibt es Bälle in fünf Größen. Größe 5 ist dabei die, mit der üblicherweise im Erwachsenenrugby gespielt wird. Länge: 280– 300 mm, Längsumfang: 760–790 mm, Querumfang: 580–620 mm, Gewicht: 400–440 g. Bestimmen Sie einen idealen Näherungswert für das Volumen eines Rugbyeies. Rotationskörper Wir überlegen uns, den Rugbyball durch einen Rotationskörper einer quadratischen Funktion darzustellen. Der Hochpunkt der Funktion soll dabei bei x=0 liegen. Aus den oben stehenden Angaben lassen sich damit folgenden Punkte finden: P1=(-150|0) und P2=(150|0) Den Hochpunkt können wir mit Hilfe des Querumfangs schätzen. Bei einem Rugbyei handelt es sich um ein verlängertes Rotationsellipsoid. Nimmt man den Querschnitt, erhält man also einen Kreis . Von diesem Kreis kennen wir den Umfang: 620mm. Dem Umfang eines Kreises kann man mit der Formel Somit erhalten wir U =⋅2r berechnen. 620 mm=⋅2 r ⇔ 310 mm=⋅r ⇔ r≈99mm für den Radius und damit 99mm für die halbe Tiefe des Balls. Also ergibt sich die dritte Koordinate P3= (0|100). Um einen Näherungswert mit diesen Daten zu finden, kann man beispielsweise eine Funktion 2. Grades ansetzen: f ( x) ax 2 bx c Daraus ergibt sich: (-150/0) 0=22500a−150bc (150/0) 0=22500a150bc (0/100) 100=c Dadurch ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem: I :0=22500a −150bc II : 0=22500a150bc III :100=c Durch Einsetzen von c in I und II ergibt sich: I :0=22500a −150b100 II : 0=22500a150b100 Durch die Anwendung des Additionsverfahrens erhält man: I II : 0=45000a200 ⇔ −200=45000a ⇔ − 1 =a . 225 Durch Einsetzen von a in I ergibt sich: I :0=22500⋅− 1 −150 b100 ⇔ 0=−100−150 b100 ⇔ 0=−150 b ⇔b=0 225 Aus diesem LGS ergibt sich also folgende Funktion: f x =− 1 2 x 100 225 Um das Volumen des Rugbieies zu bestimmen, wird der entsprechende Rotationskörper berechnet: −150 V = ∫ f x 2 dx 150 −150 V = ∫ 150 −150 V = 2 1 2 − x 100 dx 225 ∫ 150625 x 4−89 x 210000 dx 150 150 1 5 8 3 V =[ x − x 10000x] 253125 27 −150 1 8 1 8 V = ⋅1505 − 150310000⋅150− −1505− −150310000⋅−150 253125 27 253125 27 V =300000−10000001500000300000−10000001500000 V =⋅400000 V ≈1256637 Das Volumen beträgt also ungefähr 1256637 mm³, d.h. ca. 1,25 Liter. Aufgabe d) Warum ist der „Spielball“ eiförmig? Wäre eine andere Form bei gleichbleibendem Volumen besser? Der Ball ist wegen der Aerodynamik eiförmig. Eine andere Form würde diese einschränken und wäre deswegen nicht unbedingt besser. Außerdem ist die Form gut greifbar, da sich der Ball an die Hand anschmiegt.
