Skript Datei - Moodle ZHAW

Physik 2
Institut für Angewandte Simulation
Autor:
Olivier Merlo
Datum:
16.2.2017
Version:
1
Studiengang:
Chemie
Zürcher Fachhochschule
Das Skript: Dieses Skript wurde von Olivier Merlo geschrieben und wurde im Laufe der Jahre immer wieder überarbeitet. © 2016, Olivier Merlo, ZHAW. Dieses Skript darf ganz oder in Teilen weitergegeben und nicht kommerziell verwendet werden, wobei dieser Copyright‐Vermerk mitkopiert werden muss. Kommerzielle Verwendung nur mit Bewilligung des Autors. Sowohl Olivier Merlo als auch die ZHAW lehnen jegliche Haftung ab für Schäden, die sich aus der Verwendung dieses Skriptes ergeben. Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Prüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
2 Felder
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Eigenschaften von Feldlinien . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Berechnung von Feldlinien . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Kraftfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Gravitationsfeld mehrerer Massen (Superposition)
2.6.2 Gravitationspotential . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Kraft auf ein geladenes Teilchen . . . . . . . . . .
2.7.4 Magnetisches Moment µ . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.6 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.7 Energie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.8 Elektromagnetischer Schwingkreis . . . . . . . . .
2.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
7
7
8
9
10
12
12
12
13
14
18
19
27
29
29
31
33
36
37
37
3 Optik
3.1 Historischer Rückblick . . . . . . . . . . . . .
3.2 Wellenphänomene . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Wellengeschwindigkeit c . . . . . . . .
3.2.2 Die harmonische Welle . . . . . . . . .
3.2.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Huygen’sches Prinzip . . . . . . . . .
3.2.5 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Dopplereﬀekt . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Stehende Wellen und Eigenschwingung
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39
39
39
40
42
44
46
48
49
59
59
3
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4
INHALTSVERZEICHNIS
3.3
3.4
3.5
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Herstellung von polarisiertem Licht
Lichtquellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Thermische Strahler . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
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61
63
63
66
Kapitel 1
Vorwort
1.1
Allgemeines
Das Ziel dieses Kurses ist, in zwei Semestern á je 4 Lektionen einen Einblick zu
erhalten in das, was Physik ist und was sie leisten kann für ein tieferes Verständnis von Phänomenen und Prozessen der unbelebten Natur und der Technik.
Die Auswahl der Inhalte ist notwendigerweise sehr beschränkt und subjektiv.
Wer das Programm durchgearbeitet hat, sollte aber in der Lage sein, sich später
im Selbststudium auch andere Inhalte anzueignen.
Das vorliegende Skript soll die Vorlesung begleiten und von der Schreiberei
entlasten. Es ist nicht zum Selbststudium geeignet. Für das Selbststudium sind
die Gruppenarbeiten gedacht. Diese Arbeiten werden im Studio unter Begleitung begonnen und anschliessend selbstständig fertiggestellt. Die Anleitungen
zu den Gruppenarbeiten enthalten weitere Grundlageninformationen. Die Inhalte der Gruppenarbeiten gehören ebenfalls zum Prüfungsstoﬀ.
Auf folgende Lehrbücher habe ich mich gestützt.
1. H. Wegener: Physik für Hochschulanfänger, Teubner Studienbücher
2. Feynman , Vorlesungen über Physik, Band 2, Oldenbourg Verlag
3. D.J. Griﬃths, Introduction to electrodynamics, Prentice Hall
Die folgenden Lehrbücher halte ich für das Selbststudium als geeignet.
1. Harten, Physik Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Verlag
2. Haliday und Resnick, Physik Bacheloredition, Wiley Verlag
Physik betreiben heisst zuerst einmal beobachten, was in der unbelebten Natur passiert (Phänomene). Nach Möglichkeit werden dazu Experimente eingesetzt. Im Experiment wird ein materielles System aufgebaut und seine Reaktion
auf wohldeﬁnierte Beeinﬂussung von aussen untersucht. Man geht den Phänomenen auf den Grund, indem man Grundgesetze postuliert, mit deren Hilfe
5
6
KAPITEL 1. VORWORT
dann die Beobachtung erklärt werden können. So wird ein Modell der Wirklichkeit aufgebaut. Das Modell hat immer einen mathematischen Aspekt, und
der Test für seine Brauchbarkeit besteht in der qualitativen und quantitativen
Übereinstimmung von berechnetem und beobachtetem Verhalten.
1.1.1
Prüfungen
Das Wissen über den Inhalt dieses Kurses wird am Ende des Semesters bei
der Modulprüfung getestet. Die Modulprüfung wird zu 70% gewertet. Neben
dem Kurs wird in einem Labor in 3-5er Gruppen an verschiedenen Themen
gearbeitet. Diese Arbeiten dauern pro Thema ca. 3 Wochen. Jede Gruppe sendet mir anschliessend einen schriftliche Bericht im Format pdf pro Thema ab,
welcher spätestens 1 Wochen nach Ende der Arbeit an die e-Mail [email protected] gesandt wird. Die Durchschnittsnote dieser Arbeiten werden
dann zu 30% berücksichtigt. Wird die Arbeit zu spät eingereicht, so wird pro
Tag 0.2 Noten abgezogen.
Kapitel 2
Felder
2.1
Einführung
Im Alltag ist es üblich vom elektrischen Feld zu sprechen. Man denkt sich dabei, dass der ganze Raum erfüllt ist von einer Grösse die wir Feld nennen. Man
kann sich z.B. die Frage stellen, ob die Gravitation eine Eigenschaft des Raumes
ist. Anders ausgedrückt, besitzt der Raum die Eigenschaft eine Kraft auf einen
Probekörper auszuüben, unabhängig davon ob ein Probekörper im Raum ist
oder nicht? Wie wir sehen werden, kann man die Gravitation auf diese Weise
auﬀassen. Wir haben in Physik 1 die Punktmechanik, d.h. die Mechanik von
Punktmasse betrachtet. Bei Feldern besitzt der ganze Raum überall diese Eigenschaft und daher wird hier von Kontinuumsphysik gesprochen.
2.2
Punktmechanik
Wir betrachten Punkte oder Körper und dazwischen ist leerer Raum. Typische
Beispiele davon sind der Massenpunkt oder auch die Punktladung. In diesen
Modellen wirkt die Kraft ohne zeitliche Verzögerung über beliebige Distanzen.
Diese Modelle sind erfolgreich, falls die Geschwindigkeiten v klein v ≪ c gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c sind und auch die Entfernung d zwischen
den Körpern muss klein sein dc ≪ 1.
2.3
Kontinuumsmechanik
In diesem Modellen existiert kein leerer Raum, sondern der Raum hat z.B. an
jedem Punkt eine gewisse Temperatur. Alles ist von sogenannten Fluiden erfüllt
und diese Fluide übertragen die Wechselwirkung mit einer gewissen Kraft.
Beispiel
Betrachten wir eine mit Wasser gefüllte Badewanne mit einem Schiﬀchen.
Falls wir an einer gewissen Entfernung vom Schiﬀ den Finger hinein stecke und
das System anregen, wird eine Welle ausgelöst, welche nach einer gewissen Zeit
7
8
KAPITEL 2. FELDER
Abbildung 2.1: Isobaren auf einer Wetterkarte
das Schiﬀ erreicht und dieses bewegt.
Die Vorstellung von einem Fluid musste im Fall von elektrischen und magnetischen Feldern aufgegeben werden (das Fluid wurde Äther genannt und
existiert nicht). In modernen Weiterentwicklungen der physikalischen Theorie
werden die Kräfte durch den Austausch von speziellen Teilchen vermittelt (z.B.
bei der elektromagnetischen Wechselwirkung: Photonen).
Die oben beschriebenen Methoden waren so erfolgreich in der Beschreibung
der Gravitation und des Elektromagnetismus, dass sie auch für andere Phänomene eingesetzt werden, in welcher eine Grösse im ganzen Raum verteilt ist.
Falls es sich bei der betrachteten Grösse um ein Skalar handelt redet man von
einem Skalarfeld. Handelt es sich aber um eine vektorielle Grösse wir von einem Vektorfeld gesprochen.
Beispiele
Skalarfeld
Temperatur
Dichte der Luft
Vektorfeld
Strömungsfeld in einer Flüssigkeit
Gravitation
Anmerkung
Historisch gesehen kommt vieles bei den Vektorfeldern aus der Strömungslehre. Daher sind fast alle Begriﬀe aus diesem Gebiet entlehnt. Mit der Vorstellung
einer Strömung kann vieles intuitiv verstanden werden.
2.4
Darstellung
Die Skalarfelder werden normalerweise durch Flächen gleicher Stärke dargestellt.z.B. Isobaren bei Wetterkarten (gleiche Höhe). Im Gegensatz dazu, werden
die Vektorfelder normalerweise durch Feldlinien dargestellt.
2.4. DARSTELLUNG
9
Abbildung 2.2: Feldlinien des Magnetfeldes eines Stabmagneten
Feldlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien (in der Regel gekrümmt),
die die Richtung der von einem Feld auf einen Testkörper ausgeübten Kraft
veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente gibt die Kraftrichtung
im jeweiligen Berührungspunkt an.
Beispiel
1. Das einfachste Beispiel ist das Gravitationsfeld einer Punktladung. Von
jedem Punkt im Raum zeigt die Kraft exakt in die Richtung der Punktmasse.
x
2. Betrachten wir einmal ein Feld, welches die Kraft F~ =
ausübt. Eine
y
Feldlinie konstruieren wir nun am einfachsten, indem wir einen Startpunkt
auswählen und anschliessend für diesen die Kraft berechnen. Nun folgen
wir ein kleines Stück dieser Richtung und wiederholen die Prozedur bei
diesem neuen Punkt.
2.4.1
Eigenschaften von Feldlinien
Globale Eigenschaften
1. Die Feldlinien können sich nicht schneiden. Warum können sie dies nicht?
Geben sie einen physikalischen Grund an!!
2. Feldlinien können an einem Ort ’entspringen’, dies wird eine Quelle genannt. Geben sie ein typisches Beispiel an. Sie können auch an einem
Punkt Enden (senken).
3. Feldlinien können auch geschlossen sein (Wirbel).
Zeichnen sie Feldlinien mit Quellen, Senken und Wirbeln. Beschreiben sie
die Bewegung von einem Testkörper in diesem Vektorfeld (Richtungen).
10
KAPITEL 2. FELDER
~v
A
α
~
dA
Abbildung 2.3: Der Fluss von Wasser mit der Geschwindigkeit ~v durch die Fläche
A.
lokale Eigenschaften
Die Richtung von einem Vektor enthält nicht die ganze Information der Kraft,
daher reicht es nicht in einem Plot nur die Feldlinien wie oben beschrieben einzutragen. Die Dichte der Feldlinien in einem solchen Plot ist ein Mass für den
Betrag der vektoriellen Grösse. Die Feldlinien so zu zeichnen, dass sie diese Eigenschaften erfüllen ist nicht immer ganz einfach.
Diese Feldliniendichte ist dann aber nur ein Mass für etwas sehr lokales.
Betrachten wir dazu das Beispiel von ﬂiessendem Wasser in einem Rohr. Wir
können uns nun fragen, wieviel Wasser pro Sekunde durch das Rohr mir Querschnittsﬂäche A ﬂiesst. das kann man mathematisch allgemein in einfacher Weise schreiben. Leider ist die Berechnung für einen konkreten Fall normalerweise
nicht so einfach.
R
~
φ(A) = (~v , dA)
A
~ ist dabei so deﬁniert, dass er senkrecht zur Fläche dA ist und
Der Vektor dA
dass der Betrag genau derjenigen Fläche dA entspricht. Die Geschwindigkeit des
Wassers ~v ist dann immer ein Vektorfeld (siehe Abbildung 2.3). Diese Grösse
φ(A) wird für alle Vektorfelder Fluss durch die Fläche A genannt.
Für die Interpretation der Plots ist es wichtig zu wissen, dass der Fluss φ(A)
proportional zu der Anzahl Feldlinien durch die Fläche A ist.
2.4.2
Berechnung von Feldlinien
Die Feldlinien können mithilfe einer Diﬀerentialgleichung berechnet werden. Diese Diﬀerentialgleichungen können wir aber üblicherweise nicht von Hand lösen,
daher müssen wir, wie um 1. Semester, diese mithilfe einer nummerischen Integrationsmethode lösen. Wir wählen die einfachst mögliche dieser Methode, also
Euler.
Wir
nun die ersten paar Schritte einer Feldlinie, welche am Punkt
berechnen
5
~r0 =
startet. Die Kraft ist tangential an die Feldlinie, daher interes5
11
2.4. DARSTELLUNG
8
7
6
y
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Abbildung 2.4: Einige Feldlinien des ‘künstlichen‘ Feldes.
siert uns nur die Richtung der Kraft. Um schöne Feldlinien zu erhalten werden
wir die Einheitsvektor der Kraft benutzen. Eine Feldlinie wird nun durch das
folgendermassen iterative Schema konstruiert.
1. Berechnung der Kraft F~i am Punkt ~ri .
2. Berechnung des Einheitsvektors der Kraft. ~ei =
~i
F
|F~i |
3. Wir gehen nun vom Punkt ~ri ein kleines Stück in Richtung der Kraft.
~ri+1 = ~ri + ~ei · ∆.
Diese Iteration führt man so oft wie gewünscht aus. Dabei wählt man die
Schrittweite ∆ so, dass man schöne Kurven bekommt. In der folgenden Tabelle
sind die ersten paarZeilen, der
Berechnung der Feldlinie für ein völlig unphysi1
−
x
kalisches Feld F~ =
enthalten. Wir haben zur Vereinfachung ∆ gleich
x−y
1 gewählt, welches eigentlich viel zu gross ist.
Einheitsvektor
neuer
Ort
Kraft
Ort
5
−4
−1
4
0
5 0 5 4
−3
−0.949
3.051
5
−1
−0.316
4.684 3.051
−2.051
−0.782
2.269
4.684
−1.632
−0.623
4.061
Im folgenden Graphen (siehe Abbildung 2.4) sind ein paar Feldlinien des
Vektorfeldes eingezeichnet. Dabei wurde eine deutlich kleinere Schrittweite als
oben gewählt.
12
KAPITEL 2. FELDER
2.5
Kraftfeld
Die ganze Idee wird am Beispiel der Gravitationskraft beschrieben, aber die genau gleiche Idee wird auch zur Beschreibung von elektrischen oder magnetischen
Feldern benutzt.
2.5.1
Gravitationsfeld
Wir betrachten 2 Massen die sich gegenseitig anziehen. Mit der Feldidee wird
die Symmetrie zwischen dem Teilchen 1 und dem Teilchen 2 gebrochen. Typischerweise betrachtet man eine grosse Masse m als die felderzeugende Masse
(auf der Erde z.B. die Masse der Erde). Sie gibt dem Raum die Eigenschaft
Kraft auf eine Masse. Hier muss betont werden, dass der Raum diese Eigenschaft besitzt, auch wenn keine Masse sich an dem Raumpunkt ~r beﬁndet. Die
kleine Masse mP wird Probemasse genannt. Da man immer die Wirkung auf
eine Probemasse betrachtet und das Gravitationsfeld unabhängig von der Pro~
bemasse mP seinsollte,
 macht es nur einen Sinn, das Gravitationsfeld G(~r) im
x
Raumpunkt ~r =  y  als die auf die Probemasse wirkenden Kraft F~ dividiert
z
durch die Probemasse zu deﬁnieren.
~ r ) :=
G(~
2.6
~grav
F
mP
Gravitationsfeld
Wie wir im Kurs Physik 1 gesehen haben, beschreibt die Gravitation die Kraftwirkung von 2 Punktmassen. Die Masse 1 (m1 ) sei an der Position ~r1 und die
Masse (m2 ) an der Position r~2 . Die Kraft von Teilchen 2 auf Teilchen 1 ist dabei
1 m2
durch F~21 = G |~rm−~
r2 − ~r1 ) gegeben. Die Kraft von Teilchen 1 auf Teilchen
3 (~
1 r2 |
2 ist dann natürlich wegen actio gleich reactio F~12 = −G m1 m2 3 (~r2 − ~r1 ).
|~
r1 −~
r2 |
1 ·m2
Der Betrag der Kraft beträgt F~12 = F~21 = G |~rm−~
2
1 r2 |
3
m
Die Gravitationskonstante G besitzt den Wert 6.672 · 10−11 kgs
2.
Die Gravitationskraft ist immer anziehend (es existieren keine Teilchen mit negativer Masse) und sie wirkt immer entlang der Verbindungslinie der beiden
Massen, da der Vektor (~r2 − ~r1 ) vom Teilchen 1 in Richtung von Teilchen 2
zeigt.


x0
Die Kraft von einer Punktmasse m, welche sich am Ort ~r0 =  y0  beﬁnz0
P
(~
r
−
~r) gegeben.
det, auf eine Probemasse mP am Ort ~r ist durch F~ = G |~m·m
0
r−~
r0 | 3
Damit ergibt sich das Gravitationsfeld einer Punktmasse an der Position ~r0 zu:
13
2.6. GRAVITATIONSFELD
~ r , ~r0 ) =
G(~
~
F
mP
m
= G |~r−~
r
0|
3
(~r0 − ~r).
Im folgenden ist das Gravitationsfeld einer Punktladung in Koordinatenschreibweise angegeben.


x0 − x
m
~ r , ~r0 ) = G
 y0 − y 
G(~
3
((x−x0 )2 +(y−y0 )2 +(z−z0 )2 ) 2
z0 − z
Zeichnet dieses Vektorfeld! Wie nimmt die Feldliniendichte in Abhängigkeit
des Radiuses ab? (Der Betrag des Vektorfeldes nimmt proportional zu Abstand
zur Punktmasse im Quadrat ab und daher nimmt die Feldliniendichte auch
proportional zum Abstand im Quadrat ab.)
2.6.1
Gravitationsfeld mehrerer Massen (Superposition)
Wir haben im Kurs Physik 1 gesehen, dass sich Kräfte vektoriell addieren. Daher ist das gesamte Gravitationsfeld, welches von verschiedenen Massenpunkten
m1 , m2 , . . . an den Positionen ~r1 , ~r2 , . . . mit den Kräften F~1 (~r, ~r1 ), F~2 (~r, ~r2 ), . . .
auf eine Probemasse mP einwirkt, durch die Summe der einzelnen Gravitati~ i gegeben. Wir haben dabei angedeutet, dass die Kraft F~1 nicht nur
onsfelder G
von der Position ~r sondern auch von der Position der Masse 1 (~r1 ) abhängig ist.
~ r) =
G(~
~1 (~
~2 (~
F
r,~
r1 )+F
r,~
r2 )+...
mP
~ 1 (~r, ~r1 ) + G
~ 2 (~r, ~r2 ) + . . .
=G
Das aufsummieren der einzelnen Felder wird Superposition genannt. Dieses
wird nicht nur bei den Feldern benutzt, sondern z.B. auch beim Licht oder in
der Quantenmechanik.
Anmerkung
Das Gravitationsfeld einer kugelsymmetrische Massenverteilung wirkt ausserhalb ihrer selbst, wie wenn die gesamte Masse im Zentrum vereinigt wäre.
Dies ist ein Eﬀekt der 1/r2 Abhängigkeit der Gravitationskraft.
14
KAPITEL 2. FELDER
Feldlinien von einem Gravitationsfeld mit 2 Massen
2
1.5
1.5
1
1
y
y
Gravitationsfeld von 2 Massen
2
0.5
0.5
0
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
0
0.5
1
x
1.5
2
2.5
x
Abbildung 2.5: Das Gravitationsfeld und die
von 2 Massen, welche
Feldlinien
1
im Koordinatenursprung (m1 = 1) und bei
(m2 = 2) liegen.
0
Beispiel
Wir betrachten das Gravitationsfeld
von 2 Punktmassen
mit den Massen m1
0
1
resp. m2 und den Positionen ~r1 =
resp. ~r2 =
. Berechnen sie das
0
0
~ r )!
gesamte Gravitationsfeld G(~
~ r) = G
Die Lösung ist gegeben durch G(~
2.6.2
m1
3
(x2 +y 2 ) 2
−x
−y
+
m2
3
((x−1)2 +y 2 ) 2
Gravitationspotential
Wir interessieren uns für die Arbeit ∆W die gegen das Gravitationsfeld der
Masse m zu verrichten ist um eine Masse mP vom Punkt ~ra zum Punkt ~rb zu
verschieben. Sei dabei die Masse m im Koordinatenursprung, dann ist die zu
leistende Arbeit ∆W nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängig.
Somit ist die Arbeit ∆W gegeben durch
∆W = −
|~
Rrb | |~
ra |
|~
Rrb | ~
G(r),
d~r
F~ (r), d~r = −mP
|~
ra |
Man kann die Stammfunktion S(r) dieses Integrals bestimmen und die Integrationskonstante gleich 0 setzen. Dies führt auf den Begriﬀ des Potentials. Die
Integrationskonstante kann je nachdem auch anders gewählt werden.
1−x
−y
15
2.6. GRAVITATIONSFELD
Definition 2.1 (Potential Φ) Das Potential ist definiert als die Stammfunktion S(r) dividiert durch die Probemasse mP (Warum diese Division?)
Φ(~r) =
S(r)
mP
=−
R~r ~ r ), d~r
G(~
~
rr
Dies ist dann das Gravitationspotential an der Stelle ~r, welches immer relativ
zum einem Punkt (hier ~rr ) berechnet werden muss.
Die Potentialdifferenz gibt dann gerade die zu leistende Arbeit wieder um
die Masse m von der Position ~ra nach ~rb zu bewegen.
∆W = m∆Φ = Φ(|~ra |) − Φ(|~rb |)
Das Gravitationspotential einer Punktmasse ergibt sich dann zu:
Φ(r) = −
R∞ r
R∞
~ ′ ), dr~′ = − G m′2 dr′ = −G m
G(r
r
r
r
~ ist.
Wir haben dabei berücksichtigt, dass d~r antiparallel zu G
Anmerkung
1. Das Potentialfeld ist ein Skalarfeld; es enthält aber die gleiche Information wie das dazugehörende Vektorfeld (in diesem Fall das Gravitationsfeld). Dargestellt wird das Potentialfeld durch die Äquipotentialﬂächen.
Die Äquipotentialﬂächen sind diejenigen Flächen, welche alle das gleiche
Potential Φ0 besitzen Φ(r) = Φ0 . Bei einer Punktladung sind die Äquipotentialﬂächen durch Kugeloberﬂächen gegeben. Es gilt, dass die Feldlinien
senkrecht zu den Äquipotentialf̃lächen verlaufen.
2. Um das Vektorfeld aus dem Skalarfeld zu berechnen, muss das umgekehrte der Integration gemacht werden. Dies ist bei diesem Fall gegeben durch:

~ = −
G
∂Φ
∂x
∂Φ
∂y
∂Φ
∂z


Beispiel
Das Potential einer Punktmasse M im Punkte 0 ist gegeben durch Φ =
M
−G |~
r| . Daher ergibt sich ein Gravitationsfeld von
~ = G M3/2
G
|~
r|


−x
 −y 
−z
Beispiele
1. Wie ist das Gravitationspotential
von
2 Massen m1 , m2 , welche an den
0
1
Stellen ~r1 =
und ~r2 =
liegen, gegeben und warum? Wie
0
0
16
KAPITEL 2. FELDER
Gravitationspotential von 2 Massen
2
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
Abbildung 2.6: Die Äquipotentiallinien
von 2 Massen, welche im Koordinatenur
1
sprung (m1 = 1) und bei
(m2 = 2) liegen.
0
erhalte ich daraus das Gravitationsfeld?
Das Potential von 2 Punktladung ist durch die Summe der beiden einzel
Potentiale gegeben. Dies folgt weil die Stammfunktion einer Summe von
Funktionen gleich der Summe der Stammfunktionen ist.
m1
x2 +y22
Also gilt: Φ(r) = −G √
m2
.
(x−1)2 +y 2
− G√
Die Äquipotentiallinien
vom Beispiel in der Abbildung 2.5 ist in der folgenden Abbildung 2.6
abgebildet.
2. Homogenes Feld
0
−g
gegeben ist. Geben sie das Potential, die Äquipotentiallinien, und das Gravitationsfeld an. (Hinweis: Hier kann als Referenzpunkt nicht r = ∞ angenommen werden. Nehme einfach y = 0 als Referenzpunkt.)
Wir wissen, dass auf der Erdoberﬂäche die Kraft durch F~ = m
R0
Lösung: Φ(y) = − (−g)(−dy ′ ) = gy, die Äquipotentialﬂächen sind Flächen
y
0
~
gleicher Höhe und das Gravitationsfeld ist gegeben durch G =
−g
17
2.6. GRAVITATIONSFELD
Gravitionspotential für Linie
3
2
1
0
y
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Abbildung 2.7: Die Äquipotentiallinien von einem unendlich dünnen Stab.
3. Gravitationspotential von einem unendlich dünnen Stab
Wie ist das Gravitationspotential von einem unendlich dünnen Stab der
Länge 2L. Wir nehmen als erstes an, dass der Stab auf der y−Achse und
die Mitte vom Stab im Koordinatenursprung liegt. Da der Stab unendlich
dünn ist, besitzt er kein Volumen. Daher macht eine Volumendichte keinen Sinn. Wir nehmen nun an, dass er pro Länge eine konstante Dichte σ
besitzt.
σ=
m
2L
Ein Massenstück ist durch dm = σdl gegeben. Die Masse berechnet sich
RL
σdl = σ2L. Nun müssen wir uns nur daran erinnern, dass intezu m =
−L
grieren summieren bedeutet und dassdas Superpositionsprinzip gilt. Wir
x
wählen zuerst den Punkt ~r =
und nun hat das Massenstück an
y
0
der Position
das inﬁnitesimal kleine Potential dΦ = − √ 2Gσdl 2 .
x +(y−l)
l
Um das Potential vom ganzen Stab zu erhalten müssen wir über alle Massenstücke des Stabes, also von l = −L bis l = L addieren.
RL
R
Aus einem Tabellenwerk liest man, dass √a21+x2 dx =
−L
√
ln x+ x2 + a2 + c ist. Damitergibtsich ein Potential von Φ(~
r ) =
q
q
2
2
−σ ln L − y + x2 + (L − y) − ln L + y + x2 + (L + y)
. In
Gσdl
.
x2 +(y−l)2
−√
der Abbildung 2.7 sind die Potentiallinie eines solchen Feldes abgebildet.
18
KAPITEL 2. FELDER
2.7
Elektromagnetismus
Wir betrachten hier Kräfte die viel stärker sind als die Gravitationskraft und
zusätzlich existieren 2 ’Arten’ von Materie, die wir positiv und negativ nennen.
Gleiche Arten stossen einander ab und verschiedene Arten ziehen einander an.
Ein Haufen positiver resp. negativer Körper würde sich abstossen. Hingegen
würde eine ausgewogene Mischung aus beiden sich völlig anders verhalten. Die
entgegengesetzen Körper würden durch enorme Anziehung zusammen gehalten
werden.
Es gibt eine solche Kraft, nämlich die elektrische Kraft. Die gesamte ’Materie’
ist eine Mischung aus positiven Protonen und negativen Elektronen, die einander mittels dieser Kraft anziehen resp. abstossen. Das Gleichgewicht zwischen
negativer und positiver Art ist jedoch so vollkommen, dass wir nichts davon
spüren.
Wir betrachten nun was für eine Kraft ein geladenes Teilchen erfährt. Das
magnetische und das elektrische Feld bewirken eine Kraft auf ein geladenes
Teilchen. Wir werden im nächsten Abschnitt zuerst das elektrische und anschliessend das magnetische Feld näher betrachten.
Die elektrischen Felder werden durch Ladungen erzeugt, diese sind dem Gravitationsfeld ähnlich. Die magnetischen Felder werden durch einen Strom (also
ﬂiessende Ladung) oder magnetische Dipole (Magnet) erzeugt. Wir werden sehen, dass das magnetische Feld sehr verschieden zum elektrischen Feld ist. Die
grundlegenden Gleichungen die diese Phänomene beschreiben werden MaxwellGleichungen genannt. Es gibt 4 Stück davon, wobei diese in der sogenannten
integralen oder diﬀerentiellen Form geschrieben werden können.
Anmerkung
Bewegung ist nicht absolut; darum kann z.B. ein elektrostatisches Feld im
einen anderen Bezugssystem zu einer Kombination von elektrischem und magnetischem Feld in einem dazu bewegten System werden. Da die Ladung im
ersten Fall ruhend ist und im 2. Koordinatensystem sich in Bewegung beﬁndet.
kleiner geschichtlicher Rückblick
Maxwell hat die vorher unabhängigen Gebiete, die Eletrostatik und die Magnetostatik, in 4 Gleichungen zusammen gefasst. Er musste dazu einen dazumals unbekannten Term in die Gleichungen einführen, damit diese einen Sinn
ergaben. Damit wurde das erste Mal durch eine theoretische Überlegung eine
Gleichung aufgestellt. Zu dieser Zeit war der Zusammenhang zwischen Licht
und dem Elektromagnetismus nicht bekannt. Mittels dieser Gleichungen wurden elektromagnetische Wellen vorhergesagt und auch ca. 20 Jahre später durch
Hertz das erste Mal nachgewiesen.
Randbemerkung: In der heutigen Forschungslandschaft muss fast alles einen
unmittelbaren Nutzen haben (z.B. Nanotechnologie). Zu der damaligen Zeit
konnte sich niemand vorstellen, dass man mittels dieser Gleichungen einen Nutzen haben könnte.
19
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
-
+
Abbildung 2.8: Links ist das elektrische Feld einer positiven und rechts dasjenige
einer negativen Punktladung abgebildet.
Wir betrachten in diesen Kapiteln nur die Elektrostatik und Magnetostatik,
darunter versteht man in der Zeit konstante Felder. Zuerst werden wir nur Felder
im Vakuum betrachten.
2.7.1
Elektrische Felder
Wir ziehen die Analogie zu der Gravitation so weit, dass wir die Kraft zwischen
2 geladenen Teilchen analog zu derjenigen der Gravitation aufschreiben. Diese
Kraft wird Coulombkraft genannt.
Definition 2.2 (Coulombkraft F~C )
q1 q2
1
(~r1 − ~r2 )
F~C = 4πε
r −~
r |3
0 |~
2
1
In der Gleichung sind q1 und q2 die Ladungen der Teilchen und
übernimmt die Rolle der Gravitationskonstanten G. Die Konstante
ε0 = 8.854 · 10−12 VAs
m wird die Permittivität des Vakuums oder elektrische
Feldkonstante genannt. Der Vektor ~r21 muss so gewählt werden, dass sich die
beiden Teilchen bei Ladung mit gleichem Vorzeichen abstossen. Die Ladung
wird in der Einheit C Coulomb angegeben.
1
4πε0
Anmerkung
Die r12 Abhängigkeit der Kraft führt dazu, dass das elektrische Feld in einer
leitenden geladenen Hohlkugel überall gleich 0 ist. Dies konnte bis im Jahr 1970
1
bis auf die Abhängigkeit r2±1·10
−16 bestätigt werden.
20
KAPITEL 2. FELDER
Abbildung 2.9: Das Bild links zeigt das elektrische Feld einer Punktladung über
einer leitenden Oberﬂäche. Beim rechten Bild beachte man besonders die stärkeren Felder an der Spitze.
Eine wichtige Bemerkung
1. Die elektrischen Felder zeigen immer von der positiven zur negativen Ladung
Elektrisches Feld und Potential einer Punktladung
~ einer Punktladung q analog zur BeWir berechnen nun das elektrische Feld E
rechnung des Gravitationsfeldes (auch hier ist die Ladung q im Koordinatenursprung).
~ =
E
~C
F
qP
=
q
1
~r
4πε0 |~
r |3
Das Potential wird auch in Analogie zum Gravitationspotential geschrieben
als:
ΦE =
q
1
4πε0 |~
r|
Superposition
Wie bei der Gravitation gilt auch hier das Superpositionsprinzip.
Beispiele
1. Betrachte 2 Punktladungen die den Abstand 1 besitzen (2D). Zeichne die
Feldlinien für den Fall (a) q1 = q2 und (b) q1 = −q2 . Zeichne auch die
Senken und Quellen ein.
2. Zeichne die Äquipotentialﬂächen des obigen Beispiels.
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
21
3. Im folgenden Applet kann man das Ganze spielerisch erfahren. (Electric Field Hockey)
4. Im folgenden Applet sind elektrische Felder von verschiedenen Körpern
sichtbar. (Applet und alles in 3D 3D) oder auch auf Applet 2.
Maxwellsches Gesetz
Um zu dem Maxwell’schen Gesetz zu kommen, muss man den Fluss durch eine
Fläche berechnen. Ein allgemeines mathematisches Theorem sagt, dass dies bei
einem solchen Fall nicht auf die Form der Fläche darauf ankommt, sondern nur
was für Quellen und Senken vorhanden sind. Somit wählen wir die einfachste
Fläche für diesen speziellen Fall der Punktladung, nämlich eine Kugel mit Radius r.
R
~ dA
~ = 1 2 q 4πr2 = q0
φ(A) =
E,
4πε0 r
ε0
A
Die obere Gleichung ist exakt das Maxwell’sche Gesetz. (In Worten: Der
Fluss durch die Oberﬂäche ist die eingeschlossene Ladung q dividiert durch die
elektrische Feldkonstante ε0 .)
R
~ dA
~ = q0
E,
ε0
A
Mittels diesem Gesetz lassen sich die Felder einer unendlich langen geladenen
Drahtes oder auch von einer unendlich ausgedehnten geladenen Platte berechnen. Man geht dann davon aus, dass die Ladung gleichmässig auf dem Draht
resp. auf der Platte verteilt ist.
Zusätzlich wird immer davon ausgegangen, dass das Feld die gleiche Symmetrie wie der Körper besitzt. Genauer gesagt, dass das elektrische Feld auf einer
Fläche mit der gleicher Symmetrie dem Betrag nach konstant ist.
Anmerkung
Man kann z.B. um das elektrische Feld eines unendlich langen geladenen Leiters zu berechnen auch die Potentiale benutzen und dann über alle Ladungen
integrieren.
Das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten Platte
Die Symmetrie der Platte legt nahe, dass wir um den Fluss des Feldes zu
berechnen, zwei zur Platte parallele Flächen im Abstand d betrachten(Fläche
A). Der Fluss ist dann gegeben durch:
φ(d) = |E| · 2 · A.
Dies ist nun gerade gleich εq0 , wobei man üblicherweise nicht die Ladung
selber benutzt, sondern die Flächenladungsdichte σ = Aq . Man erhält also ein
homogenes Feld |E| = 2εσ0 , das heisst das Feld ist hier überall gleich gross. In
welche Richtung zeigt das Feld?
22
KAPITEL 2. FELDER
1
2
3
a
b
d
m, q, v
4
L1
L2
Abbildung 2.10: Schematischer Aufbau von einem herkömmlichen Fernseher.
Anmerkung
Betrachtet man nun 2 gleichgrosse entgegengesetzt geladene Platten, so
können nach dem Superpositionsprinzip die beiden elektrischen Felder der Platten vektoriell addiert werden. So erhält man, dass das elektrische Feld ausserhalb
der beiden Platten gleich 0 ist und zwischen
den Platten besitzt das Feld die
~
σ
doppelte Feldstärke von einer Platte. E = ε0
Beispiel
Ein schematischer Aufbau eines herkömmlichen Fernsehapparates ist in der
Skizze 2.10 abgebildet. Am linken Ende des Bereichs a, tritt ein Elektron mit
der Geschwindigkeit v = 0 ein. Die Flugbahn des Elektrons ist durch die ausgezogene Linie angezeigt. In den beiden Bereichen a und b wird ein konstantes
elektrisches Feld zwischen den Platten 1 und 2 (Feldstärke E1 ) und zwischen 3
und 4 (Feldstärke E2 ), wie in der Graﬁk angezeigt, angelegt.
1. Berechnen sie die Geschwindigkeit v1 nach der Beschleunigungsstrecke L1.
Nehmen sie dazu an, dass das Elektron die Masse m und die Ladung q besitzt und im Teil a durch ein konstantes elektrisches Feld (E1 ) beschleunigt
wird. q
Die Geschwindigkeit vor der Beschleunigung betrage v = 0. (Lösung:
v1 =
2qE1 L1
)
m
2. Im Teil b wirkt nun ein elektrisches Feld (E2 ), wie in der Graﬁk durch die
Pfeile angedeutet wird. Wie stark wurde das Elektron nach einer Strecke
E2 L22
)
L2 abgelenkt (∆)? (Lösung: ∆ = 4L1E
1
3. Könnte ein solcher Apparat als Massenspektrometer verwendet werden?
(Nein, da ∆ nicht von der Masse abhängig ist.)
23
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
Energiedichte im elektrischen Feld
Betrachten wir dazu den einfachsten Fall eines homogenen unendlich ausgedehnten elektrischen Feldes. Dieses kann zwischen 2 Platten eines Kondensators mit
Plattenabstand d und Oberﬂäche A liegen. Das elektrische Feld zwischen 2 Plat~ = σ.
ten mit entgegengesetzter Flächenladungsdichte σ ist gegeben durch E
ε0
Wir berechnen nun die Arbeit die frei wird, wenn wir die eine Platte mit der
anderen zusammenbringt (Eine Platte hat eine ﬁxe Position). Die
Arbeit
ist
R
~
entsprechend den Gravitationsfeldern gegeben durch ∆W = q
E, d~s . Wir
~ + der
müssen aber berücksichtigen, dass wir die Platte im elektrischen Feld E
anderen Platte bewegen.
∆W =
Rd 0
~ + , d~s = q ·E + ·d =
qE
q
A·ε0
·d·A·ε0 ·E + = E ·V ·ε0 ·E + = V
ε0 E 2
2
Diese Energie ist genauso gross wie die im Feld steckende Energie, da beim
zusammenbringen sich die Platten berühren und sich dann neutralisieren, sodass kein elektrisches Feld mehr vorhanden ist.
Dividiert man nun beide Seiten durch das Volumen V so erhält man eine
~ E
~)
ε0 (E,
Energie pro Volumen, die Energiedichte ω = W
.
V =
2
Diese Beziehung gilt nicht nur für den Fall des homogenen elektrischen Feldes sondern für alle möglichen elektrischen Felder. Will man nun die gesamte
Energie des elektrischen Feldes berechnen, so muss man das folgende Integral
ausrechnen.
E=
R
ω dV
Raum
Spannung
Für die Messtechnik ist der Begriﬀ der Spannung U von eminenter Bedeutung.
Um die Spannung zwischen 2 Punkten (Pt.1 und Pt.2) zu deﬁnieren, wählen wir
in einem elektrischen Feld zwei feste Punkte und verbinden diese durch irgendeine Kurve miteinander. Nun integrieren wir, wie bei der Arbeit entlang dieses
R2 ~ d~r . Dieses Integral hängt nicht vom Weg ab. Der einfachste
E,
Weges. U =
1
Fall ist wiederum derjenige eines konstanten elektrischen Feldes in Richtung des
Weges.
Die Spannung hängt in fast trivialer Weise mit dem Potential zusammen U =
Φ1 − Φ2 .
Beispiel
1. Betrachte ein homogenes elektrisches Feld E~0 in welchem wir den Weg
in Richtung des Feldes wählen. Wie gross
ist die Spannung U zwischen
~
den Punkten ~rb und ~ra ? (Lösung: U = E
|~rb − ~ra |)
24
KAPITEL 2. FELDER
2. Wir haben gesehen, dass
2 parallele entgegengesetzte Platten ein homoge~
nes elektrisches Feld E
= εσ0 . Somit ist die Potentialdiﬀerenz zwischen 2
Platten mit dem Plattenabstand d gegeben durch ∆Φ = σd
ε0 . Damit erhält
zwischen
den
beiden
Platten besteht.
dass eine Spannung von U = σd
ε0
Man auch den Umkehrschluss machen, wenn man an 2 parallele Platten
eine Spannung U , so laden sich die beiden Platten mit den Ladung +q
und −q auf und generieren so ein elektrisches Feld zwischen den Platten.
Somit kann man eine solche Anordnung dazu benutzten um Energie in
Form von einem elektrischen Feld zu speichern. So kann man das ganze
Umformen zu U = Aεd 0 q. Der vordere Teil ist eine geometrischer Faktor
und ist speziﬁsch für jeden Kondensator und wird Kapazität C genannt.
Die Einheit der Kapazität ist Farad.
Rechenbeispiele
1. Ist es möglich, dass auf der Verbindungslinie von 2 Ladungen (siehe obi~ Null ist? (Lösung: Ja, falls die beiden
ges Beispiel) das elektrische Feld E
Ladungen verschiedene Vorzeichen besitzen.)
2. Im Nullpunkt eines rechtwinkligen ebenen Koordinatensystems liegt die
positive elektrische Ladung q, im Abstand 3 auf der positiven x−Achse
die negative Ladung −2q. Gesucht ist die Gleichung der Niveaulinie in
der x − y-Ebene, auf welcher das Potential 0 ist. Zeichnen sie diese Linie.
Berechnen sie aus dem Potential das elektrische Feld dieser Anordnung.
(Lösung:)
Das Potential ist gegeben durch Φ = √ 2q 2 − √ 2q 2 2 . Daraus er(x−3) +y
x +y
√
2
rechnet sich die Äquipotentialﬂäche fürΦ =0 zu y = ± 3 − 2x
− x und
x
x−3
−2q
q
~ =
+
das elektrische Feld zu E
(x2 +y 2 )3/2
((x−3)2 +y 2 )3/2
y
y
3. Zwei gleich geladene kleine Kugeln sind im selben Punkt an zwei 1m langen
Isolierfäden aufgehängt. Die Masse einer Kugel beträgt 1g. Wegen ihrer
gleichen Ladung stossen sie sich auf einen Mittelpunktabstand von 4cm
ab. Wie gross ist die Ladung einer Kugel?(Lösung:6 · 10−9 C)
4. Wie sieht die Bahn eines Teilchens der Ladung q aus, das in einem ho~ sich bewegt. Gebe diese mit und ohne dem
mogenen elektrischen Feld E
Einﬂuss des Gravitationsfeldes an.
Die Bahn hat Parabelform in Richtung des Gravitationsfeldes ~g und in
~ Die Bahn ist gegeben durch ~s(t) =
Richtung
elektrischen Feldes E.
~
des
qE
t2
g 2 + ~v0 t
m +~
5. Betrachte 3 gleiche Ladungen, welche auf die 3 Ecken eines gleichseitigen
Dreiecks mit Seitenlänge 1 sind. Berechne das Potential und das elektrische Feld. Wo ist das elektrische Feld 0?
25
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
Das Resultat kommt auf die Wahl vom Koordinatensystem an. Ich wähle
es so, dass das Dreieck symmetrisch zur y−Achse ist und dass zusätzlich
eine Seite auf der x−Achse liegt.
Φ(~r) =
q
q
(x− 12 )2 +y2
+
q
q
(x+ 12 )2 +y2
das elektrische Feld zu
x−
q
~ = E
3/2
y
(x− 21 )2 +y2
1
2
+
q
r
y−
√
3
2
2
. Daraus erhält man
+x2
x+
q
+
3/2
y
(x+ 12 )2 +y2
1
2
+ y−
√
3
2
q
2
+x2
Aus der Symmetrie des Problems ist klar, dass im Schwerpunkt des Dreiecks das elektrische Feld 0 sein muss.
6. Zeige, dass bei einer Punktladung, die Äquipotentialﬂächen durch die
Oberﬂächen von Kugeln gegeben sind. (Lösung siehe Gravitationsfeld)
7. Warum sollte ich nicht mit einem aufgespannten Regenschirm in einem
Gewitter herum gehen?
An der Spitze von elektrischen Leitern ist die Konzentration an Feldlinien
gross und daher ist auch das elektrische Feld da am grössten. Die Kraft auf
~ und daher ﬂiesst üblicherweise
eine Ladung q ist gegeben durch F~ = q E
die Ladung an der Spitze ab.
8. Wie schnell ﬂiegt ein einfach ionisiertes Wassermolekül falls es durch eine
Spannung von 500 V von der Geschwindigkeit 0 beschleunigt wurde? Nach
dieser Beschleunigung durchﬂiegt das Wassermolekül eine Strecke von 1m,
bei welcher senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit ein elektrisches Feld der
~ = 10V /m liegt. Wie sieht die Bahn aus und wie stark wird das
Stärke E
Teilchen abgelenkt?
Die Geschwindigkeit nach der ersten Beschleunigungsstrecke beträgt v =
73000m/s. Im zweiten Teil ﬂiegt das Teilchen eine Parabelbahn und das
Teilchen wird um s = 5 · 10( − 3)m abgelenkt.
Materie und elektrisches Feld
Es wird grundsätzlich zwischen Leitern und Nichtleitern (Dielektrika) unterschieden. In Leitern sind typischerweise Elektronen frei beweglich, dies bedeutet, dass ein elektrisches Feld dazu führt, dass sich die Ladungen bewegen.
Dieses Thema wird im Praktikum genauer betrachtet.
Influenz
Unter Inﬂuenz wird die Verschiebung von Ladung unter dem Einﬂuss von elektrischen Feldern bezeichnet. In einem Isolator können keine Ladungen verschoben
werden, daher gibt es diesen Eﬀekt nur bei Leitern. Ein Isolatoren wird in einem
elektrischen Feld hingegen polarisiert.
3/2
x√
y − 23
.
26
KAPITEL 2. FELDER
Betrachten wir einmal eine neutrale Platte eines Leiters in einem elektrischen Feld. Die Kraft welches dieses elektrische Feld auf eine negative Ladung
bewirkt zeigt bei einer positiven Ladung in die entgegengesetzte Richtung. Da
die Ladungen frei beweglich sind, werden die Ladungen in einer solchen Weise
ﬂiessen, dass am Ende im Leiter kein elektrischen Feld mehr vorhanden ist. Dies
führt dazu, dass keine Kräfte mehr auf die Ladungen wirken und zusätzlich, dass
~ immer senkrecht auf der Oberﬂäche eines Leiters steht,
das elektrische Feld E
da die Oberﬂäche eines Leiters immer eine Äquipotentialﬂäche ist.
Beispiel
Vor einer senkrecht stehenden Kondensatorplatte hängt in einem Abstand
von etwa 2 cm an einem langen Faden gut isoliert eine elektrisch neutrale Metallkugel. Die Platte wird an einen Pol einer Hochspannungsquelle angeschlossen
und aufgeladen. Was passiert?
Elementarladung und Ladung
Bis jetzt sind wir von irgendeiner Ladung ausgegangen. Millikan hat um 1900 gezeigt, dass Ladungen nur in mehrfachen einer Elementarladung vorkommt. Diese
ist genau die Ladung eines Elektrons und ist gegeben durch qe = 1.592 · 10−19C.
Mittlerweile haben Physiker die Existenz der sogenannten Quarks bewiesen.
Diese besitzen die Ladungen 0, ± q3e und ± 2q3e . Da diese aber nur in Paaren und
zu Dritt auftreten gilt immer noch, dass die beobachtbare Ladung ein mehrfaches der Elementarladung ±qe ist.
Werden Ladungen q1 und q2 zusammengeführt, so entsteht ein Gebilde der
Ladung q1 + q2 .
Stromstärke
Wenn sich geladene Teilchen durch einen Leiter bewegen (Elektronen durch
einen Draht, Ionen durch ein Elektrolyt), so stellen sie einen elektrischen Strom
dar. Sei dq die Ladung, die in der Zeit dt den Leiterquerschnitt passiert. Man
deﬁniert dann die Stromstärke I durch I = dq
dt . Diese wird in der Einheit A
Ampere angegeben. Wenn gleichzeitig positive und negative Ladungen ﬂiessen,
hat man 2 Ladungsarten q+ = |q+ | und q− = − |q− | und folglich auch mit 2
Stromstärken I+ = dqdt+ und I− = dqdt− zu tun. Um die Gesamtstromstärke zu
erhalten muss man I+ und I− addieren oder subtrahieren, je nachdem ob die
Ladungen antiparallel oder parallel zueinander ﬂiessen.
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
2.7.2
27
Magnetismus
Zur Erinnerung, die magnetischen Felder werden durch magnetische Dipole oder
ﬂiessende Ladungen erzeugt.
Der magnetische Dipol enthält Nord- und Südpol und bricht man einen Permanentmagneten in Stücke, so entstehen wieder Magnete mit Nord- und Südpol.
Alle Versuche, den von manchen Theoretikern postulierten magnetischen Monopol zu ﬁnden, sind bisher gescheitert.
Bei magnetischen Feldern muss man sich den Probekörper als Kompassnadel
vorstellen, dessen Nordpol sich gegen den geograﬁschen Norden dreht.
Der geograﬁsche Nordpol ist nicht genau beim magnetischen Nordpol. Heute ist auch erwiesen, dass das Magnetfeld der Erde in geologischen Zeiträumen
sogar umgepolt wird.
Berechnung von magnetischen Feldern
Zu den magnetischen Feldern existiert leider kein äquivalent aus der Punktmechanik. Daher wurden diese Gesetze auch alle empirisch gefunden. Wir werden
hier nur das Gesetz von Biot-Savart betrachten.
Definition 2.3 (Gesetz von Biot-Savart)
Das Gesetz von Biot-Savart
~ am Ort ~ro , der von
sagt, dass ein Stromleiter der infinitesimalen Länge dl
~
einem Strom I durchflossen wird, am Ort ~r die magnetische Flussdichte dB
erzeugt.
~ =
dB
µ0 I
~
dl
4π|~
r −~
ro | 3
× (~r − ~ro )
Das µ0 ist die magnetische Feldkonstante und beträgt 4π · 10−7 T 2 m3 /J ([J]
~ hat leider nicht die Bezeichnung magnetische Feldstärke,
Joule). Die Grösse B
sondern wird magnetische Flussdichte genannt. Diese wird in der Einheit Tesla
Vs
N
= 1m
gemessen (1T = 1 Am
2 ).
~ mit ~r−~ro bezüglich
Man überlege sich, was das Vektorprodukt von dl
~ bedeutet.
der Richtung von B
Das magnetische Flussdichte ist dann gegeben durch die Summation über
alle Ströme, mit der obigen Gewichtung.
~ =
B
R
µ0 I
~
dl
4π|~
r−~
ro |3
alle
Achtung
× (~r − ~ro )
Häuﬁg wird die magnetische Flussdichte nicht als Vektor geschrieben. Im
folgenden wird diese Notation benutzt.
28
KAPITEL 2. FELDER
Abbildung 2.11: Im linken Bild ist das magnetischen Feld um einen Leiter mit
einem nach oben gerichteten Stromﬂuss dargestellt und in der rechten Abbildung
dasjenige einer Spule.
Beispiele
1. Erdmagnetfeld: ca. 10−5 T und NMR Magnet ca. 2T
2. Die Flussdichte eines stromdurchﬂossenen unendlich langen Drahtes im
µ0 I
Abstand r von der Symmetrieachse ist gegeben durch B = 2πr
Im Bild (2.11) sind die Feldlinien abgebildet.
3. Der einfachste Fall in dem obigen Beispiel ist die Berechnung der magnetischen Flussdichte einer Kreisstromes (Radius R) auf einer Linie die
durch den Mittelpunkt der Stromschlaufe geht und senkrecht zur Schlaufe
ist. Die magnetische Flussdichte beim Abstand h ist dann gegeben durch
2
0 IR
B = 2(hµ2 +R
2 )3/2
4. Die magnetische Flussdichte im inneren einer Spule ist praktisch konstant.
B=
µ0 N I
L
Dabei ist N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule. Somit
ergibt N
L die Anzahl Windungen pro Länge.
Im Bild (2.11) auf der rechten Seite sind die Feldlinien einer Spule abgebildet.
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
29
Unterschied zu elektrischen Feldern
Die magnetische Flussdichte hat keine Quellen und Senken, da der magnetische Monopol nicht existiert. Daher sind Feldlinien immer geschlossen.
2.7.3
Kraft auf ein geladenes Teilchen
Die Kraft, durch ein magnetisches Feld auf ein geladenes Teilchen ist durch die
Lorentzkraft gegeben.
~ + ~v × B
~ , wobei ~v die Geschwindigkeit und q die Ladung des TeilF~ = q E
chens ist.
Dies führt dazu, dass sich z.B. 2 stromdurchﬂossene Leiter anziehen oder
abstossen.
2.7.4
Magnetisches Moment µ
Das magnetische Moment ~
µ wird in der Elektrotechnik, aber auch in der Teilchenphysik verwendet. Um mit ihm vertraut zu werden betrachten wir einmal
eine rechteckige Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld. Nun stellen wir
uns die Frage, welches Drehmoment auf die Schlaufe wirkt.
Das Drehmoment ist dann gegeben durch M = 2 r F . Die Kraft F auf einen
stromdurchﬂossenen Leiter berechnet sich zu I · L · B. Daher ergibt sich ein
Gesamtdrehmoment von M = 2 r L I B = A L B, mit der Fläche A = 2 r L. Das
Produkt von I mit A wird nun als magnetisches Moment bezeichnet.
~
~µ := I · A
Die Richtung des Flächenvektors wird so gewählt, dass der Vektor senkrecht
auf der Fläche ist und so dass der Strom links um die Schlaufe herum geht.
~ = ~µ × B.
~ Bei einer genaueren
Das Drehmoment ist dann gegeben durch M
Untersuchung dieses Drehmoments erkennt man, dass das Gleichgewicht stabil
~ parallel zu ~
~ antiparallel zu ~µ ist.
ist, falls B
µ ist und instabil falls B
Die Energie des magnetischen Moments in einem homogenen magnetischem
~
Feld ist gegeben durch E = −(~
µ, B).
Elementare und atomare magnetische Momente
Bei Teilchen sind der Drehimpuls J und das magnetisches Moment µ gekoppelt,
daher hat ein Teilchen ohne Drehimpuls auch kein magnetisches Moment. Der
Drehimpuls und das magnetisches Moment sind entweder parallel oder antiparallel. Infolge der Drehimpulsquantisierung hat das magnetische Moment 2J + 1
verschiedene Einstellungsmöglichkeiten in einem äusseren Magnetfeld und damit gibt es 2J + 1 diskrete magnetische Energieniveaus.
30
KAPITEL 2. FELDER
Spin des Elektrons
Proton, Neutron und Elektron haben einen Drehimpuls, der nicht mit einer
Kreisbewegung zusammenhängt: Spindrehimpuls (es handelt sich hierbei um
ein quantenmechanisches Phänomen, für welches man kein klassisches Modell
machen kann). Die Quantenzahl heisst Spin (S) und beträgt 1/2. Das mit dem
Spindrehimpuls assoziierte magnetische Moment (genauer: dessen Projektion
auf die z-Achse entsprechend der Richtung von B) beträgt:
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
magnetisches Moment
9.28 · 10−24 T −1
1.41 · 10−26 T −1
−0.966 · 10−26 T −1
Protonen und Neutronen sind also magnetisch fast 1000 mal schwächer als
Elektronen. Es bestehen für S nur zwei Orientierungsmöglichkeiten in einem
äusseren Magnetfeld:
parallel, Energie: E = −µB
antiparallel, Energie: E = µB
Ein bisschen Statistik
Wir betrachten ein System, welches mit einer Umgebung der Temperatur T
im Gleichgewicht steht. Dann besitzt das System eine Wahrscheinlichkeit, welE
che proportional zu e− kT , um im Zustand mit der Energie E zu sein. Er kann
also jeden Zustand annehmen!
Beispiel:
Wir haben gesehen, dass ein Proton aufgrund des Spins die beiden Energiezustände E1 = −µB und E2 = µB annehmen kann. Wir möchten nun berechnen
wie gross die Wahrscheinlichkeit bei T = 273K ist, dass ein Proton bei einem
magnetischen Feld von 2 Tesla ist, dass es sich im energetisch günstigerem Zustand beﬁndet.
E
Wir berechnen für beide Zustände e− kT (k = 1.38 · 10−23 ).
Man erhält f1 = 1 − 7.5 · 10−6 und f2 = 1 + 7.5 · 10−6 . Nun kennen wir also
die Proportionalitätskonstante, da die Wahrscheinlichkeit 1 ergeben muss.
Damit berechnet sich eine Wahrscheinlichkeit für die parallele Ausrichtung
−6
von p2 = 1+7.5·10
2
Der Kernspin
Die Spins der einzelnen Protonen und Neutronen kompensieren sich zu einem grossen Teil. Die resultierenden Spins und die dazugehörigen magnetischen
Momente von Atomen ﬁndet man in der Literatur. Für die magnetische Kernresonanz sind insbesondere Kerne mit Spin 1/2 geeignet wie H 1 , C 13 ,F 19 und P 31 .
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
31
In der Kernspintomographie wird genau, die oben genannte Diﬀerenz der
Energie benutzt(das ganze ist natürlich immer noch eine grosse Vereinfachung).
Man hat 2 Zustände und einen Übergang von dem höher energetischen zu dem
energetisch tieferen. Der Kern sendet, dann elektromagnetische Strahlung die
dieser Energiediﬀerenz entspricht aus. Diese Energiediﬀerenz ist typischerweise sehr klein, daher müssen in NMR’s starke magnetische Felder benutzt werden.
Bahndrehimpuls eines Elektrons
Ein einzelnes Elektron bewege sich auf einer Kreisbahn vom Radius r mit
der Geschwindigkeit v. Aus der Deﬁnition des magnetischen Moments wissen
wir, dass wir dann die Fläche mit der Stromstärke multiplizieren müssen um
das magnetische Moment zu erhalten. Die Stärke des Kreisstromes ist gegeben
durch I = (qe v)/(2r) und somit ist das magnetische Moment gegeben durch
µ = Iπr2 = (qe vr)/2. Es kann auch noch das magnetische Moment als Funktion
des Drehimpuls geschrieben werden. Ersetzt man danach den Drehimpuls durch
die Quantisierungsbedingung L = h (h ist das Planck’sche Wirkungsquantum,
qe h
= −9.27 · 10−24 J/T (µB heisst
h = 6.62 · 10−34 Js), so erhält man µB = 2m
e
Bohrsches Magneton)
2.7.5
Magnetische Induktion
Das Faraday’sche Induktionsgesetz
Bisher haben wir statische, das heisst zeitunabhängige Felder betrachtet. Die
durch zeitunabhängige Ladungen und Ströme erzeugt wurden. Nun betrachten
wir was eine zeitlich Änderung des magnetischen Flusses φ bewirkt.
R
~
~ dA
φ=
B,
A
Ändert sich der magnetische Fluss mit der Zeit durch eine Leiterschleife mit
der Fläche A, so entsteht eine induzierte Spannung; ist die Schleife geschlossen,
so ﬂiesst ein induzierter Strom.
Betrachten wir die Deﬁnition des Flusses, so sehen wir, dass sich der Fluss
auf 2 Arten ändern kann.
1. Änderung der Leiterschleife (Form, Grösse oder Lage zum B-Feld)
2. Änderung des B-Feldes
Es gilt Uind = − dΦ
dt , somit folgt dass die beiden oberen Arten der Änderung
des Flusses eine Spannung induzieren.
32
KAPITEL 2. FELDER
Beispiel
1. Nehmen wir an, dass wir eine Schlaufe in einem zeitlich konstanten homogenen Magnetfeld mit der Fläche A haben. Nun rotieren wir diese Schlaufe.
Wird eine Spannung induziert? Wie sieht die zeitliche Form aus? Können
sie einen Zusammenhang mit unserem Stromnetz sehen?
2. Nehmen wir an, dass wir eine Leiterschlaufe haben. Diese sei in der Nähe
einer Glühbirne. Nun schliessen wir ein Voltmeter an diese Schlaufe an
und messen die Spannung. Anschliessend drücken wir den Lichtschalter
jede Minute einmal. Zeichnen sie Anzeige des Voltmeters in Abhängigkeit
der Zeit schematisch auf.
Lenz’sche Regel
Die Lenz’sche Regel bezieht sich auf den Induktionsstrom. Sie besagt, dass
das durch Induktion entstehende B-Feld der Flussänderung entgegenwirkt. Ist
die Induktionsursache Bewegung, so wird diese Bewegung gehemmt.
In einem Leiter sucht sich der Strom seinen Weg selbst und erzeugt einen
sogenannten Wirbelstrom (Kreisstrom).
Beispiele
Wirbelstrombremse
Wirbelströme zum Erhitzen (Bsp ICP inductively coupled plasma für AAS
und AES)
Selbstinduktion
Eine Stromschleife reagiert auf die eigene Flussänderung. Sie wirkt der Flussänderung entgegen, dies bedeutet dass eine Erhöhung der Quellenspannung (um
I zu erhöhen) die Induktionsspannung Uind dem entgegenwirkt und so das Anwachsen der Stromstärke verlangsamt. Bei einer Verminderung hat man denselben Eﬀekt.
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
33
Induktivität
Die Überlegungen über die Selbstinduktion können bei Spulen benutzt werden. Man führt dann die Induktivität L ein. Diese ist geometrieabhängig. Dies
ist vor allem für die Elektrotechnik wichtig, da bei jedem Bauteil das Verhalten
im Stromkreis durch Kapazität, Widerstand und Induktivität genau beschrieben wird.
U = −L dI
dt
Bei einer Spule kann die Induktivität relativ einfach ausgerechnet werden.
N 2A
Sie ist gegeben durch L = µ0La
. La ist dabei die Länge der Spule, N die
Anzahl Windungen und A die Querschnittsﬂäche.
Die Abhängigkeit ist relativ leicht verständlich
1. Jede Windung spürt die Änderung des Flusses einzeln.,
2. Der Fluss ist proportional zu der Fläche A.
N
3. Das magnetische Feld ist proportional zu µ0 La
2.7.6
Materie im Magnetfeld
Wir betrachten eine Spule und messen die Induktionsspannung, falls wir dieV
se abschalten. Einmal machen wir das Experiment im Vakuum Uind
und ein
M
anderes Mal ist die Spule mit einem Material gefüllt (Uind
). So werden wir verschiedene Spannungen messen.
Aus diesen induzierten Spannungen können wir das ’magnetische’ Feld berechnen. Man muss hier sehr aufpassen, da das Feld in einem Material einen
anderen Namen besitzt und auch, wenn man es exakt machen will die subtilen
Unterschiede beachten muss.
Ein Material kann nun das magnetische Feld, so beeinﬂussen, dass es dieses
abschwächt oder verstärkt. Typischerweise ist das induzierte Feld M direkt proportional zu dem magnetischen Feld B. Die Proportionalitätskonstante χ wird
magnetische Suszeptibilität genannt und hat keine Einheit.
B + M = B + χB = B(1 + χ) = µr B
Dies führt also darauf, dass das Feld in einem Material demjenigen ohne
Material multipliziert mit einer Materialkonstanten entspricht.
Materialien haben nun 3 verschiedene Einﬂüsse auf das Feld. Diese Materialien werden Paramagnete, Diamagnete und Ferromagnete genannt.
34
KAPITEL 2. FELDER
Abbildung 2.12: Das Schweben eines Magnetes oberhalb eines Supraleiters. Das
magnetische Feld wird vollständig aus dem Diamagnet verdrängt und daher
schwebt das Magnet.
Diamagnete
Die magnetische Suszeptibilität µr ist hier < 1, das heisst M ist dem Feld B
entgegengesetzt.
Wie wir gesehen haben, zeigen Kreisströme ein solches Verhalten. Dieses
Phänomen wird auch in Materialien mit Kreisströmen erklärt. Die Diamagnete
drängen das Feld aus dem Material und somit sind Supraleiter perfekte Diamagnete (siehe Abbildung 2.12).
Dieser Eﬀekt ist normalerweise viel kleiner als der Paramagnetismus oder
der Ferromagnetismus.
Paramagnete
Für paramagnetische Stoﬀe gilt dass µr > 1 ist. Der Eﬀekt nimmt mit zunehmender Temperatur ab und ist feldabhängig.
Modellhaft kann man sich eine paramagnetische Probe aus lauter kleinen
Stabmagneten aufgebaut vorstellen, die sich zwar drehen, aber nicht verrutschen
können. Bringt man die Probe in ein Magnetfeld, so werden sich die Stabmagnete bevorzugt in Richtung der magnetischen Feldlinien ausrichten. Ein wichtiges
Merkmal dabei ist, dass die Stabmagnete einander nicht beeinﬂussen sie richten
sich alle unabhängig voneinander aus. Die Temperatur versucht die Richtungen
der atomaren Magnete wieder statistisch in alle Raumrichtung zu verteilen.
Könnt ihr euch das Temperaturverhalten erklären?
2.7. ELEKTROMAGNETISMUS
35
Ferromagnete
Diese Materialien haben sicher die spektakulärsten Eﬀekte. In diesen Materialien
ist µr sehr gross und das ganze ist auch von der Vorbehandlung des Materials
abhängig.
Dieses ist ein kollektives Phänomen von vielen Atomen. Man kann sich viele
kleine Stabmagnete vorstellen, die alle in die gleiche Richtung zeigen und so
kollektiv ein grosses Magnetfeld erzeugen.
Hysteresis
Heisst dass das Verhalten des Materials von der Vorbehandlung abhängig ist.
Dies ist typisch für Ferromagnete. Man stellt sich also eine grosse Menge von
kleinen Magneten vor. Die Polachsen zeigen üblicherweise mehr oder weniger
in zufällige Richtungen. Dies führt natürlich darauf, dass das magnetische Feld
ausserhalb des Materials nicht sehr gross ist. Die Pole haben aber die Tendenz,
dass sie alle in die gleiche Richtung zeigen wollen. Um dies aber zu erreichen
benötigen sie eine gewisse Energie, welche sie entweder aus der thermischen
Energie nehmen können oder auch ein äusseres magnetisches Feld hilft auch.
Somit ergibt es sich, dass man in solchen Materialien verschiedene Bereiche ﬁndet, in welchen alle Magnete in praktisch die gleiche Richtung zeigen. Solche
Bereiche werden Weiss’sche Bezirke genannt. Nun kann es vorkommen, dass 2
Weiss’sche Bezirke eine gemeinsame Grenze haben. Die ist dann eine dünne
Linie zwischen den beiden Bereichen, in welchen die Magnete in verschiedene
Richtungen zeigen, welche Blochwände genannt werden.
Betrachten wir nun einmal die Abbildung 2.13. Auf der Abszisse ist das von
aussen angelegte Feld aufgetragen und auf der Ordinate die Magnetisierung des
Materials. Fangen wir bei positiven äusseren Feld und Magnetisierung 0 an.
Dann führt ein stärkeres äusseres magnetisches Feld zu einer positiven Magnetisierung J und schlussendlich zur Sättigung von J, wo praktisch alle kleinen
Magnete in die Richtung von äusseren magnetischen Feld B0 zeigen. Verkleinern wir nun das äussere magnetische Feld, so folgt es nicht der gleichen Kurve,
sondern man beobachtet eine höhere Magnetisierung für gleiches angelegtes äusseres magnetisches Feld. Dies kommt genau daher, dass man Energie benötigt
um die kleinen Magnete in die andere Richtung um zuklappen (zu drehen). Bis
die kleinen Magnete schlussendlich alle in die entgegengesetzte Richtung zeigen.
Man sieht also, dass es nicht nur auf das von aussen angelegte magnetische Feld
sondern auch auf die Vorgeschichte ankommt, welche Magnetisierung ein Ferromagnet J zeigt.
36
KAPITEL 2. FELDER
Abbildung 2.13: Hysteresis bei der Magnetisierung
Curie Temperatur
Ein weiteres Phänomen ist die Curie Temperatur TC . Oberhalb dieser Temperatur (materialabhängig) ist das Material nicht mehr ferromagnetisch sondern
paramagnetisch.
Beispiele
Eisen: TC = 768◦ C
Nickel: TC = 360◦ C
2.7.7
Energie im Magnetfeld
Wir haben in einem vorherigen Absatz die Energiedichte ω von einem elektrischen Feld in einem Plattenkondensator hergeleitet. Diese Energiedichte gilt wie
ich früher schon erwähnt habe, für alle elektrischen Felder. Die Energiedichte
eines elektrischen Feldes in einem Material ist durch die folgende Gleichung gegeben.
ω=
ε0 εr ~ ~
2 (E, E)
Die Permittivitätszahl des Mediums εr ist eine Materialkonstante und hat
keine Einheit.
2.8. ZUSAMMENFASSUNG
37
Die Energiedichte des magnetischen Feldes zeigt einen ähnlich Zusammenhang.
ω=
2.7.8
1
~ ~
2µµr (B, B)
Elektromagnetischer Schwingkreis
Schaltet man einen Kondensator und eine Spule zusammen, so entsteht ein
elektrischer Schwingkreis. Wir haben bei der Induktivität den Zusammenhang
zwischen der angelegten Spannung und dem durch die Spule ﬂiessend Strom
gesehen (U = L dI
dt ). Bei einem Kondensator gilt, dass die angelegte Spannung
eine Ladungstrennung gemäss U = Q
C erzeugt.
Bei einem Stromkreis gilt die Maschenregel (Praktikum). Daher haben wir
die folgende Gleichung für die Masche.
U0 (t) = L dI
dt +
Q
C
Daraus erhält man eine DGL 2. Ordnung.
2
L ddtQ
2 +
Q
C
− U0 (t) = 0
Nun kommt es auf die angeschlossene Spannung an, wie sich dieser Stromkreis verhält. Betrachten wir zur Vereinfachung den Fall U0 (t) = 0. Dann ist die
Lösung der Gleichung durch Q(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) gegeben. Mit entsprechenden Anfangsbedingung und Integrationskonstanten A, B und ω 2 = Q
L.
Man sieht also von woher der Name stammt. Setzt man noch einen Widerstand
ein, so ergibt sich eine gedämpfte Schwingung. Der Schwingkreis strahlt auch
ohne Widerstand Energie, in Form elektromagnetischer Wellen ab, sodass er
auch ohne Widerstand nicht ewig schwingt.
2.8
Zusammenfassung
Wir haben gesehen, dass man jedem Raumpunkt eine skalare- resp. vektorielle
physikalische Grösse zuordnen kann, welche auf ein Testteilchen eine Wirkung
hat.
1. Geben je ein Beispiel eines Vektorfelds und eines Skalarfeldes!
2. Welche Möglichkeiten der Darstellung von Skalarfeldern kennen sie?
3. Welche Möglichkeiten der Darstellung von Vektorfeldern kennen sie?
4. Was ist eine Quelle und was ist eine Senke?
5. Warum können sich die Feldlinien von Vektorfeldern nicht kreuzen?
6. Was ist eine Senke und was ist eine Quelle?
38
KAPITEL 2. FELDER
7. Was ist der grundsätzliche Unterschied zwischen dem elektrischen Feld
und dem Gravitationsfeld?
8. Was ist der grundsätzliche Unterschied zwischen dem elektrischen Feld
und dem magnetischen Feld?
9. Was ist Superposition und wo nutzt man diese aus?
10. Was ist das Potential und wie hängt dieses mit dem Feld zusammen?
11. Geben sie das Potential von 2 Massen die einen Abstand 1 voneinander
haben an und berechnen sie daraus das Gravitationsfeld.
12. Wie kann man die Feldlinien aus der Kenntnis des Feldes zeichnen?
13. Wie sieht das Gravitationsfeld resp. Potential eines Massenpunktes aus?
14. Skizzieren sie die Feldlinien von 2 Punktladungen, welche die gleiche resp.
entgegengesetzte Ladungen haben.
15. Wie kann man ein homogenes elektrisches Feld herstellen?
16. Kennen sie ein Maxwell’sches Gesetz und können sie damit das Feld einer
Punktladung berechnen?
17. Wie hängt die Spannung mit dem Potential zusammen?
18. Was ist ein Kondensator?
19. Wie ist die Stromstärke deﬁniert?
20. Was ist Inﬂuenz?
21. Wie kann man ein nahezu homogenes magnetisches Feld herstellen?
22. Wie ist das magnetische Moment deﬁniert? Welche Energie hat das ein
magnetisches Moment im magnetischen Feld?
23. Was ist der Unterschied zwischen dem Spin des Elektrons und dem Bahndrehimpuls?
24. Wie kann man eine Spannung induzieren?
25. Wie funktioniert ein Stromgenerator?
26. Wie funktioniert ein ICP?
27. Wie ist die Spannung-Strom Abhängigkeit bei einer Spule?
28. Welche 3 verschiedene Materialien bezüglich der Reaktion auf ein äusseres
Feld existieren?
29. Erklären sie was Hysterese ist? Was sind Weiss’sche-Bezirke und Blochwände?
30. Was ist ein Schwingkreis?
Kapitel 3
Optik
Das Licht spielt eine sehr wichtige Rolle in der Chemie, aber auch in unserem
Leben. Das Licht verhält sich aber so komplex, dass ein intuitives Verständnis
all der Phänomene nur durch verschiedene Modelle erreicht werden kann.
3.1
Historischer Rückblick
Es war lange umstritten, ob Licht ein Teilchen oder eine Welle ist. In England
wurde das Licht durch den starken Einﬂuss von Newton lange Zeit als Teilchen
betrachtet. Auf dem europäischen Festland hingegen wurde das Licht während
dieser Zeit als Welle angenommen. Als sich auch in England die Überzeugung,
dass Licht eine Welle ist durchgesetzt hatte, wurde durch Einstein gezeigt, dass
Licht nicht nur eine Welle, sondern auch ein Teilchen ist (Photoeﬀekt). Somit
kann zusammengefasst werden, dass Licht weder Teilchen noch Welle, sondern
in einem gewissen Sinne Teilchen und Welle ist. Das Lichtteilchen wird Photon
genannt. Die beiden Modelle sind so gut, dass sie praktisch alle Phänomene des
Lichts erklären können.
Anmerkung
Bei Teilchen, wie Elektron, Proton usw, wurde der umgekehrte Weg beschrieben. Diese wurden immer als Teilchen betrachtet. Es hat sich aber herausgestellt,
dass auch all diese ’Teilchen’, Teilchen aber auch Wellen sind.
Wir werden in den folgenden Kapitel sehen, dass sich das Licht so verhält
wie wir dieses anschauen. z.B. Ein Teilchen ist an einem genau bestimmten Ort.
Messe ich nun wo sich das Teilchen aufhält, so werde ich es irgendwo ﬁnden. Im
Gegensatz zu einem Teilchen ist eine Welle nicht an einem genau bestimmten
Ort, sondern hat eine gewisse Ausdehnung.
3.2
Wellenphänomene
Eine Welle entsteht dadurch, dass sich von einer Quelle aus eine ’Störung’ ausbreitet. Wir werfen z.B. einen Stein ins ruhige Wasser eines Teichs. Man kann
39
40
KAPITEL 3. OPTIK
natürlich auch mehrmals das System stören. Wir werden typischerweise periodische Störungen mit einer festen Frequenz ν[1/s] betrachten. Bei mechanischen
Wellen besteht die ’Störung’ in der Auslenkung materieller Teilchen aus ihrer
Ruhelage (Gleichgewicht), und ihre Ausbreitung beruht auf der Kopplung (Federn, Bindungen aller Art, Zusammenstösse) zwischen den einzelnen Teilchen.
In der Physik werden normalerweise 2 verschiedene Arten von Wellen unterschieden.
1. Longitudinale Wellen
Die einzelnen Teilchen im Ausbreitungsmedium, Atome oder Moleküle,
schwingen hierbei in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude hin und her. Nach dem Durchlauf der Schwingung bewegen sich
die Teilchen wieder an ihre Ruhestellung, die Gleichgewichtslage, zurück.
Durch die Ausbreitung der Schwingung geht keine Energie verloren, abgesehen von Reibungsverlusten zwischen den Teilchen.
Das typische Beispiel sind Schallwellen in Gasen oder Festkörpern.
2. Transversale Wellen
Hier bewegt sich die Störung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Das typische Beispiel hier sind elektromagnetische Wellen. Mechanische
Longitudinalwellen können sich in jedem Medium, ob fest, ﬂüssig oder
gasförmig ausbreiten, wogegen sich mechanische Transversalwellen nur in
Festkörpern ausbreiten können.
3.2.1
Wellengeschwindigkeit c
Wenn die Störung in der Zeit ∆t vom Ort x0 zum Ort x1 gewandert ist, so ist
−x0
die Wellengeschwindigkeit c = x1∆t
Man muss zwischen der Wellengeschwindigkeit und der Geschwindigkeit mit
der sich Teilchen des Mediums ausbreiten unterscheiden.
Normalerweise hängt die Wellengeschwindigkeit c von der Frequenz der Störung
ab. Dieses Phänomen wird Dispersion genannt.
41
3.2. WELLENPHÄNOMENE
Beispiele
1. Schallwellen im Festkörper
Die Geschwindigkeit einer transversalen Welle
hängt vom Torsionsmodul
√
G und der Dichte des Mediums ρ ab. cT = ρG . Die Longitudinalwelle ist
dagegen vom Elastizitätsmodul E abhängig. cL =
√
E
ρ .
Es existiert ein Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul E, Torsionsmodul G und Poissonzahl µ.
G=
E
2(1+µ)
Wir haben im Kurs Physik 1 gesehen, dass die Poissonzahl immer grösser
als 21 ist, daher ist das Torsionsmodul G immer kleiner als das Elastizitätsmodul. Daraus folgt, dass in einem Festkörper Longitudinalwellen immer
schneller als Transversalwellen sind.
Beispiel: Erdbeben
Erdbeben sind eigentlich nichts anderes als die Ausbreitung einer mechanischen Welle in einem Festkörper. Wie wir oben gesehen haben, besitzen
Longitudinalwellen im gleichen festen Medium eine höhere Geschwindigkeit als Transversalwellen bei ansonsten gleichen Parametern. Daher treffen longitudinale seismische Wellen (P-Wellen) immer zuerst ein. Diese
haben ein geringeres Zerstörungspotential als Transversalwellen.
2. Wasserwellen
Bei Wellen denken wir sicher zuerst immer an Wasserwellen. Diese zu
beschreiben sind leider beliebig kompliziert. Das sicher einfachste Wellenphänomen sind die Oberﬂächenwellen (kleine Amplitude) in seichtem
Wasser der Tiefe
√ h. Die Wellengeschwindigkeit solcher Wellen ist gegefür grosse
ben durch c = gh. Andererseits ist die Wellengeschwindigkeit q
Amplituden A gegenüber der Wassertiefe h gegeben durch c = gA
2π . Ein
normalerweise unbekanntes aber sehr interessantes Wellenphänomen sind
die Solitonen.
Diese wurden um ca. 1850 entdeckt. Dabei bemerkte J. S. Russell, dass ein
Boot, welches in einem Kanal entlang gezogen wurde, ein Welle auslöst,
wenn das Boot abrupt gestoppt wird. Er verfolgte diese Welle mehrere Meilen auf seinem Pferd und sah, dass sich die Form praktisch nicht
ändert.
Eine solche Welle wird Soliton genannt. Solche Solitonen haben sich mittlerweile überall in der Physik ausgebreitet. Beispiele davon sind die Lichtpulsübertragung in einem optischen Kabel oder auch Elementarteilchen können
als Soliton beschrieben werden.
42
KAPITEL 3. OPTIK
τ
1
0.5
0.5
0
0
s
s
λ
1
-0.5
-0.5
-1
-1
-4
-2
0
x
2
4
-4
-2
0
t
2
4
Abbildung 3.1: Welle als Funktion des Ortes und der Zeit
3. Elektromagnetische Wellen
Die Maxwell’schen Gleichung der Elektrodynamik, können so umgeformt
werden, dass man auf eine Wellengleichung kommt. Die Wellengeschwin1
digkeit ist dann gegeben durch c = √µ·ε
. Im Vakuum ergibt dies c =
√ 1
µ0 ·ε0 ,
daher sind die beiden Konstanten in der Elektrostatik und der
Magnetostatik mittels der Lichtgeschwindigkeit miteinander verknüpft.
3.2.2
Die harmonische Welle
Eine harmonische Welle entsteht dann, wenn die Störung S eine harmonische
Schwingung ist. Breitet sich diese nun unverändert mit der Wellengeschwindigkeit c von der Quelle x = 0 aus fort, so wird die eindimensionale harmonische
Welle wie folgt als eine Funktion von der Zeit t und vom Ort x beschrieben:
S(t, x) = s0 cos (ωt − kx + ∆φ)
Die harmonische Welle wird häuﬁg mittels der Kreisfrequenz ω und der Wellenzahl k beschrieben. Diese sind nicht unabhängig voneinander. Der Term ∆φ
ist konstant und wird Phase genannt. Er hat keinen Einﬂuss auf die Wellenlänge
oder die Periodendauer, er sagt nur etwas aus ’wo’ die Welle anfängt.
Um die Wellengeschwindigkeit c[m/s], die Periodendauer τ [s] und die Wellenlänge λ[m] zu berechnen betrachten wir den Term in der Klammer. Die Pe2π
riodendauer ist durch τ = 2π
ω und die Wellenlänge durch λ = k gegeben. Die
Frequenz ν[1/s] ist natürlich der Kehrwert der Periodendauer ν = τ1 .
Zusammenfassung der Zusammenhänge
zeitlich
räumlich
Wellengeschwindigkeit
Periode τ
Wellenlänge λ
c = λτ
Frequenz ν =
1
τ
Kreisfrequenz ω =
Wellenzahl k = 2π
λ
c = ωk
Die Orte gleicher Störung (z.B. Wellenberge) heissen Wellenfronten. Der Ab-
2π
τ
= 2πν
43
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
3.2. WELLENPHÄNOMENE
Abbildung 3.2: Welle als Funktion des Ortes und der Zeit. Die Farbe entspricht
der Amplitude (weiss=+1 und schwarz=-1)
44
KAPITEL 3. OPTIK
Abbildung 3.3: Illustration einer ebenen Welle .
stand zwischen den Wellenfronten ist die Wellenlänge λ.
Die Wellenfronten stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, zeichnet man
nur die Ausbreitungsrichtungen so kommt man zur Strahlendarstellung.
Beispiele
In der Physik werden normalerweise nur Kugelwellen und ebene Wellen betrachtet.
1. Ebene Welle: die Wellenfronten sind parallele Ebenen; die Strahlen sind
parallel (siehe 3.3). Ein gutes Beispiel auf der Erde sind die Sonnenstrahlen.
2. Kugelwelle: die Wellenfronten sind konzentrische Kugelschalen; die Strahlen sind radial. Hier kann man sich einen Stein den man in einen Teich
wirft oder auch eine Glühbirne vorstellen.
3.2.3
Energie
In einer Welle ist Energie gespeichert und mit einer Welle wird Energie transportiert. Energieinhalt und Leistung sind proportional zur Amplitude im Quadrat.
Deﬁnition: Intensität=Leistung/m2 .
Bei einer Kugelwelle ﬂiesst die immer gleiche Leistung (Energieerhaltung!)
durch immer grössere Kugelﬂächen. Infolgedessen nehmen Intensität und Amplitude ab.
3.2. WELLENPHÄNOMENE
45
Abbildung 3.4: Illustration einer Kugelwelle .
Daher muss die Amplitude einer Kugelwelle eine 1/r Abhängigkeit von der
Distanz von der Quelle aufweisen.
S(r, t) =
A
r
cos (ωt − kr)
Man sieht nun schon ein Problem, diese harmonische Welle ist eigentlich
überall bis auf den Ursprung der Quelle deﬁniert, da dort die Amplitude ∞
wird.
Anmerkung
1. Die obige Aussage über die Energie die in einer Welle steckt ist, die konventionelle betrachtungsweise. Einstein hat mittels der photoelektrischen
Eﬀekt gezeigt, dass dies leider nicht alle Phänomene von Licht beschreibt.
Das Licht kann als Teilchen betrachtet werde, dieses Teilchen wird Photon genannt. Dieses Teilchen schwingt mit einer gewissen Frequenz ν. Die
Energie eines solchen Photons ist dann nur von dieser Frequenz abhängig
und gegeben durch E = hν.
2. Jede Analyse eines Spektrums beruht auf dieser Grundlage. Schwingungen
von Atomen, Atomabsorption oder Emissionsspektren.
Rechenbeispiele
1. Wie lange braucht ein Lichtstrahl von der Sonne zur Erde? Der Abstand
der Erde zur Sonne betrage 149.6 · 106 km. (Lösung:8.3 Minuten)
2. Die S-Wellen von einem Erdbeben haben die Geschwindigkeit 3000m/s
und die P-Wellen haben eine von 7000m/s. Wie gross ist das E-Modul
und die Poissonzahl von der Erde (Dichte ρ = 2300kg/m3)? Die S-Wellen
eines Erdbebens kamen eine Minute nach den P-Wellen an. Wie weit ist
N
das Epizentrum des Erdbebens entfernt? (Lösung: E-Modul=16.1 · 106 m
2,
1
µ = 6 , Abstand 315 km) falsch
46
KAPITEL 3. OPTIK
3. Betrachte eine Wasserwelle mit Amplitude 12 m und Wellenlänge λ = 30m
im tiefen Ozean (h = 100m).
(a) Welche Periodendauer hat diese Welle? (Lösung: τ =
√3 s)
10
(b) Berechne unter der Annahme, dass der Volumenﬂuss konstant ist,
wie sich die Amplitude der Welle ändert, wenn sie sich vom tiefen
Wasser A1 in seichtes Wasser A2 fortbewegt. Welche Amplitude hat
2
1
dann die Welle aus Aufgabe a). (Lösung: A2 = (2πh) 3 · A13 = 5.4m)
(c) Die Welle nähert sich dem Strand mit einer Wassertiefe von 8m,
welche Wellenlänge besitzt die Welle? (Annahme: Die Welle besitze
die gleiche Periodendauer und die Amplitude habe auf4m zugenommen.)(Lösung: λ = 2.8m)
3.2.4
Huygen’sches Prinzip
Huygens hat schon 1690 ein Prinzip aufgestellt um die Ausbreitung von Wellen
zu erklären.
Prinzip 3.1 (Huygen’sches Prinzip) Jeder Punkt einer Welle kann als
Ausgangspunkt einer Kugelwelle betrachtet werden.
Dieses Prinzip ist eigentlich nichts anderes als die Superposition von Wellen.
Es sagt aus, dass Wellen (dies gilt eigentlich im speziellen für elektromagnetische Wellen.) dem Superpositionsprinzip gehorchen. Das heisst, dass man die
Amplitude der Welle von verschiedenen Quellen an einem Raumpunkt zu einer
Zeit t einfach zusammenzählen kann.
Mit Hilfe dieses Prinzips können immerhin so unterschiedliche Phänomene
wie Spiegelung, Brechung und Beugung relativ einfach erklärt werden.
Spiegelung
Will man das Huygen’sche Prinzip anwenden, zeichnet man normalerweise Wellenfronten und wie sich diese ausbreiten. Normalerweise benutzt man ein paar
typische Punkte und verbindet ‘logisch‘ die Punkte einer solchen Wellenfront.
Man liest aus der Illustration 3.5 sehr einfach heraus, dass der Einfallswinkel
gleich dem Ausfallswinkel ist.
Brechung
Die Brechung von Licht kann analog zur Spiegelung erklärt werden. Nur ist
es nun so, dass die Geschwindigkeit der Welle im optisch dichteren Medium
v1 langsamer ist als im optisch dünneren v2 . Es ergibt sich bei einer solchen
Konstruktion, dass der Lichtstrahl sich nicht geradlinig fortbewegt und dass die
folgende Beziehung für den Einfallswinkel α1 und den Brechungswinkel α2 gilt.
sin(α1 )
v1
=
sin(α2 )
v2
Dies lässt sich leicht mittels der Deﬁnition des Brechungsindex ni =
die übliche Form umformen.
c
vi
in
3.2. WELLENPHÄNOMENE
47
Abbildung 3.5: Illustration des Prinzips von Huygens am Beispiel der Spiegelung
Anmerkung:
1. Im folgenden Applet ist das verstehen der Brechung mithilfe des Prinzips
von Huygens relativ schön dargestellt (Applet).
2. Wenn die Geschwindigkeit einer Welle sich ändert und die Geschwindigkeit
einer Welle durch c = λν gegeben ist. Ändert sich die Wellenlänge oder
die Frequenz beim Übergang eines Lichtstrahls vom optisch dünneren ins
optisch dichtere Medium?
3. Beim Übergang in ein Medium mit grösserer Ausbreitungsgeschwindigkeit
kann für Winkel grösser als arcsin(v1 /v2 ) gemäss Brechungsgesetz kein
Übertritt der Welle erfolgen. In Tat und Wahrheit wird das anschliessende
Medium auch von der Störung erfasst. Die Intensität fällt aber innerhalb
einer Wellenlänge exponentiell ab und es erfolgt Totalreﬂexion.
48
KAPITEL 3. OPTIK
2
1.5
1
s
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-60
-40
-20
0
20
40
60
t
Abbildung 3.6: Illustration der Schwebung.
4. Es wird auch schon für kleinere Winkel als den oben genannten Reﬂexion
der Lichtwelle beobachtet. Das reﬂektierte Licht ist zum Teil polarisiert
(siehe später im Skript).
Rechenbeispiele
1. Ein Lichtstrahl tritt von Luft (n = 1) in Plexiglas(n = 1.5) ein.
(a) Der Lichtstrahl tritt unter dem Winkel α = 30◦ zum Lot ein. Wie
gross ist der Brechungswinkel? (Lösung:19.5◦ zum Lot)
(b) Wie gross ist der Winkel ab dem Totalreﬂexion eintritt? (Lösung:α =
41.8◦ )
(c) Wie stark wird der Lichtstrahl gebrochen, wenn man statt Luft, Wasser (n = 1.33) verwendet? (Lösung:26.3◦ zum Lot)
3.2.5
Schwebung
Hören wir einmal zwei Instrumenten zu die schlecht gestimmt sind. Beide spielen den gleichen Ton (ω1 und ω2 ), die beiden Frequenzen sind aber ein bisschen
unterschiedlich, da die Instrumente schlecht gestimmt sind. Dann hören wir ein
auf- und abschwellen eines Tones. Dies kann relativ einfach verstanden werden.
Addieren wir dazu nach dem Superpositionsprinzip 2 Wellen mit gleicher Amplitude und leicht verschiedener Frequenz.
(ω1 −ω2 )t
2 )t
·
cos
S(t) = sin(ω1 t) + sin(ω2 t) = 2 sin (ω1 +ω
2
2
(ω1 +ω2 )t
Da die beiden Frequenzen nahezu identisch
≈ ω1 · t.
2
sind gilt
(ω1 −ω2 )t
ist. Nach dem AnalysisDaraus folgt, dass S(t) ≈ 2 sin (ω1 t) cos
2
skript ist die Cosinusfunktion die Einhüllende der Sinusfunktion. Dies besagt,
49
2.6
2.8
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
3
Amplitude
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
Amplitude
Amplitude
3.2. WELLENPHÄNOMENE
2.72
Zeit [s]
2.76
2.8
Zeit [s]
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
2.72
2.722 2.724 2.726
Zeit [s]
0.4
Amplitude
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Zeit [s]
Abbildung 3.7: Schwebung bei 2 Stimmgabeln.
dass die Amplitude der Sinusfunktion periodisch mit der Kreisfrequenz
auf und abschwillt.
(ω1 −ω2 )
2
In der folgenden Abbildung 3.7 ist ein reales Beispiel einer Schwebung von 2
Tönen von Schwinggabeln abgebildet. Bei den oberen Bildern wurde von links
nach rechts succesive der betrachtete Zeitabschnitt verkleinert.
3.2.6
Interferenz
Wir haben beim Huygen’schen Prinzip von der Superposition gesprochen. Treffen verschiedene Wellen am gleichen Ort ein, so addieren sich die verschiedenen
Störungen (falls die Störung vektoriellen Charakters ist, so addieren diese sich
vektoriell), sofern sie nicht zu gross sind.
Interferenz entsteht durch die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz. Löschen sich die Wellen aus, so spricht man von destruktiver Interferenz. Wird die Intensität dagegen erhöht so wird dies konstruktive Interferenz
genannt.
Normalerweise wird bei der Interferenz ein räumliches Muster betrachtet.
Um das ganze zu verstehen betrachten wir den einfachsten Fall: 2 Quellen in
einem Abstand d voneinander. Haben die beiden Quellen die gleiche Phase, so
kann die Störung an jedem Punkt des Raumes ausgerechnet werden. Ist die Diﬀerenz des Weges (wird Gangunterschied genannt) ein mehrfaches der Wellenlänge
λ, so wird konstruktive Interferenz beobachtet. Ist diese hingegen λ2 , 3λ
2 , . . . so
wird destruktive Interferenz beobachtet.
50
KAPITEL 3. OPTIK
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
10
10
8
8
6
6
y
y
4
4
2
2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Abbildung 3.8: Bei den Punkten x =
Abbildung 3.9: Die mittlere Intensität
±1 und y = 0 werden Wellen ausgevon den 2 Quellen, welche sich an den
sandt. Die verschiedenen Farben geben
Punkten x = ±1 und y = 0 beﬁndie Amplitude der Welle an. Es existieden. Die verschiedenen Farben geben
ren 6 Richtungen in welcher destruktive
die mittlere Intensität der Welle an. Die
Interferenz (Amplitude 0) ersichtlich ist.
destruktive Interferenz (mittlere AmpliDie konstruktive Interferenz zwischen
tude 0) und die konstruktive Interferenz
den Streifen der destruktiver Interferenz
(mittlere Amplitude 2) ist hier gut sichtist schlechter sichtbar.
bar.
In dem Bild 3.8 ist eine solche Situation abgebildet. Man muss sich aber
bewusst sein, dass dies einem Foto entspricht, so dass sich dieses Muster permanent ändert.
Nun ist die Frequenz der elektromagnetischen Wellen so hoch dass unsere Augen und üblicherweise die Messgeräte nur den zeitlichen Mittelwert des
eintreﬀenden Energiestromes messen. Dieser ist proportional zum Quadrat der
Amplitude. Im Bild 3.9 ist der zeitliche Mittelwert des Beispiels 3.8 ersichtlich.
Man sieht hier die konstruktive und destruktive Interferenz viel besser.
Beispiel
Wir betrachten 2 Quellen, welche Licht gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Phase aussenden. Mit gleicher Phase ist gemeint, dass die
beiden Wellen zur gleichen Zeit ihr Maximum und ihr Minimum besitzen. Die
erste Quelle sei an der Position x = − ∆
2 und die zweite Quelle an der Position
.
Um
es
so
einfach
wie
möglich
zu machen betrachten wir das ganze in
x= ∆
2
einer Dimension. Wir müssen nun 2 verschiedene Fälle betrachten, welche sich
mathematisch ein bisschen unterscheiden.
1. Amplitude zwischen den beiden Quellen
Die Welle welche von der Quelle 1 ausgesandt wird bewegt sich in positiver
Richtung, also ist die Amplitude durch S1 (x, t) = s0 cos ωt − k x + ∆
2
gegeben. Die Welle 2 bewegt sich in negativer Richtung und damit ergibt
sich S2 (x, t) = s0 cos ωt + k x − ∆
. Damit ist die gesamte Amplitude
2
gegeben durch S(x, t) = S1 (x, t) + S2 (x, t). Vereinfachen
wir
einmal mit
a−b
cos
) die DarstelHilfe der Analysis (cos(a) + cos(b) = 2 cos a+b
2
2
k∆
lung der Amplitude ist nun also S(x, t) = 2s0 cos ωt + 2 cos(kx). Die
Intensität I die wir messen ist der zeitliche Mittelwert vom Quadrat der
51
3.2. WELLENPHÄNOMENE
Amplitude.
I=
1
τ
Rτ
0
2
2π
S 2 (x, t)dt =
2s20 cos (kx)
1
τ
Rω
0
4s20 cos2 (kx) cos2 ωt +
k∆
2
dt =
4s20 cos2 (kx)
τ
τ
2
=
2. Amplitude links von der Quelle 1 oder rechts von der Quelle 2
Wir berechnen nur die Amplitude links von der Quelle 1. Dort bewegen
sich beide Wellen in die negative Richtung und
Am damit erhält man eine
∆
+
s
cos
ωt
+
k
x
−
=
plitude von S(x, t) = s0 cos ωt + k x + ∆
0
2
2
2s0 cos (ωt + kx) cos k∆
.
Damit
berechnet
man
eine
Intensität
von
I
=
2
2s20 cos2 k∆
2
Also ausserhalb der beiden Quellen sind die Amplituden nicht von der Position abhängig. Man kann da positive Interferenz oder negative Interferenz beobachten. Falls k∆
2 = nπ mit einer ganzen Zahl n, ist die Intensität ausserhalb
der beiden Quellen maximal und man beobachtet somit konstruktive Interfeπ
renz. Ist hingegen k∆
2 = nπ + 2 , dann ist die Intensität 0 und somit beobachtet
man destruktive Interferenz. Hier kann man sehr gut das zustande kommen von
destruktiver resp. konstruktiver Interferenz studieren. Bei der destruktiven Interferenz ist der Abstand ein 21 , 23 , . . . faches der Wellenlänge. Da k = 2π
λ ist,
1
=
+nπ
umformen.
In
der
Abbildung
3.10
kann man die obere Bedingung zu ∆
λ
2
ist diese Situation für t = 0 abgebildet. Man beobachtet, dass die Amplituden
der Quelle 1 an jedem Ort genau entgegengesetzt der Amplitude der Quelle 2
ist. Damit addieren sich die beiden Amplituden, ausserhalb dem mittleren Teil
immer zu 0. Bei der konstruktiven Interferenz sind die beiden Amplituden der
Quellen immer gleich gross und addieren sich so maximal.
Betrachten wir nun den mittleren Teil, in diesem Teil ist die beobachtete
Intensität von x abhängig. Je nach Abstand sieht man mehrere maximale und
minimale Intensitäten. Die Anzahl der Maxima ist vom Verhältnis vom Abstand
∆ zu der Wellenzahl k abhängig.
Anmerkung
Alle Phänomene die mit Interferenz zu tun haben, können nur mittels dem
Wellencharakter erklärt werden.
52
KAPITEL 3. OPTIK
1
Quelle 1
Quelle 2
S(x)
S
0.5
0
-0.5
-1
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x in Einheiten der Wellenlaenge
Abbildung 3.10: Erklärung der destruktiven Interferenz. Es ist die Amplitude
der Störung 1, der Störung 2 und die Summe der beiden aufgetragen.
Interferometer
Im folgenden ist ein schematischer Aufbau eines Michelson Morley Interferometer abgebildet. Dabei wird ein Strahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel
in 2 Strahlen aufgeteilt. Die beiden Strahlen werden separat von 2 verschiedenen Spiegeln reﬂektiert und auf den halbdurchlässigen Spiegel zurück geworfen.
Dabei werden sie dann wieder ‘gemischt‘. Man misst dann die Intensität des
Lichtstrahls in Abhängigkeit der Verschiebung von einem der reﬂektierenden
Spiegel (siehe Abbildung 3.11). Betrachten wir nun einmal diesen Aufbau genau gleich, wie oben.
Strahl 1 kann mithilfe der Amplitude S1 = s0 cos (ωt − k (x + ∆1 )) und
des Weges des Strahles ∆1 beschrieben werden. Strahl 2 kann dann natürlich
dementsprechend durch S2 = s0 cos (ωt − k (x + ∆2 )) beschrieben werden. Die
Amplitude der beiden Lichtstrahlen sind natürlich gleich gross, da es sich ja
um einen halbdurchlässigen Spiegel handelt. Wir beschreiben nun den Wegunterschied vom Lichtstrahl 2 mithilfe des Wegunterschiedes von Weg 1 und der
Verschiebung δ des Spiegels. Der Wegunterschied des Lichtstrahls entspricht also 2 Mal der Verschiebung des Spiegels. Berechnen wir nun die Superposition
und die gemittelte Amplitude.
Stot = S1 + S2 = s0 (cos (ωt − k (x + ∆1 )) + cos (ωt − k (x + ∆1 + 2δ)))
Dies kann wieder mithilfe der Additionstheorem vereinfacht werden.
Stot =
s0
2
· cos (ωt − k (x + ∆1 ) − k · δ) cos (k · δ)
Die wahrnehmbare Intensität des Lichtstrahls ist dann wieder das zeitliche
Mittel über eine Periode der Intensität, also der Amplitude im Quadrat.
53
3.2. WELLENPHÄNOMENE
Abbildung 3.11: Aufbau eines Michelson Morley Interferometers.
I =
1
τ
Rτ
0
cos2 (k · δ) ·
2π
2
Stot
dt =
τ
2
=
s20
2
s20
τ
· cos2 (k · δ)
· cos2 (k · δ)
Rω
0
cos 2 (ωt − k (x + ∆1 ) − k · δ dt =
s20
τ
·
Die Intensität des Lichtstrahls variiert also in Abhängigkeit der Verschiebung
des Spiegels. Diese ist natürlich auch wieder von der Wellenlänge des Lichtes
abhängig.
Bei einem FT-IR Gerät wird nun die Intensität des Lichtes in Abhängigkeit der Verschiebung des Spiegels gemessen. Um Unterschied zur obigen Betrachtung werden aber bei einem FT-IR Gerät nicht monochromatisches Licht,
sondern polychromatisches Licht verwendet. Es kann gezeigt werden, dass die
gemessene Intensität des Lichtes durch die Superposition der Intensitäten der
verschiedenen Wellenlängen gegeben ist. Es gilt also:
Itot =
P
W ellenlängen
I(λ) =
P
W ellenlängen
s20 (λ)
2
· cos2 (k · δ)
Ein Vergleich mit der Fourierreihe zeigt eine starke Ähnlichkeit auf, falls man
s2 (λ)
k durch n, δ durch x, 02 durch die Amplitude und cos2 (x) durch 1+cos(2x)
2
ersetzt. In der Abbildung 3.12 sind die gemessenen Intenitäten in Abhängigkeit
der Position des Spiegels abgebildet. Man hat in diesem Fall ein ‘Gemisch‘ von
verschiedenen Wellenlängen.
54
KAPITEL 3. OPTIK
Originaldaten Interferogram
0.3
Background
0.2
Art Intensitaet
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
7150
7200
7250
7300
7350
7400
7450
7500
7550
Position
Abbildung 3.12: Originaldaten der Intensitäten des Backgrounds eines IRInterometers.
Beugung an Transmissionsgittern
Beugung am Spalt
Wir betrachten eine Wand, welche einen Spalt besitzt. Nun senden wir eine Welle der Wellenlänge λ auf die Wand. Falls der Spalt eine Breite in der
Grössenordnung der Wellenlänge hat, so sieht man ein erstaunliches Muster auf
einem in der Distanz l aufgestellten Schirm.
Dieses Phänomen kann relativ einfach mit Hilfe der Interferenz erklärt werden. Nach dem Huygens’schen Prinzip gehen nun von allen Punkten entlang
dem Spalt neue Kugelwellen aus, die dahinter interferieren.
Leider lassen sich die Maximas und Minimas nicht so einfach berechnen. Um
die Idee und ein Verständnis für das Phänomen zu bekommen betrachten wir die
Beugung am Doppelspalt mit Abstand d voneinander. Das Muster an der Wand
sieht bei diesem Experiment sehr ähnlich zum vorherigen Experiment aus. Nun
kann man aber hier die Richtungen, in welcher Maximas oder Minimas gefunden
werden einfach erklären. Nach dem Huygensschen Prinzip sendet jeder Spalt eine Kugelwelle aus. Ein Maximum wird beobachtet, falls der Gangunterschied
eines mehrfachen der Wellenlänge λ entspricht. Dies ergibt einen Winkel αn von
sin(αn ) =
nλ
d
Das Minimum wird bei
sin(αn ) =
(2n+1)λ
2d
beobachtet.
Man ﬁndet also endlich viele Maximas und Minimas, da die Umkehrfunkti-
55
3.2. WELLENPHÄNOMENE
1
0.9
Intensität
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.5
1
1.5
Winkel
-1.5
-1
-0.5
0
Winkel
Abbildung 3.13: Muster auf dem Schirm bei der Beugung am Einfachspalt
on des Sinus nur für Argumente kleiner als 1 deﬁniert ist. Die Intensität dieser
Maxima nimmt mit steigendem n rapide ab, sodass man normalerweise nur ein
paar wenige sieht.
Die Positionen der Minimas beim Einfachspalt mit Breite b lassen sich auch
exakt angeben und sind durch sin(αn ) = nλ
b gegeben. Die Positionen der Maxi.
mas können nur näherungsweise gegeben werden und sind bei sin(αn ) = (2n+1)λ
2b
Beim obigen Fall des Doppelspaltes sind wir davon ausgegangen, dass die
Spälte unendlich dünn sind. nimmt man nun an, dass diese eine endliche Breite besitzen, so sieht man Haupt- und Nebenmaxmimas. Die Hauptmaximas
kommen von den Spaltbreiten b her und die Nebenmaximas kommen von den
Abständen der Spälte (siehe Abbildung 3.14).
Für Chemiker besonders wichtig ist die Beugung am Gitter, da die heutigen
Geräte normalerweise keine Prismas, sondern Gitter oder auch die Methode der
Fouriertransformation benutzen.
Fixiert man nun Drähte parallel nebeneinander mit konstantem Abstand
zwischen ihnen, so kann jeder Draht oder jeder Punkt auf jedem Draht, als Ursprung von einer Kugelwelle betrachtet werden. Normalerweise werden Gitter
benutzt welche die Strahlung reﬂektieren. Die gleichen Überlegungen, wie beim
Doppelspalt, führen zu denselben Resultaten, wo die Maxima und Minima liegen, ausser dass statt des Abstands die Gitterkonstante g des Gitters eingesetzt
werden muss. Diese ist ja aber nichts anderes als der Abstand zwischen den
Gitterlinien.
nλ = g sin(αn )
56
KAPITEL 3. OPTIK
Doppelspalt mit λ = 520nm, d = 10µm und b = 2µm
0.9
0.8
Hauptminimas
Intensitaet
0.7
0.6
0.5
0.4
Nebenminimas
0.3
0.2
0.1
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
α[rad]
Abbildung 3.14: Muster auf dem Schirm bei der Beugung am Doppelspalt mit
Haupt- und Nebenminimas.
Der grosse Vorteil der Gitter ist, dass die Intensität der Nebenmaximas stark
reduziert (siehe Bild 3.15) wird, wobei man hier davon ausgeht, dass die Spälte
unendlich dünn sind. Daher kommen die Nebenmaximas von der Anzahl der
Spälte her.
Nun können wir verstehen wie ein Beugungsgitter funktioniert, obwohl das
obige nur für Transmissionsgitter gilt. Die Reﬂexionsgitter funktionieren prinzipiell auf die selbe Weise. Wir betrachten dazu die Graﬁk und bemerken, dass
jede Licht mit einer genau speziﬁzierten Wellenlängen praktisch nur in genau
speziﬁschen Richtung beobachtet wird (siehe Bild 3.16).
Beispiel
1. Die Natur hat gewisse Tierarten auch mit einem Beugungsgitter ausgestattet. Diese erscheinen farbig, obwohl sie keinen Farbstoﬀ besitzen. z.B.
Schmetterlinge.
2. Die Beugung bewirkt, dass man Objekte nicht beliebig ’genau’ abbilden
kann. Da dann immer ein Beugungsmuster entsteht.
3. Zur Bestimmung der Kristallstruktur werden Beugungsgexperimente durchgeführt, welche anschliessend Aufschluss über die räumliche Lage der einzelnen Atome geben. Für diese Experimente werden Röntgenstrahlung
benutzt, da die interatomaren Abstände sehr klein sind.
Rechenbeispiele
1. Ein Laserstrahl der Wellenlänge λ = 498nm tritt auf einen Doppelspalt
mit einem Abstand d = 1µm.
(a) Geben sie die Winkel an, unter denen man maximale und minimale
Intensität beobachtet.
57
3.2. WELLENPHÄNOMENE
g = 100
Beugung am Gitter
pro mm und
λ = 520 · 10−9 m
1
2fah
4fah
10fah
Intensität
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Winkel in Radiant
Abbildung 3.15: Muster auf dem Schirm bei der Beugung am Doppelspalt, Vierfachspalt und Zehnfachspalt mit Haupt- und Nebenminimas.
Beugung am Gitter g=100 und 10 fah
1.2
λ = 520nm
λ = 650nm
1
Intensitat
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Winkel in Radiant
Abbildung 3.16: Muster auf dem Schirm bei der Beugung am Zehnfachspalt für
2 verschiedene Wellenlängen.
58
KAPITEL 3. OPTIK
reflektiert an
Vorderseite Rueckseite
fend
einlau
Phasensprung
Abbildung 3.17: Erklärung der Interferenz an dünnen Schichten.
Maximas bei α = 0◦ , α = 29.9◦ und α = 84.9◦ und Minimas bei
α = 14.4◦ und α = 48.3◦ .
(b) Wieviele Maximas existieren, wenn der Spalt auf 46µm verbreitert
wird? (Lösung:92)
2. Auf ein optisches Gitter mit der Gitterkonstante g = 4.0 · 10−6 m fällt
Licht der Wellenlänge 400nm − 750nm. Weisen sie rechnerisch nach, dass
sich die Spektren 2. und 3. Ordnung sich überlappen
Reflexion an dünnen Schichten
Betrachten wir Seifenblasen, die von der Sonne angestrahlt werden, so sehen
wir verschiedenste Muster mit den Spektralfarben auf dieser Seifenhaut. Dies
ist auch ein Interferenzeﬀekt. Aus physikalischen Gründen passiert es häuﬁg,
dass bei einer Reﬂexion ein sogenannter Phasensprung eintritt. Dieser ändert
die Phase des reﬂektierten Strahls um einen fest deﬁnierten Winkel und tritt
nur auf, falls man am optisch dichteren Medium reﬂektiert.
Die Erklärung der Farbe der Seifenhaut kann man einfach auf den Gangunterschied des Strahls der an der vorderen beim Eintritt ins optisch dichtere
Medium mit denjenigen des an der Rückseite reﬂektierten Strahls erklärt werden. In dem speziellen Fall beträgt der Phasensprung genau π. Falls der Strahl
senkrecht eintritt, so erhält man Minima für kλ = 2dn. Achtung hier ist n der
Brechungsindex des optisch dichteren Mediums, k gibt die Ordnung an und d
ist die Dicke der Schicht.
3.2. WELLENPHÄNOMENE
3.2.7
59
Dopplereffekt
Bewegen sich die Quelle und/oder der Beobachter so ist die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz gegenüber der Senderfrequenz verändert. Bei
Annäherung wird die Frequenz erhöht, bei Entfernung erniedrigt. Im Falle mechanischer Wellen gibt es unterschiedliche Formeln je nachdem, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt.
Beispiel
Das Sirenengeräusch eines Feuerwehrautos hat eine höhere Frequenz wenn es
sich uns nähert als wenn es sich von uns entfernt. Man kann sich das so vorstellen,
dass das so etwas wie die Wellen ’zusammendrückt’ wenn es auf uns zufährt und
daher erreichen uns mehr Wellenberge
pro Zeit. Die wahrgenommene Frequenz ν
kann lässt sich mittels ν = ν0 1 + vc berechnen. Wobei ν0 die Frequenz ist mit
der das Feuerwehrauto die Schallwellen aussendet, c die Schallgeschwindigkeit ist
und v die Geschwindigkeit ist mit der sich das Feuerwehrauto auf uns zubewegt.
Aufgrund von diesem Eﬀekt lässt sich auch die relative Geschwindigkeit einer
Sonne zur Erde bestimmen. Man benutzt dabei, dass die Atome Licht mit genau
deﬁnierter Wellenlänge aussendet und man somit das ν0 kennt. Die Gleichung
zur Berechnung muss aber wegen der Relativität ein bisschen verändert werden.
Beispiel
Ein Polizeiauto fährt mit der Geschwindigkeit von 80km/h und die Sirene
heult mit der Frequenz ν = 1kHz und der Wellengeschwindigkeit c = 340m/s.
Mit welche Frequenz hört man die Sirene, falls das Auto sich auf uns zubewegt
oder wegfährt.
Auf uns zu: ν = 1000 1 + 22.22
= 1065Hz
340
22.22
weg: ν = 1000 1 − 340 = 935Hz
3.2.8
Stehende Wellen und Eigenschwingung
Betrachten wir zwei Wellen, eine die sich nach links bewegt und eine die sich nach
rechts bewegt. Man unterscheidet dabei die Reﬂexion am oﬀenen Ende (bzw am
Medium mit der grösseren Wellengeschwindigkeit) und am festen Ende (bzw am
Medium mit der kleineren Wellengeschwindigkeit). Die folgenden Formeln und
Skizzen beziehen sich auf vollständige Reﬂexion. Die Phasenverhältnisse sind
bei nur teilweiser Reﬂexion aber dieselben. Man betrachtet dabei die Überlagerung von der beiden Wellen.
Reflexion am fixierten Ende
Die einlaufende resp. reﬂektierte Welle wird durch s1 (x, t) = sin(ωt − kx) resp.
s2 (x, t) = sin(ωt + kx + π) gegeben. Die Superposition dieser Wellen kann dann
geschrieben werden als:
S(x, t) = s1 (x, t) + s2 (x, t) = −2 cos(ωt) sin(kx)
60
KAPITEL 3. OPTIK
Dies ergibt also eine Amplitude der Störung die zeit- aber auch ortsabhängig
ist. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass man die Ortsabhängigkeit wie eine
maximale Amplitude am Ort x betrachten kann. z.B. ist kx = nπ so ist der
Sinus davon immer 0 und somit ist die Funktion identisch 0 an diesem Ort. Ein
solcher Ort wird Knoten genannt. Andererseits kann natürlich kx = (n + 21 )π
sein, der Betrag des Sinus davon Maximal. Dieser Ort wird Bauch genannt.
Ist das Ausbreitungsmedium beidseitig begrenzt, so können sich nur solche
stehende Wellen ausbilden, welche in die Begrenzung passen. Solche werden
dann Eigenschwingungen genannt.
Reflexion am freien Ende
Die obigen Überlegungen können auch für eine Störung mit einem freien Ende
gemacht werden. Unter freien Ende soll man sich ein Seil, dass man am einem
Ende hält und am anderen frei ist, vorstellen.
Es ergeben sich die folgenden Positionen für die Knoten und Bäuche.
Knoten: kx = (n + 21 )π
Bäuche: kx = nπ
Beispiel
1. Saiten eines Instrumentes wie einer Gitarre. Die Eigenschwingung muss
an den beiden Enden einen Knoten haben, da die Saite da eingespannt ist.
Die Eigenschwingungen einer Gitarre mit der Saitenlänge l sind gegeben
durch.
λ · n = 2l für n > 0. Dabei ist die Eigenschwingung für n = 1 die Grundschwingung und die Eigenschwingungen für n > 1 werden n − 1 te Oberschwingung genannt.
2. Bei Orgelpfeiﬀen ist es so, dass man einen Bauch am oﬀenen Ende und
einen Knoten am Anfang hat. Die Orgelpfeiﬀen der Länge l haben dann
Eigenschwingungen die der Bedingung l = λ4 (2n + 1) genügen.
Die Erzeugung von Tönen durch die menschliche Stimme und durch Musikinstrumente beruht auf Anregung von Eigenschwingungen. Die Anregung selbst
ist keine Schwingung. Beim Streichen einer Saite etwa wird diese durch die Haftreibung ein kleines Stück mitgerissen, dann löst sie sich und gleitet zurück, wird
wieder gefasst etc. Die Frequenz der Anregung muss sich durch einen Rückkopplungsmechanismus auf die Resonanzfrequenz einstellen, ansonsten sind keine harmonischen Töne zu hören.
Eigenschwingen gibt es auch in 2 und 3 Dimensionen.
61
3.3. POLARISATION
Rechenbeispiele
1. Eine einseitig geschlossene Orgelpfeife ist auf den Grundton ν = 264Hz
abgestimmt. (c = 340m/s)
(a) Bestimmen sie die Länge der Pfeife. (Lösung: l =
85
264
≈ 0.322m)
(b) Geben sie die Frequenzen der ersten 3 Oberschwingungen an. (Lösung:ν =
792Hz, ν = 1320Hz und ν = 1848Hz)
3.3
Polarisation
Wir betrachten hier vor allem elektromagnetische Wellen. Bei der elektroma~ und das B-Feld
~
gnetischen Welle schwingt das E
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Zusätzlich sind die beiden Felder auch noch senkrecht aufeinander.
~
Bei linear polarisierten Licht schwingt das E-Feld
in einer Ebene. Von technischer Bedeutung ist auch noch circular polarisiertes Licht. Man muss sich
dabei vorstellen, dass sich der E-Feld Vektor wie auf einer Helix fortbewegt.
Dies kann entweder links herum oder rechtsherum geschehen (links oder rechts
circular polarisiert). Das Licht aller Lichtquellen, ausser der von Lasern ist nicht
polarisiert. Das E-Feld schwingt statistisch in allen möglichen Richtungen.
Aufgrund der Vektornatur des E-Feldes kann das Schwingung immer in 2
senkrecht zueinander stehender Polarisationen aufgespalten werden.
3.3.1
Herstellung von polarisiertem Licht
Polarisationsfilter
Ein Polarisationsﬁlter lässt nur Licht einer bestimmten Polarisierung des Filters
durch. Demzufolge ist das Licht, welches den Polarisationsﬁlter verlässt, immer
polarisiert. Diese bestehen normalerweise aus einem Polymer, bei welchem alle
Polymermoleküle ausgerichtet sind. Dies führt normalerweise auf linear polarisiertes Licht.
Polarisation durch Streuung
Das Licht wird z.B. an der Atmosphäre an Atomen gestreut. Die Streuung ist
von der Wellenlänge abhängig. Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes, daher
ist der Himmel auch blau und der Sonnenunter- bzw. Sonnenaufgang auch rot.
Nun ist es so, dass je kleiner der Streuwinkel ist, desto weniger ist das Licht
polarisiert. Also ist senkrecht zu der Ausbreitungsrichtung gestreutes Licht am
stärksten polarisiert.
Brewster-Winkel
Wir haben die Brechung an optisch dichteren Medien schon betrachtet. Es ist
nun so, dass das Licht nicht nur gebrochen wird, sondern auch schon bevor
Totalreﬂexion eintritt, ein Teil des Lichtes reﬂektiert wird. Es zeigt sich, dass
62
KAPITEL 3. OPTIK
Abbildung 3.18: Erklärung des Brewsterwinkels.
ein Einfallswinkel existiert, bei welchem das reﬂektierte Licht vollständig polarisiert ist. Dieser Winkel wird Brewsterwinkel genannt. Dies ist der Fall, wenn
gebrochener und reﬂektierter Strahl genau senkrecht aufeinander stehen. Dann
schwingt der polarisierte, reﬂektierte in der Richtung der Oberﬂäche. Dies kann
relativ einfach durch Anregung von Dipolen verstanden werden.
Doppelbrechung
Die Polarisation wurde zuerst durch ein solches Experiment beobachtet. Heute
ist die Doppelbrechung industriell unwichtig. Viel häuﬁger ﬁnden Polarisationsﬁlter Anwendung.
Alle nicht kubischen Kristalle sind doppelbrechend. Es entsteht ein ordentlicher gebrochener Strahl, welcher dem normalen Brechungsgesetz gehorcht und
ein ausserordentlicher Strahl, welcher das nicht tut. Insbesondere wird der ausserordentliche Strahl auch bei senkrechtem Einfall gebrochen.Die beiden Strahlen sind senkrecht zueinander polarisiert und haben im allgemeinen unterschiedliche Geschwindigkeiten.
Nicol’sches Prisma: zwei Kalkspatkristalle sind aneinander gekittet. An der Kittstelle wird der ordentliche Strahl durch Totalreﬂexion ausgeblendet. Das durchgehende Licht ist zu 100% polarisiert.
3.4. LICHTQUELLEN
3.4
63
Lichtquellen
Die Entstehung von Licht kann man im Wellenmodell oder im Teilchenmodell
beschreiben. Im Wellenmodell betrachtet man atomare und molekulare ’Sendeantennen’. Im Teilchenmodell werden Photonen ausgesandt, deren Energie
der Energiediﬀerenz zweier quantenmechanischer Energieniveaus entspricht. In
diesem Bild ist auch leicht verständlich, dass nur Licht passender Frequenz absorbiert werden kann. Durch die Abstrahlung wird die Besetzung der Energieniveaus verändert und so der Energieinhalt des Systems verringert.
Je nach Lichtquelle ist das eine oder andere Modell von Vorteil.
3.4.1
Thermische Strahler
Ein Körper der sich im Gleichgewicht mit seiner Umgebung beﬁndet, strahlt
gleichviel elektromagnetische Strahlung ab, wie er aufnimmt. Dies bezieht sich
nicht nur auf die Energiemenge sondern auch auf die Energiemenge pro Wellenlänge.
Dies führt auf ein gegen die Intuition laufende Beziehung.
Ein guter resp. schlechter Absorber ist auch ein guter resp. schlechter Emitter.
Schwarzkörperstrahler
Betrachten wir zuerst die Absorption von Strahlung. Wir betrachten dabei einen
sogenannten schwarzen Körper, dass heisst ein Körper der die ganze auftreﬀende
Strahlung absorbiert. Er ist zugleich eine ideale thermische Strahlungsquelle, die
elektromagnetische Strahlung mit einem charakteristischen, nur von der Temperatur abhängigen Spektrum aussendet.
Ein idealer schwarzer Körper lässt sich nicht realisieren, da es keine Materialien gibt, welche elektromagnetische Wellen frequenzunabhängig vollständig
absorbieren. Am nächsten kommt ihm die Öﬀnung eines Hohlraumstrahlers.
Wenn wir nun die Abstrahlung untersuchen wollen, sollten wir uns den
Körper heisser vorstellen als die Umgebung. Betrachten wir den Hohlraum, dessen Öﬀnung ein schwarzer Körper ist. Die Wände des Hohlraums sollen auf der
Temperatur T gehalten werden. Die Wände senden elektromagnetische Strahlung aus und zwar so dass Gleichgewicht zwischen Absorption und Emission
herrscht. Die Strahlungsintensität S(λ, T ) in Abhängigkeit der Wellenlänge λ
kann am Loch gemessen werden. Planck hat zur Erklärung dieser Strahlungsintensität angenommen, dass Resonatoren mit einer gequantelten Energie für die
Strahlung verantwortlich sind. Mit dieser These konnte er dieses Problem lösen
und hat dabei die Quantenmechanik begründet.
S(λ, T ) =
1
2πhc2
λ5 exp( hc )−1
λkT
64
KAPITEL 3. OPTIK
Dabei ist h = 6.62 · 10−34Js die Planck’sche Konstante, c die Lichtgeschwindigkeit und k = 1.38 · 10−23 J/K die Boltzmankonstante.
Vor Planck haben verschiedene Physiker verschiedene Gesetze bezüglich der
Strahlung eines schwarzen Körpers gefunden.
Ein schwarzer Körper der absoluten Temperatur T mit der Fläche A hat eine
Strahlungsleistung P von P = σAT 4 . Die Konstante σ beträgt 5.67 · 10−8 mW
2K4 .
Die Konstante σ kann auch mittels dem Gesetz von Planck berechnet werden.
σ=
2π 5 kb4
15h3 c2
Falls wir einen Stern in einem Fernrohr betrachten, so können wir seine Oberﬂächentemperatur durch das Maximum des Emmissionsspektrums abschätzen.
Dieses Abschätzung wird Wiensches Verschiebungsgesetz genannt. Es gilt,
dass λmax · T = 2.9 · 10−3 m · K. Die Wellenlänge ist dabei in Meter und die
Temperatur ist in Kelvin. Auch dieses Gesetz kann mittels des Planckgesetzes
hergeleitet werden.
Beispiel
Berechne die Temperatur der Sonne mittels der Strahlungsleistung. Auf der
Erde triﬀt eine Strahlungsleistung von 1400W/m2 auf.Der Abstand Erde-Sonne
beträgt r = 149.6 · 106 km und der Radius der Sonne beträgt rS = 700000km,
welche Temperatur besitzt dann die Sonne, falls sie ein perfekter schwarzer
Körper wäre und bei welcher Wellenlänge liegt das Maximum der Strahlungsemission?
Kaltstrahler
Kaltstrahler sind Systeme, die in sich selbst nicht im thermodynamischen Gleichgewicht sind. Dieses Ungleichgewicht wird durch einen nicht-thermischen Mechanismus bewirkt. Für die Rückkehr zum thermodynamischen Gleichgewicht
konkurrieren zwei Prozesse:
1. strahlungslose Uebergänge, dabei disipiert die Energie im System; es wird
erwärmt.
2. Abstrahlung elektromagnetischer Wellen
Der Oberbegriﬀ für das Leuchten infolge nicht-thermischer Anregung ist
Lumineszenz. Die Lumineszenz ist praktisch unabhängig von der Temperatur
und wird durch Auswahlregeln und Übergangswahrscheinlichkeiten bestimmt.
Man unterscheidet je nach Anregungsmechanismus
1. Chemolumineszenz (in biologischen Systemen Biolumineszenz)
2. Elektrolumineszenz (Leuchtdioden)
3.4. LICHTQUELLEN
65
3. Gasentladung (ungeheure Vielfalt verschiedener Lampentypen)
4. Fluoreszenz bzw. Phosphoreszenz (Anregung durch elektromagnetische
Strahlung)
Vorteile der Kaltstrahler sind ihr hoher Wirkungsgrad und die für manche
Anwendungen geeignete Charakteristik des Spektrums (oft kein Kontinuum,
sondern nur wenige scharfe Spektrallinien).
Laser
Laser ist die Abkürzung für Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation.
Grundlage ist die Eigenschaft von Atomen und Molekülen, dass ihre Elektronen in diskreten Energieniveaus binden. Elektro-magnetischer Strahlung passender Frequenz (hν = ∆E) ermöglichen Übergänge der Elektronen zwischen
verschiedenen Energieniveaus. Einstein formulierte, dass die Absorption (Übergang ihn das energetisch höher gelegene Niveau) und die induzierte Emission
(Übergang ihn das energetisch tiefer gelegene Niveau) à priori gleich wahrscheinlich sind. Der Anteil der beiden Prozesse wird also nur durch die Besetzung der
Ausgangsniveaus bestimmt. Bei der induzierten Emission löst das auftreﬀende
Photon ein zweites mit gleichen Eigenschaften aus, also mit derselben Ausbreitungsrichtung, derselben Frequenz, derselben Phase und derselben Polarisation.
Dieser Prozess kann lawinenartig wiederholt werden - sofern genügend Elektronen im höheren Niveau sind. Im thermischen Gleichgewicht ist ein Niveau
umso stärker besetzt je tiefer seine Energie ist. Mit nur zwei Niveaus kann man
höchstens Gleichbesetzung erreichen (dynamisches Gleichgewicht). Um die für
den Laser erforderliche Besetzungsinversion zu erreichen sind mindestens drei
Niveaus nötig.
Durch einen Pumpmechanismus (optisch, durch Stösse, elektrisch) werden
Elektronen aus dem Grundzustand angeregt. Bei der Rückkehr (die je nach
aktivem Medium verschiedene Schritte beinhaltet) spielen zwei Niveaus die Laserrolle. Im obern müssen sich die Elektronen ansammeln. Es muss eine grosse Lebensdauer haben, die spontane Emission soll sehr unwahrscheinlich sein.
Aber nur wenn das untere Laserniveau eﬃzient geleert wird, ist ein Dauerbetrieb möglich.
Wesentlich für die meisten Lasertypen ist der optische Resonator: durch
Verspiegelungen an beiden Enden des Lasermediums entstehen stehende Wellen
und damit die für den Laser typische Monochromasie. Der eine Spiegel ist teildurchlässig zur Auskopplung des Lichts. Eine Weiterentwicklung sind Faserlaser
(die sind dann ziemlich lange).
Die mit Lasern erzielbaren hohen Intensitäten führen zu den Eﬀekten der
nichtlinearen Optik (Bsp. Frequenzverdopplung).
66
KAPITEL 3. OPTIK
3.5
Zusammenfassung
Wir haben in diesem Kapitel die Phänomene der Schwingen und Wellen betrachtet.
1. Was ist eine Schwingung?
2. Was für Typen von Wellen existieren? Geben sie je ein Beispiel.
3. Was für Wasserwellen kennen sie?
4. Was ist eine harmonische Welle?
5. Wie wird eine harmonische Welle mathematisch beschrieben. Geben sie
alle Grössen, welche zur Beschreibung einer solchen Welle benutzt werden
und die Verknüpfung untereinander an.
6. Wie ist der Energieinhalt einer Welle gegeben?
7. Was ist das Prinzip von Huygens und was sagt es aus?
8. Was ist eine ebene resp. eine Kugelwelle?
9. Wie kann man die Reﬂexion und die Brechung eines Lichtstrahls mittels
des Prinzip von Huygens erklären? Geben sie auch das Brechungsgesetz
für 2 Medien mit Brechungszahlen n1 und n2 an.
10. Geben sie die physikalische Bedeutung der Brechungszahl an.
11. Was ist der Grenzwinkel und der Brewsterwinkel?
12. Was ist Schwebung und wann tritt sie auf?
13. Was ist Interferenz?
14. Was ist Beugung? Erkla”ren sie diese am Beispiel des Doppelspalts.
15. Wo wird die Beugung in der analytischen Chemie angesetzt? Erklären sie
wie das Beugungsgitter funktioniert.
16. Erklären sie den Dopplereﬀekt.
17. Was ist eine stehende Welle und wo ist diese im Alltag anzutreﬀen.
18. Was ist Polarisation von Licht? Wie kann man polarisiertes Licht ’herstellen’.
19. Was ist ein Schwarzkörperstrahler?
20. Wie ist der Zusammenhang zwischen der Temperatur, der abgestrahlten
Leistung und dem Maxima im Spektrum bei einem Schwarzkörperstrahler?
21. Wie funktioniert ein Laser?
Forschungsprojekte
iGräser App – Pflanzen
bestimmen leicht gemacht
Mit iGräser kann man die 111 häufigsten einheimischen Wald- und Freiland-Grasarten (Poaceae) der Schweiz sowohl im nicht-blühenden als auch im blühenden Zustand einfach,
schnell, zuverlässig und unter Einbezug der
Verbreitungsdaten via GPS-Ortung bestimmen. Die App ermöglicht ein mobiles Lernen
(E-Learning) für die Studierenden.
Im Rahmen des Projektes wurden vom Institut
für Angewandte Simulation mit wissenschaftlich
systematischem Vorgehen «Effiziente Bestimmungsalgorithmen» entwickelt. Die programmtechnische Umsetzung für iPhone und Android
erfolgte ebenfalls am IAS.
Projektpartner:
Institut für Umwelt und Natürliche Ressourcen,
Fachstelle Vegetative Analyse.
Info Flora Schweiz
http://www.igraeser.ch
Institut für Angewandte Simulation ZHAW LSFM
Expertensystem für
Werbeartikel
Prognosesystem für
nachhaltiges Verkehrsmanagement
Das richtige Werbegeschenk zu finden ist
eine langwierige, repetitive Aufgabe. Durch
intelligenten Einsatz von bekanntem Wissen
über die Zielgruppen, Einsicht in die Struktur
des Verkaufsgesprächs und dem Einsatz von
statistischer Programmierung können nun die
Ressourcen von Lieferanten und Käufern besser und zielführender eingesetzt werden, ohne
dabei die Fachkompetenz der Verkäufer ausser Acht zu lassen. Das Resultat ist die vom
IAS in Zusammenarbeit mit der HSG erstellte
Experten-Plattform dayzzi.com.
Die zunehmende Stauhäufigkeit im Verkehr,
die mit grossen Kosten für die Umwelt und
die Gesellschaft verbunden ist, konfrontiert
die Strassenbenutzer/-innen und die Strassenbetreiber mit dem Problem, die Strassennutzung zu optimieren. Dafür braucht es ein
intelligentes Verkehrsmanagement, welches
das Verkehrsgeschehen gesamthaft überblickt
und es erlaubt, die Entwicklung des Verkehrszustandes vorauszusehen. Solche Verkehrsprognosen ermöglichen es, mit frühzeitigen
Massnahmen den Verkehr besser zu verteilen
und gewisse Stauspitzen schon vor der Entstehung zu brechen.
Projektpartner:
Institut für Marketing Universität St.Gallen
dayzzi (Schweiz) AG
Förderung:
Kommission für Technologie und Innovation
KTI
Im Rahmen dieses Projektes werden die Rahmenbedingungen, die ein solches innovatives
Verkehrsprognosesystem erfüllen muss, untersucht und ein entsprechendes System für das
Schweizer Nationalstrassennetz mit den dafür
geeigneten Prognosemethoden und Algorithmen entwickelt.
Projektpartner:
RappTrans AG, Bundesamt für Strassen
ASTRA
Projektförderung:
Bundesamt für Strassen ASTRA
Lehrangebot des IAS
BT
CH
LM
UI
Data Management and Visualisation (T4)
Angebote in
Masterprogrammen
FM
Statistik
Modeling of Complex Systems (T15)
SCM
Biostatistik
Master-Thesis
Informatik
Informatik
Informatik
Informatik
Informatik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Physik
Physik
Physik
Physik
Statistik
Statistik
Statistik
Statistik
Angebote im
BachelorProgramm
SCM
Sys. Eng.
Literaturar.
Semesterarbeiten
Bachelor-Thesis
Vorkurs Mathematik
Vorkurs Physik
Studienvorbereitung
eLearning-Einheit Mathi-Fitnessstudio
eLearning-Einheit Energie
eLearning-Einheit Hydrostatik
eLearning-Einheit Kalorik
Institut für Angewandte Simulation ZHAW LSFM
SCM