φ ω ω φ ω ω φ ω φ ω ω ω

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1.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
(Der harmonische Oszillator)
Bewegung einer trägen Masse um eine stabile Ruhelage, wobei die rücktreibende Kraft dem
linearen Kraftgesetz gehorcht.
1.2.1 Federpendel
stabile Ruhelage
D
m
Bei Auslenkung aus der Ruhelage tritt
eine rücktreibende Kraft auf, die bei
kleinen Auslenkungen dem
Hookschen Gesetz folgt:
FRück
FRück   Dx
D = Federkonstante
x
Annahme: Reibungsfreie Unterlage und masselose Feder
Die Anwendung des Newtonschen Aktionsprinzips (2. Newton Gesetz) führt auf die
Bewegungsgleichung der freien, ungedämpften Schwingung.
mx(t )   Fang .
mx(t )   Dx
mx  Dx  0
Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) der harmonischen Schwingung
homogene, lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- homogen: DGL wird Null, wenn Variable oder ihre Ableitungen Null sind
- linear: keine Produkte oder Potenzen von x, dx/dt usw.
- 2. Ordnung: höchste Ableitung ist die 2. Ableitung
- konstante Koeffizienten: Koeffizienten (m, D) sind konstant
Lösung der DGL:
Lösungsansatz: vielfach durch Raten und Ausprobieren
x(t )  xˆ sin( 0t   )
x (t )  xˆ cos( 0t   )
x(t )   xˆ 2 sin( 0t   )
Einsetzen in DGL:
D
( 02  )  xˆ  sin( 0t   )  0
m
 02 
D
m
Kreisfrequenz der freien ungedämpften Schwingung
0 ist unabhängig von der Amplitude
(wesentliches Kennzeichen der harmonischen Schwingung)
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Das Weg-Zeitgesetz lautet also:
x(t )  xˆ sin( 0t   )
Die Lösung enthält noch zwei freie Parameter, x̂ und  !
Den Nullphasenwinkel  und die Amplitude x̂ erhält man aus zwei zusätzlichen Informationen,
den sog. Anfangsbedingungen oder Anregungsbedingungen x(t = 0) = x0 und v(t = 0) = v0 .
Beispiel: Masse wird aus der Ruhelage ausgelenkt und zur Zeit t = 0 angestoßen.
(Dabei wird dem System potentielle und kinetische Energie zugeführt)
1. Anregungsbedingung: x(t  0)  x0
2. Anregungsbedingung: x (t  0)  v0
x(0)  x0  xˆ sin( )
x (t )  v0  xˆ 0 cos( )
 0 x0

tan( ) 

xˆ  x02  (
v0
x02  xˆ 2 sin 2 ( )
v02  ( xˆ 0 ) 2 cos 2 ( )
v0
0
)2
Andere Darstellung der Schwingung
x(t )  xˆ sin( 0t   )
x(t )  xˆ sin( 0t )  cos   xˆ cos( 0t )  sin 
x(t )  x0 cos( 0t ) 
v0
0
sin( 0t )
x(t)
Entwicklung für  0t  1 :1
x(t )  x0 
v0
0
t
 0t
Frage: a) Welche Amplitude ergibt sich für v(t = 0) = - v0 ?
b) Wie groß sind die zugeführten Energien ?
Die Messung der Federkonstante durch Messung der Schwingungsdauer bzw. Frequenz des
entsprechenden Federpendels ist viel genauer als die statische Kraft-Messmethode (F = Dx).
Diese Methode ist auch im atomaren Bereich anwendbar.
1 Zur Erinnerung: Taylorentwicklung - Potenzreihenentwicklung
f ( x1 )  f ( x0 ) 
( x1  x0 ) 2  3 f
( x1  x0 ) 3
f
2 f

( x1  x0 ) 
 ....
2
3
x x
2!
3!
x
x


0
x0
x0
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Phasenraum
Kennzeichnend für ein System zu jedem Zeitpunkt sind Auslenkung x(t) und Geschwindigkeit dx/dt.
Eine Darstellung von Auslenkung und Geschwindigkeit als „verallgemeinerte“ Koordinaten in einer
zweidimensionalen Darstellung bezeichnet man als Phasenraum oder Zustandsraum.
v(t)
x(t) , v(t)
x(t)
t
x(t )  xˆ sin( 0t )
v(t )  xˆ0 cos(0t )
Übung: Bestimmen Sie das Phasenraumdiagramm einer Dreieckschwingung (Sägezahnschwingung).
1.2.2 Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
Punktförmige Masse m ist an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt.
Bei Auslenkungen aus der Ruhelage entsteht eine rücktreibende Kraft.
Rücktreibende Kraft (schwere Masse):
FRück  mS g sin 
x  l

Newton (träge Masse):
mT x   mS g sin 
ml  mg sin 
 
g
sin   0
l
FRück
Nichtlineare DGL !
m
Frad
Linearisierung für kleine Auslenkungen: sin = 
F = mg
g
l
    0
 02 
g
l
oder T  2
l
g
Schwingungsdauer ist unabhängig von der Masse !
Sekundenpendel: T = 2s  l 
T 2g
4 2
= 0,994 m
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1.2.3 Drehpendel
Beim Drehpendel läuft die Drehachse A durch den Massenmittelpunkt eines starren Körpers.
Die Ruhelage wird durch eine an der Drehachse befestigte Feder definiert.
Rücktreibendes Moment:
M Rück   D * 
D* = Winkelrichtgröße
rücktreibendesMoment
D* 
Drehwinkel
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
J  M Rück
m

A
J   D *
 
Ruhelage
r
D*
 0
J
02 
D*
J
mJ
a
FM
D  D*
Analogie: Translation - Rotation
Anwendung des Torsionspendels (Praktikumsversuch):
Bestimmung des Trägheitsmoments von starren Körpern.
a) Symmetrischer starren Körper mit bekanntem J0
wird in Drehschwingungen versetzt.
T0 wird gemessen (D* bestimmbar).
0 
Draht D*
D * 2

J0
T0
J0
b) Starrer Körper mit unbekanntem Jx wird am Draht
aufgehängt und schwingt um Schwerpunktsachse.
Tx wird gemessen
x 
D * 2

Jx
Tx
D*
Division der beiden Gleichungen ergibt:
J x Tx

J 0 T0
J x  J0
Tx2
T02
Jx
SP
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1.2.4 Physisches Pendel
Ein physisches Pendel ist ein beliebig geformter Körper, der um eine raumfeste Achse A
schwingen kann.
  
Rücktreibendes Moment ( M  r  F ):
M Rück   mgs sin 
( M Rück  D *  )
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
J A  M Rück
A
s
SP
J A  mgs sin 
Linearisierung für kleine Auslenkwinkel 
und JA = JS + ms2 (Steinerscher Satz)
 
mgs
J S  ms 2
TPh  2
 0
J S  ms 2
mgs
mg
Bewegungsgleichung des physischen Pendels
0 
mgs
J S  ms 2
Reduzierte Pendellänge
Ein entsprechendes Fadenpendel mit der gleichen Schwingungsdauer muss eine
Fadenlänge von lr haben.
TM  2
lr 
lr
g
J S  ms 2
ms
Reduzierte Pendellänge
Reversionspendel (siehe auch Praktikumsversuch)
Eine Schwingung um eine zu A parallele Achse A’, im senkrechten Abstand lr , besitzt die gleiche
Schwingungsdauer wie die Schwingung um die Achse A. Der Punkt im Abstand lr von A (durch den
Schwerpunkt SP) heißt Schwingungsmittelpunkt oder Stoßmittelpunkt.
s '  lr  s
T ' Ph  2
 2
J S  ms'2
JA'
 2
mgs '
mgs'
J  ms 2
 s)2
J S  m( S
ms
J  ms 2
 s)
mg ( S
ms
 TPH
Mit dem Reversionspendel lässt sich die
Gravitationskonstante g sehr genau bestimmen
(g = 9,80723129 in München)
A
s
SP
lr - s
A’
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1.3 Energie des harmonischen Oszillators
Eine einfache Umformung der Bewegungsgleichung des Federpendels führt auf den Energiesatz.
d 2x
 Dx  0
dt 2
dv
m  Dx  0
dt
dv
dx
mv  Dx
0
dt
dt
Multiplikation mit v liefert
d m 2 d D 2
 v   x   0
dt  2  dt  2 
oder
m
d m 2 D 2
 v  x 0
dt  2
2 
Die letzte Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Energieerhaltungssatz
Die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie ist konstant
m
D
Wges  v 2  x 2  const
2
2
Federpendel:
x(t )  xˆ sin(0t )
v(t )  0 xˆ cos(0t )
D  m 02
m 02 2 2
D
D
W pot  x 2 (t )  xˆ 2 sin 2 ( 0t ) 
xˆ sin ( 0t )
2
2
2
m
m
D
Wkin  v 2 (t )   02 xˆ 2 cos 2 ( 0t )  xˆ 2 cos 2 ( 0t )
2
2
2
Wges 
x(t)
t
Wkin, Wpot
m 2 D 2
vˆ  xˆ  const
2
2
t
Ein schwingungsfähiges System wandelt periodisch
kinetische Energie in potentielle Energie um und umgekehrt.
Die obige Ableitung der Energieerhaltung zeigt auch:
In manchen Fällen ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht mit dem Newtonschen
Aktionsprinzip aufzustellen, sondern durch Ableitung des Energiesatzes.
(Theor. Mechanik  Lagrangegleichungen)
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Beispiel: Berechnen Sie die Frequenz, mit der eine Kugel (Masse m, Radius r) in einer
Wges
kugelförmigen Schale (Radius R+r ) hin- und herrollt. (kleine Auslenkungen)
 W pot  Wkin, SP  Wkin, rot
Wges  mgh 
m 2
J 2
s (t )   Kugel
2
2
R
r
s
Wiederholung: Potentielle Energie, Kraftfeld und Feldkraft
In einem konservativen Kraftfeld der Mechanik bestehen folgende Zusammenhänge zwischen
Arbeit W12 , potentieller Energie Wpot , Kraftfeld G, Feldkraft F und Potential :
x2
 
W12    Fdx  W pot ( x2 )  W pot ( x1 )  W
x1
x
 
W pot ( x)    Fdx
für Wpot(x1) = Wpot(Nullniveau NN) = 0
NN

W pot
Umkehrung möglich ? F    ?
x

F  grad W pot

G  grad 
Beispiel: Potentialtopf des Federpendels
x
 
D
W pot ( x)    Fdx     Dxdx  x 2
2
NN
0
Wpot
x
F 
W pot
x
Bereich der
Bewegung
Wges
F(x)
  Dx
x
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Beispiel: Potential der Wechselwirkung zwischen zwei Atomen in einem Molekül. Die Anziehung
ist elektrischer Natur. Die Abstoßung beruht auf dem Paulischen Ausschließungsprinzip.
(Modell für ein zweiatomiges Molekül; anharmonischer Potentialtopf; M >> m )
W pot (r )  

m
M
b
(anziehend)
r3
a
Wpot
(abstoßend)
r5
r0 = Ruhelage
W0 = Dissoziationsenergie
F
r
r0
Beispiel: C-H Schwingung
f0  1014 Hz
  3 µm (IR-Bande)
W0
s = r - r0
Entwicklung:
W pot (r )  W pot (r0 ) 
W pot
r
(r  r0 ) 
r0
 2W pot
r 2
r0
3
(r  r0 ) 2  W pot

2!
r 3
r0
(r  r0 )3
 ....
3!
a) Harmonische Schwingung
(Entwicklung bis zur 2. Ordnung als lokale Näherung für kleine Auslenkungen)
F 
W pot
r

 2W pot
r 2
(r  r0 )  ..
r0
Damit erhält man folgende Bewegungsgleichung
m
d 2r
dt 2
F 
 2W pot
r 2
(r  r0 )  ..
r0
Setzt man: s = r - r0 ; ds = dr ergibt sich weiter
2
1  W pot

dt 2 m r 2
d 2s
2
1  W pot
2
0 
m r 2
s0
r0
r0
Aus der Kenntnis des Potentials bzw. der pot. Energie
lässt sich die Frequenz bestimmen.
Die Krümmung am Gleichgewichtspunkt entspricht
der Federkonstante.
b) Nichtharmonische Schwingung
(Entwicklung bis zur 3. Ordnung und höher; für zunehmend größere Auslenkungen)
D
1
W pot ( s )  W pot (0)  s 2  kDs3  ..
2
3
W pot
F (s)  
  D( s  ks 2 )
s
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m
d 2s
dt
2
  D( s  ks 2 )
ms  Ds  Dks 2  0
Nichtlineare DGL ! ( Sachs fragen)
Näherungslösung - Ansatz:
s (t )  sˆ[cos(t )  A cos(2t )]  B
Die Parameter A und B sind zu bestimmen
Für kA << 1 ergibt sich eine Lösung mit (k = Boltzmannkonstante)
1
1
   0 ; A   ksˆ ; B  ksˆ 2
6
2
Interessant ist der zeitliche Mittelwert
s (t )  sˆ[ cos( 0t )  A cos( 2 0t ) ]  B  B
Aufgabe: Erklären Sie mit diesem Ergebnis, die Proportionalität der thermischen Ausdehnung
mit der Temperatur.
Aufgabe: Berechnen Sie die Frequenz 0 in der harmonischen Näherung (kleine Auslenkungen)
für das oben angegebene Potential mit W(r) = -b/r3 + a/r5 .
(  02
6b  3b 

 
m  5a 
5/ 2
)
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1.4 Weitere Beispiele für einfache harmonische Oszillatoren
a) Federpendel im Schwerefeld
Außer der rücktreibenden Federkraft -Dx
greift an der Masse m noch die
Gewichtskraft an:
mx   Dx  mg
mx  Dx  mg
D
(inhomogene DGL)
Lösungsansatz:
mg
x(t ) 
 xˆ sin( 0t   )
D
Eine konstante Kraft führt nur zu einer
Verschiebung der Ruhelage.
m
b) Parallelschaltung von Federn
Rücktreibende Kraft:
Fr  F1  F2
Fr   D1 x1  D2 x2  ( D1  D2 ) x
 02 
D2
D1
D '  D1  D2
D’
D1  D2
m
Die zusammengesetzte Feder ist härter.
m
c) Serienschaltung von Federn
Rücktreibende Kraft:
F1   D1 x1
F2   D2 x2
F1  F2  F (Aktio = Reaktio)
x  x1  x2  
D1
F1 F2
1
1

 ( 
)F
D1 D2
D1 D2
D’
F
x
D'
D2
1
1
1


D' D1 D2
 02 
D' 1 D1D2

m m D1  D2
Die zusammengesetzte Feder ist weicher.
m
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d) Masse zwischen zwei Federn (longitudinale Schwingung)
(später für die lineare Kette wichtig)
m
D
D
Federn entspannt
Federn mit Vorspannung
Rücktreibende Kräfte bei Auslenkung
Flinks   D( z  a0 )
Frechts  D(2a  z  a0 )
Fges   D( z  a0 )  D(2a  z  a0 )
=z-a
Fges  2 D( z  a)  2 D
Newton II:
  02 
  2 D  0
m
2D
m
unabhängig von der Vorspannung der Feder
e) Masse zwischen zwei Federn (transversale Schwingung)2
m
D
Federn entspannt
Federn mit Vorspannung
Rücktreibende Kraft in Richtung der
Auslenkung 
F  2 D(l  a0 ) sin 
F  2 D(l  a0 )
F  2 D (1 
l

l
a0
)
l
Rücktreibende Kraft ist nichtlinear !
2 Die Masse liegt dabei in der Ebene, d.h. die Schwerkraft auf die Masse m wird nicht berücksichtigt

D
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Diskussion:
1) stark vorgespannte Feder: a0 << l,a
F  2 D
 02 
2D
m
entspricht dem longitudinalen Fall
2) kleine Auslenkungen bei vorgespannter Feder: l  a
a
F  2 D (1  0 )
a
a
2D
 02 
(1  0 ) Frequenz ist niedriger als im longitudinalen Fall
m
a
3) Feder nicht vorgespannt: a = a0 .
a
F  2 D (1  0 )
l
(1 
a0
a0
)  (1 
)  (1 
2
2
l
  a0
a
0
a
0
1
2
)  (1  [1 
1 2
1 2
..]


2 a02
2 a02
a2
0
F   D
3
a02
Kraft ist nichtlinear - besitzt nicht einmal einen linearen Anteil !
Das Federpendel zeigt ein völlig nichtlineares Verhalten.
Die Periodendauer ist z.B. von der Amplitude abhängig.