Tut Ha 10

Kinematik und Dynamik (Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 2015, KW 26
Seite 1
Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme
Version vom 12. Juni 2015
10. Tutorium
Tutorium
92. Die Stange m1 gleitet ohne Reibung an der linken Wand ab.
Zwischen der Stange und dem Rad m2 wirkt das konstante
Reibmoment MR .
Bestimmen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes die Geschwindigkeit des Punktes A zu dem Zeitpunkt, an dem die Stange
genau waagerecht ist. Dabei soll angenommen werden, daß
der Punkt A mit der Wand in Kontakt bleibt.
B
1
Geg.: r, L, g, m1 , J1S = 12
m1 L2 , m2 , J2B = 12 m2 r2 , MR =
konst., Anfangsbedingungen: ϕ(0) = π6 , ϕ̇(0) = 0
110. Auf einem keilförmigen starren Körper der Masse M , der y
sich reibungsfrei längs der x-Achse bewegen kann, rollt im
x
Schwerefeld eine homogene zylindrische Walze der Masse m
und des Radius b. Am Keil wirkt dabei eine konstante Kraft
F in dessen Bewegungsrichtung.
F
(a) Ermittle die beiden Bewegungsgleichungen von M und
m in x und ξ!
(b) Wie groß müßte die Kraft F sein, damit die Walze
relativ zum Keil in Ruhe bleibt?
Geg.: M , m, F , β, b, g.
B
ξ
g
b
m
M
β
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Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme
Version vom 12. Juni 2015
Hausaufgaben
r2
87. Zwei Massen sind über eine Rolle miteinander verbunden.
(a) Für welche Werte des Haftreibbeiwertes µ0 kann sich die Masse m2 nach
unten in Bewegung setzen?
(b) Berechnen Sie unter Verwendung des
Arbeitssatzes die Beschleunigung der
Masse m2 .
(c) Nachdem die Masse m2 am Boden auftrifft, bewegt sich die Masse m1 weiter und kommt an ihrem
höchsten Punkt zum Stillstand. Welchen Weg L hat die Masse m1 insgesamt zurückgelegt?
m1
α
ΘS
111111111111111r
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
m
000000000000000
111111111111111
µ, µ
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
g
h
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
1
2
0
Tip: Arbeitssatz
Geg.: m1 , m2 , ΘS , r1 , r2 , (µ0 ), µ, g, h, α
116. Auf einer Rolle ist ein Seil aufgewickelt. Der Zug dieses Seils sowie die Gleitreibung am Boden beeinflussen
die Abwärtsbewegung der Rolle im Schwerefeld. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Schwerpunkts der Rolle
abhängig von t, wenn der Schwerpunkt für t = 0 die Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt.
(a) Geben Sie die kinematische Beziehung zwischen
der Geschwindigkeit des Schwerpunkts ẋ und der
Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ an.
Seil
g
ϕ, ϕ̇, ϕ̈
r
m, ΘS
x, ẋ, ẍ
Rutschen mit µ
α
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für die Koordinate x(t).
(c) Was muss für µ gelten, damit die Geschwindigkeit ẋ mit der Zeit größer wird, wenn für
den Neigungswinkel gilt: 0 < α < 12 π?
Geg.: r, µ, α, g, m, Massenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt ΘS =
Anfangsgeschwindigkeit ẋ(t = 0) = v0 .
1
2
mr2 ,
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Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme Version vom 12. Juni 2015
Tutorium
Werte am Ende:
π
2
= |Lϕ˙2 sin ϕ2 | = Lϕ˙2
1
= vA2
L
L
1
= ϕ˙2 = vA2
2
2
= Lϕ˙2 cos ϕ2 = 0
L
= ϕ˙2 cos ϕ2 = 0
r
L
L
= sin ϕ2 =
r
r
ϕ2 =
Aufgabe 92
vA2
Arbeitssatz:
⇒ ϕ̇2
T2 + U2 − T1 − U1 = Ŵ12
(1)
vS2
vB2
kin. und pot. Energie am Anfang:
T1 = 0 , U1 = m1 gyS
ψ˙2
(2)
ψ2
kin. und pot. Energie am Ende:
2
1
1
1
1
m1 vS2 2 + J1S ϕ˙2 2 + m2 vB2 2 + J2B ψ˙2
2
2
2
2
U2 = 0
T2 =
Kinematik:
(6)
(7)
xB = L sin ϕ
yB = 0
(8)
(9)
(5)
S
ψ
y
B
eξ = ex cos β − ey sin β
⇒ xS =
(10)
ẋS
(11)
⇒ vS
ẋ2B
⇒ vB =
+
2
ẏB
= ẋB = Lϕ̇ cos ϕ
⇒ vA = |ẏA | = Lϕ̇ sin ϕ
L
vB
= ϕ̇ cos ϕ
⇒ ψ̇ =
r
r
L
ψ = sin ϕ (mit ϕ = 0 ⇔ ψ = 0)
r
(12)
π
6
1L
L
ψ1 = sin ϕ1 =
r
2r
√
L
π
3
yS1 = cos =
L
2
6
4
(28)
(29)
(30)
(14)
S
N1
β
eξ
H
X
X
MS
(33)
S
L = Θ ωez
(34)
M S = −beη × Heξ
(35)
S
⇒ Θ ω̇ = H b
(36)
Schwerpunktsatz:
mẍI = Heξ + N1 eη − mgey
H
(17)
N1
F
(37)
Schwerpunktsatz:
M ẍII = F ex + N2 ey
(18)
M g N2
(21)
S
L̇ =
eξ
(16)
(20)
(32)
S
(15)
(19)
(31)
mg
(13)
eη
Drallsatz:
eη
ω
Werte am Anfang:
ϕ1 =
(27)
Wir verwenden zwei um den
ey
Winkel β gegeneinander gedrehte Vektorbasen ex , ey , ez und eξ ,
ex
eη , ez .
ez
eη = ex sin β + ey cos β
ẏS
(26)
(a)
x
yS
(25)
Aufgabe 110
ϕ
1
L
(xA + xB ) = sin ϕ
2
2
L
= ϕ̇ cos ϕ
2
1
L
= (yA + yB ) = cos ϕ
2
2
L
= − ϕ̇ sin ϕ
2
q
L
= ẋ2S + ẏS2 = ϕ̇
2
q
(24)
√
1
1 1
1
1
3
m1 v A 2 2 +
m1 L2 2 vA2 2 − m1 gL
2
4
2 12
L
4
π π 1L
= −MR
− +
2
6
2r
r
MR 3√
L
⇒ v A2 =
3gL −
2π + 3
2
m1
r
(4)
A
xA = 0
yA = L cos ϕ
(23)
alles eingesetzt in (1):
(3)
Arbeit des Reibmoments:
W12 = −MR ϕ2 + ψ2 − (ϕ1 + ψ1 )
(22)
− Heξ − N1 eη − M gey
(38)
Der Drallsatz liefert eine Aussage über den Kraftangriffspunkt der resultierenden Normalkraft N2 (wenn der Kraftangriffspunkt von F bekannt ist). Das interessiert hier
nicht.
Wir setzen voraus, dass sich der Klotz nicht drehen kann.
Dann haben wir mit ẍI , ω und ẍII fünf kinematische und
mit N1 , N2 und H drei dynamische Unbekannte.
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Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme Version vom 12. Juni 2015
Hausaufgaben
Kinematik:
ξeξ
S
b
Aufgabe 87
(a)
A
xI
Es soll der Bereich des Haftreibungskoeffizienten µ0 bestimmt werden, für den eine Bewegung des Systems noch
stattfindet. Die obere Schranke für den Haftreibungskoeffizienten ist gerade durch die Bedingung
d
O
xII
Bestimmung der Schwerpunktsgeschwindigkeiten und beschleunigungen:
xII = xex + yey
(39)
ẋII = ẋex + ẏey = ẋex
(40)
ẍII = ẍex
(41)
xI = xII + d + ξeξ
˙
ẋ = ẋ + 0 + ξe
(42)
¨ = ẍe + ξe
¨
ẍI = ẍII + ξe
ξ
x
ξ
(44)
I
II
ξ
H = µ0 N
gegeben. Es gibt gerade noch Haften. Man kann daher
statisch rechnen.
1. Freischneiden:
m3 g
x1
m1 g
ϕ
S1
S1
(43)
Ax
R, H
Bestimmung von ω (bzw. ω̇) mit der Eulerschen Geschwindigkeitsformel: Punkt A auf der Rolle hat die Geschwindigkeit des Klotzes (v A = ẋII ).
v S = v A + ωez × beη
ẋI = ẋII − ωbeξ
˙ = −ωbe
ẋI − ẋII = ξe
ξ
ξ
1
1˙
ω = − ξ , ω̇ = − ξ¨
b
b
S2
Ay
N
S2
y
(45)
x2
(46)
x
(47)
m2 g
(48)
Impulssatz für m1 (im statischen Fall Kräftegleichgewicht)
Eliminiere H aus Gl. (37) und (38) mit Gl. (36) und (48)
und setze Gl. (41) und (44) ein:
ΘS ¨
mẍ + m + 2 ξ cos β − N1 sin β ex . . .
b
S
Θ ¨
. . . + − m + 2 ξ sin β − N1 cos β + mg ey = 0 (49)
b
ΘS ¨
M ẍ − 2 ξ cos β + N1 sin β − F ex . . .
b
S
Θ ¨
ξ
sin
β
+
N
cos
β
−
N
+
M
g
ey = 0 (50)
... +
1
2
b2
0 = S1 − m1 g sin α − H
0 = N − m1 g cos α
(54)
(55)
Der Impulssatz für die Rolle erlaubt die Berechnung der
Lagerkräfte, an denen wir aber nicht interessiert sind. Deshalb wird für die Rolle nur der Drehimpulssatz angeschrieben (im statischen Fall Momentengleichgewicht):
0 = −S1 r1 + S2 r2
(56)
0 = m2 g − S 2
(57)
Impulssatz für m2 :
Das sind vier skalare Gleichungen. Eliminiere N1 und N2
und setze das Massenträgheitsmoment für einen homogenen Zylinder ΘS = 12 mb2 ein:
2. Gleichungssystem reduzieren:
(m + M )ẍ + m cos β ξ¨ = F
3
m cos β ẍ + m ξ¨ = mg sin β
2
(51)
(52)
(b) Die Walze bleibt in Ruhe, wenn ξ˙ = ξ¨ = 0. In diesem
Fall können wir aus den Gln. (51) und (52) ẍ eliminieren
und F bestimmen:
F = (m + M )g tan β
(53)
Aus Gl. (56) folgt
S1 =
r2
S2 .
r1
(58)
In Gl. (57) eingesetzt ergibt sich
S1 =
r2
m2 g .
r1
In Gl. (54) eingesetzt ergibt sich
r2
H=g
m2 − m1 sin α .
r1
(59)
(60)
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Lösungshinweise Seite 3
Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme Version vom 12. Juni 2015
Aus Gl. (55) erhalten wir
N = m1 g cos α .
(61)
Damit sich die Masse m2 nach unten bewegt, muß demnach gelten
µ0 ≤
r2 m2
− sin α
r1 m1
1
.
cos α
(b)
1. Kinematische Beziehung:
Aus
ϕ=
x2
x1
=
r1
r2
(62)
ẋ1 =
2. Arbeitssatz
Auch der Arbeitssatz wurde bereits in Aufgabenteil (b) für
die Bewegung vor dem Aufprall der Masse m2 aufgestellt.
Im Moment des Aufpralls gilt x2 = h, und man erhält aus
Gl. (64) die Geschwindigkeit von m2 genau im Moment vor
dem Aufprall von m2 und daraus mit der kinematischen
Beziehung die Geschwindigkeit der Masse m1 genau im
Moment vor dem Aufprall von m2 .
v
u
u
m2 − m1 rr12 (µ cos α + sin α)
v1 = u
.
(66)
2gh
2
t
S
m1 + m2 rr21 + Θr2
1
folgt für die Geschwindigkeiten
ω = ϕ̇ =
nur von der Seilkraft abgebremst wird. Diese ist positiv
(Seil gespannt), solange die Beschleunigung von m1 nach
links gerichtet ist.
ẋ2
r2
Nun kann man noch den Arbeitssatz vom Moment des
Auftreffens von m2 bis zum Erreichen des höchsten Punktes von m1 aufstellen:
ΘS
1
m1 + 2 v12
−s2 µm1 g cos α = m1 gs2 sin α −
2
r1
r1
ẋ2
r2
2. Arbeitssatz
vom Ausgangszustand ( · )0 bis zu einem Zustand zum Hierbei bezeichnet s2 den vom Moment des Auftreffens
Zeitpunkt t lautet W (t) = T (t) + U (t) − (T0 + U0 ), wo- von m2 bis zum bis zum Erreichen des höchsten Punktes
bei W die Arbeit der nichtkonservativen Kräfte ist. Die von m1 zurückgelegten Weg. Damit ergibt sich
Reibkraft µN = µm1 g cos α (vgl. Gl. (61)) hat bis zum
m2
r1
ΘS
−
(µ
cos
α
+
sin
α)
1
+
2
m
r
m
r
1
2
1 1
aktuellen Zustand zur Zeit t die folgende Arbeit geleistet:
.
s2 = h
2
m2
r2
ΘS
(µ cos α + sin α) 1 + m1 r1 + m1 r2
r1
1
W (t) = −x1 (t)µm1 g cos α = −x2 (t) µm1 g cos α (63)
r2
Die gesuchte Rutschlänge ist L = s1 + s2 :
Der Arbeitssatz lautet dann:
−
r1
µm1 g cos αx2 (t)
r2
!
2
1
r1
ΘS
=
m1
+ m2 + 2 ẋ2 (t)2
2
r2
r2
r1
+ m1 sin α − m2 gx2 (t)
r2
L=h
(64)
Aufgabe 116
S
mg cos α
ẍ2 = g
1−
1+
m1
m2
Momentanpol
x
Da die Beschleunigung ẍ2 gesucht ist, wird der Arbeitssatz
nach der Zeit abgeleitet. Solange sich die Masse nach unten
bewegt, gilt ẋ2 6= 0, und man erhält das gesuchte Ergebnis
m 1 r1
m 2 r2
m2 m1 r1 r2 (µ cos α + sin α) + m1 r12 + ΘS
m1 (m1 r12 + m2 r22 + ΘS )(µ cos α + sin α)
ΘS ϕ̈
mg sin α
mẍ
(sin α + µ cos α)
.
2
r1
ΘS
+
2
r2
m2 r
2
R
(c)
1. Kinematische Beziehung:
Man muß im folgenden zwei Zeitbereiche unterscheiden:
vor dem Aufprall von m2 und nach dem Aufprall. Vor
dem Aufprall gelten die kinematischen Beziehungen aus
Aufgabenteil (b). Wenn m2 aufschlägt, hat m1 die Strecke
s1 zurückgelegt:
r1
(65)
s1 = h .
r2
Die Beziehung zwischen x1 und x2 gilt nur bis zum Aufschlag von m2 , die zwischen x1 und ϕ dagegen darüber
hinaus, weil die Rolle sich reibungsfrei dreht und deshalb
N
(a)
ẋ = rϕ̇ ⇒ ẍ = rϕ̈
(67)
(b) dynamisches Gleichgewicht nach d’Alembert und
Coulombsche Reibung:
X
F ր: N − mg cos α = 0
(68)
Coulomb:
X
F ց:
R = µN
−mẍ + mg sin α − S − R = 0
(69)
(70)
Kinematik und Dynamik (Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 2015, KW 26
Lösungshinweise Seite 4
Schwerpunkt- und Drallsatz, Arbeitssatz für Starrkörpersysteme Version vom 12. Juni 2015
(68), (69) in (70) einsetzen liefert:
mẍ = mg sin α − S − µmg cos α
S
ẍ = g(sin α − µ cos α) −
m
(71)
(72)
Drehimpulssatz bezogen auf S:
ΘS ϕ̈ = r(S − R)
(73)
(67),(68),(69) in (73):
ΘS
ẍ = rS − rµmg cos α
r
ΘS ẍ
S = 2 + µmg cos α
r
(74)
(75)
(75) in (72):
ẍ = g(sin α − µ cos α) −
ẍ =
ΘS
ẍ − µg cos α
mr2
g(sin α − 2µ cos α)
1+
(76)
(77)
ΘS
mr 2
ΘS = 21 mr2 in (77):
g(sin α − 2µ cos α)
1 + 21
2
= g(sin α − 2µ cos α) = konst. in t
3
2
ẋ = g(sin α − 2µ cos α)t + v0
3
(78)
ẍ =
|
Z
( · )dt (79)
(80)
(c)
sin α − 2µ cos α > 0 ⇒ µ <
1
tan α
2
Grenzwert:
µ=
1
tan α
2
(81)