Aufgabenblatt 3: ¨Offentliche Güter

Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik
WS 09/10
Aufgabenblatt 3:
Öffentliche Güter
Aufgabe 1 (Bereitstellung unteilbarer öffentlicher Güter )
Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch
seine Anfangsausstattung wi sowie seinen Nutzen ui (xi , G) aus dem Konsum von xi ≥ 0 Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und der
Durchführung eines öffentlichen Projektes G ∈ {0, 1}. Im Falle der Bereitstellung (G = 1) ergeben sich Kosten in Höhe von C > 0, die über individuelle
Beiträge in Höhe von gi gedeckt werden müssen.
(a) Leiten Sie mit Hilfe des Pareto-Kriteriums (notwendige) Bedingungen
für die Durchführung des Projektes her.
Betrachten Sie nun folgende Spezifikation:
√
ui (xi , G) := xi + 3 G, wi = 10,
C = 4.
(b) Zeigen Sie, dass es effizient ist, das Projekt durchzuführen.
(c) Zeigen Sie, dass es bei privater Bereitstellung nicht zur Durchführung
des Projektes kommt. Nehmen Sie dazu an, dass die Individuen sich die
Kosten hälftig aufteilen, wenn beide das Gut bereitstellen, und sonst
die vollen Kosten tragen.
Aufgabe 2 (Bereitstellung und Finanzierung öffentlicher Güter )
Eine Volkswirtschaft bestehe aus n ≥ 2 Haushalten i mit identischen Nutzenfunktionen
p
√
∀i ∈ {1, . . . , n} : ui (xi , fi , G) := xi fi + G.
Dabei bezeichne xi die von Haushalt i konsumierte Menge eines privaten Gutes mit Preis px = 1, fi die von Haushalt i konsumierte Menge an Freizeit
und G die Höhe der Staatsausgaben. Ein Haushalt besitzt als Anfangsausstattung ausschließlich T Stunden Freizeit, hat aber die Möglichkeit, li := T − fi
Stunden Arbeit zum konstanten Lohnsatz w anzubieten.
(a) Geben Sie die Gleichung der Transformationskurve an und berechnen
Sie mit Hilfe der Samuelson-Regel die optimale Höhe der Staatsausgaben G∗ = G(n, w) in Abhängigkeit von der Größe der Ökonomie n und
dem Lohnsatz w.
1
Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik
WS 09/10
Das Steuersystem der Volkswirtschaft sei durch eine für alle Haushalte einheitliche Kopfsteuer τ und einen proportionalen Einkommensteuersatz 0 ≤
t < 1 charakterisiert.
(b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von den staatlichen Instrumenten t, τ
und G das Arbeitsangebot l(t, τ, G) (bzw. die Nachfrage nach Freizeit)
und die Nachfrage nach privaten Gütern x(t, τ, G). Stellen Sie anschließend die indirekte Nutzenfunktion eines Haushaltes auf.
(c) Zeigen Sie, dass eine effiziente Bereitstellung gelingt, wenn zur Finanzierung der Staatsausgaben ausschließlich Pauschalsteuern herangezogen werden können (t = 0), und berechnen Sie den optimalen Kopfsteuerbetrag τ .
(d) Nehmen Sie nun an, dass zur Finanzierung der Staatsausgaben ausschließlich die lineare Einkommensteuer zur Verfügung steht (τ = 0).
Zeigen Sie, dass es in diesem Fall zu einer Unterversorgung mit öffentlichen Gütern kommt, und berechnen Sie den second-best-Wert für t.
Aufgabe 3 (Lindahl-Verfahren)
Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch
seine Anfangsausstattung wi = 100 sowie seinen Nutzen
√
√
u1 (x1 , G) = x1 + 20 G bzw. u2 (x2 , G) = x2 + 12 G
aus dem Konsum von xi Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und
G Einheiten eines öffentlichen Gutes mit Bereitstellungskosten in Höhe von
K(G). Gehen Sie zunächst davon aus, dass der soziale Planer die individuellen
Präferenzen kennt (vollständige Information).
(a) Besteuerung gemäß dem Lindahl-Verfahren beruht auf dem Äquivalenzprinzip: Jeder trägt gemäß seiner individuellen Wertschätzung für das
öffentliche Gut zu dessen Bereitstellung bei. Zeigen Sie, dass der LindahlPreis piG für Individuum i gerade mit seiner Grenzrate der Substitution
i
GRSG,x
übereinstimmen muss.
(b) Die Bereitstellungskosten seien gegeben durch K(G) = G2 . Berechnen Sie die sozial optimale Bereitstellungsmenge sowie die zugehörigen
Lindahl-Preise und zeigen Sie, dass die staatlichen Einnahmen die Ausgaben übersteigen. Weshalb stellt der Budgetüberschuss im Kontext
dieser Aufgabe kein Problem dar?
2
Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik
WS 09/10
(c) Eine neue Technologie führt zu veränderten Bereitstellungskosten in
Höhe von K(G) = 2G.
(i) Welche Allokation ergibt sich nun durch den Lindahl-Mechanismus?
(ii) Gehen Sie nun davon aus, dass der soziale Planer die individuellen Präferenzen nicht kennt (unvollständige Information), sondern die Individuen nach ihren maximalen Zahlungsbereitschaften
fragt, bevor er über die Bereitstellungsmenge entscheidet. Zeigen
Sie, dass der Lindahl-Mechanismus nicht anreizkompatibel ist, indem Sie folgende Aussage bestätigen: Wenn Individuum 2 seine
maximale Zahlungsbereitschaft wahrheitsgemäß berichtet, ist es
für Individuum 1 besser, seine eigene Zahlungsbereitschaft zu untertreiben und die gleiche Zahlungsbereitschaft wie Individuum 2
zu berichten.
Aufgabe 4 (Clarke-Groves-Mechanismus)
Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch
seine Anfangsausstattung wi = 100 sowie seinen Nutzen
u1 (x1 , G) = x1 + U1 (G) bzw. u2 (x2 , G) = x2 + U2 (G)
aus dem Konsum von xi Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und
G Einheiten eines öffentlichen Gutes mit Bereitstellungskosten in Höhe von
K(G) = kG. Gehen Sie davon aus, dass der soziale Planer die individuellen
Präferenzen Ui (G) nicht kennt (unvollständige Information), sondern die Individuen zuerst danach fragt, bevor er gemäß deren Angaben Zi (G) über die
Bereitstellungsmenge entscheidet.
(a) Bevor der Planer die Individuen über ihre Präferenzen befragt, kündigt
er an, in Abhängigkeit von der letztlich bereitgestellten Menge G zur
Finanzierung von i ∈ {1, 2}, i 6= j, einen individuellen Beitrag von
Ti (G) = kG − Zj (G)
zu erheben.
(i) Zeigen Sie, dass es für Individuum i eine dominante Strategie ist,
seine tatsächlichen Präferenzen zu enthüllen.
√
√
(ii) Berechnen Sie für k = 2, U1 (G) = 20 G und U2 (G) = 12 G
die individuellen Beiträge, wenn die sozial optimale Menge G∗
bereitgestellt werden soll, und zeigen Sie, dass diese nicht zur Finanzierung ausreichen.
3
Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik
WS 09/10
(b) Bevor der Planer die Individuen über ihre Präferenzen befragt, kündigt
er an, in Abhängigkeit von der letztlich bereitgestellten Menge G zur
Finanzierung von i ∈ {1, 2}, i 6= j, einen individuellen Beitrag von
k
Ti (G) = kG − Zj (G) + Zj (G−i ) − G−i
2
zu erheben, wobei G−i durch die Gleichung Zj0 (G−i ) =
k
2
definiert ist.
(i) Zeigen Sie, dass es für Individuum i weiterhin eine dominante
Strategie ist, seine tatsächlichen Präferenzen zu enthüllen.
√
√
(ii) Berechnen Sie für k = 2, U1 (G) = 20 G und U2 (G) = 12 G
die individuellen Beiträge, wenn die sozial optimale Menge G∗ bereitgestellt werden soll, und zeigen Sie, dass diese zu einem Budgetüberschuss führen. Inwiefern ist das problematisch?
4