3p323

3.3.2.3 Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler
Schaltung:
i
R
uR
u
L
Maschengleichung:
Bauelemente:
uL  uR  u  0
u R  R  i; u L  L 
u
uL
uR
1/R
di
dt
i
_
i
L ·p
uL
1
i
1
R
Auswertung: 
; auch hier ist der „Widerstandswert“ oder Impedanz

u 1 1  L  p R  L  p
R
der Induktivität unmittelbar als L  p erkennbar. Es gilt zur Abkürzung p  j   . Zielvorgabe
sei: für über der Zeit sinusförmiges u(t) soll i(t) ermittelt werden. Die Gedankengänge für die
Zeitfunktionen sind wie diejenigen in Kap. 3.2.2.1.
Anregung:
Lösungsansatz (eingeschwungener Zustand):
u  uˆ  cos(t  u )
i  iˆ  cos(t  i )
Für Behandlung im Zeitbereich sind Anregung und Lösungsansatz beide sinusförmig:
Teil (a): Erklärung der reellen Anregungszeitfunktion als Überlagerung zweier komplexer
Funktionen. Der Eulersche Satz wird für das Argument t  u in (*) aufgeschrieben.
cos(t  u )  j  sin(t  u )  e j(t u )
(*)
cos (t  u )   1  j  sin (t  u )   1  e
j(t u ) 1
cos( t  u )  j  sin( t  u )  e  j(t u ) ;
(**)
2  cos(t  u )
e
uˆ  cos(t  u )  u
j(t u )
 uˆ 
e
e
j(t u )
 j(t u )
(negatives Argument)
;(*) und (**) addiert ergeben:
; in der Anwendung auf u(t):
 e j(t u )
2
Teil (b): Zur Abkürzung werden U  uˆ  e ju sowie U *  uˆ  e ju als komplexe Amplituden
eingebracht. Es ergibt sich so die kompaktere Schreibweise für u:
u

1
 U  e jt  U *  e  jt
2

In bemerkenswerter Weise erweist sich folgender Realteil als die ursprüngliche Zeitfunktion u






j t 
Re U  e jt  Re uˆ  e ju  e jt  Re uˆ  e  u  


Re uˆ  cos t  u   j  sin t  u   uˆ  cos t  u   u
Genauso ergibt sich
841118086
-1-






 j t 
Re U *  e jt  Re uˆ  e ju  e jt  Re uˆ  e  u  


Re uˆ  cos t  u   j  sin t  u   uˆ  cos t  u   u
Interpretation: der Imaginärteil ist eine zur
Rechenvereinfachung superponierte Größe. An
geeigneter Stelle führt das Weglassen des
Imaginärteiles zurück zur reellen Zeitfunktion.
Eine genau gleichartige Rechnung lässt sich auch für den Strom durchführen. Details in
Kurzform:
1
1
j t 
 j t 
i  iˆ  cos t  i    iˆ  e  i   iˆ  e  i     I  e jt  I *  e  jt  ,
2
2


wobei
I  iˆ  e ji , I *  iˆ  e  ji
darstellen.
Teil (c): Nun wird die Maschengleichung der Schaltung erneut aufgegriffen. Sie lautet
di
uL  uR  u  0 oder uL  uR  u . Die Bauelement-Gleichungen u R  R  i; u L  L  liefern
dt
di
L   R  i  u als Differentialgleichung zur Ermittlung des Stromes bei gegebener Spannung.
dt
In diese Differentialgleichung werden jetzt die Beziehungen aus Teil (b) eingesetzt. Folge:





1
1
1
L  j     I  e j  t  I *  e  j  t  R   I  e j  t  I *  e  j t   U  e j t  U *  e  j  t
2
2
2
j t
 j t
Man kann nach den Koeffizienten von e sowie e geordnet angeben:

U  I   R  j L    e jt  U *  I *   R  j L    e  jt  0
Für alle t  0 gilt für die Koeffizienten der e-Funktionen dass diese gleich Null sein müssen
um Nullwerden der Gleichung zu gewährleisten:
U  I   R  j L   0 oder U  I   R  j L   I  Z bzw.
U *  I *   R  j L   0 oder U *  I *   R  j L   I *  Z *
Daraus ergeben sich nun Beziehungen, die doch sehr an das ohmsche Gesetz anknüpfen:
U
U
U*
U*
I

oder I * 
 *
R  j L Z
R  j L Z
Interpretation: Mit den komplexen Amplituden I, U und der komplexen
Impedanz Z lässt sich rechnen wie mit dem ohmschen Gesetz.
Voraussetzung zur Superposition des Imaginärteiles [und nachher die
geeignete Entfernung um zur reellen Zeitfunktion i zu gelangen] ist die
Linearität der Differentialgleichung [↔Maschengleichung]. Entsprechendes
gilt für die weniger bedeutsamen konjugiert komplexen Werte (mit *
versehen).
841118086
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