3p323b

Teil (d): Es wird die Stromzeitfunktion i für die gegebene Spannungszeitfunktion u ermittelt.
Genauer formuliert: es sollen der Amplitudenwert î des Stromes und des Phasenwinkel i des
Stromes berechnet werden.
Lösung:
i




1
 I  e jt  I *  e  jt  Re I  e jt , …fertig! (die Herleitung ist wie bei der Spannung u)
2
Allerdings soll sich hier eine Ausarbeitung anschließen, weil wirkliche reelle Zeitfunktionen
zum Schluss herauskommen sollen. Dazu werden wieder der Eulersche Satz und dann auch
noch intensive Benutzung der trigonometrischen Funktionen erforderlich sein, aber wir
sollten es ja wenigstens einmal genau wissen.
Teil (e):
 uˆ  e jt u  
 uˆ  e ju

 U

i  Re I  e jt  Re 
 e jt   Re 
 e jt   Re 
; Euler bringt:
 R  j L 
 R  j L

 R  j L





 uˆ  cos t  u   jsin t  u  R  j L 
i  Re 

 ;die Erweiterung macht den Nenner reell

R  j L
R  j L 

 uˆ  R  cos t  u    L  sin t  u   j  uˆ  R  sin t  u    L  cos t  u  

i  Re 
2
2


R


L




uˆ
i 2
  R  cos  t  u    L  sin  t  u  
2 
R   L 
Dieses ist die Zeitfunktion i(t) für die Anregung der Schaltung mit u  uˆ  cos(t  u ) ;
allerdings war die Vorstellung zur Gleichung von i eher in der Form i  iˆ  cos(t  i ) .
Durch trigonometrische Umformungen soll schließlich erreicht werden, dass î und i
erkennbar werden.
Teil (f):
Die aus cos und sin zusammengesetzte Lösungsfunktion für i(t) soll mit einer Amplitude î
und einer Winkelfunktion cos(t+i) angegeben werden können. Dieser Wunsch formuliert
sich für den Inhalt der eckigen Klammern so:
R  cos t  u    L  sin t  u   A  cos t  i 
Mit Hilfe der Additionstheoreme der Trigonometrie lassen sich die Winkelfunktionen
ausrechnen:
R   cos t  cos u  sin t  sin u    L  sin t  cos u  cos t  sin u   A   cost  cos i  sin t  sin i 
In diesem Ausdruck werden nun Bestandteile nach ihren Koeffizienten von
cost bzw. -sin t sortiert aufgeschrieben. Es entstehen somit aus dieser ursprünglich einen
Gleichung nunmehr zwei Gleichungen. Daraus werden die noch nicht bekannten Größen A
sowie i berechnet (zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten).
748903292
-1-
cos  t: R  cos  u   L  sin  u  A  cos  i
-sin t: R  sin  u   L  cos  u  A  sin  i
1
2
(1) und (2) werden nun beide quadriert und addiert. Das ergibt A bei Elimination von i.
Wenn im danach folgenden Arbeitsschritt (1) durch (2) dividiert wird, dann eliminiert das A
und ergibt i.
1
2
 R  cos u   L  sin  u   cos 2  i
2 
A
1
2
aus(2): 2   R  sin u   L  cos  u   sin 2  i
A
wegen sin 2   cos 2   1 folgt
aus(1):
1
1
2
2
 R  cos u   L  sin u   2   R  sin u   L  cos  u   1 oder ausgerechnet:
2 
A
A
 R  cos 
2
 
 2  R   L  cos u  sin u   L   sin 2  u  R 2  sin 2  u  2  R   L  sin  u  cos  u   L   cos 2  u
2
2
u
2
Die in sin und cos gemischten Terme tilgen sich; es bleibt neu geordnet:
R
2



 cos 2 u  R 2  sin 2 u   L   sin 2 u   L   cos 2 u  A2 oder


2
2


R 2  cos 2 u  sin 2 u   L   sin 2 u  cos 2 u  A2 woraus sich
2
A2  R 2   L  oder A  R 2   L  ergibt. Es ist die erste unbekannte Größe berechnet.
2
2
Nun folgt der Schritt für i :
tan i 
R  sin u   L  cos  u
aus (2):(1)
R  cos u   L  sin  u
Da man hiermit zunächst garnicht vernünftig weiterrechnen kann, werden Zähler
und Nenner (jeder für sich) in folgender Weise zusammengefasst.
Zähler:


R  sin u   L  cos  u  a  sin  u   u *  a  sin  u  cos  u *  a  cos  u  sin  u *
Koeffizientenvergleich zwischen dem vorderen und hinteren Teil der Gleichung liefert
R  a  cos u * sowie   L  a  sin u * ;
mit der Absicht, erneut sin 2   cos 2   1 bzw.
sin 
=tan zu verwenden:
cos 
R
 L
R 2  L 
2
 cos u * ;
 sin u * ;

 1 oder a 2  R 2   L  und
2
2
a
a
a
a
L
tan u *  
R
Nun kommt der Nenner an die Reihe (prinzipiell genau so wie der Zähler):
R  cos  u   L  sin u  a  cos u  u *   a  cos u  cos u *  a  sin u  sin u * ; Koeff-vgl:
2
R  a  cos u * ;  L  a  sin u * ; es folgen wie bei der Auswertung des Zählers für a und
tani:
748903292
-2-