Physik II - Zusammenfassung
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Relativität u' Spezielle Relativitätstheorie Das Bezugssystem Freier Fall ist kräftefrei Inertialsystem Ein Bezugssystem wird in einem gewissen Bereich in Raum und Zeit als Inertialsystem bezeichnet, wenn innerhalb einer gegebenen Messgenauigkeit jede Testmasse, die ursprünglich in Ruhe ist, in Ruhe bleibt, und jede Testmasse, die sich ursprünglich mit der Geschwindigkeit v bewegt diese Geschwindigkeit in Betrag und Richtung beibehält, wenn innerhalb des Systems keine result. Kräfte auf die Testmasse wirken. Inertialsystem Newtonsche Axiome, Erhaltungssätze (klassische) Mechanik Die Galilei-Transformation Durch eine Galilei-Transformation geht ein Inertialsystem in ein anderes Inertialsystem über. t t ' x x ' vt y y ' z z ' u v uv c2 1 erklärt für u = c/n den Mitführungskoeffizient für u = c folgt u’ = c Invarianz von c erfüllt tritt anstelle der klassischen Formel u’ = u – v Dopplereffekt Nicht-realtivistischer Dopplereffekt für Schall νQ: Schallfrequenz der ruhenden Quelle νB: vom Beobachter empfangene Frequenz vB: Geschwindigkeit des Beobachters w: Geschwindigkeit des Ausbreitungsmediums A) Der Beobachter bewegt sich Achtung: νB vB v B Q 1 B c B) Die Quelle bewegt sich 1 vB vQ vQ 1 c Bsp.: Gravitationskraft mM mM F G G F ist Galilei-invariant ( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 C) Ausbreitungsmedium bewegt sich Effektive Schallgeschwindigkeit: ceff = c w Dopplereffekt in der Optik Eine Kugelwelle geht von einer Lichtquelle aus, die sich im Ursprung von S’ befindet. Vorgehen: man findet die Grössen r x cos y sin für das System S, wenn man die Optik bewegter Körper Transformationsformeln auf die r x cos y sin Lichtgeschwindigkeit spezielle Relativitätstheorie: Wellenfunktion Ψ = Ψ’ anwendet und A' r' Maxwell (c) Fresnel, Fizau, Hoek Michelson Einstein sin 2 ' t ' ' r’ bzw. r anders schreibt: r' c Fresnelscher Mitführungskoeffizient Frequenzänderung für =’=0 Phasenverschiebung: δ = δ’ Hypothese: Äther als Medium für Lichtwellen. Der 1 v ' Bewegungszustand dieser Substanz würde die ' 1 2 1 2 c Lichtgeschwindigkeit messbar beeinflussen. (c + v’ usw.) 1 2 v' 1 v’: Mitfürhungsg’keit des Äthers F , oder F 1 2 v: G’keit d. bewegten Körpers Relativität der Gleichzeitigkeit v n Ereignisse, die für einen Beobachter simultan erfolgen, Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erfolgen nicht simultan für einen zweiten Beobachter, der sich Der Versuch von Michelson und Morley widerlegt die relativ zum ersten bewegt. Die Frage nach Gleichzeitigkeit in Ätherhypothese. Er ist aber ein Hinweis auf ein anderes verschiedenen Systemen kann nicht eindeutig beantwortet Prinzip: c im Vakuum ist für jeden Beobachter, unabhängig werden. Will man Ereignisse in verschiedenen Systemen von dessen eigenem Bewegungszustand, immer konstant. miteinander in Beziehung setzen, dann sind die Massstäbe Transformationseigenschaft der Wellengleichung gemäss der Lorentztransformation zu verändern. Galilei-Transformation und Invarianz der Wellengleichung sind unvereinbar. Es liegt nahe, ein anderes Additionstheorem Kontraktion der Massstäbe (statt die der Galileitransformation) für Geschwindigkeiten zu Lorentzkontraktion suchen Der bewegte Körper erscheint in der x x ' 1 2 Beobachtungsrichtung um den folgenden Lorentz-Transformation Faktor verkürzt: Ausgangspunkt: die Lichtausbreitung als Kugelwelle ist in Zeitdilatation jedem System S und S’ gleich x2 – c2t2 = x’2 – c2t’2. Die Uhr in S' geht in ihrer eigenen Zeit t ' t 1 2 linear v langsamer. Das von ihr gemessene t 2 x x vt für β=v/c 0: c x' y' y z' z t' Zeitintervall Δx’ ist kleiner, als es die Uhren in S anzeigen, die Galilei-Trafo v2 v2 dafür Δx liefern. Bsp.: Zerfall von kosmischen Myonen 1 2 1 2 Relativitätsprinzip der Newtonschen Mechanik Unterscheiden sich zwei Bezugssysteme nur durch eine gleichförmige Translation, so wirken in beiden Systemen dieselben Kräfte, und es gilt dieselbe Mechanik. c c Einsteinsche Postulate 1. (Spezielles) Relativitätsprinzip: Die Grundgleichungen der Physik lauten in Koordinatensystemen, die mit gleichförmiger Geschwindigkeit gegeneinander bewegt werden, gleich. 2. Die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums c ist in allen diesen Koordinatensystemen gleich Relativistisches Additionstheorem der Geschwindigkeiten Zwillingsparadoxon /-problem: ein Weltraum Entladungsvorgang tritt sofort ein, unabhängig von der reisender altert weniger schnell als sein Lichtintensität Zwillingsbruder auf der Erde. Impuls und Energie Relavistischer Impuls Die Impulserhaltung als fundamentales Naturgesetz gilt unter nicht-relativistischen als auch relativistischen Bedingungen! m0: Ruhemasse m0 v m0 m p m: longitudinale Masse v2 v2 v: Geschwindigkeit 1 2 1 2 c c eines Teilchens m0: von der Teilchensorte abhängig v: vom Bezugssystem abhängig. Relativistische Energie t dp d vdt m0 (v )vdt ... 0 dt dt t ' m0 c 2 d m0c 2 dt m0c 2 d m0c 2 0 ' 1 dt 1 2 Ruheenergie t t 0 0 Ekin Fdx Fvdt Ekin 1 1 2 v d (v ) d dv und . Es gilt: v c dt dt dt totale relativistische Energie: kinetische Energie + Ruheenergie Etot m0 c 2 1 2 mc 2 Für ein System von Teilchen, zwischen denen Kräfte wirken, ist auch eine potentielle Energie in der relativistischen Gesamtenergie E des Systems enthalten. Relativistischer Energie-Impuls-Satz: E 2 p 2 c 2 (m c 2 )2 0 relativistische Geschwindigkeit: h k Plancksches Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante. Die Energie des Photons wird auf das Elektron übertragen. Damit ein Photo-e- das Austrittspotential überwinden kann, muss das Photon eine Mindestenergie besitzen. Φ: Austrittspotential E0 h 0 e (Materialeigenschaft) Hat das Photon eine höhere Energie E > E0, dann erhält das Elektron noch eine kinetische Energie ½mev2 eU: Potential der Elektrode 1 E h e me v2 (eU ) (des e--Trägers). 2 Der Photomultiplier totale rel. Energie mit Energie von Lichtquanten h: Plancksches Wirkungsquantum hc E h ν: Frequenz des Lichtes λ: Wellenlänge des Lichtes Es gilt: 2 2 2 k c Etot c 2 p v v ... Wellen, Quanten und Atome Wellen und Quanten Der Photoeffekt Dualität der Strahlung: Wellennatur oder Teilchennatur? Der Photoelektrische Effekt direkter Nachweis für die Teilchennatur des Lichtes: extrem schnell! K: Kathode Primärereignis D: Dynoden Sekundär-eA: Anode Detektion Welle-Korpuskel Dualität für Photonen Semiklassische/Quantenmechanische Betrachtung Bessere Beschreibung des Photoeffekts mittels der Quantenmechanik: das Elektron ist an ein Atom gebunden. Dann kann es vom Grundzustand (mit der Energie Eg) durch Energiezufuhr („Resonanzanregung“!) in einen angeregten Zustand der Energie Ek befördert werden. Bei diesem Modell besitzt nicht das Photon sondern das Atom diskrete Energiezustände. Antikoinzidenz-Experiment Koinzidenzzähler zählt nur die Ereignisse, bei denen beide Detektoren ein Photon gleichzeitig nachweisen ein Photon nimmt einen Weg keine Koinzidenz keine Interferenz Nachweis der Teilchennatur des Photons Interferenz mit einzelnen Photonen Bremsspannung lässt Elektronen vor dem Erreichen eines aufgestellten Detektors abbremsen Raum und Zeit 4 Dimensionen Zeit und Raumkoordinaten bilden gleichberechtigt eine 4D Welt. Im 4D Raum ist die Lorentz-Trafo ein direktes Analogon zur Drehung eines KSs im 3D-Raum. Sie führt das Raum-ZeitIntervall s in sich über: s 2 x2 y 2 z 2 c2t 2 s 2 x '2 y '2 z '2 c2t '2 Begriffe: Minkowski-Diagramm Weltlinie Eigenzeit = s/c Elektrometer negativ geladen Entladung Elektrometer positiv geladen Ladung konstant bei Absorption von UV-Strahlung Ladung konstant Mach-Zehner Interferometer für Ein-Photonen-Experiment: zwei ununterscheidbare Photonenwege vorhanden Interferenz Nachweis der Wellennatur der Photonen Teilchennatur eindeutige Lokalisierbarkeit eines Teilchen Wellennatur Ausbreitung über einen Bereich Im Formalismus der Quantenmechanik kommt der Weg nicht vor. Daher liefert sie immer das richtige Resultat. Der Photonenimpuls Der Strahlungsdruck Energieerhaltung (KE = Etot – ERuhe) Klassische Beschreibung (repetitiv) Energiedichte eines E-Feldes 1 E 2 ( x, t ) el 2 0 Energiedichte eines B-Feldes Impulserhaltung mag 21 B2 ( x, t ) h x: 0 Zusammenhang E-/B-Feld Intensität einer EM-Welle (vgl. Poynting-Vektor) E B 0 0 E c 1 0 0 c S tot c c ( el mag ) 1 y: EB 0 Eine EM-Welle transportiert Energie und Impuls. Man interpretiert die zeitl. gemittelte Energiedichte als einen mechanischen Druck, den Strahlungsdruck: S: zeitlich gemittelter Betrag S 1 des Poyntingvektors PS E 0 E02 2 c (Intensität der einfallenden Welle). Auf eine Ladung q in einer Wand wirkt eine EM-Welle: das el. Feld bewirkt eine Kraft (Fe = qE) und beschleunigt q auf Geschw. v. auf q wirkt das magn. Feld und folglich eine Lorentzkraft. Diese ist für den Strahlungsdruck verantwortlich. 1 1 1 dW E , mit B FL qvB qEv Fe v c c c dt c Die auf ein Volumenelement ausgeübte Kraft (= Kraftdichte) ist der pro Sekunde aus der EM-Welle absorbierten Energie proportional: hc 0 me c2 hc me c 2 ' 1 v2 / c2 nach v auflösen und in die Gleichung des relativistischen Impulses p einsetzen λ bestimmen Material entstehen als Beugungsbild konzentrische Kreise. Elektronenbeugung Beschleunigte Elektronen werden an einer Kante gebeugt. Das Experiment beweist sehr direkt die Wellennatur von Elektronen, da keine komplizierte Wechselwirkungen mit der Materie in die Berechnung eingehen. Das Doppelspaltexperiment Materiewellen Gewehrkugeln m v cos E h h e cos c 0 ' 1 v2 / c2 0 me v sin 1 v2 / c2 h ' P12 = P1 + P2 sin Compton-Verschiebung ' Compton-Wellenlänge eines Elektrons h c 2.2424 1012 m me c h (1 cos ) me c P: Wahrscheinlichkeitsverteilung Es gibt nur diskrete Wahr’keiten (ganze Gewehrkugeln) Es gibt keine Interferenz Wellen Materie E h E h h h p k p c Die Dualität von Wellen- und Teilchennatur ist eine universelle Eigenschaft. Der Zusammenhang zwischen Welle und Teilchen ist statistischer Natur: Das Wellenbild gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, an einem bestimmten Ort ein Photon anzutreffen (aber nicht deren Anzahl!). Licht Die Schrödingergleichung Diese Gleichung kann nicht hergeleitet werden. Plausibilitätsüberlegungen und Bemerkungen Eine Wellengleichung muss den Zusammenhang zwischen E 1) Δλ ist unabh. von λ bzw. ν und hat Grössenordnung 10-12m. und p wiedergeben. Nichtrelativistischer Zusammenhang: I12 I1 + I2 2) Λc entspricht einem Photon mit der Energie 2 2 Etot = Ekin + Epot: p2 k hc 2 E V V h c me c 511keV Ruheenergie Elektron 2m 2m c Der Versuch die Gleichung mit reeller ( x, t ) Aei ( kx t ) 3) Formel für Δλ ist für relativist. Berechnung exakt gültig Schreibweise herzuleiten, schlägt fehl. 4) Winkelabhängigkeit der Compton-Verschiebung: Hilfe bietet die komplexe Schreibweise. partielle Ableitungen: 2 p2 k 2 Aei ( kxt ) 2 2 x iE Intensität einer elast. Welle: i Aei ( kxt ) 2 I tot c 12 Ec 2 A2 A2 (A: Amplitude, E: E-Modul) t I.A. ist eine potentielle 2 2 2 2 2 2 I1 A1 , I 2 A2 , I12 A1 A2 I12 I1 I 2 2 I1 I 2 cos Energie zu berücksichtigen: p 2m( E V ) k Interferenz Term 2 zeitunabhängige 2 V E Schrödingergleichung: Elektronen N FL F 1 d e d p 2 m 2 x ( Impulssatz) V V c dt dt V 2 2 zeitabhängige V i Schrödingergleichung. Impulsdichte Energiestromdichte Impulsstromdichte 2m 2 x t p 1 N Nachbemerkungen p e je c e J j p c p e 2 2 V c zeitunabhängige Gleichung stationäre atomare Zustände m s m Die Welle-Teilchen-Dualität der Materie zeitabhängige Gleichung Teilchenbewegung von AB Änderung der zeitl. gemittelten Die de Broglie-Wellenlänge 2 S Gleichung gilt nicht für Photonen, deren Ruhemasse m0 = 0 ist! Impulsstromdichte der Welle als Druck auf die PS Genauso wie dem Photon einen Impuls kann h 1 c Wand zu interpretieren. Wird die Welle Es gibt nur diskrete Wahr’keiten (nie Bruchteile von e…). Die Schrödingergleichung ist linear: wenn Ψ1 und Ψ2 , man umgekehrt einem Materie-Teilchen p k p Es gibt Interferenzmuster. Das e- interferiert mit sich selber. Lösungen davon sind, dann ist auch jede ihrer reflektiert, ist der Druck doppelt so gross: eine Wellenlänge zuschreiben: Linearkombinationen wieder eine Lösung. Ein Weg für e e verhält sich wie ein Teilchen Der Photonenhagel (quantentheoretische Beschreibung) Ebenso eine Teilchen-Frequenz: E E Superpositionsprinzip Interferenz Zwei Wege für e- e- verhält sich wie Welle Intensität wird nun durch eine Teilchenstromdichte jφ , h ausgedrückt, bei der jedes Teilchen die Energie hν mit sich Auch für Atome und Moleküle kann man nachweisen, dass sie Die Lösungen Ψ können als Wahrscheinlichkeitsamplituden Nachweis Wellennatur Interferenz-/Beugungsexperiment Wellennatur haben. führt: interpretiert werden. Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen an Nachweis Teilchennatur Stossexperiment einem Ort zu finden ist proportional zu |Ψ|2 Intensität = Teilchenstromdichte jφ S j h Beugungsexperimente mit Elektronen Winkelverteilung der Intensitätsminima bei Darstellung der verschiedenen Anregungen einer Welle sin n n Im Bereich der Strukturuntersuchung von Materie finden sich S h h Beugung an einem Spalt (Breite D) D Saite transversale Verschiebung y jp j p p k wichtige praktische Anwendungen, in denen die Wellennatur P c c Die de Broglie-Wellenlänge von Elektronen Schallwellen Druckdifferenz p der Elektronen oder Neutronen ausgenutzt wird. hotonenimp EM Wellen Feldstärke E Experiment: ein Elektron (e-, me) wird über eine uls Beugung an Einkristallen Potentialdifferenz U0 im evakuierten Raum beschleunigt. Materiewellen Wellenfunktion Ψ Experiment von Davisson und Germer. Beschleunigte Der Comptoneffekt Nichtrelativistische Rechnung Elektronen werden am Einkristall reflektiert und dabei gemäss Beispiele, die durch Ψ dargestellt werden: Der Compton-Effekt ist ein Stossexperiment für den Nachweis h 1 2 Protonen im evakuierten Rohr eines Teilchenbeschleunigers Beugungsgesetz gestreut. der Teilchennatur von Photonen. Es handelt sich um elastische eU 0 2 me v p me v 2meeU0 2m eU Leitungselektronen in einem Kupferdraht Beugung an polykristallinen Folien e 0 Stösse zwischen Photonen und (freien) Elektronen. Ein Elektron um Kern herum eines Wasserstoffatoms Experiment von G.P. Thomson. Höhere Beschleunigung der 2 ankommendes Photon (pφ, λ0, ν) wird beim Stoss mit einem Relativistische Rechnung me c Eine physikalische Deutung hat nur |Ψ|2 als Elektronen führt zu kleineren Wellenlängen. Somit ist ein Etot eU 0 me c 2 Elektron umgelenkt. Das austretende Photon (pφ’, λ’, ν’, υ) Energie des Elektrons am 1 v2 / c2 Transmissionsexperiment möglich. Bei einem polykristallinen Wahrscheinlichkeitsdichte, und nicht die Wellenfunktion wird detektiert. Relativistische Rechnung notwendig! Austritt: selbst. Ist dV das Volumenelement mit den Koordinaten x,y,z, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen zur Zeit t in diesem Volumenelement gefunden wird proportional zu |Ψ|2dV. Die Wahrsch’keit ein Teilchen 2 * dV dV 1 irgendwo zu finden, muss gleich 1 sein Normierungsbedingung: Für hohe Quantenzahlen geht die Bohrsches Quantenmechanik über in die Klassische Postulat Mechanik. 1/a derjenigen eines Kubus. 2 Energieniveaus im 2 2 2 2 3D-Fall (Elektron) En1n 2 n 3 n1 n2 n3 2me a (ni = 1, 2, 3…) 2 2 Beispiel: Welche Energie muss ein Photon haben, um ein e- im E112 E111 2m a 3 e Grundzustand anzuregen? Ein Potentialtopf lässt sich mit einem Alkalihalogenidkristall (z.B. KBr) tatsächlich realisieren „Elektronen einspritzen“ Der Harmonische Oszillator Stationäre Zustände Grundzustand: n = 1 Teilchen, die durch ein Potential in einem Bereich des Raumes Amplituden A, B ergeben sich aus der Normierungsbedingung: festgehalten werden, besitzen bestimmte erlaubte Zustände, die a / 2 a / 2 zeitlich stationär sind. Solche Zustände haben diskrete A2 cos 2 (kx)dx 1 , B 2 sin 2 (kx)dx 1 Energien. Freie Teilchen können beliebige Energien a / 2 a / 2 annehmen. Analogie: Klassische Physik (stehende Welle) F ( x, t ) f ( x)sint Zusammenfassung des 1D-Potentialtopfs Wellenmechanik von Schrödinger ( x, t ) ( x)eit 1. Das Elektron nimmt nur bestimmte Energiezustände an, die man mit einer Quantenzahl n durchnummerieren kann. Wichtig an dieser Analogie ist die Separierbarkeit der Diese Quantisierung der Energie folgen aus EigenwertVariablen für Ort und Zeit. So vereinfacht sich die bedingungen beim Lösen der Schrödingergleichung Schrödingergl. 2. Die erlaubten Energien wachsen proportional zu n2 2 2 zu einer gewöhnlichen DG der V ( x) E 3. Die erlaubten Energien rücken umso weiter auseinander, je Ortsvariablen: 2m 2 x enger der Potentialtopf ist. Umgekehrt: Bei Potentialtöpfen mit makroskopischen Abmessungen liegen die Energien Ein Teilchen im 1D-Potentialtopf sehr dicht; dann sind praktisch alle Energien erlaubt. Das Modell: Ein geladenes Teilchen wird in einem evakuierten 4. Die Wellenfunktionen sind abwechselnd Kosinus- und „Topf“ eingesperrt, das durch zwei Gitter begrenzt wird. Die Sinus-Funktionen, also abwechselnd gerade und ungerade Gitter liegen auf Erdpotential. Im inneren wirkt auf das bezogen auf die Topfmitte. (Vgl. Auswertung der RB!) Teilchen keine Kraft. Wenn es aber eines der beiden Gitter 5. Die Wahrscheinlichkeitswellen haben die gleiche Form durchquert, so wirkt eine rücktreibende Kraft. Das Teilchen wie die stehenden Wellen in einem linearen elastischen wird sich daher überwiegend innerhalb des Topfes aufhalten. Kontinuum. Achtung! Diese Analogie hat seine Grenzen: Die orts- und zeitabhängigen Gesamtwellenfunktionen, die zu den Zuständen mit den Energien En gehören, sind komplex. Nur das Betragsquadrat ΨΨ* hat einen physikalischen Sinn, es gibt die ortsabhänige Der perfekte 1D-Potentialtopf Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons im Topf in den Innerhalb des Topfes Zuständen En an. wird die 3 wichtige Gesichtspunkte Schrödingergleichung zu 1. Das Elektron kann im Potentialtopf Nullpunktsenergie (V = 0): nicht im Zustand der Ruhe sein. Die p2 h2 2 2 E x d ( x) niedrigste Energie ist grösser als 0. 2me 8me a2 E ( x) Dies ist eine unmittelbare Folge der 2m dx 2 Unschärferelation. n=1 2. Das Elektron ist im Grundzustand mit sehr viel grösserer Wahrscheinlichkeit in der Mitte zu finden als am Rande. Eine allgemeine Lösung der ortsabhängigen Wellenfunktion ist Für Zustände mit höheren Quantenzahlen wird die ( x) Acos kx B sin kx Verteilung des Elektrons über den Potentialtopf 2 2 KLASSISCHER Zusammenhang zwischen der k gleichmässiger, und damit ähnlicher zur klassischen E Energie E und der Wellenzahl k: E = p2/2m Mechanik. Das ist eine Folge des Bohrschen 2m Korrespondenzprinzips. Erlaubte RB: a2 a2 0 kn n 3. Das Elektron kann ausserhalb des Potentialtopfs Wellenzahlen a angetroffen werden. Beim realistischen Fall ist der Topf 2 Erlaubte Energien 2 von endlicher Tiefe. Für die erlaubten Energien ist wieder 2 2 n: Quantenzahlen En n n E1 die Schrödingergleichung zu lösen. Die RB sind dabei 2m a a: Breite des Potentialtopfs etwas komplizierter! (Aufenthaltswahrscheinlichkeit am RELATIVISTISCHES Vorgehen: (vgl. Serie 4, Aufgabe 2) Rande des Topfs 0). Die Energie des Grundzustandes für 2 2 2 p = ħ k relativistischer Energie-Impuls-Satz den Topf mit endlicher Tiefe ist wesentlich kleiner, als die für den perfekten Topf. Der harmonische Oszillator hat ein lineares Kraftgesetz und die pot. Energie nimmt mit der Auslenkung im Quadrat zu. Kraftgesetz: pot. Energie 1 2 F f x V ( x) 2 fx Klassische Mechanik Gesamtenergie 1 1 f E fx02 mx2 2 mit 2 2 2 m Im Zustand tiefster Energie E = 0, steht das Teilchen still bei x = 0. Die Energie ist kontinuierlich variierbar. Quantenmechanik Potential eingesetzt in 2 2m 1 2 E fx2 0 Schrödingergleichung ergibt: 2 x 2 Die Erfüllung von 1 En n Eigenwertbedingungen führt 2 dazu, dass nur diskrete Energiewerte erlaubt sind, mit f / m nämlich: (n = 0, 1, 2, …) Der quantenmechanische Oszillator hat im Gegensatz zum klassischen eine endliche Energie und einen endlichen Impuls im tiefsten Energiezustand. (endlich ungleich null) 1 m 4 m 2 x exp 2 0 Lösung: man fasse das Teilchen als ein Wellenpaket auf! 1 m m 4 m 2 x 2 x exp 2 1 Für hohe Quantenzahlen nimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für einen harmonischen Oszillator gegen den Rand hin zu Bohrsches Korrespondenzprinzip 1. Ordinate: Gesamtenergie 2. Ordinate: Grösse d. Potentials horizontale Geraden: quantisierte Energiestufen Amplitudenspekturm a(k) Ein Wellenpaket entsteht durch Überlagerung vieler harmonischer Wellen mit Wellenzahlen aus einem Bereich Δk um eine Schwerpunktswellenzahl k0 herum. Die Beschreibung eines Teilchens durch solch ein Wellenpaket erscheint nur dann sinnvoll, wenn sich Teilchen und Wellenpaket mit der gleichen Geschw. durch den Raum bewegen, wenn also die Teilchengeschwindigkeit v gleich der Gruppengeschwindigkeit vg ist. k z 2 . Es gilt Photon Gruppengeschwindigkeit d d ( ) d ( pc) vg Phasengeschwindigkeit vPH Materieteilchen Gruppengeschwindigkeit vg Phasengeschwindigkeit dk d dk vPH k k d( d( k) k dp c E c p k2 ) 2m k p mv v dk m m m E mc2 c2 p mv v Das Produkt von Phasen- und vPH vg c2 Gruppengeschwindigkeit einer Materiewelle ist gleich dem Quadrat der VakuumLichtgeschwindigkeit. Da die Gruppengeschwindigkeit, also die Teilchengeschwindigkeit, stets kleiner als c sein muss, ist die Phasengeschwindigkeit stets grösser als c. Man beachte, dass die Phasengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt. Wir haben Dispersion. Der Tunneleffekt Bemerkung: in der Darstellung erkennt man den Tunneleffekt! Propagierende Teilchen Es sei ein Teilchen betrachtet, das sich mit einer Geschwindigkeit v im Raum bewegt. Es gilt: p k , E und E p 2 2m Es folgt: k2 (Dispersionsrelation, vgl. früher) 2m Nimmt man als Lösung der Schrödingergleichung harmonische Welle an, dann treten Schwierigkeiten auf: 1. Eine harmonische Welle mit einer wohldefinierten Frequenz ist unendlich ausgedehnt. Das ist mit der Vorstellung eines Massenpunktes nicht verträglich. 2. Die Phasengeschwindigkeit vPH = ω/k dieser Welle stimmt nicht mit der klass. Teilchengeschwindigkeit überein: 2D- oder 3D-Potentialtopf E 1 mv 2 1 vPH 2 v Eine Verallgemeinerung auf 2D entspricht der Berechnung der k p mv 2 Eigenschwingungen einer rechteckigen Membran, auf 3D (k ) Von links nähert sich ein Elektron mit der Gesamtenergie E. Klassisch gesehen würde das Teilchen unter Erhaltung seiner Energie an der Barriere reflektiert werden, weil E < U. Die Wellenmechanik besagt hingegen, dass es dem e- möglich ist, den Wall zu durchtunneln und seinen Weg rechts fortzusetzen. Zur Beschreibung des Vorgangs führt man einen Reflexionskoeffizienten R und einen Transmissionskoeffizienten T ein (R+T=1). Innerhalb der Potentialbarriere mit der Höhe U, wo das Teilchen klassisch gleich der Frequenz einer Linie, die im gleichen Atom in einer anderen Serie tatsächlich auftritt. Daraus lässt sich schliessen, dass alle Frequenzen bzw. Wellenzahlen von Spektrallinien als Differenzen von je zwei Termen der Form R/n2 darstellbar sind. Das sind gerade die Energieniveaus des e- im H-Atom. 2m(U E) L: Barrierenbreite Die Bohrschen Postulate T e K L mit K 2 Um die Diskrepanz zu den Gesetzen der klassischen Physik zu vermeiden, stellte Bohr in Form von 3 Postulaten Forderungen Beispiele und Anwendungen ein verknoteter Kupferdraht leitet, weil die Elektronen die für das von den Gesetzen der klassischen Physik abweichendes Verhalten der Elektronen im Atom auf. isolierende Kupferoxidschicht durchtunneln können. 1. Die klassischen Bewegungsgleichungen sollen für α-Zerfall: ein α-Teilchen muss die sehr kurzreichenden Elektronen in Atomen zwar gelten, es sollen aber nur ganz Kernkräfte mittels Tunneleffekt überwinden, um aus dem bestimmte, diskrete Bahnen mit den Energien En erlaubt Atomkernverband austreten zu können sein. Dies sind die Energieterme des Atoms. Raster-Tunnel-Mikroskop: Zwischen einer Metallspitze 2. Die Bewegung der Elektronen auf diesen gequantelten und der Probe wird ein konstanter Tunnelstrom (nA) Bahnen erfolgt strahlungslos. Ein Elektron kann von einer aufrechterhalten, indem der Abstand variiert wird Bahn geringerer (negativer) Bindungsenergie En (also (Piezokristalle). Die gemessene Spannung Uz gibt ein grösserem r) unter Emission von Strahlung auf eine Bahn Abbild der Topographie entlang der Bewegungsrichtung mit grösserer (negativer) Bindungsenergie En' (kleinerem r) wieder. übergehen. Die Frequenz der dabei emittierten Strahlung ergibt sich aus En – En’ = hν Bei Absorption von Licht erfolgt der umgekehrte Prozess. 3. Quantenbedingung für den Bahn-Drehimpuls l = r p des mit der Geschwindigkeit vn und der Kreisfrequenz ωn auf der Bahn mit dem Radius rn umlaufenden Elektrons: gar nicht sein kann, fällt die Welle exponentiell ab. Rechts von der Barriere ergibt sich eine fortschreitende Welle mit reduzierter Amplitude. Aus der Schrödingergleichung kann man herleiten: l me vn rn me rn 2n n Energieniveaus in Atomen Das Bohrsche Modell des H-Atoms Spektren Formeln gefolgert aus Bohrschen Postulaten (H-Atom!) Idee: qm. Formeln müssen gemäss Korrespondenzprinzip für grosse Quantenzahlen in die klassischen übergehen Rhc Rhc Aus Postulat 2 und RydbergEn 2 En ' 2 Formel folgt: n n' Rydberg-Konstante (grosse n, R mee4 Z 2 109'737.318 Z 2cm1 8 02 h3c n’ und (n – n’) = τ n ) Bahnradius rn n 2 2 4 0 rn (okay für kleine n) Ze 2 me Kreisfrequenz ωn (aus 3. Z 2e4 me 1 n Postulat und rn) (4 0 ) 2 3n3 v v 1 1 c vac n Luft Oft verwendet in der Spektroskopie. Proportional zur Energie! Schrödingergleichung und das H-Atom Potentiell Energie des Elektrons im Felde des Protons: Schrödingergleichung für dieses Problem Quantisierungsbedingung für eine 1D e--Bahn: Erlaubte Energiezustände Elektronenimpuls, h nh kinetische Energie p 2 r Ekin Bei unelastischen Zusammenstössen können e- diskrete Energiebeträge auf Atome übertragen, die kleiner als die Ionisationsenergie sind und zur Anregung der Atome verwendet werden. Sobald UG > UB ist, steigt der Strom I zunächst mit wachsender Gitterspannung (Beschleunigungsspannung). Bei einer charakteristischen Spannung Ur sinkt I stark ab, steigt dann wieder an bis bei UG etwa 2Ur der Strom wieder abfällt. Absorption von Photonen Fluoreszenz von Kalium n 2 r p2 n2 2 1 2me 2me r 2 Potentielle Energie 1 e2 E pot V (r ) (Coulomb4 0 r Wechselwirkung) Gesamtenergie: Eges Ekin E pot n2 2 1 1 e2 2me r 2 4 0 r n 1,2,3,.. Bindungsenergien sind negativ! Wesentliches gemeinsames Charakteristikum der BohrPostulate ist: Man macht nicht Aussagen über Vorgänge, sondern über Zustände. Der klassische Bahnbegriff wird aufgegeben. Es wird nicht nach dem zeitlichen Verlauf gefragt, sondern nach dem stationären Anfangs- und Endzustand. klassische Formeln (bei grossen Quantenzahlen okay) dynamisches Glgw. zwischen me v 2 Ze2 2 Coulombkraft und Zentrifugalkraft 4 r 2 me r r 2 0 Energieerhaltung: E = Ekin + Epot Ze2 2 2 1 E 2 me r Z: Kernladungszahl 4 r 0 Wellenzahl: Anregung von gebundenen Elektronen durch Elektronenstoss Aus der Kugelsymmetrie des Potentials darf man nicht schliessen, dass Wellenfunktionen, die das Elektron eines H-Atoms beschreiben, alle kugelsymmetrisch sind. Das wäre falsch. Quantisierungsbedingungen Stationäre Elektronenzustände treten auf, wenn bei der Materiewelle des e- keine destruktiven Interferenzen auftreten V (r ) e2 4 0 r 1 Rydberg-Formel 2m 1 e2 Das gesamte Spektrum des H-Atoms besteht aus mehreren 2 e E Serien, dargestellt durch die Gleichungen von Rydberg: 4 0 r n’-Serie mit n als 1 1 v RH 2 2 mit n ' n ganzzahlig Laufparameter. Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: n 2 2 1 1 2 n 2 2 sin 2 2 -1 r r r r sin r sin 2 Rydberg-Konstante: RH = 109'677,5810 cm Hauptquantentzahlen: n und n’: Ritzsches Kombinationsprinzip Die Differenz der Frequenzen zweier Linien einer Serie ist 0 Die Bogenlampe emittiert ein kontinuierliches Spektrum. Es enthält auch Photonen, die K-Atome aus dem Grundzustand in verschiedene angeregte Zustände bringen. Aus den angeregten Zuständen können die Atome durch Emission von Photonen in tiefer liegende angeregte Zustände und schliesslich in den Grundzustand übergehen. Das rote Licht entspricht einer Mischung von wenigen Spektrallinien des K-Atoms. Man spricht von Fluoreszenz. 2 Bedingung: 2 Energieminimieru dEges / dr 0 rn 4 0 2 n e me ng Erster Bohrscher 4 0 2 a0 0,529 1010 m Radius (n = 1) m e2 e Erlaubte Energien Z 2 me e 4 1 1 Z 2 13,6eV En 2 (für Elektron im 2 2 n2 n2 4 0 H-Atom: Z = 1) 2 Folgerungen: Das gebundene Elektron… darf nur diskrete Energiewerte annehmen. kann Energie nur in diskreten Quanten aufnehmen. Diese Quanten müssen einem Übergang zwischen dem durch die Quantenzahl n charakterisierten Zustand, in dem sich das Elektron befindet, und einem anderen diskreten Zustand entsprechen. Formelmässig wird das durch das Ritz'sche Kombinationsprinzip ausgedrückt: me e4 1 1 1 2 2 n j , ni ganze Zahlen ij 2 2 2 32 0 ni nj Vergleich mit dem Expeirment Emission von Photonen durch Atome Hg-Lampe (Linienspektrum) Die Unschärferelation von Heisenberg Heisenberg hat erkannt, dass es eine neue und fundamentale Grenze gibt, die die Genauigkeit einer Messung begrenzt: das Wirkungsquantum. § Die ΔpΔx-Unschärfe Die (eine Messung beeinflussende) Störung kann nicht unter eine bestimmte fundamentale Grenze reduziert werden. Grund: Quantisierung der Zustände Eine Korrektur der Störung ist unmöglich. Grund: statistische Natur der Quantenmechanik. Ein Gedankenexperiment Mit dem Mikroskop soll die Position eines Teilchens bestimmt werden. Licht, das am Teilchen gestreut wird, gelangt ins Mikroskop λ: Wellenlänge θ: Einfallswinkel der Linse Δx: Unsicherheit der Teilchenposition Die gebundenen Elektronen können nur bestimmte Energien Auflösevermögen x / sin / falls klein aufnehmen und durch Abstrahlen v. Photonen wieder abgeben. eines Mikroskops Die Energie eines abgestrahlten Photons entspricht einer Abstrakter: Wällenlänge ≤ Objektgrösse Energiedifferenz zwischen zwei Energieniveaus des Atoms. Das Licht fällt entlang der x-Achse ein und wird in Richtung der y-Achse gestreut. Es sei angenommen: θ 1 pLICHT x px 2 2 In der klassischen Physik gibt es keine grundsätzliche untere Grenze für diese Unsicherheiten. Die Quantenmechanik verändert die Situation total. Bei kleinen Intensitäten müssen wir berücksichtigen, dass das Licht Teilchencharakter hat, und nicht in beliebig kleinen Portionen geliefert wird. Die kleinste Menge Licht, die mit dem Teilchen wechselwirken kann, ist ein einzelnes Photon. Für den Impuls dieses Photons gilt die Relation von de Broglie: pLicht = h/λ einsetzen! Unschärferelation von Heisenberg (genaue Version) x px 2 Impulsunschärfe der x-Komponente px pLICHT Phänomene in der Natur Ein Elektronenstrahl Wenn wir die horizontale Position des Elektrons versuchen festzulegen versuchen, müssen wir den Spalt verengen. Dies führt aber zu einer Verbreiterung der Beugungsfigur, also zu einer Vergrösserung des Impulses. Soll umgekehrt die Horizontalkomponente des Impulses genau bestimmt werden, dann müssen wir auf irgendeine Weise die Winkelverbreiterung des Beugungsmusters verringern. Die ΔEΔt-Unschärfe Energie-Zeit-Unschärfe E t Ein angeregtes Atom wird nach einer mittleren Lebensdauer τ unter Aussendung eines Photons wieder in den Grundzustand zurückkehren. Aus der Unschärferelation folgt für die Energieunschärfe des angeregten Zustandes: ΔE ħ/Δt natürliche Energieunschärfe Röntgenstrahlen Erzeugung von Röntgenstrahlen Röntgenstrahlen entstehen beim Durchgang von Elektronen durch Materie. Die meisten Elektronen werden beim Eindringen in das Anodenmaterial allmählich abgebremst und erzeugen Wärme. Einige aber erfahren beim Durchgang durch ein einzelnes Atom eine spezielle Bremsung, die ebenfalls entweder zum Verlust der gesamten Energie oder eines wesentlichen Bruchteils führt. Diese Energie wird unmittelbar in elektromagnetische Strahlung verwandelt (Röntgenbremsstrahlung) oder als Anregungsenergie der Anodenatome verbraucht, was (sekundär) zur charakteristischen Röntgenstrahlung führt. Im ansonsten kontinuierlichen Röntgenspektrum der Bremsstrahlung fällt die Sekundärstrahlung durch ihre scharfen, charakteristischen Linien auf. Röntgenbremsstrahlung (RBS) Röntgenbremsstrahlung als inverser Effekt des Photoeffektes: Photoeffekt Photon gibt seine Energie an Elektron ab RBS bewegtes Elektron gibt seine Energie an das Strahlungsfeld ab die Elektronen werden (negativ) beschleunigt. Sie induzieren deshalb ein Strahlungsumfeld an die Umgebung: Hertzsche Dipole abgestrahlte Leistung ist proportional zum S p2 Quadrat der 2. t-Abl. des (Hertzschen) Dipolmoments. abgestrahlte Leistung von der Dauer des Abbremsvorganges abhängig Spektrum bricht plötzlich ab bei einer char. Frequenz ωG. für zunehmende Beschleunigungsspannungen nimmt die maximale Frequenz ωG zu, die minimale Wellenlänge λ0 ab. Phänomenologie: Ein Elektron, das dicht an einem Atom der Anode vorbeifliegt wird abgelenkt und emittiert dadurch ein Photon, wodurch es einen Teil seiner kin. Energie verliert. Energiebilanz eU h E (ΔE = Restenergie) Grenzfall: Elektron gibt seine gesamte Energie an ein Photon ab (ΔE = 0) eU h G h c min h/e–Bestimmung Minimale Wellenlänge als (lineare) Funktion von U messen: min 0 c hc min max eU h U U ( max ) max e Das energiereichste Photon, das beim Abbremsen eines geladenen Teilchens der kinetischen Energie Ekin entstehen kann, hat diese Energie hνmax = Ekin Charakteristische Röntgenstrahlen (Phänomenologie) 1. Ein energiereiches Elektron trifft auf ein Atom im Target und schlägt eines der tief liegenden Elektronen heraus. Befindet sich das Elektron in der Schale mit n = 1 (KSchale), so entsteht dort eine Leerstelle, ein so genanntes Loch. 2. Eines der äusseren Elektronen springt in dieses Loch, und bei diesem Übergang emittiert das Atom ein charakteristisches Röntgenphoton. Solche Übergänge hinterlassen natürlich ein Loch in der L- bzw. M-Schale, das wieder von weiter aussen liegenden Elektronen aufgefüllt wird. Das Atom emittiert eine weitere charakteristische Linie. Maxima: sin( m ) m a Gitterperiode: a Gitterkonstante: 1/a Grössenordnung a≈λ Problem: Intensitätsmaxima können nicht unterschieden werden bei den kurzen Wellenlängen der Röntgenstrahlung. Trick: Bei streifendem Einfall ist es möglich, Strahlung spektral zu zerlegen, wenn a gross ist im Vergleich zu . Ein Beugungsmaximum tritt auf, wenn die Wegdifferenz zwischen zwei an benachbarten Rillen gestreuten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches von ist: Formel für Strahlungsfrequenz me e4 Z 2 1 1 beim Übergang zw. 2 bel. Niveaus 8 02 h3 m2 n2 in wasserstoffähnlichen Atomen: K-Schale enthält normalerweise 2 Elektronen. Wird eines herausgeschlagen, so ist die Kernladung noch vom anderen abgeschirmt! Für Kα-Übergang: Z (Z-b) mit b = 1, m = 1, n = 2: n d d cos d (1 cos ) 2d sin 2 ( / 2) sin 2 n 2d Die Laue-Gleichung Beugung von Licht an einer linearen Kette von Atomen mit Abstand a. 1 3me e4 2 Z b 2 3 32 0 h α0: Einfallswinkel α: Beugungswinkel a Z b Absorption von Röntgenstrahlen exponentielles Absorptionsgesetz: S ( x) S0 e x x = Materialdicke, μ = Schwächungskoeff. Beim Durchgang von 1.Photoeffekt Röntgenstrahlen durch eine 2.Compton-Effekt Materieschicht überlagern sich 3 3.Paarbildung Effekte: Paarbildung (Phänomenologie): Wenn die -Energie h grösser als die doppelte Ruheenergie des Elektrons 2mec2=1,02MeV ist, so kann das -Quant unter gleichzeitiger Bildung eines Elektrons und eines Positrons vernichtet werden. Die überschüssige Energie übernehmen die erzeugten Teilchen als kinetische Energie. Energieabhängigkeit Energieabhängigkeit der Absorptionswirkungsquerschnitte für Photoeffekt (τ), Compton-Effekt (σ), sowie Paarerzeugung (κ) und ihre Zusammensetzung zum totalen Absorptionsquerschnitt: μ = τ + σ + κ: Z-Abhängigkeit (Z = Kernladungszahl) Streuung von Röntgenstrahlen Welleneigenschaften von Röntgenstrahlen Interferenzbedingungen beim Strichgitter: ( m = 0, 1, 2, …) Fällt eine ebene Lichtwelle auf eine lineare Reihe von Atomen im Abstand a, dann wirken diese als Hertz'sche Dipole und senden Sekundärwellen aus. Wenn das Licht nicht polarisiert ist, dann wirkt jedes Atom als Zentrum von einer Huygensschen Elementarwelle. Interferenzbedingung für a sin sin0 e lineare Ketten (e = 0,1,2,…) Laue-Gleichungen a sin sin 0 e (Interferenzbeding b sin sin 0 f ungen) c sin sin 0 g e 0,1,2,3,.. f 0,1,2,3,.. g 0,1,2,3,.. I.A. werden diese Bedingungen nicht erfüllt: drei orthogonale Kreise auf der Ausbreitungskugel müssten sich schneiden. Wellenlänge als freien Parameter variieren, den Kristall mit weissem Röntgenlicht beleuchten. Spektren und Energieniveaus Gasentladung Während glühende Körper meist strukturlose kontinuierliche Emissionsspektren besitzen, senden isolierte Atome in Gasentladungen charakteristische Linienspektren aus. In verdünnten Gasen spüren die Atome nämlich, abgesehen von gelegentlichen Stössen, nichts voneinander und liefern dann in den Spektren ein getreues Abbild ihrer inneren Zustände. AI Diese Energieaufspaltung wird als Zeeman-Effekt bezeichnet. r 2 qL qL 2 r 2 m0 2m0 Magnetisches Moment und Spin Der Einstein-de-Haas Effekt Effekt als Nachweis, dass ein Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Magnetisierung besteht. In einer ursprünglich unmagnetisierten Eisennadel sind die elementaren magnetischen Dipole, die Elektronenspins zufällig orientiert. Wirkung des Kerns wird Wenn man ein magnetisches Feld entlang der Nadel anlegt, schwächer für kleine und dann werden die Spins gleich orientiert. Das führt zu einem Es gilt: stärker für grosse Abstände internen Drall, der von Null verschieden ist. Da der Drall des 2 abgeschirmt(V = -e /(4πε r)) 0 I q / T qv / 2 r gesamten Systems, d.h. der Eisennadel erhalten bleibt d.h. Im Gasentladungsrohr beobachtet man charakteristische gleich Null bleibt, muss die Nadel einen Drall erhalten, der Das magnetische Moment eines isolierten Elektrons nennt man Lichtabstrahlung. Sie wird durch Elektronenstossanregung Bezeichnungen für die Elektronenzustände (Beispiele) dem inneren aufsummierten Elektronendrall entgegengerichtet Bohrsches Magneton e e erzeugt. Elektronen, die sich zufällig im Gasraum befinden, 24 2 B s 9.3 10 Am 2p-Zustand n=2 l=1 ist. werden zur Anode hin beschleunigt; sie regen die Gasatome an me me 2 3s-Zustand n=3 l=0 und ionisieren sie auch. Resultat: Darstellung für L 4f-Zustand n=4 l=3 L B I B g I magn. Moment Das H-Atom wieder betrachtet Kleinbuchstaben: “Schale” von einem Elektron besetzt Grossbuchstaben: „Schale“ von mehreren Elektr. besetzt. Die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten Larmor-Präzession (im Magnetfeld) s (sharp), p (principal), d (diffus), f ... Wirkt auf einen Kreisel ein Drehmoment M, das nicht parallel l = 0, 1, 2, 3, … zum Drehimpuls L gerichtet ist, so präzediert der Kreisel. Bahnmoment und Spin Präzessionsfrequenz d M Anlass zur Untersuchung der magnetischen Eigenschaften präz gaben einige grundlegende Experimente: dt L Messung der makroskopischen Magnetisierung und des Drehmoment M B (obiges einsetzen) gyromagnetischen Verhältnisses von festen Körpern, Der magnetische Dipol präzediert um die Richtung des bekannt als der Einstein-de-Haas-Effekt. Magnetfeldes mit der Larmor-Präzessionsfrequenz. Messung der Richtungsquantelung und des magn. Moments Larmor-Präzessionsfrequenz qB von Atomen in Atomstrahlen nach Stern und Gerlach. L (folgt aus obigem) Beobachtung der sog Feinstruktur in den optischen Spektren eine quantitative Auswertung ergibt 2m0 S gS B s von Atomen. So wird die Dublett-Struktur aus zwei eng 2 2 1 1 2 Larmor-Präzessionsfrequenz 1 beieinander liegenden Einzellinien von Spektrallinie 2 2 sin für H-Atom (folgt aus obigem) L B gl B Das Stern-Gerlach Experiment r r r r sin r 2 sin 2 2 genannt. Experiment: Ablenkung von Atomstrahlen in einem Wenn ein H Spin und magnetisches Moment des Elektrons Wellenfunktion ψ eine Funktion von 3 Variablen: ψ (r,,). inhomogenen Magnetfeld. Dabei werden Atome verwendet, Atom in ein Spin = Eigendrehimpuls Annahme: Variablen separierbar: ψ(r,,φ) = R(r)f()g(φ) s s(s 1) deren äusserstes Elektron im S-Zustand ( l = 0) vorliegt. Magnetfeld Spinquantenzahl s = ½ Potentielle Energie nur in R(r) enthalten ( R = R(r,V(r)) Somit besitzt das Atom keinen resultierenden Bahndrehimpuls. gebracht wird, Das damit verbundene e Quantenzahlen in sphärischen Polarkoordinaten Man misst also nur den Spinmagnetismus. S gS s dann wird eine Moment beträgt Zur Charakterisierung eines Teilchens in 3D sind 3 2me Quantisierungs Quantenzahlen (3 Eigenwerte) notwendig: achse definiert. Komponente des sz ms mit ms 12 Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, … Der Eigendrehimpulses in Bahndrehimpulsquantenzahl l = 0, 1, 2, 3, … Drehimpuls L Vorzugsrichtung magnetische Quantenzahl m = -l, -l+1, … , 0, 1, 2, …, l und das Die Energie eines Zustandes ist ein Skalar und wird im magnetische Wasserstoffatom durch eine einzige Quantenzahl n festgelegt. Moment Der Drehimpuls eines Zustandes ist jedoch ein Vektor und präzedieren um wird durch die beiden Quantenzahlen l und m beschrieben. diese Achse Klassischer Drehimpuls L rm v A: I: v: T: umschlossene Fläche Strom Geschw. der Ladung Umlaufdauer 0 Betrag des Drehimpulses L l (l 1) (Resultat der Schrödingergl.) Die dritte Quantenzahl m beschreibt die Orientierung des Drehimpulses bezüglich einer Vorzugsrichtung (z.B. einem Magnetfeld). Die ausgezeichnete Richtung bezeichnet man in der Atomphysik immer als die z-Richtung. Lz = mħ Magnetisches Moment Modell: Es laufe eine Ladung q auf einer Kreisbahn mit Radius r um den Ursprung O. Dadurch wird ein magnetisches Moment erzeugt: Alkali-Metalle Alkalimetalle sind so genannte wasserstoffähnliche Stoffe. Das Spektrum von Natrium Alkaliatome besitzen ein schwach gebundenes äusseres Elektron, das sog. Valenzelektron, und im Übrigen nur abgeschlossene Schalen von inneren Elektronen. Eine "abgeschlossene Schale" bedeutet, dass der Gesamtdrehimpuls der Elektronen des Atoms verschwindet und die Elektronendichte etwa kugelsymmetrisch ist. Das Valenzelektron wird von der Kernladung +Ze durch die inneren Elektronen abgeschirmt. Die resultierende potentielle Energie ist in der rechten der folg. Abbildungen dargestellt. Der Elektronenspin hat zwei diskrete Einstellmöglichkeiten der Richtung z in einem Magnetfeld, nämlich parallel oder antiparallel dazu. Sie sind durch die mS = ½ charakterisiert. Atome im Magnetfeld Zwei Eigenschaften eines gebundenen Elektrons im Atom Zum Bahndrehimpuls L des e- gehört ein magn. Moment μI Zum Spin s des e- gehört ein magn. Moment μs Diese beiden Beiträge zum Gesamtdrehimpuls sind vektoriell zu addieren. Es gibt eine Richtungsquantelung: die Drehimpulsvektoren im Atom können sich relativ zu einer Vorzugsrichtung nur in diskreten Orientierungen einstellen. Ähnlich wie die Ausrichtung eines Spins im Magnetfeld des Bahnmomentes zu einer Energieaufspaltung führt, führt auch die Ausrichtung des gesamten Drehimpulses eines Elektrons in einem äusseren Feld zu einer Aufspaltung der Energieniveaus. Klassisch würde man ein Kontinuum von möglichen Ablenkungen erwarten. Tatsächlich beobachtet man eine scharfe Aufspaltung des Strahls in zwei Komponenten. Es gelang so: der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung die direkte Messung des magnet. Moments von Atomen Atombau Das Pauli-Prinzip In einem Atom können keine zwei Elektronen denselben Quantenzustand haben. Daher können in einem Atom keine zwei Elektronen die gleichen 4 Quantenzahlen haben. Wenn eine Elektronenschale gefüllt ist, dann geht das nächste Elektron in die nächste freie Schale, d.h. die mit der nächst niedrigen Energie. Ein Elektron in einem höheren Energiezustand würde unter Aussendung eines Photons nach kurzer Zeit in einem freien tieferen Zustand landen. Edelgase haben eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Jede volle Unterschale entspricht einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung. Daher sind Edelgase chemisch inaktiv. Spektren von Atomen Thermasche ma des HAtoms Die diagonal verlaufenden Linien repräsentieren die erlaubten Übergänge zwischen den stationären Zuständen. Für alle erlaubten Übergänge gilt folgende Bedingung: Auswahlregel l 1 ml 0, 1 Der Laser LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiaton Hervorstechende Eigenschaften 1. Besonders monochromatisches Spektrum. Es lassen sich Linienbreiten von der Grössenordnung eines Hertz erzeugen. 2. Sehr starke Bündelung des Lichtes, die praktisch nur durch Beugungseffekte am Austrittsfenster des Lasers begrenzt ist. 3. Eine hohe Strahlungsintensität. Es ergibt sich eine sehr hohe Photonenflussdichte in einem sehr engen Spektralbereich. 4. Die Möglichkeit, ultrakurze Lichtimpulse von zugleich hoher Intensität zu erzeugen. Photonen, die in axialer Richtung fliegen, werden sehr oft reflektiert und bleiben lange im Laser. Photonen, die quer zur Achse fliegen, verlassen den Laser sehr schnell. Durch optisches Pumpen wird eine beträchtliche Zahl von Atomen in einen angeregten Zustand gebracht. Dann können zunächst Photonen spontan emittiert werden. Trifft jedoch ein solches Photon auf ein weiteres angeregtes Atom, so kann es dieses zur induzierten Emission veranlassen, d.h. das zweite angeregte Atom sendet ein zusätzliches Photon aus. Durch Fortsetzung dieses Prozesses kommt es zu einer Photonenlawine. Allerdings kann dieser Prozess nicht unbegrenzt weiter wachsen, da ja immer mehr Atome in den Grundzustand übergehen. Pumpt man Energie ständig nach, so bildet sich ein Gleichgewicht aus.
