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Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Autor: Dr. Volker Ulm Flächenland Lösungsvorschläge zur Lernumgebung http://www.lo-net.de/group/Material/flaechenland/index.html 1. Über Flächenlands natürliche Beschaffenheit Ein Vieleck nennt man regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. 2. Über die männlichen Bewohner Flächenlands Soldaten und Leibeigene Spitze Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten nennt man gleichschenkliges Dreieck. Schenkel Schenkel Basis In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, so ist es gleichschenklig. Sind bei einem Soldaten die Schenkel ca. 27 cm lang und misst die Basis weniger als 1 cm, so beträgt der Winkel an der Spitze etwa 1° oder 2°. Die Basiswinkel sind dann ca. 89° groß. Mittelstand, Gelehrte, Adel, Priester Regelmäßige Vielecke im Alltag: z.B. Seitenflächen von Verpackungen, Karos auf Papier, Fliesenmuster, Verkehrsschilder; Fünfecke und Sechsecke: Fußballoberfläche; Sechsecke: Bienenwabenmuster (auch auf Honiggläsern), Querschnitt von Stiften; Achtecke: Stoppschild © 2005, Schulen ans Netz e.V. 1 Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Autor: Dr. Volker Ulm Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitiges Dreieck. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Innenwinkel 60° groß. Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel 60° betragen, so ist es gleichseitig. Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks: Zeichne eine Strecke und zeichne um die Streckenenden zwei Kreise mit der Streckenlänge als Radius. Der Schnitt der beiden Kreise liefert den dritten Eckpunkt des gleichseitigen Dreiecks (siehe Skizze). 3. Über die Frauen Flächenlands Je nachdem, wie die Frau zum Betrachter Flächenlands steht, sieht er sie als Linie unterschiedlicher Länge oder als Punkt. 4. Wie wir einander erkennen Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck Die Summe aller Innenwinkel in einem n-Eck beträgt n 2 180 . Im regelmäßigen n-Eck sind alle Innenwinkel gleich groß. Also hat jeder einzelne die Größe n2 180 . Insbesondere ergeben sich folgende Innenwinkel im regelmäßigen n n-Eck: Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Siebeneck Achteck 60° 90° 108° 120° 128,57…° 135° Ein Innenwinkel im regelmäßigen 20-Eck hat die Größe 162°. Im regelmäßigen 21-Eck ist jeder Innenwinkel 162,85 …° groß. Die Winkel unterscheiden sich also nur sehr wenig. © 2005, Schulen ans Netz e.V. 2 Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Autor: Dr. Volker Ulm Regelmäßige Sechsecke In einem regelmäßigen Sechseck ist jeder Innenwinkel 120° groß. Verbindet man den Mittelpunkt mit den Ecken, so entstehen also sechs Dreiecke, bei denen alle Innenwinkel 60° betragen. Es handelt sich damit um gleichseitige Dreiecke. Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks: Man zeichnet einen Kreis und trägt mit dem Zirkel den Kreisradius wie in nebenstehender Figur angedeutet sechsmal als Kreissehnen ab. Verbindet man die entstehenden Punkte auf der Kreislinie, erhält man ein regelmäßiges Sechseck. 5. Mein Traum von Linienland Streit mit dem König Durchdringt das Quadrat Linienland, so sieht der König nur einen Punkt und vermutet dahinter eine Linie. Befindet sich das Quadrat außerhalb von Linienland, so kann es der König nicht mehr sehen. 6. Ein Fremder aus Raumland Idee des Enkels Wenn man einen Punkt geradlinig bewegt, ergibt sich eine Strecke. Wenn man eine Strecke wie in der Konstruktion parallel zu sich selbst bewegt, ergibt sich ein Quadrat. Wenn man ein Quadrat wie in der Konstruktion parallel zu sich selbst bewegt, entsteht ein Würfel. Ein unbekanntes Wesen Der Erzähler und seine Ehefrau sehen den Fremden zunächst als Linie und vermuten eine Frau. Durch Befühlen stellen sie jedoch fest, dass es sich um keine gerade Linie handelt und dass der Fremde keine Winkel besitzt. Damit kommen sie zum Schluss, dass es ein Kreis sein muss. 7. Die Geheimnisse aus Raumland Wenn die Kugel in Flächenland eindringt, entsteht als Schnittfläche der Kugel mit der Ebene „Flächenland“ ein Kreis. Bewegt sich die Kugel senkrecht zu Flächenland, so ändert der Kreis dabei seine Größe. Er ist am größten, wenn der Kugelmittelpunkt in Flächenland liegt. Der Erzähler kann aus seiner Perspektive nur diesen Kreis © 2005, Schulen ans Netz e.V. 3 Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Autor: Dr. Volker Ulm wahrnehmen. Hat sich die Kugel aus Flächenland entfernt, so ist sie für den Erzähler nicht mehr sichtbar. © 2005, Schulen ans Netz e.V. 4
