Algebra

Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Inhaltsverzeichnis
Große Zahlen und Stellentafel
Vergleichen von Zahlen
Runden von Zahlen
Einheiten und Maßzahlen
Einheiten der
Gewichtsmessung
Einheiten für Zeitspannen
Rechnen mit natürlichen
Zahlen
Term
Addition
Subtraktion
Rechengesetze der A.
Multiplikation
Division
Rechengesetze der M.
Zusammenhang zwischen
Multiplikation und Division
Regeln für Terme mit
Klammern, Punkt- und
Strichrechnung
Variable und Gleichung
(Grundmenge, Lösung, ...)
Potenzieren
Gebhardt
– 1 –
Rationale ZahlenBetrag /
Gegenzahl
Addition von rationalen Zahlen
Subtraktion von rat. Zahlen
Brüche / Bruchzahlen
Stammbrüche
Vielfache von Stammbrüchen
Unechte Brüche / gemischte
Darstellung
Bruch als Quotient
Anteil bei beliebigen Größen
1. Der Teil einer Größe ist
gesucht
2. Das Ganze ist gesucht
3. Der Anteil vom Ganzen ist
gesucht
Anteil vom Ganzen ist der Teil
Brüche mit gleichem Wert
Erweitern
Kürzen
Prozente
Zahlenstrahl für Brüche
Ordnen von Brüchen
Addition und Subtraktion von
Bruchzahlen
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Große Zahlen und Stellentafel
Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem. Der Wert
einer Ziffer hängt von ihrer Position in der Zahl ab.
Stellentafel (Stellenwerttafel)
Billion
Mrd
Million HT ZT T H Z E
1 Tausend = 1 000
1 Million
= 1 000 000
1 Milliarde = 1 000 000 000
1 Billion
= 1 000 000 000 000
1 Billiarde hat 15 Nullen
(3 Nullen)
(6 Nullen)
(9 Nullen)
(12 Nullen)
Vergleichen von Zahlen
Für das Vergleichen von Zahlen benutzt man
Ordnungszeichen:
… > … ( ... ist größer als ... ) bzw.
… < … ( ... ist kleiner als ... ).
Runden von Zahlen
Beim Runden auf einen Stellenwert bestimmt die Ziffer,
die rechts vom Stellenwert steht, ob auf- oder
abgerundet wird.
Ist sie kleiner als 5, wird abgerundet, andernfalls
aufgerundet.
Gebhardt
– 2 –
01.01.17
Gebhardt
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
– 3 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Einheiten und Maßzahl
Die Zahl vor der Einheit nennt man Maßzahl.
Maßzahl und Einheit sind zusammen eine Größe.
Einheiten der Längenmessung
Kilometer (km) - Meter (m) - Dezimeter (dm) Zentimeter (cm) – Millimeter (mm)
Die Umrechnungszahl ist 10 (außer bei km).
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm
Einheiten der Flächenmessung
Quadratkilometer (km²) – Hektar (ha) – Ar (a) Quadratmeter (m²) - Quadratdezimeter (dm²) Quadratzentimeter (cm²) Quadratmillimeter (mm²) Die Umrechnungszahl ist 100.
1 km² = 100 ha
1 ha = 100 a
1 a = 100 m²
1 m² = 100 dm²
1 dm² = 100 cm²
1 cm² = 100 mm²
Einheiten der Volumenmessung
Gebhardt
– 4 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Kubikmeter (m³) - Kubikdezimeter (dm³) Kubikzentimeter (cm³) Kubikmillimeter (mm³) Die Umrechnungszahl ist 1000.
1 m³ = 1000 dm³
1 dm³ = 1000 cm³
1 cm³ = 1000 mm³
Weitere Volumeneinheiten:
Liter (l) – Hektoliter (hl)
1 hl = 100 l (!!!)
1 l = 1 dm³ (!!!)
Sonderfall:
1 km³ = 1.000.000.000 m³
Einheiten der Gewichtsmessung
Tonne - Kilogramm - Gramm - Milligramm
Die Umrechnungszahl ist 1000.
1 t = 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
Einheiten für Zeitspannen
Tag - Stunde - Minute - Sekunde
1 d = 24 h
1 h = 60 min
1 min = 60 s
Gebhardt
– 5 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Die Menge der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... nennt man
natürliche Zahlen. Das Zeichen für diese Menge ist
ein N (mit Doppelstrich).
Term
Eine Zahl, eine Verknüpfung zweier oder mehrerer Zahlen
mit Rechenoperatoren nennt man Term.
Die Verknüpfung zweier Terme ergibt wieder einen
Term.
Vereinfachen und Berechnen eines Terms
( 58 + 115 ) – ( 27 + 55 )  Term
= 173 – 82
 Vereinfachung des Terms
=
91

Wert des Terms
Ein Term wird nach der Rechenart benannt, die als
letztes ausgeführt werden muss.
3+4∙5

Summe
(3+4)∙5

Produkt
Addition
Addiere die Zahlen 8 und 13:
8 +
13
=
1. Summand 2. Summand
Summe
21
(Wert der) Summe
Subtraktion
Gebhardt
– 6 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Subtrahiere die Zahl 7 von der Zahl 19:
19 –
12
=
7
Minuend
Subtrahend
(Wert der) Differenz
Differenz
Rechengesetze der Addition
Kommutativgesetz für die Addition
(Vertauschungsgesetz)
In einer Summe darf man die Summanden vertauschen.
a+b=b+a
Assoziativgesetz für die Addition
(Verbindungsgesetz)
In einer Summe darf man Klammern beliebig setzen.
a+(b+c)=(a+b)+c
Für die Subtraktion gelten die obigen Gesetze nicht.
Multiplikation
Multipliziere die Zahlen 7 und 12.
7 ·
12
=
84
1. Faktor
2. Faktor
(Wert des) Produkt(s)
Produkt
Division
Dividiere die Zahl 63 durch der Zahl 9.
63
:
9
=
7
Dividend
Divisor
(Wert des) Quotient(en)
Quotient
Gebhardt
– 7 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Rechengesetze der Multiplikation
Kommutativgesetz für die Multiplikation
In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen.
a·b=b·a
Assoziativgesetz für die Multiplikation
In einem Produkt darf man Klammern beliebig setzen.
(a·b)·c=a·(b·c)
Für die Division gelten die obigen Gesetze nicht.
Regeln für die Berechnung von Termen
Der Ausdruck in einer Klammer wird zuerst berechnet.
„Punktrechnung“ geht vor „Strichrechnung“.
Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet.
Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division
Distributivgesetz
Man kann eine Summe mit einer Zahl multiplizieren, indem
man jeden Summanden mit der Zahl multipliziert und
die Ergebnisse addiert.
a·(b+c)=a·b+a·c
Bsp.: 2 · ( 3 + 4 ) = 2 · 3 + 2 · 4
Benennung von Termen
Ein Term wird nach der Rechenart benannt,
die als letztes ausgeführt werden muss.
Bsp.: 20 - ( 3 + 7 ) · 5 ist eine Differenz.
Gebhardt
– 8 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Variable und Gleichung
Anstelle eines Platzhalters „Kästchen“ verwenden wir eine
Variable.
z.B. a, b, c, .... , x, y, z
Vergleicht man zwei Terme mit einem „=“, so nennt man
dies eine Gleichung.
z.B. 2 · 2 + 12 = 7 · 2
falsche Aussage
3 · 3 + 12 = 7 · 3 wahre Aussage
x · x + 12 = 7 · x
weder wahr noch falsch
Die Gesamtheit aller Zahlen, die für die Variable in einer
Gleichung eingesetzt werden kann, nennt man
Grundmenge G.
z.B.
G = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Die Zahlen einer Menge nennt man Elemente der Menge.
Zahlen, bei denen eine Gleichung zu einer wahren Aussage
wird, heißen Lösungen.
Alle Lösungen einer Gleichung bilden die Lösungsmenge.
Hat eine Gleichung keine Lösung, so ist die Lösungsmenge
leer: L = { }
Beispiel:
Gleichung: 30 – 7·x + x² = 18
Lösungen:
x = 3; x = 4
Lösungsmenge:
L = { 3; 4 }
Gebhardt
– 9 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Potenzieren
Anstelle eines Produkts a · a· ... · a mit n gleichen
Faktoren schreibt man eine Potenz: an.
Man nennt a die Basis (Grundzahl) und n den Exponent
(Hochzahl).
Bsp. 53 → Basis ist 5, Exponent ist 3
Neue Regel:
„Potenzrechnung“ vor „Punktrechnung“ vor „Strichrechnung“
Gebhardt
– 10 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Negative Zahlen – Rationale Zahlen
Der Abstand einer Zahl von 0 heißt Betrag dieser Zahl.
Ändert man bei einer Zahl das Vorzeichen, so erhält man
die Gegenzahl. Zahl und Gegenzahl haben den
gleichen Betrag.
Addition von rationalen Zahlen
Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen werden addiert,
indem man das gemeinsame Vorzeichen setzt und die
Beträge addiert.
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden
addiert, indem man das Vorzeichen der Zahl setzt,
die den größeren Betrag hat, und dann die Differenz
der Beträge bildet.
Subtraktion von rationalen Zahlen
Eine Zahl wird subtrahiert, indem man die Gegenzahl
addiert.
Gebhardt
– 11 –
01.01.17
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
Brüche / Bruchzahlen
Stammbrüche
Vielfache von Stammbrüchen
Unechte Brüche / gemischte Darstellung
Bruch als Quotient
Anteil bei beliebigen Größen
1. Der Teil einer Größe ist gesucht
2. Das Ganze ist gesucht
3. Der Anteil vom Ganzen ist gesucht
Beachte die Schreib- und Sprechweisen:
18 cm, davon. 3/2 ist 27 cm
Das Ganze, davon Anteil ist Teil
27 cm sind 3/2 von 18 cm
Der Teil ist/sind Anteil vom Ganzen
3/2 von 18 cm sind 27 cm
Anteil vom Ganz ein ist der Teil
Brüche mit gleichem Wert
Erweitern
Kürzen
Prozente
Zahlenstrahl für Brüche
Ordnen von Brüchen
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Gebhardt
– 12 –
01.01.17
Gebhardt
Merksätze Klasse 5 Algebra
nach oben
– 13 –
01.01.17