Aufgabensammlung zur Übung „Einführung in die Mikroökonomik I

Aufgabensammlung zur Übung
„Einführung in die Mikroökonomik I:“
Lösungsansätze
(für Studierende der Politik-, der Regionalund der Verwaltungswissenschaften
sowie des Lehramtes Politische Bildung)
Allgemeiner Hinweis:
Auf den nachfolgenden Blättern werden Lösungsansätze für einen Teil der bezeichneten Sammlung von
Übungsaufgaben skizziert. Diese Skizzen sollen die
Mitarbeit in der Übung (bzw. deren Vor- und Nachbereitung) erleichtern – mehr nicht!
Dipl.-Volksw. Albrecht Kauffmann
Karl-Marx-Str. 67
Zimmernr.: 203
Tel.: (0331) 977-4671
[email protected]
Aufgabe 11)
Transformationskurve im 2-Güter-Modell
•
Repräsentiert alternative Produktionsmengen bei
technisch effizienter Produktion
•
Begrenzt die Fläche der Produktionsmöglichkeiten
(Produktionsmöglichkeitenkurve):
− Punkte auf der Transformationskurve – effiziente Produktion,
− Punkte innerhalb – ineffiziente Produktion,
− Punkte außerhalb – nicht erreichbar
•
Anstieg der Transformationskurve widerspiegelt
die Opportunitätskosten der Produktion einer Einheit des Gutes x in Einheiten des Gutes y
•
Bei konkaver (=neoklassischer) Produktionsfunktion: zunehmende Opportunitätskosten
•
Stets abnehmender Verlauf
•
Form der Transformationskurve wird von den Formen der Produktionsfunktionen bestimmt
11–1
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
y = g(Ay )
x = f (Ax )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve
aus zwei konkaven Produktionsfunktionen
11–2
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
x = f (Ax )
y = g(Ay )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve aus
einer konkaven und einer linearen Produktionsfunktion
11–3
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
y = g(Ay )
x = f (Ax )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve
aus zwei linearen Produktionsfunktionen (I)
11–4
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
x = f (Ax )
y = g(Ay )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve
aus zwei linearen Produktionsfunktionen (II)
11–5
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
x = f (Ax )
y = g(Ay )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve aus einer
ertragsgesetzlichen und einer linearen Produktionsfunktion
11–6
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
y = g(Ay )
x = f (Ax )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
y = g(Ay )
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve
aus zwei ertragsgesetzlichen Produktionsfunktionen
11–7
Produktionsfunktion des Gutes y
Produktionsfunktion des Gutes x
y
x
y = g(Ay )
x = f (Ax )
Ax
Ay
Graphische Herleitung der Transformationskurve:
y
IV. Quadrant: Produktionsfunktion
des Gutes y.
I. Quadrant: Transformationskurve.
y = g(Ay )
y = φ(x)
x = φ−1 (y)
x
Ay
Ā = Ax + Ay
Ax = Ā − Ay
Ay = Ā − Ax
II. Quadrant:
Produktionsfunktion des
Gutes x.
x = f (Ax )
III. Quadrant: Faktorrestriktion.
Ax
Graphische Herleitung der Transformationskurve aus einer
ertragsgesetzlichen und einer konkaven Produktionsfunktion
11–8
Aufgabe 13)
Wie kann es sein, daß Diamanten zur Verwendung als
Schmuck weitaus teurer sind als Wasser, ein lebensnotwendiges Gut?
P
KRD
∗
PD
s
qD
KRW
d
d
qW
, qD
∗
PW
s
qW
∗
qD
∗
qW
q
Konsumentenrente bei Wasser und Diamanten
Der Abbildung liegen folgende Annahmen zugrunde:
•
•
•
•
Identische Nachfragefunktionen für beide Güter
Konstante Grenzkosten
Homogene Güter
Wettbewerbsmärkte
13–1
•
Angebotsseite („Arbeitswert“):
− Bei Diamanten: hohe Grenzkosten
− Bei Wasser: niedrige Grenzkosten
•
Nachfrageseite („Gebrauchswert“):
− Bei Diamanten: hoher Grenznutzen (hohe marginale Zahlungsbereitschaft)
− Bei Wasser: geringer Grenznutzen (geringe
marginale Zahlungsbereitschaft)
•
Das gleichzeitige Wirken angebots- und nachfrageseitiger Kräfte in Verbindung mit der Markttransparenz führt dazu, daß für Wasser ein nur relativ
geringer Preis erzielt wird, obwohl es sicher Nachfrager gibt, deren Zahlungsbereitschaft wesentlich
höher sein dürfte. Entscheidend sind jedoch die
Zahlungsbereitschaft des letzten Nachfragers, wie
auch die Grenzkosten des letzten Anbieters.
•
Die Form der Nachfragefunktion, geringer Grenznutzen und niedrige Grenzkosten führen zu einer
hohen Konsumentenrente auf dem Wassermarkt.
•
Eine spezielle Nachfragefunktion für Diamanten
mit höherer Preiselastizität i.V. mit steigenden
Grenzkosten ließe den Diamantenpreis noch weiter
ansteigen. (Warum?)
13–2
Aufgabe 14)
a) Wie ist der ökonomische Begriff
„Elastizität“ definiert?
Relative Änderung der abhängigen Größe
Elastizität =
Relative Änderung der unabhängigen Größe
•
Sei x die unabhängige, y die abhängige Größe.
Dann bezeichnen wir die Elastizität von y bezüglich x z.B. mit εy,x.
•
Bogenelastizität (= Reagibilität): endlich kleiner
Zuwachs ∆x,
εy,x =
•
∆y
y
∆x
x
=
∆y
∆x
y
x
∆y x
=
∆x y
Punktelastizität: Grenzwert der Reagibilität, wenn
∆x → 0:
εy,x =
εy,x
dy
y
dx
x
=
dy
dx
y
x
=
dy x
,
dx y
f 0(x)
d ln y
=x
= xw(y) =
.
f (x)
d ln x
14–1
•
Interpretation der Elastizität:
εy,x gibt an, um wieviel % sich y in Richtung des
Vorzeichens ändert, wenn x um 1 % steigt.
b) Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage
für ein Gut mit nichtlinearem Verlauf der Nachfragefunktion geometrisch in einem P -x-Diagramm.
P
Q
α
Z
P0
x(P )
x0
0
R
x
Nichtlineare Nachfragefunktion
εx,P
0R 0P0
P0
P0
= f (P )
= tan α
=−
x0
x0
0Q 0x0
0
14–2
εx,P = −
x0R 0P0
x0R
ZR
x0R 0P0
=−
=−
=−
,
0x0
x0Z 0x0
0P0 0x0
QZ
bzw.
εx,P
P0Z 0P0
0x0 0P0
0P0
ZR
=−
=−
=−
=−
.
0x
0x
P0 Q 0
P0 Q 0
P0 Q
QZ
Geometrisch wird die Elastizität in einem Punkt Z
also vom Verhältnis der Abschnitte der durch Z
verlaufenden Tangente an x(P ) der Länge QR
bestimmt, die von Z geteilt wird. Diese Relation kann
selbstverständlich auch auf den Koordinatenachsen
abgelesen werden.
Insbesondere gelten:
εx,P = −1: die Tangente wird in der Mitte geteilt –
Nachfrage fällt proportional bei steigendem Preis;
εx,P < −1, bzw. |εx,P | > 1: der Zählerabschnitt ist
größer als der Nennerabschnitt (preiselastische Nachfrage);
εx,P > −1, bzw. |εx,P | < 1: der Zählerabschnitt
ist kleiner als der Nennerabschnitt (preisunelastische
Nachfrage).
14–3
c) Was wird unter einer Kreuzpreiselastizität verstanden?
Verbal: Relative Änderung der Nachfrage nach dem
Gut y bei Änderung des Preises des Gutes x
Formal (Punktelastizität):
εqy ,px =
dqy
qy
dpx
px
d) Welchen Einfluß hat die Substitutionsbeziehung
zwischen zwei Gütern auf den Wert der Kreuzpreiselastizität?
•
unabhängige Güter: εqy ,px = 0
•
substitutive Güter: εqy ,px > 0
•
komplementäre Güter: εqy ,px < 0
14–4
Aufgabe 15)
geg.: Nachfragefunktion
x2 =
(0, 5E + 5p1)
p2
mit: pi = Preis des Gutes i,
xi = Nachfrage nach Gut i,
E = Einkommen des Haushalts
a) direkte Preiselastizität der Nachfrage:
εx2,p2 = −
0.5E + 5p1 p2
0.5E + 5p1 1
x2
=
−
=
−
= −1.
p22
x2
p2
x2
x2
b) Kreuzpreiselastizität:
εx2,p1
p2
5 p1
5p1
5p1
=
=
> 0.
=
p2 x2
p2 0.5E + 5p1 0.5E + 5p1
c) Einkommenselastizität der Nachfrage:
εx2,E =
0.5 E
0.5E
p2
0.5E
=
=
> 0.
p2 x2
p2 0.5E + 5p1 0.5E + 5p1
15–1
Aufgabe 16)
Abbildung zur Konvexität von Indifferenzkurven:
x2
λS1 + (1 − λ)S2 (S1 , S2 )
0<λ<1
S1
T
Ū2 (x1 , x2 )
Ū1 (x1 , x2 )
0
S2
x1
16–1
Aufgabe 18)
Zeigen Sie bitte, daß ein Überschneiden der Indifferenzkurven inkonsistentes Verhalten des Konsumenten
impliziert.
Beispiel des Zwei-Güter-Falls (Abb. nächste Folie):
•
Höherer Konsum beider Güter (z.B. in Q auf Ū1
im Vergleich zu R auf Ū2) impliziert höheren Nutzen (Axiom der Nichtsättigung):
QR
•
Das sowohl R und S als auch Q und S auf ein
und derselben Indifferenzkurve liegen, muß gelten
R ∼ S,
•
Q∼S
Axiom der Transitivität fordert Q ∼ R wenn
R∼S∧Q∼S
= Widerspruch!
18–1
x2
S
Q
Ū1 (x1 , x2 )
Ū2 (x1 , x2 )
R
0
x1
Einander schneidende Indifferenzkurven
18–2
Aufgabe 19)
rot
rechte
0
blau
0
a) Streichhölzer
linke
b) Schuhe
frisch
0
schimmelig
c) Brot
19–1
Aufgabe 20)
geg.: x1 : Konsum von Zigaretten
x2 : Konsum von Schnaps
U = x1x2
x1*x2
25
z
20
15
10
5
00
1.25
5
3.75
2.5
x2
2.5
x1
3.75
1.25
5
0
Dreidimensionale Darstellung der Nutzenfunktion
20–1
Dreidimensionale Darstellungen der
Nutzenfunktion mit Höhenlinien
20–2
x1
x2 =
Ū
x1
Ū = 3, 00
Ū = 2, 50
Ū = 2, 00
Ū = 1, 50
Ū
Ū
Ū
Ū
0
= 1, 00
= 0, 75
= 0, 50
= 0, 25
x2
Einige Indifferenzkurven der Nutzenfunktion
20–3
b) Konsument Uwe ist es gewohnt, jeden Abend 2
Schnäpse zu trinken und 2 Zigaretten zu rauchen.
Wieviel müßte er trinken, um trotz Verzichts auf eine
Zigarette dasselbe Nutzenniveau zu erreichen?
x1
x2 =
7
4
x1
x1 : Zigaretten
6
x2 : Schnaps
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x2
Substitution einer Zigarette durch Schnäpse
20–4
c) Budget: 4 Euro, die wie folgt aufzuteilen sind:
4 = 0, 25x1 + x2
bzw.: x1 = 16 − 4x2
Graphische Lösung: Näherungsweises Herantasten
durch Einsetzen neuer Nutzenniveaus in die Hyperbel
x1 = xŪ2 , bis Hyperbel die Budgetgerade tangiert.
x1
16
x2 =
14
Ū
x1
x1 : Zigaretten
12
x2 : Schnaps
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16 x2
20–5
d) Uwe möchte lieber 2 Euro spendiert haben, als 2
Schnäpse. Warum?
x1
16
x2 =
14
Ū
x1
x1 : Zigaretten
12
x2 : Schnaps
10
“2 Schnäpse spendiert”
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16 x2
20–6
x1
24
x2 =
20
Ū
x1
x1 : Zigaretten
x2 : Schnaps
16
Neues Budget: “2 Euro spendiert”
12
8
4
0
4
8
12
16
20
24 x2
20–7
Exkurs: Lagrange-Ansatz
Sei z = f (x, y) eine Funktion zweier Veränderlicher,
die durch die
Nebenbedingung
φ(x, y) = 0
miteinander verknüpft sind.
z(x, y) kann 3-dimensional als Fläche im Raum dargestellt werden, während
φ(x, y) als Kurve K 0 in der x, y-Ebene gezeichnet
werden kann.
Ist z(x, y) die – hier: zu maximierende – Zielfunktion, und φ(x, y) eine Restriktion, so können nur
solche z erreicht werden, die auf der Kurve K liegen,
die auf der 3d-Fläche z(x, y) liegt und als φ(x, y) in
die x, y-Ebene projiziert werden kann.
20–8
(Man stelle sich vor, aus dem Körper, der von der
x, y-Ebene und z(x, y) begrenzt ist, werde ein Stück
so herausgeschnitten, daß das Messer immer senkrecht steht und „am Boden“ der Funktion φ(x, y)
folgt.)
Besitzt die Kurve K ein Maximum, so ist genau dies
der maximal erreichbare Wert der Zielfunktion (in der
Graphik: E), dessen Wert sei c.
Sei H die „Höhenlinie“ der Funktion z(x, y), auf der
E liegt. Auf allen Punkten von H gilt z(x, y) = c.
20–9
Die Projektionen von H und E auf die x, y-Ebene
seien H 0 und E 0.
Da H 0 und K 0 einander in E 0 berühren, müssen die
Differentialquotienten (Ableitungen) von z(x, y) und
φ(x, y) in diesem Punkt einander gleichen.
Es kann gezeigt werden, daß die partiellen Ableitungen von z(x, y) und φ(x, y) einander proportional
sind, d.h.:
∂z
∂φ
= −λ ,
∂x
∂x
,
bzw.
∂z
∂φ
= −λ
∂y
∂y
∂z
∂φ
+λ
= 0,
∂x
∂x
∂z
∂φ
+λ
= 0.
∂y
∂y
Die linken Seiten dieser Gleichungen sind genau die
Ableitungen der Funktion
L(x, y, λ) = z(x, y) + λφ(x, y).
20–10
Hieraus folgt die Multiplikatorregel:
1. Bilde mit Hilfe des unbestimmten Multiplikators λ
die Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion)
L(x, y, λ) = z(x, y) + λφ(x, y)
2. Leite die Funktion nach den Variablen x und y
sowie λ ab (die letzte Ableitung ist die Nebenbedingung φ(x, y)), und setze alle Ableitungen Null
3. Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit den Unbekannten x, y und λ. Löse dieses System!
4. In ökonomischen Fragestellungen kann der Multiplikator λ häufig als „Schattenpreis“ interpretiert
werden, d.h. als Konsequenz aus einer quantitativen Veränderung der Nebenbedingung.
20–11
Nutzenmaximierung bei beschränktem Budget
(Bezeichnungen wie in der Abb. auf Folie 20-9)
20–12
Exkurs: Nutzenmaximierung des Haushalts im Falle
zweier Güter
Seien x1 und x2 Güter, p1 und p2 deren gegebene
Preise, und B das gegebene Budget des Haushalts,
dessen Nutzen entsprechend seiner Nutzenfunktion
U = U (x1, x2) maximiert werden soll.
Aus der Zielfunktion U = U (x1, x2)
und der Nebenbedingung B − p1x1 − p2x2 = 0
kann der Lagrange-Ansatz
L(x1, x2, λ) = U (x1, x2) + λ(B − p1x1 − p2x2) (1)
aufgestellt werden.
Die Null gesetzten Ableitungen nach den Variablen
x1, x2 und λ ergeben das Gleichungssystem
∂L
∂U
=
− λp1 = 0
∂x1 ∂x1
(2)
∂L
∂U
=
− λp2 = 0
∂x2 ∂x2
(3)
∂L
= B − p1x1 − p2x2 = 0.
∂λ
(4)
20–13
Die ersten beiden Gleichungen, nach λ umgestellt,
lauten
∂U
∂U
λ=
∂x1
p1
,
λ=
∂x2
p2
;
(5)
d.h., die mit den reziproken Güterpreisen gewichteten
Grenznutzen der Güter sind im Optimum gleich.
Außerdem gilt
∂U
∂x1
∂U
∂x2
=
p1
,
p2
d.h., die Güterpreise verhalten sich zueinander wie die
Relation der Grenznutzen
Da die Relation der Grenznutzen gleich dem Betrag
der Grenzrate der Substitution ist, gilt somit: Preisverhältnis = GRS bzw.
p1 dx2 =
.
p2
dx1
Aus Gl. (4) folgt
B − p2x2
x1 =
,
p1
B − p1x1
x2 =
.
p2
(6)
(7)
20–14
Somit lautet die Nutzenfunktion (bei festem x2)
U = U (x1, (B, x1))
bzw. (bei gegebenem B)
U = U (x1).
Lassen wir nun Variationen des Budgets (d.h., der
Nebenbedingung) zu, wird
U = U (x1(B)).
Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich für die
Ableitung der Nutzenfunktion
dU
∂U ∂x1
=
,
dB
∂x1 ∂B
mit
∂x1
∂B
=
1
p1
(Ableitung von Gl. (6)):
∂U
dU
= ∂x1 .
dB
p1
Dies ist aber genau der in Gl. (5) bezeichnete Wert
des Lagrange-Multiplikators λ, der somit – hier
– als Grenznutzen des Einkommens interpretiert
werden kann.
20–15
Aufgabe 23)
Tim S. ist 9 Monate alt und verspeist gerne Milchreis
(M ) und Karottenbrei (K). Seine Nutzenfunktion
lautet
U (M, K) = 2(M K)0,5.
Tims Vater ist Ökonom, kennt den Geschmack seines
Lütten und hält jeden Monat 120 Euro für dessen
Verköstigung bereit. Die Preise je Mahlzeit betragen
pM = 2 für Milchreis bzw. pK = 1 für Karottenbrei.
a) Wie teilt Tims Vater das Babynahrungsbudget auf,
wenn er will, daß es seinem kleinen Racker so gut wie
möglich geht? Wie hoch ist dieser maximale Nutzen?
geg.: 2 Güter (M : Milchreis, K: Karottenbrei)
pM = 2, pK = 1 (Güterpreise)
U (M, K) = 2(M K)0,5 (Nutzenfkt. des Tim)
y = 120 (Tims Position in Vaters Budget)
ges.: A∗M , A∗K , U ∗
Lösung: Maximierungsproblem unter einer Nebenbedingung.
Max.:
u. d. NB.
U (M, K) = 2(M K)0,5
120 − pM M − pK K = 0
23–1
Lagrange-Ansatz:
L(M, K, λ) = 2(M K)0,5 +λ(120−pM M −pK K) (1)
Ableiten nach M , K und λ:
∂L
= M −0,5K 0,5 − pM λ = 0
∂M
(2)
∂L
= M 0,5K −0,5 − pK λ = 0
∂K
(3)
∂L
= 120 − pM M − pK K = 0
∂λ
(4)
(2) = (3):
M −0,5K 0,5
M 0,5K −0,5
λ=
=
pM
pK
r
r
K
M
= pM
pK
M
K
M
pK = pM
K
K=
pM
M
pK
(5)
23–2
(5) in (4):
120 − pM M − pk
pM
M =0
pK
(6)
120 − 2pM M = 0
120 = 2 × 2M
M = 30
−→
in (5):
K = 60
A∗M = 60,
A∗K = 60
√
U = 2 30 × 60 ≈ 85.
∗
Tims Vater gibt 60 Euro für Milchreis und 60 Euro
für Karottenbrei aus; damit erreicht Tim ein Nutzenniveau von ca. 85.
23–3
b) Tims Vater entdeckt, dass es bei einem Discounter
neuerdings Milchreis gleicher Qualität günstiger gibt;
fortan gilt pM = 50 Cent. Wie wirkt sich das auf den
Speiseplan aus?
geg.: pM = 0, 5
ges.: M , K
Lösung:
Der einmal aufgestellte (allgemeine) LagrangeAnsatz kann wieder verwendet werden, so daß der
neue Preis für Milchreis nur noch in die Budgetrestriktion (6) eingesetzt werden muß:
120 − 0, 5M − 0, 5M = 0
(7)
120 − M = 0
M = 120
−→
in (5) einsetzen:
K = 0, 5 × 120
K = 60
Fortan muß Tim im Monat 120 Portionen Milchreis
nebst 60 Gläschen Karottenbrei vertilgen.
23–4
c) Nachdem Tims Vater im Skiurlaub zu viel Geld
verprasst hat, sieht er sich gezwungen, das Babynahrungsbudget zu halbieren. Was bekommt Tim nun zu
essen?
geg.: y = 60
ges.: M , K
Lösung:
Wir nehmen an, daß sich die Preise auf die Aufgabenstellung von b) beziehen. Dann hat sich gegenüber b)
ausschließlich das Einkommen geändert, so daß wir
anstelle von (7) schreiben können:
60 − 0, 5M − 0, 5M = 0.
Da das Budget halbiert wurde und die Haushaltsbeschränkung eine lineare Restriktion ist, können wir,
ohne groß zu rechnen, die Ergebnisse von b)
halbieren:
M = 60
K = 30
Nunmehr muß sich Tim mit 60 Portionen Milchreis
und 30 Gläschen Karottenbrei begnügen.
23–5
d) Was passiert, wenn sich Tims Präferenzen ändern
und nun unter sonst gleichen Bedingungen gilt:
U (M, K) = 2K 0,5M
?
Wir nehmen an, daß „sonst gleich“ sich auf b) bezieht, und beschränken uns auf die Ermittlung der
Mengen. Der Vergleich beider Nutzenfunktionen läßt
uns darauf schließen, daß Tim nun – anders als bisher
– starken Unmut äußert, wenn er nach 2 Portionen
Milchreis bereits zum Karottenbrei übergehen soll, für
den er zunehmend weniger Sympathie erkennen läßt.
Wollen wir es genau wissen, müssen wir jedoch den
Lagrange-Ansatz neu aufstellen (wir schreiben die
Preise gleich in die Budgetbeschränkung hinein):
L(M, K, λ) = 2K 0,5M + λ(60 − 0, 5M − 1K) (10)
Ableiten nach M , K und λ:
∂L
= 2K 0,5 − 0, 5λ = 0
∂M
(20)
∂L
= K −0,5M − λ = 0
∂K
(30)
∂L
= 60 − 0, 5M − K = 0
∂λ
(40)
23–6
(2’) = (3’):
√
r
4 K=
1
M
K
(50)
M = 4K
(5’) in (4’):
60 − 0, 5 ∗ 4K − K = 0
60 = 3K
K = 20
−→
in (5’):
M = 80
Um Tims gestiegenen Bedürfnissen gerecht zu werden, bekommt er nun 80 Portionen Milchreis und 20
Gläschen Karottenbrei.
23–7
Aufgabe 24)
a) Was besagt die Slutsky-Gleichung?
Der von einer Preissteigerung eines Gutes ausgelöste zu beobachtende Gesamteffekt der Änderung der
Nachfrage eines Haushalts nach diesem Gut kann
als aus einem Substitutionseffekt und einem Einkommenseffekt zusammengesetzt betrachtet werden, d.h.:
Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt,
bzw.:
Steigung der
unkompensierten Nachfragefunktion
=
Steigung der
kompensierten
Nachfragefunktion
=
∗ dq1,k
dp1 dU =0
−
Steigung der
Engelkurve ×
Gleichgewichtsmenge,
bzw.:
dq1∗ dp1 dy=0
dp2 =0
dp2 =0
∗
∗ dq1 q1 ∗ dy dp
−
1 =0
dp2 =0
24–1
Hintergrund:
Preisänderungen signalisieren dem Haushalt geänderte Knappheitsverhältnisse und rufen Reaktionen des
Haushalts hervor: Der Haushalt reagiert, indem er
die Zusammensetzung des von ihm auf Märkten bezogenen Güterbündels korrigiert. Dabei kann per se
keine Aussage über die zu erwartende Richtung der
Reaktion getroffen werden: Im Allgemeinen wird der
Haushalt weniger von einem Gut konsumieren, dessen Preis gestiegen ist. Es lassen sich jedoch auch
Ausnahmen von diesem „normalen“ Verhalten beobachten, deren Begründung nachgegangen werden
muß.
Die Untersuchung des Nachfrageverhaltens erweist
sich u.a. deswegen als schwierig, weil eine Preisänderung (fast) immer auch zu einer Änderung des
Realvermögens – also des verfügbaren Haushalseinkommens – führt: Im Zwei-Güter-Fall führt z.B. eine Preiserhöhung des Gutes 1 zu einer Drehung der
Budgetgerade in Richtung Ursprung (man verdeutliche sich dies augenblicklich an einer handgefertigten
Skizze). Damit werden jedoch die Wahlmöglichkeiten des Haushalts (d.h., sein Handlungsspielraum)
eingeschränkt: Einen Teil der ihm bisher zur Auswahl
stehenden Güterkombinationen kann er sich nun nicht
mehr leisten, das aus dem Güterkonsum realisierte
Nutzenniveau sinkt.
24–2
Der Idee des Nutzenkonzepts folgend, könnte man
z.B. fragen: Wie verhielte sich der Haushalt gegenüber der Preiserhöhung eines Gutes (bei sonst konstanten Preisen), wenn man ihm soviel zusätzliches
Einkommen „von außen“ zuführte, daß sein Nutzenniveau unverändert bliebe? In diesem Fall würde er –
sofern die bis dato erreichte Indifferenzkurve der Nutzenfunktion eine negative Steigung aufweist – einen
Teil des teurer gewordenen Gutes 1 durch Gut 2 ersetzen (wir wollen den ursprünglichen Tangentialpunkt
von Budgetgerade und Höhenlinie mit A bezeichnen;
der dem neuen Preisverhältnis entsprechende Punkt
auf der Indifferenzkurve enthält die Bezeichnung B).
Dieser Effekt wird als Substitutionseffekt bezeichnet
und ist in seiner Richtung immer negativ bezüglich
des von der Preissteigerung betroffenen Gutes (et vice
versa im Falle einer Preissenkung).
24–3
Der von der Änderung des Realeinkommens ausgelöste Mengeneffekt kann nun ermittelt werden, indem
man dem Haushalt das zum Nutzenausgleich zusätzlich zugeführte Einkommen wieder „wegnimmt“: Nun
beschränkt sich der Handlungsspielraum des Haushaltes auf die Möglichkeiten, die ihm die neue Budgetgerade übrig läßt: Dabei zeigt sich, daß sowohl (q1, q2)Kombinationen möglich sind, die einen im Vergleich
zum Punkt B geringeren Konsum des teurer gewordenen Gutes 1 ausdrücken (dies ist stets möglich und
auch zu erwarten), als auch solche, die einen gegenüber der reinen Substitution bei konstantem Nutzen
wieder stärkeren Konsum ebendieses Gutes ausweisen.
Dem Haushalt stehen ja auch diese Möglichkeiten
des Konsums ausdrücklich offen! Der Einkommenseffekt ist somit dem Substitutionseffekt gleich- oder
entgegengerichtet; er kann ihn somit verstärken oder
(teilweise) kompensieren.
24–4
In bestimmten Fällen kann die nach erfolgter Preissteigerung beobachtete Konsummenge des Gutes 1
sogar über dem vor der Preissteigerung beobachteten
Verbrauch liegen – vorausgesetzt, der Preisanstieg
ist nicht zu hoch. Robert Giffen (1837–1910)
hat diesen Fall bei am Rande des Existenzminimum
befindlichen Haushalten möglicherweise beobachtet,
daher heißen solche (absolut lebensnotwendigen) Güter auch Giffen-Güter. Ihre tatsächliche Existenz ist
umstritten – gegenwärtige Untersuchungen in China
lassen unter den Bedingungen der ärmsten Bevölkerungsschichten die Giffen-Eigenschaft bei Reis und
Nudeln vermuten.
Güter, deren Konsum bei gestiegenem Einkommen
zunimmt (et vice versa!, werden in der deutschsprachigen Literatur als superior bezeichnet. Wird ein
Anstieg des Konsums durch einen Einkommensrückgang ausgelöst, spricht man von einem inferiorem
Gut. Güter, deren Nachfrage bei steigendem Preis
sinkt, werden in der deutschsprachigen Literatur als
normale (im umgekehrten Falle als anomale) Güter bezeichnet. Die Aufspaltung des Gesamteffekts
der Nachfrageänderung in Substitutions- und Einkommenseffekt läßt klar erkennen, daß ein anomales Gut
immer auch ein inferiores Gut sein muß (zeige, daß
dies umgekehrt nicht der Fall ist!).
24–5
b) Erläutern Sie in einem 2-Güter-Diagramm
Einkommens-, Substitutions- und Gesamteffekt der
Preiserhöhung eines Gutes jeweils für superiore Güter,
inferiore Güter, den Giffen-Fall, perfekte Komplemente und perfekte Substitute.
q2
∗
q2,k
q2∗
B
A0
A
q2
Ū2
Ū1
0
q1∗
q1
∗
q1,k
EE
q1
SE
Einkommens- und Substitutionseffekt
im Falle zweier superiorer Güter
24–6
q2
∗
q2,k
B
A
q2
q2∗
Ū2
A0
Ū1
0
∗
q1,k
q1∗ q1
SE
EE
q1
Teilweise Kompensation des Substitutionseffekts
im Falle eines inferioren und eines superioren Gutes
24–7
q2
∗
q2,k
q2
B
A
Ū2
q2∗
A0
Ū1
0
∗
q1 q ∗
q1,k
1
SE
EE
q1
„Durchschlagender“ Einkommenseffekt im sog. Giffen-Fall
24–8
Aufgabe 25)
Die gesamte, für Freizeit (F) und Arbeit zur Verfügung stehende Zeit sei 16h pro Tag (T̄ = 16). Hans
E., dessen Präferenzen für Konsum und Freizeit durch
die Nutzenfunktion symbolisiert werden, kann auf
dem Arbeitsmarkt einen Bruttolohn von 10 Euro erzielen. Der Preis des Konsumguts sei auf 1 normiert.
Hans hat kein anderes Einkommen neben seinem Arbeitslohn.
geg.: T̄ = 16h
Zeitbudget: T̄ = TF + TA
TF : Freiz., TA: Arbeitsz.
1/2
U = U (TF , C) = TF + C 1/2 C: Konsum
l = 10 Lohnsatz
p = 1 Preisindex des Konsumgüterbündels
y = (T̄ − TF )l (verfügbares) Einkommen
τ = 0 Steuersatz
ges.: a) TA, TF , C
Lösung:
Es wird hier lediglich der Lösungsansatz aufgestellt.
Versuchen Sie bitte, den Ansatz zu vervollständigen,
und die Abbildungen selbständig nachzugestalten!
25–1
Lagrange-Ansatz:
Zielfunktion: Max. U !
Budgetrestriktion: (T̄ − TF )l − pC = 0,
mit p = 1 :
1/2
L(TF , C, λ) = TF + C 1/2 + λ((T̄ − TF )l − C)
..
Ergebnisse:
TF =
16
11
TA =
160
11
1600
C=
11
(U ≈ 13, 27)
Die nachfolgende Abbildung enthält eine vollständige Indifferenzkurve. Beachte, daß bei der vorliegenden Nutzenfunktion die Indifferenzkurven die Achsen
schneiden!
25–2
pC
pC ∗ A
0TF∗ 16
T
Lösungsskizze: vollständige Indifferenzkurve
25–3
pC
pC ∗
A
0 TF∗
TF
16
T
TA
Lösungsskizze: relevanter Ausschnitt der vorigen Abbildung
25–4
b) geg.: τ = 0, 2
lv = l(1 − τ ) = 8 Euro
verfügb. Lohn)
ges.: TA, TF , S
(nach Steuerabz.
(S : Steuerlast)
Lösung:
1/2
L(TF , C, λ) = TF + C 1/2 + λ((T̄ − TF )lv − C)
Im vorigen Ansatz ist lediglich der Lohnsatz zu modifizieren.
..
Ergebnisse:
16
9
128
TA =
9
256
S=
9
TF =
(U = 12)
Da Hans E. nicht mehr über den vollen Lohnsatz verfügt, dreht sich in der Grafik die Budgetgerade. In
der vorliegenden Konstellation verringert sich sein Arbeitsangebot.
25–5
pC
A
pC ∗
0
A0
TF∗
TF
16
T
TA
Lösungsskizze: Arbeits-Freizeit-Entscheidung
bei Besteuerung des Lohnes
25–6
c) Einführung einer Kopfsteuer in Höhe von S =
256
9 :
Max. U u. d. NB.: (T̄ − TF )l − S − C = 0.
..
Ergebnisse:
13
TF ≈
11
163
TA =
11
(U ≈ 12, 03)
Da Hans E. einen fixen Geldbetrag – unabhängig von
der Höhe seines Lohnsatzes! – an das Finanzamt
überweisen muß, verschiebt sich seine Budgetgerade nach unten. In der Abbildung ist gut zu erkennen,
welchen Teil seiner Arbeitszeit er für seinen Konsum
verwendet (TAC ) bzw. für die Erwirtschaftung seiner
Steuerlast (TAS ). In der vorliegenden Konstellation vergrößert sich sein Arbeitsangebot.
25–7
pC
A
pC ∗
A0
0 TF∗
TF
16
TAC
T
TAS
Lösungsskizze: Arbeits-Freizeit-Entscheidung
bei Besteuerung der Person
25–8
Aufgabe 26)
geg.: FA(x1, x2) = x21 x22
1
2
1
3
FB (x1, x2) = 4x1 x2
ges.:
∂FA
∂x1 ,
∂FB
∂x1 ,
∂FA
∂x2 ,
∂FB
∂x2 ,
dx2 dx1 ,
dFA =0
dx2 dx1 .
dFB =0
Bestimmung der Grenzprodukte (=partielle Ableitungen der Produktionsfunktion nach dem Einsatz des
jeweiligen Faktors) für FA:
∂FA
= 2 x1 x22
∂x1
∂FA
= 2 x21 x2
∂x2
Bestimmung der Grenzrate der technischen
Substitution für FA:
∂FA
2 x1 x22
x2
dx2 ∂x1
= − ∂FA = − 2
=− .
dx1 dFA=0
2 x1 x2
x1
∂x
2
26–1
Bestimmung der Grenzprodukte (=partielle Ableitungen der Produktionsfunktion nach dem Einsatz des
jeweiligen Faktors) für FB :
∂FB
− 21 13
= 2 x1 x2
∂x1
4 12 − 23
∂FB
= x1 x2
∂x2
3
Bestimmung der Grenzrate der technischen
Substitution für FB :
2
1
− 21 13
∂FB
3
dx2 2 x1 x2
2 x2 x23
3 x2
∂x1
= − ∂FB = − 1 − 2 = − 1 1 = −
.
4 2
4
dx1 dFB =0
2
x
3
2
2
1
∂x2
3 x1 x2
3 x1 x1
26–2
Exkurs: Grenzrate der technischen Substitution
Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)
zweier Produktionsfaktoren x1, x2 gibt an, in welchem
Maße auf den Einsatz eines Faktors verzichtet werden kann, wenn der Einsatz des anderen Faktors um
eine Einheit erhöht wird, der Output F (x1, x2) aber
konstant bleiben soll.
Analogie zur Grenzrate der Substitution zweier Güter:
Sie sagt uns, in welchem Maße in einer Zwei-GüterWelt auf den Konsum eines Gutes verzichtet werden
kann, wenn der Konsum des anderen Gutes um eine Einheit erhöht wird und das Nutzenniveau hierbei
konstant bleibt.
Das Vorzeichen der GRTS ist immer negativ. Dies impliziert, daß es sich bei der betrachteten Faktorallokation um eine sinnvolle Kombination handelt, m.a.W.:
die Isoquanten zeigen einen fallenden, konvexen Verlauf. Der Wert der GRTS ist gleich dem Anstieg der
Isoquante im betrachteten Punkt.
26–3
x2
GRT S = tan α
α
F̄ (x1 , x2 )
x1
0
GRTS als Anstieg der Isoquante
26–4
Die GRTS der Faktoren x1 und x2 entspricht dem
umgekehrten Verhältnis ihrer Grenzprodukte. Dies
läßt sich durch Nullsetzen des totalen Differentials –
d.h., des Produkts des Vektors der partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion mit dem Vektor endlich
kleiner Variationen (Differentiale) der Produktionsfaktoren – zeigen:
dF =
∂F
∂F
dx1 +
dx2 = 0
∂x1
∂x2
(Dies beschreibt den Umstand, daß sich der Output
nicht ändern soll.)
Somit gilt:
bzw.
∂F
∂F
dx1 = −
dx2,
∂x1
∂x2
∂F
dx1
2
.
= − ∂x
∂F
dx2
∂x
1
Gelten die Annahmen vollständiger Konkurrenz auf
den Faktormärkten, entspricht dies auch dem Verhältnis der Faktorentlohnungen.
Frage: Welche Analogie zur GRS des Haushalts liegt
hierbei vor?
26–5
Aufgabe 27)
geg.: x(K, L) = K 0,25L0,25 (Produktionsfunktion)
w = 1, r = 4 (Faktorpreise)
ges.: a) Faktornachfragefunktionen L(x),
b) kurzfristige Angebotsfunktion
K(x)
Lösungsvorschlag: Kostenminimierung bei gegebenem
Output.
Das heißt: Finde alle Faktorkombinationen (K, L) für
beliebige Ausbringungsmengen x(K, L), die bei deren
Herstellung die geringsten Kosten verursachen!
Die jeweilige Minimalkostenkombination zeichnet sich
vor allen anderen Kombinationen dadurch aus, daß
die den Output x̄ repräsentierende Isoquante an dieser
w
Stelle den Anstieg − R
– das Faktorpreisverhältnis –
aufweist.
Der Expansionspfad bildet das Kontinuum aller Minimalkostenkombinationen im Faktorraum ab. Werden
die Produktionsfaktoren effizient kombiniert, wächst
die Firma entlang dieses Pfades.
27–1
K
1
4
x=K L
1
4
tan α = − wr
x̄1
x̄2
x̄3
K ∗ (x̄3 )
K ∗ (x̄2 )
K ∗ (x̄1 )
0
s
nsion
a
p
x
E
pfad
α
L∗ (x̄1 )
L∗ (x̄2 )
L∗ (x̄3 ) L
Minimalkostenkombinationen und Expansionspfad
(x̄1 = 1, 5, x̄2 = 2, x̄3 = 2, 25)
27–2
Formal kann das Kostenminimierungsproblem
Min.! rK + wL u.d.NB. : x − K 0,25L0,25 = 0
mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes
L(K, L, λ) = rK + wL + λ(x − K 0,25L0,25)
gelöst werden.
Es sind nun die Optimalitätsbedingungen festzustellen.
Die Ableitungen nach den Produktionsfaktoren lauten:
∂L
= r − λ 0, 25K −0,75 L0,25 = 0,
∂K
∂L
= w − λ 0, 25K 0,25L−0,75 = 0;
∂L
somit
r = λ 0, 25K −0,75 L0,25,
w = λ 0, 25K 0,25 L−0,75;
4
L
r
= = ;
w 1 K
L = 4K.
Die Ableitung nach dem Lagrange-Multiplikator lautet
∂L
= x − K 0,25L0,25 = 0.
∂λ
27–3
Wird hierin z.B. L durch den bereits gefundenen Ausdruck substituiert,
x − K 0,25(4K)0,25 = 0,
führt
√
√
√ √
4
x= 4 K= 2 K
zu
x2
K(x) = ,
L(x) = 2x2.
2
Dies sind die gesuchten Faktornachfragefunktionen.
b) kurzfristige Angebotsfunktion:
Sei das in der Firma gebundene Kapital kurzfristig auf
den Bestand K̄ fixiert. Die kurzfristige Kostenfunktion lautet dann:
C(x) = rK̄ + wL(x),
bzw., unter Verwendung unseres Ergebnisses aus a)
und des gegebenen Lohnsatzes w,
C(x) = rK̄ + 1 ∗ 2x2.
Die kurzfristige Grenzkostenfunktion SM C(x) =
lautet entsprechend
dC
dx
SM C(x) = 4x.
27–4
Ist das Unternehmen Preisnehmer auf dem Markt
(p = SM C), folgt daraus für das Angebot der Unternehmung
p = 4x
bzw.
1
p.
4
Die kurzfristige Durchschnittskostenfunktion SAC =
C(x)
x lautet
x(p) =
rK̄
+ 2x.
x
Kurzfristig lohnt sich ein Angebot für die Firma,
wenn die Grenzkosten (= der Preis) über den Durchschnittskosten liegen, d.h., es muß gelten
SAC =
SM C ≥ SAC.
Die nachfolgende Abb. zeigt die kurzfristigen Kostenfunktionen für einen fixen Kapitalbestand von K̄ = 8.
Es läßt sich leicht nachrechnen, daß sich ein Angebot
für die Firma lohnt, wenn der Preis mindestens 16 beträgt (Schnittpunkt von kurzfristiger Durchschnittsund Grenzkostenfunktion).
27–5
100
Kurzfristige Kosten−, Grenzkosten− und Durchschnittskostenfunktionen,
K=8, L variabel, Produktionsfunktion und Faktorpreise entspr. Aufg. 27
60
40
20
SMC(x)
SAC(x)
0
C, SMC, SAC
80
C(x)
0
1
2
3
4
5
x
Kurzfristige Kostenfunktionen bei fixem
K̄ = 8
27–6
Aufgabe 29)
geg.: x(A, B) = c A0,5 B 0,5 (Produktionsfunktion)
pA = 2, pB = 4 (Faktorpreise)
S = 200 (Budget)
ges.: a) GRTS und optimale Faktorkombination
A∗ , B ∗
GRTS:
GRT S =
∂x
− ∂A
∂x
∂B
B
c ∗ 0, 5A−0,5B 0,5
=−
=−
c ∗ 0, 5A0,5B −0,5
A
Optimale Faktorkombination:
Aus Aufgabe 21 ist bekannt (Analogieschluß vom Allokationsproblem des Haushalts auf das Allokationsproblem der Unternehmung!), daß bei einer CobbDouglas-Produktionsfunktion die Ausgabenanteile
der Unternehmung den Exponenten (=Produktionselastizitäten) entsprechen. In unserem Fall wird die
Unternehmung somit im Optimum je die Hälfte des
Budgets für die Faktoren A und B ausgeben. Hierfür bekommt sie – bei gegebenen Faktorpreisen – 50
Einheiten des Faktors A und 25 Einheiten des Faktors
B.
Wer der Argumentation nicht folgen konnte, sehe bitte bei seiner Lösung zu Aufgabe 21 nach, stelle anschließend den Lagrangeansatz auf, und löse ihn.
29–1
Graphische Lösung:
B
200
pB
B∗
x̄
0
A∗
200
pA
A
Allokationsproblem der Unternehmung
Es ist bekannt, daß die Grenzrate der Transformation dem (negativen) umgekehren Faktorpreisverhältnis entspricht. Mit Hilfe des Strahlensatzes läßt sich
leicht zeigen, daß die optimalen Faktoreinsatzmengen A∗ und B ∗ jeweils in der Mitte zwischen dem Ursprung und den bei gegebenem Budget maximalen
29–2
Faktoreinsatzmengen liegen. In diesem Punkt beträgt
der Anstieg der Isoquante − 12 .
b) Anstieg des Faktorpreises pB :
Die Budgetgerade der Unternehmung dreht sich im
Uhrzeigersinn um den Punkt 200
pA . Sie wird (in unserer
Darstellung) flacher; entsprechend weniger wird vom
Faktor B eingesetzt und mehr von A (B wird durch
A substituiert). Der erreichbare Output wird geringer.
Die Faktorintensität des Faktors B, B
A , wird geringer.
c) Veränderung des Parameters c:
Der Parameter c, der z.B. für technischen Fortschritt
stehen kann, transformiert die Höhen des „Produktionsgebirges“ linear. Die Draufsicht – also die Krümmung und Lage der Isoquanten – ändert sich dabei
nicht. Folglich ist die GRTS unabhängig vom Parameter c. ie Faktorintensität B
A ändert sich daher nicht,
wenn c sich ändert.
29–3