Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife - Europa

Formeln zu
Mathematik für die Fachhochschulreife
Bearbeitet von B. Grimm und B. Schiemann
3. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 85129
Autoren:
Bernhard Grimm Bernd Schiemann
Sindelfingen, Leonberg
Stuttgart, Offenburg
Lektorat: Bernd Schiemann
Bildentwürfe: Bernhard Grimm
Bilderstellung: YellowHand, 72622 Nürtingen, www.yellowhand.info
Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt.
3. Auflage 2010
Druck 5 4 3 2 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern
untereinander unverändert sind.
ISBN: 978-3-8085-8514-6
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der
gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2010 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: Idee Bernd Schiemann; Ausführung Michael Maria Kappenstein, Frankfurt/Main
Satz und Grafik: YellowHand, 72622 Nürtingen, www.yellowhand.info
Druck: Tutte Druckerei GmbH, 94121 Salzweg/Passau
Vorwort
Vorwort zur 1. Auflage:
Die Formelsammlung enthält hauptsächlich die Formeln, die zum Erwerb der Fachhochschulreife benötigt werden. Formeln der Grundlagenmathematik sind auf das
Wesentliche reduziert enthalten.
Vorwort zur 2. Auflage:
Es sind nur kleine Änderungen vorgenommen worden, die auf Verbesserungsvorschlägen unserer Leser beruhen. Einige wenige Fehler haben wir natürlich auch korrigiert.
Vorwort zur 3. Auflage:
Neu ist das Kapitel Stochastik. Die Reihenfolge der Kapitel Vektorrechnung und Analysis wurde getauscht.
Ergänzt wurden die Volumenformeln für Pyramiden sowie in der Vektorrechnung die
Formeln für Streckenteilungen und spitze Winkel.
Ihre Meinung interessiert uns!
Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung
zum Buch mit.
Schreiben Sie uns an die E-Mail-Adresse: [email protected]
Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel
Herbst 2010
3
Inhaltsverzeichnis
Überschrift 1
Gebiet
Inhalt
Basiswissen
Bruchrechnen
Klammerrechnen
Potenzrechnen
Wurzelrechnen
Logarithmen
Flächenformeln
Volumenformeln und Oberflächenformeln
Winkelmaße
Winkelfunktionen am Dreieck
Winkelfunktionsbeziehungen
Lineare Funktion und Gerade
Quadratische Funktion und Parabel
Potenzfunktion, Parabel und Hyperbel
Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion
Trigonometrische Funktionen
_
Umkehrfunktion f –1 (auch f )
6
6
6
6
6
7
8
8
9
10
11
11
12
12
12
13
13
Ableitungen
Integrale
Symmetrien
Achsenschnittpunkte
Nullstellen
Näherungsverfahren nach Newton
Extrempunkte, Wendepunkte
Tangenten, Normalen
Flächenintegrale
Extremwertberechnung
Spezielle Integrationsverfahren und Integrationsregeln
14
14
14
15
15
15
16
16
17
17
18
Vektordarstellung in R3
Addition und Subtraktion
Skalare Multiplikation
Einheitsvektoren
Strecke
Lineare Abhängigkeit
Produkte von 2 Vektoren
Orthogonale Projektionen
Lotvektoren, Normalenvektoren
Gerade g
Punkt A und Gerade g
Lagebeziehung zweier Geraden g und h
Kürzester Abstand windschiefer Geraden
Ebene E
Ebene E und Punkt Q
Ebene E und Gerade g
Ebene E und Ebene F
19
19
20
20
20
21
21
22
22
23
23
24
25
26
27
27
28
Analysis
Vektorrechnung
4
Seite
Inhaltsverzeichnis
Gebiet
Inhalt
Stochastik
Zufallsexperiment, Ergebnismenge
29
Ereignis, Ereignisarten
29
Häufigkeit und statistische Wahrscheinlichkeit
30
Klassische Wahrscheinlichkeit
30
Baumdiagramm, Pfadregeln
31
Bedingte Wahrscheinlichkeit
31
Unabhängige und abhängige Ereignisse
32
Anhang
Seite
Gesetze der Kombinatorik, Urnenmodell
32
Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert
33
Gewinnspiel
33
Varianz und Standardabweichung
34
Bernoulli-Ketten
34
Mathematische Zeichen, Abkürzungen und Formelzeichen
Mathematische Fachbegriffe
Alphabetisches Register
35
37
38
5
Basiswissen
Überschrift 1
Variablen [ Z; Nenner Þ 0
Bruchrechnen
Addition und Subtraktion
a
_
b
6
c
_
d
=
Multiplikation
a·d6c·b
___
b·d
a
_
b
·
c
_
d
=
Division
a·c
__
b·d
a
_
b
a·d
: _c = __
d
b·c
Variablen [ ℝ
Klammerrechnen
Distributivgesetz:
Assoziativgesetz:
a · (b 6 c) = a · b 6 a · c
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
2. binomische Formel
1. binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3. binomische Formel
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a, b [ ℝ \ {0}; n, m [ ℕ
Potenzrechnen
an · bn = (a · b)n
a
_
n
bn
(b)
a
= _
n
a
_
m
an
m
am · an = am + n
(an) = am · n
1
an = _
a–n
= am – n
a0 = 1
{
(a – b)n =
+ (b – a)n
– (b – a)n
a4 = a · a · a · a
aber
(–a)2 = a2 . 0
4a = a + a + a + a
aber
Das Ergebnis der Quadratwurzel
ist für D = ℝ stets größer gleich null:
1
_
= an
n
Îw
a
–a2 = –(a2) , 0
a, b [ ℝ+; c [ ℝ; Nenner Þ 0
Wurzelrechnen
Îw
a
für gerades n
für ungerades n
Merke!
Merke!
n
a1 = a
n
n
· Îw
b = Îw
a·b
n
Îw
a2 = |a| aber:
Îw
a
_
n
Îw
b
Îb
n a
_
= w
3
Îw
c3 = c
m
_
m
n
Îw
am = a n = ( Îw
a)
n
a, b, c [ ℝ+; n [ ℝ; Nenner Þ 0
Logarithmen
Der Logarithmus ist die Hochzahl n, mit der die Basis a
potenziert werden muss, um den Wert b zu erhalten.
loga(b · c) = loga b + loga c
Zehnerlogarithmus
(am TR: log) Basis a = 10
log10 b = lg b
an = b ⇔ n = loga b
()
b
loga _
c = loga b – loga c
loga bn = n · loga b
Natürlicher Logarithmus
(am TR: ln) Basis a = e
Binärer Logarithmus
(nicht am TR) Basis a = 2
loge b = ln b
log2 b = lb b
TR = Taschenrechner
Die Umkehrfunktion von
ln x ist ex . Es gilt:
6
ln en = n
und
eln a = a
mit
e = 2,718 281 828 459…
Basiswissen
Fläche = A
Flächenformeln
Dreieck
Kreis
A = _12 · g · h
A = π · r2
b
A = _12 · Grundseite · Höhe
a
h
g
r = Radius
Umfang:
r
Durchmesser:
U = 2π · r = π · d
d
d= 2·r
Kreisring
Kreissektor
(Ausschnitt)
R
R = Außenradius
r = Innenradius
A = π · (R2 – r2)
r
b
A = _12 b · r
a
A = πr2 · __
360°
r
b = Bogenlänge
r
α
M
Kreissegment
(Abschnitt)
b
A = _21 · [b · r – s · (r – h)]
h
s
2h · r – h2
Sehnenlänge s = 2 · Îw
r
r
α
M
Parallelogramm
A = Grundseite · Höhe
A=g·h
Spezialfälle: Rechteck
A=a·b
Quadrat
b
h
b
g=a
A = a2
c
Trapez
1
_
A = 2 · (a + c) · h
h = Höhe; b Þ d
h
d
b
a, c = parallele gegenüberliegende Seiten
Drachen
A = _12 · e · f
e, f = senkrecht aufeinander
stehende Diagonalen
a
e
a
b
f
a
Raute
A=g·h=a·h
A = _21 · e · f
Die Raute ist gleichzeitig Drachen und
Parallelogramm. Alle Seiten sind gleich
lang.
b
a
a
f
e
a
a
7
Basiswissen
Überschrift 1
Volumenformeln und Oberflächenformeln
gleichmäßig
dicke Körper
V=G·h
V = Grundfläche · Höhe
O = 2G + M
M = Mantelfläche
Zylinderoberfläche:
spitze Körper
V = _31 · G · h
O = 2π · r · (r + h)
Volumen = V; Oberfläche = O
h
M = a · Îw
a2 + 4h2
h
G
G
Quader
Prisma
Zylinder
V = _13 · Grundfläche · Höhe
a2 + 4h2
Pyramide: O = a2 + a · Îw
h
G
G
h
a
a
Pyramide
h
Kegel
2
2
2
Îw
Kegel: O = π · r + π · r · r + h
M = πr · Îw
r2 + h2
stumpfe
Körper
VSpitze
VStumpf = Vgesamt – VSpitze
z. B. für Pyramidenstumpf, Kegelstumpf
VStumpf
Vgesamt
Kugel
V = _43 · π · r3
Kugelsegment
(Abschnitt)
V = _13 πh2(3r – h)
p2 = h · (2r – h)
Oberfläche: O = π · d2
d=2·r
Umfang: U = 2π · r
O = πh(4r – h)
h
p
p = Grundkreisradius
r
M
Winkelmaße
Gradmaß
(DEG)
und
Bogenmaß
(RAD)
Gradmaß
180°
a = __
π · ar
Bogenmaß
π
·a
ar = __
180°
Der Halbkreis hat a = 180° (DEG),
ar = π (RAD).
b
ar = _
r
r
b
αr
1
Einheitskreis: r = 1; U = 2π
Bogenlänge
8
π
__
b = 180° · a · r
b = ar · r
Das Bogenmaß ar ist die Bogenlänge am Einheitskreis.
Basiswissen
Winkelfunktionen am Dreieck
Dreieck mit
rechtem
Winkel
sin = Sinus
cos = Cosinus
tan = Tangens
Gegenkathete
Hypotenuse
sin (Winkel) = ____
sin a = _ac
a = arcsin_ac
Ankathete
cos (Winkel) = ____
B
b
cos a = _
c
b
a = arccos _
c
Gegenkathete
Ankathete
Hypotenuse
c
β
Kathete a
Hypotenuse
tan (Winkel) = ____
tan a = _a
b
a = arctan _a
b
Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
beim Taschenrechner:
arcsin:
arccos:
�����
beliebiges
Dreieck
α
C
A
Kathete b
Die Hypotenuse liegt gegenüber
dem rechten Winkel.
Die Kathete a ist die Gegenkathete
von a und die Ankathete von b.
arctan:
�����
�����
Sinussatz:
sin a
__
sin b
= _a
b
sin a
__
sin g
= _ac
sin g
__
sin b
= _c
b
Merke! Der Taschenrechner berechnet mit
dem Sinussatz nur Winkel bis 90°.
Kosinussatz:
Umkreis mit Umkreisradius R
Inkreis mit Inkreisradius r
C
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos b
γ
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos g
a
b
hc
Umkreisradius R:
a
b
c
= __
= __
R = __
2 · sin a
2 · sin b
2 · sin g
β
α
A
c
B
Inkreisradius r:
g
b
b+c–a
a+c–b
a ___
r = ___
· tan _
= a + 2b – c · tan _2 = ___
· tan _2
2
2
2
Höhen:
hc = b · sin a
ha = b · sin g
hb = c · sin a
9
Basiswissen
Überschrift 1
Winkelfunktionsbeziehungen
Beziehungen
1
cot a = __
tan a
y
sin a
tan a = __
cos a
cot a
1
cos a
cot a = __
a
sin a
cos a
sin2 a + cos2 a = 1
sin a
sin(2a) = 2 · sin a · cos a
tan a
sin a
a
0
cos(2a) = cos2 a – sin2 a
cos a
x
1
cot = Kotangens
cos a = 6Îw
1 – sin2 a
Merke! sin2 a = (sin a)2
sin a
tan a = ____
2
Î
6 w
1 – sin a
2 · tan a
tan(2a) = ___
2
1 – tan a
aber:
sin a2 = sin(a)2
cos(3a) = 4 cos3 a – 3 cos a
sin(3a) = 3 sin a – 4 sin3 a
sin(a 6 b) = sin a · cos b 6 cos a · sin b
cos(a 6 b) = cos a · cos b 7 sin a · cos b
tan a 6 tan b
tan(a 6 b) = _____
1 7 tan a · tan b
a6b
a7b
· cos __
sin a 6 sin b = 2 · sin __
2
2
a+b
a–b
a+b
a–b
cos a + cos b = 2 · cos __
· cos __
2
2
cos a – cos b = –2 · sin __
· sin __
2
2
Werte
10
Winkel im Gradmaß (DEG)
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
Winkel im Bogenmaß (RAD)
0
_1 · π
_1 · π
_1 · π
_1 · π
π
_3 · π
2·π
sin(Winkel)
0
_1
2
1 · Îw
_
2
2
1 · Îw
_
3
2
1
0
–1
0
cos(Winkel)
1
1 · Îw
_
3
2
1 · Îw
_
2
2
_1
0
–1
0
1
tan(Winkel)
0
1 · Îw
_
3
3
1
Îw
3
→∞
0
→∞
0
6
4
3
2
2
2
Uns liegt an Ihrer Bildung!
Mathematik für die Fachhochschulreife
mit Vektorrechnung
3. Aufl. 2008, 256 S.,
4-fbg., 17 × 24 cm, brosch.
ISBN 978-3-8085-8504-7
Europa-Nr. 85021 2 19,20
P
Kompaktes Lehr- und Übungsbuch, das schwierige
mathematische Zusammenhänge visualisiert.
P
Algebraische Grundlagen, Geometrische Grundlagen,
Vektorrechnung, Analysis, Differenzialrechnung,
Integralrechnung, Komplexe Rechnung, Grafikfähiger Taschenrechner GTR, Prüfungsvorbereitung,
Aufgaben aus der Praxis und Projektaufgaben.
P
Zur Förderung handlungsorientierter Themenbe arbeitung enthält das Buch eine große Anzahl von
Beispielen, anhand derer eine Vielzahl von Aufgaben
zu lösen sind.
Formelsammlung
3. Aufl. 2010, 40 S., 15 x 21 cm, geheftet
ISBN 978-3-8085-8514-6
Europa-Nr. 85129 2 5,20
Die Formelsammlung enthält hauptsächlich die
Formeln, die zum Erwerb der Fachhochschulreife
benötigt werden. Formeln der Grundlagenmathematik sind auf das Wesentliche reduziert
enthalten.
Lösungen zum Buch Mathematik für die
Fachhochschulreife
Der Lösungsband enthält klar strukturiert die
Lösungen zu allen Aufgaben des Buches Mathematik
für die Fachhochschulreife.
Ausführliche Schritte zeigen den Weg zur Lösung
jeder Aufgabe.
1. Aufl. 2007, 272 S., 17 x 24 cm, brosch.
ISBN 978-3-8085-8522-1
Europa-Nr. 85226 2 20,40
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten