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Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
matheⓈkript C
STOCHASTIK
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
STATISTIK
WAHLTEIL
ÜBUNGEN
12. – 13. Klasse
© Jens Möller
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
INHALTE

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Baumdiagramme

Binomialverteilungen

Bernoulliketten

Erwartungswerte

Hypothesentests

Musteraufgaben
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
ZIEHEN MIT UND OHNE ZURÜCKLEGEN
BAUMDIAGRAMME
1.
Eine Urne enthält n blaue und 6 rote Kugeln.
a) Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele blaue Kugeln müssen sich in
der Urne befinden, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine blaue Kugel zu ziehen,
0,64 beträgt?
b) Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Anzahl der blauen
Kugeln, wenn die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, 19/27
betragen soll.
2.
Bei der Produktion von Überraschungseiern treten die folgenden beiden Fehler auf:
F1: falsches Gewicht der Schokoladenhülle
F2: fehlerhafte Verpackung
F1 und F2 treten unabhängig voneinander auf. Ein Ei ist einwandfrei, wenn es keinen der
beiden Fehler aufweist, was erfahrungsgemäß bei 90% der Eier der Fall ist. Erfahrungsgemäß haben 7,5% der Schokohüllen ein falsches Gewicht.
Veranschaulichen Sie die Zusammenhänge mit einem Baumdiagramm und bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der Fehler F2 auftritt.
3.
In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln gezogen.
a) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen
werden, beim Ziehen mit oder ohne Zurücklegen größer als 50% ist.
b) Wie viele rote Kugeln müsste man in die Urne dazulegen, dass die Wahrscheinlichkeit,
dass beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedenfarbige Kugeln 50% beträgt?
4.
Das Büro einer Firma ist durch eine Türsicherung und einen Bewegungsmelder gegen
Einbruch gesichert. Nach Werksangaben versagt die Türsicherung in 0,4%, der Bewegungsmelder in 1,5% aller Einbruchsversuche.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktionieren beide Sicherungen gleichzeitig?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einbrecher ungehindert in das Büro eindringen kann?
-1-
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
b) Dieses Risiko ist der Firma zu hoch.
Auf welchen Wert müsste die Wahrscheinlichkeit für das Versagen des Bewegungsmelders verringert werden, damit die Wahrscheinlichkeit für ein ungehindertes Eindringen bei höchstens 1:100 000 liegt?
5.
Ein Glücksrad besteht aus vier Kreissektoren, die mit den
Zahlen 1, 2, 3 und 4 versehen sind.
Die Mittelpunktswinkel der verschiedenen Sektoren haben
die Weiten 30°, 60°, 90° und 180° (siehe Abbildung).
Nach jeder Drehung gilt diejenige Zahl als gezogen, auf deren
Kreissektor der feststehende Pfeil zeigt.
a) Wie oft müsste man das Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 97% mindestens einmal die Zahl 4 gezogen wird?
b) Wie groß müsste der zur Zahl 1 gehörende Mittelpunktswinkel sein, damit bei dreimaligem Drehen mit 99,9%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens zweimal die Zahl 1 gezogen
wird?
6.
In einer Urne sind 4 weiße und eine unbekannte Anzahl roter Kugeln.
a) Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele rote Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, 1/6 beträgt?
b) Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele rote Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, 17/28 beträgt?
7.
In einem Gefäß sind 6 rote und n blaue Kugeln. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen.
a) Wie viele blaue Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel rot ist, 11/14 beträgt?
b) Für welche Werte von n beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln
blau sind, wenigstens 90%? (schwer)
8.
(schwer) Eine Urne enthält sechs rote und eine blaue Kugel. Für ein Glücksspiel wird
folgende Regel vereinbart: Es wird genau eine Kugel gezogen. Ist die gezogene Kugel
blau, so wird sie in die Urne zurückgelegt, ist sie dagegen rot, so wird sie bei Seite gelegt und in der Urne durch eine blaue ersetzt.
-2-
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
a) Das
D Glückssppiel wird drreimal durchgeführt un
nd jeweils die
d Farbe deer gezogeneen Kugel
feestgestellt.
Berechnen Siie die Wahrrscheinlichkkeit, dass miindestens eiine der Kuggeln blau istt.
b) Eiin Glückssppieler behauuptet, dass man mindeestens zwei Ziehungen durchführeen muss,
um
m mit einer Wahrscheiinlichkeit voon 99% min
ndestens einne rote Kuggel zu ziehen
n. Hat er
reecht?
LÖSUN
NGEN
1.
U
URNE
EINS
P  höchstenss eine blauee   1  P  bllau / blau 
a) 1 
n
n

 0, 64
n6 n6
n 2  0,36   n  6 
2
 9
 n1/2  
2 25 entfälllt
2,
P  mindestenns eine blauue   1  P  keine
k
blaue   1  P  root / rot / rot 
19
6
8
6
6
6
6
6





0


n  6 n  6 n  6 27
n  6 n  6 n  6 27
G
GTR
 Funktion
F
eiingeben  Nullstelle berechneen  n  3
b) 1 
2.
Ü
ÜBERRASC
CHUNGSEIER
Übersichht
F2 tritt
t
auf
F2 tritt nichht auf
F1 tritt auuf
0, 0775  P  F2 
0, 075  P F2
F1 tritt nichtt auf
0,9225  P  F2 
2
 
0,925  P  F 
F1
F2
RECHNUNG
G
 
F1
F2
F2
P  das Ei istt einwandfreei   0,925  P F2  0,,9  0,9925  1  P  F2    0,9
1  P  F2  
0,9
36
36 1


 0, 0227  2, 7%
 P  F2   1 
0,925 37
37 37
-3-
F2
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
U
URNE
ZWEII
3.
P  zwei versschiedene   P  rot / blaau   P  bla
au / rot 
3 3 3 3 1
a) mit
m Zurückleegen        500%
6 6 6 6 2
3 3 3 3 18
o
ohne
Zurückklegen      
6
 60%
6 5 6 5 30
o
ohne
Zurückklegen / (n  3) rote Kugeln / 3 blaue Kugeln
K
P  zwei versschiedene   P  rot / blaau   P  blaau / rot 
b) n  3 3
3 n3


 0,5 

n6 n5 n6 n5
6   n  3
 0, 5  0
 n  6    n  5
 Funktion
G
GTR
F
eiingeben  Nullstelle berechneen  n  3
TÜ
ÜRSICHER
RUNG
4.
P Türsicherrung funktioniert   1  0, 004  0,,996
a)
P  Bewegunngsmelder funktioniert
f
  1  0, 0155  0,985
P  beide Sicherungen funktioniere
fu
en   0,996  0,985  0,998106  98,,1%
P  beide Sicherungen veersagen   0, 004  0, 01
15  0, 00006  0, 006%
%
P Türsicherrung versaggt   0, 004
b)
P  Bewegunngsmelder veersagt   p
P  beide Sicherungen veersagen   0, 004  p  0, 00 001
0 00 25  0, 25%
p  0,
ER
RGEBNIS
Die Wahrscheinli
W
chkeit für das
d Versagenn des Beweegungsmeld
ders
dürfte höchsten 0,,25% betrag
gen.
-4-
W
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
G
GLÜCKSRA
AD
5.
P  Sektor 4   0,5
a)
n? /
p  0,5 / k  1 /   0,97 (ettwa 97%)
P  X  1  1  P  X  0   0,97
G : 1  binom
GTR
b
pdf ( X / 0,5 / 0)  Tabelle  n  5
P  Sektor 1  x
n3 /
p  x / k  2 /   0,999
b) P  X  2   0,999
G : binoom cdf (3 / x / 2)  Tabelle
GTR
T
 x  0,100
 x  360
W
Winkel
3   36
Table  0, 001
U
URNE
DREII
6.
z
zwei
Kugeln
n ohne Zurüücklegen / 4 weiße Kugeln
K
/ n rote Kug
geln
P  weiß / weeiß   1/ 6
a)
4
3
1


 72
7   n  4    n  3  72   n  4    n  3  0
n4 n3 6
 Funktion
G
GTR
F
eiingeben  Nullstellle berechneen  n  5
d Kugeln ohne Zurüccklegen / 4 weiße Kugeln
drei
K
/ n rote Kugeeln
P  mindestenns eine weißß   1  P  keine
k
weiß   17 / 28
b) P  mindesten
ns eine weißß   1  P  rot
r / rot / rott   17 / 28
n n  1 n  2 17
n n  1 n  2 11
n n  1 n  2 11




0







n  4 n  3 n  2 28
n  4 n  3 n  2 28
n  4 n  3 n  2 28
G
GTR
 Funktion
F
eiingeben  Nullstelle berechneen  n  12
1
-5-
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
7.
U
URNE
VIER
R
d Kugeln ohne Zurüücklegen / 6 rote Kuugeln / n blaue Kuggeln
drei
P  mindestenns eine rot   1  P  blaau / blau / blau   11/14
n n 1 n  2 3
n n  1 n  2 11







n  6 n  5 n  4 14
n  6 n  5 n  4 14
n n 1 n  2 3


 0
n  6 n  5 n  4 14
 Funktion
G
GTR
F
eiingeben  Nullstellle berechneen  n  10
a) 1 
b) (sschwer)
d Kugeln ohne Zurüücklegen / 6 rote Kuugeln / n blaue Kugeln
drei
P  mindestenns zwei blauue   0,9
P  r / b / b   P  b / r / b   P  b / b / r   P  b / b / b   0,9
6
n n 1 6
6 n 1
n n 1 n  2
n n 1
n






 0,9





n6 n5 n4 n6 n5 n4 n6 n5 n4 n6 n5 n4
1  n   n  1  n   n  1   n  2 
18
 0,9
0 0
 n  6   n  5   n  4 
G
GTR
 Funktion
F
eiingeben  Nullstelle berechneen  n  23
8.
U
URNE
FÜNF
F
6 rote Kugelln / 1 blaaue Kugel
blauue Kugel 
Z
a) Ziehe


 rotee Kugel
zurückklegen
ersetzeen durch blaaue
6 5 4 223
P  mindestenns eine blauue   1  P  rot / rot / root   1    
 65%
7 7 7 343
n  Anzahl der
d Ziehunggen
n
1
b) P  mindesten
ns eine rotee   1  P  keeine rote   1     0,99
7
1
0 01   
0,
7
n
 GTR
R  n3
-6-
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
BERNOULLIKETTEN
1.
Bestimmen Sie mit Hilfe des GTR für n = 20 und p = 1/3 die folgenden Wahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsvariablen X:
P  X  5
P  X  6
2.
P  4  X  10 
P  X  10 
P  X  3
P  X  10 
Bestimmen Sie mit Hilfe des GTR für n = 100 und p = 0,4 die folgenden Wahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsvariablen X:
P  X  40 
P  X  50 
3.
P  X  40 
P  X  45 
P  X  30 
P  35  X  45 
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,35.
Bestimmen Sie k so, dass gilt:
P  X  k   0, 28
P  X  k   0, 09
4.
P  X  k   0, 03
P  X  k   0, 05
P  X  k   0,88
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit p = 0,2.
Bestimmen Sie n so, dass gilt:
P  X  4   0,50
P  X  5   0,10
5.
P  X  15   0,95
P  X  2   0,30
P  X  8   0,95
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 100.
Bestimmen Sie p so, dass gilt:
P  X  30   0,93
P  X  7   0, 09
6.
P  X  80   0,90
P  X  40   0, 08
P  X  5   0, 03
Ein idealer Würfel wird 50-mal geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A: Man wirft mindestens 10 Sechsen.
B: Man wirft mehr als 3 und weniger als 14 Sechsen.
b) Wie oft muss man werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%
wenigstens 10 Sechsen zu erhalten?
-7-
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
7.
Ein Fernsehsender strahlt mehrmals am Tag Nachrichtensendungen aus. Der Anteil derjenigen Personen in der Bevölkerung, die diese Sendungen kennen, sei p.
a) Es sei p = 0,25. Ein Reporter des Senders befragt Personen auf der Straße, ob ihnen
die Sendungen bekannt sind oder nicht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass von 20 befragten Personen
A: genau 14 die Sendungen nicht kennen,
B: höchstens 10 Personen die Sendungen kennen.
b) Wie groß müsste p mindestens sein, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Personen mindestens 10 Personen die Sendung kennen, höher als 90% sein soll?
8.
Äpfel können durch zu langes Lagern matschig werden. Diese Eigenschaft ist äußerlich
nicht zu erkennen. Eine Apfelsorte enthält nach der Lagerzeit von einem Monat etwa
20% matschige Früchte.
a) Bestimmen Sie für Äpfel dieser Sorte mit einer entsprechenden Lagerzeit die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Unter 7 Äpfeln befinden sich genau 2 matschige,
B: Unter 20 Äpfeln befinden sich mindestens 2 matschige,
C: Unter 100 Äpfeln befinden sich mindestens 15, aber höchstens 25 matschige.
b) Wie groß dürfte der Anteil matschiger Apfel höchstens sein, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 50 Äpfeln höchstens 5 matschige befinden, mindestens 90% betragen soll?
9.
Für eine Busfahrt wird ein doppelstöckiger Reisebus mit 90 Sitzplätzen verwendet. Erfahrungsgemäß treten 6% der schon gebuchten Passagiere eine Busfahrt nicht an.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 85 Sitzplätze belegt, wenn 90 Tickets
verkauft wurden?
b) Ein Reisebüro verkauft mehr Tickets als es Plätze in diesem Bus gibt.
Berechnen Sie, wie viele Tickets das Reisebüro höchstens verkaufen darf, wenn die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 90 Passagiere an der Busfahrt teilnehmen wollen,
weniger als 10% betragen soll.
-8-
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
LÖSUN
NGEN
1.
P  X  5   29, 7%
m cdf (20, 13 , 5)  0, 297
binom
P  X  6   1  P  X  6   52,1%
1  binnom cdf (20,, 13 , 6)  0,521
P  4  X  10   P  X  10   P  X  3  90, 2%
2
P  X  10   P  X  9   90,8%
P  X  3  1  P  X  2   98, 2%
P  X  10   5, 4%
binom pdf (20, 13 , 10)
P  X  40   54,3%
binoom cdf (100 / 0, 4 / 40)  0,543
P  X  50   1  P  X  49   2, 7%
%
2.
P  X  40   8,1%
binom pdf (100 / 0, 4 / 40)
P  X  45   1  P  X  45   13,1%
%
b
cdf (100 / 0, 4 / 455)  0,131
1  binom
P  X  30   P  X  299   1,5%
P  35  X  45   P  X  45   P  X  34   73,9%
7
3.
P  X  k   0,
0 28 
n = 50 / p  0,35 / gessucht : k
FU
UNKTION
(im
m Formeledditor Y = eiingeben)
TA
ABELLE
(üüber TABLE
E aufrufen)

k  15
EB
BENSO
P  X  k   0,03
0
 k  11
P  X  k   0,88
0
 k  21
P  X  k   0,
0 09 
n = 50 / p  0,35 / k  ? binom pdf
p
verwennden
-9-
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
FU
UNKTION
(im
m Formeledditor Y = eiingeben)
TA
ABELLE
(üüber TABLE
E aufrufen)
E gibt zwei Lösungen 
Es
k  15
oderr
k  20
EB
BENSO
4.
P  X  k   0,
0 05 
k  13 odder
P  X  4   0,50
0

gesucht : n / p  0, 2 / k  4
k  22
2
FU
UNKTION
(im
m Formeledditor Y = eiingeben)
TA
ABELLE
(üüber TABLE
E aufrufen)

n  23
EB
BENSO
P  X  15   0,95 
n  53
P  X  8   0,95
0

n  25
P  X  5   0,10
0

n  15 odeer
n  38
P  X  2   0,30
0

n  9 odeer
n  10
- 10 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
5.
P  X  30   0,93
gesucht : p
n  100 / p  ? / 30

p  0, 24
setze Tbl  0, 01 (unter TBL SET )
P  X  80   0,90 
p  0, 75
P  X  5   0, 03 
p  0,11
P  X  7   0, 09
p  0,10
P  X  40   0, 08 
p  0,39 oder 0, 41

6.
bekannt : n  50 / p 
1
6
a) P  A   P  X  10   1  P  X  9   31, 7%
P  B   P  3  X  14   P  X  13  P  X  3  94, 5%
n  ? / p  16 / k  10
b) P  X  10   0,99
| umformen
1  P  X  9   0,99 | Formel eingeben / Tabelle benutzen 
ERGEBNIS
n  108
Man muss mindestens 108-mal würfeln.
7.
bekannt : n  20 / p  0, 25
a) P  A  P  X  6   16,9%
| binom pdf (20 / 0, 75 /14)  binom pdf (20 / 0, 25 / 6)
P  B   P  X  10   99, 6%
n  100 / p  ? / k  10
b) P  X  10   0,9
| umformen
1  P  X  9   0,9
ERGEBNIS
| Formel eingeben / Tabelle benutzen 
Die Wahrscheinlichkeit muss mindestens 14% betragen.
8.
a)
p  13%
bekannt : n  7 / p  0, 20
P  A   P  X  2   27,5%
bekannt : n  20 / p  0, 20
P  B   P  X  2   1  P  X  1  93,1%
- 11 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
b
bekannt
: n  100 / p  0, 20
P  C   P 15  X  25  P  X  25
2   P  X  14   83, 2%
2
b)
n  50 / p  ? / k  5
P  X  5   0,9
0
ER
RGEBNIS
| Formel einngeben / Tabbelle benutzzen 
p  6%
Der Annteil der maatschigen Äpfel
Ä
dürfte höchstens 66% sein.
9.
a)
b
bekannt
: n  90 / p  94% Mitfahhrer , weil 6% nicht mitf
tfahren / k  85
P  X  85  1  P  X  85   36, 6%
%
n  ? / p  0,94
0
/ k  900
P  X  90   0,10
| umformen
0   0,10
b) 1  P  X  90
1  binom cdf
df ( X / 0,94 / 90)
F
Formel
einggeben / Tabbelle benutzeen 
RGEBNIS
ER
n  93
Es dürrfen höchsteens 93 Tickeets verkauftt werden.
- 12 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
HYPOTHESENTESTS
1.
Ein Würfel soll getestet werden. Man nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeit für eine
Sechs wie üblich 1/6 beträgt. Um die Annahme zu testen, wird er 60-mal geworfen.
Kommt dabei mindestens 8-mal und höchstens 12-mal eine Sechs vor, geht man davon
aus, dass der Würfel in Ordnung ist.
Wie lautet bei diesem Test die Nullhypothese?
Schreiben Sie den Annahmebereich A und den Ablehnungsbereich A als Menge auf.
Entscheiden Sie, ob die Hypothese angenommen oder abgelehnt wird, wenn die Sechs
7-mal fällt.
2.
Ein Händler garantiert, dass höchstens 5% der gelieferten Äpfel nicht einwandfrei sind.
Ein Käufer will die Aussage überprüfen, indem er eine Stichprobe von 50 Äpfeln entnimmt.
Sind mehr als 4 Äpfel nicht einwandfrei, glaubt er dem Händler nicht.
Wie lautet die Nullhypothese (Aussage des Händlers) in diesem Fall formal?
Geben Sie den Annahme- und Ablehnungsbereich an.
Handelt es sich um einen rechts- oder um einen linksseitigen Test?
3.
Bestimmen Sie jeweils die Irrtumswahrscheinlichkeit α.
a) Für H 0 : p  0, 4 und n = l00 wird als Ablehnungsbereich A  50, .... ,100 festgelegt.
b) Für H 0 : p  0,8 und n = 100 wird als Annahmebereich A = {75,...,100} gewählt.
4.
Bestimmen Sie jeweils den Ablehnungsbereich A .
a) Für H 0 : p  0,1 und n = 100 soll α = 2% betragen.
b) Für H 0 : p  0,3 und n = 50 soll α = 1% betragen.
5.
Ein Chiphersteller garantiert, dass der Anteil an Ausschuss höchstens 4% beträgt. Ein
Käufer findet unter 100 Chips 9 defekte Chips. Kann man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass der Anteil an Ausschuss größer als 4% ist?
- 13 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
6.
Eine Partei hat bei der letzten Wahl 30% der abgegebenen Stimmen erhalten. Um zu
überprüfen, ob sie bei der nächsten Wahl mit mindestens 30% der Stimmen rechnen
kann, werden 100 Personen befragt. Es geben nur 25 Personen an, die Partei wählen zu
wollen. Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% darauf schließen, dass
der Stimmenanteil unter 30% gesunken ist?
7.
Ein Großhändler garantiert einem Kunden, dass höchstens 4% der gelieferten Glühbirnen defekt sind. Der Kunde nimmt eine Stichprobe von 50 Birnen. Er schickt die Lieferung zurück, wenn mehr als 4 Birnen defekt sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung irrtümlich ablehnt?
b) Wie muss man den Ablehnungsbereich wählen, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit
2% betragen soll?
8.
Ein Forschungslabor entwickelt ein Medikament und testet es in einer klinischen Studie an 800 Patienten.
Das Medikament erhält keine Zulassung, wenn sich bei der Studie in mindestens 2% der
Fälle gravierende Nebenwirkungen zeigen.
Bestimmen Sie für die Nullhypothese H 0 : p  2% die Entscheidungsregel für die Studie mit 800 Patienten mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von l%.
9.
Eine Firma, welche Handys in Massenproduktion herstellt, garantiert, dass bei einer
Lieferung höchstens 3% der Handys fehlerhaft sind.
Der Großhändler macht eine Stichprobe mit 30 Handys und findet 3 fehlerhafte.
Kann er hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 2% schließen, dass die
Firma eine falsche Angabe gemacht hat?
10.
Bei der Massenproduktion von Gläsern mit breitem, massivem Fuß beträgt der durch
Einschluss von Luftblasen im Fuß bedingte Ausschussanteil erfahrungsgemäß 7%.
Durch ein neues Produktionsverfahren soll der Ausschussanteil gesenkt werden.
Bei einer Qualitätskontrolle werden 150 Gläser getestet. Es werden 7 Gläser mit Luftblasen gefunden. Kann man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens
10% annehmen, dass das neue Produktionsverfahren den Ausschussanteil verringert
hat?
- 14 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
11.
Eiine Brauereei stellt alkkoholfreies Bier
B her un
nd hat einenn Marktanteeil von 15%
%. Durch
eiine Werbekkampagne sooll dieser Anteil
A
erhöh
ht werden. Um zu prüüfen, ob die Werbekaampagne errfolgreich war,
w wird einn Test durchgeführt, beei dem 120 von 600 Befragten
B
anngeben, dass alkoholfreie Bier der Brauerei zu
u trinken. Lässt
L
sich hiieraus mit einer
e
Irrtuumswahrschheinlichkeit von höchsttens 2% sag
gen, dass diie Werbekampagne erffolgreich
w
war?
NGEN
LÖSUN
N
Nullhypothe
ese
1.
H 0 : p  1/ 6
A
Annahmebe
reich
A  8 / 9 /100 /11/12
A
Ablehnungs
bereich
A  1 A 
0 /1/ 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7  13 /14 /115 /16 /17 /118 / ...... / 60
E
Entscheidun
ng
D die Sechss nur 7 - ma
Da
al fällt , wirrd die Hypoothese abgelehnt.
H
HISTOGRAM
MM für n = 60 und p = 1/6
2.
(verzichtbaar)
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 05
A
Alternativhyypothese
H1 : p  0, 05  reechtsseitigerr Test
A
Annahmebereich
A  0 / 1 / 2 / 3 / 4
A
Ablehnungsbereich
A  1  A  5 / 6 / 7 / 8 / ......... / 50
H
HISTOGRAM
MM für n = 50 und p = 0,05
- 15 -
(verzichtbaar)
W
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
3.
Bestimmen Sie
S jeweils die
d Irrtumsw
wahrscheinllichkeit α.
a)) Für H 0 : p  0, 4 und n = l00 wirrd als Ableh
hnungsbereiich A  500, .... ,100
feestgelegt.
N
Nullhypotheese
H 0 : p  0, 4
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0, 4  rechtsseiitiger Test
bereich
A
Ablehnungs
A  50 / ......... / 100
I
Irrtumswahr
rscheinlichkkeit
P  X  50   1  P  X  49     2, 7%
%
b)) Für H 0 : p  0,8 undd n = 100 wird als Annahmebereicch A = {75,....,100} gew
wählt.
4.
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0,8
A
Alternativhyypothese
H1 : p  0,8  linksseitigger Test
A
Ablehnungsbereich
A  1  A  0 / ......... / 74
I
Irrtumswahr
rscheinlichkkeit
P  X  74     8, 7%
Bestimmen Sie
S jeweils den
d Ablehnu
ungsbereich
h A.
a)) Für H 0 : p  0,1 undd n = 100 soll α = 2% betragen.
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0,1
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0,1  rechtsseiitiger Test
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  1000
p  0,1
IIrrtumswahrrscheinlichkkeit   2 %
E
Erwartungsw
wert
E  1000  0,1  10
bereich
A
Ablehnungs
A  k / ...... / 100
0  k  ?
G
RECHNUNG
P  X  k   0, 02
umforrmen
1  P  X  k  1  0, 02
k ist gesucht
g
TAB
BELLE k aablesen
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
A
bereich ist A  18 / ...... /100 .
Der Ablehnungsb
- 16 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
b)) Für H 0 : p  0,3 undd n = 50 solll α = 1% beetragen.
N
Nullhypotheese
H 0 : p  0,3
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0,3  linksseitiiger Test
SStichprobennumfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  50
p  0,3
IIrrtumswahrrscheinlichkkeit   1 %
E  50  0,3  15
E
Erwartungs
wert
bereich
A
Ablehnungs
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0, 01
k ist ggesucht
TAB
BELLE k aablesen
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
5.
Ablehnungsbbereich ist A  0 / ...... / 7 .
Der A
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 04
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0, 04  rechtsseitiger Testt
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  1000
p  0,, 04
IIrrtumswahrrscheinlichkkeit   5 %
E  1000  0, 04  4
E
Erwartungsw
wert
A
Ablehnungs
bereich
A  k / ...... /1000  k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0, 05
umforrmen
1  P  X  k  1  0, 05
k ist ggesucht
FU
UNKTION eingeben
TAB
BELLE k aablesen
- 17 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
ER
RGEBNIS
Der A
Ablehnungsbbereich ist A  8 / ...... /100 . Daa k = 9 im
m Ableh-
nuungsbereichh liegt, kannn man bei α = 5% mehrr als 4% Auusschuss erw
warten.
6.
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0,30
A
Alternativhyypothese
H1 : p  0,30  linksseiitiger Test
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  1000
p  0,30
IIrrtumswahrrscheinlichkeit
k
 5%
E  1000  0,30  30
E
Erwartungsw
wert
3
A
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0, 05
k ist gesucht
g
TAB
BELLE k aablesen
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
A
bereich ist A  0 / ...... / 22 .
Der Ablehnungsb
D 25 Personnen die Parttei wählen wollen,
Da
w
wird die Parteii wahrscheinlich mehr als 30%
deer Stimmen erhalten.
7.
a)) Wie groß ist
i die Wahrrscheinlichkkeit, dass err die Lieferuung irrtümliich ablehnt??
b
bekannt
: n  50 / p  0, 04 / k  4
g
gesucht
: Irrrtumswahrrscheinlichkkeit   ?
RECHNUNG
G
  P  X  4   1  P  X  4   4, 9%
b)) Wie musss man den Ablehnungs
A
sbereich wählen, wenn die Irrtumsswahrschein
nlichkeit
2%
% betragen soll?
- 18 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 04
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0, 04  rechtsseitiger Testt
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  500
p  0,, 04
IIrrtumswahrrscheinlichkeit
k
  0,, 02
E  500  0, 04  2
E
Erwartungsw
wert
A
Ablehnungs
bereich
A  k / ...... / 50  k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0,02
1  P  X  k  1  0, 02
k ist gesucht
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
8.
BELLE k aablesen
TAB
A
bereich ist A  6 / ....... / 50 .
Der Ablehnungsb
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 02
A
Alternativhyypothese
H1 : p  0, 02  linksseiitiger Test
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  8000
p  0, 02
IIrrtumswahrrscheinlichkeit
k
  0, 01
E  8000  0, 02  16
E
Erwartungsw
wert
1
A
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0, 01
k ist gessucht
TAB
BELLE k aablesen
FU
UNKTION eingeben
- 19 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
ER
RGEBNIS
9.
Der A
Ablehnungsbbereich ist A  0 / ...... / 7 .
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 03
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0, 03  rechtsseeitiger Test
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  300
p  0,, 03
IIrrtumswahrrscheinlichkeit
k
  0,, 02
E  300  0, 03  1
E
Erwartungsw
wert
A
Ablehnungs
bereich
A  k / ...... / 30  k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0,02
1  P  X  k  1  0, 02
k ist gesucht
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
BELLE k aablesen
TAB
A
bereich ist A  4 / ....... / 30 .
Der Ablehnungsb
Bei 3 defekteen Handys kann
k
man niicht auf einee falsche Anngabe des H
Herstellers
scchließen.
10.
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 07
A
Alternativhyypothese
H1 : p  0, 07  linksseiitiger Test
SStichproben
numfang
n  1550
p  0, 07
W
Wahrscheinl
lichkeit
I
Irrtumswahr
rscheinlichkeit
k
  0,1
E  1550  0, 07  10,5
E
Erwartungsw
wert
A
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0,1
k ist gesuucht
FU
UNKTION eingeben
TAB
BELLE k aablesen
- 20 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
RGEBNIS
ER
Der Ablehnungsb
A
bereich ist A  0 / ...... / 6 .
D 7 nicht im
Da
m Ablehnuungsbereich liegt, kann
n man nichtt mit einer Irrtumswah
hrscheinlicchkeit von höchstens 10% annehhmen, dass das neue Produktionsv
P
verfahren den
d Ausscchuss verrinngert hat.
11.
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0,15
A
Alternativhy
ypothese
H1 : p  0,15  rechtsseeitiger Test
SStichproben
numfang
W
Wahrscheinl
lichkeit
n  600
p  0,15
IIrrtumswahrrscheinlichkkeit   0, 02
E  600  0,15  90
E
Erwartungs
wert
9
bereich
A
Ablehnungs
A  k / ...... / 6000  k  ?
RECHNUNG
G
P  X  k   0,02
1  P  X  k  1  0, 02
k ist gesucht
FU
UNKTION eingeben
ER
RGEBNIS
BELLE k aablesen
TAB
A
bereich für H 0 ist A  109 / ...... / 600 .
Der Ablehnungsb
D 120 im Ablehnungsb
Da
A
bereich liegtt, muss man
n die Nullhyypothese verrwerfen und
d die
Allternativhyppothese ann
nehmen.
M kann alsso sagen, daass die Werbbekampagn
Man
ne erfolgreicch war.
- 21 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
MUSTERAUFGABEN
1.
Ein Gefäß enthält 4 rote und 2 blaue Kugeln.
a) Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine blaue Kugel erscheint.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens beim 3. Zug eine blaue Kugel
gezogen wird.
b) Das Gefäß enthält 4 rote und n blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln mit
Zurücklegen gezogen. Wie viele blaue Kugeln müssten im Gefäß sein, dass die Wahrscheinlichkeit, genau eine blaue Kugel zu erhalten, gleich 9,6% ist.
2.
Ein Glücksrad hat die drei Sektoren blau, gelb und rot. Die drei zugehörigen Farben
treten mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:
blau
0,3
gelb rot
0, 4 0,3
a) Wie oft muss man das Glücksrad drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal gelb zu erhalten?
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass gelb gedreht wird, scheint größer als 0,4 zu sein. Daher
wird das Glücksrad 200-mal gedreht und die Nullhypothese: H 0 : p  0, 4 getestet. Erscheint mehr als 90-mal gelb, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit.
3.
Für den Bau einer Alarmanlage stehen zwei Modelle zur Verfügung, Modell A mit 2
Sensoren und Modell B mit 4 Sensoren.
Modell A funktioniert auch noch, wenn ein Sensor kaputt ist, Modell B braucht mindestens zwei funktionierende Sensoren.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sensor funktioniert, sei p.
a) Welche Alarmanlage ist sicherer, wenn p = 0,9 gilt?
b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass Modell A bzw. Modell B funktioniert, als
Funktion von p dar. (schwer)
Für welche Werte von p ist Modell A sicherer als Modell B?
4.
Eine Erhebung über einen längeren Zeitraum hat ergeben, dass 15% der Besucher einen
Baumarkt verlassen, ohne einen Einkauf getätigt zu haben. Die Firmenleitung erweitert
aus diesem Grund das Angebot. Sie vermutet, dass sich der Anteil der Baumarktbesu- 22 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
cher, die nichts kaufen, verringert hat. Zur Erfolgskontrolle wird das Einkaufsverhalten
von 100 zufällig ausgewählten Besuchern erfasst.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 12 der erfassten Besucher
ohne Einkauf aus dem Baumarkt gehen, vorausgesetzt, dass sich das Einkaufsverhalten
nicht geändert hat.
b) Die Vermutung der Firmenleitung soll auf dem Signifikanzniveau von 5% getestet werden. Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest und geben Sie die Entscheidungsregel an.
5.
Eine Firma stellt Handys in Massenproduktion her. Jedes Handy ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% fehlerhaft. Zur Kontrolle werden als Stichprobe 100 Handys der
Produktion entnommen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A: Weniger als 5 Handys sind fehlerhaft.
B: Mindestens 90 Handys funktionieren.
b) Wie viele Handys müssen der Produktion mindestens entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens drei fehlerhafte dabei sind?
6.
Eine Lieferung Äpfel kommt bei einem Obsthändler verspätet an. Dieser ist nicht sicher, ob die Ladung den in solchen Fällen üblichen Anteil von etwa 20% matschigen
Früchten enthält oder ob sich der Anteil der matschigen Äpfel durch die Verspätung
vergrößert hat.
Der Obsthändler will 20 zufällig ausgewählte Äpfel überprüfen.
Er stellt folgende Nullhypothese auf: H 0 : p  0, 2 .
a) Ermitteln Sie den Annahme- und Ablehnungsbereich für ein Signifikanzniveau von
  5% und erläutern Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
b) Ein eifriger Mitarbeiter des Obsthändlers schlägt vor, einen Test unter gleichen Bedingungen wie in Aufgabe a), aber mit der Nullhypothese H 0 : p  0, 2 durchzuführen.
Beurteilen Sie diesen Ansatz aus der Sicht des Lieferanten einerseits sowie aus der Sicht
der Kunden des Obsthändlers andererseits. (schwer)
7.
Die Firma Reinlich & Sohn möchte den bisherigen Bekanntheitsgrad p = 0,4 ihres
Waschmittels überprüfen. Hierzu werden 80 Personen befragt. Die Befragung wird von
einem Mitarbeiter der Firm Reinlich & Sohn durchgeführt. Er bekommt von der Fir- 23 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
menleitung einen Bogen mit 80 Kästchen ausgehändigt, die in 10 Zeilen und 8 Spalten
angeordnet sind. Ist der befragten Person das Waschmittel bekannt, dann soll der Mitarbeiter ein „x“ notieren, andernfalls bleibt das Kästchen leer.
Beispielzeile:
x
x
x
x
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer bestimmten Zeile
(A) genau 4 Kästchen angekreuzt sind,
(B) mindestens 4 Kästchen angekreuzt sind.
b) Reinlich Senior vermutet, dass der Bekanntheitsgrad des Produktes größer als 40 % ist.
Um seine Hypothese zu prüfen, lässt er 200 Personen befragen.
Ab wie vielen Personen, die vorgeben, das Produkt zu kennen, kann er mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit darauf schließen, dass der Bekanntheitsgrad größer als 40% ist?
8.
Ein Supermarkt startet eine Werbeaktion, bei der die Kunden Schokoladetafeln gewinnen können. Von den zu gewinnenden Tafeln stammen erfahrungsgemäß 5% aus dem
vergangenen Jahr, so dass deren Qualität schlecht ist. Ein Unternehmensberater will die
Aussage eines Supermarkts überprüfen, dass höchstens 5% der Schokoladetafeln alt seien. Er vermutet, dass der Anteil alter Ware größer ist und nimmt eine Stichprobe von
800 Tafeln.
Falls er zu der Entscheidung kommt, dass die Aussage falsch ist, so soll die Werbeaktion abgebrochen werden, da die negativen Folgen der Kundenklagen im Vergleich zum
positiven Effekt der Aktion überwiegen würden.
a) Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel zur Überprüfung der Aussage, wenn der Unternehmensberater eine Entscheidung für die Aussage auf einem Sicherheitsniveau von
99% treffen will.
b) Ein zweiter Unternehmensberater ist gegen die Vorgehensweise aus Aufgabenteil a)
und macht einen Alternativvorschlag: Sind bei einer ersten Stichprobe von 50 Tafeln 7
oder mehr alt, soll die Werbeaktion sofort beendet werden. Sind 5 oder 6 Tafeln alt,
wird eine zweite Stichprobe vom Umfang 100 genommen. Die Werbeaktion wird dann
gestoppt, wenn in dieser Stichprobe mehr als 5% alte Tafeln sind, ansonsten geht sie
weiter. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Abbruch bei diesem Vorschlag.
- 24 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
9.
Ein Glücksrad hat die Sektoren rot, blau und gelb
mit den Mittelpunktswinkeln 180°, 120° und 60°.
Bei einem Glücksspiel wird
blau
rot
das Glücksrad dreimal gedreht.
Der Einsatz beträgt 2 Euro.
gelb
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zweimal rot erscheint.
b) Erscheint dreimal rot, erhält ein Spieler 4 Euro, erscheint dreimal blau erhält er 18 Euro
und erscheint dreimal gelb erhält er 36 Euro. Sonst erhält er nichts.
Berechnen Sie den durchschnittlichen Verlust des Spielers bei einem Spiel.
c) Bei welchem Mittelpunktswinkel des Sektors gelb ist der Verlust des Spielers am größten, wenn der rote Sektor dreimal so groß wie der gelbe Sektor ist und die Spielregeln
beibehalten werden?
10.
In einem Fachmarkt werden unter anderem Tulpenzwiebeln von rot blühenden, gelb
blühenden sowie weiß blühenden Tulpen verkauft. Eine große Kiste wurde zu gleichen
Teilen mit Tulpenzwiebeln der genannten drei Sorten gefüllt. Von diesen äußerlich
nicht unterscheidbaren Zwiebeln werden aus der Kiste auf zufällige Weise 12 in eine
Tüte gepackt.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tüte mindestens zwei Zwiebeln der
gelb blühenden Tulpensorte enthält.
b) Laut Verpackungsangabe kommt es bei sachgerechter Pflanzung einer Tulpenzwiebel
im nächsten Frühjahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% zu einer Blüte.
Erklären Sie die Ungleichungen (I) und (II) im Kasten
und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
11.
0,98n  0, 75
(I )
n  14, 24
( II )
Zwei Urnen U1 und U2 haben folgende Inhalte:
U1 enthält 12 blaue und l2 weiße Kugeln,
U2 enthält 1 blaue und 5 weiße Kugeln.
Es wird blind aus einer Urne eine Kugel gezogen. Ist die gezogene Kugel blau, erhält
man einen Gewinn.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Gewinn erhält. Erhöht sich die
Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, wenn aus U1 drei blaue Kugeln entfernt und in
U2 dazugelegt werden?
- 25 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
b) Aus der Urne U1 werden n blaue Kugeln entfernt und in U2 gelegt. Für welchen Wert
von n ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn maximal?
12.
Ein Autohersteller bezieht von einem Lieferanten ein bestimmtes Bauteil. Erfahrungsgemäß sind 10% der gelieferten Bauteile defekt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 300 Bauteilen mindestens 270 einwandfrei?
b) Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil mindestens sein,
damit von 150 Bauteilen mit mindestens 95%-iger Sicherheit höchstens 4 defekt sind?
13.
Die Firma Reinlich & Sohn möchte den Bekanntheitsgrad p ihres Waschmittels ermitteln. Eine erste Befragung deutet auf einen Bekanntheitsgrad von p = 0,4 hin. Die Firma
erwägt, für ihr Produkt im Fernsehen zu werben. Wegen der hohen Kosten soll mittels
einer Befragung von 800 Personen die Notwendigkeit der Werbemaßnahme überprüft
werden. Herr Reinlich Senior und Herr Reinlich Junior sind sich einig, dass die Werbemaßnahme nur dann durchgeführt werden soll, wenn der Bekanntheitsgrad des Waschmittels unter 40% liegt. Keine Einigkeit erreichen die beiden bei der Wahl der Nullhypothese.
a) Herr Reinlich Junior möchte die Nullhypothese H0: p < 0,4 überprüfen.
Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung höchstens 5% betragen soll.
b) Herr Reinlich Senior möchte lieber die Hypothese H0: p ≥ 0,4 überprüfen. Er will die
Hypothese H0 verwerfen, falls höchstens 290 befragten Personen das Produkt bekannt
ist. Beschreiben Sie, welche Fehlentscheidung der Senior-Chef nach Möglichkeit vermeiden möchte und berechnen Sie die zugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit.
14.
Ein Glücksrad hat die drei Sektoren 1, 2 und 3.
Die Zahlen des Glücksrads treten mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:
1
2
3
0, 6 0, 2 0, 2
Das Glücksrad wird 10-mal gedreht.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3-mal und weniger als 8-mal der
Sektor 1 erscheint?
b) Bei welcher Anzahl von Drehungen ist die Wahrscheinlichkeit für vier Einsen maximal?
- 26 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
15.
Ein Hersteller von Kugelschreibern garantiert, dass höchstens 8,8% der hergestellten
Kugelschreiber defekt sind.
a) Es werden 250 Kugelschreiber getestet. Wie groß dürfte die Angabe des Herstellers
höchstens sein, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 2% mehr als 20 Kugelschreiber defekt sein dürfen?
b) Mit einer Stichprobe von 200 Stück soll getestet werden, ob die Angabe des Herstellers
stimmt. Bestimmen Sie für ein Signifikanzniveau von 5% einen möglichst großen Ablehnungsbereich für die Hypothese: Höchstens 8,8% der Kugelschreiber sind defekt.
16.
Ein Glücksrad hat drei gleich große Sektoren mit den Symbolen Kreis, Kreuz und
Stern. Für ein Glücksspiel wird das Glücksrad viermal gedreht. Der Einsatz eines Spielers beträgt 2 Euro.
a) Erscheint mindestens zweimal das Symbol Kreuz, so erhält der Spieler 1 Euro, erscheint
mindestens dreimal das Symbol Stern, erhält der Spieler 10 Euro. Sonst erhält er nichts.
Mit welchem Gewinn oder Verlust kann der Spieler bei einem Spiel rechnen?
b) Der Sektor für das Symbol Stern soll doppelt so groß sein wie der Sektor des Symbols
Kreuz. Wie groß muss der Mittelpunktswinkel für den Sektor des Symbols Kreuz sein,
damit das Spiel fair ist? (schwer)
17.
Zur Premiere eines Films bringt eine Schokoladenfirma Überraschungseier mit Filmfiguren auf den Markt. Die Firma wirbt damit, dass sich in jedem 5. Überraschungseieine
Filmfigur befindet.
a) Für einen Kindergeburtstag werden 20 Überraschungseier gekauft, wobei man davon
ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufällig ist. Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat:
 20   1 
  
 2  5
2
18
4
    0,137
5
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) der folgenden Ereignisse:
A: In keinem Ei ist eine Figur aus dem Film.
B: Es befinden sich in höchstens 2Eiern Figuren aus dem Film.
b) Ein Käufer möchte unbedingt eine Filmfigur bekommen. Berechnen Sie, wie viele
Überraschungseier er mindestens kaufen muss, um mit 99,9%iger Sicherheit mindestens
ein Überraschungsei mit einer Filmfigur zu erhalten.
- 27 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
18.
DOPINGTESTS
Nach einem großen Sportfest mit 1500 teilnehmenden Sportlern sollen Dopingtests
durchgeführt werden. Dazu werden die Urinproben von 10% der teilnehmenden Sportler auf Doping untersucht. Im Folgenden soll angenommen werden, dass ca. 12% der
Sportler Dopingmittel einnehmen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Stichprobe die Anzahl der positiv getesteten Sportler genau dem Erwartungswert entspricht.
b) GRUPPENSCREENING (schwer)
Der Kabarettist Bodo Bach beschreibt den Beitrag seines Radfahrvereins zum „sauberen“ Sport: Alle Sportler haben eine Urinprobe abgegeben und diese gut gemischt in einem Eimer zur Dopingkontrolle geschickt.
Ein solches Testverfahren - ein sogenanntes Gruppenscreening - gibt es tatsächlich. Dabei wird der Urin von n Personen gemischt und ein Gruppentest durchgeführt. Ist das
Ergebnis positiv, werden alle n Gruppenmitglieder einzeln getestet. Man erhofft sich
dadurch eine Reduzierung der Anzahl von Untersuchungen. Xn bezeichnet die Anzahl
der benötigten Tests bei einer Gruppengröße von n Personen mit n > 1.
k
1
1 n
n
P  X  k  0,88 1  0,88 n
Erläutern Sie den in der Tabelle dargestellten Zusammenhang.
- 28 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
LÖSUNGEN
1.
URNE
4 rote Kugeln und 2 blaue Kugeln / Ziehen ohne Zurücklegen

 

a) P  blau spätestens beim 3. Zug   P  blau   P bl / blau  P bl / bl / blau 

2 4 2 4 3 2 10  8  6 24 4

  80%
     
30
30 5
6 6 5 6 5 4
4 rote Kugeln und n blaue Kugeln / Ziehen mit Zurücklegen
n
4
4


 0, 096
b) P bl / bl / bl  P bl / bl / bl  P bl / bl / bl  3 
4n 4n 4n
48 n
48 n
 0, 096 
 0, 096  0  GTR / zero  n  16
3
3
 4  n
4  n

2.
 
 

GLÜCKSRAD
P  blau   0,3 / P  gelb   0, 4 / P  rot   0,3
n? /
p  0, 4 / k  2 /   0,9
a) P  mindestens zweimal gelb   0,90
P  X  2   0,90
1  P  X  1  0,90  GTR  n  9
ERGEBNIS
Man muss das Glücksrad mindestens 9-mal drehen.
b) HYPOTHESENTEST
H 0 : p  0, 4
H1 : p  0, 4
n  200 /
p  0, 4 / k  90 /   ?
P  X  90   1  P  X  90   0, 065  6,5%
3.
ALARMANLAGE
Modell A mit 2 Sensoren :
Funktionstüchtigkeit : p  0,9
a) P  mindestens 1 Sensor intakt   P  X  1  1  P  X  0   99%
Modell B mit 4 Sensoren :
P  mindestens 2 Sensoren intakt   P  X  2   1  P  X  1  99, 6%
ERGEBNIS
Die Alarmanlage B ist sicherer.
- 29 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
P  A funktio
oniert   p  p  p  1  p   1  p   p  2 p  p 2
oniert   P  X  2   1  P  X  1 
b) P  B funktio
(schwerr)
 4
 4
4
3
4
3
 1     p 0  1  p      p1  1  p   1  1  p   4  p  1  p 
0
1
ER
RGEBNIS
Für p < 0,67 ist daas Modell A
sichereer als das Modell
M
B.
4.
BA
AUMARKT
T
a)
n  100 /
p  0,15 / k  12 /   ?
P  weniger als
a 12 Besucher   P  X  12   P  X  11  16,3%
ER
RGEBNIS
Mit einner Wahrschheinlichkeitt von 16,3%
% verlassen weniger alss 12 von
100 Beesuchern deen Baumark
kt, ohne etwas einzukauufen.
b) HYPOTHES
H
SENTEST
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0,15
G
Gegenhypothhese H1 : p  0,15
n  100 /
 linkssseitiger Testt
p  0,15 / k  ? /   0, 055 /
E  1000  0,15  15
R
RECHNUNG
G
P  X  k   P  X  k  1  0, 05  GTR  k  9
EN
NTSCHEID
DUNGSREG
GEL
W
Werden
unteer 100 Besuuchern weniiger als 9 an
ngetroffen, die nichts kkaufen, so wird die
N
Nullhypothes
se verworfeen und die Gegenhypot
G
these angen
nommen.
5.
H
HANDYS
a)
n  100 /
p  0,1 / k  5 /   ?
P  A   P  weniger
w
als 5 sind fehllerhaft   P  X  5   P  X  4   2, 4%
n  100 /
p  0,9 / k  90 /   ?
P  B   P  mindestens
m
9 funktionnieren   P  X  90   1  P  X  89
90
8   58,3%
%
- 30 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
b)
n? /
p  0,1 / k  3 /   0,99
P  X  3  1  P  X  2   0,99  GTR  n  81
ERGEBNIS
Es müssen mindestens 81 Handys entnommen werden,
damit man mit 99% Wahrscheinlichkeit 3 defekte erhält.
OBSTHÄNDLER
6.
a) HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0, 2
Gegenhypothese H1 : p  0, 2
n  20 /
 rechtsseitiger Test
p  0, 2 / k  ? /   0, 05 /
E  20  0, 2  4
RECHNUNG
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 05  GTR  k  8
A  0 /1/ ..... / 7 und
A  8 /10 / ..... / 20
H0 wird angenommen, wenn sich in der Stichprobe höchstens 7 matschige Äpfel
befinden. Bei mehr als 7 matschigen Äpfeln wird H0 abgelehnt.
b) HYPOTHESENTEST (alternativ)
Nullhypothese
H 0 : p  0, 2
Gegenhypothese H1 : p  0, 2
n  20 /
 linksseitiger Test
p  0, 2 / k  ? /   0, 05 /
E  20  0, 2  4
RECHNUNG
P  X  k   0, 05  GTR  k  0
A  1/ ..... / 20 und
A  0
ERGEBNIS
H0 wird angenommen, wenn sich in der Stichprobe mindestens 1 matschiger Apfel befindet. Der Händler wird also die Lieferung bereits bei einem einzigen matschigen Apfel zurückweisen. Für den Lieferanten ist dieser Test wesentlich ungünstiger als der ursprünglich vorgesehene Test.
FIRMA REINLICH
7.
a)
P  A   P  X  4    binom pdf (8 / 0, 4 / 4)   23, 2%
P  B   P  X  4   1  P  X  3   1  binom cdf (8 / 0, 4 / 3)   40, 6%
- 31 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
b) HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0, 4
Gegenhypothese H1 : p  0, 4
n  200 /
 rechtsseitiger Test
p  0, 4 / k  ? /   0, 05 /
E  200  0, 4  80
RECHNUNG
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 05  GTR  k  92
A  0 / ..... / 91 und
A  92 / .... / 200
ERGEBNIS
Ab 92 Personen kann man auf einen Bekanntheitsgrad von über 40% schließen.
8.
SCHOKOLADENTAFELN
a) HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0, 05
Gegenhypothese H1 : p  0, 05
n  800 /
 rechtsseitiger Test
p  0, 05 / k  ? /   0, 01 /
E  800  0, 05  40
RECHNUNG
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 01  GTR  k  56
A  0 / ..... / 55 und
A  56 / .... / 800
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Werden unter 800 Tafeln mindestens 56 schlechte gefunden, so wird die Nullhypothese
verworfen und die Werbeaktion wird abgebrochen.
b) ALTERNATIVVORSCHLAG
erste Stichprobe
n  50 / p  0, 05
P  A   P  X  7   1  P  X  6   1, 2%

Abbruch der Aktion
P  B   P  5  X  6   P  X  6   P  X  4   9, 2%  zweite Stichprobe
zweite Stichprobe
n  100 / p  0, 05
P  C   P  X  5   1  P  X  5   38, 4%

P  D   P  X  5   61, 6%
 Fortsetzung
Aktion wird gestoppt
P  Abbruch   P  A   P  B   P  C   0, 012  0, 092  0,384  0, 047  4, 7%
ERGEBNIS
Die Wahrscheinlichkeit für einen Abbruch beträgt 4,7%.
- 32 -
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
9.
G
GLÜCKSRA
AD
a)
P  rot   1/ 2 P  gelb   1/ 6 P  blau   1/ 3
n3
P  mindestenns zweimal rot   P  X  2   1  P  X  1  50%
blau
rot
g
gelb
b) ER
RWARTUN
NGSWERT
T
E
Ereignisse
dreimal root dreimal blau dreiimal gelb
W
Werte
xi

P X  xi

4€
18 €
36 €
1
8
1
27
1
216
1
1
1
 36 €  1, 33 €
 4 €   188 € 
8
27
216
V
Verlust
 Geewinn  Einssatz  1, 33  2   0, 67 €
E( X ) 
c) NEUE
N
EINT
TEILUNG
P  gelb   x /
P  rott   3 x /
E
Ereignisse dreimal root
Werte x i
4€
P X  xi 
3 x 
3
P  blau   1  4 x
n3
dreimall blau dreeimal gelb
18 €
36 €
1  4 x 
3
x3
G
Gewinn
 4   3x   18   1  4 x   36  x3  2  Funkktion eingebben
3
3
G
Gewinn
solll minimal werden
w
 Tiefpunkt berechnen  xmin  0, 185
W
Winkel
 x  360
3   66 , 6
10.
a)
TU
ULPENZW
WIEBELN
P  rot   1/ 3 P  gelb   1/ 3 P  weiß   1/ 3
n  122
P  mindestenns zweimal gelb   P  X  2   1  P  X  1  94, 6%
- 33 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
b) FORMEL ERKLÄREN
P  eine Tulpe blüht   0,98
P  n Tulpen blühen   0,98 n  0, 75
n
mehr als 75%
ln 0, 75
 14, 24 Tulpen
ln 0,98
INTERPRETATION
Es dürfen höchstens 14 Tulpenzwiebeln gepflanzt werden, wenn mit 75% Wahrscheinlichkeit gewährleistet sein soll, dass alle Zwiebeln blühen werden.
11.
ZWEI URNEN
U1 enthält 12 blaue und l2 weiße Kugeln, U2 enthält 1 blaue und 5 weiße Kugeln.
1
1
 P  blau aus U1    P  blau aus U 2 
2
2
a)
1 12 1 1 1
1 9 1 4
P  Gewinn        33% oder P  Gewinn       43%
2 24 2 6 3
2 21 2 9
P  Gewinn  
b) Aus U1 werden n blaue Kugeln entfernt und in U2 gelegt. Für welchen Wert von n ist
die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn maximal?
U1
U2
12  n  blaue
1  n  blaue
/ 12 weiße /
/ 5 weiße /
1
1
 P  blau aus U1    P  blau aus U 2 
2
2
1 12  n 1 1  n
P  Gewinn   
 
 Funktion eingeben  nmax  5,8
2 24  n 2 6  n
P  Gewinn  
ERGEBNIS
12.
Es müssen 6 Kugeln entfernt werden.
AUTOHERSTELLER
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 300 Bauteilen mindestens 270 einwandfrei?
n  300 / 10% defekt 
RECHNUNG
p  90% einwandfrei / k  270 /   ?
P  X  270   1  P  X  269   54,8%
b) Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil mindestens sein,
damit von 150 Bauteilen mit mindestens 95%-iger Sicherheit höchstens 4 defekt sind?
- 34 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
n  150 / p  ? / höchstens 4 defekte  k  146 einwandfreie /   0,95
RECHNUNG
P  X  146   1  P  X  145   0,95  Tabelle mit Table  0, 001 
13.
p  98, 7%
FIRMA REINLICH
a) HYPOTHESENTEST (rechtsseitig)
Nullhypothese
H 0 : p  0, 4
Gegenhypothese H1 : p  0, 4
n  800 /
 rechtsseitiger Test
p  0, 4 / k  ? /   0, 05 /
E  800  0, 4  320
RECHNUNG
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 05  GTR  k  344
A  344 / .... / 200 , H 0 wird abgelehnt.
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Ab 344 Personen, die das Waschmittel kennen, kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% auf einen Bekanntheitsgrad von über 40% schließen.
b) HYPOTHESENTEST (linksseitig)
Nullhypothese
H 0 : p  0, 4
Gegenhypothese H1 : p  0, 4
n  800 /
 linksseitiger Test
p  0, 4 / k  290 /   ? /
E  800  0, 4  320
RECHNUNG
P  X  290   1, 6%
A  0 / .... / 290 , H 0 wird abgelehnt.
ERGEBNIS
Da die Irrtumswahrscheinlichkeit deutlich unter 5% liegt, gilt die Gegenhypothese
H1: p < 0,4. Die Nullhypothese mit H0: p ≥ 0,4 wird mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von 1,6% abgelehnt.
14.
a)
GLÜCKSRAD
P  Sektor 1  0, 6 P  Sektor 2   0, 2 P  Sektor 3   0, 2
P  3  X  8  P  X  7   P  X  3  77,8%
- 35 -
n  10
Grruber, Erfollg im ABI, Wahlteil
W
A
vonn Drehungenn ist die Waahrscheinlichkeit für 4 E
Einsen max
ximal?
b) Bei welcher Anzahl
P  Sektor 1  0, 6 / k  4 / n  ?
P  X  4  soll maximal werden
b
binom
pdf  X / 0, 6 / 4   Funkktion  Tabelle  nmax  6
15.
K
KUGELSCH
HREIBER
a) Ess werden 2550 Kugelschhreiber geteestet. Wie groß
g
dürfte die
d Prozentaangabe des Herstelleers höchstenns sein, wennn mit einerr Wahrscheeinlichkeit von
v höchsteens 2% meh
hr als 20
K
Kugelschreib
ber defekt seein dürfen?
n  250 /
pmax  ? / k  20 /   0, 02
0
R
RECHNUNG
NG
P  X  20   1  P  X  20   0, 022  GTR
R 
ER
RGEBNIS
pmaxx  0, 051
Die Heerstelleranggabe dürfte höchstens
h
p = 5,1% bettragen.
H
SENTEST (rrechtsseitig))
b) HYPOTHES
N
Nullhypothe
ese
H 0 : p  0, 088
 rechtsseitig
r
ger Test
G
Gegenhypot
these H1 : p  0, 088
n  200 /
p  0, 088 / k  ? /   0, 05
0 /
E  200  0, 0888  18
R
RECHNUNG
NG
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 055  GTR
R  k  25
A  25 / .... / 200 , H 0 wird abgellehnt.
ER
RGEBNIS
Findett man bei eiiner Stichprrobe von 2000 Stück 255 oder mehrr defekte
K
Kugelschreib
ber, so wirdd die Nullhhypothese verworfen
v
u die Geggenhypothesse angeund
noommen.
- 36 -
Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
16.
GLÜCKSRAD
P  Kreis   1/ 3 P  Kreuz   1/ 3 P  Stern   1/ 3
a)
n4
P  X  2   1  P  X  1  0, 4074
mit GTR  1  binom cdf  4 / 13 /1  0, 4074
P  X  3  1  P  X  2   0,1111
ERWARTUNGSWERT
Ereignisse mindestens zweimal Kreuz mindestens dreimal Stern sonst
Gewinne
1€
10 €
0€
P X 
0, 4074
0, 1111
E ( X )  0, 4074  1 €  0, 1111  10 €  1, 52 €
Verlust  Gewinn  Einsatz  1, 52  2   0, 48 €
ERGEBNIS
Ein Spieler muss mit einem Verlust von 48 Cent pro Spiel rechnen.
b) NEUE EINTEILUNG (schwer)
Der Sternbereich  2x  soll doppelt so groß wie der Kreuzbereich  x  sein.
Ereignisse mindestens zweimal Kreuz mindestens dreimal Stern sonst
Gewinne
1€
10 €
0€
P X 
P  X  2   1  P  X  1
P  X  3  1  P  X  2 
1  binom cdf (4 / x / 1 )
1  binom cdf (4 / 2 x / 2)
Formeleditor
Y1  1  binom cdf (4 / x / 1 )
eingeben
Y2  1  binom cdf (4 / 2x / 2) eingeben
Y3  Y1  1  Y2  10  2
eingeben / setze den Erwartungswert  0
Das Spiel soll fair sein  Nullstelle berechnen  x fair  0, 2011
Winkel  x  360  72, 4
ERGEBNIS: Der Mittelpunktswinkel muss etwa 72° betragen, damit das Spiel fair ist.
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Gruber, Erfolg im ABI, Wahlteil
17.
ÜBERRASCHUNGSEIER
a) FORMEL ERKLÄREN
2
18
 20   1   4 
P  X  2            0,137
 2  5 5
X  Anzahl der Filmfiguren
Anzahl der Überraschungseier n  20 / Treffer k  2 /
Die Wahrscheinlichkeit , für genau zwei Treffer beträgt 13, 7%.
p  1/ 5  0, 2
P  A   P  X  0   0, 011  binom pdf (20 / 0, 2 / 0)   1,1%
P  B   P  X  2   0, 206  binom cdf (20 / 0, 2 / 2)   20, 6%
b) P  X  1  0,999  1  binom cdf ( X / 0, 2 / 0)  n  31
ERGEBNIS
Ein Käufer muss mindestens 31 Überraschungseier kaufen, um mit
99,9% Sicherheit mindestens eine Filmfigur zu erhalten.
18.
DOPINGTESTS
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Stichprobe die Anzahl der positiv getesteten Sportler genau dem Erwartungswert entspricht.
Stichprobenumfang
n  150 /
p  0,12
 E  X   150  0,12  18
P  X  18   0,100  10%
ERGEBNIS
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% befinden sich unter 150
getesteten Sportlern genau 18 Dopingfälle.
b) GRUPPENSCREENING (schwer)
Fallunterscheidung
Fall 1 : Ergebnis negativ  keine weiteren Tests nötig
P  X n  1  0,88 n
 alle n Sportler ungedopt , d .h.

Xn 1
p  88% 
Fall 2 : Ergebnis positiv  zusätzlich n Einzeltests nötig 
Xn  n 1
 Dieser Fall tritt ein, wenn mindestens ein Sportler ist gedopt ist , 
 das sind alle anderen Fälle.



n
P  X n  n  1  1  P  X n  1  1  0,88
Dieser Zusammenhang wird in der folgenden Tabelle zusammenfassend dargestellt:
k
1
1 n
n
P  X  k  0,88 1  0,88 n
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