astro-STEOP Loesungen zum Thema Logarithmen
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astro-STEOP Lösungen zum Thema Logarithmen - LOG I + II Rechnen mit Logarithmen - Lösungen zu LOG I & II Die beiden Logarithmen-Beispiele lassen sich fast direkt durch Einsetzen in die Definitionen lösen, lediglich kleinere Umformungen sind je nach Fragestellung nötig. Zu beachten ist, dass wir mit dem Symbol log den dekadischen Logarithmus meinen, also den Logarithmus zur Basis 10, das heißt die Lösung x der Gleichung y = 10x . Der Vorteil dieses mathematischen Konzept liegt auf der Hand, wenn wir mit sprichwörtlich astronomischen Zahlen arbeiten. Astronominnen und Astronomen entwickeln schnell ein Gefühl für diese logaritmischen Maße und wissen, dass wenn ein Stern um 5 Magnituden heller als ein anderer ist, dieser in Wirklichkeit um den Faktor 102 höheren Strahlungsstrom aufweist. Beim hersschenden beobachtungstechnischen Spektrum von etwa 55mag und einem entsprechenden Faktor im Strahlungsstrom von 1022 , sind solche logarithmischen Maße offenbar deutlich handlicher. Beispiel LOG I: Scheinbare Helligkeiten In Aufgabe (1) ist eine Formel für das Verhältnis der Strahlungsströme gefragt, die wir aus der Definition der scheinbaren Helligkeiten s1 m1 − m2 = 2.5mag log s2 herleiten sollen. Dazu dividieren wir die Gleichung zunächst durch 2.5mag und erhalten eine Gleichung, wo rechts und links praktisch nur mehr Zahlen stehen1 . s1 m1 − m2 = log mag 2.5 s2 Im nächsten Schritt möchten wir den dekadischen Logarithmus auflösen und müssen die Gegenoperation, also 10 hoch durchführen. s m1 −m2 log s1 mag 2.5 2 10 = 10 s1 = s2 Ergebnis 1: Eine Formel für das Verhältnis der Strahlungsströme zweiter Objekte mit bekannten scheinbaren Helligkeiten lautet mag s1 = 10(m1 −m2 )/2.5 . (1) s2 In Aufgabe (2) ist die Grenzhelligkeit eines Teleskops gefragt, mit dessen Hilfe um den Faktor 1000 lichtschwächere Objekte beobachtet werden können als mit freiem Auge. Zur besseren Unterscheidung nennen wir m1 nun mTeleskop und mit m2 bezeichnen wir die Grenzhelligkeit des Auges mAuge in Magnituden und entsprechend benennen wir auch die Strahlungsströme um. mTeleskop − mAuge = 2.5mag log sTeleskop sAuge Laut Angabe ist das Teleskop und den Faktor 1000 stärker, das bedeutet das Verhältnis der beiden GrenzStrahlungsströme ist gerade sTeleskop /sAuge = 1000 und wir erhalten folgende Gleichung. mTeleskop − mAuge = 2.5mag log 1000 Wir addieren auf beiden Seiten mAuge und setzen die in der Angabe bezifferten 6.7mag ein und verwenden log 1000 = 3. mTeleskop = 2.5mag log 1000 + mAuge = 2.5mag · 3 + 6.7mag = 14.2mag (2) 1 Beim Umformen muss immer darauf geachtet werden, dass auch die Einheiten mitgerechnet werden. Da m und m ebenfalls 1 2 in Magnituden angegeben sind, steht auf der linken Seite eine Division durch die Einheiten mag / mag , was wir kürzen könnten. astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ 1 astro-STEOP Lösungen zum Thema Logarithmen - LOG I + II Ergebnis 2: Die Helligkeitsgrenze für ein Teleskop, das 1000-fach stärker ist als das menschliche Auge, beträgt 14.2mag . Objekte mit 14.2mag scheinbarer Helligkeit können also gerade noch beobachtet werden. Beispiel LOG II: Entfernungsmodul und Extinktion Bei diesem Beispiel sind die Entfernung eines Sterns einmal ohne und einmal mit Berücksichtigung von Lichtabschwächung (Extinktion) durch Interstellares Medium (ISM) zu bestimmen. Exktinktion beeinflusst die scheinbare Helligkeit eines Objekts merklich; wollen wir also mittels Entfernungsmodul auf dessen Entfernung schließen, muss die Abschwächung des Lichts im Allgemeinen berücksichtigt werden. In unserem Beispiel betrachten wir den Stern Merope aus dem offenen Sternhaufen der Plejaden. Er strahlt etwa 630 Mal heller als die Sonne und weist eine Oberflächentemperatur von 14000 Kelvin auf (Sonne ca. 5700 Kelvin). Merope ist 4.5 Mal so massereich wie die Sonne und hat etwa vierfachen Sonnenradius. In Abbildung 1, einem Hubble-Bild der Abbildung 1: Plejaden Plejaden ist Merope der helle Stern mittig rechts unten. Die nebelartigen Reflexionen stammen übrigens von einer Wolke des Interstellaren Mediums genau auf der Sichtlinie zwischen Erde und Plejaden. Nun zur Entfernungsbestimmung; der Entfernungsmodul ohne Extinktion lautet m − M = −5mag + 5mag log r und wir addieren −5mag auf beiden Seite und dividieren durch 5mag . m − M + 5mag = log r 5mag Die Umkehrfunktion des dekadischen Logarithmus ist wiederum 10 hoch und wir erhalten folgende Formel für die Entfernung r eines Objekts. m−M +5mag =r 10 5mag Mit den Werten m = 4.71mag und M = −1.07mag erhalten wir für die in Aufgabe (3) geforderte Entfernung2 r = 10 4.71+1.07+5 5 = 143.219 pc. Ergebnis 3: Die Entfernung des Sterns Merope in den Plejaden errechnet sich ohne Berücksichtigung der Extinktion zu r = 143.219 pc. Das sind ungefähr 467.036 Lichtjahre oder 4.420 · 1018 m. Aufgabe (4) mit Extinktion Λ führt ganz analog auf folgende Formel 10 m−M +5mag −Λ 5mag =r und damit auf folgende Zahlenwerte r = 10 4.71+1.07+5−0.57 5 = 110.154 pc. Ergebnis 4: Die Entfernung des Sterns Merope in den Plejade errechnet sich mit Berücksichtigung der Extinktion von 0.57mag zu r = 110.154 pc. Das sind ungefähr 359.212 Lichtjahre oder 3.399 · 1018 m. Etwas mehr als eine halbe Magnitude Extinktion bewirkt also in diesem Fall einen Fehler in der Entfernungsbetsimmung von fast 23%! 2 Ein Parsec ist definiert als die Entfernung eines Sterns, der eine jährliche Parallaxe von genau einer Bogensekunde zeigt. 1 Parsec = 3.26 Lichtjahre = 30.86 · 1015 m, Abkürzung pc. 2 astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ astro-STEOP Lösungen zum Thema Logarithmen - LOG I + II Hintergründe, Anwendungen, Zusatzinfos Zu Aufgabe 1: Die erste Teilaufgabe sollte lediglich eine kleine Fingerübung beim Rechnen mit Logarithmen sein und hat astronomisch gesehen eher wenig Relevanz. Beim Bau von Teleskopen und dazugehörigen CCD-Sensoren können aber entsprechende Fragestellungen auftauchen. Einerseits muss klar sein, wie schwache Strahlungsströme das Instrument gerade noch messen kann (Grenzhelligkeit) bzw. mit wie großen Strahlungsströmen der CCD-Chip noch umgehen kann, ohne - bildlich gesprochen - durchzubrennen. Bei der zweiten Teilaufgabe geht es vor allem darum, ein bisschen Gefühl für dieses logarithmische Maß der Magnitude zu erhalten. Das erwähnte Extremely Large Telescope mit einer geplanten Grenzhelligkeit von 36mag ist zum Vergleich ca. um den Faktor 5 · 1011 (500 Milliarden Mal) stärker als ein menschliches Auge3 . Zu Aufgabe 2: Der Entfernungsmodul ist eine ganz wesentliche astronomische Beziehung, die AstronomInnen sozusagen alltäglich brauchen. In der Praxis können ganz unterschiedliche Fragestellungen auftauchen. So wie im Beispiel können scheinbare und absolute Helligkeit eines Sterns bekannt und seine Entfernung gefragt sein. Für nahe Sterne wird der Entfernungsmodul aber gerade zur Bestimmung der absoluten Helligkeit herangezogen, nämlich dann, wenn die Entfernung des Sterns mit der Parallaxenmethode bestimmt wurde4 . Extinktion, also Lichtabschwächung beim Durchgang durch ein Medium (der Kosmos ist ja im Grunde ziemlich leer ) tritt wie bereits angedeutet dann auf, wenn auf dem Lichtweg Interstellares Medium (ISM), also Material zwischen den Sternen zu finden ist. Im Fall der Plejaden ist das gerade eine Staubwolke auf dem Lichtweg zwischen dem Sternhaufen und der Erde. Nachdem die Sterne der Plejaden nach astronomischen Verhältnissen mit einigen hundert Millionen Jahren sehr jung sind, war die erste Vermutung, dass es sich bei den nebeligen Erscheinungen um Material handelt, dass noch von der Sternentstehung übrig ist, was sich später aber als Irrtum herausstellte. In Abbildung 2 ist so ein Teil des Reflexionsnebels in der nähe von Merope zu sehen. Aber nicht nur ISM führt zu Extinktion, für erdgebundene Beobachtungen muss auch die Lichtabschwächung der Atmosphäre berücksichtigt werden. Ein Grund, warum die großen Teleskope auch in großer Höhe über dem Meeresspiegel gebaut werden, ist der Wunsch möglichst wenig Atmosphäre über dem optischen Instrument zu haben. Gerade für die Erdatmosphäre darf auch die im Aufgabenblatt kurz erwähnte Abbildung 2: Reflexionsnebel bei Merope Wellenlängenabhängigkeit der Exktinktion nicht vernachlässigt werden. Während der Himmel für kurze Radiowellen praktisch durchsichtig ist (Wellenlängen zwischen einigen cm und m), werden infrarotes und ultraviolettes Licht fast vollständig durch die Lufthülle der Erde verschluckt. Die Beobachtungen der Infrarotastronomie findet daher inzwischen zu einem großen Teil mit Hilfe von Satelliten statt. Quellen und Verweise Abbildung 1 - Plejaden Quelle: http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2004/20/image/a/, Lizenz: Public Domain, Credits: NASA, ESA and AURA/Caltech Abbildung 2 - Reflexionsnebel bei Merope Quelle: http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2000/36/image/a/, Lizenz: Public Domain, Credits: NASA and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA) 3 4 Dafür lösen wir die Gleichung 2.5mag log x + 6.7mag = 36mag nach x auf und erhalten x = 5.25 · 1011 . Siehe Aufgabenblatt GEOI & II. astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ 3
