ÈÓØ ÒÞ × ØÞ - TU Berlin - Institut für Mathematik

1 DEFINITION DER POTENZIERUNG
1
Potenzgesetze
1 Denition der Potenzierung
Wir denieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung
wie folgt:
n
a
:=
{z
a
a
|
a
:::
}
a
n mal
Diese Art der Denition ist nichts neues, man erinnere sich zum Beispiel an die
Denition der Multiplitaktion:
a
n
:=
a
|
+a+a +:::+a
{z
}
n mal
Im Prinzip kann man mit dieser Denition alles ausrechnen, es ist nur sehr mühsam.
Berechne auf diese Weise von Hand:
✎
33 =
52 =
5
163 =
2 =
2 Rechengesetze
Mit Hilfe der Denition 1 kann man diverse Rechengesetze ableiten, die zum einen
den Umgang mit Potenzen erleichtern können, zum anderen aber auch von mathematischem Interesse sind. So lassen sich aus ihnen die Rechengesetze der Logarithmen und Wurzeln ableiten. Hier zum Einstieg das erste Rechengesetz:
n
a
m
a
=
a
n+m
Zur Wesensart eines Mathematikers gehört, nicht nur irgendwelche Rechengesetze zu behaupten, sondern auch nachzuweisen, daÿ sie stimmen. Man nennt diesen
Nachweis dann den Beweis des Rechengesetzes. Zum Beweis darf man natürlich nur
die Denition 1 verwenden (Beweisstück A). Hier der Beweis:
n
a
m
a
=
a
|
{z
a
a
:::
} | {z
a
a
n mal
a
a
:::
}
a
m mal
Zähl man jetzt die Anzahl der a's durch, so stellt man fest, daÿ hier n + m a's hintereinander stehen, die alle miteinander multipliziert werden. Nach der Denition
n+m womit das erste Rechengesetz bewiesen wäre. Man
1 ist dies aber gerade = a
beachte, daÿ dieses Rechengesetz eine Gleichheit besagt, und somit sowohl von links
nach rechts, als auch von rechts nach links gelesen werden kann. Insbesondere gilt
also auch:
a
n+m = an
m
a
Berechne einerseits von Hand und andererseits mit dem Rechengesetz, vergleiche die Ergebnisse:
✎
5
72 74 =
5
3
4
29 22 =
42 43 =
=
Kommen wir zum zweiten Rechengesetz:
(a
b)
n = an
n
b
2 RECHENGESETZE
2
auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls:
a
n
n = (a
b
b)
n
Es folgt wieder der Beweis:
(a
n
b)
= (a
|
) {z ( b
:::
a
b)
}
n mal
Wir haben es also mit einem groÿen Produkt zu tun, das aus n Klammern der Form
a
b
besteht. Demzufolge taucht der Faktor a n mal auf - in jeder der Klammern
einmal - und der Faktor b ebenfalls n mal. Da wir nun die Klammern auösen dürfen
- dies ist das Assoziativgesetz der Multiplikation - und ferner die Reihenfolge der
a's
und b's vertauschen dürfen, erhält man durch nach-vorne tauschen der a's und
nach-hinten tauschen der b's folgenden Ausdruck:
=
a
|
{z } | {z }
a
a:::
a
b
b
n mal
b:::
b
n mal
was wir wieder mit der Denition umformen zu:
=
a
n
n
b
womit auch dieses Rechengesetz bewiesen wäre.
Natürlich gilt wieder die oben
formulierte Umkehrung durch Lesen der Gleichheit von rechts nach links.
Berechne einerseits von Hand und andererseits mit Hilfe des Rechengesetzes:
✎
5
(2 5)4 =
4
3
4
(3 2)4 =
72 32 =
=
Und noch ein drittes Rechengesetz folgt:
(a
m )n = amn
und der Beweis:
m n
(a )
= (a
|
{z })n = | {z } | {z } | {z }
a
a:::
a
a
m mal
|
a
a:::
aa
m mal
a
a:::
a
:::
m mal
{z
a
a
a:::
m mal
a
}
insgesamt n mal
Der Ausdruck besteht also aus n Klammern zu je m a's, also insgesamt aus m n a's.
Da man wieder wie oben die Klammern weglassen darf, ist dies also ein Produkt
aus n
m a's:
=
a
|
{z
a
a
:::
mn mal
}=
a
a
mn
womit auch dieses Rechengesetz bewiesen ist.
Berechne wieder einerseits von Hand und andererseits mit Hilfe des Rechengesetzes:
✎
(22 )5 =
(42 )3 =
(33 )2 =
31 0 =
3 NOCH MEHR RECHENREGELN
✎
3
Es folgen einige gemischte Aufgaben, zum Teil mit Fallen, also aufpas-
sen!
7
=
2
=
3
=
2
=
2
=
2
=
2
=
2
=
3
=
2
=
2
6
3
8
3
4
2
2
2
3
8
4
5
(2 4)
(2 + 4)
(4 + 4)
(4 + 4)
(5 5)
2
7
49
1
=
2 0
=
3
=
18
(diese Aufgabe KANN man mit den Potenzgesetzen rechnen)
3 Noch mehr Rechenregeln
In diesem Abschnitt wollen wir aus den bisher gewonnenen Potenzgesetzen einige
weitere ableiten, die die Division mit den Potenzen verknüpfen. Die Rechengesetze
können ohne das lästige Zählen von Faktoren einfach aus den bisher bekannten
Rechengesetzen abgeleitet werden.
a
m
n =
a
a
m n
und hier folgt wieder der Beweis, der diesmal ohne das Zählen von Faktoren auskommt. Stattdessen wird auf die obigen Rechengesetze zurückgegrien:
a
m = am+0 = am+(n n) =
a
(m
n)+n =
(m
a
n)
a
n
wobei wir verwendet haben, daÿ man durch Addition einer Null eine Zahl nicht
verändert und n
aus 2.
n
verwendet.
Null ergibt. Ferner wurde im letzten Schritt das Rechengesetz
Die auf diese Weise erhaltene Gleichung dividieren wir jetzt
n
n
daÿ a nicht gleich null wird. Da
auf beiden Seiten durch a , wobei man natürlich die Voraussetzung machen muÿ,
n ein
a
n-
faches Produkt der Zahl a ist und ein
Produkt nur dann gleich null werden kann, wenn einer ihrer Faktoren gleich null ist,
müÿte dazu also a gleich null sein. Wir müssen also, damit dieser Schritt zulässig
ist, a gleich null ausschlieÿen.
Für a ungleich null ist diese Division aber zulässig, und man erhält nach Division
durch a
n auf beiden Seiten:
m
a
n =
a
a
m n
wie oben behauptet.
Einige Aufgaben zu dem neuen Rechengesetz (es gilt auch wieder die Umkehrung):
✎
25 3 =
57 3 =
=
=
37
33
46
43
4 WIE MAN EINE ZAHL
5
MAL MIT SICH SELBST MULTIPLIZIERT
4
Entsprechend kann man auch das nächste Rechengesetz ableiten:
a n
b
n
a
=
n
b
und hier folgt der Beweis :
n
c
n
b
= (c
n
b)
(nach den Rechengesetzen oben)
Setzen wir jetzt für c = a=b ein, wobei natürlich wieder b nicht null sein darf, so
ergibt sich:
a n
da b=b = 1 und a
1
b
=
a.
n
b
=
a
b
n
b
=
a
n
n Teilt man jetzt beide Seiten durch b
b
n könnte
höchstens null werden, falls b = 0, was wir aber oben schon ausgeschlossen hatten
so ergibt sich genau:
a n
b
n
=
a
n
b
womit die Behauptung bewiesen wäre.
Hier wieder einige Aufgaben zum Nachrechnen:
✎
6 3
2
84
24
15 2
3
=
352
72
=
=
=
4 Wie man eine Zahl 5 mal mit sich selbst multipliziert
In diesem Kapitel werden wir den Begri der Potenz, der bisher nur für positive
Zahlen deniert ist, ausdehnen auf weitere Zahlen, so z.B. für die Null und für
die negativen Zahlen.
Ebenso können wir den Potenzbegri ausdehnen auf die
Bruchzahlen, mathematisch geht es auch noch für reelle Zahlen - das ist aber für
unsere Zwecke zu kompliziert.
Man sollte sich an dieser Stelle klarmachen, daÿ
diese Erweiterung wirklich explizit ausgeführt werden muÿ, die Denition 1 sagt
n die Zahl
schlieÿlich nur, daÿ man für a
a n
mal miteinander multiplizieren soll.
Das geht natürlich nur für natürliche Zahlen wie soll man denn eine Zahl
5
mal mit sich selbst multiplizieren? Aber zuerst wird es etwas weniger spektakulär,
zuerst behandeln wir die Null als Sonderfall:
Sei b eine Zahl, nicht gleich null (das benötigen wir, das erste Gesetz in diesem
Kapitel funktioniert sonst nicht), dann denieren wir:
b
0
:= 1
(nur für b ungleich null !)
Man beachte hier wieder, das ist eine Denition!
Man kann Denitionen nicht
beweisen, nur plausibel machen. Wir werden die Erweiterung auf die Null natürlich
so vornehmen wollen, daÿ die Rechengesetze von oben weiter gelten. Unter dieser
Voraussetzung gilt dann:
0
b
=
b
n n
n
=
b
n =1
b
wobei n eine beliebige natürliche Zahl sein darf.
Ferner haben wir b
n =
b
n ver-
wendet. Man beachte, daÿ dies kein Beweis ist unsere Rechenregel, die wir im
zweiten Schritt verwendet haben, gilt eigentlich nur für positive Zahlen. Wir haben
jedoch b
0
so deniert, daÿ diese Rechenregel jetzt weiter gelten soll. Für b = 0 funk-
tioniert der letzte Schritt nicht hier würde man 0=0 berechnen müssen das
4 WIE MAN EINE ZAHL
MAL MIT SICH SELBST MULTIPLIZIERT
5
5
geht aber nicht! Um einige mathematische Formeln leichter aufschreiben zu können,
0
wird teilweise das Symbol 0
als eins gelesen (dies ist eigentlich nicht richtig) in
anderen Formeln teilweise auch wieder als null. Dies ist reine Konventionssache eine korrekte Berechnung des Ausdruckes ist nicht möglich.
Jetzt wie versprochen die negativen Zahlen: Wir denieren (n sei eine positive
Zahl, also -n negativ, b nicht gleich null) :
n
b
1
:=
n
b
Hier wieder der Nachweis, daÿ diese Denition sinnvoll ist: Wir werden also wieder
die Rechenregeln von oben verwenden. Hier die Rechnung:
n
b
0
n
0
=
b
1
b
=
n =
b
n
b
Hier beachte man, daÿ dies auch wieder nur eine Plausibilitätsbetrachtung ist unsere Rechenregeln gelten eigentlich nur für natürliche Zahlen.
Jetzt folgt noch die Erweiterung auf gebrochene Exponenten wir verwenden
dazu die letzte Rechenregel aus Kapitel 1.
positiv:
1
bm
:=
p
m
m
ist wie gehabt natürliche Zahl, b
b
Hier wieder eine Plausibilitätsbetrachtung der oben erfolgten Denition wie gesagt ist dies kein Beweis!
Die obige Gleichheit kann deshalb nicht aus unseren
Rechenregeln abgeleitet werden, weil diese nur für natürliche Zahlen und nicht für
Bruchzahlen gelten wir werden aber sinnvollerweise fordern, daÿ unsere Rechengesetze weiterhin gültig bleiben auch beim Rechnen mit Bruchzahlen:
1
bm
D.h., wenn wir b
1=m
m
=
1
bm
m = b1 = b
mit m potenzieren, so ergibt sich wieder b. Dies ist aber genau
die Eigenschaft der Wurzel.
Zum Vergleich hier nochmals die Denition der Wurzelfunktion: Sei b eine positive Zahl, m eine natürliche Zahl. Dann heiÿt eine positive Zahl c genau dann m-te
m wieder
Wurzel aus b, wenn c
b
ergibt. Hier in mathematischer Schreibweise:
c
=
p
m
b
()
m=
c
b
Man beachte folgende mathematische Spitzndigkeit: Die Wurzeln und damit
1=m
auch b
sind nur deniert für positive Zahlen. Dies kommt folgendermaÿen
zustande: Ist b eine negative Zahl, so läÿt sich hieraus sowieso keine gerade Wurzel
m =
ziehen, denn wie man es auch anstellt eine Zahl c zu nden, so daÿ c
m nie die negative Zahl
kann doch c
b
b
ist, so
ergeben. Das liegt daran, daÿ eine negative
Zahl mit sich selbst multipliziert immer nur positive Zahlen ergibt; ebenso ergibt
sich beim Multiplizieren von positiven Zahlen mit sich wieder nur positive Zahlen
negative Zahlen lassen sich deshalb einfach durch Potenzieren mit einer geraden
Potenz nicht erzeugen.
Für ungerade Potenzen läÿt sich für negative Zahlen b
m =
durchaus eine Zahl c nden, so daÿ c
b
wird, aber um nicht zwischen geraden
und ungeraden Potenzen unterscheiden zu müssen, deniert man die Wurzel nur für
positive Zahlen, ebenso das Potenzieren mit gebrochenen Exponenten. Die meisten
Taschenrechner können zwar die dritte Wurzel aus negativen Zahlen ziehen, aber
mathematisch ist dies nicht erlaubt.
An dieser Stelle müÿte man noch nachweisen, daÿ bei der Erweiterung der Potenzen auf gebrochene Exponenten die übrigen oben formulierten Rechengesetze
weiterhin gültig bleiben. Diesen Nachweis wollen wir hier nicht erbringen, da man
5 DIE UMKEHRFUNKTIONEN: WURZEL UND LOGARITHMUS
6
daran nicht viel erkennen kann. Man beachte aber, daÿ wir alle neuen Denitionen
so getroen haben, daÿ sie im Einklang mit einer Erweiterung der bisherigen Rechengesetze stehen. Es ist also nicht verwunderlich, daÿ die Potenzgesetze auch für
gebrochene Exponenten gelten.
Wir haben bisher nur Rechenregeln für negative ganze Exponenten und Exponenten der Form
1
m,
m
natürliche Zahl, formuliert.
Es fehlt noch die Ableitung
weiterer Regeln für allgemeine Brüche. Dies kann man selbst erledigen:
Man beweise in gleicher Weise wie in Kapitel 2 die folgenden Aussagen:
Sei
p
q eine positive rationale Zahl, also ein Bruch gröÿer als null, dann gilt:
p
bq
=
pq p
b
Man geht für den Beweis wie folgt vor: Man schreibt zuerst p=q als p
(1
=q )
und verwendet dann die Potenzgesetze aus Kapitel 2.
Sei -p/q eine negative rationale Zahl, dann gilt:
b
p
p
1
q =
q p
b
Der Beweis dieser Aussage funktioniert wieder analog: man schreibt wieder
p=q
✎
als
p
(1
=q )
und verwendet die Potenzgesetze.
Man berechne mit Hilfe der Potenzgesetze und den oben abgeleiteten
Rechenregeln folgende Ausdrücke:
1
22
3
1
2
5
2
3
16 2
4
125 3
5
256 4
1
1
2
64
64 3
23
32
23
33
=
=
=
=
=
=
=
(auf zwei Weisen ausrechnen !)
=
=
5 Die Umkehrfunktionen: Wurzel und Logarithmus
Für alle bekannten Rechenoperationen existieren entsprechende Umkehroperationen, die die jeweilige Operation wieder rückgängig machen. Für die Addition ist
dies die Subtraktion, für die Multiplikation die Division.
Hier ein Beispiel für die Umkehroperationen:
5.1
Umkehrung der Addition
Zu der Zahl a wird eine unbekannte Zahl b addiert, man erhält auf diese Weise
eine weitere Zahl, nennen wir sie c. Wie können wir nun mit Hilfe der Kenntnis
der Zahlen b und c wieder a berechnen?
Hier noch einmal die mathematische
Formulierung des Problems, mitsamt der Lösung:
a
+b=
c
)
a
=
c
b
5 DIE UMKEHRFUNKTIONEN: WURZEL UND LOGARITHMUS
7
Durch Subtraktion der Zahl b von c erhält man also a zurück. Genauso kann man
auch aus c den anderen Summanden b rekonstruieren, wenn man zusätzlich a kennt.
Auch dies wird durch die Subtraktion erledigt:
b
=
c
a
Die Subtraktion erlaubt also, sowohl a als auch b zu erzeugen. Der Grund, warum
die Frage nach a und b beide auf gleiche Art durch die Subtraktion beantwortet
wird, ist der, daÿ die Addition kommutativ ist, d.h. die Reihenfolge der Addition
kann vertauscht werden a und b sind gleichberechtigt. Deshalb sieht die Antwort
auf die Frage nach a und b auch ähnlich aus.
5.2
Umkehrung der Multiplikation
Ganz analog verhält es sich mit der Multiplikation: Ihre Umkehrung ist die Division,
und sie ist wie die Addition kommutativ. Ist wie oben
a
=
b
c
so können wir a aus b und c rekonstruieren
a
=
b
=
und ganz analog b aus a und c:
c
b
c
a
auch hier beachte man, daÿ sich a und b ganz ähnlich rekonstruieren lassen, was
an der Kommutativität der Multiplikation, also der Gleichberechtigung von a und
b
liegt.
5.3
Umkehrung der Potenzierung
Bei der Potenzierung wird alles leider etwas komplizierter die Potenzierung ist
leider nicht mehr kommutativ in den beiden Zahlen a und b, d.h. im allgemeinen
gilt nicht, daÿ
b = ba
a
Man berechne, um dies nachzuprüfen, einmal folgende Ausdrücke:
✎
23 =
32 =
3
35 =
5 =
Wir brauchen also, wie nach diesen Betrachtungen nicht weiter verwunderlich,
nicht eine, sondern
zwei
Umkehrfunktionen der Potenzierung, und zwar eine Um-
kehrung, die
b
bei gegebenen Ergebnis c = a und bei Kenntnis von b die Zahl a rekonstruiert,
und eine weitere, die
b
bei gegebenen Ergebnis c = a und bei Kenntnis von a die Zahl b rekonstruiert.
Kommen wir erst einmal zu der ersten Umkehrfunktion: Die Zahlen a, b und c
seien gegeben wie oben, wir werden weiterhin noch a > 0 voraussetzen müssen, sonst
läÿt sich keine eindeutige Umkehrung angeben: Man beachte z.B., daÿ sowohl 3
als auch (
2
3)
2
die Zahl 9 ergeben und sich somit aus der Kenntnis des Ergebnisses
9 und des Exponenten 2 sich nicht sagen läÿt, ob diese 9 durch Quadrieren einer 3
oder einer
3 erzeugt wurde. Wissen wir aber im voraus, daÿ die Zahl
positiv war, so muÿ natürlich die Antwort dann 3 sein.
a,
die Basis,
6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN
8
Im folgenden stellen wir einfach mal eine Behauptung über die Umkehrung auf:
b =
a
c
()
1
cb
=
a
1=b
Wir beweisen dies, indem wir nachweisen, daÿ c
setzen dazu c
= ab einfach ein:
1
cb
b b
1
=
=
a
Die Behauptung stimmt also.
b 1b
=
a
b
ab
=
wirklich wieder a ergibt. Wir
a
1
=
a
Insbesondere für natürliche Zahlen b ist also die
b nach der Denition der Wurzel oben:
Umkehrung von a
b
a
=
() pb
c
=
c
a
Die Umkehrung der Potenzierung besser: eine Umkehrung ist für natürliche
Exponenten die Wurzel, im allgemeinen aber auch eine Potenzierung.
Kommen wir jetzt zur zweiten Umkehrung, die bei gegebenem Ergebnis c und
Kenntnis der Basis a den Exponenten b rekonstruiert. Diese Umkehrung bekommt
einen neuen Namen, nämlich Logarithmus. Er läÿt sich leider nicht mehr so schön
als Potenz schreiben wie die Wurzel, sondern bekommt ein eigenes Symbol. Wie
üblich müssen wir wieder a > 0 und somit c > 0 voraussetzen, sonst klappt das
alles nicht, siehe dazu das Beispiel oben. Hier die Denition:
b=
a
()
c
loga c =
b
Man liest den Ausdruck loga c als Logarithmus zur Basis a von c. Im allgemeinen
ist die Berechnung des Logarithmus nicht leicht sie erfolgt über Tabellenwerke
oder über einen Taschenrechner aber für einige Spezialfälle läÿt er sich angeben.
Man muÿ dazu natürlich die Potenzen einiger Zahlen im Kopf haben.
Hier noch
einmal die Wirkungsweise des Logarithmus:
loga c =
6
So ist also log2 64 = 6, denn 2
b
b ergibt c.
bedeutet: a
= 64.
Berechne folgende Logarithmen, damit man sich an die hierbei üblicherweise
auftretende Gehirnverknotung gewöhnt:
✎
log2 256 =
log10 1000 =
log5 25 =
log13 169 =
log6 216 =
log2 32 =
6 Rechenregeln für Logarithmen
Die bekannten Rechenregeln für die Potenzrechnung übertragen sich natürlich auf
den Logarithmus, für den man dann entsprechende Rechenregeln ableiten kann.
Zuerst aber einige ganz elementare Rechenregeln, die sich aus der Denition des
Logarithmus ergeben:
loga a
b =
b
Wieso gilt diese Rechenregel? loga rekonstruiert bei Anwendung auf eine Zahl den
Exponenten, zu dem a potenziert werden muÿ, damit b entsteht.
Nun muÿ aber
b entsteht. Somit gilt also log ab = b.
a
gerade a mit b potenziert werden, damit a
Man holt also mit Hilfe des Logarithmus den Exponenten b herunter.
Ebenfalls folgt aus der Denition des Logarithmus:
a
loga
b=
b
6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN
9
Der Beweis dieser Aussage ist etwas schwieriger: Wir nennen vorläug das Ergebnis
der Berechnung loga b = c. Von c wissen wir, aus der Denition des Logarithmus,
c =
daÿ a
b
ist. Nun potenzieren wir aber gerade a mit dieser Zahl c, was deshalb
gerade b ergibt.
Mit diesen elementaren Regeln lassen sich nun aus den Rechengesetzen aus 2.
die Rechenregeln des Logarithmus gewinnen:
loga (m
n)
= loga m + loga n
Zum Beweis dieser Beziehung verwenden wir die zweite der oben abgeleiteten Formeln:
m
=
n
loga m
a
a
n=
loga
a
loga
m+loga n
wobei wir im zweiten Schritt eines der Potenzgesetze verwendet haben.
Im weiteren Verlauf der Rechnung werden wir die erste der hier abgeleiteten
Formeln verwenden, indem wir auf beide Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden. Da die Zahlen rechts und links des Gleichheitszeichens identisch sind, sind
es dann ebenso die Logarithmen:
loga (m
n)
= loga a
loga
m+loga n = log m + log n
a
a
Hierbei wurde im letzten Schritt die benannte Formel verwendet.
Ganz analog leiten wir folgende Formel ab:
loga
m
n
= loga m
loga n
Wir beginnen wieder mit dem Ausdruck m=n und verwenden ie Potenzgesetze:
m
n
loga
a
=
loga
a
m
n =
a
loga m
loga
n
und wenden nun auf beide Seiten wieder den Logarithmus an:
loga
m
n
= loga a
loga m
loga
n = log m
a
loga n
womit auch diese Beziehung bewiesen wäre. Diese beiden Rechenregeln lassen schon
eine Wesenheit des Logarithmus erkennen: Die höheren Verknüpfungen
werden durch den Logarithmus zu + und
und
=
.
Man berechne auf diese Weise folgende Logarithmen:
✎
log2 64 + log2 32 =
log2 128
log3 27
log5 25 + log5 125 =
log3 9 =
log2 16 =
Jetzt verbraten wir noch das letzte Potenzgesetz:
loga b =
logc b
logc a
Zum Beweis beginnen wir mit den Formeln am Anfang des Kapitels:
b
=
loga
a
b
und
=
a
logc a
c
und jetzt setzen wir die rechte Formel für a in die linke Formel für b ein:
b
=
logc a loga
c
b
=
logc a loga b
c
wobei im zweiten Schritt das bisher noch nicht verwendete Potenzgesetz benutzt
wurde. Jetzt wird auf beide Seiten der Logarithmus zur Basis c angewendet:
logc
logc b = logc c
aloga b
= logc a loga b
6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN
10
teilt man jetzt auf beiden Seiten durch logc a, so ergibt sich schlieÿlich die oben
zitierte Formel:
logc b
logc a
= loga b
Diese Formel erlaubt es, den Logarithmus zu einer beliebigen Basis auszurechnen,
falls nur der Logarithmus zur Basis a bekannt ist. So bieten die meisten Taschenrechner nur den Logarithmus zur Basis 10 oder zur Basis e an.
(Die Zahl e ist
etwa 2; 718182:::). Für die speziellen Basen 10, e oder 2 gibt es noch eine spezielle
Notation:
log10 =: lg
loge =: ln
log2 =: lb
Mit Hilfe des letzten Rechengesetzes kann man jetzt auf dem Taschenrechner
den Logarithmus zu einer beliebigen Basis a berechnet werden:
loga b =
ln b
ln a
Auf diese Weise kann also auch z.B. der Logarithmus zur Basis 17 berechnet werden,
obwohl auf dem Taschenrechner dafür keine Taste vorgesehen ist.
Man berechne mit einem Taschenrechner folgende Logarithmen:
✎
log5 10 =
log7 70 =
log2 1000 =
log8 8192 =