Übungsblatt 4

PDGL MSE
SS14
Übungsblatt 4
Rechenaufgaben
Aufgabe 13 (Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren)
Man bestimme diejenigen α ∈ R\ {0} für welche das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines
linearen Systems mit der Matrix


α 0 1
A =  0 α 0 ,
1 0 α
konvergiert. Desweiteren ermittle man alle α ∈ R\ {0} für welche das Gauß-Seidel-Verfahren
zur Lösung eines linearen Systems mit der angegebenen Matrix konvergiert.
Aufgabe 14 (Lösungsaufwand)
Es sei Ω = (0, 1)d ⊂ Rd . Wir betrachten auf Ω das folgende Poissonproblem:
−∆u = f in Ω,
u |∂Ω = 0 .
Dabei gelte: u ∈ C 4 (Ω) und zunächst d = 2. Zur numerischen Lösung dieser Problemstellung, verwenden wir den Fünf-Punkte-Stern.
a) Um welchen Faktor muss man h verkleinern, wenn der Diskretisierungsfehler um
1
den Faktor 16
reduziert werden soll?
b) Um welchen Faktor erhöht sich der Aufwand zur Lösung des resultierenden Glei1
reduziert werden
chungssystems, wenn der Diskretisierungsfehler um den Faktor 16
soll bei Verwendung
(i) einer LU-Zerlegung, welche die Dünnbesetztheit der Diskretisierungsmatrix
nicht ausnutzt?
(ii) einer LU-Zerlegung, welche die Bandstruktur ausnutzt?
(iii) eines optimalen iterativen Lösers, der die erforderliche Genauigkeit mit einem
Aufwand linear zur Anzahl der Unbekannten liefert?
c) Wie ändern sich die Faktoren aus b), wenn nicht d = 2, sondern d = 3 gilt und man
zur Diskretisierung den analogen Sieben-Punkte-Stern verwendet?
Hinweis: Der Aufwand zur Lösung von Ax = b, A ∈ Rn×n mit der LU-Zerlegung beträgt
O (n3 ). Falls A eine Bandmatrix mit Bandbreite ω ist, so beträgt der Aufwand O (nω 2 ).
1
Besprechung: 03.06.2014
Quiz
Aufgabe 15 (Iterative Verfahren)
a) Es werden zwei verschiedene iterative Löser mit den Konvergenzraten ρ1 = 0.2 und
ρ2 = 0.05 betrachtet. Der Aufwand des zweiten Lösers ist pro Schritt doppelt so
teuer wie der des ersten Lösers. Welches Verfahren würden Sie verwenden?
1
b) Man möchte den Fehler um den Faktor 100
reduzieren. Wieviele Schritte müssen
hierzu durchgeführt werden, falls ein iterativer Löser mit der Konvergenzrate ρ = 0.2
verwendet wird?
c) Welcher Typ von Matrix führt beim Jacobi-Verfahren in einem Schritt unabhängig
vom Startwert auf die Lösung?
Modellierung
Aufgabe 16 (Fachwerk)
Es sei das folgende statisch bestimmte Fachwerk gegeben:
Zur Bestimmung der Stabkräfte kann das sog. Knotenpunktverfahren angewendet werden.
Dabei nützt man aus, dass an jedem Knoten die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein
müssen, d.h. die Summe aller Kräfte muss gleich Null sein. Bei Fachwerken wirken nur
Normalkräfte in Achsenrichtung der Stäbe.
Bei statisch bestimmten Systemen führt das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
auf ein lineares Gleichungssystem, das eindeutig lösbar ist.
a) Stellen Sie ein LGS der Form Ax = b zur Bestimmung der Stab- und Auflagerkräfte
auf. Die Knotenabstände betragen jeweils in horizontaler Richtung 2l, in vertikaler
Richtung l. Die Kraft F betrage 1 kN.
b) Lösen Sie das Gleichungssystem in Matlab.
c) Welche Bandbreite hat die von Ihnen aufgestelle Matrix? Ließe sich die Bandbreite
verbessern? Falls ja, wie?
d) Eignet sich das Jacobi-Verfahren oder das Gauß-Seidel-Verfahren? Begründen Sie!
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Besprechung: 03.06.2014
e) Zusatzaufgabe: Schreiben Sie ein Programm in Matlab, dass beliebige statisch bestimmte Fachwerke berechnen kann (Aufstellen und Lösen eines der Geometrie und
den angreifenden Kräften entsprechenden Gleichungssystems).
Hinweise: Führen Sie die Auflagerkräfte in x- und y- Richtung getrennt als Unbekannte
ein. Betrachten Sie die Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten jeweils in x- und yRichtung getrennt.
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Besprechung: 03.06.2014