Die schwebende Hohlkugel

Die schwebende Hohlkugel
Manfred Filtz
[email protected]
TU Berlin
24. Juni 2011
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
1 Problemstellung
Während es ohne regelungstechnische Maßnahmen nicht möglich ist, einen Körper in
einem magnetostatischen Feld stabil zum Schweben zu bringen, kann man dies dennoch mit Hilfe von Wirbelströmen erreichen (elektrodynamisches Schweben, EDS). In
der vorliegenden Problemstellung soll eine dünnwandige, leitende Hohlkugel mit der
Leitfähigkeit κ, dem Radius a sowie der Wandstärke d mittels elektrodynamischer Kräfte
angehoben werden.
z
d
P
r
κ, µ0
ϑ
̺
a
h
l
ϕ
w
b
i = 1...M
k = 1...N
Zu diesem Zweck wird im Abstand h unter der Hohlkugel konzentrisch eine Spule mit
M · N Windungen angeordnet, die von einem Wechselstrom I0 cos ωt der Kreisfrequenz
ω durchflossen wird. Die dicht bewickelte Spule habe die Länge l, den Innenradius b
und den Außenradius b + w. Zu bestimmen ist die abhebende Kraft auf die leitende
Hohlkugel.
Hinweise: Die Wandstärke der Hohlkugel
sei klein, sowohl im Vergleich zum Radius a
p
als auch zur Skineindringtiefe δS = 2/(ωκµ0 ). Demzufolge darf die induzierte Wirbelstromdichte als Flächenstromdichte aufgefaßt werden.
Außerdem sei die Frequenz des Stromes so gering, daß keine Verschiebungsströme zu
berücksichtigen sind.
2
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
2 Primäres Potential einer Kreiswindung
Es liegt ein rotationssymmetrisches, quasistationäres Randwertproblem vor. Das magnetische Vektorpotential erfüllt daher im stromfreien Gebiet die Laplace-Gleichung
∇2 A = 0. Außerdem wird vereinbart, daß von nun ab alle Feldgrößen Phasoren darstellen sollen, da es sich um einen zeitlich harmonischen Vorgang mit der Kreisfrequenz ω
handelt. Diese Phasoren werden aber nicht extra gekennzeichnet. Das reale zeitabhängige Feld erhält man aus dem Phasor durch Multiplikation mit dem Zeitfaktor exp(jωt)
und anschließender Realteilbildung.
Zunächst betrachten wir anstelle der kompletten Spulenwicklung lediglich eine einzelne
Windung am Ort ̺ = b, z = h, Abb. 1.
z
d
P
κ, µ0
r
ϑ
ϑ′
̺
a
ϕ
h
c
I0 cos ωt
b
Abbildung 1: Betrachtung einer einzelnen Windung anstelle der felderzeugenden Spule.
Der in ϕ-Richtung zirkulierende Strom erzeugt bekanntlich auch nur ein ϕ-gerichtetes
Vektorpotential, welches die Feldgleichung
∇2 (eϕ Aϕ ) = −ex ∇2 (Aϕ sin ϕ) + ey ∇2 (Aϕ cos ϕ) = 0
(1)
erfüllen muß. Wichtig dabei ist, die Ortsabhängigkeit des azimutalen Einheitsvektors
eϕ zu berücksichtigen, was hier durch die Zerlegung in seine kartesischen Komponenten
geschehen ist. Mit dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
1
∂
1
∂2
∂
1 ∂
2 ∂
2
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
∇ = 2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
3
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
und der zweifachen Ableitung der trigonometrischen Funktionen
d2 sin ϕ
= − sin ϕ ,
dϕ2
d2 cos ϕ
= − cos ϕ
dϕ2
wird aus (1)
1 ∂
1
∂Aϕ
1
∂
2 ∂Aϕ
r
+ 2
sin ϑ
− 2 2 Aϕ = 0 .
2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ
(2)
Wie üblich machen wir zur Lösung von (2) einen Produktansatz nach Bernoulli, d.h.
Aϕ (r, ϑ) = R(r) · Θ(ϑ) und erreichen dadurch die gewünschte Separation der Differentialgleichung in der Form
1 d
1
dΘ
1
d
2 dR
=0.
(3)
r
+
sin ϑ
−
R dr
dr
Θ sin ϑ dϑ
dϑ
sin2 ϑ
Diese Gleichung tauchte schon in der TET-Vorlesung bei der Separation der LaplaceGleichung in Kugelkoordinaten auf, wenn man dort m = 1 setzt.1 Folglich lautet die
Lösung von (3)
Aϕ (r, ϑ) =
∞
X
An rn + Bn r−n−1 P1n (cos ϑ) .
n=1
(4)
Die Funktionen P1n (u) nennt man zugeordnete Kugelfunktionen n-ter Ordnung und 1-ter
Zuordnung. Die zugeordneten Kugelfunktionen 2. Art wurden hier gleich weggelassen,
da sie an den Polen ϑ = 0 und ϑ = π singulär sind. Das Auftreten der zugeordneten
Kugelfunktionen Pn1 anstelle der Legendre-Polynome Pn hat seine Ursache in der oben
erwähnten Ortsabhängigkeit des Einheitsvektors eϕ . Im übrigen gilt
√
P01 (u) = 0 , P11 (u) = 1 − u2 .
Mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion ordnen wir nun der stromdurchflossenen Windung eine Flächenstromdichte auf der Kugeloberfläche r = c zu
Z π
1
′
JF ϕ (ϑ) c dϑ = I0 .
(5)
JF ϕ (ϑ) = I0 δ(ϑ − ϑ ) ,
c
0
Aus Abb. 1 ergeben sich dabei die geometrischen Zusammenhänge
c=
√
b2 + h 2
,
cos ϑ′ = −
h
c
,
sin ϑ′ =
b
.
c
(6)
Der Flächenstrom erfordert nun getrennte Potentialansätze für r ≤ c bzw. r ≥ c, wobei
wir dafür zu sorgen haben, daß das Vektorpotential weder im Ursprung r = 0 noch für
1
siehe auch Henke: Elektromagnetische Felder, Kapitel 6.2.5
4
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
r → ∞ unendlich wird. Ferner muß es beim Durchgang durch die Fläche r = c stetig
sein, und wir setzen daher an
 n
r


für r ≤ c
∞

X
c
(p)
1
Aϕ (r, ϑ) =
An Pn (cos ϑ) (7)

c n+1

n=1

für r ≥ c .
r
Die noch unbekannten Koeffizienten An ergeben sich aus dem unstetigen Verhalten der
Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke am Ort des Flächenstromes
(p)
Mit
(p)
Hϑ (c + 0, ϑ) − Hϑ (c − 0, ϑ) = JF ϕ .
Hϑ =
1
1 1 ∂(rAϕ )
(∇ × A)ϑ = −
µ0
µ0 r ∂r
(8)
(9)
ergibt sich dann nach Differenzieren von (7) und Einsetzen in (8)
∞
X
n=1
An (2n + 1) P1n (u) = µ0 I0 δ(ϑ − ϑ′ ) .
(10)
Zur Abkürzung wurde u = cos ϑ gesetzt. Zwecks Durchführung der nun erforderlichen
Orthogonalentwicklung werden beide Seiten von (10) mit der Funktion P1m (u) multipliziert und anschließend über den Orthogonalitätsbereich der Kugelfunktionen integriert,
d.h.
Z +1
Z +1
∞
X
1
1
An (2n + 1)
Pn (u)Pm (u) du = µ0 I0
δ(ϑ − ϑ′ ) P1m (u) du .
(11)
−1
−1
n=1
|
{z
}
2
(n + 1)! n
δ
2n + 1 (n − 1)! m
Das Integral auf der rechten Seite ergibt wegen du/ dϑ = − sin ϑ, der Ausblendeigenschaft der Diracschen Deltafunktion sowie (6)
Z +1
Z 0
′
1
δ(ϑ − ϑ ) Pm (u) du = −
δ(ϑ − ϑ′ ) P1m (cos ϑ) sin ϑ dϑ =
−1
π
b 1
P (−h/c) .
c m
Damit liegen die Konstanten An vor und das primäre Potential der betrachteten Kreiswindung lautet
 n
r


für r ≤ c
∞

c
µ0 I0 b X (n − 1)! 1
(p)
1
Aϕ (r, ϑ) =
P (−h/c) Pn (cos ϑ)  c n+1
2 c n=1 (n + 1)! n


für r ≥ c .
r
(12)
= sin ϑ′ P1m (cos ϑ′ ) =
5
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
3 Sekundäres Potential der induzierten Wirbelströme
Nun wird die leitende Hohlkugel dem zuvor ermittelten primären Feld ausgesetzt. Die
Folge sind induzierte, ϕ-gerichtete Wirbelströme, die ihrerseits ein sekundäres Feld hervorrufen, daß sich dem primären überlagert. Da aufgrund der Voraussetzungen die Wirbelströme als Flächenstrom auf der Kugeloberfläche r = a auftreten, kann ein Ansatz
für das sekundäre Vektorpotential gemacht werden, der prinzipiell dieselbe Struktur wie
(12) hat. Wir ersetzen lediglich in den radialen Termen den Radius cik durch a und
fügen unbekannte Koeffizienten Bn ein, welche die noch zu bestimmende Verteilung der
Wirbelströme festlegen
 n
r


für r ≤ a
∞

X
a
(n − 1)! 1
µ0 I 0 b
1
(s)
P (−h/c) Pn (cos ϑ) Bn
Aϕ (r, ϑ) =

2 c n=1
(n + 1)! n
a n+1


für r ≥ a .
r
(13)
Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke hat nun analog zu (8) für r = a
eine Unstetigkeitsstelle, d.h.
!
(s)
(s)
1 1 ∂(rAϕ ) ∂(rAϕ ) (s)
(s)
Hϑ (a + 0, ϑ) − Hϑ (a − 0, ϑ) =
−
=
µ0 a
∂r ∂r r=a−0
=
Jϕ(w) d
(w)
.
r=a+0
(14)
(w)
Jϕ ist die induzierte Wirbelstromdichte und Jϕ d die zugehörige Flächenstromdichte.
Diese ist uns aber zur Zeit noch nicht bekannt, so daß eine weitere Bestimmungsgleichung erforderlich wird. Wir erhalten sie durch Anwendung des Induktionsgesetzes von
Faraday in differentieller Form
1
(s)
(w)
.
(15)
∇ × E = ∇ × J(w) = −jωB → −jωκ A(p)
ϕ + Aϕ r=a = Jϕ
κ
Zusammen mit (14) wird daraus die Bedingung
(s)
(s)
∂(rAϕ ) ∂(rAϕ ) (s)
−
= −jλ A(p)
ϕ + Aϕ r=a
∂r ∂r r=a−0
(16)
r=a+0
mit dem Universalparameter
λ = ωκµ0 ad =
2ad
,
δS2
(17)
6
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
der in der angegebenen Form die Geometrie und Materialeigenschaften der Hohlkugel
vereint. Nach Einsetzen von (12) und (13) in (16)
∞
X
(n − 1)! 1
P (−h/c) P1n (cos ϑ) =
(n + 1)! n
∞ n
X
a
(n − 1)! 1
= −jλ
+ Bn
Pn (−h/c) P1n (cos ϑ)
n
c
(n + 1)!
n=1
(2n + 1)Bn
n=1
liefert ein Koeffizientenvergleich schließlich die gesuchten Konstanten
n
jλ
a
an
(2n + 1)Bn = −jλ n + Bn
.
→ Bn = − n
c
c (2n + 1) + jλ
(18)
(19)
Vom Standpunkt der Feldtheorie kann das Problem an dieser Stelle als gelöst betrachtet
werden. Das magnetische Feld kann als Rotation des Vektorpotentials in jedem Punkt
des Raumes berechnet werden. In diesem Feld steckt die gesamte Information, die wir
benötigen, um sogenannte integrale Größen, wie die Kraft auf die Kugel oder auch die
Impedanz der Spule zu berechnen.
4 Superposition
Mit (12), (13) und (19) liegt das Vektorpotential bei Anregung durch eine einzelne,
wechselstromdurchflossene Windung am Ort ̺ = b, z = −h vor. Das Vektorpotential
der gesamten Spule ist dann
Aϕ,ges =
M X
N
X
Aϕ,ik
,
b=bk
c=cik
i=1 k=1
mit
1
hi = h + i −
2
Aϕ,ik = Aϕ h=hi
l
M
,
1
bk = b + k −
2
w
N
,
q
cik = h2i + b2k .
(20)
Die magnetische Induktion folgt daraus durch Rotationsbildung, also
B=∇×A=
1 ∂(sin ϑAϕ )
1 ∂(rAϕ )
er −
eϑ .
r sin ϑ
∂ϑ
r ∂r
Mit
d dP1n (cos ϑ)
+ cos ϑ P1n (cos ϑ) =
sin ϑ P1n (cos ϑ) = sin ϑ
dϑ
dϑ
dP1n (u)
= − sin2 ϑ
+ cos ϑ P1n (cos ϑ)
du
7
(21)
Die schwebende Hohlkugel
(1 − u2 )
→
M. Filtz
dP1n (u)
= (n + 1)u P1n (u) − n P1n+1 (u) ,
du
u = cos ϑ ,
1 − u2 = sin2 ϑ
d sin ϑ P1n (cos ϑ) = n P1n+1 (cos ϑ) − cos ϑ P1n (cos ϑ)
dϑ
ergeben sich für den sekundären Anteil des Gesamtfeldes außerhalb der Hohlkugel, r > a,
die Ausdrücke
M
N
µ 0 I 0 1 X X bk
·
(22)
2 r sin ϑ i=1 k=1 cik
∞
a n+1 h
i
X
(n − 1)! 1
Pn (−hi /cik )
P1n+1 (cos ϑ) − cos ϑ P1n (cos ϑ)
·
Bn n
(n + 1)!
r
n=1
(s)
Br,ges
(r > a, ϑ) =
M
(s)
Bϑ,ges (r
N
µ 0 I 0 1 X X bk
> a, ϑ) =
·
2 r i=1 k=1 cik
∞
X
a n+1
(n − 1)! 1
Pn (−hi /cik )
P1n (cos ϑ) .
·
Bn n
(n + 1)!
r
n=1
(23)
5 Kraft auf die Hohlkugel
Die Kraft auf die Hohlkugel entspricht dem negativen Wert der Kraft auf die Spule im
sekundären Magnetfeld der induzierten Wirbelströme. Da durch die Spule ein Wechselstrom mit der Kreisfrequenz ω fließt, ergibt sich ein periodischer Zeitverlauf der Kraft.
Aus dem Ampèreschen Gesetz folgt zunächst für die Kraft auf eine einzelne Windung
am Ort ̺ = bl , z = hj
Kjl (t) = −2πbl I0 cos ωt eϕ × B(s)
ges (r = cjl , ϑ = ϑjl , t) .
(24)
Da uns jedoch nur der zeitliche Mittelwert interessiert,
n nehmen
o √ wir natürlich die Effek√
(s)
tivwerte des Stromes I0 / 2 und der Induktion Re Bges / 2, d.h.
Kjl (t) = −2πbl
n
o
1
I0 eϕ × Re B(s)
(r
=
c
,
ϑ
=
ϑ
)
.
jl
jl
ges
2
(25)
Nun summieren wir über alle Windungen und erhalten für die z-Komponente der Kraft2
durch skalare Multiplikation von (25) mit dem Einheitsvektor ez den Ausdruck
Kz = πI0
M X
N
X
j=1 l=1
2
o
n
(s)
(s)
bl Re sin ϑ Br,ges
+ cos ϑ Bϑ,ges r=cjl .
ϑ=ϑjl
eine andere Komponente gibt es aus Symmetriegründen nicht
8
(26)
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
Im letzten Schritt wurde von den Beziehungen
ez · (eϕ × er ) = −e̺ · er = − sin ϑ ,
ez · (eϕ × eϑ ) = −e̺ · eϑ = − cos ϑ
Gebrauch gemacht. Schließlich setzen wir noch die Feldkomponenten (22), (23) in (26)
ein und bilden den Realteil der komplexen Konstanten (19)
n o
λ2
an
jλ
an
,
(27)
=− n
Re Bn = − n Re
c
(2n + 1) + jλ
c (2n + 1)2 + λ2
so daß jetzt die gesuchte Kraft auf die Hohlkugel in ihrer endgültigen Fassung notiert
werden kann
M N
M N
π X X bl X X bk
Kz =
·
2 j=1 l=1 cjl i=1 k=1 cik
n n+1
∞
X
a
a
λ2
1
P1n (−hi /cik ) P1n+1 (−hj /cjl ) . (28)
·
2
2
n
+
1
(2n
+
1)
+
λ
c
c
ik
jl
n=1
−µ0 I02
Abbildung 2 zeigt die Kraft bezogen auf das Gewicht mg der Hohlkugel in Abhängigkeit
vom Mittelpunktsabstand zwischen Spule und Hohlkugel. Da die normierte Kraft auch
Werte größer als eins annimmt, existiert für das betrachtete Beispiel tatsächlich eine
stabile Schwebelage.
1.2
1
Kz
mg
stabile
Schwebelage
0
0
10
12
h + l/2
−→
cm
Abbildung 2: Abhebende Kraft auf eine Aluminiumhohlkugel. a = 50 mm, d = 1 mm,
b = 55 mm, l = 40 mm, w = 20 mm κ = 2.5 · 10−7 S/m, f = 1000 Hz,
M = 20, N = 10, I0 = 10 A.
9
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
6 Impedanz der Spule
Ohne den Einfluß der leitenden Hohlkugel läßt sich die Impedanz der Spule
Z0 = R0 + jωL0
aus dem Ohmschen Widerstand des Wickeldrahtes R0 und der Selbstinduktivität L0
ermitteln. Für L0 findet man in der Literatur3 die Näherungformel
L0 = 10−7 · N 2 · k · D
(29)
k = exp(−0.0707 x2 − 0.6601 x + 1.8841) ,
x = ln(l/D) ,
wobei N die Anzahl der Windungen, D der mittlere Spulendurchmesser und l die Länge
der Spule sein sollen. Die Formel wird jedoch mit abnehmender Spulenlänge immer
ungenauer.
Auch wenn die Hohlkugel unmagnetisch ist, so übt sie dennoch einen wesentlichen
Einfluß auf die Spulenimpedanz aus. Die Stromwärmeverluste infolge der induzierten
Wirbelströme vergrößern den Realteil der Impedanz und der abschirmende Effekt der
Hohlkugel führt zu einer Verringerung der Selbstinduktivität. Die durch die Hohlkugel
hervorgerufene Zusatzimpedanz ZK kann man aus dem sekundären magnetischen Fluß
berechnen, den die Wirbelströme durch jede einzelne Windung der Spule treiben, denn
es gilt
(s)
I0 ZK = I0 (RK + jωLK ) = jωψm
(30)
H
wobei der Fluß ψm = A · ds als Konturintegral des Vektorpotentials gegeben ist, also
im vorliegenden rotationssymmetrischen Fall als Summe über alle Windungen in der
Form
(s)
ψm
= 2π
M X
N
X
j=1 l=1
bl A(s)
ϕ,ges (̺ = bl − r0 , z = −hj )
(s)
(31)
geschrieben werden kann. Aϕ,ges ist das Vektorpotential der Wirbelströme, die von sämtlichen Windungen hervorgerufen werden. Wir müssen also in (13) b, h und c durch bk , hi
und cik , siehe Gl. (20), ersetzen und dann wieder über i und k summieren. Zu beachten
ist, daß das Vektorpotential in (31) jeweils auf der Oberfläche des Drahtes mit dem Radius r0 an der Stelle ̺ = bl − r0 ausgewertet wird und nicht etwa im Mittelpunkt. Dort
würde es unendlich werden, da wir ja mit einem Stromfaden im Leitermittelpunkt gerechnet haben. Streng genommen ist (31) also nur der Fluß, der die sogenannte äußere
Selbstinduktivität festlegt. Die innere Selbstinduktivität, die mit der im Draht gespeicherten magnetischen Energie korrespondiert, kann hier aber vernachlässigt werden.
3
z.B. Telefunken-Laborbuch (1970) Band 1, 9. Auflage: 93-101, Berlin: Brüder Hartmann
10
Die schwebende Hohlkugel
M. Filtz
Abbildung 3 macht deutlich, wie die Werte von RK und LK mit dem Abstand der
Hohlkugel zur Spule variieren. Der Realteil der Zusatzimpedanz übertrifft bei kleinem
Abstand deutlich den Ohmschen Widerstand R0 des Wickeldrahtes, der bei Kupfer und
einem Leiterradius von 1 mm etwa 0.5 Ω beträgt. die Zusatzinduktivität LK ist negativ,
so daß die Gesamtinduktivität L0 + LK durch den Einfluß der Hohlkugel abnimmt.
Zum Vergleich: für die Selbstinduktivität L0 der betrachteten Spule ohne den Einfluß
der Hohlkugel, also für h → ∞, ergibt sich ein Wert von etwa 5.6 mH. Wendet man
dagegen die Näherungformel (29) an, so liegt die Selbstinduktivität bei ca. 6.7 mH. Die
Abweichung wird von der geringen Spulenlänge, bei der (29) ungenau wird, verursacht.
5
4
RK
Ω
3
−LK
mH
2
1
0
0
10
12
h + l/2
−→
cm
Abbildung 3: Beitrag der leitenden Hohlkugel zum Ohmschen Widerstand und zur
Selbstinduktivität der Spule als Funktion des Mittelpunktsabstandes zwischen Spule und Hohlkugel. Abmessungen und sonstige Parameter wie in
Abb. 2.
11