Seminar zur Theorie der Atome, Kerne und kondensierten Materie

Seminar zur Theorie der Atome, Kerne
und kondensierten Materie
Quantenmechanische Pfadintegrale Anwendungen
WiSe 2013/2014
Datum:
von:
8. Februar 2014
Dennis Niemeier
[email protected]
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
1
2
Freies Teilchen
2
2.1
Methode ohne Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Methode mit Pfadintegral
3
3
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Harmonischer Oszillator
5
3.1
Vorbereitungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Lösung durch Fourierreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Weitere Anwendungen
9
4.1
Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Aharonov-Bohm-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
Abschlieÿende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
i
1
Einführung
Es wird in dieser Ausarbeitung vorausgesetzt, dass der grundlegende Begri des Pfadintegrals verstanden ist. Ich verweise an dieser Stelle auf die Ausarbeitung des vorigen
Vortrages von F. Salihi.
Die quantenmechanischen Pfadintegrale werden dazu benutzt, um die Übergangsamplitude zu berechnen. Diese ist gegeben durch
m N2 ˆ
hxf | U (t) | xi i = lim
N →∞ 2πi~
ˆ
i
≡ A Dx e ~ S[x]
dx1 ...dxN −1
e
i
~
N
P
n=1
m
2
n −xn−1
x
U (t)
−V
x
n +xn−1
2
(1)
(2)
t
, V (x) das Potential,
N
1
und xf der Endpunkt (nal), analog die Zeiten ti und tf .
Dabei ist dxi
2
= dx(ti ), S[x] die Wirkung, =
xi
der Start- (initial)
ist der Zeitentwicklungsoperator, in seiner expliziten Form gegeben durch
i
U (tf ,ti ) = e− ~ H·(tf −ti )
(3)
Dies gilt für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren. Der Zeitentwicklungsoperator überführt einen Zustand vom Zeitpunkt
ti
Es wird später die Funktionableitung
zum Zeitpunkt
2
δF
benötigt. Allgemein ist diese deniert durch:
δx(s)
ˆ
δF [x] =
Dabei ist
tf .
ds
δF
δx(s)
δx(s)
(4)
δF [x] die Variation des Funktionals F [x]. Es gibt weitere Möglichkeiten der De-
nition, dies soll hier aber nicht vertieft werden (siehe dazu u.a. [2], S. 324, oder allgemein
Gâteaux-Ableitung).
Für ein Funktional der Form
ˆ
L[x] =
dt
kann man auch eine Regel für die Funktion
F (x(t))
F (x(t))
ableiten
3
:
δF
F (x(t) + · δ(t − s)) − F (x(t))
= lim
δx(s) →0
1 Notation
und Denition angelehnt an [1], S. 27
auch [2], S. 319
3 Aus [1], S. 5
2 Siehe
1
(5)
δx(t)
= δ(t − t0 ) ist. Mit dieser Informaδx(t0 )
tion und der Tatsache, dass die Funktionalableitung mit der normalen Ableitung (dt)
Mit dieser Regel folgt sofort (für
F (x) = x),
dass
vertauscht, lässt sich wesentlich leichter rechnen. Für die Wirkung
4
S[x]
kennen wir die
Variation schon , sodass sich durch Vergleich sofort die Ableitung ergibt:
ˆtf
δS =
d
∂L
∂L
δS
d
∂L
∂L
ds
−
+
δx(s) ⇒
= −
+
dt
∂ ẋ
∂x
δx(s)
dt
∂ ẋ
∂x
(6)
ti
2
Freies Teilchen
Das freie Teilchen ist der einfachste Fall, weil es kein Potential gibt. Der Hamiltonoperator
1
P 2.
H ist damit H = 2m
Man kann die Übergangsamplitude des freien Teilchens auf zwei Arten berechnen. Die
übliche Methode ist die hier zuerst vorgestellte. Die zweite greift auf das Pfadintegral
zurück, wodurch einige Erkenntnisse gewonnen werden können.
2.1 Methode ohne Pfadintegral
Gesucht ist
D
mit
t = tf − ti .
i E
xf e ~ H·t xi
(7)
Dabei sind die Zustände Eigenzustände des Ortsoperators. Mithilfe der
Eigenzustände des Impulsoperators und der Beziehung
´
dp
|pi hp| = 1
kann man nun
leicht die Übergangsamplitude berechnen. Zumindest, wenn man sich das Ergebnis von
hx|pi
in Erinnerung ruft: Nimmt man eine Fouriertransformation der Funktion
f (x),
d.h.
man wechselt zwischen Orts- und Impulsdarstellung, vor, so ergibt sich:
ˆ
f (x) = hx|f i =
=√
Man sieht durch Vergleich sofort, dass
Man erhält durch Einfügen einer
4 Falls
5 siehe
dp
1
2π~
hx|pi =
hx|pi hp|f i
ˆ
i
dp
e ~ px f (p)
i
√ 1 e ~ px .
2π~
1 leicht die Übergangsamplitude5 :
nicht, siehe [2],S.323
auch [2], S.319f.
2
(8)
(9)
D i E
K ≡ xf e ~ H·t xi
ˆ
i p2
= dp hxf |pi e− ~ 2m t hp|xi i
ˆ
it
dp
2 2m
=
e− 2m~ (p − t p(xf −xi ))
2π~
ˆ
m
im
it
dp
2
(xf −xi )2
2t~
=e
e− 2m~ (p− t (xf −xi ))
2π~
r
im
m
2
=
e 2t~ (xf −xi )
2πi~t
Dabei wurde das Gauÿ-Integral benutzt, welches für alle
6
α∈C
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
mit Re(α)
≥0
folgenden
Wert hat :
ˆ∞
dx
−αx2
e
r
=
π
α
(15)
−∞
Man sieht: Die Amplitude des freien Teilchens erhält man nach sehr elementarer Rechnung
explizit. Dies ist eine absolute Ausnahme. Bei den meisten anderen Problemen ist die
Rechnung schwieriger oder aber nicht durchführbar.
2.2 Methode mit Pfadintegral
Es mag zunächst unsinnig erscheinen, die Übergangsamplitude erneut zu berechnen. Allerdings ist das Thema dieser Ausarbeitung das Pfadintegral und das freie Teilchen bietet
eine gute Möglichkeit, um sich für spätere Rechnungen aufzuwärmen.
Aus Gleichung 1 wissen wir, dass die Übergangsamplitude auch mithilfe des Pfadintegrals
berechnet werden kann.
Zunächst führen wir aber eine Umbenennung der Integrationvariabeln vor:
Mit
V (x) = 0 ∀x
yn =
m
2~
21
xn .
wird nun Gleichung 1 zu:
N
m N2 ˆ
im P
(xn −xn−1 )2
2~
n=1
dx1 ...dxN −1
e
K = lim
N →∞ 2πi~
N
P
m N2 2~ N2−1 ˆ
i
(yn −yn−1 )2
n=1
= lim
dy1 ...dyN −1
e
N →∞ 2πi~
m
(16)
(17)
Dieses Integral besteht im Wesentlichen aus sehr sehr vielen Gauÿ-Integralen. Zur Lösung
dieses
N)
∞-dimensionalen Integrals kann man versuchen, eine direkte Formel (abhängig von
7
N = 2 und N = 3 und erraten die
zu erstellen . Wir berechnen also das Integral für
Formel. Streng genommen müsste diese natürlich noch bewiesen werden, was hier aber
nicht getan wird. Also:
6 siehe
auch [2], S. 320
siehe [1], S. 37 f.
7 Rechnung
3
N =2
ˆ
ˆ
dy1
i[(y1 −y0 )2 +(y2 −y1 )2 ]
e
=
dy1
r
=
ei[2(y1 −
y0 +y2
2
2
)
+ 12 (y2 −y0 )2 ]
iπ i (y2 −y0 )2
e2
2
(18)
(19)
N =3
ˆ
dy1 dy2
e
i[(y1 −y0
)2 +(y
2 −y1
)2 +(y
3 −y2
)2
ˆ
1
iπ
2
2
dy2
ei[ 2 (y2 −y0 ) +(y3 −y2 ) ]
2
r ˆ
i
h
2
y +2y
3i
iπ
y − 0 3 3 ) + 3i (y3 −y0 )2
=
dy2
e 2( 2
2
r r
iπ 2iπ i (y3 −y0 )2
=
e3
2
3
r
(iπ)2 i (y3 −y0 )2
e3
=
3
]=
r
(20)
(21)
(22)
(23)
Daraus lässt sich ableiten:
ˆ
dy1 ...dyN −1
i
e
N
P
(yn −yn−1 )2
n=1
r
=
(iπ)N −1 i (yN −y0 )2
eN
N
(24)
In Gleichung 17 eingesetzt und rücksubstituiert, ergibt sich:
m N2 2πi~ N2 r m
im
2
e 2~N (xN −x0 )
K = lim
N →∞ 2πi~
m
2πi~N
r
im
m
2
=
e 2t~ (xf −xi )
2πi~t
(25)
(26)
Um den letzten Schritt nachvollziehen zu können, ist notwendig zu wissen, dass xN = xf
x0 = xi sowie = Nt . N und heben sich dann auf und der Grenzwert verschwindet.
Dieses Ergebnis ist das gleiche wie im vorigen Abschnitt. Das Pfadintegral liefert also
und
(glücklicherweise) das gleiche Ergebnis.
δS[x]
= 0,
δx(t)
bzw. mẍ = 0 gegeben. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit konstant ist, also xf =
x −x
v(tf − ti ) + xi . Damit erhält man v = tff −tii . Eingesetzt in die klassische Wirkung erhält
man:
Nun betrachten wir noch einmal die Wirkung
ˆtf
S[xcl ] =
dt
S[x]. Klassisch ist die Bahn durch
1 2 m
mv = (xf − xi )2
2
2t
ti
4
(27)
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Exponenten der
F
e-Funktion
in
F,
so lässt sich
auch schreiben als:
r
K=
m i S[xcl ]
e~
2πi~t
(28)
Dies ist ein Charakteristikum von exakt lösbaren Systemen in der Quantenmechanik, die
i
S[xcl ]
schreiben, wobei A eine Konstante
Übergangsamplitude lässt sich in der Form Ae ~
ist.
3
8
Harmonischer Oszillator
Der harmonische Oszillator ist bekanntermaÿen von groÿer Wichtigkeit in der Physik, da
er gut berechenbar ist und gern als Näherung verwendet wird. Auch das Pfadintegral des
harmonischen Oszillators ist berechenbar.
3.1 Vorbereitungen
Zunächst benötigen wir aber die Wirkung
S[x].
´
L = 12 mẋ2 − 12 mω 2 x2 über dt L. Die
2
klassische Lösung ist bekanntermaÿen durch mẍcl + mω xcl = 0 gegeben. Wir entwickeln
um den Weg, den das Teilchen klassisch durchlaufen würde, setzen also x(t) = xcl (t)+η(t).
Jetzt nutzen wir die Taylorentwicklung um den Punkt xcl (t):
Diese ist gegeben durch die Lagrange-Funktion
ˆ
S[x(t)] = S[xcl ] +
ˆ
δS[x] 1
dt η(t)
+
δx(t) x=xcl 2!
δ 2 S[x] dt1 dt2 η(t1 )η(t2 )
δx(t1 )δx(t2 ) x=xcl
(29)
Diese Art der Taylorentwicklung mag zunächst ungewohnt erscheinen, interpretiert man
allerdings
δS
η(t)
mit
δx(t),
so sieht man sofort, dass der zweite Term gleich der Variation
ist. Der zweite Term ergibt sich dann analog.
Terme ab der dritten Ordnung verschwinden für den harmonischen
Oszillator.
δS[x] = 0 ist. Es bleibt
Nun wissen wir, dass der zweite Term 0 ergeben muss, da
δx(t) x=xcl
also noch die zweifache funktionale Ableitung zu bestimmen. Die erste Ableitung ist nach
Gleichung 6 bekannt, diese muss nun nach den Rechenregeln erneut abgeleitet werden:
δ
δS
δ =−
mẍ(t1 ) + mω 2 x(t1 )
δx(t2 ) δx(t1 )
δx(t2 )
2
d δx(t1 )
δx(t1 )
= −m 2
− mω 2
dt1 δx(t2 )
δx(t2 )
2
d
= −m
+ ω 2 δ(t1 − t2 )
2
dt1
(30)
(31)
(32)
Dies kann nun in die Taylorentwicklung eingesetzt werden, sodass sich für die Wirkung
ergibt:
8 siehe
dazu auch [1], S. 40
5
m
S[x] = S[xcl ] −
2
ˆtf
ˆtf
dt1
ti
= S[xcl ] +
m
2
(η(t1 )η(t2 )δ 00 (t1 − t2 ) + ω 2 η(t1 )η(t2 )δ(t1 − t2 ))
dt2
(33)
ti
ˆtf
dt
(η̇ 2 − ω 2 η 2 )
(34)
ti
= S[xcl ] + S[η]
(35)
Im zweiten Schritt wurde eine dreifache partielle Integration durchgeführt, zweimal, um
00
das δ (t1 − t2 ) zu eleminieren und dann schlieÿlich ein drittes Mal, damit man diese Form
bekommt. Dabei muss ausgenutzt werden, dass die Variation
gleich
0
η
an den Stellen
ti
und
tf
ist (wie bei normaler Variationsrechnung auch). Nun können wir für die Über-
gangsamplitude
U
schreiben:
K = Ae
i
S[xcl ]
~
ˆ
i
Dη e ~ S[η]
(36)
Dieser Ausdruck wird nun auf verschiedene Art und Weise bestimmt werden, hier wird
die Methode der Fourierreihenentwicklung genutzt.
3.2 Lösung durch Fourierreihenentwicklung
9
S[η], sodass die Integration von 0
η(0) = η(T ) = 0, woraus wir schnell
Wir verschieben zunächst die Integrationsgrenzen von
bis
T = tf − ti
durchgeführt wird. Es gilt weiterhin
10
mit dem Ansatz einer Fourierreihe
folgern können:
η(t) =
∞
X
an sin
n=0
∞
X
nπ
an
cos
η̇(t) =
T
n=0
nπt
T
nπt
T
(37)
(38)
Dies setzen wir nun in Gleichung 34 ein und bestimmen die Integrale. Es ergibt sich:
9 Der
10 D.h.
gesamte Abschnitt lehnt sich stark an [1], S. 47 an
f (t) =
a0
2
+
∞
P
(ak cos(kωt) + bk sin(kωt))
k=1
6
ˆT
dt
2
η̇(t) =
0
=
ˆT
dt
2
η(t) =
0
=
T
X ˆ
n,m∈N 0
∞ X
T
2
n=0
dt
a n am
nπ mπ T
T
nπt
T
cos
an
cos
dt
mπt
T
(39)
(40)
an am sin
n,m∈N 0
∞
X
nπt
T
sin
mπt
T
(41)
a2n
(42)
n=1
Jetzt ist oensichtlich, dass ein Integral über alle Störungen
Koezienten
nπ 2 2
an
T
T
X ˆ
T
2
η
einem Integral über alle
entspricht. Man erhält also:
0
K = lim A e
i
S[xcl ]
~
ˆ
da1 ...daN −1 e
N →∞
imT
4~
NP
−1
n=1
( nπ
T )
2
−ω 2 a2n
(43)
Durch die Transformation von η zu an sind Faktoren entstanden, die im Wechsel von A
0
zu A berücksichtigt wurden. Bei diesem Integral handelt es sich um entkoppelte GauÿIntegrale, welche trivial gelöst werden, man erhält:
K = lim A00
N →∞
00
=A
N
−1
Y
1−
n=1
sin(ωT )
ωT
− 12
ωT
nπ
2 !− 21
i
e ~ S[xcl ]
(44)
i
e ~ S[xcl ]
(45)
Im letzten Schritt wurde eine nicht besonders bekannte Formel, nämlich
NQ
−1 2 )
11
= sin(ωT
, benutzt . Es verbleibt jetzt nur noch die Bestimmung
lim
1 − ωT
nπ
ωT
N →∞ n=1
00
der Amplitude A (die hier erneut einige Konstanten absorbiert hat, deshalb ein weiterer
Strich). Diese erhält man, indem man das Ergebnis an dieser Stelle mit dem des freien
Teilchens vergleicht, in welches der Oszillator für ω → 0 übergeht. Für den Ausdruck
sin(ωT )
00
ist der Grenzwert für ω → 0 bekannt (nämlich 1). Das heiÿt, dass A gleich dem
ωT
Vorfaktor des freien Teilchens sein muss (siehe weiter oben). Das heiÿt:
00
r
A =
Vernachlässigt wurde an dieser Stelle, dass
m
2πi~T
A00
(46)
nur im Grenzwert (
→ 0, N → ∞) diesen
Wert annimmt. Damit erhalten wir für die Übergangsamplitude:
r
K=
i
mω
e ~ S[xcl ]
2πi~ sin(ωT )
(47)
12
Was nun noch fehlt, ist die Bestimmung der klassischen Wirkung
11 siehe
dazu bspw. [3]
siehe [2], S. 327
12 Berechnung
7
. Der klassische Weg
ist bekanntermaÿen gegeben durch
dem Zielort
x(t) =
xf
x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt). Mit dem Startort xi
und
ergibt sich vollständig gelöst folgende Gleichung:
1
[(xf cos(ωti ) − xi cos(ωtf )) sin(ωt) + (xi sin(ωtf ) − xf sin(ωti )) cos(ωt)]
sin(ωT )
(48)
Daraus kann man schnell die Wirkung berechnen zu
S[xcl ] =
13
:
mω
[(x2f + x2i ) cos(ωT ) − 2xi xf ]
2 sin(ωT )
(49)
Damit ergibt sich insgesamt:
r
K=
mω
i
2
2
mω
e ~ 2 sin(ωT ) [(xf +xi ) cos(ωT )−2xi xf ]
2πi~ sin(ωT )
(50)
Was lässt sich nun mit dieser Formel, der sog. Mehlerformel, anfangen? Man kann aus ihr
Eigenwerte und -zustände des harmonischen Oszillators gewinnen. Wie fast immer in der
Quantenmechanik, ist es auch hier schwieriger, die Eigenzustände zu bestimmen. Deshalb
werden auch hier nur die Energieeigenwerte bestimmt.
Ein möglicher Weg dazu ndet sich in [2], ich verwende hier die Anleitung des 'Problem
14
8-1' aus [4]
.
|f i und |gi Zustände der Form h(x,y) =
h(x,a) und g(x) = h(x,b). Wir betrachten:
Seien
ˆ
hg | U (T ) | f i =
ˆ
=
mω
π~
41
2
e−(mω/2~)(x−y)
. Dabei ist
f (x) =
ˆ
dxf
dxf
ˆ
dxi
hg | xf i hxf | U (T ) | xi i hf | xi i
(51)
dxi
g ∗ (xf )Kf (xi )
(52)
Dieses Integral ist prinzipiell gauÿförmig (und damit einfach zu lösen). Es bereitet dennoch
gröÿere Probleme, dieses zu lösen, da die Terme länger sind. Die detaillierte Rechnung
spare ich aus (das wären auch ca. 1-2 Seiten zusätzlich), das Ergebnis ist:
iωT
mω
2
2
−iωT
)
hg | U (T ) | f i = e− 2 e− 4~ (a +b −2abe
∞
X
1 mω n n n −iω(n+ 1 )T − mω (a2 +b2 )
2
=
a b e
e 4~
n!
2~
n=0
Im letzten Schritt wurde eine der
e-Funktionen
(53)
(54)
als Reihe aufgeschrieben.
Dieses Ergebnis nützt zunächst nichts. Wenn wir aber die Amplitude von oben auch nach
den Eigenzuständen
|ni
des Oszillators entwickeln, ergibt sich:
13 siehe
auch [2], S. 327
sei erwähnt, dass sich eine vollständigere Herleitung unmittelbar vor dieser Aufgabe im Buch [4]
ndet. Die Eigenzustände erhält man in dieser Ausarbeitung nämlich nur, wenn deren ungefähre Form
schon bekannt ist oder erraten wird.
14 Es
8
hg | U (T ) | f i =
≡
∞
X
i E
hg|n1 i n1 e− ~ HT n2 hn2 |f i
D
(55)
n1 =0, n2 =0
∞
X
i
fn∗ (b)e− ~ En T fn (a)
n=0
(56)
hg|ni = gn∗ ≡ fn∗ (b)
und hn|f i ≡ fn (a). Dabei handelt es sich um die Koezienten für |f i und |gi bei der
Entwicklung nach den |ni. Vergleicht man die beiden Formeln, so erhält man sowohl die fn
1
als auch die Energiewerte En . Es ergibt sich für letztere wie gewohnt: En = ~ω(n+ ). Um
P2
die Eigenzustände zu erhalten, nutzt man die Koezienten fn , setzt diese in |f i =
fn |ni
Im letzten Schritt wurden einige Denitionen vorgenommen, nämlich
n
(oder in die Ausgangsgleichung dieser Lösung ein), um dann die Hermite-Polynome zu
erhalten.
4
Weitere Anwendungen
Nach den zwei einfachen Beispielen soll nun nur noch ein Überblick gegeben werden, was
man noch alles mit Pfadintegralen anstellen kann und welche Vorteile diese überhaupt
haben. Doch zunächst werden noch zwei weitere Beispiele kurz präsentiert:
4.1 Einfachspalt
Der Einfachspalt lässt sich quantenmechanisch gut durch Pfadintegrale behandeln
15
. Ge-
2b an der Stelle x0 positioniert.
klarerweise gilt, dass |y| ≤ b ist. Nun
geben ist also folgende Situation. Es sei ein Spalt der Breite
Der Abstand von
x0
x0 + y ,
zur Zeit
y bezeichnet, wobei
x = 0 zur Zeit t = 0 und
sei mit
starte das Teilchen am Ort
t = T.
Nach dem Passieren des Spaltes interessiert jetzt die Wahrschein-
lichkeit, mit der das Teilchen zur Zeit
x + x0
es erreiche den Spalt, d.h. die Stelle
T +τ
die zusätzliche Strecke
x
läuft, also am Ort
anzutreen ist.
Klassische Teilchen würden sich einfach mit der Startgeschwindigkeit weiterbewegen. Für
Teilchen in der Quantenmechanik erwartet man natürlich Wellenverhalten. Dieses zeigt
sich durch folgenden Ansatz:
x = 0 zum Spalt hin sei Weg 1, die Übergangsamplitude für diesen Prozess
sei bezeichnet als K(x0 + y,T ; 0,0) ≡ K1 , der Weg vom Spalt zum Punkt x + x0 ist analog
bezeichnet als K(x + x0 ,T + τ ; x0 + y,T ) ≡ K2 . Um alle möglichen Kombinationen zu
erfassen, integriert man über den gesamten Spalt (also über y ).
Man erhält die Verteilung im Punkt x:
Der Weg von
15 ebenso
auch der Doppelspalt, dann wird es allerdings komplizierter
9
ˆb
ψ(x) =
dy
K 2 · K1
(57)
−b
ˆb
=
m 21 im(x−y)2 m 12 im(x0 +y)2
e 2~τ
e 2~T
dy
2πi~τ
2πi~T
−b
ˆ∞
=
−∞
mG(y) im
√ e 2~
dy
2πi~ τ T
(x +y)2
(x−y)2
+ 0T
τ
(58)
(59)
G(y) eingeführt, welche eine Rechteckfunktion ist,
G(y) = 0 sonst. In dieser Form fühlt sich die Situation
Im letzten Schritt wurde die Funktion
d.h.
G(y) = 1 ∀y ∈ [−b,b]
und
schon beinahe wie ein Beugungsintegral aus der Optik an. Allerdings würde die weitere
16
Umformung den Rahmen sprengen
, weshalb an dieser Stelle erwähnt sei, dass wenn die
Teilchen am Spalt gauÿförmig verteilt sind (also
G
eine Gauÿverteilung um
x0
ist), man
mit einigen Schritten ein nicht weniger interessantes Resultat erhält: Die Gauÿverteilung
am Spalt schmiert aus und zwar genau um so viel mehr als die entsprechende klassische Verteilung, wie aus der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation zu erwarten ist,
wenn man die Spaltbreite als
∆x
interpretiert (und die gefundene Abweichung mit einer
17
Abweichung der Geschwindigkeit identiziert)
16 Sie
ist aber möglich, siehe auch Anm. in [4], S. 49
auch [4], S. 49
17 siehe
10
.
4.2 Aharonov-Bohm-Eekt
Der grundsätzliche Aufbau ist folgender:
Abbildung 1: Aharonov-Bohm-Eekt, Aufbau. Zu sehen ist hier ein Doppelspaltexperiment, mit einer dünnen Spule hinter dem Spalt. Es stellt sich bei
~ =0
B
im inneren der
Spule das typische Interferenzmuster ein. Aus [2], S. 330
Schaltet man nun das
~ -Feld an, so ändert sich das Interferenzmuster, obwohl die ElektroB
nen nicht durch ein Magnetfeld iegen. Betrachten wir das Problem mit Pfadintegralen.
Dazu benötigen wir zunächst die klassische Wirkung und für diese die Lagrange-Funktion.
Diese ist gegeben durch:
L=
Bei
L0
m ˙2
~ r) ≡ L0 + e~r˙ A(~
~ r)
~r + e~r˙ A(~
2
(60)
handelt es sich um die Lagrangefunktion eines freien Teilchens. Daraus folgt die
Wirkung
ˆtf
S = S0 + e
ˆ~xf
dt
~ r) = S0 + e
~r˙ A(~
ti
d~
r
~ r)
· A(~
(61)
~
xi
Betrachtet man alle Wege, die das Teilchen oberhalb der Spule laufen kann, so erkennt
man nach Ausnutzung elementarer Integralregeln, dass die Wegintegrale über diese Wege
alle den gleichen Wert,
Spule einen Wert
18 siehe
α1
haben
18
. Ganz analog ndet man für die Wege unterhalb der
α2 .
dazu auch [2], S. 331f.
11
Die Übergangsamplitude ist also leicht nach diesen zwei Arten von Wegen aufspaltbar,
d.h.:
ˆ
h~xf |U (tf − ti )|~xi i =
Dx e
i
S
~
ˆ
i
S
~
ˆ
i
D2 x e ~ S
ˆ
ˆ
i
i
i
S0 ~i eα1
~
+ D2 x e ~ S0 e ~ eα2
= D1 x e e
D1 x e
=
+
i
i
≡ K1 e ~ eα1 + K2 e ~ eα2
=e
Dabei bezeichnet der Index
i
Spule. Nun ist aber der Wert
Vektorpotential
~
A
i
eα1
~
(K1 + K2 e
i
e(α2 −α1 )
~
(62)
(63)
(64)
)
(65)
Di die Wege oberhalb (i = 1) und unterhalb (i = 2) der
α2 − α1 gerade der Wert, den ein Linienintegral über das
in
mit einem um die Spule geschlossenen Weg hätte. Dieses Integral ist
nach dem Ampèreschen Durchutungsgesetz gerade durch den magnetischen Fluss durch
die Spule gegeben, also ist
α2 − α1 = Φ.
Daraus folgt sofort:
i
| h~xf |U (tf − ti )|~xi i | = |K1 + K2 e ~ eΦ |
(66)
Von diesem letzten Ausdruck hängt das sich bei einem magnetischen Fluss durch die Spule
neu einstellende Interferenzmuster auf dem Schirm im wesentlichen ab. Nimmt man noch
alle weiteren Wege hinzu, also auch solche, die mehr als einmal um die Spule herumführen,
so ergibt sich:
| h~xf |U (tf − ti )|~xi i | = |
X
i
Kn e ~ enΦ |
(67)
n∈Z
Stellt man nun das Magnetfeld so ein, dass alle
ungestörte Interferenzmuster.
19
e-Faktoren
1 werden, so erhält man das
4.3 Abschlieÿende Bemerkungen
Es sei noch vor den tatsächlichen abschlieÿenden Bemerkungen erwähnt, dass man das
Pfadintegral durch das Einführen einer komplexen Zeit (sog. Wick-Rotation) zum euklidischen Pfadintegral umformen kann. Dieses ist dann reellwertig und erlaubt eine einfachere
Mathematik. Näheres dazu siehe bspw. in [1] und [2].
Wahrscheinlich werden sich an dieser Stelle die meisten Leser gefragt haben, wozu man
sich die Mühe der Pfadintegrale macht. Man erhält kaum exakte Ergebnisse, verzweifelt
an mathematischem Wirrwarr und erhält letztendlich Resultate, die man ohnehin schon
aus der Schrödingergleichung erhalten hat.
Es gibt einige Vorzüge des Pfadintegrals, respektive des euklidischen Pfadintegrals, die
sich hier höchstens in Anügen verbergen. Diese wären:
•
Pfadintegrale liefern ein völlig neues Bild auf die Quantenmechanik
•
Das Pfadintegral ist für die Quantenfeldtheorie wichtig (siehe dazu z.B. Quelle [1])
19 Der
gesamte Abschnitt basiert auf [2], S. 329, wo auch eine etwas ausführlichere Darstellung zu
nden ist.
12
•
Halbklassische Approximationen (ähnlich WKB) lassen sich durchführen
•
Wenn die Störungstheorie versagt, sind Pfadintegrale eine weitere Möglichkeit
13
Literatur
[1] Ashok Das: Field Theory - A Path Integral Approach, World Scientic, 1993
[2] Gernot Münster: Quantentheorie, 2. Auage, De Gruyter
[3]
http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function,
zuletzt aufgerufen am 6.1.2014 um 15.18
Uhr
[4] Feynman, Hibbs : Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill Inc., 1965
14