Prozent- und Zinsrechnung

5/27/09
1.5 Anwendungen der Bruchzahlen Sachaufgaben im 6. und 7. Schuljahr
a) Prozentrechnung
b) Zinsrechnung
c) Zinseszinsrechnung
Prozentrechnung
Zwei Möglichkeiten
zum Einstieg
I. Man geht von
Prozentangaben
im täglichen
Leben aus.
d) Maßstabrechnen
e) quotient- und produktgleiche Zahlenpaare,
Dreisatzrechnung
f) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prozentangaben im täglichen Leben
II. Man führt einen relativen Vergleich durch.
1
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Die formale Einführung der Prozentschreibweise
(Einführung I) stellt keine Motivation für die Schüler(innen)
dar.
Es bestünde keine Notwendigkeit dafür, wenn sie nicht im
täglichen Leben, insbesondere im kaufmännischen Bereich
und bei den Banken üblich wäre.
Die Motivation lässt sich wohl nur durch den relativen
Vergleich (Einführung II) erbringen, also durch Verhältnisse,
die zum Vergleich auf denselben Nenner gebracht werden
müssen.
Anderes Beispiel für einen relativen Vergleich:
In der Klasse 5a sind 27 Schüler(innen), von denen 3 noch
nicht schwimmen können.
In der Klasse 5 b sind 32 Schüler(innen), von denen 4
noch nicht schwimmen können.
Welche Klasse „schwimmt besser“?
Man kann auch eine gefühlsbetonte Motivation versuchen:
Die Lehrkraft erzählt recht spannend von reichen
Kaufleuten des Mittelalters, die Kauffahrten u. a. nach
Italien unternahmen. Nach der Heimkehr konnten sie viel
erzählen, auch dass sie an jeder Grenze einen Teil ihrer
Waren oder ihres Kapitals als Zoll abgeben mussten.
Um zu demonstrieren, dass sie weit gereist waren,
bedienten sie sich italienischer Sprachbrocken und sagten
„pro cento“.
Die Prozentrechnung lässt sich auf der Bruchrechnung mit
Operatoren aufbauen.
Man führt dann Prozentoperatoren ein.
Etwa so:
2
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Diese Umrechnungen müssen geläufig sein.
Übungen dazu sind etwa
oder auch
Besonders wichtig sind auch die Berechnungen von
Prozentwerten vom sogenannten vermehrten bzw.
verminderten Wert:
Aufgaben dazu sind etwa
Ein Auto kostet 23200 €. Das Werk setzt den Preis um 4%
herauf. Was kostet das Auto nach der Preiserhöhung?
alter Preis
23200 € -[ . . . ]-> . . . . . .
PLUS Preiserhöhung 23200 € -[ 4% ]-> . . . . . .
neuer Preis
23200 € -[ . . . ]-> . . . . . .
Lösung:
alter Preis
23200 € -[100%]-> 23200 €
PLUS Preiserhöhung 23200 € -[ 4% ]->
928 €
neuer Preis
23200 € -[104%]-> 24128 €
Ein Fernsehgerät mit Flachbildschirm kostet 1200 €.
Wenn man bar bezahlt gibt der Händler 3% Nachlass.
Was kostet das Gerät bei Barzahlung?
alter Preis
MINUS Preisnachlass
neuer Preis
1200 € -[ . . . ]-> . . . . . .
1200 € -[ 3% ]-> . . . . . .
1200 € -[ . . . ]-> . . . . . .
Lösung:
alter Preis
MINUS Preisnachlass
neuer Preis
1200 € -[100%]-> 1200 €
1200 € -[ 3% ]->
36 €
1200 € -[ 97%]-> 1164 €
verminderter Wert
3
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Für ein Elektrogerät zahlt man als Barpreis 46,56 €. Dabei sind schon 3%
Rabatt abgezogen. Wie groß ist der Listenpreis des Gerätes?
MINUS
Listenpreis
Rabatt
Barpreis
. . . . € -[ . . . ]-> . . . . . .
. . . . € -[ 3% ]-> . . . . . .
. . . . € -[ . . . ]-> 46,56 €
Listenpreis
Rabatt
Barpreis
48,00 € -[100%]-> 48,00 €
48,00 € -[ 3% ]-> 1,44 €
48,00 € -[97%]-> 46,56 €
Lösung:
MINUS
Berechnung vom
verminderten Wert
Man muss hier mit dem Umkehroperator arbeiten:
Barpreis
. . . . . <-[97%]- 46,56 €
97
. . . . . <-[ : 100 ]- 46,56 €
. . . . . <-[ •100 ]- 46,56 €
€
€
Führt man die Prozentrechnung erst nach der Dreisatzrechnung ein, so kann man den Vergleich auch mit
Größen durchführen, da Dreisatzrechnung eine
Zuordnung von Größenbereichen darstellt und der
Zuordnungsoperator als Pro-Operator (VerhältnisOperator) bereits eingeführt ist.
Ein Beispiel ist:
Herbert hat bei der Kreissparkasse
ein Sparbuch mit 250 €. Nach einem
Jahr bekommt er 12,50 € Zinsen.
Christel hat bei der Stadtsparkasse
ein Sparbuch mit 180 €. Nach einem
Jahr bekommt sie 10,80 € Zinsen.
Zuordnung mit einem Pro-Operator
Zuordnung mit einem Pro-Operator
12,50 €
250 €
250 € -[
5
100
€
]–> 12,50 €
]–> 12,50 €
250 € -[ 5% ]–> 12,50 €
€
180 € -[
10,80 €
180 €
]–> 10,80 €
180 € -[
6
100
]–> 10,80 €
€
180 € -[ 6% ]–> 10,80 €
€
Bei einer Wahl haben in der Stadt A von 83000 Wahlberechtigten 64740 gewählt; in der Stadt B sind von 120000
Wahlberechtigten 90000 zur Wahl gegangen. In welcher
Stadt war die Wahlbeteiligung besser?
Da es sich hier um Anzahlen von Menschen geht, rechnet
man mit Verhältnissen von natürlichen Zahlen. Daher
eignet sich dieser Sachverhalt zur Einführung, wenn die
Prozentrechnung direkt an die Bruchrechnung anschließt
(ohne dass vorher die sogenannte Dreisatzrechnung
behandelt wurde.
Eine Vergleichsbasis ist gegeben, wenn man auf eine
gleich große Einwohnerzahl umrechnet: Man nimmt
hypothetisch 100 an bzw. man sagt, je 100 Einwohner
haben in A 78, in B 75 gewählt.
97
Entsprechend sind die Berechnungen vom vermehrten Wert.
250 € -[
Zur Einführung der Prozentrechnung durch den relativen
Vergleich eignet sich auch die folgende Aufgabe:
Die Prozentrechnung mit Prozentoperatoren hat folgende
Gestalt:
Grundwert -[ Prozentsatz ]-> Prozentwert
Es gibt drei Grundaufgaben:
1.  Berechnung des Prozentwertes
Man rechnet des Operatorschema vorwärts
Grundwert -[ •100p ]-> Prozentwert
2.  Berechnung des Grundwertes
€
Man rechnet das Operatorschema rückwärts
100
Grundwert <-[ • p ]- Prozentwert
3. Berechnung des Prozentsatzes
€
Man berechnet Prozentwert : Grundwert
ozentwert
Grundwert -[ • PrGrundwert
]-> Prozentwert
€
4
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Graphische Darstellungen zur Prozentrechnung
Graphische Darstellung des Prozentzusammenhangs im
Koordinatensystem
auf der Grundlage zwischen zwei Leitern
€
S
erade
che G
€
gli
bewe
Diese Darstellung eignet sich auch gut für eine
Darstellung mit dem Overhead-Projektor.
Man macht den (hier rot gezeichneten) Strahl beweglich
mit einer Reißzwecke fest und dreht ihn um einen festen
Punkt.
Prozentangaben lassen sich mit Hilfe einer
Tabellenkalkulation gut veranschaulichen:
Prozentzuordnung mit dem Gummiband
s
Sonstige
€
€
Für eine Klassenfahrt müssen von
jedem/r Schüler/in 140 € aufgebracht
werden. Davon sind vorgesehen:
30% für die Fahrt
15% für die Unterkunft
50% für die Verpflegung
der Rest für Sonstiges
Fahrt
€
€
Verpflegung
Unterkunft
5
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Auch die Zinsrechnung lässt sich in das Operatorschema
einbauen.
Kapital -[ Zinsoperator ]-> Jahreszinsen -[ Zeitoperator ]-> Zinsen
Der Zinsoperator ist nicht identisch mit dem Prozentoperator;
er bezieht sich auf 1 Jahr und lautet daher z. B. 5 % .
Jahr
Auch der Zeitoperator trägt eine Einheit, nämlich 1 Jahr.
Ein Kapital von 7500 € wird zu 5% jährlich verzinst. Wie
viel € Zinsen erhält man nach 3 Jahren?
Das Operatorschema müsste daher geschrieben werden als
Operatorschema:
7500 € -[ 5
€
4
%
]->
Jahr
€
7500 € -[ 5% ]-> 375 € -[ • 3 ]-> 281,25 €
4
Zuerst werden die
Jahreszinsen bestimmt.
€
Anschließend werden
die Zinsen für den
angegebenen Zeitraum
bestimmt.
375 € -[ •
3
4
Jahr ]-> 281,25 €
Die Zinsformel lässt sich aus dem Operatorschema
entwickeln:
€
€
K -[•
p
100
]-> Jahreszinsen -[ t ]-> z
Man verkettet die Operatoren -[ •
K • p• t
100
€ rechnet
und
=z .
p• t
100
]->
€
€
Die vier Grundaufgaben der Zinsrechnung lassen sich alle
mit dem Operatorschema lösen.
€
€
Beispiele dafür sind:
€
1
2
€
€
€
6500
€
€
€
€
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Die Zinseszinsrechnung lässt sich zwanglos anschließen.
Ein Programmablaufplan zeigt, dass sich die Rechnung
jedes Jahr wiederholt; man muss sie nur jeweils auf das um
die Zinsen erhöhte Kapital anwenden.
Mit einer
Tabellenkalkulation kann
man dann die
Berechnungen ganz
einfach durchführen und
auf Grund des
automatischen
Kopiermodus für
beliebig viele Jahre
zeigen.
Das lässt sich mit einer
Schleife schreiben.
Wird ein Kapital k für
i = 10 Jahre auf
Zinseszins angelegt, so
erhöht man i in jedem
Jahr um 1 und setzt als
Abbruchbedingung
I ≥ 10 fest.
Auch Aufgaben zum
Ratensparen lassen sich
bequem lösen, wenn man die
jährliche Ratenzahlung, den
Zinssatz und das gewünschte
Endkapital (hier 3000 €)
vorgibt.
Der Programmablaufplan sieht
dann so aus, wie hier rechts
aufgeschrieben.
Die Abbruchbedingung ist jetzt
k ≥ 3000 .
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Alle Umkehraufgaben können mit
Hilfe der Tabellenkalkulation gelöst
werden.
Formel im
10. Schuljahr:
Berechnung des Zinssatzes bei
vorgegebenem Anfangskapital,
Endkapital und der Anzahl der Jahre.
Kn = K0 . qn
Berechnung des Anfangskapitals
bei vorgegebenem Endkapital, dem
Zinssatz und der Laufzeit.
Berechnung der Laufzeit bei
vorgegebenem Anfangskapital,
Endkapital und Zinssatz.
mit
Kn Endkapital
K0 Anfangskapital
p
q = 1 + 100
p Zinssatz
€
8