Musterlösungen für die Fiwi A-Klausur, WS 02/03

Musterlösungen für die Fiwi A-Klausur, WS 02/03
Aufgabe 1 (a)
∂UN
∂xN
∂UJ
∂xJ
yN
1
N
= x1N und ∂U
∂yN = yN , folglich ist GRSN = xN
y
ω
J
J
= x1J und ∂U
∂yJ = yJ , folglich ist GRSJ = ω·xJ
a2 )
Gesucht: Kontraktkurve in der Form xN = f (yN )
Also müssen xJ und yJ umgeschrieben werden
Es gilt:
xJ = 30 − xN und yJ = 15 − yN
yJ
Da sich die GRS entsprechen, schreiben wir statt xyN
= ω·x
N
J
yN
15−yN
xN = ω·(30−xN )
Multiplikation mit xN und Division durch 15 − yN ergibt:
yN
xN
(15−yN ) = ω(30−xN )
Kehrwert beider Seiten
15−yN
N
= ω 30−x
yN
xN
läßt sich vereinfachen zu
30ω
15
yN − 1 + ω = x N ⇔
15−yN +ωyN
30ω
xN =
yN
Auflösung nach xN ergibt dann
30ωyN
N
xN = 15−y
= ω 15+y30y
N +ωyN
N (ω−1)
(b)
Es ist lt. Aufgabenstellung Ax + Ay = 100, also Ax = 100 − Ay
Wir lösen die Produktionsfunktion für Y nach Ay auf und erhalten
Ay = 4Y 2
Wir setzen dies in die Produktionsfunktion für X ein und erhalten:
1 p
X = · 100 − 4Y 2
2
(1)
Multiplikation mit 2 und quadrieren ergibt:
4X 2 = 100 − 4Y 2
Aber die vorletzte Gleichung würde schon genügen, da in der Aufgabenstellung explizit nach X in Abhängigkeit von Y gefragt wurde.
(c)
Verlangt wird ein einfaches Zahlenbeispiel, bei dem GRS 6=GRT. Dann wird
schlicht die Produktion variiert und geschaut, ob es zu einer Pareto-Verbesserung
1
kommt. Wenn GRS=GRT, dann kann gezeigt werden, dass eine Pareto-Verbesserung
nicht möglich ist. Ein solches Zahlenbeispiel findet sich in der Übungsaufgabe
4.
Wegen 100 = 4Y 2 − 4X 2 ergibt sich als totales Differential 0 = 8Y · dY +
8X · dX
dY
Somit: | dX
|= X
Y .
Das Verhältnis von Y und X gibt die GRT an. Dies bedeutet, dass die Mehrproduktion von einer Einheit Y die Minderproduktion von einer Einheit X erfordert. Globale Effizienz verlangt, dass diese GRT der GRS entsprechen muss.
GRSJ
yJ
ωxJ
=
=
GRSN = GRT
yN
X
=
xN
Y
Dieser Ausdruck besagt, dass Niklas genau genau in dem Verhältnis Einheiten X und Y konsumieren muss wie sie im Verhältnis produziert werden. Damit
die Grenzrate der Substitution von Julian der von Niklas entspricht, muss auch
Niklas entsprechend konsumieren. Dies ist offenkundig nur dann der Fall, wenn
ω=1
d) Globale Effizienz bedeutet zunächst nur, dass ein simulatanes Gleichgewicht in Tausch- und Produktionssektor vorliegt. Es ist in diesem Zustand noch
nichts über die Verteilung gesagt. Eine normative, auf Gerechtigkeitsüberlegungen basierende Soziale Wohlfahrtsfunktion erlaubt die wohlfahrtsökonomische
Beurteilung der diversen auf der SNN liegenden Punkte. Die Extremfälle (Rawls
und Bentham) sollten genannt werden.
Aufgabe 2
(a)
Öffentliche Güter besitzen im Gegensatz zu privaten Gütern die Eigenschaften
der Nicht-Rivalität und der Nicht-Ausschließbarkeit.
Nicht-Rivalität: Konsumiert ein WS das Gut, so wird das Gut damit nicht verbraucht, sondern es steht dennoch in vollem Umfang anderen WS zur Verfügung.
Nicht-Ausschließbarkeit: Es ist nicht möglich, das Gut einigen WS bereitzustellen und gleichzeitig andere WS von dem Konsum des Gutes auszuschließen, sei
es, weil dies technologisch gar nicht geht, sei es, weil diese Möglichkeit mit zu
hohen Kosten verbunden wäre.
Entscheidend dafür, dass auf Märkten mit einem öffentlichen Gut eine andere
Effizienzbedingung herrscht, ist die Eigenschaft der Nicht-Rivalität. Denn weil
durch die (marginale) Erhöhung der bereitgestellten Menge eines öffentlichen
Gutes alle gleichzeitig profitieren, kommt es auf die gemeinsame (marginale)
Zahlungsbereitschaft an, ob eine solche Erhöhung durchgeführt werden sollte
oder nicht, während bei rivalisierenden Gütern von der (marginalen) Erhöhung
der bereitgestellten Menge nur einer profitieren würde und es entsprechend auf
seine individuelle Zahlungsbereitschaft ankäme.
2
(b)
Die Aufgabe kann durch folgenden Lagrange-Ansatz gelöst werden:
L=
√
√
XA · G − λ · ( XB · G − 4) − µ · (X A + X B + 2Ġ − 32) −→ max!
Oder man verwendet die Samuelson-Bedingung:
!
GRS A + GRS B = GRT
⇔
∂UA
∂G
∂UA
∂XA
⇒
⇒
+
∂UB
∂G
∂UB
∂XB
=
pG
=2
pX
XA
XB
+
=2
G
G
XA + XB = 2G
2G für Xa + Xb in die Budgetrestriktion eingesetzt ergibt:
2G + 2G = 32
⇒G=8
8 für G in die die Nutzenfunktion von B eingesetzt liefert
p
8 · XB = 4 ⇒ XB = 2
und wieder mit der Budgetrestriktion folgt XA = 14
(c)
Das Niveau des öffentlichen Gutes G ist in Teil (b) bereits errechnet worden,
bevor das Nutzenniveau des WS B als Nebenbedingung berücksichtigt wurde;
es ist deswegen unabhängig von dieser Restriktion. Damit hat in diesem Fall
die dem WS B garantierte Menge keinen Einfluss auf die optimale Menge des
öffentlichen Gutes.
Zu dieser Einsicht gelangt man auch, wenn man Teil (b) über den LagrangeAnsatz errechnet hätte, denn auch dann wäre G = 8 als erstes Zwischenergebnis
angefallen, bevor auf die Restriktion UB = 4 zurückgegriffen worden wäre. Die
Samuelson-Bedingung ist nur erfüllt für G = 8.
(d)
Beim Nash-Gleichgewicht geht es um die Allokation, die sich auf Dauer einstellt,
wenn auf auf einem Markt mit einem öffentlichen Gut alle Wirtschaftssubjekte
ohne gemeinsame Koordination handeln und nur jeweils ihren eigenen Nutzen
maximieren. Es handelt sich also um die Marktlösung, die sich durch individuelle
Nachfrage nach dem öffentlichen Gut einstellen wird. Jedes WS maximiert seinen Nutzen, indem es sein Haushaltsoptimum über die Bedingung GRS = GRT
realisiert. Da die von ihm nachgefragte Menge des öffentlichen Gutes auch anderen WS Nutzen stiftet, beeinflussen sich alle unmittelbar gegenseitig in ihren
Handlungen.
3
Ein Gleichgewicht ist langfristig erreicht, wenn sich niemand mehr veranlasst
sieht, seine Entscheidung (oder seine Strategie) zu verändern, solange die jeweils anderen Marktteilnehmer ihrerseits ihre Entscheidung (ihre Strategie)
nicht mehr revidieren. Dann wird der erreichte Zustand sich nicht mehr ändern,
sondern bleibt - immer vorausgesetzt, es findet keine Koordination statt - stabil.
Das ist das Nash-Gleichgewicht, und es wird sich deswegen einstellen, weil die
von den WS verfolgte Strategie im Gegensatz zur Koordination auch anreizkompatibel ist.
Das Nash-Gleichgewicht ist allerdings nicht effizient, sondern führt zu einer Unterversorgung bezüglich des öffentlichen Gutes. Weil im Gleichgewicht für alle
Individuen GRS = GRT gilt, wird die Summe der GRS in jedem Fall größer
sein als die GRT , also die gemeinsame Zahlungsbereitschaft für eine weitere
Einheit des öffentlichen Gutes größer sein als die Kosten dieser Einheit.
(e)
Zwar maximieren jetzt beide WS ohne gemeinsame Absprache ihren Nutzen, das
Gut G geht jedoch nicht mehr in die Nutzenfunktion des WS B ein. Insofern
beeinflussen sich die beiden Individuen in ihren Entscheidungen nicht gegenseitig - einer effizienten Allokation steht nichts im Wege. Auch die SamuelsonBedingung wäre weiterhin erfüllt, denn weil WS A gemäß GRSA = GRT seinen Nutzen maximiert und für WS B GRSB = 0 gilt, gilt auch weiterhin die
Samuelson-Bedingung GRSA + GRSB = GRT .
4
Klausuraufgaben FiWi A
1. Externe Effekte
a) Geben Sie eine allgemeine Definition externer Effekte (formal und verbal) und klassifizieren Sie unterschiedliche externe Effekte.
Definition:
Externe Effekte sind Wirkungen, die von der Aktivität eines Wirtschaftssubjektes auf ein anderes Wirtschaftssubjekt ausgehen, die also die Kosten-/Gewinn- oder Nutzensituation des
anderen Wirtschaftssubjektes beeinflussen. Der Verursacher des externen Effektes beachtet
die Wirkung auf den Adressaten nicht. Das andere Wirtschaftssubjekt kann diesen Wirkungen
nicht entgehen. Der Verursacher (Adressat) eines negativen (positiven) externen Effektes
muss den Adressaten (Verursacher) nicht entschädigen.
U i = U i ( x11 , x12 , x22 , X 1 , X 2 )
X i = X i ( L1 , L2 , K1 , K 2 )
Klassifikation:
Wirkung innerhalb oder außerhalb des Preissystems?
pekuniär versus technologisch
Nach der Art des Effektes:
positiv versus negativ
Nach der Art der Aktivität:
Produktionsexternalitäten versus Konsumexternalitäten
Nach der Art der beteiligten Wirtschaftssubjekte:
- Produzenten-Produzenten-Externalität
- Produzenten-Konsumenten-Externalität
- Konsumenten-Konsumenten-Externalität
- Konsumenten-Produzenten-Externalität
Nach der Reichweite:
lokal versus global
b) Ein Unternehmen handelt unter Wettbewerb und produziert ein Gut Y, bei dessen Herstellung externe Kosten S auftreten.
S(y) = 0,25y2
Die inverse Nachfragefunktion nach dem Gut Y lautet: p = 8 – 0,5y
Für die Kostenfunktion des Unternehmens gilt: K(y) = 0,5y2 + 2y + 2
Vergleichen Sie die Marktlösung und die pareto-optimale Lösung bezüglich der ausgebrachten Menge und des Preises.
Marktlösung: A = N
Angebotsfunktion:
GK = y + 2 = p
!"y = p - 2
p = 8 – 0,5y
!"p – 8 = -0,5y
!"y = 16 – 2p
p – 2 = 16 – 2p
pm = 6
ym = 4
pareto-optimale Lösung: GKsoz = N
GKsoz = GKpriv + GKext
GKpriv = y + 2
GKext = 0,5y
GKsoz = y + 2 + 0,5y = 1,5y + 2
1,5y + 2 = 8 – 0,5y
yo = 3
po = 6,5
c) Die Regierung will durch die Erhebung einer Steuer die gesamtwirtschaftlich optimale Situation herstellen.
Berechnen Sie
(i)
(ii)
die Mengensteuer und
die Wertsteuer,
die erhoben werden müssen, damit die gesamtwirtschaftlich optimale Menge angeboten wird.
Stellen Sie Ihr Ergebnis graphisch dar und erläutern Sie anhand der Graphiken die Wohlfahrtswirkungen.
(i)
Mengensteuer
po = GK priv ( yo ) + T ⇒ T = po − GK priv ( yo ) = 6,5 − (3 + 2) = 1,5
Graphische Darstellung:
p
GKsoz
F
GKpriv’
C
GKpriv
A
po
pm
T
pn
D
B
E
GNpriv
y
0
yo
ym
Wohlfahrtsbetrachtung:
Einzelwirtschaftlich optimale Situation mit ym, pm (Punkt B)
Privater Nutzen: 0ymBF
Soziale Kosten: 0ymCE
Konsumentenrente: pmBF
Produzentenrente: pmBE
Gesamtschaden: EBC
Gesamtwirtschaftlich optimale Situation mit yo, po (Punkt A)
Privater Nutzen: 0yoAF
Soziale Kosten: 0yoAE
Konsumentenrente: poAF (die Konsumenten zahlen den Preis po)
Produzentenrente: pnDE (für die Konsumenten gilt der Preis pn)
Gesamtschaden: EDA
Veränderung der Wohlfahrt bei Reduktion der ausgebrachten Menge von ym auf yo: Vergleich
Abnahme privater Nutzen – Abnahme sozialer Kosten
Verlust an privatem Nutzen: - yoymBA
Reduktion der sozialen Kosten: - yoymCA
Gesamteffekt: Wohlfahrtsgewinn = + ABC
Steuerzahlung: T * yo = pnpoAD
Veränderung Konsumentenrente: - pmpoAB
Veränderung Produzentenrente: - pnpmBD
(ii)
Wertsteuer
Steuersatz in Abhängigkeit von p:
po = pn (1 + t)
t = po/pn - 1
pn = GKpriv(yo) = 5
t = 6,5 / 5 – 1 = 0,3
T(yo) = 0,3 * 5 = 1,5
Steuerbetrag T in Abhängigkeit von x:
T = GS = GK ext
T = 0,5 y
Für yo = 3:
T = 0,5 * 3 = 1,5
Graphische Darstellung:
p
GKsoz = GKpriv’
GKpriv’
F
C
po
GKpriv
A
pm
T
pn
D
B
E
0
Wohlfahrtsbetrachtung:
Identische Ergebnisse
GNpriv
y
yo
ym
Aufgabe 4
2. Natürliches Monopol
a) Erläutern Sie kurz, welche Ursachen die Entstehung eines natürlichen Monopols haben kann.
Natürliche Monopole entstehen dann, wenn anhaltend sinkende Durchschnittskosten auftreten.
Eine steigende Menge kann also mit sinkenden Durchschnittskosten produziert werden; die
Grenzkosten liegen unterhalb der Durchschnittskosten.
Es ist allokationseffizient, eine gegebene Menge durch nur ein Unternehmen produzieren zu
lassen, weil die Stückkosten minimiert werden.
Ursachen für das Entstehen eines natürlichen Monopols:
-
steigende Skalenerträge (Economies of Scale) im Einproduktunternehmen: Die Faktorproduktivität nimmt mit zunehmender Ausbringungsmenge zu – es treten also steigende
Skalenerträge auf. Grenzkosten und Durchschnittskosten sinken.
-
Unteilbarkeit des Kapitaleinsatzes bei der Produktion – das Produkt kann nur produziert
werden, wenn ein bestimmter Kapitaleinsatz getätigt wird: Z.B. die Bereitstellung eines
Schienennetzes für öffentlichen Personenverkehr oder eines Leitungsnetzes bei der Festnetztelephonie. Hier müssen Mindestkapazitäten mit hohem Kapitaleinsatz bereitgestellt
werden. Der Grund für die Abnahme der Durchschnittskosten ist die Fixkostendegression.
Die Grenzkosten können konstant sein, steigen oder sinken.
In beiden Fällen nehmen die durchschnittlichen Kosten pro Produktionseinheit mit steigender
Produktionsmenge ab.
Es gilt also:
-
sinkende Durchschnittskosten
Grenzkosten liegen unterhalb der Durchschnittskosten
!"Subadditivität der Kosten:
Es ist am kostengünstigsten, die betreffenden Güter von nur einem Unternehmen herstellen zu
lassen. Die Kostenfunktionen sind subadditiv, weil die Produktion einer bestimmten Gütermenge in einem einzigen Unternehmen kostengünstiger ist als in zwei (oder mehr) Unternehmen:
K(x) < K(x1) + K(x2); mit x = x1 + x2
b) Ein Unternehmen, das das Gut Y herstellt, hat folgende Kostenfunktion:
K(y) = 5y + 12
Die Preis-Absatz-Funktion lautet:
p = 20 – 2y
Bestimmen Sie die Preise und die dazugehörige Menge sowie den jeweiligen Gewinn des
Unternehmens bei
(i)
(ii)
(iii)
Anwendung der Wettbewerbsregel
Anwendung der Monopolregel
Preis = Durchschnittskosten
und stellen Sie Ihre Ergebnisse graphisch dar.
(i) Anwendung der Wettbewerbsregel
pc = GK
GK = 5 = pc
yc = 7,5
Π(pc) = 5 * 7,5 – 5 * 7,5 – 12 = -12
(ii) Anwendung der Monopolregel
GK = GE
GK = 5
E = p * y = 20y – 2y2
GE = 20 – 4y
5 = 20 – 4y
ym = 3,75
pm = 20 – 2 * 3,75 = 12,5
Π(pm) = 12,5 * 3,75 – 5 * 3,75 – 12 = 16,125
(iii) Preis = Durchschnittskosten
DK = 5 + 12/y
20 – 2y = 5 + 12/y
!"20y – 2y2 = 5y + 12
!"-2y2 + 15y – 12 = 0
!"y2 – 7,5y + 6 = 0
Anwendung p/q-Formel:
p = -7,5
q=6
7,5
(7,5) 2
+ /−
−6
2
4
= 3,75 + / − 2,84
yd 1 / d 2 =
yd 1 / d 2
!"yd1 = 6,59
!"yd2 = 0,91
!"pd1 = 6,82
!"pd2 = 18,18
!"Π(pd1) = 6,82 * 6,59 – 5 * 6,59 – 12 = 0
!"Π(pd2) = 18,18 * 0,91 – 5 * 0,91 – 12 = 0
Graphische Darstellung:
p
B
N
GE
pm
E
K
J
D
pc
F
0
G
I
M
L
pd
xm
Wettbewerbsregel:
Verlust des Unternehmens: Πc = pcDCA
Monopolregel:
Gewinn: Πm = KJEpm
Gewinnveränderung gegenüber Wettbewerbsregel:
∆Πm/c = KJEpm +pcDCA
H
xd
C
A
xc
DK
GK
x
Durchschnittskostenregel:
Gewinn: Πd = 0
Zunahme an Gewinn gegenüber Wettbewerbsregel:
∆Πd/c = +pcDCA
Verlust an Gewinn gegenüber Monopolregel:
∆Πd/m = -KJEpm
c) Argumentieren Sie, welche Preisbildungsregel die gesamtgesellschaftliche Wohlfahrt maximiert. Welches Problem ist damit verbunden? Diskutieren Sie die Instrumente, die zur Verfügung stehen, die aus dieser Preisbildungsregel resultierenden Probleme zu lösen.
Wohlfahrt wird maximiert durch: KR + Π = max!
KRj = 0,5xj * (20 – pj); j = c, m, d
Wohlfahrt bei Wettbewerbsregel:
KRc = 0,5 * 7,5 * (20 – 5) = 56,25
Πc = -12
WFc = 44,25
Wohlfahrt bei Monopolregel:
KRm = 0,5 * 3,75 * (20 – 12,5) = 14,0625
Πm = 16,125
WFm = 30,1875
Wohlfahrtsverlust gegenüber Wettbewerbsregel:
∆WFm/c = 14,0625
Wohlfahrt bei Durchschnittskostenregel:
Fall 1:
KRd1 = 0,5 * 6,59 * (20 – 6,82) = 43,4281
Πd1 = 0
WFd1 = 43,4281
Wohlfahrtsverlust gegenüber Wettbewerbsregel:
∆WFd/c = 0,8219
Wohlfahrtsgewinn gegenüber Monopolregel:
∆WFd/m = 30,1875
Fall 2:
KRd2 = 0,5 * 0,91 * (20 – 18,18) = 0,8281
Πd2 = 0
WFd2 = 0,8281
Konsumentenrente und Wohlfahrt sind in diesem Fall minimal – uninteressanter Fall.
1. Grundsätzlich: Am effizientesten ist die Grenzkostenregel. Sie maximiert die gesamtgesellschaftliche Wohlfahrt. Weil das natürliche Monopol durch sinkende Durchschnittskosten gekennzeichnet ist, liegen die Grenzkosten unterhalb der Durchschnittskosten – das Monopol
macht ein Defizit, wenn der Staat die Grenzkostenregel qua Regulierung durchsetzt. Dieses
Defizit muss dann aus dem Staatshaushalt (Steuern) finanziert werden, indem das Monopol
Subventionen erhält.
Probleme:
- Principal-Agent-Problem: Der Agent (Monopol) hat gegenüber dem Prinzipal (Staat)
einen Informationsvorteil, denn der Staat kennt die wahre Kostensituation des Unternehmens nicht – Festsetzung der angemessenen Subventionshöhe schwierig
- Steuern wirken verzerrend; andere Ineffizienzen können entstehen
2. Regulierung: Das Monopol bleibt privat, aber der Staat erzwingt die Nullgewinnbedingung,
d.h. die Durchsetzung der Durchschnittskostenregel: Preis = Durchschnittskosten. Das Unternehmen macht dann keinen Verlust. Vorteil: es müssen keine Subventionen gezahlt werden.
Probleme:
- Bestimmung der Durchschnittskosten und damit des Preises schwierig – PrincipalAgent-Problem: Der Agent (Monopol) hat gegenüber dem Prinzipal (Regulierungsbehörde) einen Informationsvorteil, denn die Regulierungsbehörde kennt die wahre Kostensituation des Unternehmens nicht
- Capture-Theorie: Das regulierte Unternehmen instrumentalisiert die Regulierungsbehörde zur Durchsetzung der eigenen Interessen – es gibt eine Nachfrage der Unternehmen nach Regulierung und nach einem möglichst hohen regulierten Preis => Rentseeking
- Averch-Johnson-Effekt: kann auftreten, wenn die Preise so gesetzt werden, dass sie
einen bestimmten rate of return (ROR) auf Kapital erbringen:
!" ROR = R-C/K; mit R = Erlöse, C = Nicht-Kapital-Kosten, K = Kapital
Es wird also der Gewinn pro Einheit eingesetzten Kapitals festgelegt, nicht jedoch der
Gesamtgewinn. Wenn der Kapitalstock erhöht wird, kann für einen gegebenen ROR
der Gesamtgewinn erhöht werden; das Unternehmen hat daher einen Anreiz, zuviel
Kapital einzusetzen, es werden Produktionstechnologien eingesetzt, die nicht die Kosten minimieren.
3. Staatliche Produktion: Der Staat übernimmt das Unternehmen und setzt die Durchschnittskostenregel durch
Problem:
- X-Ineffizienz in öffentlichen Unternehmen: Weil in öffentlichen Unternehmen das
Gewinnmaximierungsmotiv fehlt, wird nicht mit minimalen Kosten produziert; DK
und GK sind höher als im privaten Unternehmen.