Einblick - Europa

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Kinematik und Kinetik
Arbeitsbuch mit ausführlichen Aufgabenlösungen,
Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten
von
Gerhard Knappstein
4. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 55583
knappstein-kinematik_titelei.indd 1
25.06.2014 13:36:00
Der Autor
Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im Fachbereich
Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der Universität
Siegen.
4. Auflage 2014
Druck 5 4 3 2 1
ISBN 978-3-8085-5559-0
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag
schriftlich genehmigt werden.
Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen
Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG,
42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Druck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach
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25.06.2014 13:36:00
Vorwort
Studierende der Ingenieurwissenschaften stellen sehr schnell fest, dass zum richtigen Verstehen
und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Kinematik und Kinetik das selbständige Lösen von Aufgaben unverzichtbar ist. Oft glauben Übende, die gelernten Formeln und
Lehrsätze verstanden zu haben, doch in Wirklichkeit haben sie keineswegs alle ihre Anwendungsbedingungen und Konsequenzen erfasst.
Das vorliegende Arbeitsbuch ist als Ergänzung zu den Vorlesungen gedacht und bietet die
notwendigen Grundbegriffe und Formeln, zahlreiche ausführlich gelöste Übungsaufgaben sowie
Fragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse.
Alle wichtigen Teilgebiete der Kinematik und Kinetik werden behandelt und sind so strukturiert, dass in jedem Kapitel die drei Komponenten Grundbegriffe und Formeln, Aufgaben mit
Lösungen sowie Fragen und Antworten aufeinander folgen. Dadurch besteht eine ausgewogene
Verbindung von Theorie und gelösten Übungsaufgaben.
Der Inhalt des Buches beschränkt sich bewusst auf das Notwendige und ist durch viele Bilder
leicht verständlich, so dass die Studierenden schnell erkennen, worauf es ankommt und den Überblick behalten. Überhaupt habe ich mit Zeichnungen nicht gespart, da Studierende dadurch viel
schneller und besser über schwierige Sachverhalte "im Bilde" sind, als das je mit Text geschehen
könnte.
Zur bestmöglichen Nutzung des Buches empfehle ich, in Verbindung mit den Vorlesungen
zunächst das Wesen der wichtigsten Grundbegriffe und Grundformeln zu studieren, und dann zu
versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen. Oft ist es auch hilfreich, die Aufgaben, Lösungen,
Fragen und Antworten in der Gruppe zu bearbeiten und zu diskutieren.
Da die Erfahrung zeigt, dass viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung verlieren, wenn man ihn nicht systematisch anlegt, sind ergänzend Leitlinien zum Lösen von
Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben.
In der vorliegenden 4. Auflage habe ich zusätzlich zur Formelsammlung der Kinematik und
Kinetik noch Formelsammlungen zur Statik und zur Festigkeitslehre aus meinen gleichlautenden
Büchern aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen Formeln für das Grundlagenfach Technische
Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des
Verlags Europa-Lehrmittel.
Siegen, 2014
Gerhard Knappstein
Leserkontakt
Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel
Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Str. 23
42781 Haan-Gruiten
[email protected]
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knappstein-kinematik_titelei.indd 4
25.06.2014 13:37:50
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung
1
1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
1
1.1 Grundbegriffe und Formeln ...............................................................................................
1
1.1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung ...................................................................
1.1.2 Kinematische Diagramme ........................................................................................
1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung) ........................................................................................................................
1
2
1.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung (gleichmäßig beschleunigte
Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung) ..............................................
1.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung ...............................................................
2
3
3
1.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 1.1 Freier Fall ...................................................................................................
Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug ......................................................
Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs ....................................................
Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Fahrzeuge ................................................................
Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken ..............................
Aufgabe 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt ...........................................
Aufgabe 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung ....................................................
5
5
6
7
9
11
13
16
1.3 Fragen und Antworten .......................................................................................................
19
2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes
21
2.1 Grundbegriffe und Formeln ...............................................................................................
21
2.1.1 Ebene Bewegung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ..............................
2.1.2 Ebene Bewegung in natürlichen Koordinaten; Tangential- und Normalbeschleunigung ..........................................................................................................................
21
2.1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn; Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, gleichförmige Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung .
22
2.1.4 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaten ...................................................
2.1.5 Räumliche Punktbewegung ......................................................................................
24
26
26
2.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung ........................................
Aufgabe 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden .........................................
28
28
29
Inhaltsverzeichnis
VI
Aufgabe 2.3
Aufgabe 2.4
Aufgabe 2.5
Aufgabe 2.6
Aufgabe 2.7
Aufgabe 2.8
Aufgabe 2.9
Aufgabe 2.10
Aufgabe 2.11
Aufgabe 2.12
Aufgabe 2.13
Aufgabe 2.14
Räumliche Bahnkurve ................................................................................
Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage .................................................
Punktbewegung auf ebener Kurve .............................................................
Ziehen eines Bootes über einen Kanal .......................................................
Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe .............................
Kreisbewegung eines Punktes ...................................................................
Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges.......................................................
Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn ........................
Bremsscheibe .............................................................................................
Schwungscheibe .........................................................................................
Rotierende Schleifenschwinge ...................................................................
Roboter .......................................................................................................
30
32
35
36
38
39
40
42
44
45
46
47
2.3 Fragen und Antworten .......................................................................................................
48
3 Kinematik des starren Körpers
51
3.1 Grundbegriffe und Formeln ...............................................................................................
51
3.1.1 Translation und Rotation sowie Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ........
3.1.2 Ebene Bewegung des starren Körpers (mit Hinweisen auf die Bewegung im
Raum), Momentanpol, Geschwindigkeit und Beschleunigung ...............................
51
52
3.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber ...................................................................
Aufgabe 3.2 Dreieckscheibe ...........................................................................................
Aufgabe 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe .........................................................
Aufgabe 3.4 Kette einer Planierraupe ............................................................................
56
56
58
59
61
3.3 Fragen und Antworten .......................................................................................................
64
4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme
4.1 Grundbegriffe und Formeln ...............................................................................................
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.1.6
67
67
Dynamisches Grundgesetz (Massenpunkt) ..............................................................
Prinzip von D'ALEMBERT (Massenpunkt) .................................................................
Impulssatz (Massenpunkt) .......................................................................................
Arbeit, Energie, Leistung (Massenpunkt) ................................................................
Energiesatz und Arbeitssatz (Massenpunkt) ............................................................
Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz beim Massenpunktsystem ........................
67
68
69
70
72
73
4.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 4.1 Anschieben eines Autos .............................................................................
Aufgabe 4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn ................................................................
Aufgabe 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung ...........................
Aufgabe 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene ............................................
76
76
76
77
79
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 4.5
Aufgabe 4.6
Aufgabe 4.7
Aufgabe 4.8
Aufgabe 4.9
Aufgabe 4.10
Aufgabe 4.11
Aufgabe 4.12
Aufgabe 4.13
Aufgabe 4.14
Aufgabe 4.15
Aufgabe 4.16
VII
Drei miteinander verbundene Massen .......................................................
Bremsung eines Krans ...............................................................................
Fall eines Transportguts .............................................................................
Massenpunkt an kreisförmiger Wand ........................................................
Massenpunkt auf rauer Unterlage ..............................................................
Sprung aus einem fahrenden Boot .............................................................
Arbeit eines Gepäckträgers ........................................................................
Aufprall eines beladenen Wagens ..............................................................
Reibscheibenkupplung ...............................................................................
Abbremsung auf rauer Unterlage ...............................................................
Bewegung auf rauer schiefer Ebene ..........................................................
Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes .....................
80
82
83
85
87
88
89
89
90
91
92
93
4.3 Fragen und Antworten .......................................................................................................
94
5 Kinetik starrer Körper
5.1 Grundbegriffe und Formeln ...............................................................................................
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
97
97
Translation ...............................................................................................................
Rotation um eine feste Achse ..................................................................................
Massenträgheitsmomente .........................................................................................
Auswuchten von Rotoren .........................................................................................
Ebene Bewegung des starren Körpers .....................................................................
5.1.5.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz ..........................................................................
5.1.5.2 Prinzip von D'ALEMBERT ..............................................................................
5.1.5.3 Energiesatz und Arbeitssatz .........................................................................
5.1.6 Räumliche Bewegung starrer Körper .......................................................................
5.1.6.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz ..........................................................................
97
97
99
106
107
107
108
109
110
110
5.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper ..................................................
Aufgabe 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke .....
Aufgabe 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel .....................................
Aufgabe 5.4 Auswuchten eines starren Rotors ...............................................................
Aufgabe 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene ......................................................
Aufgabe 5.6 Rollende Walze ..........................................................................................
Aufgabe 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil .............................................................
Aufgabe 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel ............................................................
Aufgabe 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle .................................................
Aufgabe 5.10 Drehbarer Stab ...........................................................................................
112
112
113
114
115
119
121
124
127
128
129
5.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 131
Inhaltsverzeichnis
VIII
6 Schwingungen
133
6.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 133
6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen ...........................................................................
6.1.2 Federn und Federnschaltungen ................................................................................
6.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen ...............................................................................
6.1.3.1 Das logarithmische Dekrement (Dämpfungsdekrement) .............................
6.1.4 Erzwungene Schwingungen .....................................................................................
6.1.4.1 Krafterregung oder Erregung über eine Feder (Federkrafterregung) ...........
6.1.4.2 Unwuchterregung .........................................................................................
137
140
141
143
144
144
147
6.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 6.1 Taktmesser (Metronom)
.............................................................................
Aufgabe 6.2 Rollschwinger ............................................................................................
Aufgabe 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder .............................................
Aufgabe 6.4 Scheibe mit Feder ......................................................................................
Aufgabe 6.5 Dünner Stab mit Feder ...............................................................................
Aufgabe 6.6 Schwingende Kreisscheibe ........................................................................
Aufgabe 6.7 Masse mit Balken und Stäben ....................................................................
Aufgabe 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System ..................................................................
Aufgabe 6.9 Ausschwingversuch ...................................................................................
Aufgabe 6.10 Federkrafterregtes System .........................................................................
Aufgabe 6.11 Harmonisch erregtes Federende ................................................................
Aufgabe 6.12 Schwinger mit Erregerkraft .......................................................................
Aufgabe 6.13 Unwuchterregte Maschine .........................................................................
149
149
149
150
151
153
154
156
158
159
160
161
163
165
6.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 167
7 Stoßvorgänge
169
7.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 169
7.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage .................................................................
Aufgabe 7.2 Stoß auf schiefer Ebene .............................................................................
Aufgabe 7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper ......................................................
Aufgabe 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab ...............................................
173
173
174
176
178
7.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 180
8 Relativbewegung
181
8.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 181
Inhaltsverzeichnis
IX
8.2 Aufgaben mit Lösungen ....................................................................................................
Aufgabe 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss ..................................................................
Aufgabe 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe ..........................
Aufgabe 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe .............................
Aufgabe 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab ..................................
Aufgabe 8.5 Fliehkraftpendel .........................................................................................
185
185
186
188
190
191
8.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 193
Leitlinien zum Lösen von Aufgaben aus Kinematik und Kinetik
194
Anhang: Zusammenstellung der Formeln (Formelsammlung)
196
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes ......................................................
Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes ...................................................
Kinematik des starren Körpers ..........................................................................................
Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme ...............................................
Kinetik starrer Körper .......................................................................................................
Schwingungen ...................................................................................................................
Stoßvorgänge .....................................................................................................................
Relativbewegung ...............................................................................................................
196
197
203
205
211
218
222
224
Das griechische Alphabet ..............................................................................................................
Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten ...........................
Einheitennamen und Einheitenzeichen .........................................................................................
Einige Formeln aus der Mathematik .............................................................................................
227
227
228
229
Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik ………………………………………….…. 230
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip ……………..….……………
Zentrales Kräftesystem …………………………………………………………………..
Allgemeines Kräftesystem ……………………………………………………………….
Ebenes Fachwerk ………………………………………………………………………...
Schnittgrößen am Balken ……………………………………………...………………...
Schwerpunkt ……………………………………………………………………………..
Haftung und Reibung ……………………………………...…………………………….
Biegeschlaffes Seil ………………………………………………………………………
230
235
238
241
243
245
249
250
Inhaltsverzeichnis
X
Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre …………………………………… 253
F1 Einheiten; Spannungen …………………………………………………………………..
F2 Verformungen ……………………………………………………………………………
F3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen ……………………...……..
F4 Zug und Druck in Stäben ………………………………………………………………...
F5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente ……………...
F6 Biegung ……………………………………………………………………...…………..
F7 Torsion …………………………………………………………………………………...
F8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen ………………...…………….
F9 Querkraftschub …………………………………………………………………………..
F10 Knickung ………………………………………………………………………………...
F11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck ……………...…………...
F12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung …………………………………………….
F13 Zugfestigkeit R m , Streckgrenze R p0,2 und Bruchdehnung A5 einiger Werkstoffe …....
F14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke ………………………………………...
F15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte ………………………………………………………
F16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) ……………………………………...……
253
254
255
255
257
262
265
269
270
270
273
274
275
275
276
277
Literatur
282
Sachwortverzeichnis
283
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe
Erläuterung
XI
"Info"-Bild
Seite
1
1 Kinematik der geradlinigen
Bewegung eines Punktes
1.1
Freier Fall;
5
Geschwindigkeit, Fallzeit,
kinematische Diagramme
1.2
Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug;
Geschwindigkeit, Zeit
v
Kraftfahrzeug
v
Zug
6
t
t
1.3
Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs;
v
7
Geschwindigkeit, kinematische Diagramme
t
1.4
Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge;
9
1.5
Zeit, Geschwindigkeit beim Aufprall
Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken;
11
Zeit, Steig- und Fallhöhe, Geschwindigkeiten, kinematisches Diagramm
1.6
Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt;
13
Orts-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-ZeitFunktion
1.7
Parallelprojektion einer Kreisbewegung;
16
Ort, Geschwindigkeit, kinematische Diagramme
2.1
2 Kinematik der krummlinigen
Bewegung eines Punktes
21
Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung;
28
Beschleunigungen, Krümmungsradius
2.2
Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden;
29
Geschwindigkeiten, Bahngleichung des Schnittpunktes
2.3
Räumliche Bahnkurve;
Geschwindigkeiten, Bahnkurve
30
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
XII
Aufgabe
Erläuterung
2.4
Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage;
"Info"-Bild
Seite
32
Bahnkurve, Geschwindigkeit, Beschleunigung,
Weg
2.5
Punktbewegung auf ebener Kurve;
35
2.6
Bahngeschwindigkeit, Beschleunigung,
Bahnkurve
Ziehen eines Bootes über einen Kanal;
36
Bahnkurve des Bootes
2.7
Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender
Scheibe;
38
Geschwindigkeit, Beschleunigung
2.8
Kreisbewegung eines Punktes;
39
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
2.9
Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges;
40
Beschleunigungen
2.10
Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer
Kreisbahn;
2.11
Beschleunigungen, Lage der Gesamtbeschleunigung, Ort
Bremsscheibe;
2.12
Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzögerung, Winkelgeschwindigkeit
Schwungscheibe;
Winkelbeschleunigung, Umdrehungen
2.13
Rotierende Schleifenschwinge;
42
ω
44
t
ω
45
t
46
Größe und Richtung der Beschleunigung
2.14
Roboter;
Zylinderkoordinaten, Geschwindigkeitsvektor,
Beschleunigungsvektor
47
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe
Erläuterung
3 Kinematik des starren Körpers
3.1
Rechtwinkliger Kreuzschieber;
"Info"-Bild
XIII
Seite
51
56
Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
3.2
Dreieckscheibe;
58
Geschwindigkeit, Momentanpol
3.3
Beschleunigte rollende Kreisscheibe;
59
Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf
3.4
Kette einer Planierraupe;
61
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
4 Kinetik des Massenpunktes
und der Massenpunktsysteme
Beispiel Massenpunkt auf rauer schiefer Ebene;
67
72
Geschwindigkeit
4.1
Anschieben eines Autos;
76
4.2
Beschleunigung
Antriebskraft einer Straßenbahn;
76
Antriebskraft, Anfahrweg
4.3
Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung;
77
verursachende Kräfte
4.4
Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene;
79
Beschleunigung, Seilkraft
4.5
Drei miteinander verbundene Massen;
80
Beschleunigung, Seilkraft
4.6
Bremsung eines Krans;
Ausschlagwinkel, Seilkraft
82
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
XIV
Aufgabe
Erläuterung
4.7
Fall eines Transportguts;
"Info"-Bild
Seite
83
Fallhöhe
4.8
Massenpunkt an kreisförmiger Wand;
85
erforderliche Höhe
4.9
Massenpunkt auf rauer Unterlage;
87
F
Geschwindigkeit
t
4.10
Sprung aus einem fahrenden Boot;
88
Geschwindigkeiten
4.11
Arbeit eines Gepäckträgers;
89
mechanische Arbeit
4.12
Aufprall eines beladenen Wagens;
89
4.13
erforderliche Geschwindigkeit
Reibscheibenkupplung;
90
Winkelgeschwindigkeit, Energieverlust
4.14
Abbremsung auf rauer Unterlage;
91
erforderlicher Reibungskoeffizient
4.15
Bewegung auf rauer schiefer Ebene;
92
Geschwindigkeit
4.16
Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes;
93
Geschwindigkeit
97
5 Kinetik starrer Körper
Beispiel Walze auf geneigter Bahn;
Geschwindigkeit
109
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe
5.1
Rotierender
Erläuterung
-förmig gebogener Körper;
"Info"-Bild
XV
Seite
112
Massenträgheitsmomente, Lagerkräfte
5.2
Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment
mit konstanter Dicke;
113
Massenträgheitsmomente
5.3
Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel;
114
Massenträgheitsmoment
5.4
Auswuchten eines starren Rotors;
115
notwendige Ausgleichsmassen
5.5
Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene;
119
Beschleunigung, Stangenkraft
5.6
Rollende Walze;
121
Massenträgheitsmoment, Beschleunigung
5.7
Fördersystem aus Rollen und Seil;
124
Beschleunigung, Seilkräfte
5.8
Schweres Seil auf Windentrommel;
127
Drehzahl
5.9
System aus zwei Körpern und einer Rolle;
128
Geschwindigkeit
5.10
Drehbarer Stab;
Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit,
Lagerreaktionen
129
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
XVI
Aufgabe
Erläuterung
6 Schwingungen
6.1
Taktmesser (Metronom);
"Info"-Bild
Seite
133
149
Schwingungsdauer
6.2
Rollschwinger;
149
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
6.3
Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder;
150
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
6.4
Scheibe mit Feder;
151
Schwingungsdauer
6.5
Dünner Stab mit Feder;
153
Massenträgheitsmoment, Eigenkreisfrequenz
6.6
Schwingende Kreisscheibe;
154
Eigenkreisfrequenz
6.7
Masse mit Balken und Stäben;
156
Eigenkreisfrequenz
6.8
Feder-Masse-Dämpfer-System;
158
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
6.9
Ausschwingversuch;
159
logarithmisches Dekrement, Dämpfungsgrad,
Eigenkreisfrequenz, Federkonstante,
Dämpfungskonstante
6.10
Federkrafterregtes System;
Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Amplitude
160
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe
Erläuterung
6.11
Harmonisch erregtes Federende;
"Info"-Bild
XVII
Seite
161
Schwingungsdifferenzialgleichung,
Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunktion
6.12
Schwinger mit Erregerkraft;
163
Erregerkreisfrequenz, Federkonstante
6.13
Unwuchterregte Maschine;
165
Amplitude, Federkonstante
7 Stoßvorgänge
7.1
Stoß auf horizontaler Unterlage;
169
173
Rückprallgeschwindigkeit, Weg
7.2
Stoß auf schiefer Ebene;
174
7.3
Zeit zwischen erstem Zusammenprall und nächstem Zusammenstoß
Stoß gegen drehbar gelagerten Körper;
176
Geschwindigkeiten, Kraftstoß, stoßfreies Lager
7.4
Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab;
178
Winkelgeschwindigkeit
8.1
8 Relativbewegung
181
Mit dem Boot über einen Fluss;
185
Vorhaltewinkel, Absolutgeschwindigkeit,
Fahrzeit
8.2
Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden
Scheibe;
Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung
186
XVIII
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe
Erläuterung
8.3
Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender
Scheibe;
"Info"-Bild
Seite
188
Geschwindigkeit, Beschleunigung
8.4
Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren
Stab;
190
Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung
8.5
Fliehkraftpendel;
Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendellänge
191
0 Einleitung
Die Kinematik beschreibt Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfte einzugehen,
das heißt, die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben.
In der Kinetik wird der Zusammenhang zwischen den Kräften und den durch sie bewirkten Bewegungsänderungen von Massen untersucht. Sind die Kräfte bekannt, so kann daraus im Allgemeinen
der Bewegungsablauf bestimmt werden und umgekehrt.
1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
Die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-ZeitFunktion, besser Orts-Zeit-Funktion x = x(t ) , das heißt, wir wissen zu jeder Zeit t den Abstand x
des Punktes P von einem festen Punkt 0 (Bild 01.1).
1.1 Grundbegriffe und Formeln
1.1.1 Ort (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung
t +Δ t
t
0
P
x(t)
Δx
x (t + Δ t )
Bild 01.1: Bewegung eines Punktes
auf geradliniger Bahn
x = x(t )
vm =
Δ x x(t + Δt ) − x(t )
=
Δt
Δt
am =
Δv v(t + Δt ) − v(t )
=
Δt
Δt
x
Ortskoordinate (Wegkoordinate)
t
Zeit, Zeitpunkt
vm mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall Δt
am mittlere Beschleunigung im Zeitintervall Δt
v
momentane Geschwindigkeit zur Zeit t
a
momentane Beschleunigung zur Zeit t
x&
Geschwindigkeit (1. Ableitung des Ortes
(Weges) nach der Zeit)
Δ x dx
=
= x&
Δ t →0 Δ t
dt
&&
x
Beschleunigung (2. Ableitung des Ortes
(Weges) nach der Zeit)
Δ v dv
=
= v& = &&
x
Δ t →0 Δ t
dt
v&
Beschleunigung (1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit)
v = lim
a = lim
2
Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
1.1.2 Kinematische Diagramme
Über die Bewegung eines Punktes gewinnen wir einen
x
anschaulichen Überblick, wenn wir die Ortskoordinate
x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über
der Zeit auftragen.
a v
x
Die Ortskoordinate x wird öfters auch als Wegkoordinate bezeichnet, was dann zu Missverständnissen führen
t
kann, weil die Koordinate x nicht den Weg, sondern den
Ort des Punktes angibt. Wenn zum Beispiel ein Punkt
x=v
auf einer Strecke hin und her bewegt wird, so kann der
zurückgelegte Weg beliebig groß werden, während sich
sein Ort nur zwischen zwei Grenzen x1 und x2 ändert.
Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t ) = x& (t ) (der
t
Punkt über der Größe bedeutet die Ableitung nach der
Zeit) entsteht durch Ableitung (Differentiation) der
x = v= a
Funktion x(t ) . Dies gilt auch analog für die Funktionen
v(t ) und a(t ) . Durch Integration können wir umgekehrt aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion a(t ) die
Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung v(t ) und weiter die
t
Orts (Weg)-Zeit-Beziehung x(t ) bestimmen. Das
bedeutet zum Beipiel, daß die Änderung des Ortes Bild 01.2: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für
(Ortsdifferenz) durch die Fläche unter der v,t-Linie dareine ungleichförmige Bewegestellt wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Diagung in einer geradlinigen
gramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer
Bahn
geradlinigen Bahn dargestellt. Die geradlinige Bahn ist
neben der Ortskoordinate x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Ort x als unabhängige Variable gewählt, um zum Beispiel die Geschwindigkeits-Orts-Funktion v( x ) darzustellen.
All diese graphischen Darstellungen bezeichnen wir als kinematische Diagramme.
1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung)
Gleichförmige
geradlinige
Bewegung heißt eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a = 0 und die Geschwindigkeit v = konstant
ist.
Der zurückgelegte Weg nach
der Zeit t ist
x = x0 + v t .
x0 ist der Weg, der zu Beginn der Zeitmessung bereits
zurückgelegt war.
x
x= x0+v t
x- x0=v t
x0
x0
t
x=v
v= v0= konst.
v0
vt
Die Steigung der
x,t -Geraden ist
v= Δ x/ Δ t= konst.
Die Ortsdifferenz während
der Zeit t ist gleich der
"Fläche" v t im
v,t -Diagramm.
t
x = v= a
0
t
Bild 01.3:
x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für eine geradlinige
Punktbewegung mit konstanter Geschwindigkeit
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