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Kinematik und Kinetik Arbeitsbuch mit ausführlichen Aufgabenlösungen, Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten von Gerhard Knappstein 4. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 55583 knappstein-kinematik_titelei.indd 1 25.06.2014 13:36:00 Der Autor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der Universität Siegen. 4. Auflage 2014 Druck 5 4 3 2 1 ISBN 978-3-8085-5559-0 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. © 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald Druck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach knappstein-kinematik_titelei.indd 2 25.06.2014 13:36:00 Vorwort Studierende der Ingenieurwissenschaften stellen sehr schnell fest, dass zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Kinematik und Kinetik das selbständige Lösen von Aufgaben unverzichtbar ist. Oft glauben Übende, die gelernten Formeln und Lehrsätze verstanden zu haben, doch in Wirklichkeit haben sie keineswegs alle ihre Anwendungsbedingungen und Konsequenzen erfasst. Das vorliegende Arbeitsbuch ist als Ergänzung zu den Vorlesungen gedacht und bietet die notwendigen Grundbegriffe und Formeln, zahlreiche ausführlich gelöste Übungsaufgaben sowie Fragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse. Alle wichtigen Teilgebiete der Kinematik und Kinetik werden behandelt und sind so strukturiert, dass in jedem Kapitel die drei Komponenten Grundbegriffe und Formeln, Aufgaben mit Lösungen sowie Fragen und Antworten aufeinander folgen. Dadurch besteht eine ausgewogene Verbindung von Theorie und gelösten Übungsaufgaben. Der Inhalt des Buches beschränkt sich bewusst auf das Notwendige und ist durch viele Bilder leicht verständlich, so dass die Studierenden schnell erkennen, worauf es ankommt und den Überblick behalten. Überhaupt habe ich mit Zeichnungen nicht gespart, da Studierende dadurch viel schneller und besser über schwierige Sachverhalte "im Bilde" sind, als das je mit Text geschehen könnte. Zur bestmöglichen Nutzung des Buches empfehle ich, in Verbindung mit den Vorlesungen zunächst das Wesen der wichtigsten Grundbegriffe und Grundformeln zu studieren, und dann zu versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen. Oft ist es auch hilfreich, die Aufgaben, Lösungen, Fragen und Antworten in der Gruppe zu bearbeiten und zu diskutieren. Da die Erfahrung zeigt, dass viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung verlieren, wenn man ihn nicht systematisch anlegt, sind ergänzend Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben. In der vorliegenden 4. Auflage habe ich zusätzlich zur Formelsammlung der Kinematik und Kinetik noch Formelsammlungen zur Statik und zur Festigkeitslehre aus meinen gleichlautenden Büchern aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen Formeln für das Grundlagenfach Technische Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des Verlags Europa-Lehrmittel. Siegen, 2014 Gerhard Knappstein Leserkontakt Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str. 23 42781 Haan-Gruiten [email protected] http://www.europa-lehrmittel.de knappstein-kinematik_titelei.indd 4 25.06.2014 13:37:50 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1 1.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 1 1.1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung ................................................................... 1.1.2 Kinematische Diagramme ........................................................................................ 1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung) ........................................................................................................................ 1 2 1.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung) .............................................. 1.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung ............................................................... 2 3 3 1.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 1.1 Freier Fall ................................................................................................... Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug ...................................................... Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs .................................................... Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Fahrzeuge ................................................................ Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken .............................. Aufgabe 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt ........................................... Aufgabe 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung .................................................... 5 5 6 7 9 11 13 16 1.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 19 2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes 21 2.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 21 2.1.1 Ebene Bewegung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem .............................. 2.1.2 Ebene Bewegung in natürlichen Koordinaten; Tangential- und Normalbeschleunigung .......................................................................................................................... 21 2.1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn; Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, gleichförmige Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung . 22 2.1.4 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaten ................................................... 2.1.5 Räumliche Punktbewegung ...................................................................................... 24 26 26 2.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung ........................................ Aufgabe 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden ......................................... 28 28 29 Inhaltsverzeichnis VI Aufgabe 2.3 Aufgabe 2.4 Aufgabe 2.5 Aufgabe 2.6 Aufgabe 2.7 Aufgabe 2.8 Aufgabe 2.9 Aufgabe 2.10 Aufgabe 2.11 Aufgabe 2.12 Aufgabe 2.13 Aufgabe 2.14 Räumliche Bahnkurve ................................................................................ Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage ................................................. Punktbewegung auf ebener Kurve ............................................................. Ziehen eines Bootes über einen Kanal ....................................................... Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. Kreisbewegung eines Punktes ................................................................... Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges....................................................... Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn ........................ Bremsscheibe ............................................................................................. Schwungscheibe ......................................................................................... Rotierende Schleifenschwinge ................................................................... Roboter ....................................................................................................... 30 32 35 36 38 39 40 42 44 45 46 47 2.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 48 3 Kinematik des starren Körpers 51 3.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 51 3.1.1 Translation und Rotation sowie Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ........ 3.1.2 Ebene Bewegung des starren Körpers (mit Hinweisen auf die Bewegung im Raum), Momentanpol, Geschwindigkeit und Beschleunigung ............................... 51 52 3.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber ................................................................... Aufgabe 3.2 Dreieckscheibe ........................................................................................... Aufgabe 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe ......................................................... Aufgabe 3.4 Kette einer Planierraupe ............................................................................ 56 56 58 59 61 3.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 64 4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme 4.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 67 67 Dynamisches Grundgesetz (Massenpunkt) .............................................................. Prinzip von D'ALEMBERT (Massenpunkt) ................................................................. Impulssatz (Massenpunkt) ....................................................................................... Arbeit, Energie, Leistung (Massenpunkt) ................................................................ Energiesatz und Arbeitssatz (Massenpunkt) ............................................................ Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz beim Massenpunktsystem ........................ 67 68 69 70 72 73 4.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 4.1 Anschieben eines Autos ............................................................................. Aufgabe 4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn ................................................................ Aufgabe 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung ........................... Aufgabe 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene ............................................ 76 76 76 77 79 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 4.5 Aufgabe 4.6 Aufgabe 4.7 Aufgabe 4.8 Aufgabe 4.9 Aufgabe 4.10 Aufgabe 4.11 Aufgabe 4.12 Aufgabe 4.13 Aufgabe 4.14 Aufgabe 4.15 Aufgabe 4.16 VII Drei miteinander verbundene Massen ....................................................... Bremsung eines Krans ............................................................................... Fall eines Transportguts ............................................................................. Massenpunkt an kreisförmiger Wand ........................................................ Massenpunkt auf rauer Unterlage .............................................................. Sprung aus einem fahrenden Boot ............................................................. Arbeit eines Gepäckträgers ........................................................................ Aufprall eines beladenen Wagens .............................................................. Reibscheibenkupplung ............................................................................... Abbremsung auf rauer Unterlage ............................................................... Bewegung auf rauer schiefer Ebene .......................................................... Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes ..................... 80 82 83 85 87 88 89 89 90 91 92 93 4.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 94 5 Kinetik starrer Körper 5.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 97 97 Translation ............................................................................................................... Rotation um eine feste Achse .................................................................................. Massenträgheitsmomente ......................................................................................... Auswuchten von Rotoren ......................................................................................... Ebene Bewegung des starren Körpers ..................................................................... 5.1.5.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 5.1.5.2 Prinzip von D'ALEMBERT .............................................................................. 5.1.5.3 Energiesatz und Arbeitssatz ......................................................................... 5.1.6 Räumliche Bewegung starrer Körper ....................................................................... 5.1.6.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 97 97 99 106 107 107 108 109 110 110 5.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper .................................................. Aufgabe 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke ..... Aufgabe 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel ..................................... Aufgabe 5.4 Auswuchten eines starren Rotors ............................................................... Aufgabe 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene ...................................................... Aufgabe 5.6 Rollende Walze .......................................................................................... Aufgabe 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil ............................................................. Aufgabe 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel ............................................................ Aufgabe 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle ................................................. Aufgabe 5.10 Drehbarer Stab ........................................................................................... 112 112 113 114 115 119 121 124 127 128 129 5.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 131 Inhaltsverzeichnis VIII 6 Schwingungen 133 6.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 133 6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen ........................................................................... 6.1.2 Federn und Federnschaltungen ................................................................................ 6.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen ............................................................................... 6.1.3.1 Das logarithmische Dekrement (Dämpfungsdekrement) ............................. 6.1.4 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 6.1.4.1 Krafterregung oder Erregung über eine Feder (Federkrafterregung) ........... 6.1.4.2 Unwuchterregung ......................................................................................... 137 140 141 143 144 144 147 6.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 6.1 Taktmesser (Metronom) ............................................................................. Aufgabe 6.2 Rollschwinger ............................................................................................ Aufgabe 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder ............................................. Aufgabe 6.4 Scheibe mit Feder ...................................................................................... Aufgabe 6.5 Dünner Stab mit Feder ............................................................................... Aufgabe 6.6 Schwingende Kreisscheibe ........................................................................ Aufgabe 6.7 Masse mit Balken und Stäben .................................................................... Aufgabe 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System .................................................................. Aufgabe 6.9 Ausschwingversuch ................................................................................... Aufgabe 6.10 Federkrafterregtes System ......................................................................... Aufgabe 6.11 Harmonisch erregtes Federende ................................................................ Aufgabe 6.12 Schwinger mit Erregerkraft ....................................................................... Aufgabe 6.13 Unwuchterregte Maschine ......................................................................... 149 149 149 150 151 153 154 156 158 159 160 161 163 165 6.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 167 7 Stoßvorgänge 169 7.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 169 7.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage ................................................................. Aufgabe 7.2 Stoß auf schiefer Ebene ............................................................................. Aufgabe 7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper ...................................................... Aufgabe 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab ............................................... 173 173 174 176 178 7.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 180 8 Relativbewegung 181 8.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 181 Inhaltsverzeichnis IX 8.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... Aufgabe 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss .................................................................. Aufgabe 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe .......................... Aufgabe 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. Aufgabe 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab .................................. Aufgabe 8.5 Fliehkraftpendel ......................................................................................... 185 185 186 188 190 191 8.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 193 Leitlinien zum Lösen von Aufgaben aus Kinematik und Kinetik 194 Anhang: Zusammenstellung der Formeln (Formelsammlung) 196 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes ...................................................... Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes ................................................... Kinematik des starren Körpers .......................................................................................... Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme ............................................... Kinetik starrer Körper ....................................................................................................... Schwingungen ................................................................................................................... Stoßvorgänge ..................................................................................................................... Relativbewegung ............................................................................................................... 196 197 203 205 211 218 222 224 Das griechische Alphabet .............................................................................................................. Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten ........................... Einheitennamen und Einheitenzeichen ......................................................................................... Einige Formeln aus der Mathematik ............................................................................................. 227 227 228 229 Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik ………………………………………….…. 230 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip ……………..….…………… Zentrales Kräftesystem ………………………………………………………………….. Allgemeines Kräftesystem ………………………………………………………………. Ebenes Fachwerk ………………………………………………………………………... Schnittgrößen am Balken ……………………………………………...………………... Schwerpunkt …………………………………………………………………………….. Haftung und Reibung ……………………………………...……………………………. Biegeschlaffes Seil ……………………………………………………………………… 230 235 238 241 243 245 249 250 Inhaltsverzeichnis X Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre …………………………………… 253 F1 Einheiten; Spannungen ………………………………………………………………….. F2 Verformungen …………………………………………………………………………… F3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen ……………………...…….. F4 Zug und Druck in Stäben ………………………………………………………………... F5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente ……………... F6 Biegung ……………………………………………………………………...………….. F7 Torsion …………………………………………………………………………………... F8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen ………………...……………. F9 Querkraftschub ………………………………………………………………………….. F10 Knickung ………………………………………………………………………………... F11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck ……………...…………... F12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung ……………………………………………. F13 Zugfestigkeit R m , Streckgrenze R p0,2 und Bruchdehnung A5 einiger Werkstoffe ….... F14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke ………………………………………... F15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte ……………………………………………………… F16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) ……………………………………...…… 253 254 255 255 257 262 265 269 270 270 273 274 275 275 276 277 Literatur 282 Sachwortverzeichnis 283 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung XI "Info"-Bild Seite 1 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1.1 Freier Fall; 5 Geschwindigkeit, Fallzeit, kinematische Diagramme 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug; Geschwindigkeit, Zeit v Kraftfahrzeug v Zug 6 t t 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs; v 7 Geschwindigkeit, kinematische Diagramme t 1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge; 9 1.5 Zeit, Geschwindigkeit beim Aufprall Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken; 11 Zeit, Steig- und Fallhöhe, Geschwindigkeiten, kinematisches Diagramm 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt; 13 Orts-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-ZeitFunktion 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung; 16 Ort, Geschwindigkeit, kinematische Diagramme 2.1 2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes 21 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung; 28 Beschleunigungen, Krümmungsradius 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden; 29 Geschwindigkeiten, Bahngleichung des Schnittpunktes 2.3 Räumliche Bahnkurve; Geschwindigkeiten, Bahnkurve 30 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XII Aufgabe Erläuterung 2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage; "Info"-Bild Seite 32 Bahnkurve, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg 2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve; 35 2.6 Bahngeschwindigkeit, Beschleunigung, Bahnkurve Ziehen eines Bootes über einen Kanal; 36 Bahnkurve des Bootes 2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe; 38 Geschwindigkeit, Beschleunigung 2.8 Kreisbewegung eines Punktes; 39 Geschwindigkeit-Zeit-Funktion 2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges; 40 Beschleunigungen 2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn; 2.11 Beschleunigungen, Lage der Gesamtbeschleunigung, Ort Bremsscheibe; 2.12 Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzögerung, Winkelgeschwindigkeit Schwungscheibe; Winkelbeschleunigung, Umdrehungen 2.13 Rotierende Schleifenschwinge; 42 ω 44 t ω 45 t 46 Größe und Richtung der Beschleunigung 2.14 Roboter; Zylinderkoordinaten, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigungsvektor 47 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 3 Kinematik des starren Körpers 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber; "Info"-Bild XIII Seite 51 56 Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung 3.2 Dreieckscheibe; 58 Geschwindigkeit, Momentanpol 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe; 59 Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf 3.4 Kette einer Planierraupe; 61 Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme Beispiel Massenpunkt auf rauer schiefer Ebene; 67 72 Geschwindigkeit 4.1 Anschieben eines Autos; 76 4.2 Beschleunigung Antriebskraft einer Straßenbahn; 76 Antriebskraft, Anfahrweg 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung; 77 verursachende Kräfte 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene; 79 Beschleunigung, Seilkraft 4.5 Drei miteinander verbundene Massen; 80 Beschleunigung, Seilkraft 4.6 Bremsung eines Krans; Ausschlagwinkel, Seilkraft 82 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XIV Aufgabe Erläuterung 4.7 Fall eines Transportguts; "Info"-Bild Seite 83 Fallhöhe 4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand; 85 erforderliche Höhe 4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage; 87 F Geschwindigkeit t 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot; 88 Geschwindigkeiten 4.11 Arbeit eines Gepäckträgers; 89 mechanische Arbeit 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens; 89 4.13 erforderliche Geschwindigkeit Reibscheibenkupplung; 90 Winkelgeschwindigkeit, Energieverlust 4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage; 91 erforderlicher Reibungskoeffizient 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene; 92 Geschwindigkeit 4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes; 93 Geschwindigkeit 97 5 Kinetik starrer Körper Beispiel Walze auf geneigter Bahn; Geschwindigkeit 109 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 5.1 Rotierender Erläuterung -förmig gebogener Körper; "Info"-Bild XV Seite 112 Massenträgheitsmomente, Lagerkräfte 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke; 113 Massenträgheitsmomente 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel; 114 Massenträgheitsmoment 5.4 Auswuchten eines starren Rotors; 115 notwendige Ausgleichsmassen 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene; 119 Beschleunigung, Stangenkraft 5.6 Rollende Walze; 121 Massenträgheitsmoment, Beschleunigung 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil; 124 Beschleunigung, Seilkräfte 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel; 127 Drehzahl 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle; 128 Geschwindigkeit 5.10 Drehbarer Stab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Lagerreaktionen 129 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XVI Aufgabe Erläuterung 6 Schwingungen 6.1 Taktmesser (Metronom); "Info"-Bild Seite 133 149 Schwingungsdauer 6.2 Rollschwinger; 149 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder; 150 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.4 Scheibe mit Feder; 151 Schwingungsdauer 6.5 Dünner Stab mit Feder; 153 Massenträgheitsmoment, Eigenkreisfrequenz 6.6 Schwingende Kreisscheibe; 154 Eigenkreisfrequenz 6.7 Masse mit Balken und Stäben; 156 Eigenkreisfrequenz 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System; 158 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.9 Ausschwingversuch; 159 logarithmisches Dekrement, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonstante, Dämpfungskonstante 6.10 Federkrafterregtes System; Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Amplitude 160 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 6.11 Harmonisch erregtes Federende; "Info"-Bild XVII Seite 161 Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunktion 6.12 Schwinger mit Erregerkraft; 163 Erregerkreisfrequenz, Federkonstante 6.13 Unwuchterregte Maschine; 165 Amplitude, Federkonstante 7 Stoßvorgänge 7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage; 169 173 Rückprallgeschwindigkeit, Weg 7.2 Stoß auf schiefer Ebene; 174 7.3 Zeit zwischen erstem Zusammenprall und nächstem Zusammenstoß Stoß gegen drehbar gelagerten Körper; 176 Geschwindigkeiten, Kraftstoß, stoßfreies Lager 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab; 178 Winkelgeschwindigkeit 8.1 8 Relativbewegung 181 Mit dem Boot über einen Fluss; 185 Vorhaltewinkel, Absolutgeschwindigkeit, Fahrzeit 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe; Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung 186 XVIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe; "Info"-Bild Seite 188 Geschwindigkeit, Beschleunigung 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab; 190 Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung 8.5 Fliehkraftpendel; Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendellänge 191 0 Einleitung Die Kinematik beschreibt Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfte einzugehen, das heißt, die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben. In der Kinetik wird der Zusammenhang zwischen den Kräften und den durch sie bewirkten Bewegungsänderungen von Massen untersucht. Sind die Kräfte bekannt, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf bestimmt werden und umgekehrt. 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes Die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-ZeitFunktion, besser Orts-Zeit-Funktion x = x(t ) , das heißt, wir wissen zu jeder Zeit t den Abstand x des Punktes P von einem festen Punkt 0 (Bild 01.1). 1.1 Grundbegriffe und Formeln 1.1.1 Ort (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung t +Δ t t 0 P x(t) Δx x (t + Δ t ) Bild 01.1: Bewegung eines Punktes auf geradliniger Bahn x = x(t ) vm = Δ x x(t + Δt ) − x(t ) = Δt Δt am = Δv v(t + Δt ) − v(t ) = Δt Δt x Ortskoordinate (Wegkoordinate) t Zeit, Zeitpunkt vm mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall Δt am mittlere Beschleunigung im Zeitintervall Δt v momentane Geschwindigkeit zur Zeit t a momentane Beschleunigung zur Zeit t x& Geschwindigkeit (1. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit) Δ x dx = = x& Δ t →0 Δ t dt && x Beschleunigung (2. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit) Δ v dv = = v& = && x Δ t →0 Δ t dt v& Beschleunigung (1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit) v = lim a = lim 2 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1.1.2 Kinematische Diagramme Über die Bewegung eines Punktes gewinnen wir einen x anschaulichen Überblick, wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auftragen. a v x Die Ortskoordinate x wird öfters auch als Wegkoordinate bezeichnet, was dann zu Missverständnissen führen t kann, weil die Koordinate x nicht den Weg, sondern den Ort des Punktes angibt. Wenn zum Beispiel ein Punkt x=v auf einer Strecke hin und her bewegt wird, so kann der zurückgelegte Weg beliebig groß werden, während sich sein Ort nur zwischen zwei Grenzen x1 und x2 ändert. Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t ) = x& (t ) (der t Punkt über der Größe bedeutet die Ableitung nach der Zeit) entsteht durch Ableitung (Differentiation) der x = v= a Funktion x(t ) . Dies gilt auch analog für die Funktionen v(t ) und a(t ) . Durch Integration können wir umgekehrt aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion a(t ) die Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung v(t ) und weiter die t Orts (Weg)-Zeit-Beziehung x(t ) bestimmen. Das bedeutet zum Beipiel, daß die Änderung des Ortes Bild 01.2: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für (Ortsdifferenz) durch die Fläche unter der v,t-Linie dareine ungleichförmige Bewegestellt wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Diagung in einer geradlinigen gramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer Bahn geradlinigen Bahn dargestellt. Die geradlinige Bahn ist neben der Ortskoordinate x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Ort x als unabhängige Variable gewählt, um zum Beispiel die Geschwindigkeits-Orts-Funktion v( x ) darzustellen. All diese graphischen Darstellungen bezeichnen wir als kinematische Diagramme. 1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung) Gleichförmige geradlinige Bewegung heißt eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a = 0 und die Geschwindigkeit v = konstant ist. Der zurückgelegte Weg nach der Zeit t ist x = x0 + v t . x0 ist der Weg, der zu Beginn der Zeitmessung bereits zurückgelegt war. x x= x0+v t x- x0=v t x0 x0 t x=v v= v0= konst. v0 vt Die Steigung der x,t -Geraden ist v= Δ x/ Δ t= konst. Die Ortsdifferenz während der Zeit t ist gleich der "Fläche" v t im v,t -Diagramm. t x = v= a 0 t Bild 01.3: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für eine geradlinige Punktbewegung mit konstanter Geschwindigkeit
