Komplexe Zahlen

Prof. Dr. W. Rosenheinrich
Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Fachhochschule Jena
05.11.2008
Übungsmaterial: Komplexe Zahlen
Diese Aufgaben sollen das schöpferische Herangehen an die komplexen Zahlen fördern, während das andere Übungsmaterial auf (ebenfalls wichtige) mechanische Rechenfertigkeiten abzielt.
Speziell soll die Einsicht vermittelt werden, daß geometrisches Denken (Komplexe Zahlen werden repräsentiert durch Punkte einer Ebene.) zur Lösung solcher Probleme oftmals nützlich ist.
Aufgaben:
1. Es sei u = 2.72e−0.43j , v = 0.95e2.07j , w = 2.19e1.53j und z = 6.22e−1.78j .
Ermitteln Sie u · v · w · z und u + v + w + z !
2. Für welchen Wert a gilt die folgende Gleichung?
Geben Sie alle komplexen Zahlen z an, die sie dann erfüllen!
3 − 7j
z + z̄
=
a + 5j
3. Skizzieren Sie die Bilder der Funktionen fk (x) =Re(exzk ) für −6 ≤ x ≤ 6 und die neun dargestellten Werte von zk , k = 1, 2, . . . , 9 ! (Die komplexen Zahlen zk werden durch die wie angegeben
numerierten Punkte der komplexen Ebene repräsentiert. Z. B. ist z4 = −0.2 + j.)
.
............. Im(z)
7m
8m
9m
.t... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...............t..2....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......t
...
..
..
....
...
..
..
.
...
...
..
....
...
...
....
...
...
....
...
....
...
...
....
...
.
.
.
m
m
m
.
.
4 .
5 .
6 ...
...t.... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...............t..1........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....t
....
...
..
....
...
...
...
..
....
...
..
....
..
....
...
...
....
...
..
....
..
..
..
.
.
...
1m
2m
3m
Re(z)
...
....
.
.
t
t
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................t..............................................
. -0.2
. 0.2
.... 0
..
4. Zeigen Sie die Gültigkeit der Formeln |uz| = |u||z| und |u + z| ≤ |u| + |z| für beliebige komplexe
Zahlen u und z !
5. Man löse die Gleichungen
a) z 3 + j = 0 ,
b) z 5 − 5 − 8j = 0 ,
c) z 4 + 7 + 4j = 0 ,
d) z 3 − 10 + 5j = 0 !
6. a) Geben Sie eine komplexe Zahl z an, für die z + z̄ = 10 und z · z̄ = 100 gilt!
b) Überführen Sie z = 3 − 8j in die trigonometrische Form und geben Sie - ebenfalls in trigonometrischer Schreibweise - eine Zahl u mit negativen Imaginärteil an, die der Bedingung u2 = z
genügt!
7. Für die Glieder der geometrischen Folge gibt es eine Summenformel, die es erlaubt, 1 + q + q 2 +
. . . + q n zu berechnen; sie gilt auch für komplexe Werte q. Errechnen Sie unter Benutzung der
trigonometrischen Form der komplexen Zahl die Summe
30
X
(1.1 − 0.2j)k
k=0
1
!
8. Die “Rechnung“
1
1
+
a
b
1
a+b
=
ist im allgemeinen falsch.
Für spezielle Wertepaare {a, b} trifft sie aber ausnahmsweise zu; finden sie wenigstens ein solches
Paar!
9. Es sei z 2 = a + bj mit ab 6= 0 gegeben; finden Sie eine Formel, um die möglichen Realteile x und
Imaginärteile y von z = x + yj direkt zu berechnen, ohne die trigonometrische oder Exponentialdarstellung zu benutzen!
10. Gegeben sind die reellen Werte a, b, c und d; gesucht sind Realteil x und Imaginärteil y von den
Lösungen z1,2 der komplexen quadratischen Gleichung z 2 + (a + bj)z + c + dj = 0.
11. Für das Argument ϕ der komplexen Zahl z gilt ϕ = 0.735 (im Bogenmaß); es ist Im(z)=11.72.
Geben Sie den Kehrwert der konjugiert komplexen Zahl z̄ in der Exponentialform an!
12. Zu z = 0.8 − 1.1j berechne man z −3 + z −2 + z −1 + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 !
13. Welche Punktmengen in der komplexen Ebene sind durch die folgenden Angaben definiert?
a) Im(z) = |z|, b) z = |z|, c) z = z̄, d) |z| = 3, e) |z + 3 − 4j| > 5, f) |z̄ + 4 + 5j| ≤ 2
14. Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke in das Produkt von linearen Funktionen in z!
a) z 2 − 5, b) z 2 + 5, c) z 3 − 2z 2 + 4z − 8, d) z 3 + j, e) z 4 − 1
15. Aus der Eulerschen Formel folgt
sin z =
ejz − e−jz
2j
cos z =
und
ejz + e−jz
.
2
Weisen Sie mit Hilfe dieser Beziehungen die Gültigkeit der Gleichungen sin2 z + cos2 z = 1 und
sin 2z = 2 sin z · cos z nach!
16. Welche quadratische Funktionen z 2 + Az + B haben jeweils die folgenden Nullstellen?
a) z1 = −3 − 7j und z2 = −3 + 7j, sowie b) z1 = 2 − 3j und z2 = 3 + j ?
17. Es seien u und w zwei verschiedene komplexe Zahlen.
Für welche komplexe Zahl z ist |u − z|2 + |w − z|2 minimal?
18. Es bezeichne max(a, b) die größere der beiden reellen Zahlen a und b.
Sei z = x + yj mit dem Realteil x und dem Imaginärteil y.
a) Begründen Sie die Ungleichungen
max(|x|, |y|) ≤ |z| ≤ |x| + |y| !
b) Für welche Zahlen z wird die diese Ungleichung zur Gleichung?
c) Ermitteln Sie eine möglichst große Zahl α und eine möglichst kleine Zahl β, so daß für alle
komplexen Zahlen z die Ungleichung
α (|x| + |y|) ≤ |z| ≤ β max(|x|, |y|) gilt !
19. Die nachfolgenden Gleichungen sollen Umformungen der linken Seite in die rechte darstellen.
Sie sind falsch gerechnet. Das kann man erkennen, ohne die Rechnung mit dem Taschenrechner
auszuführen. Wie?1
a)
o
22.42 − 19.81j = 21.79e−41.56 j ,
b)
73.405 + 19.491j
= −18.12 − 27.80j
0.522 − 0.399j
1 Schon an der Tür, wandte sich der Navigator um. Der Kommandant warf das Protokoll mit den Analyseergebnissen
auf den Tisch.
’Was soll das heißen? Was ist das wieder für eine Idiotie? Wer hat das geschrieben?’
’Der Automat. Was ist los?’ fragte Rohan, mühsam Ruhe bewahrend, ...
’Lesen Sie! Hier, bitte, hier!’
’Methan - vier Prozent’, las Rohan laut und erstarrte unwillkürlich.
’Vier Prozent Methan, wie? Und Sauerstoff sechzehn? Wissen Sie, was das ist? Ein explosives Gemisch! Wollen Sie mir nicht
erklären, warum die ganze Atmosphäre nicht explodiert ist, als wir mit Borwasserstoff gelandet sind?’
’Tatsächlich ... Das verstehe ich nicht’, stammelte Rohan.
S. Lem,
Der Unbesiegbare
2
c)
e)
o
20.08 − 20.08j = 35.87e−45 j ,
d)
16.38(cos 0.71 + j sin 0.71) = 16.379 + 0.203j
(84.35−0.88j)·(2.55−0.034j) = −213.552+11.72j ,
g) z 2 + 67.88z − 10.52 = 0
i)
=⇒
(22.74+4.92j)2 = −492.90+223.76j
f)
z1,2 = −33.94 ± 33.78j ,
h)
(7.82 + 7.19j)2 = 112.45j
o
o
o
72.19 e104.7 j + 0.93 e229.1 j = 71.67 e19.9 j ,
j)
o
o
o
9.86 e134.8 j + 2.67 e134.8 j = 12.53 e55.2 j
k) z 2 + 67.88z + 10.52 = 0
l)
=⇒
z1,2 = −33.94 ± 13.83j ,
o
o
14.77 e20.7 j − 22.90 = 7.18 e85.2 j
20. Welche Werte nimmt die nachstehende Funktion f (z) mit dem komplexen Argument z an?
f (z)
=
|z|
|z|
+
z
z̄
21. Welche komplexe Zahl z ergibt, mit 7 − 2j multipliziert, ihre konjugiert komplexe?
22. Ermitteln Sie die rellen Zahlen x und y aus (5 + 13j) · (x − 11j) = y − 146j !
23. Für welches Argument ϕ ist der Betrag von 19 + 58j + 72 ejϕ maximal?
24. Sei z = 104 + 238j und ϕ sein Argument.
Sind die Argumente der folgenden komplexen Zahlen kleiner oder größer als ϕ?
Treffen Sie diese Entscheidung, ohne die Argumente - sie sollen dabei stets im Bereich von 0 bis 2π
liegen - konkret auszurechnen!
a) z + 1 ,
b) z + j ,
c) (201 + 11j) · z ,
d) z/(73 − 4j)
25. Es sei z = r ejϕ 6= 0 und λ > 0.
Ermitteln Sie ϕ und λ aus der Gleichung
(1.14 + 0.93j) · z = λr ejλϕ
!
Alle Argumente sollen im Bereich von 0 bis 2π liegen.
26. Bestimmen Sie r1 , r2 und ϕ aus der Bedingung, daß die Gleichung
o
7 − 3j + r1 ejϕ = r2 e19 j
genau einen solchen Satz von Werten als Lösung hat (die Mehrdeutigkeit von ϕ nicht gerechnet).
Finden Sie diesen Satz!
27. Ermitteln Sie den Wert von
(1 + j)222
j(1 + j)221 − (1 − j)220
!
28. Es seien ϕ1 und ϕ2 beliebige Werte.
In welchen Grenzen bezüglich R liegt der Betrag r der komplexen Zahl R(cos ϕ1 + j sin ϕ2 ) ?
29. Es ist z die Lösung der quadratischen Gleichung 3.92z 2 − 0.79z + 104.55 = 0 mit Im(z) < 0, sei
a = 0.938 − 0.607j.
a) Um wieviel Prozent ist der Betrag von az größer oder kleiner als der von z?
b) Wie groß ist der Betrag von z?
30. Es gebe genau eine Zahl z mit |z| = |z − 6 + 2j|, finden Sie diese!
31. Man bestimme alle r und ϕ, so daß
2.19 e−1.09j + r e0.52j + 3.83 eϕj = 0
gilt.
3
32. Man finde alle komplexen Zahlen z, für die die Addition von 2 − 7j eine Vergrößerung des Betrages
um 19.3% bewirkt, die von 1 + 4j dagegen eine Verkleinerung um 7.4% !
33. Es sei z 6= 0 eine gegebene komplexe Zahl.
a) Was läßt sich über u sagen, wenn man weiß, daß z · u reell ist?
b) Was über w, wenn sich z + w als reell erweist?
34. Beschreiben Sie mit Worten die folgenden Teilmengen der komplexen Zahlen!
a) |z| > Re(z) , b) |z| ≤ Im(z) , c) Im(z) < Re(z) , d) {|Re(z)| ≤ 4| und |Im(z) + 2| < 1|}
35. Für zwei komplexe Zahlen u und w gelte u · w 6= 0 und |u + w| = |u| + |w|.
Was folgt hieraus für Arg(u) und Arg(w) ?
Welche Bedeutung hat die Bedingung u · w 6= 0 ?
36. Warum ist die folgende Rechnung offenbar falsch?
|14.3 − 22.8j|
=
o
26.913 e−j·57.90
37. Finden Sie alle z mit z + 2z̄ = 3|z| !
38. Finden Sie - nur durch Überlegung, ohne Rechnung auf dem Papier! - alle komplexen Zahlen z, für
die
z + z̄ + |z| = 0
gilt !
4
Lösungen:
1. Das Produkt dieser vier Zahlen kann am einfachsten gleich aus ihrer Exponentialform berechnet
werden:
2.72e−0.43j ·0.95e2.07j ·2.19e1.53j ·6.22e−1.78j = 2.72·0.95·2.19·6.22·e(−0.43 + 2.07 + 1.53 − 1.78)j =
= 35.1987e1.39j .
Wenn die arithmetische Form des Resultats interessiert, so ist sie hieraus leicht zu ermitteln:
35.1987e1.39j = 35.1987(cos 1.39 + j · sin 1.39) = 6.329 + 34.625j .
Die Summe wird berechnet, indem man die Summanden zuerst in die arithmetische Form überführt.
Hierzu gibt es keine bequeme Alternative!
u + v + w + z = (2.472 − 1.134j) + (−0.455 + 0.834j) + (0.089 + 2.188j) + (−1.292 − 6.084j) =
= 0.815 − 4.196j = 4.274 · e−1.379j
2. Sei z = x + yj mit reellen Werten x und y, dann gilt
3 − 7j
3 − 7j
3 − 7j
3
7
=
=
=
−
j = a + 5j ,
z + z̄
(x + yj) + (x − yj)
2x
2x 2x
also ist (Vergleich der Imaginärteile) −7/2x = 5 oder x = −0.7.
Es folgt 3/(−1.4) = a, mithin a = −15/7 = −2.143 857.
Der Wert von y ist aus dieser Gleichung nicht bestimmt, es kommen alle z = −0.7 + yj mit jedem
beliebigen (reellen) y in Frage.
Im Nenner des Aufgabenbruchs war eine Summe zu berechnen, also bot sich ein Ansatz für z in
arithmetischer Form an.
3. Die Kurven zu den neun Punkten sind mit zk = ak + bk j die der Funktionen fk (x) = eak x cos bk x:
......
............... fk (x)
............... fk (x)
......
.
.
.
3
k
=
2
k
=
1
.... 3
.
........
....
.........
...
..
..........
.
...........2
.........2
...........
............
....
...
..............
.
.....................
.............................................................................................1..................................................................................
.... 1.......................................
....
............................................
...
.
.......................................................................................................................................................................................................x... .......................................................................................................................................................................................................x...
..
....
.
..
-6
-3
3
6
6
3
-6
-3
.
...........-1
...........-1
...
....
.
.
...........-2
...........-2
....
...
.
.
...........-3
...........-3
..
..
.
.
................. fk (x)
................. fk (x)
...
......
.
.
.
.
k
=
4
k=3
.
.
.... 3
.... 3
...
...
........
...
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
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..........2
.......2
.
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....
....
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.. ....................
...
...
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.... ........1........
........... .... 1
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... .......
...
............................................
...
...... ..
.....................................................................................................................................................................................................x... ..............................................................................................................................................................................................................................x
..
............. ...............
..
..
..
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
3
6
-3
-6
3
6
-6
-3
...
.
...
...........-1
..........-1
...
...
...
.
..
....
.
..... .......
..
.
.......
...........-2
...........-2
....
...
.
.
...........-3
...........-3
..
..
5
.
.
................. fk (x)
................. fk (x)
.
... 3
.
k=6
k=5
.... 3
..
.
.
.
..
..
..
...........2
...........2
...
...
...
.
...
...
........
..
....
...............1..........
..............1............
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....
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.. ... ......
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...
.... ...
.
...
....
....
.
.
... .................................................................................................................................................................................................................................x
........................................................................................................................................................................................................................x
....
.
............ .........
.....
...
.
.....
.
....
...
....
...-3
.
..........
.
.
..... -3 ........
.
3
6
-6
3
6
-6
.
.
.
.
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.
...
....................
...................
...........-1
...........-1
...
..
....
.
...
...
.
.
..... ....
.
.
.........
...........-2
...........-2
....
....
.
.
...........-3
...........-3
...
...
.......... fk (x)
.......... fk (x)
.
........3
.
.
.
.
.
.
.
3
.
k=8
k=
... 7
...
....
...
..
..
.
...
.
...........2
.........2
...
.. .......
.
...
.
...
....
. ..
...
.
...
... ....
.
....
...
............1....
............
...
...
...
.
.......... .1....
.
.... .....
.
.
...
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...
...
.. ....
.
.... ....
.
.
..............
. ... ...
.
...
...
.
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.
.
.
.
....
.... ............................................................................................................................................................................................................x
......................................................................................................................................................................................................................x
...
.. ...
.. ... ...
.............
...
...
...
...
.
.
.
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.
... .. 6
.... ...
-3 .... ...
-6 .... ...
3
6
-3 ... .
-6 ...
.
.
. . 3
........
......
......
...
..
... ... ...........-1 ..
...........-1 ..........
.......
..
..
... ..
.
.
.
.
.
... .
.
.
... ..
...........-2
...........-2
........
....
....
.
..
.
.
...........-3
........-3
...
...
...... f (x)
.............3 k
k=9
.
....
..
..
.
.
.
.
........2
.
...
....
........
...
..
.. ....
.
.
.
......
.. ....
..
......... 1.....
.
.
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. . .
.. ...
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....
...............................................................................................................................................................................................................................x
..............
...
.... ... ... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-6
-3
6
3 ...
........
.
.
...
..
...........-1 ..... ...
......
... ...
....
... .
.
...........-2
... ..
.......
....
...........-3
..
4. Es sei wie üblich z = a + bj und u = c + dj mit beliebigen Koeffiziente a, b, c, d. Dann gilt zunächst
p
|uz| = |(a + bj)(c + dj)| = |(ac − bd) + (ad + bc)j| = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 =
p
= a2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 c2 ,
da sich die mittleren Produkte in der Wurzel wegheben. Andererseits ist
p
p
p
p
|u||z| = a2 + b2 · c2 + d2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = a2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 c2 ,
und dieser Ausdruck stimmt mit dem oberen überein.
Die erste Gleichung ist bewiesen.
Für die Dreiecksungleichung nimmt man an, sie gelte, und formt sie durch erlaubte Schritte in eine
offensichtlich gültige Ungleichung um.
Auf beiden Seiten steht etwas Nichtnegatives; bei zwei nichtnegativen Werten hat der größere das
größere Quadrat. Mithin gilt
|u + z|2 ≤ (|u| + |z|)2 = |u|2 + 2|u||z| + |z|2
p
(a + c)2 + (b + d)2 ≤ (a2 + b2 ) + 2 (a2 + b2 )(c2 + d2 ) + (c2 + d2 )
p
2ac + 2bd ≤ 2 a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
Diese Ungleichung kann man ungeschadet durch 2 dividieren, was sie etwas vereinfacht. Wenn der
linke Teil der Ungleichung negativ ist, so stimmt sie, denn rechts steht immer ein nichtnegativer
6
Ausdruck.
Wenn auch links ein Wert ≥ 0 auftaucht, so kann man diese Ungleichung beidseitig quadrieren, und
das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten:
a2 c2 + 2acbd + b2 d2 ≤ a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
⇐⇒
⇐⇒
2acbd ≤ a2 d2 + b2 c2
0 ≤ a2 d2 − 2acbd + b2 c2 = (ad − bc)2
Diese letzte Ungleichung gilt offensichtlich; wir können sie als ’wahr’ akzeptieren. Nun kann man
Schritt für Schritt zurückgehen; aus dieser wahren Aussage folgt die Gültigkeit der Ungleichung
davor usw., denn alle Umformungen sind so gehalten, daß sie sich umkehren lassen.
5. a) z = r · (cos ϕ + j sin ϕ) =⇒ z 3 + j = z 3 − (−j) = r3 · (cos 3ϕ + j sin 3ϕ) − 1 · (cos(k + 43 ) ·
360o + j sin(k + 34 ) · 360o ) = 0 für beliebige ganze Zahlen k.
Schlußfolgerung: r3 = 1 und 3ϕ = (k + 34 ) · 360o , also r = 1 und ϕ = ϕk = 90o + k · 120o mit beliebigem ganzzahligen Wert k; bedeutsam sind aber nur drei Werte von k, beispielsweise k = 0, 1, 2,
da alle p
anderen
Winkel in diesen enthalten sind.
√
5
b) r =
89 = 1.5665 , 5ϕ = arctan 85 + k · 360o ⇒ ϕk = 11.599o + k · 72o , k = 0, 1, 2, 3, 4.
p
√
4
c) r =
65 = 1.6851 , 4ϕ = (arctan 47 + 180o ) + k · 360o ⇒ ϕk = 52.436o + k · 90o , k = 0, 1, 2, 3.
p
√
3
o
o
o
125 = 2.2361 , 3ϕ = arctan −5
d) r =
10 + k · 360 ⇒ ϕk = −8.855 + k · 120 , k = 0, 1, 2.
6.
a) z = a + b ,
z + z̄ = 2a = 10 =⇒ a = 5
√
z · z̄ = a2 + b2 = 25 + b2 = 100 =⇒ b = ± 75
√
b) z = 73(cos(−69.44o ) + j cos(−69.44o )) =⇒
√
4
u = 73(cos(−34.72o ) + j cos(−34.72o )) = 2.4025 − 1.6649j
7.
30
X
k
(1.1 − 0.2j)
k=0
=
(1.1 − 0.2j)31 − 1
=
=
(1.1 − 0.2j) − 1
√
31
1.25(cos(−10.305o ) + j sin(−10.305o )) − 1
=
0.1 − 0.2j
(23.145 + 20.658j)(0.1 + 0.2j)
1.2515.5 · (cos(−31 · 10.305o ) + j sin(−31 · 10.305o )) − 1
=
=
0.1 − 0.2j
0.05
=
2.3145 − 4.1316 + 4.6290j + 2.0658j
= −36.342 + 133.896j
0.05
8. Es muß a 6= 0, b 6= 0 und a + b 6= 0 sein; die Gültigkeit der Beziehung unterstellt wird nach
Multiplikation der Gleichung mit a + b
1 =
a+b
a+b
b
a
+
= 1+ +1+
a
b
a
b
,
es wird z = a/b gesetzt. Dann folgt
1
z2 + z + 1
(z + 1/2)2 + 3/4
0 = 1+ +z =
=
z
z
z
=⇒
z1,2
√
1
3
= − ±
j
2
2
Die angegebene ’Formel’ trifft also für reelle Werte a und b nie zu! Wenigstens eine dieser Zahlen
muß komplex sein! Ein mögliches Paar ist z. B. b = 1 und a = z.
Zum Ansatz z = a/b: Sei a und b ein Lösungspaar der Gleichung. Es werde mit einem beliebigen
Faktor λ 6= 0 multipliziert, dann gilt auch
1
1
1
+
=
.
λa λb
λ(a + b)
Mithin sind a und b nicht eindeutig bestimmt, denn man kann sie mit einem beliebigen nichtverschwindenden Faktor multiplizieren. Allerdings ändert dies nichts an ihrem Verhältnis - dafür
kommen nur zwei mögliche Werte in Frage.
7
9.
z 2 = (x + yj)2 = x2 − y 2 + 2xyj
=⇒
a = x2 − y 2 ,
b = 2xy
Wegen b 6= 0 müssen auch x und y von Null verschieden sein; die letzte Gleichung wird nach y
umgestellt und in die vorige eingesetzt:
s
2
2
b
a2
b
b2
a
= 0 =⇒ x2 =
+
+
x2 − 2 = a =⇒ x4 − ax2 −
4
2
4
4
4x
Wegen notwendigerweise x2 > 0 kommt nur die Summe in der Lösungsformel der quadratischen
Gleichung in Frage; letztlich folgt
s
p
a + a2 + b2
x1,2 = ±
2
und
y1,2 = ±
b
2
s
2
p
a + a 2 + b2
v
p
u
2
2 + b2
u
a
−
b
a
u
=
= ±t p
p
2 a + a2 + b2 · a − a2 + b2
v sp
p
u 2
u b a − a2 + b2
t
a2 + b2 − a
= ±
= ±
2
2
2
2
2[a − (a + b )]
Die Vorzeichen vor den beiden Resultaten sind jeweils so zu wählen, daß xy dasselbe Vorzeichen
wie b hat.
10.
(x + jy)2 + (a + bj)(x + jy) + c + dj = x2 + 2xyj − y 2 + ax − by + ayj + bxj + c + dj =
= (x2 − y 2 + ax − by + c) + (2xy + ay + bx + d)j = 0
Damit erhält man recht unbequeme Gleichungen; man muß Fallunterscheidungen machen und ggfs.
eine Gleichung 4. Ordnung diskutieren.
Es ist naheliegend, die Herleitung der Lösungsformel für die quadratische Gleichung einfach zu
wiederholen:
(a + bj)2
(a + bj)2
a + bj
+
=
− c − dj
z 2 + 2z
2
4
4
2
a2 − b2 − 4c + (2ab − 4d)j
2x + a + (2y + b)j
=
2
4
Die letzte Gleichung wird mit 4 multipliziert; sei 2x + a = s und 2y + b = t sowie a2 − b2 − 4c = p
und 2ab − 4d = q, so bleibt s2 − t2 = p und 2st = q, also -im allgemeinen Fall, q 6= 0 angenomment = q/2s und
q2
q2
s2 − 2 = p =⇒ s4 − ps2 −
= 0.
4
4s
Es interessiert nur die nichtnegative Lösung, also
s
s
p
p
2
2
2 + q2
p
p
q
p
+
p
p + p2 + q 2
2
s =
+
+
=
=⇒ s = ±
.
2
4
4
2
2
Damit wird
x1,2
s


p
1
p + p2 + q 2 
=
a±
,
2
2
y1,2

1h
qi
1
=
−b ±
=
±q
2
2s
2

q
− b .
p
2
2
2p + 2 p + q
11. Es gilt Im(z) = |z| · sin ϕ, also 11.72 = |z| · sin 0.735 oder |z| = 17.48 = |z̄| = 1/|z̄ −1 | = 1/0.05722.
Das Argument von z̄ ist nun -0.735, und beim Übergang zum Kehrwert wird das von dem von 1
abgezogen. Es resultiert 1/z̄ = 0.05722e0.735j .
8
12. In die Summe werden noch zwei Summanden eingefügt, um fortlaufende Potenzen zu erhalten:
S = z −3 + z −2 + z −1 + z 0 + z 1 + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 − 1 − z =
z9 − 1
= z −3 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 + z 7 + z 8 − 1 − z = z −3
−1−z .
z−1
Es ist z = 1.36015[cos(−53.97o ) + i sin(−53.97o )], also wird S =
1.36015−3 [cos(3·53.97o )+j sin(3·53.97o )]·
=
=
1.360159 [cos(−9 · 53.97o ) + j sin(−9 · 53.97o )] − 1
−1−z =
−0.2 − 1.1j
−10.3040 + 12.9336j
− 1 − (0.8 − 1.1j) =
(−2.3919 − 0.7813j)(−0.2 − 1.1j)
−10.3040 + 12.9336j
− 1 − (0.8 − 1.1j) = −4.058 + 4.253j − 1 − (0.8 − 1.1j) = −5.858 + 5.353j .
−0.3807 + 2.7874j
Zwischenzeitliche kleine Differenzen durch Rundungsfehler sind möglich.
13. a) positive imaginäre Achse und Nullpunkt,
b) positive reelle Achse und Nullpunkt,
c) reelle Achse,
d) Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius 3,
e) alles, was echt außerhalb eines Kreises mit dem Radius 5 um den Punkt −3 + 4j liegt, und
f) der Kreis vom Radius 2 um −4 + 5j mitsamt seinem Innenbereich.
√
√
5),
14. a) z 2 − 5 = (z + √5)(z − √
b) z 2 + 5 = (z + 5j)(z − 5j),
c) z 3 − 2z 2 + 4z − 8 = (z − 2)(z 2 + 4) = (z − 2)(z + 2j)(z − 2j),
d) z 3 + j = z 3 − j 3 = (z − j)(z 2 + zj + j 2 ) = j 2 (z − j)(u2 + u + 1) mit u = z/j, der letzte Faktor
ergibt eine quadratische Gleichung:
r
√
1
1
−1 ± 3j
z1,2
2
u + u + 1 = 0 ⇒ u1,2 = − ±
−1=
=
,
2
4
2
j
also
√
3
z + j = (z − j) ·
z−
3−j
2
√
!
·
z+
3+j
2
!
.
e) z 4 − 1 = (z 2 − 1)(z 2 + 1) = (z − 1)(z + 1)(z − j)(z + j)
15.
2
2
sin z + cos z =
ejz − e−jz
2j
2
und
2 sin z · cos z = 2
+
ejz + e−jz
2
2
=
e2jz − 2 + e−2jz
e2jz + 2 + e−2jz
+
=1
−4
4
e2jz − e−2jz
ejz − e−jz ejz + e−jz
·
=
= sin 2z
2j
2
2j
16. a) (z + 3 + 7j)(z + 3 − 7j) = z 2 + 6z + 58,
b) (z − 2 + 3j)(z − 3 − j) = z 2 + (−5 + 2j)z + 9 − 7j
Die Nullstellen sind in b) nicht zueinander konjugiert komplex, also kann das quadratische Polynom
keine nur reellen Koeffizienten haben.
17. Sei u = a + bj und w = c + dj, weiterhin z = x + yj.
|u−z|2 +|w−z|2 = [(a−x)2 +(b−y)2 ]+[(c−x)2 +(d−y)2 ] = [(a−x)2 +(c−x)2 ]+[(b−y)2 +(d−y)2 ] =
= [a2 + c2 − 2(a + c)x + 2x2 ] + [b2 + d2 − 2(b + d)y + 2y 2 ]
Die erste eckige Klammer hängt nur von x ab, die zweite nur von y.
Zum Finden des Minimums ist also x so zuwählen, daß die erste Klammer möglichst klein wird,
und y muß die zweite minimieren.
9
Jede Klammer kann als Summe eines Quadrates und eines festen (in x bzw. y) Wertes geschrieben
werden, z. B.
a2 + c2
a2 + c2 − 2(a + c)x + 2x2 = 2 x2 − (a + c)x +
=
2
"
2 #
2
a+c
a+c
a+c
a2 − 2ac + c2
(a + c)2
2
2
2
=2 x −2
x+
+a +c = x−
+
=
−
2
2
2
2
2
=
a+c
x−
2
2
+
(a − c)2
2
Das Quadrat kann bei Variation von x Null werden, aber nicht kleiner.
Das Minimum in x wird also erreicht bei x − (a + b)/2 = 0, d. h. bei x = (a + b)/2.
Ebenso muß y = (b + d)/2 sein.
2
2
Ergebnis: zopt = (u + w)/2, Minimalwert: (a−c)
+ (b−d)
= |u − w|2 /2.
2
2
18. a) Man stelle sich den Sachverhalt geometrisch vor:
z wird identifiziert mit einem Punkt in der komplexen Ebene. |z| ist sein direkter Abstand zum
Nullpunkt, |x| und |y| die Längen der senkrechten (!) Projektionen der Strecke von 0 zu z auf die
reelle bzw. imaginäre Achse. So eine Projektion kann nicht länger sein als die Strecke selbst.
|x| + |y| ist die Strecke, die man zurücklegen muß, wenn man sich aus dem Nullpunkt in zwei
achsenparallelen Bewegungen in z begibt (so, wie ein Turm beim Schachspiel zieht).
Das kann nicht kürzer sein als die direkte (i. a. schräge) Bewegung.
b) Für alle reelle oder rein imaginäre Zahlen.
c) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, daß z im ersten Quadranten liegt,
also x ≥ 0 und y ≥ 0 gilt. Sei dabei z 6= 0.
α (|x| + |y|) ≤ |z| ≤ β max(|x|, |y|)
⇐⇒
α |z| (cos ϕ + sin ϕ) ≤ |z| ≤ β |z| max(cos ϕ, sin ϕ) ,
letzteres ist wegen lt. Voraussetzung |z| > 0 gleichbedeutend mit
α (cos ϕ + sin ϕ) ≤ 1 ≤ β max(cos ϕ, sin ϕ) .
I) Aus der linken Seite der Ungleichung folgt bei 0 ≤ ϕ ≤ π/2 die äquivalente Ungleichung (Sinus
und Kosinus gleichen Arguments werden zu einem phasenverschobenen Sinus zusammengefaßt):
α ≤
1
1
=√
.
cos ϕ + sin ϕ
2 · sin(ϕ + π/4)
Das muß für alle Werte von ϕ im angegebenen Bereich gelten. Also ist α gleich dem kleinstmöglichen
Wert des Bruches zu wählen. Dieser tritt ein, wenn der Sinus seinen Maximalwert 1 annimmt, was
bei ϕ + π/4 = π/2
Damit ist dann ϕ = π/4.
√ geschieht.
√
Ergebnis: α = 1/ 2 = 2/2.
√
Geometrische Erkenntnis am Rande: Die Diagonale eines Rechtecks ist höchstens das 2 = 1.41 . . .fache der längsten Seite. Dieser Fall tritt gerade beim Quadrat ein.
II) Im selben Winkelbereich wird analog
1
≤β,
max(cos ϕ, sin ϕ)
und der linke Bruch wird am größten, wenn sein Nenner - also die größere der beiden Winkelfunktionen - am kleinsten ist. Der letzte Fall tritt genau dann ein, wenn sie beide gleich sind, was ebenfalls
bei ϕ = π/4 geschieht.
√
Ergebnis: β = 1/ sin π/4 = 2.
√
Geometrische Erkenntnis am Rande: Bei achsenparalleler Bewegung legt man höchstens das 2 =
1.41 . . .-fache der Luftlinie zurück.
(Nützliche Erkenntnis für die Stadtplanung in quadratischen Quartalen zwischen rechtwinkligen,
gitterförmig angeordneten Straßen.)
19. a) Der Betrag einer komplexen Zahl kann nicht kleiner sein als der Betrag der betragsgrößten Komponente. Hier ist 21.79 < 22.42 unmöglich.
10
b) Der Betrag einer komplexen Zahl kann nicht kleiner sein als der Betrag der betragsgrößten Komponente und nicht größer als die Summe der Beträge von Real- und Imaginärteil. Der Zähler hat
also einen Betrag von über 73 und der Nenner von unter 1. Mithin muß der Betrag des Bruchs über
73 liegen, es ist aber 18 + 27 deutlich unter 73.
c) Real-und Imaginärteil sind betragsmäßig gleich; der Betrag der Zahl ist also die Länge der Diagonale eines Quadrats, dessen Seitenlänge
√ hier 20.08 ist.
Die Diagonale eines Quadrats ist das 2-fache der Seitenlänge, und dieser Faktor ist bekanntlich
etwas größer als 1.4. Also muß der Betrag etwa 1.4 · 20.08 ≈ 28 sein, jedenfalls weit unter 35.
d) Die Angabe des Arguments ist im Bogenmaß. Es handelt sich ungefähr um die Hälfte eines
rechten Winkels; der Wert des letzteren ist π/2 = 1.57 . . . = 2 · 0.785 . . ..
Also müßten Real- und Imaginärteil etwa gleich sein. Sie liegen aber beträchtlich auseinander.
Offenbar war hier der Taschenrechner auf ’Gradmaß’ geschaltet - dann ist 0.71o ein sehr kleiner
Winkel mit kleinem Sinuswert und einem Kosinuswert nahe 1.
e) Beide Faktoren liegen (jeweils relativ) nahe der positiven reellen Achse, sie haben also betragskleine Argumente, und dasselbe muß dann auch für ihr Produkt gelten. Letzteres ergab sich aber
nahe der negativen rellen Achse, also bei 180o bzw. π.
f) Die zu quadrierende Zahl hat (der positive Imaginärteil ist wesentlich kleiner als der positive
Realteil) ein Argument zwischen 0o und 450 , das ihres Quadrats liegt also zwischen 0o und 90o .
Jedenfalls gehört das Quadrat in den ersten Quadranten und kann folglich keinen negativen Realteil
haben.
g) z als reell angesehen hat die quadratische Funktion in z = 0 einen negativen Wert und eine nach
oben geöffnete Parabel, folglich zwei reelle Nullstellen.
h) Das Ergebnis ist eine rein imaginäre Zahl, sie hat das Argument 90o .
Dies ergibt sich durch Verdopplung (entspricht Quadrieren) von 45o (oder 225o , aber 7.82 + 7.19j
liegt offenbar im ersten Quadranten).
Bei einem Argument von 45o müssen aber Real- und Imaginärteil gleich sein, was hier nicht zutrifft.
i) Der erste Summand ist betragsmäßig viel größer als der zweite. Geometrisch: der Vektor des ersten Summanden hat etwa die 80fache Länge des zweiten. Also liegt der Vektor der Summe relativ
nahe beim ersten und muß etwa das gleiche Argument haben. 19.9o ist unmöglich.
j) Beide Zahlen haben das gleiche Argument, ihre Vektoren gehen also in dieselbe Richtung. In diese
muß dann auch ihre Summe gehen. 55.2o ist unmöglich.
k) Nach der Formel von Vieta müßte q = 10.52 = z1 z2 = (−33.94 + 13.83j)(−33.94 − 13.83j) =
33.942 + 13.832 sein.
l) Der erste Wert liegt im ersten Quadranten, sein Realteil ist positiv und kleiner als 14.77. Nach
Subtraktion von 22.90 ist der Realteil kleiner als Null, man ist also im zweiten Quadranten. Das
Argument muß folglich größer als 90o sein. 85.2o ist unmöglich.
20. Zunächst: Es muß z 6= 0 gelten.
Sei z = x + yj, dann ist
|z|z̄
|z|z
z̄ + z
(x − yj) + (x + yj)
2x
|z| |z|
+
=
+
= |z|
= |z|
=p
.
z
z̄
z z̄
z z̄
z z̄
|z|2
x2 + y 2
Die Funktionp
f (z) nimmt √
also nur relle Werte an.
Es ist wegen x2 + y 2 ≥ x2 = |x| folglich - hier geht es nur um die Beträge reller Zahlen 2|x|
2x
2|x|
≤
|f (z)| = p
=2.
= p
2
2
x2 + y 2 |x|
x +y
Die letzte Betrachung ist natürlich nur für x 6= 0 durchführbar. Bei x = 0 ist aber f (z) = 0 und der
Betrag ist 0 < 2.
Bei z = x + 0j = x > 0 gilt offenbar f (z) = 2, und für z = x + 0j = x < 0 hat man f (z) = −2.
Ergebnis: f (z) nimmt alle reellen Werte zwischen -2 und +2 einschließlich dieser Grenzen an.
21. Das kann man ausrechnen, es ist aber auch so offensichtlich.
Der Betrag eines Produkts ist das Produkt der Beträge.
z und z̄ haben denselben Betrag, der von 7 − 2j ist ungleich 1.
Die einzige reelle Zahl, die sich bei Multiplikation mit einem Faktor 6= 1 nicht ändert, ist Null.
Also gilt |z| = z = 0.
11
22. Ausmultipliziert: 5x−55j+13xj+143 = y−146j, Real- und Imaginärteile gleichgesetzt: 5x+143 = y
und 13x − 55 = −146, also ist zunächst x = −91/13 = −7 und dann y = 143 − 35 = 108.
23. I) Einfach ausrechnen:
p
19 + 58j + 72 ejϕ = (19 + 72 cos ϕ)2 + (58 + 72 sin ϕ)2 =
=
q
p
3725 + 2736 cos ϕ + 5184 cos2 ϕ + 8352 sin ϕ + 5184 sin2 ϕ = 8909 + 2736 cos ϕ + 8352 sin ϕ =
s
p
2736
= 8909 + 27362 + 83522 sin ϕ + arctan
8352
Dieser Ausdruck nimmt sein Maximum an, wenn der Sinus zu 1 wird, d. h. wenn
ϕ + arctan
2736
π
=
8352
2
=⇒
ϕ=
π
2736
.
− arctan
= 1.254 227 = 71.862o
2
8352
gilt.
II) Zuerst nachdenken: Komplexe Zahlen lassen sich interpretieren als ebene Vektoren (Zeiger). Die
Summe zweier Vektoren gegebener Länge (der erste ist hier fest, der zweite hat den festen Betrag
72) ist dann am längsten, wenn beide dieselbe Richtung haben. Also muß
ϕ = Arg (19 + 58j) = arctan
58
19
sein, was den obigen Wert ergibt.
24. z liegt im 1. Quadranten.
a) z wandert nach rechts und behält seine Höhe, also wird der Winkel flacher, d. h. ϕ verringert
sich.
b) z wandert nach oben und behält seinen Realteil, also wird der Winkel steiler, d. h. ϕ vergrößert
sich.
c) Zu ϕ addiert sich das Argument von 201 + 11j, das stellt einen recht spitzen positiven Winkel
dar. Man kommt in der Summe nicht über π/2, geschweige denn über 2π. Also: ϕ wächst.
d) Von ϕ wird das Argument von 73 − 4j subtrahiert, selbiges ist fast 2π (73 − 4j liegt ganz oben
im 4. Quadranten). Man muß also ϕ noch etwas nach links drehen - der Wert wächst.
25. Zunächst ist |(1.14 + 0.93j) · z| = |1.14 + 0.93j| · r = 1.4712 r = λr, woraus sofort λ = 1.4712 folgt.
(Die Division durch r ist wegen z 6= 0 zulässig.)
Weiter gilt Arg((1.14 + 0.93j) · z) = Arg(1.14 + 0.93j) + ϕ = 0.6843 + ϕ = λϕ = 1.4712 ϕ, was
.
0.6843 = 0.4712ϕ oder ϕ = 1.4522 = 83.20o ergibt.
26. Eine komplexe Gleichung ist äquivalent zu zwei reellen, hier sind aber drei Unbekannte zu bestimmen
... ?
Nun, die Forderung nach der Existenz nur einer Lösung ist eine dritte Angabe,
Durch Gleichsetzen der Real- bzw. Imaginärteile erhält man zwei reelle Gleichungen:
7 + r1 cos ϕ = r2 cos 19o ,
−3 + r1 sin ϕ = r2 sin 19o .
Die erste Gleichung wird mit sin 19o multipliziert, die zweite mit cos 19o , danach werden sie voneinander abgezogen. Damit bleiben nur r1 und ϕ als Unbekannte:
7 sin 19o + r1 cos ϕ sin 19o + 3 cos 19o − r1 sin ϕ cos19o = 0 ,
was gleichbedeutend ist mit
7 sin 19o + 3 cos 19o + r1 sin(19o − ϕ) = 0 .
Die ersten beiden Summanden ergeben einen positiven Wert, r1 darf per Definition nicht negativ
sein, also bleibt für den Sinus nur ein negativer Wert übrig. Und zwar einer, zu dem sich nur ein
einziger Winkel findet, denn es soll nur eine Lösung geben! Damit ist sin(19o − ϕ) = −1 oder
19o − ϕ = −90o .
Man erhält umgehend ϕ = 109o und r1 = 7 sin 19o + 3 cos 19o = 5.1155.
Hieraus folgt sofort r2 = 5.6419.
12
Lösung mit geometrischer Überlegung:
Bei fixierten Wert von r1 beschreibt 7 − 3j + r1 ejϕ eine Kreis mit diesem Radius um 7 − 3j.
o
Andererseits ist r2 e19 j eine Gerade durch den Nullpunkt (genauer: ein Strahl).
Es soll genau einen Schnittpunkt von Kreis und Strahl geben, mithin ist dieser Strahl eine Tangente
am Kreis.
Der Radius des Kreises, der im Berührungspunkt endet, steht senkrecht auf der Tangente. Die
Tangente geht flach nach oben, der Mittelpunkt des Kreises liegt rechts vom Nullpunkt unter der
positiven rellen Achse. Also geht jener Radius nach oben und etwas nach links, es handelt sich um
eine Drehung der Tangente um 90o gegen den Uhrzeigersinn. Ergebnis: ϕ = 19o + 90o = 109o .
Nun hat nur noch man den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, die durch die beiden linearen
o
Funktionen y = x · tan 19o und y = −3 + (x − 7) · tan 109√
gegeben sind.
2
2
Das ist
p x = 5.3345 und y = 1.8368, hieraus folgt r2 = 5.3345 + 1.8368 = 5.6419 und ebenso
2
2
r1 = (7 − 5.3345) + (−3 − 1.8368) = 5.1155.
27. Variante 1: Die hohen Potenzen
werden über die√
trigonometrische bzw. Exponentialform berechnet.
√
o
o
Offensichtlich ist 1 + j = 2 ej·45 und 1 − j = 2 ej·−45 . Damit wird
o
2111 ej·222·45
(1 + j)222
.
=
o
221
220
110.5
j·221·45
− 2110 e−j·220·45o
j(1 + j) − (1 − j)
j·2
e
Der Bruch wird zuerst durch 2110 gekürzt, weiterhin bedenkt man, daß
o
o
e±j·216·45 = e±j·52·(8·45
)
o
o
= [e±j·8·45 ]52 = [e±j·360 ]52 = 152 = 1
ist. Damit wird
o
j·
√
2 ej·6·45
=
√
2 ej·5·45o − e−j·4·45o
j· 2·
√
2(−j)
2
2 (−1
− j) − (−1)
=
−2j
−2j(2 + j)
=
= 0.4 − 0.8j .
2−j
5
Variante 2: Der Bruch wird durch (1 + j)220 gekürzt, dabei beachtet man
(1 − j)2
−2j
1−j
=
=
= −j
1+j
2
2
und (−j)220 = 1 .
(1 + j)222
(1 + j)2
2j
=
=
,
221
220
j(1 + j) − (1 − j)
j(1 + j) − 1
−2 + j
und gelangt so zum Ende der vorigen Formel.
28. Nicht irre machen lassen - die angegebene komplexe Zahl sieht wie die trigonometrische Form einer
solchen aus, ist aber keine!
Bei ϕ1 = 90o , ϕ2 = 0o ist r = 0 - das ist seine universelle untere Grenze.
Ansonsten gilt (R ≥ 0 vorausgesetzt)
q
p
p
√
0 ≤ r = (R cos ϕ1 )2 + (R sin ϕ2 )2 ) = R cos2 ϕ1 + sin2 ϕ2 ≤ R 12 + 12 = 2 R .
29. a) Zur Lösung der Aufgabe muß man erst mal z berechnen.
Falsch! Nach z ist nicht gefragt, sondern nur nach dem Verhältnis von |az| zu |z|.
Damit dieser Verhältnis überhaupt sinnvoll ist muß |z| =
6 0 sein, was gleichbedeutend mit z 6= 0 ist.
Letzteres ist dank des Absolutglieds 104.55 in der quadratischen Funktion gewährleistet.
Nun ist es gut, eine ganz elementare Formel zu kennen:
p
|a| · |z|
|az|
=
= |a| = 0.9382 + 0.6072 = 1.117 .
|z|
|z|
Der Betrag wird also um 11.7% größer.
Entsprechend den gemachten Angaben werden nur drei Nachkommastellen verwandt.
b) Aber jetzt muß man z berechnen. ... ?
Himmelherrgott, nein! - Nein?? - Nein! Verwenden Sie lieber die Mathematik!
Man muß die Diskriminante der quadratischen Gleichung nicht ausrechnen, es ist p ≈ 0.8 : 4 = 0.2
und q ≈ 100 : 4 = 25, also wird p2 /4 − q garantiert negativ und z = z1 ist wirklich eine komplexe
Zahl.
13
Als quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat diese noch eine zweite Nullstelle z2 , die
die konjugierte der ersten ist: z2 = z¯1 . (Nach dieser ist übrigens betont nicht gefragt.
Am Rande bemerkt: Die konjugiert komplexe Zahl hat hier einen positiven Imaginärteil.)
In der Vorlesung war eine so winzige Gleichung
√ angegeben worden, daß sie von vielen Hörern (nach
dem Abschreiben) ignoriert wird: ∀u : |u| = u · ū.
Zu den zu Unrecht vergessenen Fakten zur quadratischen Gleichung gehören die Vietaschen For2
meln, z. B. x1 x2 = q, hier:
p z1 z2 = z1 · z¯1 = |z| = q.
√
Ergebnis: |z| = q = 104.55/3.92 = 5.164, dabei freundlicherweise eine Stelle mehr angegeben
als sicher ist.
Diese Aufgabe in der Klausur ... wer Durchblick hat wird belohnt.
Anmerkung: Zur Festigung des Durchblicks - überlegen Sie mal, was im Falle q < 0 passiert! Da
geht diese Rechnung nämlich nicht, weil z. B. der Betrag einer Zahl immer reell sein muß.
30. Es existiert eine positive (warum?) Zahl a mit a = |z| = |z − 6 + 2j|. Nehmen wir sie für einen
Moment als gegeben an und denken wir anschaulich, d. h. geometrisch. Dann bedeutet a = |z|
einen Kreis mit dem Radius a um den Nullpunkt. Analog repräsentiert |z − 6 + 2j| = a einen Kreis
desselben Radius um 6 − 2j (die komplexen Zahlen mit Punkten identifiziert).
Zwei Kreise sind entweder disjunkt, berühren sich oder schneiden sich in zwei Punkten. (Identität
ist nur bei gemeinsamen Mittelpunkt möglich.)
Hier soll lt. Aufgabenstellung der zweite Fall zutreffen. Da beide Kreise denselben Radius haben liegt
der Berührungspunkt in der Mitte der Strecke zwischen den Mittelpunkten, also in (6−2j) : 2 = 3−j.
Das ist z.
31. Da in den Argumenten der kleine Kringel des Gradzeichens fehlt, die Werte obendrein betragsmäßig
recht klein sind kann man den Taschenrechner ruhig schon mal auf Bogenmaß (rad) stellen.
Als Gleichheit komplexer Zahlen ist das ein System von zwei reellen Gleichungen für zwei reelle
Unbekannte.
Links handelt es sich um eine Summe, also ist zur arithmetischen Form (hier auf Basis der trigonometrischen) überzugehen:
2.19 · cos(−1.09) + r cos 0.52 + 3.83 cos ϕ = 0 ,
2.19 · sin(−1.09) + r sin 0.52 + 3.83 sin ϕ = 0 .
Zur Lösung ist prinzipiell eine Gleichung mit einer Unbekannten zu gewinnen.
Es wäre unklug, z. B. aus der ersten Gleichung mit Hilfe von arccos das ϕ gewinnen zu wollen.
Die neuentstandene Gleichung ist kompliziert, obendrein ist das formal aufgeschriebene ϕ nicht
unbedingt das richtige - es sind noch Fallunterscheidungen nötig.
Nehmen wir lieber das r, es steht recht schutzlos in der Gleichung.
Die Regel ’Nach einer Unbekannten auflösen und in die andere Gleichung einsetzen!’ ist prinzipiell
richtig, aber nicht unbedingt günstig. Hier spart man sich Arbeit, wenn man die erste Gleichung
mit sin 0.52 multipliziert, die zweite mit cos 0.52, und dann die Ergebnisse voneinander subtrahiert:
2.19 · (cos(−1.09) · sin 0.52 − sin(−1.09) · cos 0.52) + 3.83 (cos ϕ · sin 0.52 − sin ϕ · cos 0.52) = 0 .
Wer dem reflexartigen Griff zum Taschenrechner widerstehen konnte kann jetzt zusammenfassen:
2.19 · sin(1.09 + 0.52) + 3.83 sin(0.52 − ϕ) = 0 .
Es folgt (Sinus ist eine ungerade Funktion!)
sin(ϕ − 0.52) =
2.19 sin 1.61
= sin 0.6082 oder
3.83
sin(π − 0.6082) .
Man erhält für ϕ genau zwei sinnvolle Werte im Bereich von 0 bis 2π: ϕ1 = 1.1282 und ϕ2 = 3.0534.
Weitere Varianten entfallen, da bei der Berechnung keine Scheinlösungen o. ä. erzeugt wurden.
Hierzu gehören dann r1 = −3.0573 und r2 = 3.2291.
Es fehlen Informationen zum Hintergrund der Aufgabe. Formal hat man zwei Lösungspaare. Nimmt
man aber die Schreibweise im engeren Sinne, so kommt nur r ≥ 0 (als Betrag einer komplexen Zahl)
in Frage, das erste Lösungspaar entfiel also.
32. Das ist eine Aufgabe, wo mit Überlegung wenig zu erreichen ist - hier kann man nur rechnen.
Es werden Zahlen addiert, also ist für z ein Ansatz in arithmetischer Form sinnvoll: z = x + yj.
p
p
p
p
(x + 2)2 + (y − 7)2 = 1.193 x2 + y 2 ,
(x + 1)2 + (y + 4)2 = 0.926 x2 + y 2 .
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Die Gleichungen werden quadriert:
(x + 2)2 + (y − 7)2 = 1.1932 (x2 + y 2 )
=⇒
(x + 1)2 + (y + 4)2 = 0.9262 (x2 + y 2 )
=⇒
−0.42325(x2 + y 2 ) + 4x − 14y + 53 = 0
0.14252(x2 + y 2 ) + 2x + 8y + 17 = 0
Die erste Gleichung wird mit 0.14252 multipliziert, die zweite mit 0.42325, und danach werden sie
addiert: 14.74901 + 1.41659x + 1.39066y = 0.
Diese lineare Gleichung wird nach z. B. y aufgelöst: y = −10.6058 − 1.0187x, worauf man den
Ausdruck in z. B. die erste des vorigen Systems einsetzt: −0.86243x2 + 9.1159x + 153.873 = 0.
Die quadratische Gleichung hat die beiden reellen Lösungen x1 = −9.0799 und x2 = 19.6498, das
ergibt die Gesamtlösungen z1 = −9.0799 − 1.3566j und z2 = 19.6498 − 30.6221j. Tatsächlich ist
|(z1 + 2 − 7j| : |z| = 10.9525 : 9.1807 = 1.193 und |z2 + 1 + 4j| : |z2 | = 36.3844 : 33.6920 = 0.926.
33. a) Sei z = a + bj und u = c + dj, dann ist lt. Voraussetzung Im(z · u) = ad + bc = 0.
Es folgt −ad = bc. Bei a = 0 muß b 6= 0 sein, also wird c = 0 und man hat z = bj ⇒ u = dj.
Bei b = 0 muß a 6= 0 sein, also wird d = 0 und man hat z = a ⇒ u = c.
Sei nun ab 6= 0, dann kann die Gleichung −ad = bc durch ab dividieren und erhält −d : b = c/a = λ,
also u = λ · a − λ · bj = λ · z̄ .
u ist also ein reelles Vielfaches von der konjugiert komplexen Zahl zu z. Das gilt auch dann, wenn
Real- oder Imaginärteil von z Null werden. (−7j ist ein reelles Vielfaches von +7j !)
b) Mit w = p + qj hat man analog b + q = 0 als einzige Bedingung. p ist beliebig, mit irgendeiner
rellen Zahl x ist damit p = a + x.
Es folgt w = z̄ + x.
√
√
34. a) Es ist stets |z| = |a + bj| = a2 + b2 ≥ a2 = |a| ≥ a. Die angegebene Bedingung ist somit fast
immer erfüllt, einzige Ausnahme ist die ausgeschlossene Gleichheit. Wann tritt sie ein? Dazu muß
zunächst b = 0 sein und weiterhin a ≥ 0.
Es handelt sich also um alle komplexen Zahlen mit Ausnahme der nichtnegativen reellen.
Geometrisch: Aus der komplexen Ebene werden die positive reelle Halbachse und der Nullpunkt
entfernt.
√
√
b) Genauso folgt |z| = |a+bj| = a2 + b2 ≥ b2 = |b| ≥ b. Die angegebene Bedingung ist somit fast
nie erfüllt, einzige Ausnahme ist die zugelassene Gleichheit. Wann tritt sie ein? Dazu muß zunächst
a = 0 sein und weiterhin b ≥ 0.
Es handelt sich also um alle rein imaginären Zahlen mit nichtnegativen Imaginärteil.
Geometrisch: Von der komplexen Ebene bleibt nur die positive imaginäre Halbachse und der Nullpunkt übrig.
c) Der Bereich b < a in der komplexen Ebene wird von seinem Gegenstück b > a durch die Punkte
mit b = a getrennt. Diese bilden eine Gerade durch den Nullpunkt, die den ersten und den dritten
Quadranten halbiert (im Winkel von 45o ansteigt).
Die Teilmenge ist nun dargestellt durch alle Punkte (echt) unter dieser Geraden.
d) Man hat |a| ≤ 4 oder −4 ≤ a ≤ 4, weiter |b + 2| < 1 oder −1 < b + 2 < 1 oder −3 < b < −1.
Die Teilmenge wird dargestellt durch ein achsenparalleles Rechteck in der komplexen Ebene mit
der Oberkante bei −j und der Unterkante bei −3j, die linke und rechte Kante ist -4 und +4
entsprechend. Die seitlichen Begrenzungen gehören zum Gebiet, die unteren und oberen dagegen
nicht.
35. Es muß Arg(u) = Arg(w) gelten - veranschaulichen Sie sich das geometrisch!
Rechnerisch: u = ru (cos ϕu + j sin ϕu ) und w = rw (cos ϕw + j sin ϕw ), es soll
p
(ru cos ϕu + rw cos ϕw )2 + (ru sin ϕu + rw sin ϕw )2 = ru + rw
gelten. Das ist gleichbedeutend mit
(ru cos ϕu + rw cos ϕw )2 + (ru sin ϕu + rw sin ϕw )2 =
2
2
= ru2 cos2 ϕu + 2ru rw cos ϕu cos ϕw + rw
cos2 ϕ2w + ru2 sin2 ϕu + 2ru rw sin ϕu sin ϕw + rw
sin2 ϕw =
2
2
2
= ru2 + rw
+ 2ru rw (cos ϕu cos ϕw + sin ϕu sin ϕw ) = ru2 + 2ru rw cos(ϕu − ϕw ) + rw
= ru2 + 2ru rw + rw
.
Wegen vorausgesetzt ru rw > 0 muß cos(ϕu − ϕw ) = 1 sein, also gilt (bis ggfs. auf Vollwinkel)
ϕu = ϕw .
Bei uw = 0 ist (mindestens) einer der beiden Werte gleich Null und hat kein definiertes Argument.
15
36. Links steht ein Betrag, also muß rechts eine nichtnegative reelle Zahl stehen. (Letzteres Adjektiv
o
steckt eigentlich schon im ’nichtnegativ’.) Der Faktor e−j·57.90 ist auf jeden Fall unangebracht.
37. Es wird z in arithmetischer Form als z = x+y angesetzt.
Man verkneife sich aber tunlichst, sofort die
p
naheliegende Gleichung (x + yj) + 2(x − yj) = 3 x2 + y 2 aufzustellen und an ihr herumzurechnen!
Es reicht, sich die linke Seite anzusehen: 3x − yj. Rechts steht ein Betrag, also eine reelle Zahl.
Damit muß y = 0 sein und es bleibt insgesamt nur 3x = 3|x|. Nach Division der Gleichung durch 3
hat man die Frage, welche reellen Zahlen gleich ihrem Betrag sind? Das sind die nichtnegativen.
Ergebnis: z ist reell und nichtnegativ: z = x ≥ 0.
38. Eine solche Zahl ist offensichtlich z = 0. Gibt es noch andere?
Dann ist |z| eine positive (und reelle, aber das ist in ’positiv’ schon enthalten) Zahl. z + z̄ ist der
doppelte Realteil von z und somit auch reell, und zwar negativ, da die Summe mit dem Betrag Null
werden soll.
Der die Zahl z repräsentierende Punkt in der komplexen Ebene liegt mithin im zweiten oder dritten
Quadranten. Das weitere Denken folgt der geometrischen Anschauung: z und z̄ haben denselben
Betrag, die sie darstellenden Vektoren also dieselbe Länge. Begeben wir uns nun vom Nullpunkt
der komplexen Ebene in z, von da in z + z̄ und dann zurück zum Nullpunkt (z + z̄ + |z|), so haben
wir ein gleichseitiges Dreieck beschrieben. Dessen drei Innenwinkel haben 60o , speziell der zwischen
der negativen reellen Achse und dem Vektor von z.
Für das Argument von z folgt also ϕ = 180o − 60o = 120o (zweiter Quadrant) oder −120o (dritter).
Der Betrag ist beliebig, mit r = 0 hat man auch den anfangs erwähnten Wert z = 0.
Ergebnis:
√ !
3
1
o
o
j , r≥0.
z = r[cos(±120 ) + j · sin(±120 )] = r − ±
2
2
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