Drehimpuls
Werbung
Drehimpuls - Aufgaben Drehimpuls Elektrisch Drehimpuls pumpen Ein idealer Gleichstrommotor, der weder elektrisch noch mechanisch Energie dissipiert, treibt über eine Welle einen Apparat an. 1. Wie fliesst die elektrische Ladung und wie der Drehimpuls durch den Elektromotor hindurch? 2. Wie berechnet man die vom elektrischen Stromkreis im Motor freigesetzte Leistung? 3. Wie bestimmt man den mechanisch abgeführten Energiestrom (den vom Drehimpuls mitgenommenen Energiestrom)? 4. Die elektrische Stromstärke ist proportional zum Drehmoment (Stärke des Drehimpulsstromes). Wie verhält sich die Spannung zur Drehzahl? Drehimpuls pumpen Ein Motor pumpt Drehimpuls aus der Umgebung auf die Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle. Im unten abgebildeten Diagramm ist sowohl das Drehmoment-Drehzahl- als auch das LeistungsDrehzahl-Diagramm abgebildet. Diese Angaben gelten nur für den stationären Betrieb. 1. Wie berechnet man aus Drehzahl und Drehmoment die Leistung? 2. Wie kann man aus dem Drehmoment-DrehzahlDiagramm die Leistung herauslesen? Wie findet man aus dieser Kurve die maximale Leistung 3. Wie berechnet man aus der Leistungs-Drehzahl-Kurve das Drehmoment? Wie findet man das maximale Drehmoment? Turmspringen Eine Springerin zeigt anlässlich einer Meisterschaft einen dreieinhalbfachen Salto rückwärts vom 10-m-Turm. 1. 2. 3. 4. Mit welcher Geschwindigkeit taucht die Springerin ins Wasser ein? Wie viel Zeit steht ihr pro Umdrehung etwa zur Verfügung? Wie bringt die Springerin den Drehimpuls in ihren Körper hinein? Wie schafft sie es, im richtigen Winkel einzutauchen? Trapez Ein Artist, der kopfüber im Trapez hängt, hält seine Partnerin über ein kurzes Band fest, dessen oberes Ende in einem drehbaren Mundstück endet und dessen unteres Ende um den Nacken der Artistin geschlungen ist. Um die mit abgewinkeltem rechten Bein und seitlich ausgestreckten Armen hängende Partnerin in Rotation zu versetzen, fasst der Artist seine Kollegin mit beiden Händen an den Schultern. Danach dreht sich die Artistin in drei Sekunden einmal um die eigene Achse. In einer harmonischen Bewegung hebt sie ihre Arme hoch und senkt das rechte Bein ab, bis sie im gestreckten Zustand eine Drehzahl von 2 Umdrehungen pro Sekunde erreicht. 1. Woher nimmt der Artist den Drehimpuls, den er seiner Partnerin zuführt? 2. Wie viel Drehimpuls muss die Artistin aufgenommen haben, wenn man für das 2 Massenträgheitsmoment ihres gestreckten Körpers einen Wert von 1 kgm annimmt? 3. Wie viel Energie hat der Artist aufgewendet? 4. Wann hat die Artistin wie viel Energie aufgewendet? 1 Drehimpuls - Aufgaben Drehimpuls bei Propellerflugzeugen Im stationären Betrieb fliessen Impuls und Drehimpuls mit konstanter Stromstärke durch die Propellerachse. Die Bezugsrichtung für diese beiden mengenartigen Grössen zeige nach vorn, also gegen die Anströmung. 1. Wie hängen bei einem Propeller die Ströme von Impuls, Drehimpuls und Energie zusammen? 2. Als eines der letzten Propeller-Hochleistungsflugzeuge hat Dornier im Jahr 1943 den schweren Jäger Do 335 entwickelt. Bei diesem ungewöhnlichen Jagdflugzeug wurde mit einem Zug- und einem Druckpropeller ein Antriebsprinzip gewählt, das eine ausserordentlich hohe Leistung erbrachte. In welche Richtung ist der Impuls und in welche der Drehimpuls durch die beiden Propellerachsen geflossen. 3. Die Messerschmitt Bf 109 war ein einsitziges Jagdflugzeug der 30er und 40er Jahre, das in einer Stückzahl von über 33.000 gebaut worden ist. Bedingt durch das schmalspurige Fahrwerk und die starke Motorisierung zeigte dieses Flugzeug ein problematisches Start- und Landeverhalten, mit dem die hastig ausgebildeten Nachwuchspiloten nur schwer zurecht kamen. Wie ist der Drehimpuls während des Starts durch das Flugzeug geflossen? 4. Boeing CH-47 Chinook ist ein schwerer Transporthubschrauber mit zwei Dreiblattrotoren in Tandem-Anordnung. Die Bezugsrichtung zeigt diesmal nach oben. Wie fliessen Impuls und Drehimpuls durch den ruhig in der Luft schwebenden Helikopter des Typs Boeing CH-47 Chinook? Drehimpuls bei Turbofan Ein Turbofan (Mantelstromtriebwerk) ist ein Strahltriebwerk mit (mindestens) zwei Wellen, teilweise getrennten Luftströmen und einer stark vergrösserten ersten Verdichterstufe. Der Fan, der die Aufgabe hat, grosse Luftmassen anzusaugen und zum Kompressor sowie in den Nebenstrom zu leiten, wird zusammen mit dem Niederdruckkompressor über die Primärwelle von der Niederdruckturbine angetrieben. Die Hochdruckturbine treibt dann über die rohrförmige Sekundärwelle den Hochdruckkompressor. Die beiden Wellen können nicht nur unterschiedlich schnell sondern sogar in entgegengesetzte Richtung drehen. Für die nachfolgenden Überlegungen nehmen wir an, dass der Fan in die positive und der Hochdruckkompressor in die negative Drehrichtung rotiere. 1. 2. 3. 4. Wie fliesst der Drehimpuls durch die Primärwelle? Wie fliesst der Drehimpuls durch die Sekundärwelle? Woher kommt dieser Drehimpuls und wohin geht er? Welcher grundsätzliche Unterschied besteht zwischen einem Propellerantrieb und einem Strahltriebwerk (Turbojet, Turbofan, Turboprop) in Bezug auf den Drehimpulstransport? Zwei Schwungräder Zwei Schwungräder sind auf einer gemeinsamen Achse reibungsfrei gelagert. Von links her wirkt auf das erste Rad während fünf Sekunden ein konstantes Drehmoment von 120 Nm ein. Der erste Rotor 2 2 hat ein Massenträgheitsmoment von 60 kgm und der zweite 90 kgm . Zwischen den beiden Schwungrädern ist eine Rutschkupplung eingefügt, welche maximal 50 Nm zu “übertragen” vermag. 1. Wie gross sind die Winkelgeschwindigkeiten der beide Rotoren nach fünf Sekunden? 2. Nach fünf Sekunden wirkt kein Drehmoment mehr ein. Wie schnell drehen sich die Räder schlussendlich? 3. Wie lange dauert es, bis sie mit gleicher Drehzahl rotieren? 4. Wie viel Energie wird insgesamt in der Rutschkupplung dissipiert? Massenmittelpunkt Der Massenmittelpunkt (MMP) ist das Trägheitszentrum eines ausgedehnten Körpers oder einer Ansammlung von Körpern. 1. Wie berechnet man den MMP einer Anzahl kleiner Körper (Masse mi, Ort si)? 2 Drehimpuls - Aufgaben 2. Wie berechnet man den MMP eines aus mehreren, einfachen Teilkörpern zusammengesetzten Systems? 3. Wie berechnet man den MMP eines ausgedehnten Körpers (Dichte ρ(s))? 4. Durch welchen dynamischen Zusammenhang ist die Geschwindigkeit des MMP eines Systems gegeben? 5. In einem Crashtest fährt ein Auto mit 60% seiner Frontseite gegen einen im Boden verankerten Klotz. Während des Aufpralls wird das Auto gestaucht und in Rotation versetzt. Ist bei diesem Vorgang die Summe über alle Kräfte zu jedem Zeitpunkt gleich Masse mal Beschleunigung des MMP? 6. Auf zwei Metallzylinder, die mit ihrer Stirnseite auf einem horizontalen Tisch stehen, wirkt je eine konstante Kraft gleicher Grösse ein. Die eine Kraft greift an einer Schnur an, die um den einen Zylinder gewickelt ist. Die andere Kraft wirkt über eine Schnur ein, die direkt vom MMP des zweiten Zylinders weg geht. Die durch feine Düsen aus dem Tisch austretende Luft sorgt dafür, dass sich die Zylinder praktisch reibungsfrei bewegen können. Wird der umwickelte Zylinder, der auch noch zu rotieren anfängt, gleich schnell wie der andere, langsamer oder gar nicht beschleunigt? Im ersten Fall bewegen sich die beiden Zylinder parallel zueinander, im zweiten Fall bleibt der zweite Zylinder etwas zurück und im dritten Fall beginnt er an Ort zu rotieren. Schwerpunkt eines Dreiecks Die Wirkung des homogenen Gravitationsfeldes bezüglich Impuls- und Drehimpulsaustausch kann mit Hilfe einer Gewichtskraft beschrieben werden, die im Massenmittelpunkt des Körpers angreift. Den Massenmittelpunkt nennt man deshalb oft auch Schwerpunkt. Zudem sagt man, dass die Gewichtskraft im Schwerpunkt eines Körpers angreift, obwohl sich die Wirkung des Gravitationsfeldes über den ganzen Körper erstreckt. 1. In der Geometrie wird gelehrt, dass der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Schwerpunkt eines Dreiecks ist. Dieser Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Wie ist dies Aussage zu interpretieren? 2. Drei dünne Stäbe (Masse pro Länge 100 g/m) mit den Längen 50 mm, 120 mm und 130 mm werden zu einem Dreieck zusammengefügt. Wo befindet sich der Schwerpunkt dieses Drahtgebildes? 3. Drei Bleikugeln (Masse je 5 kg) werden auf einem ebenen Platz nach den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks (Katheten 5 m und 12 m) ausgerichtet. Wo befindet sich der Schwerpunkt dieses Gebildes? Kinematik des Propellers Ein Flugzeug fliege mit 504 km/h geradeaus. Seine Propeller (Durchmesser 2 m) drehen sich mit 2100 Umdrehungen pro Minute. 1. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit drehen sich die Propeller? 2. Die Propellerspitze beschreibt eine schraubenförmige Bahn. Wie gross ist die Ganghöhe dieser Bahn? 3. Wie schnell bewegt sich die Spitze des Propellers? 4. Wie gross ist Beschleunigung der Propellerspitze? Kinematik des Bugrades Das Bugrad (Durchmesser 1.2 m) eines Verkehrsflugzeuges bewegt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von 144 km/h über die Piste. In diesem Moment dreht sich das -2 2 Rad mit 200 U/min, erfährt eine Winkelbeschleunigung von 5 s und seine Achse wird mit -2 m/s abgebremst. 1. Welche Geschwindigkeit hat der unterste Teil des Rades? 3 Drehimpuls - Aufgaben 2. Wie schnell bewegt sich der oberste Teil des Rades? 3. Wie gross ist die Beschleunigung des untersten Teils des Rades? 4. Welche Beschleunigung erfährt ein Punkt auf dem Umfang des Rades, der auf gleicher Höhe wie die Achse liegt? Wie schnell bewegt er sich? Planetengetriebe Ein Planetengetriebe bestehe aus Sonnenrad (grün), Planetenrädern (schwarz-weiss), Planetenradträger (grau) und Hohlrad (braun). Der Wälzkreisdurchmesser des Sonnenrades misst 120 mm, der des Hohlrades 240 mm. -1 Über die Welle des Sonnenrades (Winkelgeschwindigkeit 250 s ) wird eine Leistung von 5 kW -1 zugeführt. Die Welle des Hohlrades dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 50 s . Die Reibung ist zu vernachlässigen. 1. 2. 3. 4. Wie schnell bewegen sich die Punkte auf den beiden Wälzkreisen? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotieren die Planetenräder? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Welle des Planetenradträgers? Wie stark ist der über die Achse des Sonnenrades zufliessende Drehimpulsstrom, das Drehmoment auf diese Achse? Für besonders interessierte Studierende 1. Wie hängt die Winkelgeschwindigkeit des Planetenradträgers mit der Winkelgeschwindigkeit der beiden andern Wellen zusammen? 2. Wie fliessen Drehimpuls und Energie durch das System Planetengetriebe? Man formuliere die Bilanzgleichungen. 3. Was folgt daraus? Hinweis: Die Geschwindigkeiten von zwei Punkten auf einem starren Körper unterscheiden sich durch einen Wert, der von der Winkelgeschwindigkeit und dem Abstand der beiden Punkte abhängt. Drehimpulsstrom im Flügel Das zweimotorige Kampfflugzeug Fiat CR.25 stehe mit gebremsten Rädern auf der Piste und lasse die beiden Motoren (Fiat A.74RC.38) voll laufen. Die beiden Propeller drehen gegenläufig und die Motoren geben bei einer Drehzahl von 2500 U/min eine Leistung von je 600 kW ab. Die x-Achse zeige vom Pilot aus gesehen gegen links, die y-Achse nach vorn und die z-Achse gegen unten. In diesem Koordinatensystem dreht der Propeller rechts vom Piloten im Uhrzeigersinn und links im Gegenuhrzeigersinn. Der Propeller auf der negativen x-Achse dreht sich demnach im Sinne einer Rechtsschraube, der Propeller auf der positiven x-Achse beschreibt eine Linksschraube. 1. Wie viel y-Drehimpuls wird von den beiden Motoren durch durch die Flügel gepumpt? 2. Die Masse des Flugzeuges sei auf drei Punkte konzentriert: je 800 kg bei den Motoren und 2000 kg in der Mitte der Flügel. Wie fliesst der z-Impuls an die Erde weg? Wo ist die Impulsstromstärke wie stark? 3. Wo bilden sich Quellen und wo Senken des y-Drehimpulses? 4. Wie sieht die Drehimpulsstromstärke, der Biegemomentenverlauf, in den Flügeln aus? Kleiderhacken Der nebenstehend abgebildete Kleiderhaken werde mit nur einer Schraube lose an der Wand befestigt und dann mit einem sibirientauglichen Wintermantel (Masse 5 kg) belastet. Der Mantel hängt 250 mm von der Wand entfernt am Haken. Die Distanz zwischen Schraube und der Unterkante des zu befestigenden Teils des Hakens beträgt 125 mm. Die x-Achse zeige von der Wand weg, die z-Achse weise nach unten. 1. Wie fliesst der z-Impuls durch den Kleiderhaken? Wie stark ist dieser Strom? 2. Was passiert mit dem y-Drehimpuls? Wie stark wird dieser Drehimpulsstrom? 3. Wie fliesst der x-Impuls? Wie stark wird die Schraube auf Zug belastet? 4 Drehimpuls - Aufgaben 4. Welche Kräfte wirken auf den Kleiderhaken ein und wie gross sind sie? Vereinfachungen: Der Kleiderhaken hat keine Masse und von der Wand her wirkt keine Reibkraft auf den zu befestigenden Teil des Kleiderhakens ein. Kraftfluss in Autobahnbrücke Lange Autobahnbrücken stehen oft auf einer schier endlosen Zahl von Pfeilern. Diese Pfeile tragen einen Hohlkasten aus Beton, der wiederum die Fahrbahn stützt. Im vereinfachten, zweidimensionalen Modell beansprucht die Fahrbahn den Hohlkasten mit einer gleichmässig verteilten Last. In der nachfolgenden Diskussion zeige die x-Achse in Richtung der Brücke und die z-Achse nach unten. 1. Wie fliesst der z-Impuls durch die Brücke? 2. Wie sieht der Querkraftverlauf im Hohlkasten aus? 3. Welchen Verlauf nimmt das Biegemoment? Hinweise: • • Ein querfliessender Impulsstrom induziert Quellen und Senken des Drehimpulses. Die Stärke des in einem Bauteil querfliessenden Impulsstromes nennt man Querkraft. Die Stärke des von den Quellen zu den Senken strömenden Drehimpulsstromes nennt man Biegemoment. Um die Stärke des in x-Richtung fliessenden y-Drehimpulsstromes zu bestimmen, versieht man den Hohlkasten mit Gelenken, die um die y-Achse drehbar sind. Nehmen Sie an, dass die Gelenke im ersten Fall in der Mitte zwischen den Pfeilern und im zweiten Fall genau über den Pfeilern angebracht sind. Doppelzylindersatellit Ein Satellit (Masse 280 kg) besteht aus zwei parallel zueinander ausgerichteten Zylinder (Masse je 2 100 kg, Massenträgheitsmoment 30 kgm und 20 2 kgm ), deren Achsen im Abstand von zweit Metern in einem Käfig (Masse 80 kg) drehbar gelagert sind. Beide Zylinder lassen sich durch je einen Motor in Rotation versetzen. Zuerst wird der Zylinder mit dem grösseren Massenträgheitsmoment in Rotation -1 versetzt, bis die Winkelgeschwindigkeit 200 s (1920 U/min) beträgt. Der Käfig rotiert danach mit 20 -1 s in die Gegenrichtung. Die Reibung im Lager des zweiten Zylinders ist so klein, dass dieser nicht in Rotation versetzt wird. In einem zweiten Prozess wird der zweite Zylinder in Rotation versetzt, bis der Käfig selber nicht mehr rotiert. 1. 2. 3. 4. Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild für den gesamten Vorgang. Wie viel Energie muss der Motor des ersten Zylinders aufwenden? Wie viel Energie gibt der zweite Motor ab? Wie gross ist das Massenträgheitsmoment des Käfigs ohne Zylinder? Frontalcrash seitlich versetzt Ein Auto (Masse 1600 kg) prallt auf Glatteis mit 36 km/h auf ein zweites (Masse 900 kg), das ihm mit 54 km/h entgegen fährt. 1. Wie viel Impuls fliesst beim frontalen Stoss von einem Fahrzeug zum andern? Wie viel Energie dissipiert der Impuls beim Durchfliessen der Knautschzonen? 2. Der Stoss erfolge nun seitlich versetzt. Die Massenmittelpunkte der beiden Fahrzeuge bewegen sich anfänglich auf zwei Geraden, die einen seitlichen Abstand von 1.25 m aufweisen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt sind die beiden Fahrzeuge ineinander verkeilt und bilden einen gemeinsamen starren Körper. Wie schnell bewegt sich der Massenmittelpunkt dieses Gesamtsystems? 5 Drehimpuls - Aufgaben 3. Wie viel Drehimpuls hat der seitwärts fliessende Impuls dem Gesamtsystem, diesem neu gebildeten starren Körper, zugeführt? 4. Der von beiden Autos gebildete starre Körper dreht sich mit 5 rad/s. Wie gross ist das zugehörige Massenträgheitsmoment? 5. Wie viel Energie haben die verformbaren Teile des Autos bis zu diesem Zeitpunkt aufgenommen? Wirkung eines Strahltriebwerks Ein Strahltriebwerk entzieht der durchströmenden Luft x-Impuls und führt diesen dem Flugzeug zu (bezogen auf ein globales Koordinatensystem, dessen x-Achse in Flugrichtung zeigt). Zudem pumpt das Triebwerk x-Drehimpuls aus dem Flugzeug an die Luft weg (falls das Triebwerk in positive xRichtung dreht). Die Stärke des Impulsstromes bezüglich des Systems Flugzeug bezeichnen wir als Schubkraft. Die Stärke des vom Flugzeug über das Triebwerk an die Luft abliessenden Drehimpulsstromes nennen wir Drehmoment auf das Flugzeug. 1. Wie berechnet sich die Stärke der Schubkraft, die Stärke des durch das Triebwerk ausgelösten x-Impulsstromes bezüglich des Systems Flugzeug? 2. Hat die Anordnung der Triebwerke (Flügel, Heck, beidseits des Rumpfs) einen Einfluss auf die Beschleunigung des Flugzeuges? 3. Hat der Ort, an dem ein Triebwerk am Flugzeug befestigt ist, einen Einfluss auf die Stärke des durch das Triebwerk abfliessenden x-Drehimpulsstromes? 4. Wieso hat die Anordnung der Triebwerke trotzdem einen Einfluss auf die Bewegung des Flugzeuges? 5. Wie beschreibt man die totale mechanische Wirkung eines Triebwerks? Dynamik des Bugrades 2 Das Bugrad (Durchmesser 1.2 m, Masse 80 kg, Massenträgheitsmoment 12 kgm ) eines Verkehrsflugzeuges bewegt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von 144 km/h über die Piste. In diesem Moment dreht sich das Rad mit 200 U/min, erfährt eine -2 2 Winkelbeschleunigung von 5 s und seine Achse wird mit -2 m/s abgebremst. 1. Schneiden Sie das Rad frei, d.h. grenzen Sie das Rad ab und zeichnen Sie alle Kräfte und Drehmomente ein, die auf das Rad einwirken. 2. Wie gross ist die Gleitreibungskraft? 3. Wie gross ist die Normalkraft, wenn man für die Gleitreibungszahl einen Wert von 0.6 annimmt? 4. Wie gross ist die Kraft von der Achse auf das Rad? Zylinder mit Seil Auf zwei waagrechten Trägern, die wie die Schienen einer Eisenbahn parallel ausgerichtet sind, liegt ein Metallzylinder (Radius 5 cm, Masse 6 kg, 2 Massenträgheitsmoment 0.0075 kgm ), dessen Achse normal zu den Trägern ausgerichtet ist. Um den Zylinder ist ein Seil geschlungen, an dessem Ende eine konstante Kraft von 40 N vertikal nach unten wirkt. Der Zylinder rollt ohne zu gleiten. 1. Schneiden Sie den Zylinder frei; zeichnen Sie also alle Kräfte ein, die auf diesen Körper einwirken. 2. Stellen Sie die Impulsbilanzen für zwei Richtungen und die Drehimpulsbilanz für die normal dazu stehende Richtung auf, d.h. formulieren Sie die Grundgesetze der Mechanik. 3. Welche Beschleunigung erfährt die Zylinderachse? 6 Drehimpuls - Aufgaben 4. Wie gross ist die Haftreibungskraft? Fadenspule Auf die nebenstehend skizzierte, ruhende Fadenspule 2 (Masse 4 kg, Massenträgheitsmoment 0.1 kgm , Abrollradius 30 cm, Wickelradius 20 cm) wirkt eine Kraft ein, die in vier Sekunden linear von Null auf 20 N anwächst. Die maximal mögliche Haftreibungskraft zwischen Spule und Unterlage beträgt 10 N. Sobald die Spule rutscht, nimmt die Gleitreibung auch den Wert von 10 N an. 1. Schneiden Sie die Fadenspule frei, d.h zeichnen Sie alle Kräfte ein, die auf die Spule wirken. 2. Formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen, die Grundgesetze der Mechanik. 3. Welche zusätzliche Bedingung gilt in der Rollphase, welche in der Rutschphase? 4. Wann beginnt die Spule zu gleiten? 5. Wie schnell bewegt sich die Körperachse nach diesen vier Sekunden? Bowling 2 Eine Bowling-Kugel (Masse 4 kg, Durchmesser 18 cm, Massenträgheitsmoment 0.013 kgm ) werde -1 mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 3 m/s und einer Winkelgeschwindigkeit von 75 s auf die Bahn gesetzt (die Kugel dreht sich oben in und unten gegen die Bewegungsrichtung). Die Gleitreibungszahl beträgt 0.3. 1. Skizzieren Sie sowohl für den Impuls wie auch für den Drehimpuls je ein separates Flüssigkeitsbild. 2. Wie ist der Drehimpulsstrom mit dem Impulsstrom verknüpft? 3. Welche Bedingung gilt beim Rollen? 4. Wie schnell dreht sich die Kugel nach Erreichen der Rollphase und wie schnell bewegt sich deren Massenmittelpunkt? 5. Wie viel Energie ist in der Gleitphase dissipiert worden? Gyrobus Die erste, Erfolg versprechende Konstruktion eines Kreiselantriebs geht auf die Schweizer Patente Nr. 242086 und 244759 zurück. Das Gesuch ist am 19. Juli 1944 von der damaligen Maschinenfabrik Oerlikon MFO dem eidgenössischen Amt für geistiges Eigentum eingereicht und am 15. April 1946 als Patent eingetragen worden. Als Erfinder wird der damalige Oberingenieur Bjarne Storsand genannt. Das Herz des Gyrobus bildete ein Kreisel, der unter dem Wagen (horizontal drehend) aufgehängt worden ist. Die rund 1.5 Tonnen schwere Kreiselscheibe war in einem luftdichten Gehäuse eingeschlossen, das bei einem Unterdruck von rund 0.3 bar mit Wasserstoff gefüllt gewesen ist. Dadurch konnte die Reibung wesentlich reduziert werden. Einmal in Schwung, dauerte es ganze 12 Stunden, bis der unbelastete Gyro zum Stillstand kam. Über dem eigentlichen Gyro befand sich der elektrische Drehstrom-Motor, welcher den Gyro auf maximal 3000 Umdrehungen beschleunigte. Bei einem Standard-Gyro, so wie er Mitte der 50er Jahre von MFO gebaut wurde, konnten gut 5 kWh Energie nutzbar gespeichert werden. Die Drehstrommaschine des Aggregates wirkte danach als Generator, welcher elektrische Energie dem im Fahrzeugheck angeordneten mehrstufigen Fahrmotor zuleitete. Die technisch mögliche Fahrdistanz mit voll besetztem Bus betrug bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h rund sechs Kilometer. 1. Wie viel Drehimpuls konnte der Kreisel des Gyrobuses aufnehmen? 2. Wie gross ist das Massenträgheitsmoment dieses Kreisels? 3. Welches Reibdrehmoment hat auf den unbelasteten Kreisel des Gyrobus im Mittel eingewirkt? 7 Drehimpuls - Aufgaben 4. Wie wirkt der Kreisel bei einer Kurvenfahrt (Geschwindigkeit 54 km/h, Kurvenradius 200 m) auf den Gyrobus ein? 5. Wie wirkt der Kreisel bei einer Fahrt über eine Strassenkuppe (Geschwindigkeit 54 km/h, Radius der Kuppe 200 m) auf den Gyrobus ein? Schwungradspeicher Schwungräder aus Kohlefaser verstärktem Kunsstoff können sehr schnell drehen. Mit einem derartigen Schwungrad kann man bei Fahrzeugen, die mit einem Verbrennungsmotor ausgerüstet sind, beim Bremsen Energie rekuperieren. Ein Auto sei mit einem 650 kg schweren Schwungrad ausgerüstet, dessen Achse horizontal ausgerichtet ist und das bei einer Drehzahl von 25'000 U/min 6 kWh Energie speichert. 1. Wie viel Drehimpuls kann das Schwungrad speichern? 2. Wie gross ist das Massenträgheitsmoment des Schwungrades? 3. Die Hafteibungskraft auf das Auto sollte 60% der Gewichtskraft nicht überschreiten. Mit welcher Geschwindigkeit kann das Auto um eine Kurve von 200 m Radius, von 100 m Radius und von 25 m Radius fahren? 4. Wie gross ist das auf das Schwungrad einwirkende Drehmoment in diesen drei Fällen? Präzession der Erde 24 Die Erde (Masse 5.974·10 kg, mittlerer Radius 6'371 km) dreht sich in 23h 56min 4s einmal um ihre Achse. Die Rotationsebene ist um 23.44° gegen die Umlaufbahn geneigt (deshalb ändert sich die Sonneneinstrahlung im Laufe des Jahres, deshalb gibt es die Jahreszeiten). Das Gravitationsfeld der Sonne wirkt nun nicht nur mit einer Kraft sondern auch noch mit einem Drehmoment auf die Erde ein. Das Drehmoment hat seine Ursache in der rotationsbedingen Abplattung der Erde (1:298.25). Obwohl das Drehmoment mit dem Umlauf der Sonne um die Erde variiert, wirkt es über ein Jahr gemittelt auf die gleiche Seite. Weil die Sonne so die Erde aufzurichten versucht, präzessiert die Achse der Erde um die Normale auf die Ebene ihrer Umlaufbahn um die Sonne. Der Zyklus der Präzession (platonisches Jahr genannt) beträgt 25'920 Jahre. 1. 2. 3. 4. Wie viel Energie steckt in der Rotation der Erde? Wie viel Drehimpuls speichert die Erde (nur Betrag angeben)? Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit der Präzession? Mit welchem Drehmoment wirkt die Sonne im zeitlichen Mittel auf die Erde ein? Bemerkung: Der nicht unwesentliche Einfluss des Mondes auf die Präzession der Erde wird hier vernachlässigt. Hinweise: • • Das Massenträgheitsmoment einer Kugel ist gleich Der Drehimpuls der Erde kann in eine Komponente normal zur Umlaufbahn und in eine Komponente parallel dazu zerlegt werden. Die Parallelkomponente macht dann wie bei der dynamischen Unwucht eine Schwenkbewegung. 8 Drehimpuls - Aufgaben Fragen zur Unwucht Ein Rotator, ein starrer Körper, der um eine fest gehaltene Achse rotiert, muss ausgewuchtet sein. Andernfalls belastet die Unwucht die Lager. 1. Wie ändert sich die Belastung der Lager, wenn man die Drehzahl eines nicht ausgewuchteten Rades erhöht (gar nicht, linear, quadratisch, logarithmisch oder exponentiell mit der Drehzahl)? 2. Wie entsteht eine statische Unwucht? wie eine dynamische? 3. Wie belastet ein statisch nicht ausgewuchtet Rad die Lager? Wie werden die Lager von einem dynamisch nicht ausgewuchteten Rad belastet? 4. Welche Art von Unwucht liegt vor, wenn ein Autorad "springt"? wenn es "taumelt"? 5. Wie korrigiert man eine statische Unwucht? wie eine dynamische Unwucht? 6. Der Kompressor eines Strahltriebwerkes hat infolg eines Foreign Object Damage (FOD) eine Schaufel verloren. Erfährt der Kompressor infolge dieses Verlustet eine statische oder eine dynamische Unwucht? Rollkörper auf schiefer Ebene Rollkörper auf der schiefen Ebene sind ein beliebtes und altes Thema der Schulphysik. Entsprechend vielfältig sind die Lösungswege. Man sollte sich aber auch hier vor der Ein-Problem-eine-FormelMethode hüten und systematisch vorgehen. Problemstellung: Ein Rollkörper (Masse m, Massenträgheitsmoment J, Rollradius r) wird auf eine schiefe Ebene (Neigungswinkel β) gesetzt. Danach rollt er ohne zu rutschen hinunter. Die Rollreibung ist zu vernachlässigen. 1. Man schneide den Körper zuerst frei; man zeichne also alle Kräfte ein, die auf den Rollkörper einwirken. 2. Nun formuliere man die Bilanzgleichungen zusammen mit den zugehörigen kapazitiven Gesetzen (Grundgesetze der Mechanik). 3. Man bestimme mit Hilfe der Rollbedingung die Beschleunigung des Massenmittelpunktes. 4. Die gleich Formel soll mit Hilfe der Energiebilanz gefunden werden. Dazu bilanziere man die Änderungsraten der verschiedenen Energie"formen". 5. Als Anwendung zu diesem Problem lassen wir eine homogene Kugel (Radius R, Massenträgheitsmoment ) auf den beiden Kanten eines U-förmigen Profilstabes hinunter rollen. Wie breit muss der Querschnitt sein, damit die Kugel möglichst schnell unten ankommt? Die beiden Kanten des Profilstabes, auf denen die Kugel rollt, sind so beschaffen, dass die Dissipation vernachlässigt werden kann. 9 Drehimpuls - Aufgaben Lösungen Drehimpuls Elektrisch Drehimpuls pumpen 1. Im Gleichstrommotor fliesst die elektrische Ladung vom hohen zum tiefen Potenzial. Mit der dabei freigesetzten Leistung wird Drehimpuls aus einem Körper mit kleiner Winkelgeschwindigkeit in einen Körper mit grösserer Winkelgeschwindigkeit gepumpt. In den meisten Fällen ist der eine Draht und das Gehäuse des Motors "auf Erde" gehalten. Der Energiestrom kann dann dem zweiten Draht und der Antriebswelle zugeordnet werden. Die Richtung des elektrischen Stromes ist über die Definition der positiven Ladung festgelegt, die Richtung des Drehimpulsstromes hängt mit der positiven Drehrichtung zusammen. 2. Die elektrische Leistung ist gleich Spannung mal Stromstärke. 3. Der dem Drehimpuls zugeordnete Energiestrom ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Drehmoment (Stärke des Drehimpulsstromes). 4. Ein idealer Gleichstrommotor gibt im stationären Betrieb zu jedem Zeitpunkt gleich viel Energie ab wie er aufnimmt. Folglich gilt . Weil die beiden Stromstärken proportional zueinander sind, steigt die Spannung mit der Winkelgeschwindigkeit. Drehimpuls pumpen 1. Die Prozessleistung ist gleich Potenzialdifferenz mal Stromstärke. Auf die Rotationsmechanik angewendet, ist diese Leistung demnach gleich Differenz der Winkelgeschwindigkeit mal Drehimpulsstromstärke. Weil der Motor den Drehimpuls über das nichtrotierende Gehäuse aufnimmt, entspricht die Prozessleistung dem zugeordnetem Energiestrom bei der Antriebswelle (Winkelgeschwindigkeit mal Drehmoment). Die Drehzahl, die hier in Umdrehungen pro Minute angegeben ist, muss mit 2π multipliziert und mit sechzig dividiert werden, damit man die Winkelgeschwindigkeit erhält. Eine Pferdestärke (PS) entspricht einer Leistung von 735.5 Watt (W). 2. Im Drehmoment-Winkelgeschwindigkeits-Diagramm ist die Leistung (Winkelgeschwindigkeit mal Drehmoment) als Fläche des Rechtecks, das vom Ursprung und dem momentanen Arbeitspunkt auf der M-ω-Kurve aufgespannt wird, erkennbar. Durch Verschieben des Arbeitspunktes kann man das Rechteck mit der maximalen Fläche suchen. 3. Das Drehmoment (Leistung dividiert durch die Winkelgeschwindigkeit) entspricht im Leistungs-Winkelgeschwindigkeits-Diagramm der Steigung der Geraden, die durch den Ursprung und den Arbeitspunkt geht. Das maximale Drehmoment entspricht der Steigung der Tangente, die vom Ursprung an die Kurve gelegt werden kann. Turmspringen = 14 m/s. 1. Lässt man den Einfluss der Luft weg, ist die Endgeschwindigkeit gleich Diese Formel ergibt sich aus einer einfachen Energiebetrachtung. Die Formel kann aber auch direkt dem v-t-Diagramm entnommen werden. 2. Dividiert man die Endgeschwindigkeit durch die Zuwachsrate, die Beschleunigung, erhält man die Fallzeit. Diese Zeit lässt sich ebenfalls direkt aus den gegebenen Grössen berechnen = 1.4 s. Somit stehen pro Umdrehung gerade mal 0.4 Sekunden zur Verfügung. 3. Während des Absprunges fliesst die Vertikalkomponente des Impulses im Körper der Springerin seitwärts und erzeugt so eine Drehimpulsquelle. Ins Kraft- oder Schnittbild übersetzt, lautet die Antwort: Die Normalkraft erzeugt gemeinsam mit der versetzt angreifenden Gewichtskraft ein Drehmoment bezüglich des Systems Springerin. 4. Die Springerin kann ihre Drehzahl drastisch verringern, indem sie sich öffnet. Weil mit dem Übergang von der Hocke in den gestreckten Zustand das Massenträgheitsmoment um Faktoren grösser wird, sinkt dementsprechend die Winkelgeschwindigkeit. In den meisten Fällen verlässt die Sportlerin das Brett mit einer Geschwindigkeitskomponente nach oben. Damit gewinnt sie etwas Fallzeit. 10 Drehimpuls - Aufgaben Trapez 1. Der Artist bezieht den Drehimpuls über die beiden das Trapez haltende Seile von der Decke des Zirkuszeltes. Sobald der Artist die Schultern seiner Partnerin weg drückt, stehen die beiden Seile schief zueinander. Würde man die beiden Seile durch eine Strickleiter ersetzen, würde sich die Strickleiter infolge des durchfliessenden Drehimpulsstomes zu einer Linksschraube (Drehimpuls fliesst vorwärts) oder zu einer Rechtsschraube (Drehimpuls fliesst rückwärts) verformen. 2. Die Artistin hat eine Winkelgeschwindigkeit von 4 π 1/s und speichert 12.57 Nms Drehimpuls. 3. Der Artist hat diesen Drehimpuls um eine mittlere Winkelgeschwindigkeit von π/3 1/s angehoben und dabei 13.16 J Energie aufgewendet. 4. Die Artistin hat mit dem Stecken ihres Körpers den Drehimpuls im Mittel von π/3 1/s auf 2 π 1/s angehoben und dabei weitere 65.8 J Energie aufgewendet. Drehimpuls bei Propellerflugzeugen 1. Legt man die Bezugsachse in Flugrichtung und dreht sich der Propeller vom Pilot aus gesehen im Uhrzeigersinn, fliesst Impuls aus der Luft über den Propeller ins Flugzeug und Drehimpuls vom Motor über den Propeller an die Luft weg. Der rückwärts fliessende Impulsstrom belastet die Antriebswelle auf Zug. Der nach vorne fliessende Drehimpulsstrom beansprucht die Antriebswelle auf Torsion. Die Welle verformt sich dadurch im Sinne einer Linksschraube. Bezogen auf das System Flugzeug kann dem durch die Antriebswelle fliessenden Drehimpulsstrom ein Energiestrom zugeschrieben werden: . Dieser Energiestrom wird auf die vorbeiströmende Luft umgeladen. 2. Beide Propeller führen der DO 335 aus der Luft Impuls zu. In der vorderen Propellerachse fliesst der Impuls rückwärts (gegen die Bezugsrichtung), in der hinteren vorwärts. Deshalb nennt man den vorderen Zugpropeller und den hinteren Druckpropeller. Im hinteren Propeller fliesst der Drehimpuls ins Flugzeug hinein, im vorderen geht er wieder an die Luft weg. Dieser Drehimpulsstrom transprotiert in der hinteren Antriebsachse Energie nach hinten und in der vorderen Energie nach vorn. Hinten fliesst der Energiestrom gegen den Drehimpulsstrom, weil das Potenzial oder das Energiebeladungsmass, die Winkelgeschwindigkeit, negativ ist. In der Welle des vorderen Propellers fliessen beide Mengen in die gleich Richtung. 3. Sobald der Propeller dreht, fliesst Drehimpuls an die Luft weg. Dieser Drehimpuls muss in der Startphase über das Fahrwerk vom Boden her aufgenommen werden. In der Flugphase fliesst der Drehimpuls über die Flügel zu. Weil die Bf 109 laufend stärker motorisiert worden ist und die Drehzahl nicht mehr weiter erhöht werden konnte, musste der Propeller einen immer stärkeren Drehimpulsstrom an die Luft abführen. Die Spurbreite und die Normalkraft begrenzen den maximalen Drehimpulsstrom bezüglich der Erde im Sinne des Hebelgesetzes, was unerfahrenen Piloten zu schaffen machte. 4. Ein Propeller oder Rotor tauscht Impuls und Drehimpuls mit der Luft aus. Beim schwebenden Helikopter müssen die Rotoren den Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld (Gewichtskraft) kompensieren. Der Drehimpuls, der die Energie vom Motor zum Propeller trägt wird bei der Tandem-Anordnung über den einen Rotor zu- und über den andern abgeführt. Im Hubschrauber selber erzeugt der seitwärts fliessende Drehimpulsstrom Biegung. Drehimpuls bei Turbofan 1. In der Primärwelle fliesst der Drehimpuls von der Niderdruckturbine nach vorne zum Fan. 2. In der Sekundärwelle strömt der Drehimpuls vom Hochdruckverdichter zur Hochdruckturbine. 3. Beide Drehimpulsstromkreise sind über die Luft kurz geschlossen. Im Idealfall fliessen durch beide Wellen entgegengesetzt gleich Starke Drehimpulsströme. Die Luft muss dann den Drehimpuls nur im vorderen und hinteren Teil des Triebwerkes über eine kurze Strecke transportieren. 4. Strahltriebwerke können prinzipiell so gebaut werden, dass sie keinen Drehimpuls mit dem Flugzeug austauschen müssen, dass kein Drehmoment vom Triebwerk auf das Flugzeug einwirkt. Beim Propellerantrieb muss ein Drehimpulsstrom die Energie vom Motor zum Propeller tragen ( ). Der Drehimpulsstrom fliesst von der Luft her zu und geht über Flugzeug, Motor und Propeller wieder an die Luft weg. Weil beim Turboprop die Drehzahl der Turbine mit Hilfe eines Getriebes reduziert werden muss, fliesst ein Teil des von den Propellern an die Luft abgeführten Drehimpulses vom Flugzeug her zu. 11 Drehimpuls - Aufgaben Zwei Schwungräder Das einwirkende Drehmoment ist so gross, dass die Kupplung sofort zu rutschen beginnt. 1. Von der zuflissenden Stromstärke von 120 Nm gehen 50 Nm ans zweite Rad weg. Folglich nimmt das erste Rad in 5 Sekunden 350 Nms Drehimpuls auf und das zweite nur 250 Nms. Nach fünf Sekunden dreht das Rad erste gemäss des kapazitiven Gesetzes mit einer Winkelgeschwindigkeit von 5.833 1/s. Das zweite erreicht eine Winkelgeschwindigkeit von 2.778 1/s. 2. Sellt man den Ausgleichprozess im Flüssigkeitsbild dar, sieht man, dass eine einfache "Mischrechnung" anzustellen ist: Winkelgeschwindigkeit gleich gesamter Drehimpuls durch gesamte Kapazität (Massenträgheitsmoment). Diese Rechnung liefert einen Winkelgeschwindigkeit von 4 1/s. 3. Das erste Schwungrad muss beim Ausgleichsvorgang nochmals 110 Nms Drehimpuls ans zweite abgeben, bei einer Stromstärke von 50 Nm 2.2 s dauert. 4. In der ersten Phase "fallen" 250 Nms Drehimpuls im zeitlichen Mittel um 1.528 1/s hinunter, was einen Energieumsatz von 382 J ergibt. In der zweiten Phase "fallen" weitere 110 Nms über die gleich mittlere Winkelgeschwindigkeit, wobei nochmals 168 kJ Energie freigesetzt werden. Somit dissipiert die Turschkupplung total 550 J Energie. Massenmittelpunkt Die Wirkung des homogenen Gravitationsfeldes bezüglich Translation (Austausch von Impuls) und Rotation (Austausch von Drehimpuls) kann mit Hilfe einer Einzelkraft, der Gewichtskraft, beschrieben werden, die im Massenmittelpunkt des Körpers angreift. Deshalb nennt man den Massenmittelpunkt oft auch Schwerpunkt. 1. Der Massenmittelpunkt beschreibt die Lage des gewichteten arithmetischen Mittels der gesamten Massenverteilung: 2. Man denkt sich die Masse jedes Teilkörpers im eigenen Massenmittelpunkt konzentriert und wendet die oben aufgeführte Formel an. 3. Man denkt sich den Körper in sehr kleine Elemente zerlegt und wendet die oben aufgeführte Formel an. Vollzieht man den Grenzübergang zum reinen Kontinuum, lautet die Formel: 4. Die Geschwindigkeit des MMP ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse: . Diese Beziehung gehört zu den grundlegensten Gesetzen der Physik. 5. Kombiniert man die Impulsbilanz bezüglich eines festen Körpers (Summe über alle Kräfte gleich Änderungsrate des Impulsinhaltes) mit der oben erwähnten Berechnung der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes, erhält man das Grundgesetz der Mechanik, wonach die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung des Massenmittelpunktes ist. Weil die beiden ersten Gesetze auf das System Auto angewendet werden dürfen, gilt das Grundgesetz auch bei sich stark verformenden Körpern. Nur bleibt der Massenmittelpunkt bezüglich des Autos während des Aufpralls nicht fest. Folglich ist die Aussage, wonach die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung des Schwerpunktes ist, nicht sehr informativ. 6. Dividiert man die Kraft durch die Masse, erhält man den Beitrag, den diese Kraft zur Beschleunigung des Massenmittelpunktes leistet. Dabei spielt es keine Rolle, wo die Kraft angreift und ob mit dieser Kraft noch ein Drehmoment verbunden ist. 12 Drehimpuls - Aufgaben Schwerpunkt eines Dreiecks 1. Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und eine Fläche. Folglich kann man einen Flächenschwerpunkt, einen Seitenschwerpunkt oder einen Schwerpunkt der drei Ecken bilden. Der Schwerpunkt, der im Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden liegt, bezieht sich auf die Fläche. 2. Die drei Stäbe bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Legt man das Koordinatensystem in den rechten Winkel dieses Dreiecks (längere Kathete als x-Achse), können die Koordinaten des Massenmittelpunktes einfach berechnet werden = 50 mm = 15 mm 3. Legt man das Koordinatensystem wieder in den rechten Winkel (längere Kathete als x-Achse), gilt =4m = 1.67 m Kinematik des Propellers -1 1. Die Propeller drehen sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 220 s . 2. Die Propeller drehen sich 35 Mal pro Sekunde. Weil das Flugzeug in einer Sekunde 140 Meter weit fliegt, hat die vom Propeller beschriebenen Schraube eine Ganghöhe von 4 m. 3. Die Geschwindigkeit der Propellerspitze setzt sich aus der Geschwindigkeit des Flugzeuges und der Umfangsgeschwindigkeit des Propellers (Winkelgeschwindigkeit mal Radius) zusammen 4. Die Normalbeschleunigung der Propellerspitze beträgt berechnet sich aus Winkelgeschwindigkeit im Quadrat mal Radius was bei einem Radius von einem Meter 4.84 4 2 10 m/s ergibt. Kinematik des Bugrades 1. Die Achse des Bugrades hat zum fraglichen Zeitpunkt eine Geschwindigkeit von 40 m/s. Weil -1 sich das Rad mit einer Winkelgeschwindigkeit von 20.94 s dreht, bewegt sich der unterste Teil um 12.6 m/s langsamer, also mit 27.4 m/s. Das Rad rollt etwas später auf der Piste ab. 2. Der oberste Teil des Rades ist um 12.6 m/s schneller als die Achse und hat eine Geschwindigkeit von 52.6 m/s (189 km/h). 3. Die Beschleunigung des untersten Punktes unterscheidet sich von der Beschleunigung der -2 -2 Achse (2 m/s , nach hinten) um eine Tangentialbeschleunigung ( = 3 m/s , ebenfalls nach hinten) und eine nach oben gerichtete Normalbeschleunigung ( = -2 263.2 m/s ). Demnach zeigt die Beschleunigung des untersten Teils des Rades fast senkrecht nach oben und hat einen Betrag von 263.2 m/s. Die Horizontalkomponente von 5 -2 m/s hat praktisch keinen Einfluss auf den Betrag der Beschleunigung. 4. Auf der Vorderseite bewegen sich die Teile nach unten, hinten nach oben. Die Geschwindigkeit setzt sich aus der Geschwindigkeit der Achse und der normal dazu weisenden Relativgeschwindigkeit von 12.6 m/s zusammen. Die Geschwindigkeit hat demnach einen Betrag von 41.9 m/s. Im vordersten Teil des Rades zeigt die Normalbeschleunigung nach hinten, im hintersten Teil nach vorne. Weil die Tangentialbeschleunigung viel kleiner als die Normalbeschleunigung ist, kann sie -2 vernachlässigt werden. Folglich ist die Beschleunigung des hintersten Teils gleich 261 m/s -2 und des vordersten Teils gleich -265 m/s . 13 Drehimpuls - Aufgaben Die Geschwindigkeit eines Punktes auf einem rotierenden Körper kann mit Hilfe der "kinematischen Verschiebungsformel" berechnet werden, falls die Geschwindigkeit vA und die Winkelgeschwindigkeit ω bekannt sind. Die Winkelgeschwindigkeit ist auf dem ganzen rotierenden Körper konstant, weil sich jede Linie zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit dreht. Die Beschleunigung lässt sich mit Hilfe eines Überlagerungsprinzips finden. Betrachtet man das Rad vom Flugzeug aus, läuft jeder Punkt des Rades auf einer Kreisbahn um. Der Punkt hat somit eine Normalbeschleunigung und eine Tangentialbeschleunigung. Die Beträge dieser beiden Grössen berechnen sich wie folgt Betrag der Normalbeschleunigung Betrag der Tangentialbeschleunigung Die Beschleunigung eines Punktes auf dem Rad ist somit für einen Beobachter auf der Piste gleich der Vektorsumme aus Beschleunigung des Flugzeuges plus Normalbeschleunigung plus Tangentialbeschleunigung. In der nebenstehend abgebildeten Skizze, die nur die Normal- und die Tangentialbeschleunigung zeigt, bewegt sich das Flugzeug nach rechts mit einer Beschleunigung nach links. Planetengetriebe Die Geschwindigkeiten von zwei Punkten auf einem starren Körper unterscheiden sich durch folgende Beziehung Der Distanzvektor sAB zeigt von A nach B. 1. Die beiden Wälzkreise bewegen sich mit 15 m/s bzw. mit 6 m/s. 2. Die Verbindungslinien von den Berührpunkten Sonnenrad-Planetenrad zu den Berührpunkten Planetenrad-Hohlrad sind radial ausgerichtet. Deshalb vereinfacht sich die allgemeine Formel -1 zu einer rein skalaren Betrachtung = -150 . Die Planetenräder drehen sich rückwärts. 3. Die Achsen der Planetenräder bewegen sich mit 10.5 m/s auf ihrer Bahn. Folglich dreht sich -1 der Planetenradträger mit einer Winkelgeschwindigkeit von 116.7 s . 4. Das Drehmoment, die Stärke des Drehimpulsstromes, kann mit Hilfe des zugeordneten Energiestromes berechnet werden. Die Stärke des im Sonnenrad fliessenden Drehimpulsstromes ist gleich Energiestrom durch Beladungsmass, also gleich 5 kW durch 250 -1 s , was einen Wert von 20 Nm ergibt. Bezüglich des Systems Planetengetriebe werden Energie und Drehimpuls ausgetauscht. Im stationären Betrieb müssen die zugehörigen Ströme den Knotensatz erfüllen. Kinematik und Knotensätze liefern drei Gleichungen Kinematik: Drehimpulsbilanz: Energiebilanz: Sind bei einem Planetengetriebe die beiden Radien gegeben, lässt dieses Gleichungssystem nur noch zwei Drehzahlen und ein Drehmoment als frei wählbare Grössen zu 14 Drehimpuls - Aufgaben In der hier gewählten Betriebsweise, fliesst über die Achse des Sonnenrades ein Drehimpulsstrom der Stärke 20 Nm und ein Energiestrom von 5 kW zu. In die Achse des Hohlrades betragen die Stromstärken 40 Nm und 2 kW. Folglich geht über den Planetenradträger ein Drehimpulsstrom mit einer Stärke von 60 Nm und ein Energiestrom von 7 kW weg. Drehimpulsstrom im Flügel 1. Der negativ drehende Propeller entzieht der Luft Drehimpuls, der positiv drehende entlässt den Drehimpulsstrom wieder an die Luft. Die beiden Motoren pumpen den Drehimpuls von -1 -1 262 s auf 0, bzw. von 0 auf 262 s . Dividiert man die Pumpleistung durch die Winkelgeschwindigkeit, die Potenzialdifferenz, erhält man eine Stromstärke von 2.3 kNm. Der y-Drehimpuls fliesst mit einer Stärke von 2.3 kNm vom linken Propeller durch den Flügel in den rechten, also gegen die x-Achse. 2. Von der Mitte her fliesst ein z-Impulsstrom von je 10 kN durch beide Flügelabschnitte. Dieser Impulsstrom wird bei den Motoren um je 8 kN verstärkt, so dass pro Rad 18 kN an den Boden abgeführt werden. 3. Links vom Piloten, auf der positiven x-Achse, bilden sich Quellen, rechts vom Piloten, auf der negativen x-Achse, Senken des y-Drehimpulsstromes. Die gesamte Quellenstärke beträgt nach dem Hebelgesetz 2.5 m * 10 kN = 25 kNm. Der zugehörige Drehimpulsstrom fliesst von den Quellen zu den Senken, also ebenfalls gegen die x-Achse, und erreicht in der Flügelmitte ein Maximum von 25 kNm. 4. Die beiden Drehimpulsströme sind zu überlagern. Das Biegemoment, die Stromstärke des yDrehimpulses, hat beim rechten Motor, bei x = -2.5 m, eine Stärke von -2.3 kNm, fällt dann bis in die Mitte auf -27.3 kNm ab, um auf der linken Flügelseite bei x = 2.5 m wieder auf 2.3 kNm anzusteigen (der Bezugspfeil für den y-Drehimpulsstrom zeigt hier in x-Richtung). Kleiderhacken 1. Aus dem Gravitationsfeld der Erde fliesst ein kontinuierlicher z-Impulsstrom mit einer Stärke von 50 N in den Mantel und von dort über den Kleiderhaken an die Wand weg. Dieser Impulsstrom geht nur über die Schraube an die Wand weg, weil in diesem Modell Tangentialoder Reibkräfte zwischen Wand und Kleiderhaken ausgeschlossen worden sind. 2. Der in die negative x-Richtung fliessende z-Impulsstrom induziert im Arm des Kleiderhakens eine gleichmässig verteilte Senke bezüglich des y-Drehimpulses. Diese Senke muss von links her gespiesen werden. Folglich fliesst von links her ein y-Drehimpulsstrom in den Arm des Kleiderhakens, dessen Stärke linear mit der Strecke abnimmt. Die Stärke dieses Drehimpulsstromes heisst auch Biegemoment. Weil der z-Impuls mit einer Stärke von 50 N um 0.25 m seitwärts fliesst, hat die Senke des y-Drehimpulses eine Stärke von insgesamt 12.5 Nm. 3. Der x-Impuls fliesst an der unteren Kante von der Wand her zu, strömt dann nach oben und geht über die Schraube wieder an die Wand weg. Längs der Strecke, auf welcher der xImpuls nach oben, also seitwärts zu seiner Bezugsrichtung fliessen muss, bilden sich Quellen des yDrehimpulses. Somit quillt yDrehimpulsstrom im vertikal ausgerichteten Teil (angeregt durch 15 Drehimpuls - Aufgaben den nach oben fliessenden x-Impulsstrom) in den Kleiderhaken hinein und fliesst dann nach rechts, um schlussendlich im horizontalen Arm wieder zu versickern. 4. Auf den Haken wirken der Wintermantel, die Wand und die Schraube ein. Folglich muss eine Mantelkraft nach unten, eine Normalkraft an der Unterkante des Schafts des Kleiderhakens in x-Richtung und eine Schraubenkraft eingezeichnet werden. Die Schraubenkraft darf in eine nach oben zeigende Tangentialkomponente und in eine in die Wand hineinweisende Normalkomponente zerlegt werden. Das Kräftepaar, bestehend aus Mantelkraft und Tangentialkomponente der Schraubenkraft, wirkt mit einem Drehmoment von 12.5 Nm auf den Haken ein. Dieses Drehmoment wird durch das Kräftepaar der beiden Normalkräfte kompensiert. Weil der zugehörige Hebelarm nur 125 mm misst, haben die beiden Normalkräfte einen Betrag von je 100 N. Kraftfluss in Autobahnbrücke Der Begriff Kraftfluss ist dem Wunsch der Baumeister und Ingenieure nach einer bildhaften Erklärung der statischen Belastung von Bauteilen entsprungen. Diesem Wunsch kann entsprochen werden, wenn man sich von der Vorstellung eines einzigen Kraftflusses löst. Durch statische Strukturen hindurch werden insgesamt sechs Mengen (drei Komponenten des Impulses und drei Komponenten des Drehimpulses) transportiert, wobei querfliessende Impulsströme nach dem Hebelgesetz Drehimpulsquellen induzieren. 1. Das Gravitationsfeld führt jedem Körper z-Impuls mit der Rate zu. In unserem Modell sind die Impulsquellen gleichmässig über die als Linie gedachte Fahrbahn verteilt. Die Masse der restlichen Teile der Brücke wird vernachlässigt. Der zImpuls fliesst von der Fahrbahn in den Hohlkasten und von dort an die Pfeiler weg. In der Mitte zwischen den Pfeilern teilt sich der von oben kommende Impulsstrom auf und fliesst durch den Hohlkasten in den hinteren oder vorderen Pfeiler ab. 2. Über den Pfeilern fliesst kein z-Impuls in x-Richtung. Geht man von der Spitze eines Pfeilers in Richtung der x-Achse, trifft man auf einen starken Gegenstrom. Die Stärke dieses in minusx-Richtung fliessenden z-Impulsstrom steigt auf halbem Weg zum nächsten Pfeiler auf Null an, um dann bis zum nächsten Pfeiler weiter auf den Maximalwert zu wachsen. Sobald man den zweiten Pfeiler verlässt, trifft man auf den nächsten Gegenstrom. Die Querkraft, die Stärke des querfliessenden Impulsstromes, sinkt also über den Pfeilern sehr schnell vom Maximal- auf den Minimalwert ab und steigt zwischen den Pfeilern kontinuierlich wieder an. Genau in der Mitte zwischen zwei Pfeilern ist die Querkraft gleich Null, weil dort die "Wasserscheide" des z-Impulsstromes liegt. 3. Der in x-Richtung fliessenden yDrehimpulsstromes wird von den Quellen gespiesen und und von den Senken geschwächt. Erzeugt werden die y-Drehimpulsquellen und -senken vom querfliessenden z-Impulsstrom. Fliesst der z-Impuls in x-Richtung bilden sich Quellen, andernfalls Senken. Somit befinden sich die Drehimpulsquellen auf der Rückseite und die Drehimpulssenken auf der Vorderseite der einzelnen Pfeiler. Bringt man die Gelenke zwischen den Pfeilern an (ein Gelenk lässt wohl den Impuls aber je nach Bauart bestimmte Komponenten des Drehimpulses nicht durch), wird der Drehimpuls im Hohlkasten über den Pfeiler hinweg geleitet. Befinden sich die 16 Drehimpuls - Aufgaben Gelenke über den Pfeilern, fliesst der Drehimpuls zwischen den Pfeilern gegen die xRichtung. Im ersten Fall ist der y-Drehimpulsstrom über den Pfeilern, im zweiten in der Mitte zwischen den beiden Pfeilern am stärksten. Mathematisch ergibt die Ableitung der y-Drehimpulsstromstärke nach x die Stärke des durch den Hohlkasten fliessenden z-Impulsstrom. Der Biegemomentenverlauf nimmt deshalb die Gestalt von Parabelbögen an, deren Scheitel gerade über den Pfeilern zu liegen kommen. Umgekehrt berechnet sich der Biegemomentenverlauf aus dem Querkraftverlauf durch Integration über x. Die Lage der Gelenke bestimmen die Integrationskonstante. Legt man im Abstand der Länge von gegebenen Brettern Klötze auf den Boden, können die beiden hier skizzierten Verläufe des Biegemomentes experimentell überprüft werden: beim einen Brückentyp legt man die Bretter mittig auf die Klötze, beim zweiten fügt man sie von Klotz zu Klotz aneinander. Um den wahren Verlauf der Hohlkastenverformung nachzubilden, müsste man ein sehr langes Brett über alle Klötze legen. Doppelzylindersatellit 1. Der erste Motor pumpt 6000 Nms Drehimpuls in den ersten Zylinder hinein. Weil der Rest des Satelliten ohne den zweiten Zylinder zehn Mal langsamer in Gegenrichtung dreht, muss das zugehörige Massenträgheitsmoment zehn Mal grösser sein. Der zweit Motor fördert später 6000 Nms Drehimpuls aus dem zweiten Zylinder in den Rest des Satelliten hinein. 2. Der erste Motor hebt die 6000 Nms Drehimpuls im Mittel um eine Winkelgeschwindigkeit von -1 110 s hinauf. Dazu muss er mindestens 660 kJ Energie aufwenden. 3. Der zweite Motor fördert ebenfalls 6000 Nms Drehimpuls. Weil die mittlere Pumphöhe diesmal -1 140 s beträgt, erhöht sich die aufzuwendende Energie auf 840 kJ. In der ersten Phase des zweiten Prozesses fliesst der Drehimpuls hinunter. In dieser Phase muss der Motor als Generator arbeiten, damit er insgesamt nur 840 kJ Energie frei setzen muss. 4. Die beiden Zylinder speichern neben dem Eigendrehimpuls auch noch Bahndrehimpuls . Weil die beiden Zylinderachsen gemeinsam mit dem Rest des Satelliten 2 = 100 kgm zum Massenträgheitsmoment bei. rotieren, tragen sie einen Beitrag von je 2 Der Käfig besitzt folglich ein Massenträgheitsmoment von 100 kgm . Frontalcrash seitlich versetzt 1. Die Lösung zur ersten Frage kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden. Weil das erste Auto 16 kNs und das zweite -13.5 kNs Impuls speichert, bewegen sich die Fahrzeuge nach dem Stoss gemeinsam mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s weiter. Während des Stossprozesses fallen 14.4 kNs Impuls im Mittel um 12.5 m/s hinunter, wobei eine Energie von 180 kJ freigesetzt wird. 2. Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes ist gleich Impulsinhalt dividiert durch Gesamtmasse. Folglich bewegen sich die beiden Fahrzeug wie beim nicht versetzten Stoss mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 1 m/s weiter. 3. Im Mittel sind bei diesem Stossvorgang 14.4 Ns Impuls vom MMP des einen zum MMP des zweiten Fahrzeuges geflossen. Weil dieser Impuls über eine Strecke von 1.25 m seitwärts transportiert worden ist, sind dem Gesamtsystem quellenartig 18 kNms Drehimpuls zugeführt worden. 4. Ein System, das bei einem Drehimpulsinhalt von 18 kNms mit einer Winkelgeschwindigkeit -1 2 von 5 s rotiert, besitzt ein Massenträgheitsmoment von 3600 kgm . Dieses Massenträgheitsmoment darf bezogen auf die momentane Geometrie in vier Teile zerlegt werden. Die ersten beiden Terme beschreiben die Kapazität bezüglich des Eigendrehimpulses der Autos, die zwei letzten Terme stehen für das Fassungsvermögen an Bahndrehimpuls. 17 Drehimpuls - Aufgaben 5. Vor dem Stoss haben die Autos gemeinsam eine kinetische Energie von = 181.25 kJ besessen. Am Ende des inelastischen Stosses speichert das Gesamtsystem noch 1.25 kJ kinetische Energie (wie beim nicht versetzten Stoss) sowie eine Rotationsenergie von aufgenommene Energie beträgt demnach 135 kJ. = 45 kJ. Die von den Karosserieteilen Wirkung eines Strahltriebwerks 1. Die Schubkraft eines Strahltriebwerks hängt von der Stärke des durchfliessenden Massenstromes und von der Geschwindigkeitsdifferenz zwischen dem ein- und dem austretenden Massenstrom ab (die Geschwindigkeit ist das Impulsbeladungsmass des Massenstromes). 2. Die Stärke des auf das System Flugzeug bezogenen Impulsstromes nennen wir Schubkraft. Wo dieser Impuls ausgetauscht wird, spielt für die Impulsbilanz keine Rolle. Die Summe über alle Kräfte ist in jedem Fall gleich Masse mal Beschleunigung des Massenmittelpunktes. 3. Der Ort des Triebwerks hat keinen Einfluss auf die Stärke des von ihm ausgelösten Drehimpulsstromes, d.h. die dynamische Wirkung eines reinen Drehmomentes hängt nicht vom "Angriffsort" des Drehmomentes ab. 4. Den Impuls eines Körpers kann man sich immer als im Massenmittelpunkt gespeichert vorstellen. Muss nun der Impuls von der Oberfläche eines Körpers seitwärts zu seiner eigenen Bezugsrichtung bis zum Massenmittelpunkt fliessen, bilden sich Quellen des y- oder zDrehimpulses. Im Kraftbild kann dieses "quellenartige" Drehmoment mit einer Formel , wobei der Vektor r vom Massenmittelpunkt zur Mitte der beschrieben werden Angriffsfläche der Kraft (Druchtrittsfläche des Impulsstromes) zeigt. Um diesen Zusammenhang zu besser zu verstehen, schreibt man der Kraft eine Wirklinie zu. Das zugehörige Drehmoment der Kraft, ist dann gleich Kraft mal Abstand des Massenmittelpunktes von dieser Wirklinie. 5. Die totale Wirkung eines Triebwerks auf ein Flugzeug besteht aus einer Schubkraft, einem reinem Drehmoment und einem der Schubkraft bezüglich des Massenmittelpunkts zugeordneten Drehmoment. Dynamik des Bugrades Bezüglich des gezeichneten Koordinatensystems fliesst sehr wahrscheinlich x-Impuls aus dem Rest des Flugzeuges zu und geht zusammen mit dem x-Impuls, den das Rad abgibt, an die Unterlage weg. y-Impulses fliesst vom Gravitationsfeld her zu und vereinigt sich im Rad mit dem über die Achse zugeführten Teil. Weil das Rad in yRichtung keinen Impuls speichern kann, muss der ganze Zufluss direkt an die Erde abfliessen. Der seitwärts strömende x-Impuls erzeugt Quellen des z-Drehimpulses (Achse normal zur Skizze, nach hinten orientiert). Die Kraftskizze ergibt sich aus den oben beschriebenen Impulsströmen. Die Stärken der über das Lager von der Achse her zufliessenden x- und y-Impulsströme sind hier zu einem einzigen Kraftpfeil zusammengefasst worden. Oft lässt man die Zerlegung einer Kraft in ihre drei Komponenten stehen, weil man die Bilanzgleichungen schlussendlich auch komponentenweise formulieren muss. In einem zweiten Schritt stellt man die drei Bilanzgleichungen auf und verwendet für den Inhalt direkt die kapazitiven Gesetze x-Impuls: y-Impuls: z-Drehimpuls: 18 Drehimpuls - Aufgaben Man kann diese Aufgabe natürlich ohne Kenntnis der Physik der dynamischen Systeme lösen. Dann zeichnet man die Wirkungen aufgrund der Erfahrung ein, dass an jeder Schnittfläche maximal eine Kraft (drei Komponenten) und ein Drehmoment (drei Komponenten) einwirken kann. Zu den einzelnen Fragen: 1. Das Schnittbild enthält alle Kräfte und Drehmomente. Unbestimmte Grössen werden nach belieben eingezeichnet, aber dann mit den skizzierten Richtungen in die Bilanzgleichungen (Grundgesetze) übernommen. 2. Die Grösse der Gleitreibungskraft ergibt sich aus der Drehimpulsbilanz = 100 N 3. Die Grösse der Normalkraft berechnet sich mit Hilfe des Gesetzes zur Gleitreibung = 167 N. (Coulombsche Reibung) 4. Die beiden Komponenten der Achsenkraft ergeben sich aus den beiden Impulsbilanzen: -60 N in x-Richtung und -618 N in y-Richtung. Die Achsenkraft zeigt gegen die eingezeichnete Richtung und hat einen Betrag von 621 N. Im Moment hebt also das Flugzeug das Bugrad noch an und zieht es nach hinten; der x-Impuls fliesst aus dem Rad an die Piste und ans Flugzeug ab und der vom Gravitationsfeld ins Rad hinein quellende y-Impuls geht zum Teil an die Piste und zum Teil ans Flugzeug weg. Zylinder mit Seil 1. Auf den Zylinder wirken neben dem Gravitationsfeld und dem Seil nur noch die beiden Träger ein. Diese Einwirkung kann in eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft zerlegt werden. 2. Die Bilanzgesetze lauten x-Impuls: y-Impuls: z-Drehimpuls: 3/4. Die Impulsbilanz in y-Richtung hat keinen Einfluss auf die gestellten Fragen. Als weitere Beziehung benötigt man aber noch die Rollbedingung. Somit ergeben sich drei Gleichungen x-Impuls: z-Drehimpuls: Rollbedingung: oder Aus diesen drei Gleichungen können die Antworten zu den beiden letzten Fragen berechnet werden = 4.44 m/s 2 = 26.7 N Fadenspule 1. Auf die Fadenspule wirkt neben dem Faden nur noch das Gravitationsfeld (Gewichtskraft) und die Unterlage (Normalkraft und Reibungskraft) ein. 2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten x-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (Reibung) weg. Der vom 19 Drehimpuls - Aufgaben Graviationsfeld zufliessende y-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der x-Impuls, der in der Fadenspule in y-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des z-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende x-Impuls wird im räumlichen Mittel im Massenmittelpunkt gespeichert). Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen x-Impuls: y-Impuls: z-Drehimpuls: 3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung , in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz . Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben. 4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden x-Impuls: z-Drehimpuls: Rollbedingung: oder Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht. 5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der Impulsbilanz: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns x-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt. Bowling Die Umfangsgeschwindigkeit der Bowlingkugel bezüglich ihrer Mitte beträgt = 6.75 m/s. Die Kugel dreht sich somit schneller, als wenn sie nur abrollen würde. Folglich wirkt die Gleitreibungskraft in Bewegungsrichtung. 1. Die Gleitreibung führt der Kugel Impuls zu. Dieser Impuls fliesst in der Kugel quer zu seiner Bezugsrichtung. Längs des quer fliessenden Impulses bildet sich eine Drehimpulssenke. 2. Der in der Kugel von der Berührfläche zur Mitte quer fliessender Impuls erzeugt eine Drehimpulssenke der Stärke Reibkraft mal Radius (Hebelgesetz). 3. In der Rollphase muss die Umfangsgeschwindigkeit der Kugel 20 Drehimpuls - Aufgaben bezüglich ihrer Mitte gleich der Geschwindigkeit dieser Mitte sein. 4. Die Änderungsraten von Drehimpuls und Impuls sind über das Hebelgesetz fest verkuppelt. Folglich ist auch die Änderung des Drehimpulses fest mit der Änderung des Impulses verknüpft . Löst man diese Gleichung nach der Endgeschwindigkeit auf, erhält man = 4.07 m/s. Die Kugel dreht sich dann mit einer Winkelgeschwindigkeit von -1 45 s . 5. Impuls wird von der Erde in die Kugel gepumpt, Drehimpuls fliesst weg. Die dabei umgesetzte Energie ist gleich Menge mal mittlere Pump- bzw. Fallhöhe . Während der Rutschphase werden 4.3 Ns Impuls im Mittel um 3.5 m/s hinauf gepumpt. Die -1 dazu notwendige Energie stammt vom Drehimpuls (0.39 Nms), der im Mittel um 60 s hinunterfällt. Die Impuls-Pumparbeit beträgt 15.2 J, der wegströmende Drehimpuls setzt 23.2 J Energie frei, folglich werden 8 J Energie zwischen Kugel und Bahn dissipiert. Gyrobus Die nachfolgenden Lösungen dürften etwas von den wahren Werten abweichen, weil nicht alle Daten bekannt sind. 1. Der Drehimpuls kann aus Energie und Winkelgeschwindigkeit berechnet werden = 115 kNms. 2. Das Massenträgheitsmoment, die Drehimpulskapazität (Grundfläche im Flüssigkeitsbild), ist 2 gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 365 kgm . Dies entspricht bei eine Masse von 1500 kg einem Trägheitsradius von knapp 50 cm. 3. Der Drehimpuls soll in etwa 12 Stunden abgeflossen sein. Dies ergibt eine Stromstärke, also ein Drehmoment von 2.65 Nm. Weil für das Drehmoment auch Turbulenzen im umgebenden Wasserstoff verantwortlich gewesen sein dürfte, handelt es sich hier um einen Mittelwert. 4. Bei einer Kurvenfahrt ändert das Schwungrad seinen Impuls, aber nicht seinen Drehimpuls. Damit das Schwungrad die Kurvenfahrt mitmacht, muss mit einer Kraft von kN auf das Rad eingewirkt werden. 5. Bei der Kuppenfahrt verändert sich auch der Drehimpuls des Schwungrades -1 0.075 s * 115 kNms = 8.6 kNm. = 1.7 = Die gleichmässige Bewegung eines Körpers auf dem Kreis und die Schwenkbewegung des Kreisels unterliegen analogen Gesetzen. In beiden Fällen stehen Änderungsraten der Menge und die Menge (Impuls und Drehimpuls) normal zueinander Schwungradspeicher 1. Der Drehimpuls ist gleich Energie durch halbe Endwinkelgeschwindigkeit, also gleich 16.5 kNms. Dank der hohen Drehzahl benötigt dieses Schwungrad bei etwa gleichem EnergieSpeichervermögen viel weniger Drehimpuls als der Gyrobus. 2. Das Massenträgheitsmoment, die Drehimpulskapazität (Grundfläche im Flüssigkeitsbild), ist 2 gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 6.3 kgm . 2 3. Die Beschleunigung des Autos ist auf 6 m/s beschränkt. Für die Maximalgeschwindigkeit gilt . Die zulässige Geschwindigkeit wächst mit der Wurzel aus dem Kurvenradius: 12.2 m/s (44 km/h) bei 25 m Kurvenradius, 24.5 m/s (88 km/h) bei 100 m und 34.6 (125 km/h) bei 200 m. 4. Das Auto dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von . Das auf das , was bei einem Schwungrad ausgeübte Drehmoment ist gleich Kurvenradius von 200 m einen Wert von 2.86 kNm ergibt. Bei einem Radius von 100 m steigt das maximale Drehmoment auf 4 kNm an und bei einem Radius von 25 m beträgt das 21 Drehimpuls - Aufgaben maximal möglich Drehmoment 8.1 kNm. Da könnte sportliches Einparken zum Problem werden. Präzession der Erde -5 -1 Die Erde rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 7.29 10 s . Das zugehörige 37 2 Massenträgheitsmoment beträgt 9.7 10 kgm . 29 1. Die Erde hat gegenüber dem Weltraum eine Rotationsenergie von 2.58 10 J. Vergleicht man 20 diesen Wert mit dem jährlichen Energiebedarf der Menschheit von etwa 5 10 J, erscheint diese Energie beinahe unerschöpflich zu sein. Damit aber die Rotationsenergie der Erde in einem Prozess freigesetzt werden kann, müsste der zugehörige Drehimpuls an ein zweites System abfliessen können. Dieses zweite System existiert und besteht aus Erde und Mond (Bahndrehimpuls). Der zugehörige Prozess heisst Gezeitenreibung. Die Gezeitenreibung ist wie der Name sagt - äusserst dissipativ. Zudem kann nicht der gesamte Drehimpuls der Erde in Bahndrehimpuls Erde-Mond übergehen, weil die Erde am Schluss synchron mitrotiert. 33 2. Die Erde speichert 7.07 10 Nms Drehimpuls. -12 -1 3. Die Erdachse präzessiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 7.68 10 s . 4. Die Normalkomponente des Drehimpulses der Erde (rotierende Komponente) hat einen 33 Betrag von 2.81 10 Nms. Multipliziert man diesen Wert mit der mittleren 22 Winkelgeschwindigkeit der Präzession erhält man ein Drehmoment von 2.16 10 Nm. Ersetzt man das Drehmoment durch ein Kräftepaar, das am Umfang der Erde angreift, ergibt sich 15 eine Kraft von 1.7 10 N. Fragen zur Unwucht 1. Die Lagerbelastung wächst quadratisch mit der Drehzahl an. 2. Eine statische Unwucht liegt vor, wenn der Massenmittelpunkt des Rotators nicht auf der Drehachse liegt. Eine dynamische Unwucht entsteht, wenn die Drehachse nicht Hauptachse ist, wenn der Vektor des Drehimpulses nicht in die gleiche Richtung zeigt wie die Winkelgeschwindigkeit. 3. Eine statische Unwucht belastet die Lager mit einer umlaufenden Kraft, weil der Impuls des Rades ungleich Null ist. Der Impulsinhalt des Rades ist mit dem eines kreisenden Körpers vergleichbar. Eine dynamische Unwucht belastet die Lager mit einem umlaufenden Drehmoment, weil die Normalkomponente des Drehimpulses ungleich Null ist. Dieser Teil des Drehimpulses vollführt eine mit der Drehung gekoppelte Schwenkbewegung. 4. Ein Autorad "springt" bei einer statischen Unwucht und "taumelt" bei einer dynamischen. 5. Eine statische Unwucht korrigiert man, indem unter einem bestimmten Winkel zum Ventil beidseits der Felge je eine Masse angebracht wird. Um eine dynamische Unwucht zu korrigieren, müssen die Massen quer über dem Durchmesser beidseits der Felge angebracht werden. 6. Der Verlust einer Schaufel erzeugt primär eine statische Unwucht. Zusätzlich entsteht noch eine dynamische Unwucht, falls die Schaufel nicht auf der Mittelebene montiert gewesen ist. Rollkörper auf schiefer Ebene Auf den Rollkörper wirken nur das Gravitationsfeld und die Unterlage ein. Die Wirkung des Gravitationsfeldes (Stärke der Impulsquelle) heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann in eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft zerlegt werden (die Rollreibung würde ein zusätzliches Drehmoment erzeugen). 1. Das Schnittbild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper einwirken. 2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" Impuls und eine "Sorte" Drehimpuls mit der Umgebung austauschen. Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven Gesetze erhält man die Grundgesetze der Mechanik 22 Drehimpuls - Aufgaben x-Impuls: y-Impuls: z-Drehimpuls: Die y-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die Indices weggelassen. 3. Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius ist. Leitet man diese Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf x-Impulsbilanz: z-Drehimpulsbilanz: oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes mit dem Faktor Setzt man den Faktor k gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers. 4. Der Weg über die Energiebilanz ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den Zwangskräften (Normalkraft und Haftreibungskraft) Hier ist die Geschwindigkeit gleich minus Änderungsrate der Höhe mal Sinus des Neigungswinkels. Zusammen mit der Rollbedingung erhält man und daraus die gesuchte Formel. 5. Die Kugel wird ums stärker beschleunigt, je weniger der Faktor k von eins abweicht, je grösser das Verhältnis des Massenträgheitsmoment zu Masse mal Quadrat des Abrollradius r ist Die Kugel ist somit um so schneller, je kleiner die vom U-Profil gebildete "Spurweite" ist. 23
