DOWNLOAD Thomas Röser Wahrscheinlichkeitsrechnung Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Bergedorfer Unterrichtsideen Thomas Röser Bergedorfer Lernstationen Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: 8. Klasse Terme – Lineare Gleichungen und Funktionen – Prozentund Zinsrechnung – Körper – Stochastik Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfo verfolgt. 6. Wahrscheinlichkeitsrechnung Laufzettel zum Stationenlernen Wahrscheinlichkeitsrechnung Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Station 2 Ereignisse verknüpfen Station 3 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen ten Zufallsexperimenten Zusatzstation A Gegenereignis nis Zusatzstation Zusa atzstat B Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrsch orie und Kombinatorik Station 4 Mehrstufige Meh tufige Baumdiagramme umd Station 5 Erwartungswert wartungsw Station 6 S Sachaufgaben Kommentare: Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 1 Aufgabe Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Aufgabe: Übe das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft. eft. Wie kann b) anders formuliert werden? 3. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher? Berechne in deinem Heft. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung echnung © Persen Verlag Aufgabe Station ation 2 Ereignisse Ereignis e verknüpfen verknüpfe Aufgabe: Übe die Verknüpfung Schnitt,- un und Vereinigungsmengen. fung von S 1. Berechn Berechne A,, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A nisse deinem Heft. Überprüfe mit dem Additionssatz. e in dein B) für die folgenden Würfelergeb- 2. In einer Kiste sind Zettel, durchnummeriert von 1–10. Berechne A, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A B) für die folgenden Würfelergebnisse in deinem Heft. Überprüfe mit dem Additionssatz. 3. Gegebene ist eine Schnitt-, und eine Vereinigungsmenge. Bestimme A, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A B) in deinem Heft und formuliere einen möglichen Sachverhalt sowie mögliche Ereignisse A, B. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 2 Station 3 Aufgabe Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Aufgabe: Übe die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten. Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe 1. – 3. in deinem Heft. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung echnung © Persen Verlag Station ation 4 Aufgabe Mehrstufige hrstufige Baumdiagramme aumdiagra Aufgabe: Berechne Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen. scheinlichk h Berechne die Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe 1. und 2. in deinem Heft und erstelle chne di e gesuchten W dazu Baumdiagramm. zu ein Baum mdiagra Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 3 Station 5 Aufgabe Erwartungswert Aufgabe: Übe das Berechnen des Erwartungswerts von Zufallsgrößen. 1. Bereche E(X) für ein Würfelspiel mit dem folgenden Gewinn-, Verlustplan in deinem Heft. 2. Gegeben ist der Einsatz und die Gewinnwahrscheinlichkeiten an einem Spielautomat. Der Einp n (Erw satz pro Spiel kostet 50 Cent. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn (Erwartungswert)? 3. Berechne E(X) für die Augensumme beim zweimaligen Werfen eines Würfels in d deinem Heft. Vervollständige zunächst die Wahrscheinlichkeitstabelle und d erkläre diese. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung echnung © Persen Verlag Station ation 6 Aufgabe Sachaufgaben Sach ufgaben Aufgabe: Übe das Bearbeiten Sachaufgaben. iten von v Sa b Bearbeite die Sachaufgaben 1. – 4. nach dem folgenden Prinzip: rbeite d e Sachaufgab – Gegeben is istt jeweil jeweils ein Sachverhalt und eine Frage. – Führe deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. Wenn re in dein es dir hilft, kannst du auch zusätzlich ein Baumdiagramm zeichnen. ir hi Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 4 Zusatzstation A Aufgabe Gegenereignis Aufgabe: Übe das Berechnen des Gegenereignisses. 1. Ein Glücksrad besteht aus 20 gleich großen Feldern (nummeriert von 1–20). Bestimme S und vervollständige die Tabelle in deinem Heft. 2. Gib zu jedem Ereignis die Ereignismenge, das Gegenereignis sowie die Wahrscheinlichkeiten e Wahrs in deinem Heft an. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung echnung © Persen Verlag Zusatzstation u zstationn B Aufgabe Wahrscheinlichkeitstheorie lichkeits heorie und Kombinatorik Aufgabe: Übe das Zählverfahren und deren Wahrscheinlichkeiten. fahren von Kombinationsmöglichkeiten t Bearbeite Aufgaben 1. – 4. nach dem folgenden Prinzip: arbeite die Aufgabe A – Gegeben geben ist jeweils ein Sachverhalt und eine Frage. – Führe re in deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 5 Material Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Unter einem Ereignis versteht man eine beliebige Zusammenfassung der Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Es gibt unmögliche (können nicht auftreten, Wahrscheinlichkeit Null) und sichere Ereignisse (tritt definitiv auf, Wahrscheinlichkeit 1). Es gibt das Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich) P(A) = Anzahl günstige Ergebnisse : Anzahl möglicher Ergebnisse ge und das beliebige Zufallsexperiment (Wahrscheinlichkeiten zugehöriger Ergebnisse addieren). Beispiel: Ein Glücksrad ist nummeriert mit den Zahlen 1–9 (Laplace E Experiment) xperime e m nt) bnism i nge g S = {1, 2 Sicheres Ereignis: Alle möglichen Ergebnisse, Ergebnismenge 2, 3 3, 4 4, 5, 6, 7, 8, 9} Unmögliches Ereignis: Drehen der Zahl 10 Ereignis A (Zahl > 6): A = {7, 8, 9}. eun sind mö glich: c : P(A) A) = 3 = 1 = 0,3 B 33,3 3% Drei Ergebnisse sind günstig, neun möglich: 9 1. 1 2 8 3 7 4 6 5 2. 2 a) b) b c) d) e) f)) ein eine Zahl auf einem grauen n Fe Feld eine Zahl auf einem weißen Feld m weiß eine Zahl 울 3 eine Zahl hl > 2 Zahl 1, 4, 5, 6 ode oderr 8 die Z zweistellige Zahl eine zwe stellige Za a) eine grau graue Kugel b) ke keine graue Kugel c) irgendeine Kugel 3. a) Mit dem ersten Rad oder dem zweiten Rad ein graues Feld zu 8 drehen. b) Mit dem dritten Rad eine 4 oder 7 mit dem zweiten Rad eine 1 zu drehen. c) Mit dem dritten Rad eine 5 oder mit dem ersten Rad eine Zahl 욷 6 zu drehen. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 3 1 2 3 4 6 5 1 2 3 1 4 5 7 6 Material Station 2 Ereignisse verknüpfen Zwei oder mehr Ereignisse können mit dem logischen UND sowie auch mit dem logischen ODER zu einem neuen Ereignis zusammengefasst (verknüpft) werden. Beispiel: €€€€€€€€€ einen Würfel. Ereignis A: Gewürfelte Zahl ist ungerade, A = {1, 3 ,5} Ereignis B: Gewürfelte Zahl ist < 4, B = {1, 2, 3} d in B enthal h „UND“: Ist die Schnittmenge, die alle Ergebnisse enthält, die in A und enthalten sind. ner a als 4 4) Man schreibt: A B = {1,3} (1 und 3 sind ungerade und kleiner „ODER“: Ist die Vereinigungsmenge, die alle enthält, l Ergebnisse bnisse n s e en h t d hält die iin A oder in B enthalten Zahl k Z kleiner ner 4 oder n derr Z Zahl ahl ung ungerade) sind. Man schreibt: A B = {1, 2, 3, 5} (Zahl Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, hnen, e ,k können nnen e zu jedem d Ergebnis die zugehörigen ugeh g rigen g n Wa W Wahrh hriiertt werden e e o der e m ssatz s t a an: scheinlichkeiten zusammenaddiert oder man wendet den Additionssatz A B) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A Betrachte obiges es Bei Beispiel. e pie p el. A = Z Za Zahl un ungerade, B = Zahl < 4 e nis b betr r räg die i W Würfe hat a s sec Für jedes Ergebn Ergebnis beträgt Wahrscheinlichkeit P(E) = 1 : 6 (Würfel sechs Seiten) ( =3:6=1:2 P(A) P(B) = 3 : 6 = 1 : 2 P((A B)) = 2 : 6 = 1 : 3 P(A B) = 4 : 6 = 2 : 3 P(A 1. a) A: A gerade Zahl b) A: gerade Zahl b B:: eine 2 B: eine 3 2. a) A: Die Zahll ist 울 5 b) A: D Die e Zahl ist > 5 B: eine durch 3 teilbare Zahl B: eine durch 2 teilbare Zahl A B A B 10 10 4 8 12 11 16 13 18 4 20 14 19 8 15 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 17 12 11 17 16 13 18 20 14 19 15 7 Material Station 3 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Häufig werden Zufallsexperimente betrachtet, die aus mehr als einem einzigen Experiment bestehen. Sie setzen sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Versuchen zusammen. Man unterscheidet dabei das Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ (gezogenes Objekt wird nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt) und das „Ziehen ohne Zurücklegen“ (gezogenes Objekt wird nach dem Ziehen nicht mehr zurück in die Urne gelegt). Beispiel: erden h In einer Urne sind 2 grüne und 3 gelbe Kugeln (insgesamt 5 Kugeln). Es werden hintereinander 2 Kugeln gezogen a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrsch Wahrscheinlichkeit erst grün, dann gelb zu ziehen? b) P(grün/gelb) grün/gelb) = 2 ¦ 3 = 30 % a) P(grün/gelb) = 2 ¦ 3 = 24 % 5 5 5 4 enden fünf nf Kugeln. E s wird zweimal eine Kugel el gezo1. In einer Schachtel befinden sich die folgenden Es gen und diese wird wieder zurück in die Schachtel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, hachtel gelegt. W e Wahrsche nlichkei dass 4 1 a) b) c) d) e) 5 2 3 zzwei graue Kug Kugeln n gezo gezogen werden? keine keine schwarze Kugel gezogen wird? zweimal gleiche Zahl gezogen wird? zwe mal die g gen wird erst eine weiße und danach die Kugel e schwarze K ugel gezogen wird? zweimal eine schwarze Kugeln gezogen wird wird? z 2. In einem Behälter sind lter s nd 6 blaue, 7 rote ote und 9 weiße Stifte. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen.. Wie groß istt die W Wahrscheinlichkeit … roß is a) die Ko Kombination blau, mbination bla u rrot, weiß zu ziehen? dreimal blau zu zziehen? b) dreim c) keinen weißen Stift zu ziehen? einen we Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeiten, wenn doch mit Zurücklegen gezogen wird. 3. Zwei gleich große Klassen mit insgesamt 34 Schülern gehen ins Kino, die Sitzplätze 1–34 werden ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten nur Schüler aus einer Klasse die ersten fünf Sitzplätze? Wähle für diese Aufgabe ein passendes Urnen-/Schachtelmodell. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 8 Material Station 4 Mehrstufige Baumdiagramme Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dies ist vor allem sinnvoll, wenn Ereignisse aus mehreren Schritten bestehen. Für jeden Schritt gibt es neue Pfade im Diagramm. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit gibt es zwei Regeln: – Multiplikationsregel: Multipliziere Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander. us mehreren Pfaden – Summenregel: Addiere Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis aus besteht. Beispiel: In einer Lostrommel sind zwei grüne, ein roter und ein in b bla blauer er Zettel. e e G Ge Gesucht h ist die Wahrer b e bla u ziehen. e e Da abeii wer erde die gezogenen n Zette scheinlichkeit erst rot und dann grün oder blau zu Dabei werden Zettel i o ohn n Zurücklegen). urüc r lege g nicht mehr zurück in die Trommel gelegt (Ziehe (Ziehen ohne e chkei einl k Einzelwahrscheinlichkeit: g n =1¦2=1 p(rot, grün grün) Lostrommel Lostromme 1:4 1:2 rot r 2:3 grün rün 1:3 bl blau 4 1:4 grün 1:3 1:3 grün rot blau 2:3 grü grün 6 p(rot, p p( t b blau) bl u)) = 1 ¦ 1 = 1 u 4 blau 1:3 3 1:3 3 ro rot 3 12 Gesamtwahrscheinlichkeit: G Gesam s p(rot, grün/blau) = 1 + 1 = 1 = 25 % 6 12 4 1. In einer Urne rne sind v vier er Um Umschläge mit den Zahlen 2, 3, 3, 4. Erstelle ein Baumdiagramm für die Wah Wahrscheinlichkeit rscheinlichke und berechne diese, erst eine 2 und dann eine 3 oder 4 zu ziehen, wenn Umschläge a) die Ums hlä nach dem Ziehen nicht zurückgelegt werden, b) die Um Umschläge nach dem Ziehen zurückgelegt werden. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit dem gegebenen Glücksrad die Buchstaben in der Reihenfolge a) A, B B b) B, C A C zu erzielen. Erstelle dafür ein Baumdiagramm A D und berechne. B Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 9 Material Station 5 Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine Zahl und dient zur Beurteilung einer Zufallsvariablen X. Man berechnet den zu erwartenden Wert für die Zufallsvariable bei einer großen Anzahl an Durchführungen/Beobachtungen. Dabei nimmt X die Werte der Zufallsvariablen x1, x2, … , xi an. P(X = xi) ist die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen und der Erwartungswert berechnet sich so: E(X) = x1 ¦ P(X = x1) + x2 ¦ P(X = x2) + … + xi ¦ P(X = xi) Beispiel: r b die Augenzahl. reibt A g n Jede d Zah Z e Einmal würfeln, Zufallsvariable X beschreibt Zahl von 1–6 hat die Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden von daher gilt: n1:6 6, da a rg gilt E(X) = 1 ¦ 1 + 2 ¦ 1 + 3 ¦ 1 + 4 ¦ 1 + 5 ¦ 1 + 6 ¦ 1 = 3,5 6 6 6 6 6 6 1. Augenzahl ahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn in n€ 2 –1 –2 0 0,5 4 2. Betrag Wah Wahrscheinlichkeit lichke 5€ 25 % 2€ 10 % 3€ 15 % –6€ 30 % –1€ 7% 0€ 13 % 3. Zahl Wahrscheinlichkeit 2 3 1:36 2:36 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3:36 2:36 1:36 10 Station 6 Material Sachaufgaben 1. Eine Schachtel enthält 8 grüne, 3 blaue und 9 schwarze Kugeln. Daraus werden zufällig drei Kugeln hintereinander entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle Kugeln grün sind, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird? b) alle Kugeln grün sind, wenn mit Zurücklegen gezogen wird? 2. Beim Schulfest gibt es eine Lostrommel mit 9 weißen und 7 blauen Zetteln. Der Einsatz für ein eln. D Spiel beträgt 50 Cent. Werden zwei gleichfarbige Zettel gezogen, so gewinnt man 1 €. Ist das winnt m Spiel fair? 3. Bei einem Würfelspiel, wo der Würfel einmal wird, erhält der S Spieler für jede ge gerade mal geworfen orfen wird Zahl die doppelte Augenzahl in Euro. Fürr eine ungerade Zahl, muss der Spieler die doppelte ngerade Zah l mus oppelte gewürfelte Zahl in Euro zahlen. Handelt es sich um ein güns günstiges oder ungünstiges Glücksgünstiges G lücksspiel? 4. Einem Kartenspiel Karo)) e entnommen piel mit 32 Karten werden erde die vier Könige (Herz, Pik, Kreuz, Karo und vermischt. Nacheinander werden zwei Karten aufgedeckt. die Wahrscheinlichischt. N acheinander we edeckt Wie groß gro ist di keit, dass keit ss … a) zwei zwei rote Karten aufgedeckt werden? de b) der Kreuz-König im zweiten Versuch aufgedeckt Kreuz-Kö ersuch au edeckt wird? c) erst der Herz und dann der Karo aufgedeckt ro König aufg edec wird? Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 11 Zusatzstation A Material Gegenereignis Betrachtet man z.B. Glücksspiele, so gibt es die Ausgänge „Gewinn“ oder „Niete“, bei einer Ampel die Ausgänge „rot“ oder „grün“ usw. Es gibt also nur zwei mögliche Versuchsausgänge, das Ereignis A (Gewinn) und das Ereignis A (Niete bzw. kein Gewinn). Weiterhin gilt: P(A) + P(A) = 1. Beispiel: Beim Würfeln existiert die Ergebnismenge S = {1,2,3,4,5,6}} Ereignis Gegenereignis genereignis A: Zahl 울 2 A : Zahl > 2 A = {1, 2} A = {3,4,5,6} 3,4,5, P(A) = 2 : 6 = 1 : 3 P(A) (A) = 4 : 6 = 2 : 3 1. a) Ereignis Erei Gegenerei Gegenereignis nis A: Z hl > 6 Zahl b) Ereignis Gegenereignis A: Q dratzah Quadratzahl 2. In einer Lostrommel sind 43 Gewinnkugeln, 32 Nieten und 14 neutrale Kugeln mit der Aufschrift „Nochmal neu ziehen“. Es wird eine Kugel blind gezogen. A: ein Gewinn B: eine Niete oder ein neutrales Los C: keine neutrale Kugel Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 12 Zusatzstation B Material Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Berechung von möglichen Kombinationen. Dabei gibt es das folgende Abzählverfahren: Es werden nach einander i Entscheidungen getroffen und dabei gilt: 1. Stufe n1 Möglichkeiten 2. Stufe n2 Möglichkeiten i-te. Stufe ni Möglichkeiten Beispiel: Celina hat 6 Hosen und 9 Pullover. Wie viele Anziehkombinationen gibt nationen a ng bt e es? ? 6 ¦ 9 = 54, von daher hat sie 54 verschiedenen enen e Möglichkeiten. öglichkeiten ög c k e In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es bei einem Zufallsexperiment mit n verschiedenen e e em Z e llsex s perim e n enen Ausgängen, bei i-maliger Durchführung insgesamt ng in sgesa g s mt n ¦ n ¦ … ¦ n = ni mögliche che E Ergebnisse. ebnisse. s Beispiel: In eine Schachtel lieg liegen verschiedene Bälle, von denen 3 (mit Zurücklegen) gezoe en 4 v schied c e ene eB mit i Z urück ü gen)) g o gen werden. Wie viele Möglichkeiten gibtt e e Mö lichk i eiten t g es? 3 4 = 4 ¦ 4 ¦ 4 = 64 M Möglichkeiten. glichkeite c k en.. Die eW Wa Wahrscheinlichkeit, die Bä Bälle älle l iin d der R Reihenfolge hen enfolg o (1,2,3) zu ziehen beträgt: en nb eträgt: ägt P(A) = 1i = 1 = 1,56 % n 64 1. Steven hat at 4 ve verschiedene Mathebücher, ebücher, 5 verschiedene Englischbücher und 6 verschiedene Kochbücher. Wie viele Kombinationen es, die B Bücher nebeneinander zu legen? Kochb onen gibt es 2. In einer Urne sind 6 Kugel Kugeln durchnummeriert von 1–6. Es werden 4 Kugeln gezogen. Wie groß num ist die Wahrscheinlichkeit (1,2,3,4) zu ziehen, wenn hein chkei die Reihenfolge en a) die Kugeln jedes Mal zzurück in die Urne gelegt werden? (mit Zurücklegen) b) die K Kugeln mehr ugeln nicht m ehr zurückgelegt werden? (ohne Zurücklegen) 3. Am Glückss Glücksspielautomat hat die erste Walze die Zahlen von 1–12, die zweite Walze die Zahlen von n 1–9, die dritte Walze die Zahlen 1–6 und die vierte Walze die Zahlen 1–3. Wie viele Kombinationen können erdreht werden? 4. Beim Tippen eines Bundesligaspieltags kann man eine 1 für einen Heimsieg, eine zwei für einen Auswärtssieg und eine 0 für ein Unentschieden tippen. An einem Spieltag gibt es 9 Partien. a) Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit alle 9 Partien richtig zu tippen? Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 13 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–B 1. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Erstelle ein Baumdiagramm für die Wahrscheinlichkeit zweimal eine „1“ zu würfeln und berechne diese. 2. Beim 100 Meter Sprint laufen Max, Tim und Kai um die Wette. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung der Plätze? Erstelle e dazu ein Baumdiagramm. b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn acht Läufer starten? (ohne Baumdiagra Baumdiagramm) ? (ohn 3. Ein Würfel wird dreimal hintereinander gewo geworfen. Wie hoch ist die Wah Wahrscheinlichkeit, … a) mindestens eine 1 zu würfeln? b) dass die Augenzahl bei jedem Wurf größer alle urf g ößer iistt als beim Vorhergehenden? den? (Tipp: Zähle Z al Möglichkeiten auf.) 4. Aus einer Urne mitt 10 Kugeln (n (nummeriert von 3–12) wird eine Kugel gezogen. ist eine mmer ne e Ku el gezogen n. A is durch 3 teilbare Primzahl. Bestimme A={}, B={}, P(A), P(B) e Zahl, B eine Prim (A), P B) , A B , A B und wende den Additi Additionssatz onssatz an. 5. Bei der Produktion von Plastikfiguren werden einwandfrei de Produktio uren we en 97 % einwa ndfr hergestellt. Die Produktionskosten osten pro Figur betragen 1,50 €. Kauft ein Kunde unde eine fehlerhafte Figur, so bekommt er kostenlos welchem tenlo eine einwandfreie Figur gestellt. stellt. Zu welc he Preis muss eine Figur verkauft werden, wenn die Firma pro Figur e einen Gewinn ewin von 20 Cent erzielen möchte? 6. a) Aus einer Lostrom Lostrommel mit 9 weißen, 5 schwarzen und 3 grauen Bällen werden zwei Bälle mel m nacheinander gezogen. nache nander gezo e Wer zweimal die gleiche Farbe zieht, gewinnt. Ist es besser, den ersten gezogenen gezogen Ball zurückzulegen oder zu behalten? Berechne und erstelle jeweils ein Baumdiagramm. Baumdiag b) Ma Martin schlägt Lisa eine Wette vor: „Ziehe den ersten Buchstaben aus Topf 1, den zweiten Buchstaben aus Topf 2. Wenn du die Buchstabenreihenfolge AE ziehst, muss ich einkaufen, ansonsten du.“ Kann Lisa die Wette annehmen, ohne benachteiligt zu werden? A A B A A A A C C A C A B A C A A Topf 1 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag D E E E E D E D E E E E F E Topf 2 14 6. Wahrscheinlichkeitsrechnung – Lösungen Station 1: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1. a) A = {1, 5} P(graues Feld) = 2 : 8 = 25 % b) A = {2, 3, 4, 6, 7, 8} P(weißes Feld) = 6 : 8 = 75 % c) A = {1, 2, 3} P(Zahl ≤ 3) = 3 : 8 = 37,5 % d) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Zahl > 2) = 6 : 8 = 75 % e) A = {1, 4, 5, 6, 8} P(1, 4, 6) = 5 : 8 = 62,5 % f) A = { } P(zweistellige Zahl) = 0 : 8 = 0% % unmögliches unmöglich Ereignis 2. a) P(graue Kugel) = 12 : 42 = 28,57 % b) P(keine graue Kugel) B P(weiße Kugel) 30 71,42 % el) = 3 0 : 42 = 71,4 2 = 100 % sicheres s chere Ereignis E i c) P(irgendeine Kugel) = 42 : 42 3. a) A = {2, 5, 8} P(graues Feld im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5 37 % A = {1} Rad) = 1 : 4 = 25 % P(graues Feld im zweiten Rad) Antwort: mit dem ersten Rad ei ein graues Feld zu drehen ist größer. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit Wah b) A = {4} P(4 im dritten dritten Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 % zw P(1 im zweiten Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 % A = {1,1} Antwort: Wahrscheinlichkeiten sind gleich wahrscheinlich. sc einlich nd g c) A = {5} {5} P(5 im dritten Rad) = 1 : 4 = 25 % { 7, 8} A = {6, P(6, 7, 8 im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5 % Antwort: twort: Die Di Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Rad eine Zahl 6 6 zu drehen ist größer. Station 2: Ereignisse verknüpfen 1. a) A = {2, 4, 6}, B = {2}, AQB = {2}, AqB = {2, 4, 6}, P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 1 : 6; P(AqB) = 3 : 6 = 1 : 2 P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 1 : 2 = 1 : 2 + 1 : 6 – 1 : 6 = 1 : 2 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag wahr 15 b) A = {2, 4, 6}, B = {3}, AQB = { }, AqB = {2, 3, 4, 6}, P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 0 : 6 = 0; P(AqB) = 4 : 6 = 2 : 3 P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 2 : 3 = 1 : 2 + 1 : 6 – 0 = 4 : 6 = 2 : 3 wahr 2. a) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 6, 9}, AQB = {3}, AqB = {1,2,3,4,5,6,9}, P(A) = 5 : 10 = 1 : 2; P(B) = 3 : 10; P(AQB) = 1 : 10; P(AqB) = 7 : 10 P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 7 : 10 = 5 : 10 + 3 : 10 – 1 : 10 = 7 : 10 b) A = {6,7,8,9,10}, wahr AQB = {6,8,10}, AqB = {2,4,6 {2,4,6,7,8,9,10}, B = {2,4,6,8,10}, B) = 7 : 10 P(B) = 5 : 10 = 1 : 2; P(AQB) = 3 : 10; P(AqB) P(A) = 5 : 10 = 1 : 2; P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 7 : 10 = 5 : 10 + 5 : 10 – 3 : 10 = 7 : 10 wahr 3. ne sind Kugeln von 1 – 20 d Mögliche Aufgabenstellung: In einer Urne durchnummeriert. A: Zahl durch 4 teilbar B: Zahl zweistellig 6, 20}, A = {4, 8,12,16, {1 11,1 9, 20}, B = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 6, 20}, AQB = {12,1 {12,16, AqB = {4, 8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 15,16,17,18,19, ,18,19 20}, A) = 5 : 20 = 1 : 4; P(A) B) = 3 : 20; P(Aq B) = 13 : 20 P(B) = 11 : 20; P(AQB) P(AqB) P(A AqB) = P(A B); 13 : 20 = 5 : 20 + 11 1 : 20 – 3 : 20 = 13 : 20 P(AqB) P(A) + P(B) – P(AQB); wahr Station 3: Wahrscheinlichkeiten Statio ten bei mehrstufigen me Zufallsexperimenten 1. en Ziehen mit Zurückleg Zurücklegen a) P(grau, grau) = 2 · 2 = 4 = 16 % 5 5 25 b) P(nicht schwarz, nicht schwarz) = 4 · 4 = 16 = 64 % 5 5 25 c) Zweimal die gleiche Kugel sind 5 verschiedene Möglichkeiten: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) P(zweimal gleich) = 5 1 · 1 = 1 = 20 % 5 5 5 d) P(weiß, schwarz) = 2 · 1 = 2 = 8 % 5 5 25 e) P(schwarz, schwarz) = 1 · 1 = 1 = 4 % 5 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 5 25 16 2. Ziehen ohne Zurücklegen a) P(blau, rot, weiß) = 6 · 7 · 9 " 4,1 % 22 21 20 6 · 4,1 % = 24,55 % (Die Reihenfolge ist unerheblich.) P(blau, blau, blau) = 6 · 5 · 4 " 1,3 % 22 21 20 c) P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = 13 · 12 · 11 " 18,57 % 22 21 20 Wahrscheinlichkeiten mit Zurücklegen: P(blau, rot, weiß) = 6 · 7 · 9 " 3,55 % 22 22 22 P(blau, blau, blau) = 6 · 6 · 6 " 2,03 % 22 22 22 P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = 13 · 13 · 13 " 20,63 % 22 22 22 3. Modell: 5-mal Ziehen ohne Zurücklegen cklegen Rechnung: Die Wahrscheinlichkeiten beide Klassen sind gleich Klassen harscheinlich eiten für b d gle eic groß (beide de Klasse ben 17 Schüler). ). 17 blaue e Kugeln (Klasse Klasse A), 17 grüne Kugeln (Klasse B) ersten Versuch Versuc eine blaue Kugel gel zu ziehen, en, beträgt die die Wa Im ersten Wahrscheinlichkeit 17 : 34, im zweiten n 16 : 33, usw. 4 13 P(blau) P(bla = P(grün) = 17 · 16 · 15 · 14 · = 2,22 % (Beide erfüllen die Bedingung, also ist die 34 3 33 32 31 1 30 ichkeit P(blau) + P(grü = 4,44 %.) Gesamtwahrscheinlichkeit (grün) Antwort: dass fünf Schüler aus einer Klasse nebeneinander sitzen t: Die Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinl beträgt 4,44%. 4 44%. Station on 4: 4 Mehrstufige Baumdiagramme 1. a) Urne 1:4 2 2:3 1:3 3 4 1:4 1:2 3 1:3 2 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 4 1:3 3 1:3 4 1:3 2:3 2 3 17 Einzelwahrscheinlichkeit: p(2, 3) = 1 · 2 = 1 4 3 6 p(2, 4) = 1 · 1 = 1 4 3 12 Gesamtwahrscheinlichkeit: p(2, 3/4) = 1 + 1 = 1 = 25 % 4 12 4 b) Urne 1:4 1:4 2 2 1:2 3 1:4 3 1:4 1:2 1:4 4 1:2 2 1:4 4 1:4 1:4 4 3 4 1 1:2 2 3 Einzelwahrscheinlichkeit: p(2, 3) = 1 · 1 = 1 4 2 8 p(2, 4)) = 1 · 1 = 1 4 4 16 Gesamtwahrscheinlichkeit: Gesam mtwahrsche p(2, p(2 3/4) 4) = 1 + 1 = 3 = 18,75 5% 8 16 16 2. 2 Es handelt sich das Modelll „Ziehen mit Zurücklegen“, da nach dem ersten Drehen alle h hier hier um d Z öglichkeiten auch für den zweiten Versuch zählen. Aufbau des Baumdiagramms wie sechs Möglichkeiten 1b); Möglichkeiten beiden ); Mög lichkeiten in b eide Versuchen: A 1 : 3, B 1 : 3, C 1 : 6, D 1 : 6 a) p(A, B) = 1 · 1 = 1 = 11,1 % 3 3 b) p(B, C) = 1 · 1 = 1 = 5,5 % 9 3 6 18 Station 5: Erwartungswert 1. Für jede Augenzahl gilt die Wahrscheinlichkeit 1 : 6. E(X) = 2 · 1 + ( –1) · 1 + ( –2) · 1 + 0 · 1 + 0,5 · 1 + 4 · 1 = 7 = 0,58 € 6 6 6 6 Antwort: Der Erwartungswert beträgt 0,58 €. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 6 6 12 18 2. E(X)= 5 · 0,25 + 2 · 0,1 + 3 · 0,15 – 6 · 0,3 – 1 · 0,07 + 0 · 0,13 = 0,03 = 3 Cent Antwort: Pro Spiel gibt der Automat im Schnitt 3 Cent aus und macht damit bei einem Einsatz von 50 Cent einen Gewinn von 47 Cent. 3. Zahl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeit 1:36 2:36 3:36 4:36 5:36 6:36 5:36 4:36 3:36 2:36 1:36 Erklärung: Bei 2 Würfen gibt es 6 · 6 = 36 verschiedene Würfelkombinationen. atione Die Zahl 2 kann nur durch die Würfelkombination 1 und 1 dargestellt werden, also trifft nur ein eine von insgesamt 36 möglichen Kombinationen zu. Die Zahl 5 z. B. kann durch eine 2 und 3, eine 3 und 2, eine 4 und 1, eine 1 und 4, also durch insgesamt 4 verschiedene Würfelko Würfelkombinationen mbinationen dargestellt werden, usw. E(X)= 2 · 1 + 3 · 2 + … + 12 · 1 = 7 36 36 36 Antwort: Der Erwartungswert ert der Augensumme der Würfel beträgt 7. Station 6: Sachaufgaben chaufgaben 1. chnung: Bei insgesamt 20 Kuge davon 8 grüne e), be a) Re Rechnung: Kugeln (davon grüne), beträgt die Wahrscheinlichkeit im ersten Versuch 8 : 20, im zweiten dritten 6 : 18. er eiten 7 : 19 und im dritte P(g1) = 8 ; P(g2) = 7 ; P(g3) = 6 ; P(g1) · P(g2) · P(g3) = 14 = 4,91 % 20 19 9 18 285 keit, dass alle Kugeln grün sind beträgt ohne Zurücklegen Antwort: Die Wahrsch Wahrscheinlichkeit, 4,91 %. Rechnung: Bei in b) Rechnung: insgesamt 20 Kugeln (davon 8 grüne), beträgt die Wahrscheinlichkeit in allen drei Versuchen 8 : 20. drei Ver P(g1) = 8 ; P(g2) = 8 ; P(g3) = 8 ; P(g1) · P(g2) · P(g3) = 8 = 6,4 % 20 20 20 125 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln grün sind beträgt mit Zurücklegen 6,4 %. 2. 50 Cent: 9 · 8 + 7 · 6 = 57 = 47,50 % 16 15 16 15 120 – 50 Cent: 1 – 0,4750 = 52,50 % E(A) = – 0,50 · 0,5250 + 0,50 · 0,4750 = –0,025 Antwort: Das Spiel ist also fair. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 19 3. Rechnung: Alle Zahlen (gerade oder ungerade) sind gleichwahrscheinlich. Bei 1, 3, 5 werden 2, 6 und 10 Euro gezahlt, bei 2, 4, 6 erhält man 4, 8 und 12 Euro. E(A) = – 10 · 1 – 6 · 1 – 2 · 1 + 4 · 1 + 8 · 1 + 12 · 1 = 1 6 6 6 6 6 6 Antwort: Das Spiel ist also günstig für den Spieler, auch aus dem Grund, da die geraden Zahlen eines Würfels die höheren Augenzahlen darstellen. 4. a) Rechnung: Im ersten Versuch, einen roten König aufzudecken, beträgt ägt die d Wahrscheinlichkeit 1 : 2, im zweiten 1 : 3. P(2 rote Könige) = 2 · 1 = 16,6 % 4 3 kt werden, be Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Karten aufgedec aufgedeckt beträgt 18,3 %. b) Rechnung: P(kein Kreuz König) = 3 · 1 = 25 % 4 3 keit, dass erst ei uz Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, ein belieb beliebiger König und danach der Kr Kreuz König aufgedeckt wird, betr beträgt ägt 25 %. c) Rechnung: st Herz dann da ann Karo) = 1 · 1 = 8,3 % P(erst 4 3 A two Die W rs st der Herz und dan Antwort: Wahrscheinlichkeit, dass erst dann d der Karo König aufgedeckt wird, 8,3 %. wird, beträgt 8 Zusatzstation A: Gegenereignis Zusa ge nis 1. S = {1, 2, …, 20} a) Ereignis Gegenereignis A: Zahl > 6 A : Zahl ^ 6 A = {7,8,9 {7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} A = {1,2,3,4,5,6} P(A) = 14 : 20 = 7 : 10 P(A) = 6 : 20 = 3 : 10 b) Ereignis Gegenereignis A: Quadratzahl A : keine Quadratzahl A = {1,4,9,16} A = {2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20} P(A) = 4 : 20 = 1 : 5 P(A) = 16 : 20 = 4 : 5 2. A = {43 Gewinne} A = {32 Nieten, 14 Neutrale) P(A) = 43 : 89 = 48,31 % P(A) = 46 : 89 oder 1 – P(A) = 1 – (43 : 89) = 46 : 89 = 51,69 % Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 20 B = {32 Nieten, 14 Neutrale} B = {43 Gewinne} P(B) = 46 : 89 = 51,69 % P(B) = 1 – P(B) = 1 – (43 : 89) = 48,31 % C = {43 Gewinne, 32 Nieten} C = {14 Neutrale} P(C) = 75 : 89 = 84,27 % P(B) = 1 – P(C) = 1 – (75 : 89) = 15,73 % Zusatzstation B: Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik 1. Rechnung: (4+5+6)! = 15! Kombinationen chkeiten, die Bücher neAntwort: Steven hat 1,3077 · 1012 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, beneinander zu legen. 2. gibt bt es u und nd genau e eine Möglichkeit eit die Reihe Reihenfolge nfolge a) Rechnung: 64= 1296 Möglichkeiten g (1,2,3,4) zu ziehen, daher gilt: 0,08 lt: P(A) = 1 : 1296 = 0 0 %. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, Kugeln (1,2,3,4) beträgt einlichkeit, die Kug ln in der Reihenfolge nfo ,2,3,4) zu ziehen, b mit Zurücklegen 0,08 % %. ger, d her gibt es 6 · 5 · 4 · 3 = b) Rechnung: Hier gibt es in jed jedem Versuch eine Kugell wen weniger, daher iten und ebe keit die R eihenf 360 Möglichke Möglichkeiten ebenso genau eine Möglichkeit Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen, d her gilt: P(A daher P(A) = 1 : 360 = 0,28 %. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit hkeit die Kugeln geln in der Re eihenf Antwort: Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen beträgt ohn Zurücklegen 0,28 %. ohne 3. 2 · 9 · 6 · 3 = 1944 Kombinationen om Rechnung: 12 t: Es können 1944 Kombinationen erdreht werden. Antwort: 4. Rechn a) Rechnung: Es gibt 39 = 19683 Möglichkeiten. b) Rechnung: Es gibt nur eine Möglichkeit, alle Partien richtig zu tippen, daher gilt: P(A) = 1 : 19683 = 0,005 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, alle 9 Partien richtig zu tippen, beträgt 0,005 %. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 21 Abschließende Bündelung des Stationenlernens 1. Würfel 2 1 3 4 5 6 1:6 1:6 1 1:6 1:6 6 6 5 2 1 1:6 1:6 3 6 2 3 4 5 1 4 1 2 3 4 5 6 5 1 1 2 3 4 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 P(1,1) = 1 · 1 = 1 = 2,78 % 6 6 36 reinan er eine „1“ zu wü Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander würfeln, beträgt 2,78 % (in jedem Wurf 1 : 6). 2. a) 100 m Lauf auf Max Tim Kai 1. Platz Tim Kai Ka Max Kai Max Tim Kai Tim im Kai Max Tim Max 3. Platz 2. Platz a) Es gibt insgesamt 3 · 2 · 1 = 6 Möglichkeiten für die Verteilung der Plätze. äufern gibt es 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 = 40320 Möglichkeiten für die Verteilung der b) Bei acht Läufern Plätze. ze. 3. a) A: mind mindestens estens eine 1 A : keine 1 P(A) = 1 – P(A) = 1 – 91 = 42,1 % @ 56 · 56 · 56 # = 216 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 1 zu würfeln, beträgt 42,1%. b) Es können die folgenden 20 Möglichkeiten gewürfelt werden: (1,2,3); (1,3,4); (1,4,5); (1,5,6); (2,3,4); (2,4,5); (2,5,6); (3,4,5); (3,5,6); (4,5,6); (1,2,4); (1,2,5); (1,2,6); (1,3,5); (1,3,6); (1,4,6); (2,3,5); (2,3,6); (2,4,6); (3,4,6) P(Augenzahl größer als beim Vorhergehenden) = 20 5 = = 9,26 % 54 6·6·6 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl bei jedem Wurf größer ist als beim Vorhergehenden, beträgt 9,26%. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 22 4. A = {3,6,9,12} B = {3,5,7,11} P(A) = 4 : 10 = 2 : 5 AQB = {3} AqB = {3,5,6,7,9,11,12} Additionssatz: P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB) P(B) = 2 : 5 7 : 10 = 2 : 5 + 2 : 5 – 1 : 10 = 7 : 10 5. Rechnung: x beschreibt den Verkaufspreis pro Figur x – 1,50 € 97 % x – 3,00 € 3% E(A) = (x – 1,50 €) · 0,97 + (x – 3,00 € ) · 0,03 = 0,20 € Auflösen nach x liefert: x = 1,75 € ft werden. Antwort: Die Figur müsste für 1,75 € verk verkauft 6. a) mit Zurücklegen: P(w, w) = 9 · 9 = 28,03 % 17 7 17 P(s, s) = 5 · 5 " 8,65 % 17 17 1 3 3 P(g, P g, g) = · "3 3,11 % 17 7 1 17 P(gleiche Fa (g, g) = 39,79 % P(gleiche Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g, Lostrommel ostrommel w 9:17 3:17 9:17 5:17 w w s g s g g 5:17 s 3:17 g s w Ohne Zurücklegen: P(w, w) = 9 · 8 " 26,47 % 17 16 5 4 P(s, s) = · " 7,35 % 17 16 P(g, g) = 3 · 2 " 2,21 % 17 16 Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 23 P(gleiche Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g, g) = 36,03 % Lostrommel w 8:16 3:17 9:17 5:17 w w s g s 2:16 g g g 4:16 s s w romm zu legen. Antwort: Es ist sinnvoller, den ersten Ball wieder zurück in die Lostrommel b) Topf 1: 17 Buchstaben: 11 A, 4 C, 2 B Topf 2: 14 Buchstaben: 10 E, 3 D, 1 F P(A, E) = 11 · 10 " 46,22 % 17 14 ette nicht annehmen heinlichkeit un er Antwort: Lisa sollte die Wette annehmen, da die Gewinnwahrscheinlichkeit unter 50 % liegt. Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung © Persen Verlag 24 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben ben Sie Sie jetzt re Bewertung Bewerrtung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre en IIhree Erfahru ngen mit ab und teilen Sie anderen Kunden Erfahrungen mit. © 2015 Persen Verlag, Hamburg ambu AAP Lehrerfachverlage GmbH fachverlage G Alle Rechte vorbeh vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. 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