Wahrscheinlich- keitsrechnung

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Thomas Röser
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stationenlernen Mathematik 8. Klasse
Bergedorfer Unterrichtsideen
Thomas Röser
Bergedorfer Lernstationen
Stationenlernen
Mathematik 8. Klasse
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
8. Klasse
Terme – Lineare Gleichungen und Funktionen – Prozentund Zinsrechnung – Körper – Stochastik
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verfolgt.
6. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Laufzettel
zum Stationenlernen Wahrscheinlichkeitsrechnung
Station 1
Ereignisse und
Wahrscheinlichkeiten
Station 2
Ereignisse verknüpfen
Station 3
Wahrscheinlichkeiten
bei mehrstufigen
ten
Zufallsexperimenten
Zusatzstation A
Gegenereignis
nis
Zusatzstation
Zusa
atzstat
B
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrsch
orie
und Kombinatorik
Station 4
Mehrstufige
Meh tufige
Baumdiagramme
umd
Station 5
Erwartungswert
wartungsw
Station 6
S
Sachaufgaben
Kommentare:
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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1
Aufgabe
Station 1
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe:
Übe das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft.
eft.
Wie kann b) anders formuliert werden?
3. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher? Berechne in deinem Heft.
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
echnung
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Aufgabe
Station
ation 2
Ereignisse
Ereignis
e verknüpfen
verknüpfe
Aufgabe:
Übe die Verknüpfung
Schnitt,- un
und Vereinigungsmengen.
fung von S
1. Berechn
Berechne A,, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A
nisse
deinem Heft. Überprüfe mit dem Additionssatz.
e in dein
B) für die folgenden Würfelergeb-
2. In einer Kiste sind Zettel, durchnummeriert von 1–10. Berechne A, B, A B, A B, P(A), P(B),
P(A B) und P(A B) für die folgenden Würfelergebnisse in deinem Heft. Überprüfe mit dem
Additionssatz.
3. Gegebene ist eine Schnitt-, und eine Vereinigungsmenge. Bestimme A, B, A B, A B, P(A),
P(B), P(A B) und P(A B) in deinem Heft und formuliere einen möglichen Sachverhalt sowie
mögliche Ereignisse A, B.
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2
Station 3
Aufgabe
Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Aufgabe:
Übe die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten.
Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe 1. – 3. in deinem Heft.
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
echnung
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Station
ation 4
Aufgabe
Mehrstufige
hrstufige Baumdiagramme
aumdiagra
Aufgabe:
Berechne Wahrscheinlichkeiten
mithilfe
von Baumdiagrammen.
scheinlichk
h
Berechne
die
Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe 1. und 2. in deinem Heft und erstelle
chne di
e gesuchten W
dazu
Baumdiagramm.
zu ein Baum
mdiagra
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3
Station 5
Aufgabe
Erwartungswert
Aufgabe:
Übe das Berechnen des Erwartungswerts von Zufallsgrößen.
1. Bereche E(X) für ein Würfelspiel mit dem folgenden Gewinn-, Verlustplan in deinem Heft.
2. Gegeben ist der Einsatz und die Gewinnwahrscheinlichkeiten an einem Spielautomat.
Der Einp
n (Erw
satz pro Spiel kostet 50 Cent. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn
(Erwartungswert)?
3. Berechne E(X) für die Augensumme beim zweimaligen Werfen eines Würfels in d
deinem Heft.
Vervollständige zunächst die Wahrscheinlichkeitstabelle und
d erkläre diese.
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
echnung
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Station
ation 6
Aufgabe
Sachaufgaben
Sach
ufgaben
Aufgabe:
Übe das Bearbeiten
Sachaufgaben.
iten von
v Sa
b
Bearbeite
die
Sachaufgaben 1. – 4. nach dem folgenden Prinzip:
rbeite d
e Sachaufgab
– Gegeben is
istt jeweil
jeweils ein Sachverhalt und eine Frage.
– Führe
deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. Wenn
re in dein
es dir
hilft, kannst du auch zusätzlich ein Baumdiagramm zeichnen.
ir hi
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4
Zusatzstation A
Aufgabe
Gegenereignis
Aufgabe:
Übe das Berechnen des Gegenereignisses.
1. Ein Glücksrad besteht aus 20 gleich großen Feldern (nummeriert von 1–20). Bestimme S und
vervollständige die Tabelle in deinem Heft.
2. Gib zu jedem Ereignis die Ereignismenge, das Gegenereignis sowie die
Wahrscheinlichkeiten
e Wahrs
in deinem Heft an.
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echnung
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Zusatzstation
u zstationn B
Aufgabe
Wahrscheinlichkeitstheorie
lichkeits heorie und Kombinatorik
Aufgabe:
Übe das Zählverfahren
und deren Wahrscheinlichkeiten.
fahren von Kombinationsmöglichkeiten
t
Bearbeite
Aufgaben 1. – 4. nach dem folgenden Prinzip:
arbeite die Aufgabe
A
– Gegeben
geben ist jeweils ein Sachverhalt und eine Frage.
– Führe
re in deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz.
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5
Material
Station 1
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Unter einem Ereignis versteht man eine beliebige Zusammenfassung der Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Es gibt unmögliche (können nicht auftreten, Wahrscheinlichkeit Null) und sichere Ereignisse (tritt definitiv auf, Wahrscheinlichkeit 1).
Es gibt das Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich)
P(A) = Anzahl günstige Ergebnisse : Anzahl möglicher Ergebnisse
ge
und das beliebige Zufallsexperiment (Wahrscheinlichkeiten zugehöriger Ergebnisse
addieren).
Beispiel:
Ein Glücksrad ist nummeriert mit den Zahlen 1–9 (Laplace E
Experiment)
xperime
e m nt)
bnism
i
nge
g S = {1, 2
Sicheres Ereignis: Alle möglichen Ergebnisse, Ergebnismenge
2, 3
3, 4
4, 5, 6, 7, 8, 9}
Unmögliches Ereignis: Drehen der Zahl 10
Ereignis A (Zahl > 6): A = {7, 8, 9}.
eun sind mö
glich:
c : P(A)
A) = 3 = 1 = 0,3 B 33,3
3%
Drei Ergebnisse sind günstig, neun
möglich:
9
1.
1
2
8
3
7
4
6
5
2.
2
a)
b)
b
c)
d)
e)
f))
ein
eine Zahl auf einem grauen
n Fe
Feld
eine Zahl auf einem
weißen Feld
m weiß
eine Zahl 울 3
eine Zahl
hl > 2
Zahl 1, 4, 5, 6 ode
oderr 8
die Z
zweistellige
Zahl
eine zwe
stellige Za
a) eine grau
graue Kugel
b) ke
keine graue Kugel
c) irgendeine Kugel
3. a) Mit dem ersten Rad oder dem
zweiten Rad ein graues Feld zu
8
drehen.
b) Mit dem dritten Rad eine 4 oder
7
mit dem zweiten Rad eine 1 zu
drehen.
c) Mit dem dritten Rad eine 5 oder
mit dem ersten Rad eine Zahl 욷 6 zu
drehen.
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3
1
2
3
4
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5
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3
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6
Material
Station 2
Ereignisse verknüpfen
Zwei oder mehr Ereignisse können mit dem logischen UND sowie auch mit dem logischen
ODER zu einem neuen Ereignis zusammengefasst (verknüpft) werden.
Beispiel:
€€€€€€€€€ einen Würfel.
Ereignis A: Gewürfelte Zahl ist ungerade, A = {1, 3 ,5}
Ereignis B: Gewürfelte Zahl ist < 4, B = {1, 2, 3}
d in B enthal
h
„UND“: Ist die Schnittmenge, die alle Ergebnisse enthält, die in A und
enthalten
sind.
ner a
als 4
4)
Man schreibt: A B = {1,3} (1 und 3 sind ungerade und kleiner
„ODER“: Ist die Vereinigungsmenge, die alle
enthält,
l Ergebnisse
bnisse
n s e
en
h t d
hält
die iin A oder in B enthalten
Zahl k
Z
kleiner
ner 4 oder
n
derr Z
Zahl
ahl ung
ungerade)
sind. Man schreibt: A B = {1, 2, 3, 5} (Zahl
Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen,
hnen,
e ,k
können
nnen
e zu jedem
d
Ergebnis die zugehörigen
ugeh
g
rigen
g n Wa
W
Wahrh
hriiertt werden
e e o
der
e m
ssatz
s
t a
an:
scheinlichkeiten zusammenaddiert
oder
man wendet den Additionssatz
A B)
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A
Betrachte obiges
es Bei
Beispiel.
e pie
p el. A = Z
Za
Zahl un
ungerade, B = Zahl < 4
e nis b
betr
r
räg
die
i W
Würfe hat
a s
sec
Für jedes Ergebn
Ergebnis
beträgt
Wahrscheinlichkeit P(E) = 1 : 6 (Würfel
sechs Seiten)
( =3:6=1:2
P(A)
P(B) = 3 : 6 = 1 : 2
P((A B)) = 2 : 6 = 1 : 3
P(A B) = 4 : 6 = 2 : 3
P(A
1. a) A:
A gerade Zahl
b) A: gerade Zahl
b
B:: eine 2
B: eine 3
2. a) A: Die Zahll ist 울 5
b) A: D
Die
e Zahl ist > 5
B: eine durch 3 teilbare Zahl
B: eine durch 2 teilbare Zahl
A
B
A
B
10
10
4
8
12
11
16
13
18
4
20
14
19
8
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Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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12
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17
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13
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Material
Station 3
Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Häufig werden Zufallsexperimente betrachtet, die aus mehr als einem einzigen Experiment bestehen. Sie setzen sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Versuchen zusammen. Man unterscheidet dabei das Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ (gezogenes Objekt wird nach
dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt) und das „Ziehen ohne Zurücklegen“ (gezogenes
Objekt wird nach dem Ziehen nicht mehr zurück in die Urne gelegt).
Beispiel:
erden h
In einer Urne sind 2 grüne und 3 gelbe Kugeln (insgesamt 5 Kugeln). Es werden
hintereinander 2
Kugeln gezogen a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrsch
Wahrscheinlichkeit
erst grün, dann gelb zu ziehen?
b)
P(grün/gelb)
grün/gelb) = 2 ¦ 3 = 30 %
a) P(grün/gelb) = 2 ¦ 3 = 24 %
5
5
5
4
enden fünf
nf Kugeln. E
s wird zweimal eine Kugel
el gezo1. In einer Schachtel befinden sich die folgenden
Es
gen und diese wird wieder zurück in die Schachtel
Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
hachtel gelegt. W
e Wahrsche
nlichkei
dass
4
1
a)
b)
c)
d)
e)
5
2
3
zzwei graue Kug
Kugeln
n gezo
gezogen werden?
keine
keine schwarze Kugel gezogen wird?
zweimal
gleiche Zahl gezogen
wird?
zwe mal die g
gen wird
erst eine weiße und danach die
Kugel
e schwarze K
ugel gezogen wird?
zweimal
eine schwarze Kugeln gezogen wird
wird?
z
2. In einem Behälter
sind
lter s
nd 6 blaue, 7 rote
ote und 9 weiße Stifte. Es wird dreimal ohne Zurücklegen
gezogen.. Wie groß
istt die W
Wahrscheinlichkeit …
roß is
a) die Ko
Kombination
blau,
mbination bla
u rrot, weiß zu ziehen?
dreimal blau zu zziehen?
b) dreim
c) keinen
weißen Stift zu ziehen?
einen we
Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeiten, wenn doch mit Zurücklegen gezogen wird.
3. Zwei gleich große Klassen mit insgesamt 34 Schülern gehen ins Kino, die Sitzplätze 1–34
werden ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten nur Schüler aus einer Klasse die
ersten fünf Sitzplätze? Wähle für diese Aufgabe ein passendes Urnen-/Schachtelmodell.
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8
Material
Station 4
Mehrstufige Baumdiagramme
Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dies ist vor allem sinnvoll,
wenn Ereignisse aus mehreren Schritten bestehen. Für jeden Schritt gibt es neue Pfade im Diagramm. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit gibt es zwei Regeln:
– Multiplikationsregel: Multipliziere Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander.
us mehreren Pfaden
– Summenregel: Addiere Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis aus
besteht.
Beispiel:
In einer Lostrommel sind zwei grüne, ein roter und ein
in b
bla
blauer
er Zettel.
e e G
Ge
Gesucht
h ist die Wahrer b
e
bla
u ziehen.
e e Da
abeii wer
erde die gezogenen
n Zette
scheinlichkeit erst rot und dann grün oder
blau zu
Dabei
werden
Zettel
i
o
ohn
n Zurücklegen).
urüc
r
lege
g
nicht mehr zurück in die Trommel gelegt (Ziehe
(Ziehen
ohne
e chkei
einl
k
Einzelwahrscheinlichkeit:
g
n =1¦2=1
p(rot, grün
grün)
Lostrommel
Lostromme
1:4
1:2
rot
r
2:3
grün
rün
1:3
bl
blau
4
1:4
grün
1:3
1:3
grün
rot
blau
2:3
grü
grün
6
p(rot,
p
p(
t b
blau)
bl
u)) = 1 ¦ 1 = 1
u
4
blau
1:3
3
1:3
3
ro
rot
3
12
Gesamtwahrscheinlichkeit:
G
Gesam
s
p(rot, grün/blau) = 1 + 1 = 1 = 25 %
6
12
4
1. In einer Urne
rne sind v
vier
er Um
Umschläge mit den Zahlen 2, 3, 3, 4. Erstelle ein Baumdiagramm für
die Wah
Wahrscheinlichkeit
rscheinlichke und berechne diese, erst eine 2 und dann eine 3 oder 4 zu ziehen,
wenn
Umschläge
a) die Ums
hlä nach dem Ziehen nicht zurückgelegt werden,
b) die Um
Umschläge nach dem Ziehen zurückgelegt werden.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit dem gegebenen Glücksrad die Buchstaben in der Reihenfolge
a) A, B
B
b) B, C
A
C
zu erzielen.
Erstelle dafür ein Baumdiagramm
A
D
und berechne.
B
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9
Material
Station 5
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist eine Zahl und dient zur Beurteilung einer Zufallsvariablen X. Man
berechnet den zu erwartenden Wert für die Zufallsvariable bei einer großen Anzahl an Durchführungen/Beobachtungen. Dabei nimmt X die Werte der Zufallsvariablen x1, x2, … , xi an.
P(X = xi) ist die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen und der Erwartungswert berechnet sich
so:
E(X) = x1 ¦ P(X = x1) + x2 ¦ P(X = x2) + … + xi ¦ P(X = xi)
Beispiel:
r b die Augenzahl.
reibt
A g n
Jede
d Zah
Z
e
Einmal würfeln, Zufallsvariable X beschreibt
Zahl von 1–6 hat die
Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden von
daher
gilt:
n1:6
6, da
a rg
gilt
E(X) = 1 ¦ 1 + 2 ¦ 1 + 3 ¦ 1 + 4 ¦ 1 + 5 ¦ 1 + 6 ¦ 1 = 3,5
6
6
6
6
6
6
1.
Augenzahl
ahl
1
2
3
4
5
6
Gewinn in
n€
2
–1
–2
0
0,5
4
2.
Betrag
Wah
Wahrscheinlichkeit
lichke
5€
25 %
2€
10 %
3€
15 %
–6€
30 %
–1€
7%
0€
13 %
3.
Zahl
Wahrscheinlichkeit
2
3
1:36
2:36
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
3:36
2:36
1:36
10
Station 6
Material
Sachaufgaben
1. Eine Schachtel enthält 8 grüne, 3 blaue und 9 schwarze Kugeln. Daraus werden zufällig drei
Kugeln hintereinander entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle Kugeln grün sind, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird?
b) alle Kugeln grün sind, wenn mit Zurücklegen gezogen wird?
2. Beim Schulfest gibt es eine Lostrommel mit 9 weißen und 7 blauen Zetteln.
Der Einsatz für ein
eln. D
Spiel beträgt 50 Cent. Werden zwei gleichfarbige Zettel gezogen, so gewinnt
man 1 €. Ist das
winnt m
Spiel fair?
3. Bei einem Würfelspiel, wo der Würfel einmal
wird, erhält der S
Spieler für jede ge
gerade
mal geworfen
orfen wird
Zahl die doppelte Augenzahl in Euro. Fürr eine ungerade
Zahl,
muss der Spieler die doppelte
ngerade Zah
l mus
oppelte
gewürfelte Zahl in Euro zahlen. Handelt es sich um ein güns
günstiges oder ungünstiges
Glücksgünstiges G
lücksspiel?
4. Einem Kartenspiel
Karo)) e
entnommen
piel mit 32 Karten werden
erde die vier Könige (Herz, Pik, Kreuz, Karo
und vermischt.
Nacheinander
werden zwei Karten aufgedeckt.
die Wahrscheinlichischt. N
acheinander we
edeckt Wie groß
gro ist di
keit, dass
keit
ss …
a) zwei
zwei rote Karten aufgedeckt werden?
de
b) der Kreuz-König
im zweiten Versuch
aufgedeckt
Kreuz-Kö
ersuch au
edeckt wird?
c) erst der Herz und dann der Karo
aufgedeckt
ro König aufg
edec wird?
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Zusatzstation A
Material
Gegenereignis
Betrachtet man z.B. Glücksspiele, so gibt es die Ausgänge „Gewinn“ oder „Niete“, bei einer Ampel die Ausgänge „rot“ oder „grün“ usw. Es gibt also nur zwei mögliche Versuchsausgänge, das
Ereignis A (Gewinn) und das Ereignis A (Niete bzw. kein Gewinn).
Weiterhin gilt: P(A) + P(A) = 1.
Beispiel:
Beim Würfeln existiert die Ergebnismenge S = {1,2,3,4,5,6}}
Ereignis
Gegenereignis
genereignis
A: Zahl 울 2
A : Zahl > 2
A = {1, 2}
A = {3,4,5,6}
3,4,5,
P(A) = 2 : 6 = 1 : 3
P(A)
(A) = 4 : 6 = 2 : 3
1. a)
Ereignis
Erei
Gegenerei
Gegenereignis
nis
A: Z
hl > 6
Zahl
b)
Ereignis
Gegenereignis
A: Q
dratzah
Quadratzahl
2. In einer Lostrommel sind 43 Gewinnkugeln, 32 Nieten und 14 neutrale Kugeln mit der Aufschrift „Nochmal neu ziehen“. Es wird eine Kugel blind gezogen.
A: ein Gewinn
B: eine Niete oder ein neutrales Los
C: keine neutrale Kugel
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Zusatzstation B
Material
Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Berechung von möglichen Kombinationen. Dabei gibt
es das folgende Abzählverfahren: Es werden nach einander i Entscheidungen getroffen und dabei gilt:
1. Stufe
n1 Möglichkeiten
2. Stufe
n2 Möglichkeiten
i-te. Stufe ni Möglichkeiten
Beispiel:
Celina hat 6 Hosen und 9 Pullover. Wie viele Anziehkombinationen
gibt
nationen
a
ng
bt e
es?
?
6 ¦ 9 = 54, von daher hat sie 54 verschiedenen
enen
e Möglichkeiten.
öglichkeiten
ög
c k e
In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es bei
einem
Zufallsexperiment
mit n verschiedenen
e e
em Z
e
llsex
s perim
e n
enen
Ausgängen, bei i-maliger Durchführung
insgesamt
ng in
sgesa
g s mt n ¦ n ¦ … ¦ n = ni mögliche
che E
Ergebnisse.
ebnisse.
s
Beispiel: In eine Schachtel lieg
liegen
verschiedene
Bälle, von denen 3 (mit
Zurücklegen)
gezoe en 4 v
schied
c e ene
eB
mit
i Z
urück
ü
gen)) g
o
gen werden. Wie viele
Möglichkeiten
gibtt e
e Mö
lichk
i
eiten
t g
es?
3
4 = 4 ¦ 4 ¦ 4 = 64 M
Möglichkeiten.
glichkeite
c k en.. Die
eW
Wa
Wahrscheinlichkeit, die Bä
Bälle
älle
l iin d
der R
Reihenfolge
hen
enfolg
o
(1,2,3)
zu ziehen
beträgt:
en
nb
eträgt:
ägt P(A) = 1i = 1 = 1,56 %
n
64
1. Steven hat
at 4 ve
verschiedene Mathebücher,
ebücher, 5 verschiedene Englischbücher und 6 verschiedene
Kochbücher. Wie viele Kombinationen
es, die B
Bücher nebeneinander zu legen?
Kochb
onen gibt es
2. In einer Urne sind 6 Kugel
Kugeln durchnummeriert
von 1–6. Es werden 4 Kugeln gezogen. Wie groß
num
ist die Wahrscheinlichkeit
(1,2,3,4) zu ziehen, wenn
hein chkei die Reihenfolge
en
a) die Kugeln jedes Mal zzurück in die Urne gelegt werden? (mit Zurücklegen)
b) die K
Kugeln
mehr
ugeln nicht m
ehr zurückgelegt werden? (ohne Zurücklegen)
3. Am Glückss
Glücksspielautomat hat die erste Walze die Zahlen von 1–12, die zweite Walze die Zahlen
von
n 1–9, die dritte Walze die Zahlen 1–6 und die vierte Walze die Zahlen 1–3. Wie viele Kombinationen können erdreht werden?
4. Beim Tippen eines Bundesligaspieltags kann man eine 1 für einen Heimsieg, eine zwei für einen Auswärtssieg und eine 0 für ein Unentschieden tippen. An einem Spieltag gibt es 9 Partien.
a) Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit alle 9 Partien richtig zu tippen?
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13
Abschließende Bündelung des Stationenlernens
Material
Aufgaben zur Wiederholung
Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–B
1. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Erstelle ein Baumdiagramm für die Wahrscheinlichkeit
zweimal eine „1“ zu würfeln und berechne diese.
2. Beim 100 Meter Sprint laufen Max, Tim und Kai um die Wette.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung der Plätze? Erstelle
e dazu ein Baumdiagramm.
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn acht Läufer starten?
(ohne Baumdiagra
Baumdiagramm)
? (ohn
3. Ein Würfel wird dreimal hintereinander gewo
geworfen. Wie hoch ist die Wah
Wahrscheinlichkeit, …
a) mindestens eine 1 zu würfeln?
b) dass die Augenzahl bei jedem Wurf
größer
alle
urf g
ößer iistt als beim Vorhergehenden?
den? (Tipp: Zähle
Z
al
Möglichkeiten auf.)
4. Aus einer Urne mitt 10 Kugeln (n
(nummeriert
von 3–12) wird eine
Kugel
gezogen.
ist eine
mmer
ne
e Ku
el gezogen
n. A is
durch 3 teilbare
Primzahl. Bestimme A={}, B={}, P(A),
P(B)
e Zahl, B eine Prim
(A), P
B) , A B , A B und
wende den Additi
Additionssatz
onssatz an.
5. Bei der
Produktion von Plastikfiguren
werden
einwandfrei
de Produktio
uren we
en 97 % einwa
ndfr hergestellt. Die Produktionskosten
osten pro Figur betragen 1,50 €. Kauft ein Kunde
unde eine fehlerhafte Figur, so bekommt er kostenlos
welchem
tenlo eine einwandfreie Figur gestellt.
stellt. Zu welc
he Preis muss eine Figur verkauft werden,
wenn die Firma pro Figur e
einen Gewinn
ewin von 20 Cent erzielen möchte?
6. a) Aus einer Lostrom
Lostrommel
mit 9 weißen, 5 schwarzen und 3 grauen Bällen werden zwei Bälle
mel m
nacheinander
gezogen.
nache nander gezo
e Wer zweimal die gleiche Farbe zieht, gewinnt. Ist es besser, den
ersten gezogenen
gezogen Ball zurückzulegen oder zu behalten? Berechne und erstelle jeweils ein
Baumdiagramm.
Baumdiag
b) Ma
Martin schlägt Lisa eine Wette vor: „Ziehe den ersten Buchstaben aus Topf 1, den zweiten
Buchstaben aus Topf 2. Wenn du die Buchstabenreihenfolge AE ziehst, muss ich einkaufen, ansonsten du.“ Kann Lisa die Wette annehmen, ohne benachteiligt zu werden?
A A B A
A A A
C
C A C
A
B A
C
A A
Topf 1
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D
E E
E E D
E
D E E
E
E F E
Topf 2
14
6. Wahrscheinlichkeitsrechnung – Lösungen
Station 1: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
1.
a) A = {1, 5}
P(graues Feld) = 2 : 8 = 25 %
b) A = {2, 3, 4, 6, 7, 8}
P(weißes Feld) = 6 : 8 = 75 %
c) A = {1, 2, 3}
P(Zahl ≤ 3) = 3 : 8 = 37,5 %
d) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
P(Zahl > 2) = 6 : 8 = 75 %
e) A = {1, 4, 5, 6, 8}
P(1, 4, 6) = 5 : 8 = 62,5 %
f) A = { }
P(zweistellige Zahl) = 0 : 8 = 0%
% unmögliches
unmöglich Ereignis
2.
a) P(graue Kugel) = 12 : 42 = 28,57 %
b) P(keine graue Kugel) B P(weiße Kugel)
30
71,42 %
el) = 3
0 : 42 = 71,4
2 = 100 % sicheres
s chere Ereignis
E i
c) P(irgendeine Kugel) = 42 : 42
3.
a) A = {2, 5, 8}
P(graues Feld im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5
37 %
A = {1}
Rad) = 1 : 4 = 25 %
P(graues Feld im zweiten Rad)
Antwort:
mit dem ersten Rad ei
ein graues Feld zu drehen ist größer.
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit
Wah
b) A = {4}
P(4 im dritten
dritten Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 %
zw
P(1 im zweiten
Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 %
A = {1,1}
Antwort: Wahrscheinlichkeiten
sind
gleich wahrscheinlich.
sc einlich
nd g
c) A = {5}
{5}
P(5 im dritten Rad) = 1 : 4 = 25 %
{ 7, 8}
A = {6,
P(6, 7, 8 im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5 %
Antwort:
twort: Die
Di Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Rad eine Zahl 6 6 zu drehen ist größer.
Station 2: Ereignisse verknüpfen
1.
a) A = {2, 4, 6},
B = {2},
AQB = {2},
AqB = {2, 4, 6},
P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 1 : 6; P(AqB) = 3 : 6 = 1 : 2
P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 1 : 2 = 1 : 2 + 1 : 6 – 1 : 6 = 1 : 2
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
© Persen Verlag
wahr
15
b) A = {2, 4, 6},
B = {3},
AQB = { },
AqB = {2, 3, 4, 6},
P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 0 : 6 = 0; P(AqB) = 4 : 6 = 2 : 3
P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 2 : 3 = 1 : 2 + 1 : 6 – 0 = 4 : 6 = 2 : 3
wahr
2.
a) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 6, 9},
AQB = {3}, AqB = {1,2,3,4,5,6,9},
P(A) = 5 : 10 = 1 : 2; P(B) = 3 : 10; P(AQB) = 1 : 10; P(AqB) = 7 : 10
P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 7 : 10 = 5 : 10 + 3 : 10 – 1 : 10 = 7 : 10
b) A = {6,7,8,9,10},
wahr
AQB = {6,8,10}, AqB = {2,4,6
{2,4,6,7,8,9,10},
B = {2,4,6,8,10},
B) = 7 : 10
P(B) = 5 : 10 = 1 : 2; P(AQB) = 3 : 10; P(AqB)
P(A) = 5 : 10 = 1 : 2;
P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB); 7 : 10 = 5 : 10 + 5 : 10 – 3 : 10 = 7 : 10
wahr
3.
ne sind Kugeln von 1 – 20 d
Mögliche Aufgabenstellung: In einer Urne
durchnummeriert.
A: Zahl durch 4 teilbar
B: Zahl zweistellig
6, 20},
A = {4, 8,12,16,
{1 11,1
9, 20},
B = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
6, 20},
AQB = {12,1
{12,16,
AqB = {4, 8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
15,16,17,18,19,
,18,19 20},
A) = 5 : 20 = 1 : 4;
P(A)
B) = 3 : 20; P(Aq
B) = 13 : 20
P(B) = 11 : 20; P(AQB)
P(AqB)
P(A
AqB) = P(A
B); 13 : 20 = 5 : 20 + 11
1 : 20 – 3 : 20 = 13 : 20
P(AqB)
P(A) + P(B) – P(AQB);
wahr
Station 3: Wahrscheinlichkeiten
Statio
ten bei mehrstufigen
me
Zufallsexperimenten
1.
en
Ziehen mit Zurückleg
Zurücklegen
a) P(grau, grau) = 2 · 2 = 4 = 16 %
5
5
25
b) P(nicht schwarz, nicht schwarz) = 4 · 4 = 16 = 64 %
5
5
25
c) Zweimal die gleiche Kugel sind 5 verschiedene Möglichkeiten: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)
P(zweimal gleich) = 5 1 · 1 = 1 = 20 %
5
5
5
d) P(weiß, schwarz) = 2 · 1 = 2 = 8 %
5
5
25
e) P(schwarz, schwarz) = 1 · 1 = 1 = 4 %
5
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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5
25
16
2.
Ziehen ohne Zurücklegen
a) P(blau, rot, weiß) = 6 · 7 · 9 " 4,1 %
22 21 20
6 · 4,1 % = 24,55 % (Die Reihenfolge ist
unerheblich.)
P(blau, blau, blau) = 6 · 5 · 4 " 1,3 %
22 21 20
c) P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = 13 · 12 · 11 " 18,57 %
22 21 20
Wahrscheinlichkeiten mit Zurücklegen:
P(blau, rot, weiß) = 6 · 7 · 9 " 3,55 %
22 22 22
P(blau, blau, blau) = 6 · 6 · 6 " 2,03 %
22 22 22
P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = 13 · 13 · 13 " 20,63 %
22 22 22
3. Modell: 5-mal Ziehen ohne Zurücklegen
cklegen
Rechnung: Die Wahrscheinlichkeiten
beide Klassen sind
gleich
Klassen harscheinlich eiten für b
d gle
eic groß (beide
de Klasse
ben 17 Schüler).
).
17 blaue
e Kugeln (Klasse
Klasse A), 17 grüne Kugeln (Klasse B)
ersten Versuch
Versuc eine blaue Kugel
gel zu ziehen,
en, beträgt die
die Wa
Im ersten
Wahrscheinlichkeit 17 : 34, im zweiten
n 16 : 33, usw.
4 13
P(blau)
P(bla = P(grün) = 17 · 16 · 15 · 14
·
= 2,22 % (Beide erfüllen die Bedingung, also ist die
34 3
33 32 31
1 30
ichkeit P(blau) + P(grü
= 4,44 %.)
Gesamtwahrscheinlichkeit
(grün)
Antwort:
dass fünf Schüler aus einer Klasse nebeneinander sitzen
t: Die Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinl
beträgt 4,44%.
4 44%.
Station
on 4:
4 Mehrstufige Baumdiagramme
1. a)
Urne
1:4
2
2:3
1:3
3
4
1:4
1:2
3
1:3
2
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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4
1:3
3
1:3
4
1:3
2:3
2
3
17
Einzelwahrscheinlichkeit:
p(2, 3) = 1 · 2 = 1
4
3
6
p(2, 4) = 1 · 1 = 1
4
3
12
Gesamtwahrscheinlichkeit:
p(2, 3/4) = 1 + 1 = 1 = 25 %
4
12
4
b)
Urne
1:4
1:4
2
2
1:2
3
1:4
3
1:4
1:2
1:4
4
1:2
2
1:4
4
1:4
1:4
4
3
4
1
1:2
2
3
Einzelwahrscheinlichkeit:
p(2, 3) = 1 · 1 = 1
4
2
8
p(2, 4)) = 1 · 1 = 1
4
4
16
Gesamtwahrscheinlichkeit:
Gesam
mtwahrsche
p(2,
p(2 3/4)
4) = 1 + 1 = 3 = 18,75
5%
8
16
16
2.
2
Es handelt sich
das Modelll „Ziehen
mit Zurücklegen“, da nach dem ersten Drehen alle
h hier
hier um d
Z
öglichkeiten auch für den zweiten Versuch zählen. Aufbau des Baumdiagramms wie
sechs Möglichkeiten
1b);
Möglichkeiten
beiden
); Mög
lichkeiten in b
eide Versuchen: A 1 : 3, B 1 : 3, C 1 : 6, D 1 : 6
a) p(A, B) = 1 · 1 = 1 = 11,1 %
3
3
b) p(B, C) = 1 · 1 = 1 = 5,5 %
9
3
6
18
Station 5: Erwartungswert
1.
Für jede Augenzahl gilt die Wahrscheinlichkeit 1 : 6.
E(X) = 2 · 1 + ( –1) · 1 + ( –2) · 1 + 0 · 1 + 0,5 · 1 + 4 · 1 = 7 = 0,58 €
6
6
6
6
Antwort: Der Erwartungswert beträgt 0,58 €.
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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6
6
12
18
2.
E(X)= 5 · 0,25 + 2 · 0,1 + 3 · 0,15 – 6 · 0,3 – 1 · 0,07 + 0 · 0,13 = 0,03 = 3 Cent
Antwort: Pro Spiel gibt der Automat im Schnitt 3 Cent aus und macht damit bei einem Einsatz
von 50 Cent einen Gewinn von 47 Cent.
3.
Zahl
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
1:36 2:36 3:36 4:36 5:36 6:36 5:36 4:36 3:36 2:36 1:36
Erklärung: Bei 2 Würfen gibt es 6 · 6 = 36 verschiedene Würfelkombinationen.
atione Die Zahl 2 kann
nur durch die Würfelkombination 1 und 1 dargestellt werden, also trifft nur ein
eine von insgesamt
36 möglichen Kombinationen zu. Die Zahl 5 z. B. kann durch eine 2 und 3, eine 3 und 2, eine 4
und 1, eine 1 und 4, also durch insgesamt 4 verschiedene Würfelko
Würfelkombinationen
mbinationen dargestellt
werden, usw.
E(X)= 2 · 1 + 3 · 2 + … + 12 · 1 = 7
36
36
36
Antwort: Der Erwartungswert
ert der Augensumme der Würfel beträgt 7.
Station 6: Sachaufgaben
chaufgaben
1.
chnung: Bei insgesamt 20 Kuge
davon 8 grüne
e), be
a) Re
Rechnung:
Kugeln (davon
grüne),
beträgt die Wahrscheinlichkeit im
ersten Versuch 8 : 20, im zweiten
dritten 6 : 18.
er
eiten 7 : 19 und im dritte
P(g1) = 8 ; P(g2) = 7 ; P(g3) = 6 ; P(g1) · P(g2) · P(g3) = 14 = 4,91 %
20
19
9
18
285
keit, dass alle Kugeln grün sind beträgt ohne Zurücklegen
Antwort: Die Wahrsch
Wahrscheinlichkeit,
4,91 %.
Rechnung: Bei in
b) Rechnung:
insgesamt 20 Kugeln (davon 8 grüne), beträgt die Wahrscheinlichkeit in
allen drei
Versuchen 8 : 20.
drei Ver
P(g1) = 8 ; P(g2) = 8 ; P(g3) = 8 ; P(g1) · P(g2) · P(g3) = 8 = 6,4 %
20
20
20
125
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln grün sind beträgt mit Zurücklegen
6,4 %.
2.
50 Cent: 9 · 8 + 7 · 6 = 57 = 47,50 %
16 15
16 15
120
– 50 Cent: 1 – 0,4750 = 52,50 %
E(A) = – 0,50 · 0,5250 + 0,50 · 0,4750 = –0,025
Antwort: Das Spiel ist also fair.
Thomas Röser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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19
3.
Rechnung:
Alle Zahlen (gerade oder ungerade) sind gleichwahrscheinlich. Bei 1, 3, 5 werden 2, 6 und 10
Euro gezahlt, bei 2, 4, 6 erhält man 4, 8 und 12 Euro.
E(A) = – 10 · 1 – 6 · 1 – 2 · 1 + 4 · 1 + 8 · 1 + 12 · 1 = 1
6
6
6
6
6
6
Antwort: Das Spiel ist also günstig für den Spieler, auch aus dem Grund, da die geraden
Zahlen eines Würfels die höheren Augenzahlen darstellen.
4.
a) Rechnung: Im ersten Versuch, einen roten König aufzudecken, beträgt
ägt die
d Wahrscheinlichkeit 1 : 2, im zweiten 1 : 3.
P(2 rote Könige) = 2 · 1 = 16,6 %
4
3
kt werden, be
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Karten aufgedec
aufgedeckt
beträgt 18,3 %.
b) Rechnung:
P(kein Kreuz König) = 3 · 1 = 25 %
4
3
keit, dass erst ei
uz
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit,
ein belieb
beliebiger König und danach der Kr
Kreuz
König aufgedeckt wird, betr
beträgt
ägt 25 %.
c) Rechnung:
st Herz dann
da
ann Karo) = 1 · 1 = 8,3 %
P(erst
4
3
A two Die W
rs
st der Herz und dan
Antwort:
Wahrscheinlichkeit,
dass erst
dann d
der Karo König aufgedeckt
wird,
8,3 %.
wird, beträgt 8
Zusatzstation A: Gegenereignis
Zusa
ge
nis
1. S = {1, 2, …, 20}
a)
Ereignis
Gegenereignis
A: Zahl > 6
A : Zahl ^ 6
A = {7,8,9
{7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A = {1,2,3,4,5,6}
P(A) = 14 : 20 = 7 : 10
P(A) = 6 : 20 = 3 : 10
b)
Ereignis
Gegenereignis
A: Quadratzahl
A : keine Quadratzahl
A = {1,4,9,16}
A = {2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20}
P(A) = 4 : 20 = 1 : 5
P(A) = 16 : 20 = 4 : 5
2.
A = {43 Gewinne}
A = {32 Nieten, 14 Neutrale)
P(A) = 43 : 89 = 48,31 %
P(A) = 46 : 89 oder 1 – P(A) = 1 – (43 : 89) = 46 : 89 = 51,69 %
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20
B = {32 Nieten, 14 Neutrale}
B = {43 Gewinne}
P(B) = 46 : 89 = 51,69 %
P(B) = 1 – P(B) = 1 – (43 : 89) = 48,31 %
C = {43 Gewinne, 32 Nieten}
C = {14 Neutrale}
P(C) = 75 : 89 = 84,27 %
P(B) = 1 – P(C) = 1 – (75 : 89) = 15,73 %
Zusatzstation B: Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik
1.
Rechnung: (4+5+6)! = 15! Kombinationen
chkeiten, die Bücher neAntwort: Steven hat 1,3077 · 1012 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten,
beneinander zu legen.
2.
gibt
bt es u
und
nd genau e
eine Möglichkeit
eit die Reihe
Reihenfolge
nfolge
a) Rechnung: 64= 1296 Möglichkeiten g
(1,2,3,4) zu ziehen, daher gilt:
0,08
lt: P(A) = 1 : 1296 = 0
0 %.
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit,
Kugeln
(1,2,3,4)
beträgt
einlichkeit, die Kug
ln in der Reihenfolge
nfo
,2,3,4) zu ziehen, b
mit Zurücklegen 0,08 %
%.
ger, d
her gibt es 6 · 5 · 4 · 3 =
b) Rechnung: Hier gibt es in jed
jedem Versuch eine Kugell wen
weniger,
daher
iten und ebe
keit die R
eihenf
360 Möglichke
Möglichkeiten
ebenso genau eine Möglichkeit
Reihenfolge
(1,2,3,4) zu ziehen,
d her gilt: P(A
daher
P(A) = 1 : 360 = 0,28 %.
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit
hkeit die Kugeln
geln in der Re
eihenf
Antwort:
Reihenfolge
(1,2,3,4) zu ziehen beträgt
ohn Zurücklegen 0,28 %.
ohne
3.
2 · 9 · 6 · 3 = 1944 Kombinationen
om
Rechnung: 12
t: Es können 1944 Kombinationen erdreht werden.
Antwort:
4.
Rechn
a) Rechnung:
Es gibt 39 = 19683 Möglichkeiten.
b) Rechnung: Es gibt nur eine Möglichkeit, alle Partien richtig zu tippen, daher gilt:
P(A) = 1 : 19683 = 0,005 %
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, alle 9 Partien richtig zu tippen, beträgt 0,005 %.
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21
Abschließende Bündelung des Stationenlernens
1.
Würfel
2 1
3
4
5
6
1:6
1:6
1
1:6
1:6
6
6
5
2
1
1:6
1:6
3
6
2 3 4 5
1
4
1
2
3 4
5
6
5
1
1
2
3
4
6
2 3 4 5
6
2 3 4 5
P(1,1) = 1 · 1 = 1 = 2,78 %
6
6
36
reinan er eine „1“ zu wü
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander
würfeln, beträgt
2,78 % (in jedem Wurf 1 : 6).
2.
a)
100 m Lauf
auf
Max
Tim
Kai
1. Platz
Tim
Kai
Ka
Max
Kai
Max
Tim
Kai
Tim
im
Kai
Max
Tim
Max 3. Platz
2. Platz
a) Es gibt insgesamt 3 · 2 · 1 = 6 Möglichkeiten für die Verteilung der Plätze.
äufern gibt es 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 = 40320 Möglichkeiten für die Verteilung der
b) Bei acht Läufern
Plätze.
ze.
3. a) A: mind
mindestens
estens eine 1
A : keine 1
P(A) = 1 – P(A) = 1 –
91
= 42,1 %
@ 56 · 56 · 56 # = 216
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 1 zu würfeln, beträgt 42,1%.
b) Es können die folgenden 20 Möglichkeiten gewürfelt werden:
(1,2,3); (1,3,4); (1,4,5); (1,5,6); (2,3,4); (2,4,5); (2,5,6); (3,4,5); (3,5,6); (4,5,6);
(1,2,4); (1,2,5); (1,2,6); (1,3,5); (1,3,6); (1,4,6); (2,3,5); (2,3,6); (2,4,6); (3,4,6)
P(Augenzahl größer als beim Vorhergehenden) =
20
5
=
= 9,26 %
54
6·6·6
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl bei jedem Wurf größer ist als beim
Vorhergehenden, beträgt 9,26%.
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22
4.
A = {3,6,9,12}
B = {3,5,7,11}
P(A) = 4 : 10 = 2 : 5
AQB = {3}
AqB = {3,5,6,7,9,11,12}
Additionssatz:
P(AqB) = P(A) + P(B) – P(AQB)
P(B) = 2 : 5
7 : 10 = 2 : 5 + 2 : 5 – 1 : 10 = 7 : 10
5.
Rechnung:
x beschreibt den Verkaufspreis pro Figur
x – 1,50 €
97 %
x – 3,00 €
3%
E(A) = (x – 1,50 €) · 0,97 + (x – 3,00 € ) · 0,03 = 0,20 €
Auflösen nach x liefert: x = 1,75 €
ft werden.
Antwort: Die Figur müsste für 1,75 € verk
verkauft
6.
a) mit Zurücklegen:
P(w, w) = 9 · 9 = 28,03 %
17
7 17
P(s, s) = 5 · 5 " 8,65 %
17 17
1
3 3
P(g,
P g, g) =
·
"3
3,11 %
17
7 1
17
P(gleiche Fa
(g, g) = 39,79 %
P(gleiche
Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g,
Lostrommel
ostrommel
w
9:17
3:17
9:17
5:17
w
w
s
g
s
g
g
5:17
s
3:17 g
s
w
Ohne Zurücklegen:
P(w, w) = 9 · 8 " 26,47 %
17 16
5 4
P(s, s) =
·
" 7,35 %
17 16
P(g, g) = 3 · 2 " 2,21 %
17 16
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23
P(gleiche Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g, g) = 36,03 %
Lostrommel
w
8:16
3:17
9:17
5:17
w
w
s
g
s
2:16 g
g
g
4:16
s
s
w
romm zu legen.
Antwort: Es ist sinnvoller, den ersten Ball wieder zurück in die Lostrommel
b) Topf 1: 17 Buchstaben: 11 A, 4 C, 2 B
Topf 2: 14 Buchstaben: 10 E, 3 D, 1 F
P(A, E) = 11 · 10 " 46,22 %
17 14
ette nicht annehmen
heinlichkeit un
er
Antwort: Lisa sollte die Wette
annehmen, da die Gewinnwahrscheinlichkeit
unter
50 % liegt.
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24
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