Grundlagen des kaufmännischen Rechnens

Skript-Entwurf
Grundlagen des
kaufmännischen Rechnens
Team Kosmetik
v0.2
Inhalt
1 Kaufmännisches Rechnen .................................................................................................. 1
1.1 Durchschnittsrechnung ...................................................................................................... 2
1.1.1 a) Ermittlung des einfachen Durchschnitts (einfaches arithmetisches Mittel): ........ 2
1.1.2 b) Ermittlung des gewogenen Durchschnitts (gewichtetes arithmetisches Mittel) .. 2
1.2 Kettensatz........................................................................................................................... 4
1.3 Prozentrechnung ................................................................................................................ 6
1.4 Schlussrechnung (Dreisatz) ................................................................................................ 8
1.4.1 a) der einfache gerade Dreisatz ................................................................................. 8
1.4.2 b) der einfache ungerade Dreisatz ............................................................................. 9
1.4.3 c) der zusammengesetzte Dreisatz (=Vielsatz) .......................................................... 9
1.5 Verteilungsrechnung ........................................................................................................ 12
1.6 Währungsrechnen ............................................................................................................ 13
1.6.1 Euro .......................................................................................................................... 13
1.6.2 Fremdwährung ......................................................................................................... 14
1.7 Zinsrechnung (einfach) ..................................................................................................... 15
1.8 Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 18
1 Kaufmännisches Rechnen
Das kaufmännische Rechnen (Wirtschaftsrechnen) ist elementarer Bestandteil jeder
kaufmännischen Ausbildung. Während der Ausbildungszeit zur Kauffrau bzw. zum Kaufmann
werden die Themen Dreisatz, Währungsrechnung, Verteilungsrechnung,
Durchschnittsrechnung, Prozentrechnung und Zinsrechnung gelehrt und sind Bestandteil der
Prüfungen. Jedoch werden je nach Ausbildungsberuf unterschiedliche Schwerpunkte gesetzt.
Auch unterscheiden sich die Fragestellungen, welche durch die kaufmännischen
Rechenmethoden gestellt werden, durch ihre berufs- und branchenspezifische
Notwendigkeit. Das Fach "Wirtschaftsrechen" ist als solches i. d. R. nicht mehr vorhanden,
aber die rechnerischen Methoden finden sich verteilt in den verschiedenen Lernfeldern
wieder.
Sie finden nachfolgend kompakte Darstellungen, wie die verschiedenen Methoden
funktionieren und Übungen zum kaufmännischen Rechnen.
1.1
Durchschnittsrechnung
Das Durchschnittsrechnen ist ein wichtiger Bestandteil des kaufmännischen Rechnens. Der
Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) wird mit diesem Symbol dargestellt: Ø.
1.1.1 a) Ermittlung des einfachen Durchschnitts (einfaches arithmetisches Mittel):
Zur Berechnung des einfachen Durchschnitts werden alle betroffenen Werte addiert und
durch ihre Anzahl dividiert.
Summe der Werte
einfacher Durchschnitt = -------------------------Anzahl der Werte
Beispiel "einfaches arithmetisches Mittel" (Mittelwert)
Im ersten Halbjahr hatten wir folgende monatliche Lagerendbestände an Kühlschränken des
Typs "Blue Ice":
Monat
Januar
Februar
März
April
Mai
Juni
Bestand
20
26
18
30
12
8
Berechnung: 20 + 26 +18 + 30 + 12 + 8 = 114 geteilt durch 6 = 19 Kühlschränke.
Es waren pro Monat durchschnittlich 19 Kühlschränke im Lager - Ø 19
Kühlschränke pro Monat.
1.1.2 b) Ermittlung des gewogenen Durchschnitts (gewichtetes arithmetisches Mittel)
Zur Ermittlung des gewogenen Durchschnitts werden die betroffenen Werte zusätzlich
gewichtet.
gewogene Summe der Werte
gewogener Durchschnitt = -------------------------------------gewogene Anzahl der Werte
Beispiel "gewogenes arithmetisches Mittel" (gewogener Durchschnitt)
Als Teehändler wollen wir eine neue Sorte mischen:
Sorte
A
B
C
D
Menge
12 kg
5 kg
3 kg
1 kg
Preis je kg
5€
8€
12 €
46 €
Wie viel kostet 1 kg der neuen Mischung?
Berechnung: (12 X 5) + (5 x 8) + (3 X 12) + (1 x 46) = 60 + 40 + 36 + 46 = 182 €
Gesamtwert geteilt durch 21 kg = 8,67 €/kg
Die neue Mischung kostet je kg 8,67 €.
1.2
Kettensatz
Der Kettensatz kann für alle Fragestellungen genutzt werden, bei der die Methode des
geraden Dreisatzes ebenfalls zu einem richtigen Ergebnis führt. Wenn es um die
Umrechnung von Währungen oder Maßeinheiten z. B. Kilogramm (kg) in Tonnen (t) oder
auch Pint in Liter geht, ist der Kettensatz eine effiziente Methode.
Beispiel zum Kettensatz:
12 kg einer Ware kosten 25 €. Wie viel kosten 38 Kg.
Berechnung und Lösung
mit Dreisatz:
12 kg = 25 €
38 kg = x €
25 x 38 / 12
Ergebnis 79,17 €
mit Kettensatz:
x € sind 38 kg,
wenn 12 kg = 25 €
38 x 25 / 12
Bei diesem Beispiel ist kaum der Vorteil des Kettensatzes zu entdecken. Es gibt aber
Fragestellungen bei denen der Kettensatz gegenüber dem einfachen Dreisatz seine ganze
Vorteilhaftigkeit entfalten kann. Der Kettensatz ist die vorteilhaftere Methode, wenn das
gesuchte Ergebnis von mehreren Bedingungen abhängig ist. Das folgende Beispiel soll dies
verdeutlichen.
Beispiel zum Kettensatz:
Sie haben bei einem kanadischen Großhändler 800 t kanadischen Weizen bestellt, welcher
über New York verschifft wird. Der Preis je bushel beträgt z. Zt. 360 kanadische Cent. Wie
viel € wird die Lieferung kosten, wenn 1U$ gleich 1,08 kan. Dollar entsprechen, 1 bushl = 60
lbs, 112 lbs = 50,8 kg sind und 1 U$ zurzeit 0,72 € sind.
Und hier die Lösung als Kettensatz:
Wie viel € kosten 800 t,
wenn 1 t = 1000 kg sind,
wenn 50,8 kg = 112 lbs sind,
wenn 60 lbs = 360 kan. Cent sind,
wenn 108 kan. Cent = 1 U$
und 1 U$ = 0,72 €
auf den Bruchstrich kommt nun die rechte Seite des Kettensatzes und unter dem Bruchstrich
die linke Seite des Kettensatz.
800 x 1000 x 112 x 360 x 1 x 0,72
=
-------------------------------------------1 x 50,8 x 60 x 108 x 1
Zwischenergebnis: (23224320000000 geteilt durch 329184)
Bemerkung: so mancher Taschenrechner wird es nicht schaffen, deshalb entweder kürzen
oder hin und wieder durch eine unter dem Bruchstrich stehende Zahl teilen!
Die 800 t kosten 70.551,18 €
Wie funktioniert der Kettensatz?
Schritt 1: Der Anfang ist immer eine Frage, welche mit der gesuchten Einheit anfangen muss:
"Wie viel € kosten 800 t?"
Schritt 2: Jedes weitere Kettenglied fängt mit "wenn" an und beginnt immer mit der
Bezeichnung, mit der das vorhergehende Kettenglied abgeschlossen wurde.
Schritt 3: Der Kettensatz ist beendet, wenn ein Kettenglied mit der Bezeichnung endet nach
welcher gesucht wird - in diesem Fall also €.
Schritt 4: Rechte Seite auf den Bruchstrich und linke Seite unter den Bruchstrich und dann
ausrechnen - fertig.
1.3
Prozentrechnung
Die Prozentrechnung hilft verschiedene Größen (absolute Zahlen) miteinander zu
vergleichen. Der Vergleich wird in der Prozentrechnung auf die Zahl 100 gezogen, d. h.
relativ zu 100. Auf diese Art und Weise kann man sich Relationen besser vorstellen. Hinter
diesem Symbol "%"steckt die Bezeichnung "pro centum" = "vom Hundert".
Ein Beispiel:
"In diesem Jahr wurden 1200 kg Kirschen geerntet. 580 kg wurden zu Marmelade
verarbeitet. Wie viel Prozent wurden zu Marmelade verarbeitet?"
Es ist wichtig die Begrifflichkeiten zu kennen:
= Grundwert
= Basis, auf welche sich die Rechnung bezieht.
= Prozentwert
580 kg
= diese absolute Zahl, soll relativ zu 100 gesetzt werden
Wie viel %? Gefragt ist hier nach dem Prozentsatz
1200 kg
Die Aufgabe kann nach der Dreisatz- oder nach der Kettensatzmethode gelöst werden
(siehe auch Dreisatz, Kettensatz). Im Prinzip wird in den Aufgaben der Prozentrechnung
entweder nach dem Prozentsatz, nach dem Prozentwert oder dem Grundwert gesucht.
Lösung mit Dreisatz:
1200 kg entsprechen 100 %
580 kg entsprechen x %
1 kg
580 kg
entspricht
100 geteilt durch 1200
entsprechen 100 geteilt durch 1200 mal 580
Ergebnis:
48,33 % der Kirschen wurden zu Marmelade.
Lösung mit Kettensatz (bei geraden Dreisätzen):
x%
sind
580 kg
wenn 1200 kg = 100 % sind
580
geteilt durch 1200 mal 100
Ergebnis:
48,33 % der Kirschen wurden zu Marmelade.
In diesem Fall entsprach der Grundwert 100 %. Es gibt auch Fragestellungen in denen der
Grundwert größer als 100 ist, dann wird der Grundwert um die "Vermehrung in %" ergänzt.
(= auf Hundert = a. H.). Typisch hierfür ist das "Rausrechnen" der Umsatzsteuer - hier beträgt
der vermehrte Grundwert 119 % (= 100 % Nettobetrag + 19 % gesetzliche Umsatzsteuer).
Ein anderer Fall ist das Vorliegen eines verminderten Grundwertes, d. h. die Ausgangsbasis
liegt unterhalb von 100 % (= im Hundert = i. H.). Ein typisches Beispiel ist hierfür der
Zahlbetrag eines Kunden, welcher sich von einem ursprünglichen Rechnungsbetrag z. B. 2 %
Skonto gezogen hat - der Ausgangswert beträgt hier 98 % (100 % ursprünglicher Zahlbetrag
minus 2 % Kundenskonto).
Wird der Dreisatz sicher beherrscht, besteht die Herausforderung lediglich im Erkennen, ob
der Grundwert 100 (= v. H.), größer als 100 (= a. H.) oder kleiner als 100 (= i. H.) ist.
1.4
Schlussrechnung (Dreisatz)
Die Methoden des Dreisatzes werden oft zur Lösung von kaufmännischen Fragestellungen
angewandt. Neben dem klassischen Lösungsweg wollen wir Ihnen auch eine etwas
"schnellere" Methode vorstellen (siehe Ende der Seite).
Bei jeder kaufmännisch-orientierten Ausbildung werden folgende Methoden unterschieden:
1.4.1 a) der einfache gerade Dreisatz
Dieser Dreisatz wird auch proportionaler Dreisatz (gerades Verhältnis = proportionales
Verhältnis) genannt und ist daran zu erkennen, dass, wenn die bekannte Bezugsgröße
reduziert wird, dann wird auch die gesuchte Bezugsgröße kleiner und umgekehrt,. D. h.
wenn die Bekannte vergrößert wird, vergrößert sich auch das zu suchende Ergebnis.
Ein Beispiel zum einfachen geraden Dreisatz:
In 27 Stunden werden von Ihren Mitarbeitern 380 Stück eines Gutes hergestellt. Wie viel
Stück werden unter sonst gleichen Bedingungen in 34 Stunden hergestellt sein?
Klassischer Lösungsweg:
Schritt 1 Welche Beziehung ist
bekannt?
Die bekannte Beziehung wird
aufgeschrieben. Sie beginnen mit der
Einheit, von welcher zwei bekannt sind.
In diesem Fall sind dies die Stunden.
also
27 Stunden = 380 Stück
Welche Beziehung wird
Dies ist immer der zweite Teil des
gesucht?
Ansatzes
also
34 Stunden = ? Stück
Schritt 2 Was passiert mit der
Merke
unbekannten Größe, wenn beim geraden Dreisatz immer
die bekannte auf 1 Einheit = Sie wird kleiner, deshalb dividieren!
reduziert wird?
also
1 Stunde = 380 Stück durch 27 Stunden
Schritt 3 Wie lautet die neue
Merke
"Mehrheit"?
beim geraden Dreisatz immer
= Sie wird größer, deshalb multiplizieren!
also
34 Stunden = 380/27 mal 34
Ergebnis In 34 Stunden werden (380 / 27 * 34) 478,52 Stück geschafft.
Merke
Je kleiner die erste Bezugsgröße wird, desto kleiner wird das Ergebnis.
Je größer die erste Bezugsgröße wird, desto größer wird das Ergebnis.
1.4.2 b) der einfache ungerade Dreisatz
Dieser Dreisatz wird auch antiproportionaler Dreisatz (ungerades Verhältnis = umgekehrt
proportionales Verhältnis) genannt und ist daran zu erkennen, dass wenn die bekannte
Menge reduziert wird, dann wird die unbekannte Menge größer und wenn die bekannte
Menge vergrößert wird, dann verkleinert sich das Ergebnis.
Ein Beispiel zum einfachen ungeraden Dreisatz:
Für die Inventurarbeiten benötigen 9 Mitarbeiter 5 Tage. Wie lange brauchen 7 Mitarbeiter?
Klassischer Lösungsweg:
Schritt 1
Welche Beziehung ist
bekannt?
also
9 Mitarbeiter = 5 Tage
Welche Beziehung wird Jetzt der zweite Teil des Ansatzes - quasi
gesucht?
der Fragesatz.
7 Mitarbeiter = ? Tage
Was passiert mit der
Merke
unbekannten Größe,
beim ungeraden Dreisatz immer
wenn die bekannte auf 1 = Sie wird größer, deshalb multiplizieren!
Einheit reduziert wird?
1 Mitarbeiter = 5 Tage mal * 9 Mitarbeiter
Wenn nur 1 Mitarbeiter eingesetzt wird dauert die Inventur 9mal
länger (45 Tage)
Wie lautet die neue
Merke
"Mehrheit"?
beim ungeraden Dreisatz immer
= Sie wird kleiner, deshalb jetzt dividieren!
7 Mitarbeiter = 5 * 9 / 7
Die 7 Mitarbeiter brauchen (5 * 9 / 7) 6,43 Tage für die
Inventurarbeiten
also
Schritt 2
also
d. h.
Schritt 3
also
Ergebnis
Auch hier gilt, dass die bekannte
Beziehung aufgeschrieben wird und Sie
beginnen mit der Einheit, von welcher
zwei bekannt sind. In diesem Fall sind dies
die Stunden.
Merke
Je kleiner die erste Bezugsgröße wird, desto größer wird das Ergebnis.
Je größer die erste Bezugsgröße, desto kleiner wird das Ergebnis.
1.4.3 c) der zusammengesetzte Dreisatz (=Vielsatz)
Der Vielsatz besteht mindestens aus zwei geraden bzw. zwei ungeraden oder gar mindestens
einem geraden und einem ungeraden Dreisatz.
Die Lösungstechnik ist die gleiche wie bei einem geraden bzw. bei einem ungeraden
Dreisatz. Nur mit dem Unterschied, das in einer Fragestellung mindestens zwei Dreisätze
vorhanden sind und sie nacheinander gelöst werden.
Beispiel zum zusammengesetzten Dreisatz:
4 Mitarbeiter erledigen in 8 Stunden einen Auftrag von 210 Stück. Wie viel Stunden
brauchen 5 Mitarbeiter, wenn 250 Stück hergestellt werden?
Klassischer Lösungsweg:
Schritt 1 - Der Ansatz
4 Mitarbeiter = 210 Stück = 8 Stunden
5 Mitarbeiter = 250 Stück = ? Stunden
Es ist beim Ansatz des zusammengesetzten Dreisatzes darauf zu achten, dass die zu
suchende Größe immer zum Schluss geschrieben wird (dies vereinfacht das Lösen). Die
Reihenfolge der bekannten Bezugsgrößen erfolgt nach eigenem Gefallen.
Der zusammengesetzte Dreisatz wird nun von links nach rechts gelöst im direkten Bezug zur
gesuchten Größe.
Schritt 2
4 Mitarbeiter = 8 Stunden
1 Mitarbeiter = 8 * 4
5 Mitarbeiter = 8 * 4 / 5
In einem dritten Schritt wird der durch den ersten Dreisatz entstandene Bruch als neue
Größe verwendet.
Schritt 3
Ergebnis
210 Stück = 8 * 4 / 5 Stunden
1 Stück = 8 * 4 / 5 / 210
250 Stück = 8 * 4 / 5 / 210 * 250
7,62 Stunden
"Schnellere Methode" zum Lösen von "Dreisatz-Aufgaben"
Schaut man sich die o. g. Ansätze an, braucht es nur eine Frage und die richtige Antwort, um
die Lösung schnell zu ermitteln. Dies spart Zeit und jede Menge Schreibarbeit.
Ansatz
Frage:
Antwort
dann
d. h.
Ergebnis
12 Bagger schaffen 500 m³
20 Bagger schaffen ? m³
"Schafft" 1 Bagger mehr als 12 Bagger?
Nein (hier liegt ein gerader Dreisatz vor)
500 mal den Kehrwert des Bruches, welcher bereits im Ansatz steht
500 mal 20 / 12
833,33 m³
oder
gegebenes Merkmal | gesuchtes Merkmal
(Bagger)
| (Menge)
------------------|------------------12
| 500
20
| x
------------------|------------------1
| (500/12)
= 41,67
20
| (500/12)*20 = 833,33
(Schritt 1)
(Schritt 2)
oder
Ansatz
Frage:
Antwort:
dann
d. h.
Ergebnis
12 Mitarbeiter brauchen 32 Stunden
16 Mitarbeiter brauchen x Stunden
"Braucht" 1 Mitarbeiter mehr als 12 Mitarbeiter?
Ja (hier liegt ein ungerader Dreisatz vor)
32 mal den Bruch, welcher im Ansatz bereits im Ansatz steht
32 mal 12 / 16
24 Stunden
oder
gegebenes Merkmal | gesuchtes Merkmal
(Mitarbeiter)
| (Stunden)
------------------|------------------12
| 32
16
| x
------------------|------------------1
| (12*32)
= 384
16
| (12*32)/16 =
24
(Schritt 1)
(Schritt 2)
Merke
Bei geraden Dreisätzen mit dem Kehrwert der bekannten Größen multiplizieren.
Bei ungeraden Dreisätzen mit dem Bruch der bekannten Größen multiplizieren.
Die Technik angewandt auf den o. g. zusammengesetzten Dreisatz:
4 Mitarbeiter = 210 Stück = 8 Stunden
5 Mitarbeiter = 250 Stück = ? Stunden
Frage zum ersten Dreisatz: Braucht 1 Mitarbeiter mehr Stunden als 4 Mitarbeiter
Antwort: ja, also gerader Dreisatz (multiplizieren mit vier/fünftel)
Frage zum zweiten Dreisatz: Benötigt 1 Stück mehr Stunden als 210 Stück
Antwort: nein, also ungerader Dreisatz (multiplizieren mit
zweihundertzehn/zweihundertfünfzigstel)
8 * (4 / 5) * (250 / 210) = 7,62 Stunden (brauchen 5 Mitarbeiter für 250 Stück)
1.5
Verteilungsrechnung
Die Verteilungsrechnung ist ein elementarer Bestandteil des kaufmännischen Rechnens.
Beim Verteilungsrechnen gilt es genannte Gesamtsummen "anteilmäßig" auf einzelne
Positionen zu verteilen. Die Anteilmäßigkeit wird durch einen Verteilungsschlüssel
vorgegeben. Der Verteilungsschlüssel kann aus ganzen Zahlen, Dezimalzahlen, aus Brüchen
oder aus Prozentsätzen bestehen, welche angeben, in welchem Verhältnis die
Gesamtsumme auf einzelne Positionen zu verteilen ist.
Beispiel
Drei Bauunternehmen bilden eine Arbeitsgemeinschaft und haben ihrem Auftraggeber für
650 m² Bodenbelag eine Rechnung in Höhe von 27.300 € gestellt. Wie viel erhält jeder
Bauunternehmer, wenn A 200 m², B 300 m² und C den Rest gelegt hat.
Also,
Gesamtsumme = 27.300 €
soll verteilt werden auf Bauunternehmer
A, B und C
Verteilungsschlüssel
= Verteilung der Anteile
als ganze Zahlen
oder "reduziert" auf
A
B
C
200
4
300
6
150
3
Berechnung: Wer bekommt welchen Betrag?
Schritt 1: Wie viel ist 1 Anteil "wert"?
Gesamtsumme geteilt durch Summe der Verteilungsschlüssel = 1 Anteil
27300 geteilt durch 650
1 Anteil = 42 (€/m²)
Schritt 2: Wer bekommt wie viel?
1 Anteil mal Schlüssel des Einzelnen (Jeweils für A, B und C)
für A = 42 mal 200 = 8.400 € von 27.300 €
für B = 42 mal 300 = 12.600 € von 27.300 €
für C = 42 mal 150 = 6.300 € von 27.300 €
Antwort:
Bauunternehmer A erhält für 200 m² 8.400 €, B erhält für 300 m² 12.600 € und C erhält für
150 m² 6.300 €.
1.6
Währungsrechnen
Im internationalen Geschäft unterscheidet man die einzelnen Währungen nach ihren
Währungseinheiten (Dollar, Pfund, Peso, ...). Die Währung repräsentiert die jeweilige
Währungsordnung eines Staates.
Jede Währung hat einen Außenwert, die Währungsparität. Die Währungsparität stellt den
festgesetzten Wert einer Währungseinheit gegenüber einem gemeinsamen Maßstab wie z.B.
Gold oder der Währung eines anderen Landes (Wertverhältnis zweier Währungen
zueinander).
Alle Wechselkurse beziehen sich auf den Euro. Angaben wie
US Dollar (USD) = 1.4373
Japanese Yen (JPY) = 115.20
Bulgarian Lev (BGN) = 1.9558
Czech Koruna (CZK) = 24.213
bedeuten, dass 1 Euro 1,4373 USD bzw. 115,20 JPY usw. entspricht.
1.6.1 Euro
Um den entsprechenden Betrag in Euro zu berechnen, nutzt man den Umstand, dass es sich
bei der Währungsumrechnung um einfache Verhältnisgleichungen bzw. Dreisatzaufgaben
mit geradem bzw. proportionalem Verhältnis handelt.
Als Text könnte eine Aufgabe zum Beispiel lauten:
Wie viel Euro bekommt man für 10.000 US-Dollar, wenn man für 1,4373 US-Dollar 1 Euro
bekommt?
Die Verhältnisgleichung dazu sieht wie folgt aus:
1 Euro = 1,4373 USD
x Euro = 10.000 USD
Betrag in Euro
Betrag in Euro =
1 Euro * Betrag in USD
Kurs USD
Angewendet auf die Beispielaufgabe bedeutet das:
6.957,49 € =
1 € * 10.000 USD
1,4373 USD
Da die Bezugsgröße zur Umrechnung immer 1 Euro ist, kann man sie auch weglassen, da sie
das Ergebnis rechnerisch nicht ändert, sodass man sich als Formel merken kann:
Betrag in Euro = Betrag in Fremdwährung : Wechselkurs
In der ausführlichen Schreibweise wird jedoch deutlich, wie die Einheit des
Rechenergebnisses zustande kommt.
Runden Sie das Ergebnis gegebenenfalls auf zwei Stellen!
1.6.2 Fremdwährung
Um den entsprechenden Betrag in einer Fremdwährung zu berechnen, nutzt man den
Umstand, dass es sich bei der Währungsumrechnung um einfache Verhältnisgleichungen
bzw. Dreisatzaufgaben mit geradem bzw. proportionalem Verhältnis handelt.
Als Text könnte eine Aufgabe zum Beispiel lauten:
Wie viel USD bekommt man für 10.000 Euro, wenn man für 1 Euro 1,4373 US-Dollar
bekommt?
Die Verhältnisgleichung dazu sieht wie folgt aus:
1 Euro = 1,4373 USD
10.000 Euro = x USD
Betrag in USD
Betrag in USD =
Betrag in Euro * Kurs USD
1 Euro
Angewendet auf die Beispielaufgabe bedeutet das:
14.373,00 USD =
10.000 € * 1,4373 USD
1€
Da die Bezugsgröße zur Umrechnung immer 1 Euro ist, kann man sie auch weglassen, da sie
das Ergebnis rechnerisch nicht ändert, sodass man sich als Formel merken kann:
Betrag in Fremdwährung = Betrag in Euro · Wechselkurs
In der ausführlichen Schreibweise wird jedoch deutlich, wie die Einheit des
Rechenergebnisses zustande kommt.
Runden Sie das Ergebnis gegebenenfalls auf zwei Stellen!
1.7
Zinsrechnung (einfach)
Die einfache Zinsrechnung ist ein elementarer Bestandteil des kaufmännischen Rechnens.
Basis für die einfache Zinsrechnung ist die Prozentrechnung, welche um den Faktor Zeit
erweitert wird. Dies wird klar, wenn die Größen der Prozentrechnung mit denen der
Zinsrechnung verglichen werden.
Prozentrechnung
Grundwert
Prozentsatz
Prozentwert
=
=
=
neuer Faktor
einfache Zinsrechnung
Kapital (K)
Zinssatz (p)
Zinsen (Z)
Zeit (t)
Die einfache Zinsrechnung wird "einfach" genannt, weil sie keinen Zinseszinseffekt kennt, d.
h. Zinsen werden nicht auf Zinsen "geschlagen". Mit anderen Worten Zinsen werden in
Folgeperioden nicht "mitverzinst".
Die Formel der einfachen Zinsrechnung lautet: Zinsen = Kapital mal Zinssatz mal Zeit.
Also, z. B. wenn die Zeit in Tagen gegeben ist und nach den Zinsen gesucht wird:
Zinsen =
Kapital x Zinssatz x Tage
--------------------------------100 x 360
Wenn die Zeit in Tagen ermittelt werden soll, besteht der Faktor Zeit (t) aus Tagen durch
360,
wenn die Zeit in Wochen ermittelt werden soll, besteht der Faktor Zeit (t) aus Wochen
durch 52,
wenn die Zeit in Monaten ermittelt werden soll, besteht der Faktor Zeit (t) aus Monaten
durch 12
und wenn die Zeit aus Jahren besteht, steht t für die Anzahl der Jahre.
Bemerkung: Bei der Ermittlung der Zinstage (Zeit in Tagen) im Euro-Raum hat sich die
Methode "act/360" durchgesetzt (Euro- oder französische Methode), d. h. die Tage werden
genau berechnet und durch 360 Tage geteilt.
Beispiel:
Wie hoch sind die Zinsen, wenn ein Kapital von 5.000 € zu 6% 126 Tage angelegt wird.
Berechnung:
5000 x 6 x 126
--------------------------------100 x 360
= 105
also, 5000 mal 6 geteilt durch 100 mal 126 geteilt durch 360.
Ergebnis: Die Zinsen für 126 Tage betragen bei 6% 105 €.
Bei diesen Aufgaben wird aber nicht immer nach den Zinsen gefragt. Genauso häufig wird
die Frage nach dem Kapital (K), nach dem Zinssatz (p) oder nach der Zeit (t) - meistens in
Tagen - gestellt. In diesem Fall muss die Formel der einfachen Zinsrechnung nach dem
Gesuchten umgestellt werden. Bei rechen-technischen Schwierigkeiten empfiehlt sich für
den Einstieg folgende Reihenfolge, welche bei strikter Einhaltung immer zum richtigen
Ergebnis führt.
Lösungsanleitung für "Hab-das-noch-nie-richtig-kapiert" -Situation:

Erstens: Die Grundformel schreiben (siehe oben).

Zweitens: Die Grundformel wiederholen - jetzt aber mit den gegebenen Positionen
"be"-setzen.
Feststellung: Die "nicht besetzte" Position ist die gesuchte Position!

Drittens: Die gesuchte Position "isolieren", d. h. alle gegebenen Positionen auf eine
Seite bringen!

Viertens: Umgestellte Formel ausrechnen - fertig.
Zur Vorgehensweise ein Beispiel:
Ein Kapital von 3.000 € wurde 108 Tage angelegt und brachte 45 €. Wie hoch war der
Zinssatz?
Erstens - "Zinsformel notieren":
Zinsen =
Kapital x Zinssatz x Tage
--------------------------------100 x 360
Zweitens - "Gegebene Werte einsetzen":
3000 x Zinssatz x 108
---------------------------100 x 360
= 45
Feststellung: Es wird der Zinssatz gesucht.
Drittens - "Nach dem gesuchten Wert umstellen":
100 und 360 befinden sich "unter dem Bruchstrich" also "Mal nehmen"
3000 und 108 befinden sich "auf dem Bruchstrich" also "dividieren".
Durch diese Aktion - sieht das Ganze jetzt so aus:
45 x 100 x 360
-----------------------3000 x 108
= Zinssatz
Viertens: "Rechnen"
Also; 45 mal 100 mal 360 geteilt durch 3000 und geteilt durch 108
Ergebnis = 5
Antwort: Der Zinssatz beträgt 5%.
1.8
Literaturverzeichnis
Korolkow Schafranski Lernsoftware GbR . (2016). Programme zum Üben. Abgerufen am 21.
Dezember 2015 von Lernnetz24: http://www.lernnetz24.de/index.html
Nuding, H., & Haller, J. (2014). Mathematik für Friseurinnen und Friseure. Stuttgart: Verlag
Holland+Josenhans.
Nuding, H., & Haller, J. (2014). Mathematik für Friseurinnen und Friseure - Lösungen.
Stuttgart: Verlag Holland+Josenhans.
2 Übungen
2.1 Übungen Durchschnittsrechnung ...................................................................................... 1
2.2 Übungen Kettensatz ........................................................................................................... 3
2.3 Übungen Prozentrechnung ................................................................................................ 4
2.4 Übungen Schlussrechnung ................................................................................................. 6
2.4.1 Dreisatz – gerades und ungerades Verhältnis ........................................................... 6
2.4.2 Zusammengesetzter Dreisatz ..................................................................................... 7
2.5 Übungen Verteilungsrechnen ............................................................................................ 8
2.6 Übungen Währungsrechnen ............................................................................................ 10
2.7 Übungen Zinsrechnung .................................................................................................... 11
Übungen
2.1
Übungen Durchschnittsrechnung
1. In München wurden folgende Monatsmittel gemessen:
Jan 0,2 Grad, Feb. -0,5 Grad, März 5 Grad, April 6 Grad, Mai 16 Grad, Juni 19 Grad,
Juli 22 Grad, August 24 Grad, Sept. 18 Grad, Okt. 14 Grad, Nov. 9 Grad. Dez. .-2,2
Grad.
Berechnen Sie:
a) Sommermittel: Mai bis September
b) Wintermittel: Oktober bis April
c) Jahresmittel
2. Am Ende des Sommers hat ein Einzelhändler folgende Mengen Badehosen zu
folgenden Verkaufspreisen übrig:
44 Badehosen Marke „Superschnell“, Preis je 12,50€
36 Badehosen Marke „Adria“, Preis je Badehose 8,99€
15 Badehosen Marke „Alaska“, Preis je Badehose 15,60€
19 Badehosen Marke „Liebling“, Preis je Badehose 19,60€
Alle Artikel sollen in einem Wühltisch zu einem Einheitspreis (=Durchschnittspreis)
verkauft werden.
Berechnen Sie den Preis!
3. Im 4. Quartal des Jahres wurden folgende Umsätze ermittelt:
Oktober: 4.700.000€
November: 5.890.000€
Dezember: 9.370.000€
Ermitteln Sie den durchschnittlichen Monatsumsatz
4. Ein Fachmarkt ermittelt folgende Zahlen
Wochentag Kundenzahl Umsatz
Montag
2355
57800€
Dienstag
3440
99200€
Mittwoch
3570
102300€
Donnerstag 3766
99600
Freitag
4700
134800€
Samstag
5020
167000€
Berechnen Sie:
a) den durchschnittlichen Umsatz je Wochentag.
b) den durchschnittlichen Umsatz je Kunde.
Übungen Durchschnittsrechnung
1
Übungen
5. Ein Küchenchef kauft beim Metzger für eine Geburtstagsparty folgende Mengen
Wurstwaren ein
500g Salami zu je 3,99€ je 100g
1,5kg Fleischwurst zu je 1,99€ je 100g
0,7kg Schinken zu je 2,99€ je 100g
1,8kg Gelbwurst zu 14,99€ je Kg
3 Pfund Geflügelsalami zu je 19,60€ je kg
Berechnen sie, was ein Kilo Wurstwaren im Durchschnitt kostet.
6. Am Ende des Tages stellt ein Möbelhändler fest, dass folgende Produkte zu
folgenden Preisen verkauft wurden:
88 Drehstühle zu je 44,50€; bei 10 Drehstühlen wurde 10% Rabatt gegeben
39 Schlafsofas zu je 288€; bei 3 Schlafsofas wurde 8% Rabatt gewährt.
15 Ledersessel zu je 320€, 4 Ledersessel wurden lediglich zu 300€ verkauft.
19 Jugendbetten zu 299€.
Berechnen Sie den Durchschnittspreis je verkauftes Möbelstück. Berücksichtigen Sie
die Rabatte.
7. Eine Statistik über das Körperwachstum von Jugendlichen in cm gibt folgende
Auskunft:
Alter Hans Max Albert Xaver Michael
12
153 149 154 140 146
13
160 159 160 153 155
14
164 161 167 160 167
a) Berechnen Sie die durchschnittliche Körpergröße der 5 Schüler zum 14.
Geburtstag.
b) Berechnen Sie das durchschnittliche Körperwachstum (=wie viel cm Wachstum im
Jahr) vom 13. bis zum 14. Lebensjahr der 5 Schüler.
Übungen Durchschnittsrechnung
2
Übungen
2.2
Übungen Kettensatz
1. 8 Arbeiter benötigen zum Bau eines Einfamilienhauses 1 Jahr und 9 Monate, wenn
sie täglich 7,5 Std. arbeiten.
Wie viele Arbeiter sind zum Bau von 3 Einfamilienhäusern notwendig, die innerhalb
von 12 Monaten fertiggestellt sein sollen und eine tägliche Arbeitszeit von 8,5h
möglich ist?
2. In einem Automobilwerk wurden bisher 120 Autos an einem Tag produziert; die 840
Arbeiter arbeiteten in 2 Sichten mit jeweils 7 Schichtstunden bei einer
Maschinenproduktivität von 2,8 Einheiten. Zwischenzeitlich wurde die Autofabrik von
Fließfertigung auf Computergesteuerte Fertigung umgestellt.
Wie viele Arbeitskräfte sind nötig, wenn nur noch in einer Schicht bei 8,5 Stunden
und einer Produktivität von 3,9 insgesamt 100 Autos täglich produziert werden?
3. Die Bauarbeiten für den längsten Tunnel der Welt, den Monte-Blanc-Tunnel, werden
voraussichtlich nach 9Jähriger Bauzeit im Sommer 2017 enden. Es arbeiten 420
Personen, an ca. 180 Tagen im Jahr (nicht im den Wintermonaten) bei ca. 8 Std.
Arbeit am Tag; die voraus. Baukosten belaufen sich auf 500 Mill. Euro.
Die Französische und die Schweizer Regierung beabsichtigen den Tunnel bereits im
Sommer 2015 einzuweihen (nur 7 Jahre Bauzeit); es werden 750 Mill. € zur
Verfügung gestellt und es wird an 230 Tagen im Jahr 9 Std. täglich gearbeitet. Wie
viele Arbeiter sind notwendig?
Übungen Kettensatz
3
Übungen
2.3
Übungen Prozentrechnung
1. Sie erhalten auf eine Bestellung von 590 € einen Nachlass von 8%. Wie viel müssen
Sie noch zahlen?
2. Ein Lieferant teilt Ihnen mit, dass sein Produkt statt wie bisher 122 € jetzt 128 €
kosten wird. Wie hoch ist die Preiserhöhung Prozent?
3. Ein Mitarbeiter beklagt die steigende Zahl der Überstunden. Diese sind seit dem
letzten Jahr auf 30 Überstunden pro Monat gestiegen und somit 20% mehr als im
letzten Jahr. Wie viel Überstunden fielen letztes Jahr im Durchschnitt je Monat an?
4. Die Bezugskosten für die Hilfsstofflieferung im Werte von 36.500 € betragen 1.460 €.
Wie viel Prozent sind das?
5. Ein Unternehmen erhält beim Einkauf von Blechen 15% = 1.020 € Mengenrabatt
(ohne Umsatzsteuer).
a) Wie hoch war der Listeneinkaufspreis (netto)? b) Wie viel Euro beträgt der
Zieleinkaufspreis nach Abzug des Rabatts inkl. 19% Umsatzsteuer?
6. Wie hoch ist der Bareinkaufspreis einer Sendung über 3.021,57 €, wenn uns der
Verkäufer bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen 3% Skonto gewährt?
7. Ein cash-and-carry-Großlager für Wiederverkäufer hat in der Lebensmittelabteilung
einen Jahresumsatz von 24. Mio. € zu Einstandspreisen. Beim Vergleich der
Inventurwerte mit den Werten der Warenausgangskontrolle wird ein Warenverlust
(Diebstahl, Bruch, Verderb, u. a.) von 312.000 € festgestellt. Wie viel Prozent sind
das?
8. Eine Schraube verlor durch Bearbeitung 5% ihrer Länge. Die fertige Schraube ist 35
mm lang. Wie viel mm hat die Schraube durch die Bearbeitung verloren?
9. Die Wasserkosten sind gegenüber dem Vorjahr um 7% auf 806,26 € je Jahr gestiegen.
Wie hoch ist die Kostensteigerung in Euro?
10. Wie hoch war der ursprüngliche Rechnungspreis in Euro, wenn nach Abzug von 2%
Skonto 37,96 € überwiesen wurden?
11. Der Umsatz eines Artikels im Juli wurde im August um 6% übertroffen. Der
Augustumsatz betrug 62.845,12 €. Wie hoch war der Umsatz des Monats Juli?
12. Der Angebotspreis musste aus Konkurrenzgründen um 6 2/3% gesenkt werden und
beträgt nun 185,00 € für 12 kg. Wie hoch war der alte Angebotspreis?
13. Durch eine Konstruktionsänderung wurde die Leistung eines Motors um 10% = 12 kW
erhöht. Wie hoch ist die kW-Leistung und nach der Änderung?
14. Ein Kapital von 22.100,00 € ist um 12,5% gestiegen. Wie hoch ist das Endkapital?
Übungen Prozentrechnung
4
Übungen
15. Ein Kapital ist in einem Jahr um 130,00 € gestiegen, dies entspricht einer Steigerung
von 5%. Wie hoch war das ursprüngliche Kapital?
16. An einen Kunden haben wir eine Forderung in Höhe von 11.634,20 €. Der Kunde
macht Konkurs, und wir erhalten von unserer Forderung noch 1.225,10 €. Wie hoch
ist der Verlust in Prozent (2-Stellen nach dem Komma)?
17. Die Börsennotierung für ein Produkt ist um 10,63 € auf 102,88 € je 100 kg gefallen.
Wie viel Prozent beträgt die Preissenkung (2-Stellen nach dem Komma)?
18. Der Preis für ein Ersatzteil ist von 7,50 € auf 9,90 € gestiegen. Wie viel Prozent
beträgt die Preissteigerung?
19. Im letzten Geschäftsjahr sind 14.200 Kundenaufträge eingegangen. Davon entfielen
29,5% auf Kleinaufträge (unter 350 €). Wie viel Aufträge waren Kleinaufträge?
20. Die Kapazitätsauslastung ist auf 60% gefallen, dies sind 15t Produktionsmenge im
Monat. Um wie viel Tonnen kann die Produktionsmenge gesteigert werden, wenn
unsere Kapazitäten voll ausgelastet sind?
Übungen Prozentrechnung
5
Übungen
2.4
Übungen Schlussrechnung
2.4.1 Dreisatz – gerades und ungerades Verhältnis
1. Beim Kauf von 62,5 kg einer Ware entstehen 18,75 Euro Bezugskosten. Wie viel Euro
betragen die Bezugskosten bei 19 kg?
2. Eine Taxifahrt von München-Schwabing nach München-Sendling (=8 ½ km) kostet
10,20 Euro. Wie viel Euro kostet eine Fahrt von München nach Starnberg (=28 km)?
3. Du fährst in den Urlaub und rechnest Dir aus, dass du bei einem Tagesverbrauch von
29 Euro genau 35 Tage unterwegs sein kannst. Wie lange kannst Du fortbleiben,
wenn Du nur 25 Euro täglich ausgibst?
4. Die Durchführung einer Arbeit dauert genau 12 Stunden, wenn 2 Arbeitskräfte damit
beauftragt werden. Der Chef stellt zusätzlich eine Arbeitskraft ein. Wie lange dauert
in diesem Falle die Arbeit?
5. Dein Auto verbraucht auf 100km 8,3 Liter Benzin.
a) Wie viel Benzin werden benötigt, wenn die Strecke von München nach Hannover,
das sind 635 km, gefahren wird?
b) Ein Liter Benzin kostet 1,12 Euro. Was kostet die gesamte Fahrt von München nach
Hannover?
6. Von einem 80cm breiten Stoff werden 4,55 m für ein Kleid benötigt. Wie viel Meter
sind nötig, wenn der Stoff 1,4 m breit ist?
7. Für die Beheizung eines Verkaufsraums werden an 7 Verkaufstagen 21,5 Kubikmeter
Gas verbraucht. Mit wie viel Gas ist an 12 Tagen zu rechnen?
8. Eine 1-Zimmer-Wohnung mit 32 Quadratmeter kostet 380 Euro Miete. Wie viel
kostet eine 2-Zimmer-Wohnung mit 54 Quadratmeter, wenn der Quadratmeterpreis
derselbe ist?
9. Monika gibt durchschnittlich 8 Euro am Tag aus. Ihr Taschengeld reicht dann 20 Tage.
Sie möchte künftig sparen und gibt nur noch 5 Euro täglich aus. Wie lange reicht ihr
Geld dann?
10. In einem großen Werk fallen bei der Produktion von Computer täglich ca. 86 Stück
Ausschuss an. Der damit verbundene Verlust beträgt 22.300 Euro. Der Ausschuss
kann mit Hilfe modernerer Produktionsanlagen auf 39 Stück reduziert werden. Um
wie viel Euro verringert sich in diesem Falle der Verlust?
11. Im Sommerschlussverkauf befinden sich auf einem Wühltisch 225 Badehosen. Bei
einem Preis von 5 Euro das Stück wurden im letzten Jahr nur 176 Badehosen
verkauft. Der Verkaufsleiter möchte nun den Preis senken, so dass alle Badehosen
verkauft werden können. Wie hoch muss der Preis für eine Badehose sein?
Übungen Schlussrechnung
6
Übungen
2.4.2 Zusammengesetzter Dreisatz
1. Die Arbeitskosten beim Bau eines Einfamilienhauses belaufen sich auf 79.000 Euro,
wenn 4 Arbeitskräfte insgesamt 1 1/2 Jahre beschäftigt sind. Der Bau soll nun in
bereits 8 Monaten fertiggestellt sein; es werden 9 Arbeitskräfte beschäftigt. Wie
hoch sind die Lohnkosten in diesem Falle?
2. Im Tierheim gibt es für 45 Tiere Platz. Die verbrauchen in 4 Wochen (=28 Tage), für
6780 Euro Futter. Wie viel Euro muss das Tierheim für den Futterverbrauch im
nächsten Jahr ansetzen (=360 Tage), wenn zugleich die Anzahl der Tierplätze auf 75
erhöht wird?
3. Die Verkaufsleiterin, Frau Winter, hat festgestellt, dass die Inventurarbeiten im
letzten Jahr an Sylvester genau 12,5 Stunden dauerten, wenn 16 Leute arbeiten und
das Lager 122 Quadratmeter groß ist. Die Firma hat zwischenzeitlich ein neues Lager,
das 280 Quadratmeter groß ist. Wie viel Stunden werden in diesem Jahr benötigt,
wenn 18 Personen beschäftigt werden?
4. Eine Teilzeit-Verkäuferin verdient 1050 Euro im Monat, wenn sie 3 Tage die Woche
bei 7,5 Stunden täglicher Arbeitszeit arbeitet. Die Verkäuferin möchte nun 5 Tage die
Woche arbeiten; wie lange ist die tägliche Arbeitszeit, wenn sich zudem der
Verdienst um 150 Euro im Monat erhöht.
5. Frau Maier putzt allabendlich innerhalb von 3 Stunden und 30 Minuten die 5
Unterrichtsräume einer Schule, die eine Größe von jeweils 26 Quadratmetern haben.
Die Schule zieht um; es gibt nun 6 Unterrichtsräume, die jeweils nur 23
Quadratmeter groß sind. Wie lange braucht Frau Meier nun zum Putzen?
6. Eine Theaterveranstaltung bringt insgesamt 22600 Euro Umsatz pro Abend, wenn das
Theater zur Hälfte (=1/2) von Besuchern besetzt ist und eine Eintrittskarte 24 Euro
kostet. Um das Theater wenigstens ¾ voll zu bringen, wird der Eintritt auf 21 Euro
gesenkt. Wie hoch ist der allabendliche Umsatz in diesem Falle?
7. Wir sind im Tierpark. 12 Kamele fressen innerhalb einer Woche (=7 Tage) 420 Kg Heu.
Es kommen weitere 7 Tiere dazu. Wie viel Heu muss der Tierpark im Monat (=30
Tage) zur Verfügung stellen, um alle Kamele füttern zu können.
Übungen Schlussrechnung
7
Übungen
2.5
Übungen Verteilungsrechnen
1. Es sind folgende Geldbeträge zu verteilen:
Zahl der Anteilseigner
Beiträge in € Verteilungsschlüssel
a)
2
39.600 €
1:5
b)
3
21.000 €
0,2 : 0,3 : 0,5
c)
4
3.600 €
10% : 30% : 40% : 20%
d)
5
9.200 €
2:6:3:4:1
2. Am Ende des Jahres erhalten unsere Vertriebsmitarbeiter einen Sonderbonus in
Höhe von 48.000 €, welcher nach Jahresumsätzen verteilt wird:
Mitarbeiter
Jahresumsatz
Anton
250.000 €
Berta
320.000 €
Cloude
350.000 €
Dora
420.000 €
Emil
205.000 €
3. Hans, Max und Georg bilden eine Lottogemeinschaft. Hans zahlt 5 Euro ein, Max 8
Euro und Georg 12 Euro. Eines Tages gewinnen sie gemeinsam 22.000 Euro. Der
Gewinn soll nach den Beiträgen aufgeteilt werden. Was bekommt jeweils Hans, Max
und Georg von den 22.000 Euro?
4. A, B, C sind Teilhaber eines Geschäftes. Die Teilhaber sind jeweils mit einer Einlage in
folgender Höhe beteiligt:
A: 20.000 Euro
B: 35.000 Euro
C: 40.000 Euro
Am Jahresende wird ein Gewinn in Höhe von 230.000 Euro erwirtschaftet. Wie viel
Euro des Gewinns erhält jeder Teilhaber.
5. Vier Kaufleute kaufen gemeinsam Waren ein:
A: kauft 260kg zu 5,80 Euro
B: kauft 520kg zu je 2,80 Euro
C: kauft 650kg zu je 5,80 Euro
D: kauft 390kg zu je 7,20 Euro.
Die Gemeinsamen Transportkosten betragen 800 Euro. Wie viel Euro muss jeder
Kaufmann bezahlen, wenn die Transportkosten nach dem Gewicht berechnet
Übungen Verteilungsrechnen
8
Übungen
werden?
6. Die Geschwister Maria, Frida und Max feiern gemeinsam eine Party und laden hierfür
17 Freunde ein:
Maria 6 Freundinnen
Frida 8 Schulfreunde
Max: den Rest
Die Kosten für die Party betragen 320 Euro und sollen nach der Anzahl der Gäste
aufgeteilt werden. Wie viel muss Max bezahlen?
7. Fritz, Georg, Marianne und Maria mieten sich zusammen eine 4-Zimmer-Wohnung
und machen eine Wohngemeinschaft auf. Die Wohnung hat 118 Quadratmeter. Fritz
bewohnt die 30 Quadratmeter, Georg 18 Quadratmeter, Marianne 22 Quadratmeter;
den Rest bewohnt Maria. Die Wohnung kostet 1230 Euro im Monat Miete. Wie viel
Miete hat Maria zu bezahlen?
8. Die Geburtstagstorte wird aufgeteilt:
Max bekommt 1/3 der Torte
Maria 2/5 der Torte
Micha den Rest.
Wie viel kg der Torte bekommt Micha, wenn die Torte 2,5kg schwer ist?
Übungen Verteilungsrechnen
9
Übungen
2.6
Übungen Währungsrechnen
1. Gegeben: Betrag: 34.026,00 BRL (Brasilian real), Kurs: 2,287; gesucht: Betrag in €
2. Gegeben: Betrag: 7.817,00 KRW (South Korean won), Kurs: 1.550,02; gesucht: Betrag
in €
3. Gegeben: Betrag: 19.383,00 DKK (Danish krone), Kurs: 7,4587; gesucht: Betrag in €
4. Gegeben: Betrag: 42.436,00 THB (Thai baht), Kurs: 43,881; gesucht: Betrag in €
5. Gegeben: Betrag: 1.223,00 SEK (Swedish krona), Kurs: 9,1564; gesucht: Betrag in €
6. Gegeben: Betrag: 4.809,00 €, Kurs: 1,3384; gesucht: Betrag in USD (US dollar) USD
7. Gegeben: Betrag: 16.980,00 €, Kurs: 103,9500; gesucht: Betrag in JPY (Japanese yen)
JPY
8. Gegeben: Betrag: 17.290,00 €, Kurs: 25,4750; gesucht: Betrag in CZK (Czech koruna)
CZK
9. Gegeben: Betrag: 14.257,00 €, Kurs: 3,4528; gesucht: Betrag in LTL (Lithuanian litas)
LTL
10. Gegeben: Betrag: 25.490,00 €, Kurs: 5,0340; gesucht: Betrag in ILS (Israeli shekel) ILS
11. Ein Großhändler bezieht aus England 240 Stück einer Ware zu je 1,38 £. Der Kurs für
das Britische Pfund beträgt 1,68 €. Berechnen Sie den Gesamtpreis in Euro.
12. Eine Winzergenossenschaft bot in England vor mehreren Jahren Deutschen Wein an.
Der Wein wurde in England abgefüllt. Eine Flasche mit 0,7 l Inhalt kostete 5,10 €. Zu
welchem Preis (in £) hat die Winzergenossenschaft 50 gallons Wein verkaufen
können? (1 gallon = 4,546 l)
Übungen Währungsrechnen
10
Übungen
2.7
Übungen Zinsrechnung
1. Es sind für einen Zeitraum von 90 Tagen Verzugszinsen bei einem Zinssatz von 8,5 %
p. a. zu zahlen. Der Rechnungsbetrag beträgt 4.300 €. Wie hoch sind die
Verzugszinsen?
2. Ein Kapital brachte innerhalb von 78 Tagen bei einem Zinssatz von 5% p. a. Zinsen
von 19,60 €. Wie hoch war das eingesetzte Kapital?
3. Sie überziehen für 21 Tage Ihr Konto um 1.800 €. Wie hoch sind die Zinsen bei
Kontokorrentzinsen von 12,5%?
4. Wie viel Tage muss ein Kapital von 4.900 € zu 3% p. a. angelegt werden, wenn am
Ende 100,04 € Zinserträge verbucht werden?
5. Sie legen für 150 Tage 20.000 € zu 4% p. a.; anschließend legen Sie den Betrag
inklusive Zinsen für weitere 150 Tage zu 5% an. Wie hoch ist Ihr Kapital am Ende
inklusive Zinsen?
6. Ermittlung der Zinstage vom:
vom
bis zum
10.08.2010 15.10.2010
09.03.2010 27.06.2010
28.02.2010 28.08.2010
12.12.2009 04.02.2010
29.06.2010 05.09.2010
09.05.2010 31.08.2010
Übungen Zinsrechnung
11
3 Lösungen
3.1 Lösungen Durchschnittsrechnung ...................................................................................... 1
3.2 Lösungen Kettensatz .......................................................................................................... 4
3.3 Lösungen Prozentrechnung ............................................................................................... 6
3.4 Lösungen Schlussrechnung ................................................................................................ 7
3.4.1 Dreisatz – gerades und ungerades Verhältnis ........................................................... 7
3.4.2 Zusammengesetzter Dreisatz ..................................................................................... 9
3.5 Lösungen Verteilungsrechnung........................................................................................ 11
3.6 Lösungen Währungsrechnung ......................................................................................... 14
3.7 Lösungen Zinsrechnung.................................................................................................... 16
Lösungen
3.1
Lösungen Durchschnittsrechnung
zu 1.
Monat
Grad Celsius
Januar
0,2
Februar
0,5
März
5
April
6
Mai
16
Juni
19
Juli
22
August
24
September
18
Oktober
14
November
9
Dezember
2,2
Summe
130,5
a) Sommermittel: Mai bis Sep
(=) (16+19+22+24+18)/5 (=)
19,8 Grad C
b) Wintermittel: Oktober bis April
(=) (0,2-0,5+5+6+14+9-2,2)/7 (=)
4,5 Grad C
c) Jahresmittel
(=) 130,5/12 (=)
10,875 Grad C
zu 2.
Marke
Super
Adria
Anzahl
44
Stückpreis
12,5
36
(Anzahl*Stückpreis)
550,00 €
8,99
323,64 €
Alaska
15
15,6
19
19,6
234,00 €
Liebling
372,40 €
Summe
114
1.480,04 €
Einheitspreis:
(=) 1480,04/114
(=)
12,98 €
zu 3.
Oktober
November
Dezember
Monatsmittel:
Lösungen Durchschnittsrechnung
4.700.000,00 €
5.890.000,00 €
9.370.000,00 €
1
Lösungen
(=)
Summe
19960000/3 (=)
6.653.333,33 €
19.960.000,00 €
zu 4.
Wochentag
Kundenzahl
Montag
2355
Dienstag
3440
Mittwoch
3570
Donnerstag
3766
Freitag
4700
Samstag
5020
Summe
22851
a) Umsatz/Tag
(=) 660700/6 (=) 110.116,67 €
b) Umsatz/Kunde
(=) 660700/22851 (=) 28,91 €
Umsatz
57.800,00 €
99.200,00 €
102.300,00 €
99.600,00 €
134.800,00 €
167.000,00 €
660.700,00 €
zu 5.
Wurstart
Menge in Kilo
Salami
0,5
Fleischwurst
1,5
Schinken
0,7
Gelbwurst
1,8
Geflügelsalat
1,5
Summe
6
Kilopreis:
(=) 127,16/6 (=) 21,19 €
Preis je Kilo
39,99 €
19,90 €
29,90 €
14,99 €
19,60 €
zu zahlender Preis
20,00 €
29,85 €
20,93 €
26,98 €
29,40 €
127,16 €
zu 6.
Möbelart
Drehstühle
Schlafsofa
Ledersessel
Jugendbett
Summe
Möbelanzahl
88
39
15
19
161
Rabatte
Drehstuhl
Schlafsofa
Ledersessel
Summe, Rabatt
Anzahl
10
3
4
Einzelpreis
44,50 €
288,00 €
320,00 €
299,00 €
Prozent
10%
8%
20%
Stück*Preis
3.916,00 €
11.232,00 €
4.800,00 €
5.681,00 €
25.629,00 €
Anzahl*Prozent*Preis
44,50 €
69,12 €
80,00 €
193,62 €
Umsätze am Abend
(=)25629€-193,62€ (=) 25.435,38 €
Lösungen Durchschnittsrechnung
2
Lösungen
Umsatz je Möbel:
(=) 25435,38/161 (=) 157,98 €
zu 7.
Alter
Hans
Max
Albert
12
153
149
154
13
160
159
160
14
164
161
167
a) durchschn. Körpergröße zum 14. Geburtstag
Xaver
140
153
160
164 cm
Michael
146
155
167
Unterschied
zwischen
13
und 14 4
7
12
2
7
b) durchschnittl. Körperwachstum zwischen 13 u. 14:
Lösungen Durchschnittsrechnung
6,4 cm
3
3.2
Lösungen Kettensatz
zu 1.
1 Haus
3 Häuser
𝑥=
3∗8∗21∗7,5
1∗12∗8,5
zu 2.
120 Autos
100 Autos
21 Monate
12 Monate
7,5 Std. tägl. 8 Arbeiter
8,5 Std. tägl. x Arbeiter
Häuser/Arbeiter
Monate/Arbeiter
gerade
ungerade
Std. Tägl./Arbeiter
ungerade
840 Arbeiter Autos/Arbeiter
x Arbeiter
Schichten/Arbeiter
gerade
ungerade
= 37 Arbeiter
2 Schichten
1 Schicht
7 Std. tägl.
2,8 Prod.
8,5 Std. tägl. 3,9 Prod.
tägl. Std./Arbeiter
Prod./Arbeiter
𝑥=
mehr Häuser, mehr Arbeiter
weniger Monate Bauzeit,
mehr Arbeiter
längere Arbeitszeit, weniger Arbeiter
100∗840∗2∗7∗2,8
120∗1∗8,5∗3,9
= 828 Arbeiter
ungerade
ungerade
mehr Autos, mehr Arbeiter
mehr Schichten,
weniger Arbeiter je Schicht
längere Arbeitszeit, weniger Arbeiter
höhere Prod., weniger Arbeiter
Kaufmännisches Rechnen
zu 3.
9 Jahre
7 Jahre
𝑥=
Skript mit Übungen
180 Tage i. J. 8 Std. tägl.
230 Tage i. J 9 Std. tägl.
9∗420∗180∗8∗750
7∗230∗9∗500
500 Mill. €
420 Arbeiter Jahre/Arbeiter
750 Mill. € n x Arbeiter
Tage i. J./Arbeiter
Std. tägl./Arbeiter
Kosten/Arbeiter
ungerade
ungerade
ungerade
gerade
kürzere Bauzeit, mehr Arbeiter
mehr Tage im Jahr, weniger Arbeiter
mehr Stunden tägl., weniger Arbeiter
mehr € Ausgaben, mehr Arbeiter
möglich
= 563 Arbeiter
skript - kaufmännisches rechnen.docx
Seite 5 von 48
Kaufmännisches Rechnen
3.3
Lösungen Prozentrechnung
zu 1.
zu 2.
zu 3.
zu 4.
zu 5.
542,80 €
4,92%
25 Überstunden
4%
a) 6.800 €
b) 6.878,20 €
2.930,92 €
1,3 %
1,84 mm
52,75 €
38,74 €
59.287,85 €
198,21 €
132 kW
24.862,50 €
2.600,00 €
89,47%
9,37%
32%
4189 Aufträge
10t
zu 6.
zu 7.
zu 8.
zu 9.
zu 10.
zu 11.
zu 12.
zu 13.
zu 14.
zu 15.
zu 16.
zu 17.
zu 18.
zu 19.
zu 20.
skript - kaufmännisches rechnen.docx
Skript mit Übungen
Seite 6 von 48
Kaufmännisches Rechnen
3.4
Skript mit Übungen
Lösungen Schlussrechnung
3.4.1 Dreisatz – gerades und ungerades Verhältnis
zu 1.
62,5 kg
19,0 kg
𝑥=
(=)
(=)
19∗18,75
62,5
18,75 €
x
= 5,70 €
Gerade
zu 2.
8,5 km
28,0 kg
𝑥=
(=)
(=)
28∗10.20
8,5
10,20 €
x
= 33,60 €
Gerade
zu 3.
29 €
25 €
𝑥=
(=)
(=)
29∗35
35 Tage
x
= 40,6 𝑇𝑎𝑔𝑒
25
Ungerade
zu 4.
2 Arb.
3 Arb.
𝑥=
(=)
(=)
2 ∗12
3
12 h
x
=8ℎ
Ungerade
zu 5.
a)
100 km
635 km
𝑥=
(=)
(=)
635∗8,3
100
8,3 l
x
= 52,7 𝑙
Gerade
b)
1l
52,7 l
𝑥=
(=)
(=)
52,7∗1,12
1
skript - kaufmännisches rechnen.docx
= 59,03 €
1,12 €
x
Gerade
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Kaufmännisches Rechnen
Skript mit Übungen
zu 6.
0,8 m (breit) (=)
1,4 m (breit) (=)
𝑥=
0,8∗4,55
1,4
4,55 m (lang)
x
= 2,6 𝑚
Ungerade
zu 7.
7T
12 T
𝑥=
(=)
(=)
12∗21,5
7
21,5 m³
x
= 36,86 𝑚³
Gerade
zu 8.
32 m²
54 m²
𝑥=
(=)
(=)
54∗380
32
380 €
x
= 641,25 €
Gerade
zu 9.
8€
5€
𝑥=
(=)
(=)
8∗20
5
20 T
x
= 32 𝑇𝑎𝑔𝑒
Ungerade
zu 10.
86 Stück
39 Stück
𝑥=
(=)
(=)
39∗22300
86
22.300 €
x
= 10.112,00 €
Gerade
zu 11.
176 BH
225 BH
𝑥=
176∗5
225
skript - kaufmännisches rechnen.docx
(=)
(=)
= 3,91 €
5€
x
Ungerade
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Kaufmännisches Rechnen
Skript mit Übungen
3.4.2 Zusammengesetzter Dreisatz
zu 1.
18 Monate
8 Monate
𝑥=
(=)
(=)
18∗79000∗4
4 Arbeiter
9 Arbeiter
(=)
(=)
79.000,00 €
x
= 79.000,00 €
8∗9
Monate/Kosten
Gerade
Arbeiter/Kosten
Gerade
Tiere/Kosten
Gerade
Tage/Kosten
Gerade
Arbeiter/Stunden
Ungerade
Fläche/Stunden
Gerade
Euro/Stunden
Gerade
Tage/Stunden
Ungerade
zu 2.
45 Tiere
75 Tiere
𝑥=
(=)
(=)
75∗6780∗360
45∗28
28 Tage
360 Tage
(=)
(=)
6.780,00 €
x
= 145.285,71 €
zu 3.
16 Arbeiter
18 Arbeiter
𝑥=
(=)
(=)
16∗12,5∗280
18∗122
122 m²
280 m²
(=)
(=)
12,5 h
x
= 25,5 ℎ
zu 4.
1.050 €
1.200 €
𝑥=
1200∗7,5∗3
1050∗5
skript - kaufmännisches rechnen.docx
(=)
(=)
= 5,14 ℎ
3 Tage
5 Tage
(=)
(=)
7,5 h
x
Seite 9 von 48
Kaufmännisches Rechnen
Skript mit Übungen
zu 5.
5 Räume
6 Räume
𝑥=
6∗3,5∗26
5∗23
(=)
(=)
26 m²
23 m²
(=)
(=)
3,5 h
x
= 4,75 ℎ
Räume/Stunden
Gerade
Fläche/Stunden
Ungerade
Besucher/Umsatz
Gerade
Eintritt je Karte/Umsatz
Ungerade
Kamele/Kilogramm
Gerade
Tage/Kilogramm
Ungerade
zu 6.
0,5 Besucher
0,75 Besucher
𝑥=
(=)
(=)
0,75∗22600∗24
0,5∗21
24 € je Karte
21 € je Karte
(=)
(=)
22.600 €
x
= 38.742,86 €
zu 7.
12 Kamele
19 Kamele
𝑥=
19∗420∗30
12∗7
skript - kaufmännisches rechnen.docx
(=)
(=)
= 2850 𝑘𝑔
7 Tage
30 Tage
(=)
(=)
420 kg
x
Seite 10 von 48
Kaufmännisches Rechnen
3.5
Skript mit Übungen
Lösungen Verteilungsrechnung
zu 1.
a)
6.600 € und 33.000 €
b)
4.200 €
6.300 € und 10.500 €
(da 0,2 + 0,3 + 0,5= ein Ganzes ergeben, kann Schritt 1 eingespart werden)
c)
360€
1.080 €
1.440 €
und 720 €
(da auch hier die Prozentsätze in ihrer Summe 100 ergeben, kann Schritt 1
eingespart werden)
d)
1.150 €
3.450 €
1.725 €
2.300 € und
575 €.
zu 2.
Mitarbeiter
Bonusauszahlung
Anton
7.766,99 €
Berta
9.941,74 €
Cloude
10.873,79 €
Dora
13.048,54€
Emil
6.368,93 €
zu 3.
Hans
Max
Georg
Summe
5,00 €
8,00 €
12,00 €
25,00 €
Hans
25€ (Einsatz)
5€
skript - kaufmännisches rechnen.docx
(=)
(=)
22000€ (Gewinn)
x
Seite 11 von 48
𝑥=
5∗22000
25
= 4.400,00 €
Max
25€ (Einsatz)
(=)
(=)
8€
𝑥=
8∗22000
25
= 7.040,00 €
Georg
25€ (Einsatz)
12 €
𝑥=
22000€ (Gewinn)
x
12∗22000
25
(=)
(=)
22000€ (Gewinn)
x
= 10.560,00 €
Probe:
Hans
Max
Georg
Summe
4.400,00 €
7.040,00 €
10.560,00 €
22.000,00 €
A
B
C
Summe
20000
35000
40000
(Einlagen) 95000
zu 4.
A
95.000 €
20.000
𝑥=
20000∗230000
95000
B
95.000 €
35.000
𝑥=
35000∗230000
95000
C
95.000 €
40000
𝑥=
40000∗230000
95000
(=)
(=)
230.000,00 €
x
= 48.421,05 €
(=)
(=)
230.000,00 €
x
= 84.736,84 €
(=)
(=)
= 96.842,11 €
230.000,00 €
x
Probe:
A
B
C
Summe
48.421,05 €
84.736,84 €
96.842,11 €
230.000,00 €
3.6
Lösungen Währungsrechnung
zu 1.
2,287 BRL
34.026
𝑥=
34026∗1
2,287
(=)
(=)
1€
x
= 14.878,01 €
zu 2.
1.550,02 KRW
7.817
𝑥=
7817∗1
(=)
(=)
1€
x
(=)
(=)
1€
x
= 5,04 €
1550,02
zu 3.
7,4587 DKK
19.383
𝑥=
19383∗1
7,4587
= 2.598,71 €
zu 4.
43,881
42.436
𝑥=
42436∗1
43,881
(=)
(=)
1€
x
= 967,07 €
zu 5.
9,1564 SEK
1.223
𝑥=
1223∗1
9,1564
(=)
(=)
1€
x
= 133,57 €
zu 6.
1,3384 €
4.809
𝑥=
4809∗1
1,3384
(=)
(=)
1 USD
x
= 3.593,10 𝑈𝑆𝐷
zu 7.
103,95 €
16.980
(=)
(=)
1 JPY
x
𝑥=
16980∗1
103,95
= 163,35 𝐽𝑃𝑌
zu 8.
25,4750 €
17290
𝑥=
17290∗1
25,475
(=)
(=)
1 CZK
x
= 678,70 𝐶𝑍𝐾
zu 9.
3,4528 €
14.257
𝑥=
14257∗1
3,4528
(=)
(=)
1 LTL
x
= 4.129,11 𝐿𝑇𝐿
zu 10.
5,0340 €
25.490
𝑥=
25490∗1
5,034
(=)
(=)
1 ILS
x
= 5.063,57 𝐼𝐿𝑆
zu 11.
1£
240 * 1,38 £ = 331,20 £
𝑥=
331,2∗1,68
1
(=)
(=)
1,68 €
x
(=)
(=)
4,546 l
x
(=)
(=)
5,10 €
x
(=)
(=)
0,595 £
x
= 556,42 £
zu 12.
1 gallon
50 gallons
𝑥=
50∗4,546
1
= 227,3 𝑙
0,7 l
227,3 l
𝑥=
227,3∗5,1
0,7
= 1656,04 €
1€
1656,04 €
𝑥=
1656,04∗0,595
1
= 985,34 £
3.7
Lösungen Zinsrechnung
zu 1.
Die Verzugszinsen betragen 91,38 €.
zu 2.
Das Kapital beträgt 1.809,23 €.
zu 3.
Die Zinsen des Kontokorrentkredits betragen 13,13 €.
zu 4.
Das Kapital muss 245 Tage angelegt werden.
zu 5.
Nach 150 Tagen zu 4% = 20.333,33 € und nach weiteren 150 Tagen zu 5% =
20.756,94 €.
zu 6.
vom
bis zum
Zinstage
10.08.2010
15.10.2010
66 Tage
09.03.2010
27.06.2010
110 Tage
28.02.2010
28.08.2010
181 Tage
12.12.2009
04.02.2010
54 Tage
29.06.2010
05.09.2010
68 Tage
09.05.2010
31.08.2010
114 Tage