TM1: Federpendel

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Translationsdynamik
Seite 1
TM1: Federpendel
Aufgabenstellung: Eine Feder verlängert sich bei einem konstanten Impulsstrom der Stärke
30 N um 15 cm. Diese Feder wird nun an einem Ende aufgehängt und am anderen Ende mit
einem Körper belastet.
a Wie gross muss die Masse des Körpers sein, damit er mit einer Periode von π/4 Sekunde
schwingen kann?
b Der Körper wird in vertikale Schwingung versetzt. Die Schwingungsamplitude betrage 5
cm. Wo befindet sich der Körper zu Zeitpunkt π/12 Sekunde? Beim Zeitnullpunkt ist der
Körper abwärts durch die Gleichgewichtslage geflogen.
c Welche Geschwindigkeit hat der Körper zum Zeitpunkt π/12 Sekunde?
d Wie gross ist die Federkraft, wenn sich der Körper 3 cm unterhalb der Gleichgewichtslage
befindet und eine Geschwindigkeit nach unten besitzt?
Lösungshinweis: Die Gewichtskraft prägt einen zusätzlichen Impulsstrom auf.
Lösung:
D=
Ip
s
N
m
= 200
a
2
m
 T 
⇒m=
T = 2π
 D = 3.125 kg
D
 2π 
b pos. Richtung nach unten:
 2π
s ( t ) = sˆ sin 
 T

t




2π π 
π 
s  s  = sˆ sin 
 = 4.33 cm
π
12
 12 


 4

c
s (t ) =
2π
 2π
sˆ cos 
T
 T

t

π 
 2π
s  s  = 8s −1sˆ cos 
 12 
 3

−1 m
(aufwärts)
 = −2 ⋅10
s

d
FF − FG = D ⋅ 3 cm
FF = mg + D ⋅ 3 cm = 36.7 N
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator
Quelle: Physik IX/MT 88.4
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Seite 2
TM2: Planet mit Schacht
Aufgabenstellung: In einen homogenen Himmelskörper (Radius 7000 km, Dichte 5500 kg/
m3) wurde längs eines Durchmessers ein Schacht gebohrt. Wie lange dauert es, bis ein frei
fallender Körper den Planeten durchquert hat?
Lösungshinweis: Die Gravitationsfeldstärke nimmt im Innern eines homogenen Körpers proportional zum Radius zu. Die Gravitationsfeldstärke kann mit Hilfe des Satz von Gauss bestimmt werden.
Lösung:
g = Gρ
4π
4π
r FG = mG ρ
r
3
3
Schwingungsdauer: T = 2π
gesuchte Zeit:
m
D
D = mG ρ
T
3
3π
=π
=
= 2.534 ⋅103 s = 42 min14 s
2
4π G ρ
4G ρ
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Gravitationsfeld
Quelle: Physik XII/MT 88.4
4π
3
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Seite 3
TM3: Hydrostatisches Paradoxon
Aufgabenstellung: Bei einem sich nach unten erweiternden Gefäss, das
mit Flüsigkeit gefüllt ist, ist die Bodendruckkraft grösser als die
Gewichtskraft auf die Flüssigkeit. Die Bodendruckkraft (die Kraft, mit
der die Flüssigkeit auf den Gefässboden drückt) kann dann sogar grösser z
als die Normalkraft auf das Gefäss sein. Diesen Umstand nennt man
hydrostatisches Paradoxon. Erklären Sie das Paradoxon mit Hilfe des
Impulses. Skizzieren Sie einen Querschnitt durch ein solches Gefäss und
zeichnen Sie das z-Impulsstromfeld (Stromlinien) ein.
Lösungshinweis: Die Flüssigkeit kann den Impuls nur vorwärts transportieren. Zudem sorgt
die Flüssigkeit dafür, dass der hydrostatische Druck, die dreifache Impulsstromdichte, auf
gleichen Höhen den gleichen Wert annimmt.
Lösung: Der gravitativ zufliessende Impuls wird von der Flüssigkeit
nach vorne, also nach unten wegtransportiert. Die allgemeine Stoffeigenschaft flüssig sorgt dafür, dass die drei Impulsstromdichten an jedem
Punkt den gleichen Wert annehmen, d.h. an jedem Ort in der Flüssigkeit z
muss jede Impulssorte mit der gleichen Stromdichte in die jeweilige Bezugsrichtung transportiert werden. Dank dieser Stoffeigenschaft bilden
sich zusätzliche Kreisströme aus.
Schlüsselwörter: Impulsstromdichte
Quelle: Physik X/MT 89.1
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Seite 4
TM4: Schwingender Körper auf Waage
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse 3.5 kg) hängt an einer Feder (Richtgrösse 300 N/m, Masse vernachlässigbar). Der Körper wird um 9 cm nach
unten ausgelenkt und dann losgelassen. Dieser Einmassenschwinger hängt an
einem Galgen (Masse 5 kg), der seinerseits auf einer schnellen Präzisionswaage
steht.
a Welche Maximal- und welche Minimalkraft zeigt die Waage an?
b Wieviel Zeit verfliesst zwischen zwei Maximalenanzeigen der Waage?
Lösungshinweis: In der Feder überlagern sich zwei Impulsströme. Zum gravitativ
zufliessenden Impuls kommt noch ein Wechselstromanteil, welcher der Änderungsrate des im
Körper gespeicherten Impulses entspricht.
Lösung:
a
FG = mtot g = 83.385 N
Mittelwert der Anzeige
FN ,max. = FG + D s = 110.4 N
FN ,min = FG − D s = 56.39 N
b
ω=
T=
D
m
2π
ω
= 2π
m
= 6.79 ⋅ 10−1 s
D
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Impulsstrom
Quelle: Physik X/MT 89.3
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Seite 5
TM5: Rotierender Hohlzylinder
Aufgabenstellung: Ein dünnewandiger Hohlzylinder (Dichte 9 g/cm3, Iny
nenradius 1.5 m, Wandstärke 10 mm, Länge 3 m) rotiert mit einer
Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s.
a Schneiden Sie gedanklich einen 10 mm breiten Streifen aus der Wand
x
heraus und beschreiben Sie den x-Impulsinhalt dieses Stückes (10 mm
z
x 10 mm x 3000 mm) in Funktion der Zeit. Zur Zeit t = 0 geht das
Stück gerade durch die positive y -Achse.
b Wir legen nun eine raumfeste Fläche durch die y- und z- Achse. Der rotierende Zylinder
bildet dann zwei konvektive x-Impulsströme bezüglich diesen Flächen. Wie stark sind sie?
In welche Richtungen fliessen Sie?
c Die Impulsverteilung bleibt stationär. Darum muss der unter b beschriebene konvektive
Impulsstrom durch eine leitungsartigen kompensiert werden. Berechnen Sie mit Hilfe
dieser Idee die Zugspannung im Zylinder.
Lösungshinweis: Der x-Impulsinhalt eines Rohrstücks ändert sich harmonisch mit der Zeit.
Die Impulsstromdichte kann bei einem konvektiven Strom als Impulsdichte (Massendichte
mal Geschwindigkeit) mal Geschwindigkeit (Volumenstromdichte) geschrieben werden.
Lösung:
m = ρ s 2l = 2.7 kg
px = mvx
vx = ω r cos (ω t )
a
px = mvx = ρ s 2lω r cos(ωt ) = 40.64Ns ⋅ cos [10rad/s ⋅ t ]
b
I px ,conv. = ρ vx2 A = ρω 2 r 2 rl = 61.156 kN zwei Mal in positive Richtung
c
Gleichgewicht:
I px = I px ,conv.
τ A = ρ vx2 A
τ = ρ vx2 = ρω 2 r 2 = 2.038 MPa
Der leitungsartige Impulsstrom fliesst gegen die x-Achse,
also herrscht Zugspannung
Schlüsselwörter: Impulsstromstärke, Impulsstromdichte, Kreisbewegung
Quelle: Physik X/MT 89.5
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Seite 6
TM6: Eisstück in Mulde
Aufgabenstellung: Ein kleines Eisstück gleitet reibungsfrei eine
schiefe Ebene hinunterund gerät dann in eine zylinderförmige
Mulde (Radius 7 m). Die Startposition des Körpers befindet sich 7
m über dem tiefsten Punkt der Mulde.
a Berechnen Sie die Schnelligkeit (Geschwindigkeitsbetrag) des
Stücks im Punkt x?
b Wie gross ist dort die Normalkraft auf das Eisstück?
c Wie gross ist dort die Beschleunigung?
d Welche Richtung hat die Beschleunigung? Geben Sie den
Winkel zwischen Normalkraft und Beschleunigung an.
30°
R
x
Lösungshinweis: Die Schnelligkeit ist eine Funktion der Höhe (Energieerhaltung). Während
des ganzen Vorganges wirken nur zwei Kräfte auf das Eisstück ein: Gewichts- und Normalkraft. Die Normalbeschleunigung nimmt mit dem Quadrat der Schnelligkeit zu. Die Tangentialbeschleunigung hängt direkt mit der entsprechenden Komponente der Gewichtskraft zusammen.
Lösung:
a :
60˚
FG
FN
FRes
mgh =
1 2
mv
2
v = 2 gh ; h = 5.5 cm ; v = 10.38
m
s
b
FN − mg sin 30 = m
v2
R
⇒ FN = m( g sin 30 +
v2
) = 1.226 N
R
c
FRe s = m
FN2 + FG2 + 2 FN FG cos 60° = 1.109 N
⇒a=
FRe s
m
= 36.96 2
m
s
d
FRe s
F
F
= N ⇒ sin γ = N sin 60 ⇒ γ = 106.7
FRe s
sin γ
sin 60
Alternativlösung:
 v2 
m
2
a = ar2 + at2 =   + ( g sin 30° ) = 36.96 2
s
R
v2
a
R
tgϕ = r =
= 4.234
at Rg cos 30°
ϕ = 76.7°
γ = 30° + ϕ = 106.7°
Schlüsselwörter: Energieerhaltung, Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik V/MT 87.5
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Seite 7
TM7: Federpendel 2
Aufgabenstellung: Der Klotz (Masse 500 g) bewegt sich im Moment
mit 0.2 m/s nach oben. Die Feder (Federkonstante 150 N/m) ist um 4
cm gegenüber dem ungespannten Zustand verlängert.
a Zeichnen Sie alle Kräfte auf den Klotz ein. Berechnen Sie die Leistungen, und zeichnen Sie das Energiestromdiagramm.
b Um wieviel ist die Feder verlängert, wenn die Geschwindigkeit des
Klotzes das nächste Mal gleich Null ist?
c Wie gross ist dann die Beschleunigung des Klotzes?
m
Lösungshinweis: Die Leistung einer Kraft ist gleich der Energiestromstärke bezüglich des
Körpers. Setzten Sie die Gravitationsenergie und die Federenergie für die ungespannte Feder
gleich Null. Die Geschwindigkeit ist gleich Null, wenn die Gravitationsenergie gleich der Federenergie ist (zwei Lösungen).
Lösung:
a
Feder
FF
1.2 W
P ( FF ) = 1.2 W
FF = 6 N
FG = 4.905 N
FG
Klotz
P ( FG ) = −0.981 W
0.981 W
Gravitation
b
Wkin + U ( Feder ) + WG = 0.01 J + 0.12 J − 0.1962 J = 0.0662 J
1 2
1
2


Wkin = mv ; U ( Feder ) = D ( s ) ; WG = mg ( − s ) 
2
2


1
2
Wkin = 0 :
D ( s ) + mg ( − s ) + 0.0662 J = 0
2
s1,2 =
mg ±
( mg )
2
− 2 D ⋅ 0.0662
D
= 0.0464 m / 0.0190 m
c
a=
FRe s D s2 − mg
m
=
= −4.1 2 nach unten
m
m
s
Schlüsselwörter: Energieerhaltung, Beschleunigung, Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik V/MT 87.1
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Seite 8
TM8: Mathematisches Pendel
Aufgabenstellung: Ein mathematisches Pendel, bestehend aus einem massenlosen Seil mit
einer Seillänge von 1.5 m und einem punktförmigen Körper mit einer Masse von 300 g, wird
um 30° ausgelenkt und dann losgelassen.
a Welche Geschwindigkeit hat der Pendelkörper bei einem Winkel von 10°?
b Wie gross ist dort die Fadenkraft auf den Pendelkörper?
c Welche Beschleunigung hat dort der Pendelkörper?
Lösungshinweis: Die Schnelligkeit (Geschwindigkeitsbetrag) ist eine Funktion der Höhe
(Energieerhaltung). Während des ganzen Vorganges wirken nur zwei Kräfte auf den Pendelkörper ein: Gewichts- und Seilkraft. Die Normalbeschleunigung nimmt mit dem Quadrat der
Schnelligkeit zu. Die Tangentialbeschleunigung hängt direkt mit der entsprechenden
Komponente der Gewichtskraft zusammen.
Lösung:
a
1 2
mv = mg h
2
h1 = l (1 − cos ϕ1 ) h2 = l (1 − cos ϕ 2 )
Energiesatz :
Fs ϕ
h = h1 − h2 = l ( cos ϕ 2 − cos ϕ1 )
FG
v = 2 gl ( cos ϕ 2 − cos ϕ1 ) = 1.87
m
s
b
FN − mg cos ϕ 2 = m
v2
l
⇒ FN = m( g cos ϕ2 +
v2
) = 3.6 N
l
c
m
FG sin ϕ 2
= g sin ϕ 2 = 1.7 2
m
m
s
m
a = at2 + ar2 = 2.89 2
s
at =
FRe s ,tan gential
=
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Energieerhaltung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik VI/MT 87.3
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Seite 9
TM9: Rollender Zylinder
Aufgabenstellung: Ein Zylinder (Radius 7.5 cm, Höhe 6cm, Dichte 2700 kg/m3) rollt eine
schiefe Ebene hinunter (Neigungswinkel 25°).
a Zeichnen Sie alle Kräfte auf den Zylinder ein und formulieren Sie das Grundgesetz für die
Bewegung längs der Ebene.
b Die Haftreibungskraft ist in diesem Fall betragsmässig halb so gross wie die Resultierende.
Berechnen Sie den Betrag dieser Haftreibungskraft?
c Wie lauten die Antworten aif die Fragen a und b, wenn der Zylinder angestossen worden ist
und sich im Moment die Ebene hinauf bewegt?
Lösungshinweis: Der Zylinder kann nur schneller rotieren, wenn die Summe aller Drehmomente ungleich Null ist.
Lösung:
FN
FHR
FG
a
FG sin α - FHR = maMMP
b
FHR =
m
π r2
aMMp =
ρ aMMP = 3.9 N
2
2
c Die Antworten sind gleich.
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik VI/MT 87.4
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Seite 10
TM10: Klotz auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Der Klotz in der nebenstehenden Skizze bewegt sich
mit einer konstanten Geschwindigkeit von 3 m/s die schiefe Ebene hin15°
auf. Der Gleitreibungskoeffizient für die Grenzfläche Klotz-Unterlage
g
beträgt 0.3.
15 k
20°
a Wie gross ist die Schnurkraft F, wenn der Körper eine
Masse von 15 kg hat?
b Berechnen Sie die Leistung sämtlicher Kräfte und zeichnen Sie das Energiestromdiagramm.
Lösungshinweis: Der bewegte Klotz ist im Gleichgewicht, also alle Kräft einzeichnen und
Gleichgwicht formulieren.Die Leistung einer Kraft ist gleich der Energiestromstärke bezüglich
des Körpers.
Lösung:
a
y : FN + F sin β - FG cos α = 0
FG = m ⋅ g
x : F cos β - FR - FG sin α = 0
FR = µ ⋅ FN
mg sin α + µ mg cos α
sin α + µ cos α
F=
= mg
= 87.98 N
cos β + µ sin β
cos β + µ sin β
b
P ( F ) = Fv cos β = 255 W
P ( FN ) = 0
P ( FR ) = - F R v = -µ FN v = -104 W
P ( FG ) = FG v cos(110°) = -151 W
P(F)=255W
Wkin =konst
P(FG)=-151W
P(FR)=-104W
Schlüsselwörter: Schnittbild, Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik VI/MT 87.5
F
FN
y
x
FR F
G
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Seite 11
TM11: Arbeit und Kraftstoss
Aufgabenstellung: Zwei Körper liegen reibungsfrei auf einer horizontalen
Ebene. Die Masse des ersten Körpers ist zehnmal grösser als die des
zweiten. Beide Körper werden mit der gleich grossen Kraft beschleunigt.
Die Kraft wirkt so lange, bis der entsprechende Körper die Strecke s
zurückgelegt hat. Der leichtere Körper zwei hat am Schluss offensichtlich
die grössere Geschwindigkeit. Welche zwei Aussagen sind richtig:
1
F
2
F
s
a
b
c
d
kinetische Energie:
W1 > W2
W1 = W2
W1 < W2
Die Angaben reichnen nicht aus, um eine Aussage über kinetische Energie zu machen.
e
f
g
h
Impuls:
p1 > p2
p1 = p2
p1 < p2
Die Angaben reichnen nicht aus, um eine Aussage über den Impuls zu machen.
Lösung:
Energiebilanz: Die Arbeit der Kraft (Energiezufuhr) ergibt die kinetische Energie. Die
Arbeit der Karft (FS) ist für beide Körper gleich, da sowohl Kraft als auch
Weg gleich sind => b).
Impulsbilanz:
Die Impulszufuhr ergibt die Impulsänderung:
die Impulsänderung ist gleich Stromstärke mal Zeit;
die Impulsstromstärke ist für beide Körper gleich, aber t2 < t1 => e
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsbilanz
Quelle: Physik IX/MT 87.3
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Seite 12
TM12: Harmonischer Oszillator
Aufgabenstellung: Ein reibungsfrei gleitender
50
Quader (Masse 0.5 kg) ist zwischen zwei 1
2
Federn (Richtgrösse 1200 N/m, Länge 45 cm)
eingespannt.
a Mit welcher Frequenz schwingt das System?
1050
b Wie gross ist der Impulsinhalt des Klotzes zu
einem beliebigen Zeitpunkt, wenn der Klotz zuerst 5 cm nach links ausgelenkt worden ist?
Schreiben Sie die p(t)-Funktion auf!
c Wie gross ist die momentane Impulsstromstärke bezüglich der Referenzfläche 1 und 2, wenn
der Klotz den rechten Umkehrpunkt erreicht hat?
Lösungshinweis: Die beiden Federn üben die gleiche Wirkung aus; sie sind parallel geschaltet.
Lösung:
a
ω
1
=
2π 2π
2D
= 11 Hz
m
p = mv = msˆω sin (ω t ) = pˆ sin (ω t )
f=
pˆ = 1.73 Ns
ω = 69.3 s −1
b
pˆ = 1.73 Ns
ω = 69.3 s −1
c Die Federlänge im GG beträgt 50 cm, also sind beide um 5 cm verlängert
Im rechten Umkehrpunkt ist die rechte Feder nicht gedehnt, die linke um 10 cm verlängert.
Referenzfläche 1.: Ip = D ∆s = 120 N nach links
Referenzfläche 2.: Ip = 0
Kontrolle:
Summe über alle Impulsströme ist gleich zeitliche Änderungsrate des Impulsinhaltes
−120 Ns = p (ω t − π ) = msˆω 2 cos (π ) = −120 N
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Impulsstromstärke
Quelle: Physik IX/MT 87.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 13
TM13: Kraftstoss mit Feder
Aufgabenstellung: Ein reibungsfrei gleitender Körper (Masse 5
kg) wird gegen eine Feder (Masse vernachlässigbar, Federkonstante 1200 N/m) gedrückt. Sobald die Feder 13 cm zusammen5 kg
gepresst ist, wird der Klotz losgelassen. Der Klotz ist nicht an der
Feder befestigt.
a Schreiben Sie die Impulsstromstärke-Zeit-Funktion bezüglich der Klotzoberfläche für die erste Sekunde auf.
b Wie gross sind Impuls und Energie des Klotzes nach der ersten Sekunde?
c Woher ist die Energie, der Impuls zugeflossen?
Lösungshinweis: Klotz und Feder bilden anfänglich einen harmonischen Oszillator.
Lösung:
ω=
D
= 15.5s −1
m
T=
2π
ω
= 0.4s
a von t = 0 bis t = 0.101 s
I p = Iˆp cos ω t
Iˆp = D s = 156 N
von t = 0,101 s bis 1 s:
Ip = 0
b
1
D s 2 = 10.14 J
2
p = 2mWkin = 10.07 N
Wkin =
c Die Energie wird von der Feder geliefert, der Impuls fliesst über die Wand zu.
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Energieerhaltung, Impulsstromstärke
Quelle: Physik X/MT 87.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 14
TM14: Impulsströme bei Umlenkrolle
Aufgabenstellung: Ein Metallzylinder (Länge 25 cm, Radius
5 cm, Dichte 7 g/cm3) hängt an einem Seil, das über eine Umlenkrolle geführt ist. Seil und Rolle werden als ideal angenommen.
a Wie gross ist die leitungsartige z - Impulsstromdichte fünf
Zentimeter über der Grundfläche des Zylinders (Fläche 1)?
b Das Seil hat einen Querschnitt von 45mm2. Wie gross ist
die z - Impulsstromdichte bei der Fläche 2?
c Wie gross ist jpzz und jpzx bei der Fläche 2?
Lösungshinweis: Der gravitativ zufliessende Impuls geht
durch den Zylinder nach oben weg. Die Umlenkrolle sorgt für
gleiche Zugspannung in beiden Seilstücken. Die Impulsstromstärke entspricht der Kraftkomponenten, die Impulsstromdichte pro „Impulssorte“ ist ein Vektor, der selber
wieder in Komponenten zerlegt werden kann.
30°
2
z
1
Lösung:
a Impulszufuhr vom Gravitationsfeld
Σ pz = V ρ g = 26.97 N
Impulsstrom durch Schnittfläche
Σ pz = I pz = 26.97 N
j pz =
Ip
A
= ρ gh = 3434
N
m2
b
FS = FG = 134.8 N I pz = Fsz = FS cos 30° = 116.7 N
j pz =
I pz
As
= 2.59 ⋅106
N
m2
c
N
m2
N
= − j pz sin 30° = -1.297 ⋅106 2
m
j pzz = − j pz cos 30° = -2.25 ⋅106
j pzx
Schlüsselwörter: Impulsstromstärke, Impulsstromdichte
Quelle: Physik X/MT 87.4
x
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Translationsdynamik
Seite 15
TM15: Schwere und träge Masse
Aufgabenstellung: Nehmen wir an, Sie hätten einen ganz eigenartigen Meteoriten gefunden.
Hängt man ihn an eine Federwaage, zeigt diese 19.6 N an. Um im Vakuum fünf Meter tief zu
fallen, benötigt der Meteorit 1.428 s.
a Welche Besonderheit weist dieses ausseridische Material auf?
b Was bemerkt ein Astronaut, wenn er diesen Meteoriten auf eine erdnahe, kreisförmige Umlaufbahn mitnimmt?
Lösungshinweis: Das Verhältnis von schwerer zu träger Masse ist anders als bei irdischem
Material.
Lösung:
Kinematik:
1
1
s = vt = at 2
2
2
2s
m
a = 2 = 4.9 2
t
s
Dynamik:
Grundgesetz:
FRe s = mt a
Gravitationsgesetz: FG = ms g
⇒ a=
ms
g
mt
a
ms a
= = 0.5
mt g
⇒ schwere Masse: ms =
Trägheit
FG
= 2 kg
g
: mt = 2m = 4 kg
b Der Klotz klebt auf der erdfernen Seite an der Raumschiffwand.
Schlüsselwörter: Masse
Quelle: Physik II/MT 88.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 16
TM16: Kurvenfahrt
Aufgabenstellung: Ein Auto (Hinterradantrieb) durchfährt mit konstanter Schnelligkeit eine
Kurve.
a Machen Sie eine Aufrissskizze und zeichnen Sie alle Kräfte ein, die horizontal auf das Auto
einwirken.
b Geben Sie den Kräften geeignete Namen.
c Ist das Auto im Gleichgewicht? Begründung!
d Erklären Sie an diesem Beispiel das Prinzip von Actio entgegengesetzt Reactio.
Lösungshinweis: Bei dieser Bewegung ist das Auto zentralbeschleunigt. Die Summe über alle
Kräfte muss gegen das Zentrum weisen.
Lösung:
a
FH1
FW
FH3
Fahrtrichtung
FH4
FH2
Kurvenzentrum
b Auf das System Auto wirken die Strasse und die Luft
FW: Luftwiderstand
FHi: Haftreibungskräfte
c Das Auto ist nicht im GG, denn es fährt nicht geradeaus (Galilei).
d Mit der gleichen Kraft, mit der die Strasse auf das Auto einwirkt, wirkt das Auto auf die
Strasse zurück. Die Luft drückt das Auto nach hinten, das Auto wirkt mit der gleichen Kraft
nach vorne auf die Luft ein.
Spezialfall: Auto und Erde ziehen sich gegenseitig mit FG an (Fernwechselwirkung, Raumkräfte)
Schlüsselwörter: Schnittbild, Wechselwirkungsprinzip
Quelle: Physik II/MT 88.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 17
TM17: Querschwingender Klotz
Aufgabenstellung: Zwei gleich starke Federn (m = 0, D =
12 cm
750 N/m) sind horizontal aufgespannt worden. Die Federn
haben im ungespanntzen Zustand eine Länge von je 72 cm
und die Befestigungspunkte sind 1.6 m voneinander entfernt. Nun wird zwischen den beiden Federn ein Klotz
V
(Masse 1.5 kg) aufgehängt. Dann wird das ganze System
in vertikale Schwingung versetzt. Wir betrachten die Bewegung des Klotzes zu einem Zeitpunkt, in dem er sich mit 30 cm/s nach oben bewegt. In diesem Moment liegt der Verbindungspunkt der beiden Federn 12 cm unterhalb der beiden Federbefestigungen. Welche Beschleunigung hat der Klotz zu diesem Zeitpunkt?
Lösungshinweis: Mit Hilfe des Federgesetzes und der Geometrie die resultierende Kraft
bestimmen. Die reslultierende Kraft legt die Beschleunigung fest.
Lösung:
Geometrie:
y
FF1
80 cm
FF2
FG
α
x
horizontal:
vertikal:
FF 2 cos α − FF 1 cos α = 0
( FF 2 + FF1 ) sin α − FG = ma
FRe s = 2 FF
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Federgesetz
Quelle: Physik II/MT 88.3
0.12
- FG = 5.08 N
0.809
F
m
a = Re s = 3.38 2
m
s
12 cm
resultierende Kraft:
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 18
TM18: Körper auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Ein Körper bewegt sich mit 13 m/s eine schiefe
v0
Ebene (Neigung 45%) hinauf. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen
g
6k
Körper und Ebene beträgt 0.25.
a Wie weit gleitet der Körper hinauf?
b Wie lange dauert es, bis der Körper wieder am ursprünglichen Ort
ist?
c Welche Beschleunigung muss man ihm am Umkehrpunkt zuschreiben?
Lösungshinweis: Freischneiden, Grundgesetz bzw. Gleichgewicht formulieren,
Gleitreibungsgesetz einfügen, Gleichungssystem auflösen.
Lösung:
y
y : FN - FG cos α = 0
x
FN
x : ± FR - FG sin α = ma
α
FR
α = arctg 0.45 = 24.23°
FR = µ FN = µ mg cos α
± µ mg cos α - mg sin α = ma
a = - g ( sin α ∓ µ cos α )
FG
a
a = -6.26
m
s2
x= -
v2
= 13.5 m
2a
v
= 2.08 s
-a1
b
hinauf: a1 = -6.26
m
s2
t1 =
herab: a2 = -1.79
m
s2
t2 =
2s
= 3.88 s
a2
t = t1 + t2 = 5.96 s
c
FR = 0 ⇒ a = - g sin α = -4.03
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz, Gleitreibung
Quelle: Physik II/MT 88.5
m
s2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 19
TM19: Hochgeworfener Körper
Aufgabenstellung: Ein Körper wird mit 35 m/s senkrecht hochgeworfen.
a Wie lange dauert es im Vakuum, bis er wieder auf gleicher Höhe ist?
b Wie gross ist seine Beschleunigung kurz nach dem Abwurf und am höchsten Punkt?
c Skizzieren Sie das v-t-Diagramm für die Vakuumbewegung.
d Skizzieren Sie das v-t-Diagramm für die Bewegung mit Luftreibung.
Lösungshinweis: Im Vakuum wirkt währden der ganzen Freiflugphase nur die Gewichtskraft.
Die Kräfte bestimmen die Beschleunigung.
Lösung:
a
a = g ; t = 2t H = 2
vo
= 7.14 s
g
b Während der ganze Freiflugphase ist a = g.
c Das v-t-Diagramm zeigt eine gerade Linie mit Steigung 9.81 m/s2
d Während des Aufstiegs wirkt die Luft nach unten, beim Fall erzeugt sie eine Kraft nach oben.
Anfänglich ist die Beschleunigung deshalb grösser als 9.81 m/s2. Nach dem höchsten Punkt
der Bahn (v = 0) geht der Betrag der Beschleunigung unter den Vakuumwert.
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld, Grundgesetz
Quelle: Physik II/MT 88.6
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 20
TM20: Segelflugzeug
Aufgabenstellung: Ein Segelflugzeug (Masse 280 kg) sinkt in ruhender Luft mit konstanter
Schnelligkeit (Geschwindigkeitbetrag) auf einer Schraubenlinie hinunter. Die schraubenlinienförmige Bahn hat eine vertikale Achse, einen Durchmesser von 400 m und eine Ganghöhe von
30 m. Für eine volle Drehung braucht das Flugzeug 45 Sekunden.
a Berechnen Sie die Beschleunigung des Flugzeuges.
b In welche Richtung zeigt er Beschleunigungsvektor?
c Mit welcher Kraft wirkt die Luft auf das Flugzeug ein?
Lösungshinweis: Die Bewegung kann als Überlagerung von einer Kreisbewegung mit einem
Bewegungszustand angesehen werden.
Lösung:
a
a=
v2
;
r
v=
2π r
T
a=
4π 2 r
m
= 3.9 2
2
T
s
b Der Beschleunigungsvektor zeigt horizontal gegen die Achse der Schraube.
c
FL
FFres
FG
FRe s = FG + FL = ma
FL = FRe2 s + FG2 = m a 2 + g 2
= 2956 N
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Grundgesetz
Quelle: Physik III/MT 88.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 21
TM21:Packetwurf
Aufgabenstellung: Ein Eisenbahnzug überquert auf einer Brücke einen Fluss. Gleichzeitig
fährt ein Schiff unter der Brücke durch.
a Wie schnell und in welche Richtung müsste der Zugführer ein Paket horizontal fortwerfen,
damit es auf dem Schiff landen würde.
b Wie lang wäre das Paket im Vakuum unterwegs (wir machen hier die kaum zu
rechtfertigende Annahme, dass die Luft keinen Einfluss auf die Bewegung hat).
Für die Berechnung benutzen Sie die folgende Werte: Höhe der Brücke 45 m, Geschwindigkeit des Zuges 25 m/s, Geschwindigkeit des Schiffs 8 m/s.
Lösungshinweis: Der Zugführer muss das Paket mit der Geschwindigkeit fortwerfen, mit der
sich das Schiff vom Zug wegbewegt.
Lösung:
a
2
v = vSchiff
+ v⊥2 = 26.25
tgα =
v⊥
= 0.32
vzug
m
s
α = 17.7°
b
Fallzeit: t = 2 gh = 29.71 s
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld, Überlagerung
Quelle: Physik III/MT 88.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 22
TM22: Fadenpendel
Aufgabenstellung: Ein Fadenpendel (Seillänge 5 m, Kugelradius 5 cm,
Masse der Kugel 3.5 kg) schwingt hin und her. Wir betrachten es zu einem
Zeitpunkt, in dem die Schnur um 10° gegenüber der Vertikalen ausgelenkt
ist. Die Kugel bewegt sich von der Gleichsgewichtslage weg und hat eine
Geschwindigkeit von 4 m/s. Die Luftreibung (Dichte der Luft 1.2 kg/m3)
ist zu berücksichtigen.
a Welche Kräfte wirken auf die Kugel und wie gross sind sie?
b Wie gross ist die Beschleunigung der Kugel?
c Wie gross ist der Winkel zwischen Beschleunigungsvektor und Seil?
10°
Seil
4 m/s
Lösungshinweis: Die Seilkraft ist hier eine sogenannte Zwangskraft. Sie
ist gerade so gross, dass der Körper auf der Kreisbahn bleibt.
Kugel
Lösung:
a
Gewichtskraft:
Luftreibungskraft :
Seilkraft:
FG = mg = 34.34 N
1
FL = cW ρ v 2π r 2 = 30 mN
2

v2 
Fs = mg cos α + mar = m  g cos α +
 = 44.9 N
l+r 

b
F
m
at = g sin α + L = 1.712 2
s
m
m
a = an2 + at2 = 3.6 2
s
m
v2
an = = 3.168 2
s
R
c
tg β =
at
⇒ β = 28.4°
an
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik III/MT 88.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 23
TM23: Mathematisches Pendel
Aufgabenstellung: Ein mathematisches Pendel, bestehend aus einem praktisch punktförmigen
Körper (Masse 25 g) und einer drei Meter langen Schnur, wird um 45° ausgelenkt. Dann wird
die Kugel bei gespannter Schnur mit 1.2 m/s in Richtung Gleichgewichtslage fortgeschickt.
Welche Geschwindigkeit hat die Kugel, wenn das Pendel auf der Gegenseite um 30° ausgelenkt ist? Wie gross ist dort die Beschleunigung der Kugel? Reibungen sind zu vernachlässigen.
Lösungshinweis: Energiebilanz über eine Zeitspanne aufstellen. Die Normalbeschleunigung
hängt direkt mit der Geschwindigkeit zusammen, die Tangentialbescheleunigung kann mit
Hilfe der wirkenden Kräfte gefunden werden.
Wkin1 + WG1 = Wkin 2 + WG 2
α1 α2
1 2
1
v1 + gh1 = v22 + gh2
2
2
v2 = v12 + 2 g ( h1 − h2 )
v2 = v12 + 2 gl ( cos α 2 − cos α1 ) = 3.285
Fs
FG
at =
FRe s ,t
= g sin α 2 = 4.9
m
m
v2
an =
= 3.6 2
l
s
m
s2
a = at + an = 6.08
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik VI/MT 88.2
m
s
m
s2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 24
TM24: Energieströme bezüglich Federpendel
Aufgabenstellung: Eine Kugel (Radius 5 cm, Masse 3.5 kg) hängt an einer um 5 cm
gedehnten Feder (Richtergrösse 1850 N/m). Die Kugel bewegt sich im Moment mit 3 m/s nach
unten. Die umgebende Luft hat eine Dichte von 1.05 kg/m3.
a Welche Kräfte wirken auf die Kugel?
b Vergessen Sie die statische Auftriebskraft und zeichnen Sie das Energiestromdiagramm
bezüglich dem System Kugel! Geben Sie die Stärke der einzelnen Energieströme explizit
an!
Lösungshinweis: Die Energieströme entsprechen den Leistungen der Kräfte. Eine positive
Leistung heisst hier, dass das System Energie aufnimmt.
Lösung:
Kräfte
Energieströme
Feder
277.5 W
FF
Luft
44.5 mW
FA + FW
FG
103 W
Gravitationsfeld
FF = 92.5 N
P( FF ) = -277.5 W
FG = 34.34 N
P( FG ) = 103 N
FW =
1
cW Aρ v 2 = 0.0148 N
2
Schlüsselwörter: Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik VI/MT 88.4
P( FW ) = -0.0445 W
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 25
TM25: Actio gleich Reactio
Aufgabenstellung: Zwei Klötze stehen aufeinander gestellt auf einer schiefen Ebene.
a Zeichnen Sie alle Kräfte auf Klotz 2 ein. Geben Sie allen Kräften
einen passenden Namen.
1
b Erklären Sie bei allen eingezeichneten Kräften das Wechselwirkungsprinzip (Actio entgegengesetzt Reactio).
2
Lösungshinweis:
Lösung:
a FU1 , FU2 : Unterlagskräfte
FG: Gewichtskraft
b FU1 : schiefe Ebene auf Klotz / Klotz auf schiefe Ebene
FU2 : Klotz eins auf zwei / Klotz zwei auf eins
FG : Erde auf Klotz / Klotz auf Erde
Schlüsselwörter: Wechselwirkungsprinzip
Quelle: Physik II/MT 89.1
FG
FU2
FU1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 26
TM26: Messfehler
Aufgabenstellung: Ein Zylinder (Durchmesser 8 mm, Länge 25 mm) wird mit einem
Massstab und einer Balkenwaage ausgemessen. Die Längenmessung ist mit einem absoluten
Messfehler (Unsicherheit) von 0.5 mm behaftet. Die Masse kann auf 1.5 % genau bestimmt
werden. Mit welchem absoluten Messfehler darf die Durchmessermessung maximal behaftet
sein, damit der relative Fehler der zu berechnenden Dichte den Wert 7.1 % sicher nicht
übersteigt?
Lösung:
ρ
m
m
m
d
h
=
=
+2
+
ρ
v π 2
m
d
h
d h
4
ρ
d 1 m
h
= −
−
+
= 0.5 ( −0.015 − 0.02 + 0.071) = 0.018
ρ 
d
2 m
h
d = 0.018d = 0.144 mm
ρ=
Schlüsselwörter: Messfehler
Quelle: Physik II/MT 89.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 27
TM27:Einfache Maschine
Aufgabenstellung: Ein Klotz (Masse 5 kg) liegt auf einer schiefen
Ebene (Neigungswinkel 30°). Über ein Seil und eine ideale Umlenkrolle ist der Klotz mit einem zweiten (Masse 4 kg) verbunden (Skizze). Im Seil herrscht überall die gleiche Zugspannung.
a Wie gross ist die Haftreibungskraft auf den schwereren Klotz?
b Wie gross ist die Normalkraft?
15°
30°
Lösungshinweis: Freischneiden und Gleichgewicht formulieren.
Lösung:
FS = FG = 39.24 N
GG am zweiten Klotz:
GG am ersten Klotz:
FN
x : FS cos15° + FHR − FG sin 30° = 0
Fs
y : FS sin15° + FN − FG cos 30° = 0
FN = FG cos 30° − FS sin15° = 32.3 N
FHR = FG sin 30° − FS cos15° = −13.4 N
FHR
FHR wirkt hangabwärts
FG
Schlüsselwörter: Schnittbild, Gleichgewicht
Quelle: Physik II/MT 89.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 28
TM28: Kreisbewegung
Aufgabenstellung: Ein Körper bewegt sich mit konstanter Schnelligkeit (Geschwindigkeitsbetrag) auf einer Kreisbahn. Wir fügen in die Kreisebene ein Kartesisches Koordinatensystem
(x,y) mit Nullpunkt im Kreiszentrum ein. Die Kreisbewegung kann somit durch zwei eindimensionale Bewegungen beschrieben werden. Zur Zeit t = 0 befindet sich er Körper genau
auf der positiven x-Achse und bewegt sich in positive y-Richtung.
Skizzieren Sie das y-t-, das vy-t- und das ay-t-Diagramm für einen Umlauf.
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit ist die erste, die Beschleunigung die zweite Ableitung
der Orts-Zeit-Funktion.
Lösung:
y = y0 sin(ωt )
v y = v y 0 cos(ωt )
vy 0 = ωr
a y = − a y 0 sin(ωt )
ay0 = ωr 2
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Beschleunigung
Quelle: Physik III/MT 89.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 29
TM29: Zwei gleitende Körper
Aufgabenstellung: Zwei Körper liegen aneinander gelegt auf
einer horizontalen Ebene. Von links wirkt eine konstante, F
1
2
horizontale Kraft von 45 N auf den Körper eins (Masse 5 kg)
ein. Die Gleitreibungszahl für die Grenzschicht Klotz-eins-Unterlage beträgt 0.15, für die Grenzschicht Klotz-zwei-Unterlage hat die Gleitreibungszahl den
Wert 0.2. Klotz zwei hat eine Trägheit von 3 kg. Wie gross ist die Kraft, die von Klotz zwei auf
Klotz eins wirkt? Zwischen den Klötzen gibt es keine Haftreibung.
Lösung: Kräfte auf das Gesamtsystem einzeichnen, Beschleunigung bestimmen. Dann ersten
oder zweiten Körper freischneiden und Grundgesetz aufstellen.
Lösung:
I. Gesamtsystam:
F
FN2
FN1
y
x
FG1
FR1
FR2
FG2
II. Körper 2
Schiff
F − FR1 − FR 2 = ( m1 + m2 ) a
y:
FN 1 + FN 2 - FG1 - FG 2 = 0
FR1 = µ1 FN 1 = µ1m1 g
a=
FR 2 = µ2 FN 2 = µ2 m2 g
F − FR1 − FR 2
m
= 3.97 2
m1 + m2
s
FN2
F12
FG2
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik III/MT 89.2
x:
F12 − FR 2 = m2 a
F12 = FR 2 + m2 a = 17.8 N = F21
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 30
TM30: Zwei Klötze auf der schiefen Ebene
Aufgabenstellung: Auf einer schiefen Ebene (Neigung 30°) liegt ein
kleiner Quader auf einem grossen. Zu Beginn des Vorganges liegen sie
mit mit einer Seitenflächen gleich auf. Der obere Klotz (20 cm lang, 30
cm breit, 15 cm hoch) hat eine Dichte von 7.3 kg/dm3, der untere (60 cm
lang, 35 cm breit und 15 cm hoch) hat eine Masse von 30 kg. Der Gleitreibungskoeffizient für die zwischen den beiden Klötzen liegende
Grenzschicht beträgt 0.15. Für die Grenzschicht Klotz Unterlage darf eine Gleitreibungszahl
von 0.25 angenommen werden.
a Wie lange dauert es, bis der obere Klotz mit seiner Vorderkante auf der Vorderkante der
unteren Klotzes liegt?
b Wie weit hat sich dann der untere Klotz bewegt?
Lösungshinweis: Körper freischneiden, Grundgesetze aufstellen, kinematische Beziehungen
anwenden.
Lösung:
Körper 1:
FN1
y : FN 1 − FG1 cos α = 0
FR1
x : FG1 sin α − FR1 = m1 a1
FG1 = m1 g , FR1 = µ1 FN 1
m1 = 65.7 kg
FG1
Körper 2:
FR1
y : FN 2 − FG 2 sin α − FN 1 = 0
FN2
x : FR1 + FG 2 sin α − FR 2 = m2 a2
FR2
FG 2 = m2 g , FR 2 = µ 2 FN 2
FG2
m
s2
 m

m + m2
m
cos α  g = 0.921 2
a2 =  µ1 1 cos α + sin α − µ 2 1
m2
s
 m2

a1 = g ( sin α − µ1 cos α ) = 3.631
Kinematik:
a = 2.71
m
s2
s=
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik III/MT 89.3
2 s
= 0.543 s
a
s2 =
1 2
a2 t = 0.136 m
2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 31
TM31: Atwood spezial II
Aufgabenstellung: Zwei Körper sind über eine festgehaltene Rolle mittels
eines Seils verbunden. Körper eins hat eine Masse von 7 kg, Körper zwei eine
Masse von 4 kg. Zwischen Seil und Rolle besteht weder Haft- noch Gleitreibung. Mit welcher Kraft muss das Lager auf die Rolle einwirken?
Lösungshinweis: Alle drei Körper freischneiden, Grundgesetze aufstellen.
1
2
FL
Lösung:
FS1
FS2
FG3
FS1
FG1
FS2
Rolle:
FL-FS1-FS2-FG3 = 0
Körper 1: FG1-FS 1 = m1a
Körper 2: FS2-FG2 = m2a Fs1 = Fs2
FS = g
2m1 m2
= 49.94 N FL = 2 FS + FG 3 = 129.3 N
m1 + m2
FG2
Schlüsselwörter: Schnittbilder, Grundgesetze
Quelle: Physik III/MT 89.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 32
TM32: Die Wirkung der Kräfte
Aufgabenstellung: Auf einen Körper (Masse 6 kg), der reibungsfrei auf einer horizontaler
Unterlage liegt, wirkt von links die Kraft F1(t) und von rechts die Kraft F2(t) ein. Die Kräfte
wurden in einem nach rechts orientierten Koordinatensystem bestimmt. Zur Zeit t = 0 bewegt
sich der Körper mit 14 m/s nach links. Wie gross ist seine Geschwindigkeit zur Zeit t = 6s?
F1
6N
4N
2N
-6 N
-4 N
-2 N
2s
4s
6s
t
2s
F2
4s
6s
t
Lösungshinweis: Der ausgetauschte Impuls kann als Fläche unter der F-t-Kurve herausgelesen werden. Alternativ kann auch mit Hilfe des Grundgesetzes die Beschleunigung bestimmt
werden. Die Geschwindigkeitsänderung entspricht dann der Fläche unter der a-t-Kuive.
Lösung:
FRe s
m
v : Fläche unter der a - t - Kurve
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
m
v=
+
−
−
+
= 0.25
3 s 4 s 3 s 3 s 3 s
s
m
v2 = v1 + v = −13.75
s
a=
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Impulsbilanz
Quelle: Physik III/MT 89.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 33
TM33: Paket auf Rutschbahn
Aufgabenstellung: In einer Paketsortieranlage gleitet ein Paket (Masse 1.5 kg) mit konstanter
Schnelligkeit (4 m/s) auf einer schraubenförmigen Rutschbahn (Radius 1.5 m, Ganghöhe 2 m)
hinunter.
a Wie gross ist die Beschleunigung des Pakets?
b Wie gross ist die Kraft von der Rutschbahn auf das Paket?
Lösungshinweis: Eine schraubenförmige Bahn, die mit konstanter Schnelligkeit durchfahren
wird, kann in eine Kreisbewegung und einen Bewegungszustand zerlegt werden.
Lösung:
a=
v⊥2
, a gegen Zentrum
r
a
a=
( v cos α )
r
2
= 10.21
m
s2
(α = 11.98° )
b
die resultierende Kraft (Vektorsumme aus Gewichtsund Unterlagskraft) steht normal zur Gewichtskraft
FRe s = ma , FRe s = FG + FU
FU = FRe2 s + FG2 = 21.24 N
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Zentralbeschleunigung
Quelle: Physik IV/MT 89.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 34
TM34: Erde, Mond und Sonne
Aufgabenstellung: Bei Halbmond bilden Erde, Mond und Sonne ein sehr spitzes, gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 384‘000 km und einer Schenkellänge von 150 Millionen
Kilometer. Wie gross ist die Beschleunigung des Mondes?
Sonnenmasse
1.99.1030 kg
Erdmasse
5.98.1024 kg
Mondmasse
7.35.1022 kg
Gravitationskonstante
6.67.10-11 Nm2/kg2
Lösungshinweis: Im leeren Weltraum ist die Beschleunigung eines Körpers gleich der dort
herrschenden Gravitationsfeldstärke.
Lösung:
gs = G
ms
N
= 5.9 ⋅ 10−3
2
kg
s1
gE = G
mE
N
= 2.7 ⋅ 10−3
2
kg
s2
gs und g E stehen praktisch normal zueinander:
g Re s = g s2 + g E2 = 6.5 ⋅ 10−3
aM = g Re s = 6.5 ⋅ 10−3
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld
Quelle: Physik IV/MT 89.3
m
s2
N
kg
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 35
TM35: Looping
Aufgabenstellung: Ein Flugzeug vollführt einen kreisförmigen, vertikalen Looping. Der
Bahndurchmesser beträgt 600 m. Am tiefsten Punkt der Bahn zeigt der Geschwindigkeitsmesser einen konstanten Wert an. Zudem ist der Pilot einer Belastung von 3 g ausgesetzt.
a Erklären Sie den letzten Satz physikalisch.
b Wie gross ist die Beschleunigung des Flugzeuges in diesem Moment?
c Wie schnell fliegt es?
d Wie schnell müsste das Flugzeug fliegen, damit der Pilot auf der gleichen Bahn im Sturzflug,
d.h. in dem Moment, in dem der Pilot waagrecht sitzt, bei konstanter Geschwindigkeitsanzeige einer Belastung von 2 g ausgesetzt ist?
Lösungshinweis: Die Gravitationsfeldstärke in einem neuen Bezugssystem ist gleich der
Vektorsumme aus Gravitationsfeldstärke gemessen im alten System und Stärke des
Trägheitsfeldes. Die Trägheitsfeldstärke ist gleich minus der Beschleunigung des neuen
Systems gemessen im alten.
Lösung:
a Im Bezugssystem Flugzeug ist eine Gravitationsfeldstärke von 3.9.81 N/kg = 29.4 N/kg
nachweisbar.
b g‘ = g + gt
(g und gt sind parallel )
also aFlugzeug = gt = 2g = 19.6 m/s2
c
v = ar = 76.7
m
s
d
g ′ = g + gt
g t = g ′2 − g 2 = g 3
aFlugzeug = gt
v = aFlugzeug r = g 3r = 71.4
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Trägheitsfeld
Quelle: Physik IV/MT 89.4
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 36
TM36: Körper auf Kreisbahn
1.25 m
2m
Aufgabenstellung: Ein Metallkörper (Masse 4kg) ist an zwei Seilen
an einem rotierenden Stab aufgehängt (Skizze).
a Wie manche Umdrehung pro Sekunde muss das System ausführen,
damit die Kraft vom oberen Seil auf den Klotz 60 N beträgt?
b Wie gross ist dann die untere Seilkraft?
4 kg
1.25 m
Lösungshinweis: Bei einer gleichmässigen Kreisbewegung zeigt die
resultierende Kraft gegen das Kreiszentrum. Seilkräfte zeigen immer
in Seilrichtung.
Lösung:
a
vertikal:
FS 1 cos α − mg − FS 2 cos α = 0
horizontal: FRe s = ( FS 1 + FS 2 ) sin α = 42.57 N
a=
FRe s
= ω 2 r = 4π 2 f 2 r
m
f =
FRe s
= 0.6 Hz
4π 2 mr
b
FS 2 = FS 1 −
mg
= 10.95 N
cos α
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Grundgesetz
Quelle: Physik IV/MT 89.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 37
TM37: Schiefer Wurf
Aufgabenstellung: Eine Kugel (Masse 200 g) fliegt in einem evakuierten Raum mit 20 m/s
genau horizontal. Sie befindet sich 15 m über dem Abwurfniveau.
a Mit welcher Geschwindigkeit wurde sie fortgeworfen?
b Wie schnell bewegt sie sich 1.3 s später?
c Wie gross ist dann der Winkel zwischen dem Geschwindigkeits- und Gravitationsfeldstärkevektor?
d Wie gross ist dann die Beschleunigung der Kugel?
Lösungshinweis: Der schiefe Wurf ist das einfachste Beispiel für eine nichttriviale Bewegung
in der Ebene. Die Bewegung wird durch die folgenden Formeln abschliessend beschrieben
(wer die Integralrechnung beherrscht, braucht nur zu wissen, dass die Beschleunigung gleich
der Gravitationsfeldstärke ist):
x = x0 + v0 x t
vx = v0 x
1
y = y0 + v0 y t + at 2
2
v y = v0 y + at
a = ±g
Wird der Nullpunkt des Koordinatensystem in den Abwurfort gesetzt, fallen die Anfangswerte
bei der Orstbeschreibung weg.
Lösung:
a Im Moment ist die Vertikalgeschwindigkeit gleich Null
t=
v0 y
g
; mit y =
1
m
v0 y t folgt v0 y = 2 gy = 17.16
2
s
v = vx2 + v y2 = 26.35
b
v y = − gt ' = −12.75
m
s
v = vx2 + v y2 = 23.7
c
arctgα =
vx
vy
d Alles klar, oder?
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld, schiefer Wurf
Quelle: Physik IV/MT 89.6
= 57.5°
m
s
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 38
TM38: Fallender Mond
Aufgabenstellung: In einem alten Physikskriptum für Ingenieure steht sinngemäss: „ Der
Mond fällt nicht auf die Erde, weil die Zentrifugalkraft wirkt.“
a Was sagen Sie zu dieser Aussage? Wieso fällt der Mond nicht auf die Erde?
b Wann muss man eine Zentrifugalkraft einführen?
c Wie müsste sich der Mond bewegen, damit man vernünftigerweise eine Zentrifugalkraft einführen könnte?
d Kennen Sie Objekte im Weltraum, bei denen die physikalische Beschreibung mit Hilfe der
Zentrifugalkraft sinnvoll ist? Begründung!
Lösungshinweis: Trägheitskräfte werden unterschiedlich begründet. Der Maschineningenieur
führt sie ein, um dynamische Vorgänge mit den Prinzipien der Statik zu bearbeiten (Prinzip
von d‘Alembert). Der Physiker führt Trägheitskräfte im Zusammenhang mit Nichtinertialsystemen ein.
Der Maschineningenieur kann auf das Prinzip von d‘Alembert verzichten, sobald er den
Schwerpunktsatz und die damit verbundene Definition des Drehmomentes sauber anwendet.
Für die Physiker hat Albert Einstein vor etwa hundert Jahren eine viel umfassendere Lösung gefunden: beim Wechsel von einem Bezugssystem zum andern transformiert sich das Gravitationsfeld. Wer weder Physiker noch Ingenieur ist, macht mit den Trägheitskräften oft ein riesen
Durcheinander. Deshalb sollte man von der Zentrifugalkraft die Finger lassen, bis die Mechanik
in den Grundzügen ein erstes Mal verstanden worden ist.
Lösung:
a Der Mond fällt dauernd (FG als die allein wirkende Kraft), aber zum Glück an der Erde vorbei.
b In einem rotierenden Bezugssystem müssen Zentrifugal- und Corioliskraft eingeführt werden. Die Zentrifugalkraft ist der ortsabhängige Teil, die Corioliskraft der geschwindigkeitsabhängige Teil der in rotierenden Systemen nachweisbaren Trägheitswirkung.
c Der Mond müsste auf einer exakten Kreisbahn um die Erde fallen, damit man ein rotierendes
Bezugssystem einführen könnte.
d Für geostationäre Satelliten kann die Erde als Bezugssystem genommen werden.
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld, Trägheitskräfte
Quelle: Physik V/MT 89.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 39
TM39: Arbeit einer Kraft
Aufgabenstellung: Ein Baumstamm wird mittels einer Seilwinde aus einem Tobel
herausgezogen. Das Orts-Zeit-Diagramm eines Punktes auf dem Seil (Durchmesser 1.5 cm) ist
zusammen mit dem Zugspannungs-Zeit-Diagramm skizziert. Berechnen Sie die Energie, die
von der Seilwinde in den zehn Sekunden über das Seil abgegeben wird.
s
τ
20m
15m
10m
10 N/m3
5m
2s
4s 6s 8s 10s
t
2s
4s 6s 8s 10s
t
Lösungshinweis: Die Arbeit einer Kraft ist gleich der Kraftkomponente in Bewegungsrichtung mal die Verschiebung der Kraftangriffsfläche. Ändert sich die Kraft längs des Weges,
muss die Arbeit der Kraft abschnittweise berechnet werden. Der alternative und in der Praxis
einfacher zu realisierende Weg führt über die Leistung der Kraft (dem Impulsstrom
zugeordneten Energiestrom).
Lösung:
IW = vI p = vF
W = Fläche unter IW - t - Kurve
W = 2650.7N ⋅ 2.5
m
m
m
2s + 2208.9N ⋅ 5 ⋅ 2s + 5301.4N ⋅1.25 ⋅ 4s = 61.85 kJ
s
s
s
Schlüsselwörter: Energiestrom, Leistung einer Kraft, ausgetauschte Energie, Arbeit einer
Kraft
Quelle: Physik VI/MT 89.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 40
TM40: Einfache Maschine
Aufgabenstellung: Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel
30°) liegt ein Körper (Masse 30 kg, Gleitreibungskoeffizient
0.2). An diesem Klotz ist ein Seil befestigt, das parallel zur
Ebene hinaufläuft, über eine reibungsfreie Führung umgelenkt
wird und an einem zweiten Körper (Masse 30 kg) befestigt ist.
Mit welcher Geschwindigkeit trifft der zweite Körper am
Boden auf, wenn er aus der Ruhe heraus einen Meter „gefallen“
ist.
g
0k
3
.2
l0
ah
ibz
Re
30°
30 kg
Lösungshinweis: Maschinenaufgaben wie die vorliegende löst man am schnellsten mit Hilfe
der Energie: die Summe über alle Lieferanten muss gleich gross sein wie die Summe über alle
Empfänger.
Lösung:
WG1 = WG 2 + Wkin1 + Wkin 2 + W ( FR )
v2
v2
mgh1 = mgh2 + m + m + FR s
2
2
2
gh1 = gh2 + v + µ g cos α h1
v = gh1 (1 − sin α − µ cos α ) = 1.79
h2 = h1 sin α , s = h1 , FR = µ FN = µ mg cos α
m
s
Schlüsselwörter: Energieerhaltung, Arbeit einer Kraft
Quelle: Physik VI/MT 89.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 41
TM41: Fallende Korkkugel
Aufgabenstellung: Eine Korkkugel (Masse 10 kg, Durchmesser 40 cm) fällt im Moment mit
einer Geschwindigkeit von 50 m/s nach unten.
a Wie stark ist die Kraft, die von der Luft auf die Kugel einwirkt, wenn die Beschleunigung
(Geschwindigkeitsänderungsrate) im Moment 5.5 m/s2 beträgt.
b Wie gross ist die Leistung dieser Kraft?
c Geben Sie die Aenderungsraten für die Gravitations- und die kinetische Energie an.
Lösungshinweis: Zuerst alle Kräfte identifizieren, dann ihre Leistungen berechnen.
Lösung:
a
Impulsbilanz: FG − FW = mv
FW = FG − mv = m ( g − v ) = 43.1 N
b
P ( FW ) = − FW v = −2155 W < 0
c
WG = mgh = − P ( FG ) = −4905 W < 0
Wkin = P ( FG ) + P ( FW ) = −WG + P ( FW ) = mvv = 2750 W
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistung einer Kraft
Quelle: Physik GS/Test 1.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 42
TM42: Frontalkollision
Aufgabenstellung: Zwei Autos stossen frontal aufeinander. Das erste Fahrzeug (Masse 800 kg)
bewege sich mit 36 km/h und das zweite (Masse 1200 kg) mit -60 km/h.
a Wie schnell bewegen sich die ineinander verkeilten Fahrzeuge nach dem Stoss, wenn kein
Impuls mit der Erde ausgetauscht wird?
b Wieviel Energie wird bei einem solchen Stoss freigesetzt?
c Wie schnell würden sich die Fahrzeuge bewegen, wenn 10% der vom Impuls freigesetzten
Energie elastisch an den Impulsstrom zurückgegeben würde?
Lösungshinweis: Die Antworten auf die ersten zwei Fragen können direkt dem Flüssigkeitsbild
entnommen werden. Die letzte Anwort kann entweder direkt gerechnet (siehe Lösung) oder indirekt mit Hilfe einer zusätzlichen Idee gefunden werden. Die zusätzliche Idee, die man auch
im Flüssigkeitsbild verifizieren kann, besagt, dass das Verhältnis von freigesetzter zu wieder
aufgenommen Energie gleich dem Quadrat des Verhältnisses der entsprechenden Relativgeschwindigkeiten ist:
W frei
Wretour
=
2
vrel
,vorher
v rel2 ,nacher
Lösung:
a
vin = −6
m
s
b
W = p v = 12800Ns ⋅ 13
1m
= 1.7067 ⋅ 105 J
3 s
c
Wretour = 1.707 ⋅ 104 J
Wretour =
v1rel =
m1 2
m
m 
m
v1rel + 2 v22rel = 1 1 + 1
2
2
2  m2
2Wr

m 
m1 1 + 1 
 m2 
= 5.06
 2
 v1rel

v2 rel =
m1v1rel
m2
m
m
m
v1 = −11.06
v2 = −2.63
s
s
s
Schlüsselwörter: Stossproblem, Impulsbilanz, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik GS/Test 1.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 43
TM43: Hin- und Herbewegung
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 50 kg) werde gemäss
v
dem nebenstehenden Diagramm hin und her bewegt. Wie
sieht das Impulsstrom-Zeit- und das Leistungs-Zeit-Dia- 2 m/s
gramm der dazu notwendigen Einwirkung aus, wenn die Unterlage dauernd mit 100 N der Bewegung entgegenwirkt?
Zeichnen Sie quantitativ (mit Zahlenwerten) richtige Diagramme.
5 10
15
20 25
t
Lösungshinweis: Impulsbilanz aufstellen und nach gesuchtem Impulsstrom (Kraft) auflösen.
Leistung dieser Kraft rechnen.
Lösung:
vorwärts: FR = −100 N
rückwärts: FR = +100 N
FRes/F
120N
80 N
40 N
0N
-40 N
-80 N
-120N
P(F)
240 W
F
120 W
t
5
10 15 20 25
-120 W
-240 W
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Leistung einer Kraft
Quelle: Physik GS/Test 1.4
t
0W
5
10 15 20 25
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 44
TM44: Bremskraft einer Fallbewegung
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse 17 kg) fällt in einem evakuierten Schacht während fünf
Sekunden frei hinunter. Mit welcher mittleren Kraft muss auf ihn eingewirkt werden, damit er
nach zwei Sekunden still steht? (Gravitationsfeldstärke: 9.81 N/kg)
Lösungshinweis: Der gravitativ zugeflossene und immer noch zufliessende Impuls muss in
diesen zwei Sekunden abgeführt werden.
Lösung:
1. Phase: Zufluss mg t1 = 833.85 N
2. Phase: Zufluss mg t2 = 333.54 N
⇒F=
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik GS/Test 1.5
p
7
= 583.7 N = mg
t2
2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 45
TM45: Proton im Plattenkondensator
Aufgabenstellung: Zwei ausgedehnte, ebene Metallplatten sind im Abstand von 2 cm parallel
ausgerichtet.
a Das elektrische Feld habe zwischen den Platten eine Stärke von 5000 N/C. Welche Spannung
herrscht zwischen den Platten?
b Ein Proton befindet sich zwei Millimeter von der positiv geladenen Platte entfernt. Mit welcher Geschwindigkeit trifft es auf die negativ geladene Metalloberfläche?
r2
Lösungshinweis: Die Spannung ist wie folgt definiert U = Eds . Die Endgeschwindigkeit
∫r
kann mit Hilfe der Energie gerechnet werden.
1
Lösung:
a
U = Ed = 100 V
b
FE = eE = 8 ⋅ 10−16 N
W ( FE ) = Wkin
FE s =
1 2
mv ⇒ v =
2
2W ( FE )
m
=
Schlüsselwörter: elektrisches Feld, Energieerhaltung
Quelle: Physik GS/Test 2.1
2eEs
m
= 1.313 ⋅ 105
s
m
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 46
TM46: Wasserstoffatom
Aufgabenstellung: Im punktmechanischen Modell des Wasserstoffatoms kreist ein Elektron
(Masse 9.11.10-31 kg, Ladung -1.6.10-19 C) um ein Proton (Masse 1.67.10-27 kg, Ladung 1.6.1019
C). Für den Grundzustand berechnet man mit Hilfe der Drehimpulsquantisierung einen
Radius von 5.3.10-11 m.
a Wie gross ist die Beschleunigung des Elektrons?
b Wieviel Energie muss man dem Elektron zuführen, damit es das System verlassen kann
(Ionisierungsenergie)?
c Wie stark müsste eine Magnetfeld sein, damit das Elektron in desem Feld die gleiche Bahn
in gleicher Zeit durchlaufen würde?
Lösungshinweis: Bei einer Kreisbewegung eines Körpers im 1/r-Potentialfeld ist die
kinetische Energie halb so gross wie der Betrag der potentiellen Energie. Geladene Teilchen
bewegen sich im homogenen Magnetfeld auch auf Kreisbahnen, falls die Geschwindigkeit
normal zum Feldstärkevektor steht.
Lösung:
a
FE
e2 1
m
a=
=k 2
= 8.99 ⋅ 104 2
me
s
r0 me
b
W = ∆WE − Wkin =
∆WE = k
e2
r0
1
e2
∆WE = k
= 2.17 ⋅ 10−18 J
2
2r0
Wkin =
1
me v 2
2
v 2 = ar0 = k
e2
r0 me
Wkin =
c
FB = −e ( v × B )
FB = me a
evB = me
B=
B=
me v
er
a=
v2
r0
v2
r0
v=
ke 2
r0 me
ke 2
= 2.345 ⋅ 105 T
3
r0
Schlüsselwörter: Kreisbahn, Energiebilanz, elektromagnetisches Feld
Quelle: Physik XIII/MT 89.2
1
∆WE
2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 47
TM47: Energietransport im Drahtseil
Aufgabenstellung: Bei einem Drahtseil (wirksamer Querschnitt 14 mm2) wurden während zehn Sekunden die Zugspannung und die Geschwindigkeit gemessen.
a Bestimmen Sie aus den nebenstehend skizzierten Diagrammen die Stromstärke der durch das Seil transportierten Energie zum Zeitpunkt t = 5 s.
b Wieviel Energie ist in den ersten 6 Sekunden durch das
Seil geflossen?
c Wieviel Energie haben die beiden durch das Drahtseil
verbundenen Systeme in den fraglichen zehn Sekunden
ausgetauscht?
Zugspannung
N/mm2
50
2
1
Lösungshinweis: Zugeordneten Energiestrom berechnen -0.5
und über die Zeit integrieren.
2
a
m
⇒ IW = vI p = 350 W
s
b
W=
6 s ⋅ 700W
= 2.1 kJ
2
c
W = 2.1 kJ −
4 s ⋅ 350W
= 1.4 kJ
2
Schlüsselwörter: Energiestrom, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik I/GS M1.1
6
8 10
Geschwindigkeit
m/s
Lösung:
I p = 700 N, v = 0.5
4
4
6
8
10
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 48
TM48: Variable Kräfte
Aufgabenstellung: Auf einen Körper (Masse 10 kg), der sich anfänglich mit 11.25 m/s nach
rechts bewegt, wirken eine nach links gerichtete Kraft, die in zehn Sekunden von Null auf 50 N
anwächst und eine nach rechts gerichtete, konstante Kraft von 20 N ein. Wie gross ist die momentane Geschwindigkeit des Körper nach diesen zehn Sekunden, wenn die Gleitreibungskraft
mit 10 N der Bewegung entgegenwirkt?
Lösungshinweis: Impulsbilanz aufstellen, Vorzeichen der Gleitreibung beachten (Fallunterscheidung).
Lösung:
20 N − 10 N − 5
bis Stillstand:
10Nt0 − 2.5
N
t=p
s
N 2
t0 = 112.5 Ns
s
t0 = 9 s
N
t=p
s
pe = 30N ⋅1s − 47.5Ns = −17.5 Ns
von 9s - 10s:
ve =
20 N + 10 N − 5
pe
m
= −1.75
s
m
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Gleitreibung, Impulsbilanz
Quelle: Physik I/GS M1.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 49
TM49: Schuss auf Zweimassenschwingen
Aufgabenstellung: Zwei ruhende Luftkissenfahrzeuge
sind über eine ideale Feder miteinander verbunden. Nun 5 g
195 g
400 g
trifft eine von links kommende Kugel (Masse 5 g) mit 400
m/s auf das leichtere Gefährt auf und bleibt stecken.
a Wie schnell bewegt sich der getroffene Körper unmittelbar nach dem Aufprall der Kugel?
b Wie schnell bewegen sich die Fahrzeuge in dem Moment, in dem sie gleich schnell sind?
c Wieviel Energie ist dann elastisch in der Feder gespeichert?
d Welche Maximalgeschwindigkeit kann das schwerere Fahrzeug erreichen?
Lösungshinweis: Der ganze Prozess lässt sich gut ins Flüssigkeitsbild übertragen.
Lösung:
a
v1 =
m
p
= 10
s
m1
m1 : inklusiv Kugel
b
v=
p
1 m
=3
m1 + m2
3 s
c
WF =
1
1
2
m1v12 − ( m1 + m2 ) v22 = 6 J
2
2
3
d
vmax = 2v = 6
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Stossproblem
Quelle: Physik I/GS M1.3
2 m
3 s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 50
TM50: Rennbob
Aufgabenstellung: Ein Schlitten mit drei Mann Besatzung (Masse 250 kg) gleitet mit einer
konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h eine Rinne (Neigung 50%) hinunter.
a Mit welcher Rate versorgt das Gravitationsfeld das Fahrzeug mit Energie?
b Wieviel Energie wird auf 100 m Fahrstrecke dissipiert?
c Der Schlitten werde in fünf Sekunden auf die halbe Geschwindigkeit abgebremst. Welche
Leistung setzt das System Schlitten-Gravitationsfeld eine Sekunde nach Bremsbeginn frei?
Lösungshinweis: Der Energieaustausch zwischen Gravitationsfeld und Körper kann über die
Arbeit oder über die Leistung der Gewichtskraft berechnet werden.
Lösung:
a
P ( FG ) = FG v cos ( 90° − α ) = mgv sin α = 21.94 kW
b
Wdiss = W ( FG ) = mgs sin α = 109.68 kJ
c
IW = Wkin + WG = Wkin − P ( FG )
IW = mvv − mgv sin α = mv ( v − g sin α ) = −28.74 kW
Schlüsselwörter: Arbeit einer Kraft, Leistung einer Kraft, Energiebilanz
Quelle: Physik I/GS M1.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 51
TM51: Federkanone
Aufgabenstellung: Eine Metallkugel (Masse 500 g) wird gegen eine vertikal stehende Stahlfeder (Federkonstante 200 N/m) gedrückt, bis diese um 10 cm verkürzt
ist.
a Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht die Kugel, nachdem man sie losgelassen hat?
b Wie hoch steigt sie insgesamt auf?
Lösungshinweis: Beide Fragen lassen sich mit einer Energiebilanz über eine Zeitspanne lösen.
Beachten Sie, dass die Maximalgeschwindigkeit in der Gleichgewichtslage und nicht beim
Ablösen der Kugel von der Feder erreicht wird.
Lösung:
a
FG
= 2.45 m
D
1 2 1 2
1
Ds0 = Dsm + mg ( s0 − sm ) + m1v 2
2
2
2
Federweg bis Gleichgewicht:
Energieerhaltung:
v = 1.509
m
s
b
1 2
Ds = mgh
2
Ds 2
h=
= 20.4 cm
2mg
Schlüsselwörter: Energieerhaltung, Energiebilanz
Quelle: Physik I/GS M1.5
sm =
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 52
TM52: Klotz auf Ölschicht
Aufgabenstellung: Die Ölschicht zwischen einem Klotz und seiner Unterlage verhalte sich gemäss dem folgenden Gesetz
Ip = - Gpv mit Gp = 5 Ns/m
a Wie gross muss die Kraft auf den Körper (Masse 8 kg) sein,
wenn er wie nebenstehend skizziert bewegt wird? Skizzieren
Sie ein quantitativ richtiges Diagramm!
b Wie gross sind die Leistungen dieser Kraft zu den Zeitpunkten
t = 1s und t = 7s?
c Mit welcher Rate wird zur Zeit t = 1s in der Ölschicht Energie
dissipiert?
v
2 m/s
2s
t
Lösungshinweis: Impulsänderungsrate und Verlauf der Reibkraft bestimmen. Beides in die Impulsbilanz einsetzen.
Lösung:
a
p ∼ v ⇒ p = mv = ±8 N
F=dp/dt-Ip
18 N
16 N
8N
0N
-8 N
8N
2N
t
2s
-16 N
-2 N
-18 N
b
P ( F ) = Fv cos
m
= 13 W
s
 m
P ( t 2 ) = 3N  −1  = −3 W
 s
P ( t1 ) = 134N ⋅ 1
c
P = vI p = G p v 2 = 5 W
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Leistung einer Kraft, Prozessleistung
Quelle: Physik I/GS E1.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 53
TM53: Güterzug
Aufgabenstellung: Ein Eisenbahnwagen (Masse 40 t), der sich mit 27 km/h bewegt, kommt auf
einer horizontalen Strecke nach 50 Sekunden zum Stillstand.
a Wie stark muss eine Rangierlokomotive (Masse 60 t) ziehen, wenn sie vier solche Wagen in
20 Sekunden von 18 km/h auf 36 km/h beschleunigen will?
b Wieviel Energie muss sie dazu über die Kupplung abgeben?
c Wieviel Impuls hat sie im Verlaufe dieses Prozesses der Erde zu entziehen?
d Wieviele Prozent des Impulses fliessen während des Beschleunigungsvorganges an die Erde
zurück?
Lösungshinweis: Reibungskräfte aus Bremsverhalten bestimmen, Grundgesetz (Impulsbilanz)
für die vier Wagen formulieren.
Lösung:
a
FR =
FZug
p
= 6000 N
t
= 4 ( pW + FR ) = 64 kN
pW = mW v = 40t ⋅ 0.25
m
= 10 kN
s2
b
c
I p = FZug + pLok = 79 kN
paus _ Erde = 1.58 MNs
d
pab = 4 FR t = 480 kNs ⇒ 30.4%
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik I/GS E1.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 54
TM54: Fussball
Aufgabenstellung: Ein Fussball (Masse 425 g), der mit 40 m/s senkrecht nach oben fortgeschossen worden ist, erreicht eine Höhe von 35.18 m. Zirka 5.5 Sekunden nach dem Abwurf
durchfällt er mit einer Geschwindigkeit von 19 m/s den Abwurfort.
a Wieviel Energie hat er während der Steigphase an die Luft abgegeben?
b Wieviel Energie hat er insgesamt an die Luft abgegeben?
c Nach einer Sekunde Flugzeit bewegt er sich mit 15.37 m/s nach oben. Eine Zehntelssekunde
später ist die Geschwindigkeit auf 13.93 m/s gesunken. Mit welcher Kraft wirkt die Luft in
dieser Zeit auf den Ball ein?
Lösungshinweis: Die ersten beiden Fragen lassen mit der Energiebilanz über eine Zeitspanne
beantworten. Bei der letzten Frage geht man von der Impulsbilanz (Grundgesetz) aus.
Lösung:
a
Wkin =∆WG + Wdiss
1 2
mv = mgh + Wdiss
2
 v2

Wdiss = m  − gh  = 193.3 J
 2

b
Wkin vor = Wkin nach + Wdiss
1 2
1 2
+ Wdiss
mvvor = mvnach
2
2
m 2
2
Wdiss = ( vvor
− vnach
) = 263.3 J
2
c
p = mv = −6.12 N
− FG − FL = p
FL = − p − FG = 1.95 N
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsbilanz
Quelle: Physik I/GS E1.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 55
TM55: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 500 g) prallt mit 40 cm/s gegen ein gleich
grosses, ruhendes und bewegt sich dann mit 10 cm/s in die gleiche Richtung weiter.
a Wie schnell fährt das zweite nach dem Stoss?
b Wieviel Energie ist im Stossprozess dissipiert worden?
c Das erste Fahrzeug pralle wieder mit 40 cm/s gegen das zweite. Dieses sei in der Zwischenzeit jedoch mit einer Zusatzkörper von einem Kilogramm beschwert worden. Wie schnell bewegt sich nun das erste nach dem Stoss
Lösungshinweis: Das Flüssigkeitsbild liefert hier alle notwendigen Informationen.
Lösung:
a
v2 = 0.3
m
s
b
m
= 0.02 J
s
m
= 0.05Ns ⋅ 0.1 = 0.05 J
s
= 15 mJ
W frei = 0.1Ns ⋅ 0.2
Wauf
Wdiss
c Aus b) folgt, dass bei Stössen 75% der vom Impuls freigesetzten Energie dissipiert wird
m
= 30 mJ
s
1
1
1
m2 
Wauf = 7.5mJ = m1v12 rel + m2 v22 rel =  m1 + 1  v12 rel
2
2
2
m2 
m
v1rel = 0.15
s
cm
v1 = −5
s
W frei = 0.15Ns ⋅ 0.2
Schlüsselwörter: Stossproblem, Impulsbilanz
Quelle: Physik I/GS E1.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 56
TM56: Drei Luftkissenfahrzeuge
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 500 g)
prallt mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekun500 g
400 g 200 g
de auf zwei hintereinander stehende, ruhende. Nach dem Stoss
fährt das erste mit 0.2 m/s weiter und das letzte (Masse 200 g)
gleitet mit 1 m/s davon.
a Wie schnell bewegt sich das mittlere (Masse 400 g) Fahrzeug nach dem Stoss?
b Der Stoss dauert 0.2 Sekunden. Wie gross ist die mittlere Kraft vom zweiten auf das dritte
Fahrzeug?
Lösungshinweis: Die Antworten sind dem Flüssigkeitsbild zu entnehmen.
Lösung:
vorher
nachher
1 m/s
0.4 Ns
0.2Ns
0.2 m/s
0.5 kg
0.4 kg
0.5 kg
0.2 kg
a
v2 = 0.5
m
s
b
paus = 0.2 Ns → F =
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Impulsstromstärke
Quelle: Physik GS/Test 3.3
paus
=1 N
t
0.4 kg
0.2 Ns
1 m/s
0.2 kg
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 57
TM57: Impulsströme in der Statik
a Zeichnen Sie in der nebenstehenden Skizze den z-Impulsstrom ein.
b Schneiden Sie die beiden Klötze und das Brett frei (fertigen Sie also
drei Skizzen an und zeichnen Sie mit drei verschiedenen Farben die
Kräfte ein). Geben Sie allen Kräften einen passenden Namen.
c Erklären Sie an diesem Beispiel den Begriff Gleichgewicht?
d Benennen Sie an diesem Beispiel mindestens vier Wechselwirkungspaare (Actio gleich Reactio).
5 kg
5 kg
8 kg
z
Lösung:
a
b
FN2
FN1
FN3
FG1
FG2
FN1
F
FG3 N2
FN4
c
GG: Körper 1: FN 1 + FG1 = 0
Körper 2 : FN 2 + FG 2 = 0
Brett:
∑F
Ni
+ FG 3 = 0
i
d Im free-body-diagramm b) sind die Wechselwirkungspaare gleich benannt. Die Reaktionspartner der Gewichtskräfte wirken auf die Erde als Ganzes.
Schlüsselwörter: Schnittbild, Impulsströme
Quelle: Physik GS/Test 3.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 58
TM58: Gedämpfter Zweimasenschwingen
Aufgabenstellung: Zwei reibungsfrei gelagerte Quader (Massen 5 kg und 3 kg) sind über eine Feder miteinander verbunden.
5 kg
3 kg
Der kleinere wird zusätzlich mit Hilfe einer Dämpfvorrichtung
festgehalten. Untenstehend finden Sie die GeschwindigkeitsZeit-Kurven der beiden Körper (der 5 kg-Körper startet mit 1 m/s).
a Wie gross sind die Beschleunigungen der beiden Quader zum Zeitpunkt 0.75 s?
b Bestimmen Sie zu diesem Zeitpunkt die Feder- und die Dämpferkraft.
c Wieviel Impuls ist in den ersten 0.75 Sekunden an die Erde abgeflossen?
1:v1
2:v2
1:
2:
1
1:
2:
1
1:
2:
0
0.00
0.38
0.75
Tim e
Page 1
1.13
20:48
1.50
Mit, 9. Ok
Lösung:
a
v1 = −1.07
m
s2
v2 = 0.535
m
s2
b
p1 = −5.34 N → FF = ±5.34 N
p2 = 1.605 N → FD = − FF + p2 = −3.725 N
c
t = 0 : ptot = p1 = 5 Ns
t = 0.75 s : ptot = p1 + p2 = 5kg ⋅ 0.298
m
m
+ 3kg ⋅ 0.775 = 1.49 Ns + 2.325 Ns = 3.815 Ns
s
s
p = −1.185 Ns
Schlüsselwörter: Beschleunigung, Impulsbilanz, Impulsstromstärke
Quelle: Physik GS/Test 3.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 59
TM59: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 500 g) prallt mit 60 cm/s gegen ein doppelt
so schweres, ruhendes und bleibt dann stehen.
a Wie schnell fährt das zweite nach dem Stoss?
b Das erste Fahrzeug stosse nun mit 90 cm/s gegen das zweite, das anfänglich wieder in Ruhe
ist. Dieses sei in der Zwischenzeit jedoch mit einer Zusatzkörper von einem Kilogramm beschwert worden. Wie schnell bewegen sich die Objekte nach dem Stoss?
Lösungshinweis: Arbeiten Sie mit dem Flüssigkeitsbild. Bei einem teilelalstischen Stoss darf
angenommen werden, dass das Verhältnis der vom Impuls freigesetzten zur wieder aufgenommen Energie konstant bleibt. Dieses Verhältnis ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses der Relativgeschwindigkeiten (relativ zum Gesamtschwerpunkt gemessene Geschwindigkeit).
Lösung:
a
0.6 m/s
0.2 m/s
0.3 m/s
1 kg
0.5 kg
v2 =
0.3Ns
m
= 0.3
1kg
s
b
0.3 Ns
m
= 0.2
1.5 kg
s
freigesetzte Energie=Impuls mal mittlere "Fallhöhe"
m
W frei = 0.2Ns ⋅ 0.3 = 60 mJ
s
m
Wauf = 0.1Ns ⋅ 0.15 = 15 mJ
s
vinelastisch =
2
15 mJ 1  v'rel 
Stosszahl:
= =

60 mJ 4  v rel 
0.45 Ns
m
inelastisch: v =
= 0.18
s
2.5 kg
m
m
v1rel = 0.72
v2 rel = 0.18
s
s
1
m
'
→ v1' = −0.18
vrel
v1rel = 0.36
1 =
2
s
1
m
'
vrel
v2 rel = 0.27
→ v2' = 0.27
2 =
2
s
0.9 m/s
0.18 m/s
0.5 kg
m
s
m
s
Schlüsselwörter: Stossproblem, Impulsbilanz, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik GS/Test 4.1
2 kg
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 60
TM60: Gedämpfter Zweimassenschwingen
Aufgabenstellung: Die Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme
der beiden Körper in der nebenstehend skizzierten Anordnung
5 kg
3 kg
finden Sie im untenstehenden Diagramm.
a Wie gross sind die Kräfte, die zum Zeitpunkt t = 1.2 s auf
die beiden Körper einwirken?
b Mit welcher Rate ändert die Feder zum gleichen Zeitpunkt ihre innere Energie?
c Welche Leistung wird dann im Dämpfer dissipiert?
1:v1
2:v2
1:
2:
1
1:
2:
0
1:
2:
-1
0.00
0.40
0.80
Tim e
Page 1
1.20
11:26
1.60
Don, 10. Okt
Lösung:
a
m
m
v1 = 0.68 2
s
s
m
m
v2 = 0.54
v2 = −2.03 2
s
s
I p F = −3.41 N Zugkraft
v1 = −0.32
I pD = 2.67 N Druckkraft
b
P = vI pF = 0.86
m
⋅ 3.41N = 2.9 W
s
c
P = v2 I pD = 1.44W
Schlüsselwörter: Beschleunigung, Impulsbilanz, Impulsstromstärke, Prozessleistung
Quelle: Physik GS/Test 4.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 61
TM61: Klotz mit zwei Seilen
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 10 kg) ändert in zwei Sekunden
seine Geschwindigkeit gleichmässig von 5 m/s auf -5 m/s. Während des
ganzen Beschleunigungsvorganges wirkt über ein Seil eine nach rechts gerichtete Kraft ein, die linear von 50 N auf Null abnimmt. Die Unterlage wirkt mit einer Gleitreibungskraft von 15 N ein.
a Zeichnen Sie qualitativ richtig das Kraft-Zeit-Diagramm für das zweite Seil ein.
b Wie gross sind die Leistungen der drei horizontal gerichteten Kräfte eine halbe Sekunden
nach Beginn des Vorganges?
c Wieviel Energie wird netto über das erste Seil zugeführt?
10 kg
Lösungshinweis: Impulsbilanz (Grundgesetz) aufstellen, nach unbekannter Seilkraft auflösen.
Zur Berechnung der zugeführten Energie muss über die Leistung der Seilkraft integriert werden.
Lösung:
a
F1 + F2 + FR = p ⇒ F2 = p − F1 − FR p = −50 N
FR ∓ 15 N
b
F1 = 37.5 N
FR = −15 N
P ( F1 ) = 93.8 W
P ( FR ) = −37.5 W
F2 = −72.5 N P ( F2 ) = −181.3 W
c
F
v
P(F)
50 N
200W
5 m/s
1s
t=0s
2s
t
0.25 s
0.5 s
1s
0.75 s 1 s
P ( F ) = 250 W 164 W 94 W 39 W
W = 83
0W
2s
1.25 s
t
1s
1.5 s
1.75 s
2s
− 23.4 W − 31.3 W − 23.4 W 0 W
1
J
3
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Leistung einer Kraft, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik I/GS EM2.1
t
2s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 62
TM62: Gleitende Kette
Aufgabenstellung: Vier Körper, die mit Schnüren zu einer Kette zusammengefügt sind, werden über eine rauhe,
horizontale Oberfläche gezogen. Die Massen und die Glei5 kg
treibungskoeffizienten sind der Zeichnung zu entnehmen.
Bestimmen Sie die Impulsstromstärken in den vier Seilabschnitten,
0.5
a falls die Geschwindigkeit konstant ist.
b falls die Geschwindigkeit in einer Sekunde um 0.5 m/s abnimmt.
x
2 kg
0.2
Lösungshinweis: Die Lösung kann dem Flüssigkeitsbild entnommen werden.
Lösung:
Abfluss:
5 kg
24.53 N
2 kg
3.92 N
4 kg
15.7 N
2 kg
5.89 N
a
Durchfluss:
24.53 N
28.45 N
44.15 N
50.05 N
b
Änderungsrate: − 2.5 N
Durchfluss:
−1 N
22.03 N
−2 N
24.95 N
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Impulsstromstärke
Quelle: Physik I/GS EM2.3
−1 N
38.65 N
43.54 N
4 kg
0.4
2 kg
0.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 63
TM63: einfache Maschine
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten
Anordnung sei die Feder (Richtgrösse 200 N/m) zu Beginn des Vorganges um 10 cm verlängert.
a Wie schnell bewegt sich der mittlere Klotz in dem
Moment, in dem die Feder entspannt ist?
b Wie gross ist dann seine Beschleunigung?
Die beiden Verbindungsseile werden reibungsfrei umgelenkt.
2 kg
2 kg
reibungsfrei
5 kg
Gleitreibungszahl 0.2
Lösungshinweis: Formulieren Sie die Energiebilanz über die Zeitspanne sowie die Leistungsbilanz zum fraglichen Zeitpunkt.
Lösung:
Energiespeicher
und -verbraucher:
1 kg
Wkin1
2 kg
Wkin2
W(FR)
Feder
5 kg
Wkin3
∆WG
∆UF
a
U F + WG = ∑ Wkini + W ( FR )
i
1 J + 4.9 J =
v = 1.174
mtot 2
v + 0.392 J
2
m
s
b
m3 gh = mtot vv + F
v=
m3 g − FR
m
= 5.64 2
mtot
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik I/GS EM2.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 64
TM64: Ballistisches Pendel
Aufgabenstellung: Eine Bleikugel bohrt sich mit 250 m/s horizontal in einen Holzklotz (Masse 500 g) hinein, der an zwei vier Meter langen Schnüren aufgehängt ist. Das Pendel wird durch diesen Aufprall um 10° ausgelenkt. Bestimmen Sie die Masse der Bleikugel.
Lösungshinweis: Energiebilanz auf für die Pendelbewegung und Impulsbilanz für den Einschlag formulieren.
Lösung:
WG = Wkin
mg h =
1 2
mv
2
v = 2 g h = 1.092
h = l (1 − cos α ) = 6.08 ⋅10−2 m
m
s
pKugel = pGesamtsystem
mK vK = v ( mH + mK )
mK = mH
v
= 2.194 kg
vK − v
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsbilanz
Quelle: Physik I/GS EM2.5
α
l
m
∆h
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 65
TM65: Eisklotz auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Ein Eisklotz (Masse 2 kg) rutscht reibungsfrei eine
schiefe Metallebene (Neigungswinkel 30°) hinunter und prallt dann gegen einen grösseren Klotz (Masse 3 kg).
a Nach dem Stoss bleiben beide Körper zusammen und gleiten mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s davon. Wie weit ist der kleinere
Klotz auf der schiefen Ebene hinuntergerutscht?
b Wie schnell würde sich der zweite Klotz bewegen, wenn der erste
unter sonst gleichen Umständen nach dem Aufprall stehenbleibt?
2k
g
3 kg
Lösungshinweis: Der Impuls des Gesamtsystems stammt vom kleinen Klotz. Zur Analyse der
Bewegung auf der schiefen Ebene kann die Energieerhaltung beigezogen werden.
Lösung:
a
p = ( m1 + m2 ) v = 25 Ns
v1 =
p
m
= 12.5
m1
s
Energierhaltung: m1 gh =
1
m1v12
2
v12
h
h=
=8 m s =
= 15.93 cm
2g
sin 30°
b
v2 =
p
1 m
=8
m2
3 s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik GS/Test 6.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 66
TM66: Federkette auf Förderband
Aufgabenstellung: Auf einem Förderband, das 45° geneigt ist,
sind zwei Klötze (Masse je 2 kg) hintereinander an je einer
Feder (Richtgrösse 600 N/m) befestigt. Das Band bewege sich
an der Klotzunterseite hangabwärts. Die obere Feder wird um 7
cm, die untere um 4 cm gedehnt, sobald die Federkette bei laufendem Band eingeschwungen ist.
Bestimmen Sie die beiden Gleitreibungszahlen.
0
60
/m
N
00
6
m
N/
g
2k
g
2k
Lösungshinweis: Körper freischneiden, Gleichgewicht für beide Köper formulieren
Lösung:
2
für beide Systeme
2
2
x :1. System: FF 1 − FF 2 − FG1
− FR1 = 0
2
FR1 = 4.12 N
y : FN = FG
FF1
FN1
FN2
FF2
FF2
FR1
FG1
FR2
FG2
µ=
FR1
= 0.3
FN
2. System: FF 2 − FR 2 − FG 2
FR 2 = 10.13 N
µ = 0.73
Schlüsselwörter: Schnittbild, Gleichgewicht
Quelle: Physik GS/Test 6.2
2
=0
2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 67
TM67: Zwei Luftkissenfahrzeuge
Aufgabenstellung: Zwei Luftkissenfahrzeuge (Masse je 500
F(t)
g) sind über eine Reibvorrichtung, die einen Impulsstrom von
500 g
500 g
maximal 1 N durchfliessen lässt, miteinander verbunden. Am
rechten Fahrzeug greift eine Kraft an, die in zwei Sekunden linear von Null auf 4 N anwächst.
a Wie schnell bewegen sich die beiden Fahrzeuge nach zwei Sekunden, wenn sie anfänglich
in Ruhe gewesen sind?
b Welche Leistung wird 1.5 Sekunden nach Beginn des Vorganges in der Reibvorrichtung dissipiert?
Lösungshinweis: Mit Hilfe der Impulsbilanz die Geschwindigkeiten zu den fraglichen Zeitpunkten rechnen. Die dissipierte Leistung ist die vom Impulsstrom umgesetzte Prozessleistung.
Lösung:
a
Ip1
Ip2
0.5 kg
0.5 kg
1. Phase: I p1 =
1
I p2 ≤ 1 N
2
m
s
2. Phase: 1. p1 = 1 Ns 2. p2 = 2 Ns
t =1 s
p = 1 Ns v = 1
m
s
m
v1 = 3
s
m
s
m
v2 = 5
s
v1 = 2
v2 = 4
b
1 s bis 1.5 s:
p1 = 0.5 Ns
v1 = 2
m
s
p2 = 0.75 Ns
v2 = 2.5
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Prozessleistung
Quelle: Physik GS/Test 6.3
m
s
Pdiss = I p v = 0.5 W
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 68
TM68: Atwoodsches Pendel
Aufgabenstellung: Zwei Körper (Massen 5 kg und 12 kg) sind über eine
reibungsfrei verschiebbares und sehr leichtes Band miteinander verbunden. Zwischen dem leichteren Körper und dem Boden ist zudem eine Feder
(Richtgrösse 500 N/m) befestigt.
a Wie weit senkt sich der schwerere Körper ab, wenn das System bei ungespannter Feder sich selbst überlassen wird. Vorsicht, die Kugel ist am
tiefsten Punkt nicht im Geleichgewicht!
b Wie gross ist die Beschleunigung des grossen Körpers nach einer Strekke von drei Zentimetern?
5 kg
12 kg
Lösungshinweis: Energiebilanz über die fragliche Zeitspanne sowie die Leistungsbilanz zum
gefragten Zeitpunkt formulieren.
Lösung:
a
WG 2 = WG1 + U Feder
m2 gh = m1 gh +
h=
1
Dh 2
2
2
( m2 − m1 ) g = 27.5 cm
D
b
WG 2 = WG1 + Wkin1 + Wkin 2 + P ( FF )
h = v; F = Dh
m2 gh = m1 gh + m1 vv + m2 vv + Fv
v=
( m2 − m1 ) g − Dh
m2 + m1
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik GS/Test 6.4
= 3.16
m
s2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 69
TM69: Kraft ändert Richtung
Aufgabenstellung: Auf einen Quader (Masse 10 kg), der auf einer ho10 kg
rizontalen Unterlage ruht, wirkt während sechs Sekunden eine betragsmässig konstante Kraft von 50 N ein. In der ersten Sekunde weist die
Kraft in horizontale Richtung. Dann wird die Wirkrichtung um 10° nach oben gedreht. Nach
jeder weiteren Sekunde erhöht sich der Neigungswinkel um weitere zehn Grad.
Wie schnell bewegt sich der Klotz nach diesen sechs Sekunden? Der Gleitreibungskoeffizient
beträgt für die ganze Gleitstrecke 0.2.
Lösungshinweis: Kräfte einzeichnen, Grundgesetz formulieren und daraus die Beschleunigung
abschnittweise berechnen. Durch Summation über alle Geschwindigkeitsänderung erhält man
die Endgeschwindigkeit.
Lösung:
x : F cos β − FR = p
FR = µ FN
y : FN + F sin β − FG = 0
FN = FG − F sin β
F cos β − µ FG + µ F sin β F
v=
= ( cos β + µ sin β ) − µ g
m
m
m
m
= 5 2 ( cos β + µ sin β ) − 1.962 2
s
s
β/°
0
10
20
30
40
50
dv/dt m/s2
3.038
3.136
3.079
2.868
2.511
2.018
v m/s
3.038
6.174
9.253
12.121
14.632
16.650
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik GS/Test 6.5
FN F
FR
FG
β
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 70
TM70: Arbeit einer Kraft
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 50 kg) werde gemäss dem
nebenstehenden Diagramm bewegt.
a Welche Kraft wirkt horizontal auf den Körper ein, wenn die
Unterlage dauernd mit 100 N der Bewegung entgegenwirkt?
Zeichnen Sie ein quantitativ (mit Zahlenwerten) richtiges Diagramm.
b Wie gross ist die Arbeit dieser Kraft?
v
2 m/s
2
Lösungshinweis: Impulsbilanz (Grundgesetz) formulieren und
nach gesuchter Kraft auflösen. Die Arbeit kann durch Integration
über die Leistung berechnet werden.
4
6
8
t
s
10
-2m/s
Lösung:
a
F + FR = p → F = p − FR
FR
dp/dt
F
100 N
100 N
100 N
-50 N
2
4
6
8
10
t
50 N
2
4
6
8
10
t
2
4
6
-100 N
8 10
-100 N
-150N
b
300 W
P(F)
200 W
100 W
2
4
6
8
10
W = 400 J + 100 J + 150 J +800 J = 1.45 kJ
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Impulsbilanz, Leistung einer Kraft, Arbeit einer Kraft
Quelle: Physik I/GS M3.2
t
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 71
TM71: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 500 g) prallt mit 60 cm/s gegen ein gleich
grosses, ruhendes und bewegt sich dann mit 20 cm/s in die gleiche Richtung weiter.
a Wie schnell fährt das zweite nach dem Stoss?
b Wieviel Energie ist im Stossprozess dissipiert worden?
c Das erste Fahrzeug pralle wieder mit 60 cm/s gegen das zweite. Dieses sei in der Zwischenzeit jedoch mit einer Zusatzkörper von einem Kilogramm beschwert worden. Wie schnell bewegt sich nun das erste nach dem Stoss?
Lösungshinweis: Arbeiten Sie mit dem Flüssigkeitsbild. Bei einem teilelalstischen Stoss darf
angenommen werden, dass das Verhältnis der vom Impuls freigesetzten zur wieder aufgenommen Energie konstant bleibt. Dieses Verhältnis ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses der Relativgeschwindigkeiten (relativ zum Gesamtschwerpunkt gemessene Geschwindigkeit)
Lösung:
60 cm/s
4
20 cm/s
500 g
500 g
a
v=
p
cm
= 40
m
s
b Wdiss = Wfrei - Wauf = 0.15Ns . 0.3m/s - 0.05 Ns . 0.1m/s = 40 mJ
c
vrel vorher
3
=
vrel nachher 1
60 cm/s
cm
s
cm
= 15
s
vrel vorher = 45
15 cm/s
500 g
1500 g
vrel
nachher
vnacher = 0
Schlüsselwörter: Stossproblem, Impulsbilanz, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik III/HS M1.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 72
TM72: Fahrzeug abschleppen
Aufgabenstellung: Ein Fahrzeug (Masse 20 kg) wird an einem Seil über eine ebene Piste gezogen. Die Luft wirke ge- 15 m/s
mäss der folgenden Formel auf das Fahrzeug ein
FW = (0.6 N·s2/m2) v2
Die Unterlage bremst das Gefährt mit einer konstanten
Kraft von 15 N.
5s
a Wieviel Impuls fliesst in den fraglichen 10 Sekunden
über das Seil zu, wenn das Fahrzeug sich gemäss dem
nebenstehenden Diagramm bewegt?
b Wieviel Energie wird in diesen 10 Sekunden über das Seil transportiert?
10 s
t
Lösungshinweis: Seilkraft über Impulsbilanz berechnen; Leistung dieser Kraft berechnen und
über die Zeit aufsummieren.
Lösung:
FS − FR − FW = p
t:
FS = p + FW + FR
FW :
FS :
1 s 5.4 N
80.4 N
2 s 21.6 N
56.6 N
3s 48.5 N
123.6 N
4 s 86.4 N
161.4 N
5 s 135 N
210 N
...
150 N
pgefl . = 1317 Ns
IW = P ( FS ) 1 s 241.2 W
Wgefl .
2s
3s
4s
5s
6s
= 16.69 kJ
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Arbeit einer Kraft
Quelle: Physik III/HS M1.5
579.2 W
1112 W
1937 W
3150 W
2250 W
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 73
TM73: Schuss auf Zweimassenschwingung
Aufgabenstellung: Zwei ruhende Luftkissenfahrzeuge
sind über eine ideale Feder miteinander verbunden. Nun 5 g
195 g
trifft eine von links kommende Kugel (Masse 5 g) mit 500
800 g
m/s auf das leichtere Gefährt auf und bleibt stecken.
a Wie schnell bewegt sich der getroffene Körper unmittelbar nach dem Aufprall der Kugel?
b Wie schnell bewegen sich die Fahrzeuge in dem Moment, in dem sie gleich schnell sind?
c Wieviel Energie ist dann elastisch in der Feder gespeichert?
d Welche Maximalgeschwindigkeit kann das schwerere Fahrzeug erreichen?
Lösungshinweis: siehe TM49
Lösung:
a
v1 =
pK
m
2.5 Ns
m
= vK K =
= 12.5
0.2 kg
s
m1
m1
b
vin =
pK
2.5 Ns
m
=
= 2.5
m1 + m2
1 kg
s
c
Energieerhaltung:
1
1
WF = mv12 − mtot vm2 = 12.5 J
2
2
d
12.5
5
2.5
2.5
-7.5
0.2 kg
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Stossproblem
Quelle: Physik III/HS E1.2
0.8 kg
5 m/s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 74
TM74: Kraft eines Elektronenstrahls
Aufgabenstellung: Wie gross ist die Kraft, die ein Elektronenstrom von 300 mA auf die Anode
einer Verstärkerröhre ausübt, wenn die Elektronen mit 300 V beschleunigt werden? Die Elektronen werden von der Anode (positive Elektrode) aufgenommen.
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit der Elektronen kann mit Hilfe der Energiebilanz berechnet werden. Der Elektronenstrahl bildet einen konvektiven Impulsstrom.
Lösung:
WE = Ue =
2
1 2 pTeilchen
mv =
2
2m
pTeilchen = 2meU = 9.35 ⋅10 −24 Ns
I p = pTeilchen ITeilchen
I p = pTeilchen
ITeilchen =
2mU
I
=
I = 1.75 ⋅10 −5 N
e
e
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsstromstärke
Quelle: Physik III/HS E1.5
I
e
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 75
TM75: Eiswürfel in Schale
Aufgabenstellung: Ein kleiner Eiswürfel (Masse 3 g) wird am oberen Rand einer halbkugelförmigen Schale (Radius 20 cm) losgelassen. Der Würfel rutscht
ohne Reibung.
a Wie gross ist die Kraft der Schüssel auf den Würfel, wenn dieser einen Winkel von 45° zurückgelegt hat?
b Wie gross ist dann die resultierende Kraft auf den Würfel?
Lösungshinweis: Die Energiebilanz liefert die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion. Bei Kreisbewegungen hängt die Normalkomponente der resultierenden Kraft quadratisch mit der Geschwindigkeit zusammen.
Lösung:
a
Wkin = WG
1 2
mv = mg h
2
h=R
2
2
v 2 = 2 gR
2
2
2
v2
= man an = = g 2
2
R
2
FN = man + mg
2
3 2
FN = mg
= 62 mN
2
an = g 2
n:
FN − FG
b
FRe s = Fn2 + Ft 2 = m 2 an2 +
m2 g 2
g2
5
= m an2 +
= mg
= 47 mN
2
2
2
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Kreisbewegung, Grundgesetz
Quelle: Physik HS/Test 1.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 76
TM76: Wurf im Vakuum
Aufgabenstellung: Ein Spielball (Masse 270 g) wird zwei Meter über Boden mit einer Geschwindigkeit von 13.9 m/s unter einem Winkel von 17.9° im Vakuum fortgeworfen.
a Nach welcher Zeit berührt er den Boden?
a Wie weit liegen Aufprall- und Abwurfort auseinander?
Lösungshinweis: vergleiche TM37
Lösung:
a
x = v0 cos α t
y = v0 sin α t −
−
g 2
t
2
y = −h = −2 m
g 2
t + v0 sin α t + h = 0
2
t=
−v0 sin α t ± v02 sin 2 α + 2 gh
−g
b
x = v0 cos α t = 15.98 m
s = x 2 + h2 = 16.1 m
Schlüsselwörter:
Quelle: Physik HS/Test 1.2
= 1.208 s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 77
TM77: Wurf in Luft
Aufgabenstellung: Ein Spielball (Masse 270 g) werde in die Luft geworfen. Untenstehend finden Sie die berechneten Geschwindigkeiten für ein kleines Zeitintervall.
a Bestimmen Sie 1.3 Sekunden nach dem Abwurf die Kraft der Luft auf den Ball.
b Wie gross ist dann die Änderungsrate der kinetischen Energie.
Zeit
s
Gesch.horiz.
m/s
Gesch.vertik.
m/s
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.3
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
8.55
8.52
8.49
8.46
8.44
8.41
8.38
8.35
8.32
8.29
8.26
-7.25
-7.32
-7.39
-7.47
-7.54
-7.61
-7.68
-7.75
-7.82
-7.89
-7.96
Lösungshinweis: Zuerst Beschleunigung bestimmen, dann den Luftwiderstand über die Impulsbilanz (Grundgesetz) berechnen. Die Änderungsrate der kinetischen Energie kann entweder
aus der Leistungsbilanz bestimmt oder direkt berechnet werden.
Lösung:
a
Zur Zeit t = 1.3 s gilt:
FRe s = ma
FL , x = max
FL ,Y = ma y + mg
m
s2
m
a y = −7 2
s
ax = −3
FL = m 2 ax2 + ( ma y + mg ) = m ax2 + ( a y + g ) = 9
2
2
m2
m2
9
+
m = 1.15 N
s4
s2
b
Wkin = FRe s v = mvx vx + mv y v y = 7.57 W
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Grundgesetz, Beschleunigung, kinetische Energie
Quelle: Physik HS/Test 1.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 78
TM78: Flugzeug auf Kreisbahn
Aufgabenstellung: Ein Flugzeug fliegt mit 480 km/h auf einer horizontalen Kreisbahn.
a Wie gross ist der Bahnradius, wenn die Flügelebene 40° gegen die Horizontale geneigt ist.
Nehmen Sie an, dass die Kraft von der Luft auf das Flugzeug normal zur Flügelebene steht.
b Welche Gravitationsfeldstärke misst der Pilot in seinem Cockpit?
Lösungshinweis: Auf das Flugzeug wirkt das Gravitationsfeld (Gewicht) und die Luft (Auftrieb, Widerstand, Antrieb). Falls sich die Schnelligkeit des Flugzeuges nicht ändert, wirkt die
Luft normal zur Flugzeugmittelebene. Im beschleunigten Bezugssystem wirkt neben dem „normalen“ Gravitationsfeld noch ein Trägheitsfeld.
Lösung:
a
FL ,h = ma a =
v2
R
FL ,v = FG
FL, h
FL,v
=
ma
= tg 40°
mg
v2
v2
R=
=
= 2.16 km
a g ⋅ tg 40°
b
g ' = g 2 + gt2
g t = − a = − g ⋅ tg 40°
g ' = g 1 + tg 2 40° = 1.3 g = 12.8
N
kg
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Gravitationsfeld
Quelle: Physik HS/Test 1.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 79
TM79: Satellit auf Kreisbahn
Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Satelliten, der 1000 km über der
Erdoberfläche kreist.
Die Gravitationsfeldstärke nimmt ausserhalb eines Planeten mit dem reziproken Quadrat des
Mittelpunktabstandes (1/r2-Gesetz) ab. Die Erde hat einen Durchmesser von 12740 km.
Lösungshinweis: Der Satellit befindet sich auf einer Freiflugbahn also gilt a = g.
Lösung:
g=
k
r2
a=g
k = g 0 r02
mit
g = g0
und a =
r2
v2
= g 0 02
r
r
v=
Schlüsselwörter: Kreisbahn, Gravitationsfeld
Quelle: Physik HS/Test 1.5
r0 = 6.37 ⋅103 km
r02
r2
v2
r
g 0 r02
km
= 7.35
r
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 80
TM80: Looping
Aufgabenstellung: Ein kleines Eisstück (Masse 20 g) gleitet reibungsfrei eine schiefe Ebene
hinunter, um dann in der anschliessenden “Todesschleife” (Radius 20 cm) einen Looping auszuführen.
a Wie hoch über dem tiefsten Punkt der Bahn muss der Körper gestartet werden, damit im
obersten Schleifenpunkt eine Normalkraft auf ihn einwirkt, die genau so gross ist wie die Gewichtskraft?
b Wie gross ist die Beschleunigung des Eises, wenn es sich in der Schleife genau vertikal nach
oben bewegt?
Lösungshinweis: Kräfte auf das Eisstück im fraglichen Punkt einzeichen. Die Geschwindigkeit
folgt aus der Energiebilanz zu zwei Zeitpunkten.
Lösung:
a
höchster Punkt: FRe s = 2 FG = ma mit a =
v2
2mg = m
r
WG = Wkin
v 2 = 2 gr
1 2
mv
2
h = 3r = 0.6 m
mg ( h − 2r ) =
b
WG = Wkin
1 2
mv
2
v 2 = 4 gr
2mgr =
FN v 2
= =4g
m
r
FG
=g
m
m
a = at2 + an2 = 17 g = 40.45 2
s
an =
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Grundgesetz
Quelle: Physik IV/HS E1.1
at =
v2
r
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 81
TM81: Zwei Loks
Aufgabenstellung: Um 11 Uhr 13 fährt eine Lokomotive aus einem Bahnhof weg. In den ersten
zwanzig Sekunden beschleunigt sie mit 0.5 m/s2, in den nächsten dreissig mit 0.3 m/s2 und in
den restlichen vierzig Sekunden mit 0.2 m/s2. Nachher behält sie die erreichte Geschwindigkeit
bei. Um 11 Uhr 15 startet auf einem parallel geführten Geleise eine zweite Lok, die mit 0.4 m/
s2 beschleunigt, bis sie 144 km/h erreicht hat.
a Wie weit ist die erste Lokomotive gefahren, bis die zweite die Endgeschwindigkeit erreicht
hat?
b Wie lange dauert es, bis beide Fahrzeuge auf gleicher Höhe sind?
Lösungshinweis: Diese Aufgabe lässt sich direkt im v-t-Diagramm lösen.
Lösung:
a
v
t = 120 s +
40 m/s
0.4 m
s = 2965 m
27 m/s
19 m/s
10 m/s
20 s 50 s
90 s 120 s
220 s
t
b
2965 m
= 228 s
m
13
s
Gesamtzeit: 448 s
t=
Uhrzeit: 11 Uhr 20 min 28 s
Schlüsselwörter: Beschleunigung
Quelle: Physik I/HS E2.3
40 m
s = 220 s
s2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 82
TM82: Drei Quader
Aufgabenstellung: Zwischen zwei Quadern (je 5 kg Masse) ist ein dritter (Masse 3 kg) eingeklemmt. Der mittlere Körper berührt die Unterlage nicht. Von links her wirke eine konstante
Kraft auf den einen Quader ein. Die beiden Berührflächen weisen je einen Haftreibungskoeffizienten von 0.5 auf.
a Wie gross müssen die Gleitreibungskoeffizienten zwischen den beiden grossen Körpern und
der Unterlage sein, damit der kleinere Quader bei gleichförmiger Bewegung gerade nicht
herunterfällt?
b Die beiden Klötze können praktisch reibungsfrei verschoben werden. Wie gross muss nun
die von links einwirkende Kraft sein, damit der mittlere Körper gerade nicht herunterfällt?
Lösungshinweis: Alle drei Körper freischneiden. Zur Lösung von Aufgabe a) für alle drei Körper Gleichgewicht formulieren. Zur Lösung von Aufgabe b) Grundgesetze formulieren.
Lösung:
a
Körper links
Körper mitte
x : F − FN 3 − FR1 = 0
Körper rechts
FN 3 − FN 4 = 0
FN 4 − FR 2 = 0
y : FN 1 − FG1 − FR 3 = 0 FR 3 + FR 4 − FG 3 = 0 FN 2 − FR 2 − FG 2 = 0
FRi = µi FNi
FR 2 = FN 4 =
FR 4
µH
=
FG 3
= 29.4 N
2µ H
FN 2 = FG 2 + FR 4 = FG 2 +
µ=
FR 2
=
FN 2
1
FG 3
2
m3
= 0.46
m 

2 µ H  m2 + 3 
2 

b
Körper links
x : F − FN 3 = m1a
Körper mitte
FN 3 − FN 4 = m3 a
Körper rechts
FN 4 = m2 a
y:
FR 3 + FR 4 − FG 3 = 0
µ H ( 2m2 + m3 ) a − m3 g = 0
a=
m3
m
g = 8.92 2
s
µ H ( 2m2 + m3 )
F = mtot a = 116 N
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik I/HS E2.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 83
TM83: Fahrzeug mit drei Klötzen
Aufgabenstellung: Auf einem Luftkissenfahrzeug (Masse 1.5 kg), das sich mit 3 m/s nach
rechts bewegt, liegen drei Klötze (Masse je 500 g), die mit einer Abwurfvorrichtung nach links
weggeschleudert werden können. Für den Abwurf steht gesamthaft eine Energie von 12 Joule
zur Verfügung.
a Wie schnell bewegt sich das Fahrzeug, nachdem alle drei Körper miteinander fortgeworfen
worden sind?
b Wie gross ist die Fahrzeuggeschwindigkeit, nachdem die drei Körper nacheinander mit einer
Energie von 4 Joule pro Wurf weggeschleudert worden sind?
Lösungshinweis: Die beiden Prozesse lassen sich im Flüssigkeitsbild elegant darstellen.
Lösung:
a
vr
vr
m
m
W = p v = mvr2 = 12 J
m = 1.5 kg
m
s
m
v = 5.83
s
vr = 8
b
v +v
Energie: m2 vr 2  r1 r 2
2

vr
vr
2
1
m1
m2
vr 2 =
m2

 = 4J vr1 = vr 2 m

1
2 ⋅ 4J
m

m2  2 + 1
 m1

m1 = 0.5 kg
m2 = 2.5 kg; 2 kg; 2.5 kg
m
m
m
; 0.894 ; 1.154
s
s
s
m
v = 5.78
s
vr 2 = 0.73
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik I/HS M2.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 84
TM84: Seilkraft
Aufgabenstellung: Auf einen Quader (Masse 15 kg),
F
der sich im Moment auf einer horizontalen Unterlage
mit 7.333 m/s nach links bewegt, wirke über ein Seil 30 N
eine nach rechts gerichtete Kraft ein, deren zeitlichen 20 N
Verlauf Sie dem nebenstehenden Diagramm entnehmen
10 N
können. Für die Grenzschicht Klotz-Unterlage können
t
Sie einen Gleitreibungskoeffizienten von 0.1 annehmen.
1
2
3
4
5
a Wie gross muss der Gleitreibungskoeffizient der
Grenzschicht sein, damit der Körper nach 4 s stillsteht?
b Wie schnell bewegt er sich nach fünf Sekunden? Die maximale Haftreibungskraft sei gleich
gross wie die Gleitreibungskraft.
c Wie stark ist der Energiestrom, der zu Beginn des Vorganges zusammen mit dem Impulsstrom durch das Seil fliesst? In welche Richtung fliesst die Energie?
d Beantworten Sie die gleiche Fragen für den Zeitpunkt t = 5 s.
Lösungshinweis: Die ersten beiden Fragen können mit Hilfe einer Impulsbilanz beantwortet
werden. Die Fläche unter der Kraft-Zeit-Funktion ergibt den zu- oder abgeführten Impuls. Die
zwei letzten Fragen betreffen die Definition des zugeordneten Energiestromes.
Lösung:
a
F
FR t + ∫ Fdt = p
30 N
110 Ns − 65 Ns
= 11.25 N
4s
F
µ = R = 0.076
FN
FR =
20 N
10 N
1
2
3
4
t
5
b
1
0.625s ⋅ 18.75N = 5.86 N
2
p
m
v = = 0.39
s
m
p=
c
IW = vI P = 229 W nach rechts
d
IW = vI P = 11.7 W nach links
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Leistung einer Kraft
Quelle: Physik I/HS M2.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 85
TM85: Bohr‘sches Atommodell
Aufgabenstellung: Im Bohr’schen Modell des Wasserstoffatoms kreist ein Elektron um ein
Proton. Das Elektron bewege sich auf dem Bohr’schen Radius (5.29.10-11 m).
a Wie gross ist die Beschleunigung des Elektrons?
b Wieviel kinetische Energie speichert das Elektron bei dieser Bewegung?
Lösungshinweis: Da nur die elektrische Kraft wirkt, ist sie alleine für die Beschleunigung verantwortlich.
Lösung:
a
FE = k
Qe Q p
r
2
a=
FE
m
= 9 ⋅ 1022 2
m
s
b
Wkin =
1 2 1
mv = mar = 2.18 ⋅ 10−18 J
2
2
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, kinetische Energie
Quelle: Physik II/HS E2.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 86
TM86: Ebener Stoss
Aufgabenstellung: Auf einem horizontalen Tisch stossen zwei reibungsfrei
gleitende Körper (Massen 600 g und 400 g) unter einem Winkel von 45° mit ei0.6 kg
ner Geschwindigkeit von je 3 m/s aufeinander.
a Wieviel Energie wird freigesetzt, bis beide im gleichen Bewegungszustand 0.4 kg
sind?
b Wie schnell bewegt sich der leichtere Körper, wenn der schwerere mit 2 m/s auf einer um
30° gegenüber der ursprünglichen Richtung gedrehten Bahn wegfliegt?
Lösungshinweis: Die Vektorsumme der beiden Impulsinhalte bleibt erhalten.
Lösung:
a
p1 = 1.8 N;
ptot =
W=
p2 = 1.2 Ns
p12 + p22 − 2 p1 p2 cos135° = 2.78 Ns
p2
p12
p2
+ 2 − tot = 2.7 J + 1.8 J − 3.86 J = 0.636 J
2m1 2m2 2mtot
b
sin α = sin135°
p2
ptot
α = 17.77°
p2' = 1.63 N
v2' = 4.08
Schlüsselwörter: Stossproblem, Impuls als Vektor
Quelle: Physik II/HS E2.3
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 87
TM87: Zwei Köper auf schiefen Ebenen
Aufgabenstellung: Mit welcher Kraft muss bei der nebenstehend skiz10 kg
5 kg
zierten Anordnung im Punkt A in Richtung der schiefen Ebene gezogen
werden, damit die beiden Quader ein Beschleunigung von 7 m/s2 erfah- A
0.8 0.4
30
°
60 °
ren?
Massen, Gleitreibungskoeffizienten und Neigungswinkel sind der Skizze zu entnehmen. An der
Seilumlenkstelle tritt keine Reibung auf.
Lösungshinweis: Leistungsbilanz aufstellen und nach der unbekannten Kraft auflösen.
Lösung:
zugeführt: P ( F ) = Fv
frei: WG1 = m1 gh = m1 gv sin 30°
auf: WG 2 + Wkin1 + Wkin 2 = m2 gv sin 60° + m2 vv + m1vv
diss.: FR1 + FR 2 = µ1m1 g cos 30°v + µ2 m2 g cos 60°v
FR = µ FN = µ FG cos 30°
zugeführte plus freigesetzte Leistung gleich aufgenommene plus dissipierte Leistung
Fv + m1 gv sin 30° = m2 g cos 60°v + ( m1 + m2 ) vv + ( µ1m1 g cos 30° + µ 2 m2 g cos 60° )
F = ( m2 sin 60° − m1 sin 30° + µ1m1 cos 30° + µ 2 m2 cos 60° ) g + ( m1 + m2 ) v = 176.2 N
Schlüsselwörter: Leistungsbilanz, Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik II/HS E2.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 88
TM88: Punkt auf eine Walze
Aufgabenstellung: Eine Walze (Radius 5 cm) rollt mit einer Mittelpunktsgeschwindigkeit von 0.2 m/s auf einer horizontalen Ebene ab.
a Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des
3 cm
materiellen Punktes P bezüglich des Laborsystems (Ruhesystem).
P
b Die Walze sei in der skizzierten Lage gestartet und habe nach 0.2 Sekunden mit konstanter Beschleunigung eine Geschwindigkeit von
0.4 m/s erreicht. Wir betrachten die Walze eine halbe Umdrehung nach dem Start. Wie gross
ist dann die Beschleunigung des materiellen Punktes P?
Lösungshinweis: Der Mittelpunkt der Walze bewegt sich gleich schnell, wie sich ein Punkt auf
dem Umfang bei festgehaltener Achse bewegen würde. Zur Analyse der Beschleunig setzt man
sich zuerst auf die Zylinderachse. Der Punkt P bewegt sich dann mit zunehmender Schnelligkeit
auf einer Kreisbahn. Zu dem so gefundenen Beschleunigungswert kommt dann noch die Beschleunigung der Achse dazu.
Lösung:
c
m
3 cm
m
v
= 4 s -1 v0 = 0.2
= 0.12
v ' = v0
s
5 cm
s
r
m
v = 0.08
nach rechts
s
m
a = ω 2 s = 0.48 2 nach oben
s
ω=
d
α=
ω
t
= 40 s -1
1 2 ω2
αt =
= π ω = 2απ = 15.85 s -1 t = 0.396 s
2
2α
m
m
m
a0 = α r = 2 2 an' = ω 2 s = 7.54 2 at' = α s = 1.2 2
s
s
s
m
2
a = ( at + a0 ) + an2 = 8.2 2
s
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normal- und Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik II/HS E2.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 89
TM89: Berg - und Tal - Bahn
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse zwei Kilogramm) gleitet
reibungsfrei eine schiefe Ebene hinunter und durchfährt dann
eine Tal-und-Berg-Strecke, die aus zwei Viertelskreisen (Radius
ein Meter) besteht.
a Wie hoch über dem tiefsten Punkt der Bahn muss der Körper
starten, damit die Normalkraft unmittelbar nach dem Wendepunkt A verschwindet?
b Wie gross ist dann die Normalkraft am tiefsten Punkt der Bahn?
2 kg
A
h=?
90 °
90 °
Lösungshinweis: Aus der Energiebilanz folgt die Geschwindigkeit in Funktion der Höhe. Im
Wendepunkt ändert sich die Beschleunigung sprunghaft (von einer Kreisbahn in die andere).
Sobald die Normalkraft verschwindet, wirkt nur noch die Gewichtskraft.
Lösung:
a
a=g
an = g cos 45°
 2
 v = rg cos 45°
v2
an


r
WG1 = WG 2 + Wkin
1
mgh = mgr (1 − cos 45° ) + mv 2
2
1
mgh = mgr − mgrcos 45° + mgr cos 45°
2
 1

h = r 1 − cos 45°  = 0.646 m
 2

b
WG1 = Wkin
1 2
mv = mgh
2
v2
 1

FN − FG = ma = m = 2mg 1 − cos 45° 
r
 2

FN = mg ( 3 − cos 45° ) = 45 N
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Kreisbewegung, Normalbeschleunigung
Quelle: Physik II/HS M2.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 90
TM90: Wurf von Dachterrasse
Aufgabenstellung: Eine Stahlkugel (Masse 3 kg) soll von einer zehn Meter hohen Dachterrasse
aus auf einen horizontalen Platz geworfen werden.
a Unter welchem Winkel gegenüber der Horizontalen muss die Kugel fortfliegen, damit sie bei
einer Abschussgeschwindigkeit von 20 m/s nach vier Sekunden aufschlägt?
b Wie weit vom Abwurfort entfernt (Distanz) schlägt sie dann auf?
Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen.
Lösungshinweis: vergl. TM37
Lösung:
a
1 2
gt
2
1 2

 gt − h 
2
 α = 58.9°
sin α = 
v0 t
− h = v0 sin α t −
b
x = v0 cos α t = 41.4 m
s = x 2 + h 2 = 42.55 m
Schlüsselwörter: Gravitationsfeld, schiefer Wurf
Quelle: Physik II/HS M2.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 91
TM91: Einfache Maschine
Aufgabenstellung: Mit welcher Kraft muss bei der nebenstehend
kg
skizzierten Anordnung im Punkt A in Richtung der schiefen Ebene ge10
zogen werden, damit die drei Quader ein Beschleunigung von 7 m/s2 A
0.5
erfahren? Massen, Gleitreibungskoeffizienten und Neigungswinkel
30 °
sind der Skizze zu entnehmen. An den Seilumlenkstellen tritt keine
Reibung auf.
2 kg
4 kg
0.2
Lösungshinweis: Leistungsbilanz aufstellen und nach der gesuchten Kraft auflösen.
Lösung:
zu: P( F )=Fv

frei: WG1 = m1 g sin 30°v
auf: Wkin + WG 2 = ( m1 + m2 + m3 ) vv + m2 gv

diss.: P( FRe ib ) = µ1m1 g cos 30°v + µ3 m3 gv
zugeführte und freigesetzte Leistung gleich aufgenommene und dissipierte Leistung
F = mtot v + ( m2 + µ1m1 cos 30° + µ3 m3 + m1 sin 30° ) g = 101.2 N
Schlüsselwörter: Leistungsbilanz, Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik II/HS M2.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 92
TM92: Feder zwischen zwei LKF
Aufgabenstellung: Zwei gekoppelte Luftkissenfahrzeuge (Massen 800 g und 550 g) gleiten mit
einer Geschwindigkeit von 2.5 m/s über die Fahrbahn. Die Kopplung besteht aus einer Feder
(Richtgrösse 8 N/cm) und einer Schnur, welche die Feder um 2 cm zusammengedrückt.
Wie schnell bewegen sich die beiden Fahrzeuge nach dem Durchtrennen der Schnur?
Lösungshinweis: Mit der von der Feder freigesetzten Energie wird Impuls vom einen Fahrzeug
ins andere gepumpt. Zeichnen Sie zuerst ein Flüssigkeitsbild!
Lösung:
Impuls: m1 v1 + m2 v2 = 0
v 
m 
1
( v1 − v2 ) = 1 1 + 1 
2
2  m2 
v 
m 
1 2
Ds = p v = m1 v1 1 1 + 1 
Energie:
2
2  m2 
"Pumphöhe:
v1 = s
D

m 
m1 1 + 1 
 m2 
m
m
v1 = 1.91
v2 = 2.90
s
s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik I/HS M3.1
= 0.587
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 93
TM93: Jonglieren
Aufgabenstellung: Ein Artist wirft beim Jonglieren mit zwei Bällen diese hintereinander je 50
cm senkrecht in die Luft und fängt sie jeweils wieder auf. Die Reaktionszeit ist die Zeit zwischen Werfen eines Balles und Fangen des nächsten.
Wie hoch muss er werfen, wenn er beim Jonglieren mit fünf Bällen dieselbe Reaktionszeit haben will?
Lösungshinweis: Die Höhe nimmt quadratisch mit der Wurfzeit zu.
Lösung:
2 Bälle: 2t R = tW 1
5 Bälle: 5t R = tW 2
tW 2 5
=
tW 1 2
h2 25
=
h1
4
Schlüsselwörter: Wurf
Quelle: Physik I/HS M3.2
h2 = 3.125 m
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 94
TM94: Stossende Metallscheibe
Aufgabenstellung: Zwei Metallscheiben stossen auf einer horizontalen Glatteisfläche zentral
und elastisch zusammen. Vor dem Stoss sind die Scheiben rechtwinklig aufeinander zugeglitten
und haben eine kinetische Energie von total 16.8 J gespeichert. Zudem ist der Betrag ihres Impulses gleich gross gewesen. Nach dem Stoss pflanzt sich der schwerere Körper (Masse 400 g)
in die Richtung fort, in die sich der leichtere (Masse 300 g) vor dem Aufprall bewegt hat.
a Wie gross sind die Geschwindigkeiten der beiden Körper vor dem Stoss gewesen?
b Welchen Winkel schliessen die Bahnen der beiden Körpermitten schlussendlich ein?
Lösungshinweis: Die eine Scheibe gibt die eigene „Impulssorte“ vollständig ab und übernimmt
nur Impuls von der andern „Sorte“. Weil die totale Bewegungsenergie erhalten bleibt, muss der
Austausch vollständig sein.
Lösung:
a
W=
p=
v1 =
p2
p2
+
2m1 2m2
2W ( m1 m2 )
( m1 + m2 )
= 2.4 Ns
m
p
m
p
= 8 v2 =
=6
m1
s
m2
s
b
Energieerhaltung ⇒ Symmetrie
⇒ vollständiger Impulsaustausch
m
s
m
v2 = 8
s
v1 = 6
v1 ⊥ v2
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, kinetische Energie
Quelle: Physik II/HS M3.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 95
TM95: Marssatellit
Aufgabenstellung: Der Mars dreht sich in 24 Stunden und 37 Minuten einmal um seine Achse.
Am Äquator weist er eine Gravitationsfeldstärke von 3.76 N/kg auf und sein Druchmesser beträgt 6794 km. Ausserhalb des Himmelskörpers ist das Gravitationsfeld so beschaffen, dass das
Produkt aus der Feldstärke und dem Quadrat des Abstandes vom Zentrum konstant bleibt.
a Wie hoch über dem Äquator muss ein Satellit auf einer Kreisbahn um den Mars fallen, damit
er sich immer über dem gleichen Punkt der Marsoberfläche befindet?
b Wie gross ist dann seine Umlaufgeschwindigkeit?
Lösungshinweis: Bei Satelliten ist die Beschleunigung gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke.
Lösung:
a
Freiflug: a = g
a = ω 2r
g 0 r02
g= 2
r
r=
3
g 0 r02
ω
2
ω=
2π
= 7.09 ⋅ 10−5 s -1
T
r0 = 3.397 ⋅ 106 m
= 2.05 ⋅ 107 m h = r − r0 = 1.71 ⋅ 107 m
b
v = ω r = 1.45
Schlüsselwörter: Kreisbahn, Gravitationsfeld
Quelle: Physik II/HS M3.2
km
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 96
TM96: Looping
Aufgabenstellung: Ein kleiner Eiswürfel (Masse 20 g) rutscht reibungsfrei eine schiefe Ebene
hinunter und gerät dann in eine vertikal stehende Kreisbahn (Radius 20 cm). 30 cm über dem
tiefsten Punkt der Bahn sind Normalkraft und Gewichtskraft gleich gross.
a Welchen Wert nimmt dort die Beschleunigung des Würfels an?
b In welcher Höhe (über dem tiefsten Bahnpunkt) ist der Körper losgelassen worden?
Lösungshinweis: Auf den Eiswürfel wirken Gewichts- und Normalkraft. Die Vektorsumme
der Kräfte bestimmt die Beschleunigung. Normalkraft und Normalkomponente der Gewichtskraft erzeugen die Normalbeschleunigung. Der Geschwindigkeitsbetrag hängt nur von der Höhe ab.
Lösung:
a
FRe s = 2 FG
a=
3
2
FRe s
m
= g 3 = 16.99 2
m
s
b
WG1 = WG 2 + Wkin
mgh = mg
3
1
R + m v2
2
2
v 2 = an R =
3
gR
2
1
3
( FN + FG cos 60° ) = g
m
2
9
3
3
h = gR = 45 cm gh = gR + gR
4
2
4
an =
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Energiebilanz, Normalbeschleunigung
Quelle: Physik II/HS M3.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 97
TM97: einfache Maschine
Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Anordnung
m
ist die Feder (Richtgrösse 2000 N/m) gegenüber der unbelasteN/
kg
15
ten Länge um 10 cm aud Zug vorgespannt und die beiden Qua- 2000
0.4
der sind noch in Ruhe.
5 kg
a Wie schnell bewegt sich der grössere Quader in dem Augen30 °
blick, in dem die Feder entspannt ist?
b Wie gross ist dann dessen Beschleunigung?
Massen, Gleitreibungskoeffizient und Neigungswinkel sind der Skizze zu entnehmen. An der
Seilumlenkstelle tritt keine Reibung auf.
Lösungshinweis: Energiebilanz über die fragliche Zeitspanne sowie die Leistungsbilanz zum
gefragten Zeitpunkt formulieren.
Lösung:
a
1 2
1
Ds + m1 g sin α s − m2 gs − µ m1 g cos α s = ( m1 + m2 ) v 2
2
2
10 J + 7.358 J-4.095 J − 5.097 J = Wkin
v = 0.858
m
s
b
0 + m1 g sin α v − m2 gv − µ m1 g cos α v = ( m1 + m2 ) vv
v=
1
m
( m1 g sin α − m2 g − µ m1 g cos α ) = −1.322 2
mtot
s
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik II/HS M3.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 98
TM98: Pendel
Aufgabenstellung: Eine kleine Bleikugel (Masse 0.2 g), die an einem feinen Faden (Länge 0.8
m) hängt, wird bei gestrecktem Faden seitlich angehoben, bis das Pendel um 45° ausgelenkt ist.
Nach dem Loslassen schwingt das Pendel praktisch reibungsfrei hin und her.
a Wie gross ist die Beschleunigung der Kugel unmittelbar nach dem Loslassen?
b Berechnen Sie die Beschleunigung am tiefsten Punkt der Bahn.
c Welchen Wert nimmt die Beschleunigung bei einem Auslenkwinkel von 30° an?
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit der Kugel ist eine Funktion der Höhe. Im allgemeinen
Fall hat die Beschleunigung der Kugel sowohl eine Tangential- als auch eine Normalkomponente.
Lösung:
a
reine Tangentialbeschleunigung
FRe s = FG // = mg sin ϕ 0
a=
FRe s
m
= g sin ϕ 0 = 6.94 2
m
s
b
reine Normalbeschleunigung
v2
l
Wkin = WG
a=
1 2
mv = mgh = mgl (1 − cos ϕ 0 )
2
v 2 = 2 gl (1 − cos ϕ 0 )
a = 2 g (1 − cos ϕ 0 ) = 5.75
m
s2
c
at = g sin ϕ 0
v2
= 2 g ( cos ϕ − cos ϕ 0 )
l
v 2 = 2 gh = 2 gl ( cos ϕ − cos ϕ 0 )
an =
a = at2 + an2 = g sin 2 ϕ + 4 ( cos ϕ ) = 5.81
2
m
s2
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung
Quelle: Physik V/HS M3.1
Aufgaben
Translationsdynamik
TM99: Kugel aus Teich
Aufgabenstellung: Eine Metallkugel (Radius 50 cm, Dichte 8 kg/dm3)
liegt so in einem sehr grossen Teich, dass sie gerade noch vom Wasser
zugedeckt wird. Wieviel Energie muss man minimal aufwenden, um sie
knapp über die Teichoberfläche zu heben?
Lösungshinweis: Zwei Prozesse laufen parallel ab: die Kugel wird
ange-hoben und das Wasser fliesst hinunter.
Lösung:
WG , Metall = ρVG 2 R = 41'092 J
4π 2
R = 523.6 dm3
3
WG ,Wasser = − ρW VgR = −2568.3 J
V=
W ( FF ) = 38'524 J
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 90.1 a
Seite 99
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 100
TM100: Zweimassenschwingen
Aufgabenstellung: Zwei Quader (5.5 kg und 17.8 kg), die
5.5 kg
über eine ideale Feder (Richtgrösse 1700 N/m) verbunden
sind, können auf einer horizontalen Ebene reibungsfrei rutschen. Nun werden die Klötze zusammengedrückt, bis die
Feder um 10 cm verkürzt ist.
a Wie bewegen sich die Körper, wenn sie miteinander losgelassen werden?
b Welche Maximalgeschwindigkeiten erreichen die beiden Quader?
c Wie lange dauert es, bis die Feder wieder zusammengedrückt ist?
17.8 kg
Lösungshinweis: Mit der von der Feder freigesetzten Energie wird Impuls von einem Körper
in den andern gepumpt. Skizzieren Sie das Flüssigkeitsbild und das elektrische Analogon.
Lösung:
a Die Körper schwingen an Ort, der Impuls (Gesamtimpuls gleich Null) pendelt hin und her.
b
1
1
1
D s 2 = m1v12 + m2 v22
2
2
2
Impuls: m1v1 + m2 v2 = 0
Energie:
D s 2 = m1v12 +
v1 = s
D
m1 2
v1
m2
= 0.475
 m 
m1 1 + 1 
 m2 
m
m
v2 = − 1 v1 = −1.537
m2
s
m
s
c
m
s
m
v20 = s2ω = 1.573
s
s1 + s2 = s
v10 = s1ω = 0.475
v10
ω
+
v20
ω
= s
v +v
ω = 10 20 = 20.1 s −1
s
2π
T=
= 0.3124 s
Alternativlösung
mkorr
D
mm
= 1 2 = 4.2 kg
m1 + m2
T = 2π
mkorr
T = 0.3124 s
ω
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik XI/MT 90.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 101
TM101: Feder stösst Quader
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 1.5 kg)
wird gegen eine Feder mit vernachlässigbarer
Masse gedrückt. Die Feder (Richtgösse 120 N/m)
wird dabei um 20 cm verkürzt. Sobald man den
Klotz loslässt, bewegt er sich um einen Meter
nach rechts, bis er stillsteht. Wie gross ist der
Gleitreibungskoeffizient für die Grenzschichz
Körper-Unterlage?
200
1000
Lösungshinweis: Der kürzeste Weg zur Lösung führt über die Energiebilanz. Die ganze Federenergie wird als Arbeit der Reibkraft dissipiert.
Lösung:
∆U Feder = W ( FR )
1
2
D ( ∆s ) = FR s
2
D ( ∆s )
FR =
= 2.4 N
2s
FN = mg = 14.7 N
2
µ=
FR
= 0.163
FN
Schlüsselwörter: Federgesetz, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.1 d
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 102
TM102: Baumstamm
Aufgabenstellung: Ein Baumstamm (Masse 120 kg)wird mittels eines Seils (Querschnitt 450
mm2) aus einem Tobel gezogen. Die Seilspannung und die Seilgeschwindigkeit sind in den untenstehenden Diagrammen eingetragen.
a Wieviel Energie hat die Seilwinde abgegeben?
b Wie gross ist die Reibarbeit der Gleitreibungskraft auf den Baumstamm, wenn die Böschung
eine mittlere Steigung von 40° aufweist?
v
σ
4m/s
4N/mm2
1s 2s 3s 4s 5s
1s 2s 3s 4s 5s
Lösungshinweis: Seilkraft mal Geschwindigkeit ergibt den zugeordneten Energiestrom. Die
Integration über die Zeit liefert die mittransportierte Energie.
Lösung:
a
τ max = 4
N
⇒ Fmax = 1800 N
mm 2
1
W ( F ) = 3.6 ⋅1 + 3.8 ⋅1 + 3.6 ⋅1 + 5.4 ⋅1 + 3.6 ⋅1 = 18.2 kJ
2
b
WG + WBew = W ( F ) + W ( FR )
1
W ( FR ) = mg sin ( 40° ) s + mv 2 − W ( F ) = 12.1kJ + 0.96kJ − 18.2kJ = −5.14 kJ; s = 16 m
2
Schlüsselwörter: Leistung einer Kraft, Arbeit einer Kraft, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.2 d
Aufgaben
Translationsdynamik
TM103: Kegel aus Teich
Aufgabenstellung: Ein Metallkegel (Radius 50 cm, Höhe 90 cm, Dichte
7 kg/dm3) steht so in einem sehr grossen Teich, dass seine Spitze gerade
noch vom Wasser zugedeckt wird. Wieviel Energie muss man
aufwenden, um ihn knapp über die Teichoberfläche zu heben?
Lösungshinweis: Zwei Prozess laufen parallel ab: die Kugel wird angehoben und das Wasser fliesst hinunter.
Lösung:
1
V = π r 2 h = 0.236 m3
3
WG , Kegel = ρVgh = 14'562 J
WG ,Wasser = − ρW Vghs = −1560.2 J
W ( FS ) = ∑ WG = 13'001.8 J
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 90.1 d
Seite 103
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 104
TM104: Klotz auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Ein Quader (Masse 2kg) gleitet auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel
20°) mit 2 m/s aufwärts. Nach einer Gleitstrecke von 37 cm hält er an und rutscht wieder rückwärts hinunter.
a Wie gross ist die Gleitreibungskraft?
b Wie schnell bewegt er sich, wenn er wieder die Startposition erreicht hat?
c Wie gross ist die Arbeit der Gleitreibungskraft beim Hinaufrutschen?
Lösungshinweis: Aus den gegebenen Grössen die Beschleunigung rechnen. Mit Hilfe des
Grundgesetzes die gesuchte Reibungskraft bestimmen. Für den Rückweg umgekehrt vorgehen.
Lösung:
a
1
Kinematik: s = v0 − at 2
2
2
2s v
m
a = 2 = 0 = 5.4 2
t
2s
s
0 = v0 − at
Dynamik: FR = m ( a − g sin α ) = 4.1 N
b
FG // − FR = ma
FR
m
= 1.31 2
m
s
m
v = 2as = 0.983
s
a = g sin α −
c
W ( FR ) = FR s = 1.52 J
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Gleitreibung, Arbeit einer Kraft
Quelle: Physik VI/MT 90.1 b
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 105
TM105: Auto auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Ein Spielzeugauto (Masse 200 g) wird von einem Elektromotor angetrieben, der eine konstante Leistung abgibt. Die “Reibungsverluste” sind quadratisch zur Geschwindigkeit. Fährt das Auto auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 20°) hinauf, so
erreicht es eine Geschwindigkeit von 20 cm/s. Auf einer horizontalen Ebene liegt die Spitzengeschwindigkeit bei 40 cm/s. Wie stark ist die Unterlage geneigt, wenn das Auto eine Geschwindigkeit von 30 cm/s erreichen kann?
Lösungshinweis: Der Automotor liefert eine konstanten Leistung (einen stationären Energiestrom IW) und die Bewegungsenergie des Autos bleibt konstant. Durch Vergleich der Energieströme für beide Lastfälle erhält man eine Reibungskonstante.
Lösung:
horizontal: IW − kv12 = 0
schiefe Ebene: IW − k22 − mgv2 sin α = 0
kg
s
⇒ β = 7.65°
⇒ IW = 0.179 W, k = 1.118
IW − kv32 − mgv3 sin β = 0
Schlüsselwörter: Energiestrom
Quelle: Physik VI/MT 90.3 b
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 106
TM106: Pendel mit Nagel
N
ag
el
Aufgabenstellung: Ein mathematisches Pendel (Pendelkörper hat keine Ausdehnung und die
Schnur ist masselos) der Länge 180 cm und der Masse 0.2 kg wird um 90° ausgelenkt und losgelassen. In einem senkrechten Abstand von 120 cm unterhalb des Aufhängepunktes ist ein Nagel so eingeschlagen, dass der untere Teil des Pendels auf dem zweiten Teil der Bahn um den
Nagel schwingt.
a Wie schnell bewegt sich der Pendelkörper, wenn die Schnur wieder horizontal ist?
b Wie gross ist dort die Fadenkraft?
c Wie gross ist dort die Beschleunigung des Körpers?
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit des Pendelkörpers ist nur von der Höhe abhängig. Während des ganzen Prozesses wirken nur das Seil und das Gravitationsfeld auf den Körper ein. Das
Seil liefert nur einen Beitrag zur Normalbeschleunigung.
Lösung:
a
WG =
1 2
m
mv v = 2 g h = 4.85
2
s
b
FS =
mv 2 m2 g h
=
= 7.85 N
r
r
c
2
a=
FRe s
m
 2g h 
2
= an2 + g 2 = 
 + g = 40.45 2
m
s
 r 
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung, Energiebilanz
Quelle: Physik VI/MT 90.4 b
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 107
TM107: Luftkissenbahn
Aufgabenstellung: Auf einer Luftkissenbahn prallt ein Fahrzeug mit 2 m/s auf ein zweites,
ruhendes, das ein siebenmal grösseres Impulsfassungsvermögen aufweist.
a Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Fahrzeuge nach einem vollständig inelastischen
Stoss.
b Wie gross wären die Geschwindigkeiten nach einem idealelastischen Stoss?
Lösungshinweis: Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden.
Lösung:
a Impuls verteilt sich auf ein 8x grösseres Fassungsvermögen; vin = 0.25 m/s
b freigesetzte Energie wird zum Impulspumpen verwendet; v1 = -1.5 m/s v2 = 0.5 m/s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik II/MT 91.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 108
TM108: Stahlkugeln in Schacht
Aufgabenstellung: Eine Stahlkugel wird in einem vierundzwanzig Meter tiefen, evakuierten
Schacht fallen gelassen. 0.7 Sekunden später schickt man ihr eine zweite nach.
a Welche Geschwindigkeit muss man ihr am Anfang erteilen, damit beide Kugeln gleichzeitig am Boden auftreffen?
b Wie gross sind die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln beim Aufprall?
Lösungshinweis: Im leeren Raum ist die Beschleunigung des Körpers gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldsträrke. Elementarkinematische Aufgaben wie die vorliegende können Sie entweder mit Hilfe einer Formelsammlung lösen (Methode des dressierten Affen) oder
ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm skizzieren und die relavanten Gleichungen daraus ableiten.
Lösung:
a
K1: s =
vt 1 2
25
= gt t =
= 2.212 s
2 2
g
t = 1.512 s
1
v +v
2
s = a e t = va t + g ( t )
2
2
m
va = 8.457
s
K2:
b
ve 2 = va + g t = 23.29
Schlüsselwörter: Wurf
Quelle: Physik III/MT 91.1
m
s
ve1 = gt = 21.7
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 109
TM109: Luftkissenbahn
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 1.5 kg) fährt mit einer Geschwindigkeit
von 2.4 m/s von hinten auf ein zweites auf, das sich mit 0.8 m/s in die gleich Richtung bewegt.
Das zweite besitze eine Masse von 6 kg.
a Wie schnell bewegen sich die Fahrzeuge, wenn sie nach dem Aufprall zusammenbleiben?
b Wie gross sind die Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge, wenn der Aufprall vollständig
elastisch erfolgt ist?
Lösungshinweis: Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden. Beim
elastischen Stoss wird gleichviel Impuls hinaufgepumpt wie vorher hinuntergeflossen ist.
Lösung:
a vin = 1.12 m/s
v1 = 1.12 m/s - 1.28 m/s = -0.16 m/s
v2 = 1.12 m/s + 0.32 m/s = 1.44 m/s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik III/MT 91.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 110
TM110: Fallende Stahlkugel
Aufgabenstellung: Eine Stahlkugel (Masse 250 g) wird im Vakuum aus einer Höhe von 70
Zentimetern fallengelassen. Nach dem Aufprall erreicht sie eine Höhe von 50 Zentimeter.
a Führen Sie ein nach unten orientiertes Koordinatensystem ein und beschreiben Sie, was im
Verlaufe des Prozesses mit dem Impuls passiert? Woher kommt er und wohin geht er?
b Wie gross ist der maximale und der minimale Impulsinhalt?
c Beim Aufprall wirkt eine zeitabhängige Unterlagskraft auf den Körper ein. Diese Unterlagskraft kann in einem Kraft-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Wie hängt dieses Diagramm mit dem Impulsinhalt zusammen. Können Sie eine quantitative Aussage über dieses
Diagramm machen?
Lösung:
a Ein konstanter Impulsstrom fliesst mit einer Stärke vom mg = 2.45N über das Garvitationsfeld zu. Beim Aufprall fliesst ein starker Impulsstrom in die Unterlage hinein.
b
s=
1 2 v2
gt =
⇒ v = 2 gs
2
2g
vor dem Aufprall:
mv = 0.93 Ns
nach Aufprall:
mv = -0.783 Ns
c Die Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve entspricht ungefähr (Zufluss vom Gravitationsfeld
bleibt auch während des Aufpralls wirksam) der Impulsänderung von 1.71 Ns.
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik III/MT 91.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 111
TM111: Exotischer Meteorit
Aufgabenstellung: Ein Geologe habe einen Meteoriten gefunden und auf einer Waage die
Masse bestimmt. Die Messung ergibt einen Wert von 4 kg. Nachher lässt er den Körper in
einem evakuierten Rohr fallen. Der Meteorit benötigt für eine vertikale Fallstrecke von 5 m
eine Zeit von 2.82 s.
a Wieso wäre ein solcher Körper eine wissenschaftliche Sensation? Was unterscheidet den
Meteoritenstoff von den uns bekannten Materialien?
b Welche Grösse muss bei diesem Meteoriten zusätzlich angegeben werden? Wie gross ist
sie?
c Der Körper wird mit einem normalen 6-kg-Stein zusammengebunden und im Vakuum
fallengelassen. Wie lange dauert dann die Fallbewegung?
Lösungshinweis: Die allgemeine Relativitätstheorie würde durch diesen Fund hinfällig. Die
nichtrelativistische Mechanik mit ihrer Trennung von Raum und Wirkung könnte dieses Ereignis verkraften. Sie haben zu zeigen, wie man einen solchen Fremdkörper in die Struktur der
Mechanik einbaut.
Lösung:
a schwere Masse ms = 4 kg
träge Masse mt > ms
b Die träge Masse muss zusätzlich angegeben werden
a = 2s/t2 = 1.257 m/s2
mt = msg/a = 31.2 Ns2/m
c a = mtot/(mst + mt) .g = 2.637 m/s2
t = (2s /a)1/2 = 1.947 s
Schlüsselwörter: Masse
Quelle: Physik III/MT 91.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 112
TM112: Körper auf rauher Unterlage
Aufgabenstellung: Auf einen anfänglich ruhenden Quader (Masse 15 kg) wirkt während vier
Sekunden eine konstante Kraft von 400 N ein. Der Klotz gleitet zuerst auf einer rauhen
Unterlage (Gleitreibungszahl 0.6), bis er 150 m zurückgelegt hat, um nachher auf einer glatten
(Gleitreibungszahl 0.2) weiterzurutschen.
a Welche Strecke legt der Körper zurück, bis er wieder stillsteht?
b Wie lange dauert die Bewegung?
Lösungshinweis: Schnittbild zeichnen, Grundgesetz formulieren und mit Hilfe von
kinematischen Überlegungen schrittweise die Bewegung nachvollziehen.
Lösung:
FR = µ FN
1. x : F - FR = ma
y : FN − FG = 0
F − µ mg F
m
= − µ g = 20.78 2
m
m
s
1 1
s1 = v1t1 = a1t12 = 166.25 m > 150 m
2 2
a1 =
Zeit bis Ende der rauhen Bahn: t1' =
a2 = 24.7
m
s2
t2 = 0.2s
v2 = v1 + a2t2 = 83.9
a3 = − µ 2 g = 1.96
m
s2
2s1'
= 3.8s
a1
1
s2 = v1t2 + a2t22 = 16.32 m
2
m
s
v
1
s3 = v2t3 = 1793.9 m t3 = − 2 = 42.76 s
a3
2
v = v2 + a3t ; v = 0 t = 46.8 s, s = 1960.2 m
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Gleitreibung
Quelle: Physik IV/MT 91.1
v1 = a1t1 = 78.96
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 113
TM113: Körper an Seil
Aufgabenstellung: Ein Köper (Masse 3 kg), der mit 15 m/s im Vakuum nach unten fällt, wird
von einem Seil aufgefangen. Wir nehmen an, dass die Seilkraft in zwei Sekunden linear von 0
auf 80 N anwachse, dann drei Sekunden lang konstant bleibe und am Schluss in einer Sekunde
linear auf Null zurückgehe.
Welche Geschwindigkeit hat der Körper nach diesem Vorgang erreicht?
Lösung: Die Aufgabe kann über das Grundgesetz und die Beschleunigung gelöst werden. Ein
zweiter Lösungsweg führt direkt über die Impulsbilanz.
Lösung:
m
1 m
⋅ 25 + 26.67 ⋅ ⋅ 2 = 7.05
2
s
2 s
m
m
vII = 16.86 2 ⋅ 3s = 50.57
s
s
m
1 m
vIII = −9.81 2 ⋅1s + 26.67 ⋅ ⋅1 = 3.52
s
2 s
m
m
v = 61.15
v = 46.15
s
s
vI = −9.81
m
s
m
s
Lösung:
Impulszufuhr:
FG ∆t = mg ∆t = 176.6 Ns
Impulsabfuhr:
∫ F dt = −360 Ns
S
Endgeschwindigkeit: ve = va +
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Impulsbilanz
Quelle: Physik IV/MT 91.2
∆p
= 46.1 m/s
m
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 114
TM114: Medizinball
Aufgabenstellung: Ein Turner (Masse 78 kg) wirft einen Medizinball (Masse 3 kg) in die
Höhe und fängt in wieder auf. Er stösst dabei den Ball mit konstanter Kraft von 1.5 m auf 2.1
m hinauf. Der Ball fliegt dann bis auf eine Höhe von 4.5 m. Sobald dieser sich 1.8 m über dem
Boden befindet wird er vom Turner wieder aufgefangen und mit konstanter Kraft in 0.2
Sekunden abgebremst.
Zeichnen Sie für den ganzen Vorgang das Kraft-Zeit-Diagramm der Normalkraft auf den Turner. Geben Sie alle Zeitabschnitte und alle Kraftwerte explizit an.
Lösungshinweis: Zuerst mit Hilfe kinematischer Überlegungen die Zeitabschnitte, Abwurfund Auftreffgeschwindigkeit rechnen. Dann die Impulsbilanz (das Grundgesetz) für die drei
Phasen formulieren.
Lösung:
I. Phase (∆t1 = 0.175 s): gravitiv abfliessende Impuls und ∆p muss vom Boden zugeführt
werden: FN = mtotg + ∆p/∆t1 = 912.2 N
II. Phase (∆t2 = 1.442 s): FN = mTurner g = 765.2 N
III. Phase(∆t3 = 0.2 s): FN = mtotg + ∆p/ ∆t3 = 903.8 N
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Grundgesetz
Quelle: Physik IV/MT 91.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 115
TM115: Zwei Klötze auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Auf einer schiefen Ebene (Neigung 35°)
liegen zwei Quader mit bündiger Hinterkante übereinander. Der
obere Klotz hat eine Länge von 20 cm und eine Masse von 15 kg.
Der untere Klotz ist 60 cm lang und hat eine Masse von 30 kg.
Der Gleitreibungskoeffizient zwischen den Klötzen beträgt 0.15,
jener zwischen unterem Klotz und Ebene 0.25. Beide Körper
werden miteinander losgelassen
a Wie lange dauert es, bis der obere Klotz mit seiner Vorderkante jene des unteren erreicht
hat?
b Wie weit hat sich dann der untere Klotz bewegt?
Lösungshinweis: Schnittbilder zeichnen und Grundgesetze formulieren. Die kinematischen
Beziehungen können dem v-t-Diagramm entnommen werden.
Lösung:
1. :
FN + − FG1 cos α = 0
FG sin α − µ1 FN 1 = m1a1
2. :
FN 2 − FN 1 − FG 2 cos α = 0
µ1 FN 1 + FG 2 sin α − µ 2 FN 2 = m2 a
a1 = µ1
m1
m + m2
g cos α + g sin α − µ2 1
g cos α
m2
m2
m

m + m2
m
= g  1 cos α + sin α − µ2 1
cos α  = 3.216 2
m2
s
 m2

m
a = 1.205 2
s
a
t=
2 l
= 0.8147 s
a
s=
1 2
a2t = 1.067 m
2
b
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Beschleunigung
Quelle: Physik IV/MT 91.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 116
TM116: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Auf einer Luftkissenbahn stossen zwei Fahrzeuge aufeinander. Vor dem
Stoss bewegt sich das eine (700 g Masse) mit 3 m/s nach rechts und das andere (400 g Masse)
mit 2 m/s nach links. Nach dem Stoss bleibt das schwerere stehen.
a Wie schnell bewegt sich das andere?
b Wie gross ist das Verhältnis der im zweiten Teilprozess vom Impuls aufgenommenen zu der
im ersten Teilprozess freigesetzten Energie?
Lösungshinweis: Alle relevanten Informationen können Sie dem Flüssigkeitsbild entnehmen.
Die umgesetzte Energie ist gleich geflossener Impuls mal mittlere Geschwindigkeitsdifferenz.
Lösung:
a
Impulserhaltung: m1v1 + m2 v2 = m1v1 '+ m2 v2 '
v2 ' =
m
m1v1 + m2 v2
= 3.25
s
m2
b
vin =
m1v1 + m2 v2
m
= 1.1818
s
m2 + m1
p = 1.2727 Ns
m
v = 2.5
s
W = 3.182 J
II . p = 0.8273 Ns
m
v = 1.625
s
I.
W = 1.344 J
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Prozessenergie
Quelle: Physik VII/MT 91.2
WII
= 0.4225
WI
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 117
TM117: Zweimassenschwingen
Aufgabenstellung: Zwei Quader (Massen 5.5 kg und 17.8
kg), die über eine ideale Feder (Richtgrösse 1700 N/m)
5.5 kg
verbunden sind, können auf einer horizontalen Ebene
reibungsfrei rutschen. Nun werden die Klötze zusammengedrückt, bis die Feder um 10 cm verkürzt ist.
Welche Maximalgeschwindigkeiten erreichen die beiden Quader?
17.8 kg
Lösungshinweis: Mit der Energie der Feder wird Impuls getrennt. Die dabei aufzuwendende
Energie ist gleich geflossener Impuls mal mittlere Geschwindigkeitsdifferenz (vergl. Flüssigkeitsbild).
Lösung:
Impuls trennen: m1v1 + m2 v2 = 0
1
1
Energieerhaltung: U Feder + m1v12 + m2 v22 = 0
2
2
1
1  m 
− D s 2 + m1 1 + 1  v12 = 0
2
2  m2 
1

2


m
m
D s2 
= 1.537
v1 = 
v2 = −0.475
  m1  
s
s
 m1 1 +
 
  m2  
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik VII/MT 91.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 118
TM118: Federpendel
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse 15 kg), der an einer Feder (Richtgrösse 2300 Nm)
hängt, wird angehoben, bis die Feder völlig entspannt ist. Wir wählen die positive Richtung
nach unten.
a Nun lässt man den Körper los. Wie lange dauert es, bis der Impuls mit maximaler
Stromstärke nach oben fliesst?
b Wie stark ist dann der Impulsstrom?
c Wieviel Energie setzt der Impulsstrom 0.1 Sekunden nach dem Loslassen in der Feder um?
(Gesucht ist die vom Impulsstrom umgesetzte Leistung!)
Lösungshinweis: Der Körper schwingt symmetrisch zur Gleichgewichtslage.
Lösung:
a
tiefster Punkt:
T
m
=π
= 0.2537 s
2
D
b
GG-Lage: FF = FG = mg = 147.15 N
tiefster Punkt: FF = 2 FG = 294.3 N
c
s ( t ) = − s0 cos ω t
s ( 0.1s ) = −2.09 ⋅10−2 m
s ( t ) = ω s0 sin ω t
s ( 0.1s ) = 0.75
m
s
FR mg
=
= 0.064 m
D
D
I p = ( s0 + s ) D = 99.13 N
s0 =
p = I p v = 74.35 W
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Impulsstromstärke, Prozessleistung
Quelle: Physik IX/MT 91.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 119
TM119: Stab auf zwei Walzen
Aufgabenstellung: Ein homogener Stab wird auf zwei gleiche, gegenläufig drehende Walzen,
die sich in einem Abstand r voneinander befinden, gelegt. Beim Auflegen ist darauf zu achten,
dass sich der Schwerpunkt des Stabes nicht genau über der Mitte der beiden Walzenachsen
befindet.
Man bestimme mittels der gemessenen Schwingungsdauer T die Gleitreibungszahl für die
Grenzschicht Stab/Walze.
µ
µ
m
r
ω
ω
Lösung: Eine Schwingung ist harmonisch, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur
Auslenkung ist.
r
+s
FN 1 = mg 2
r
r
−s
FN 2 = mg 2
r
2s
2
= − µ mg s
r
r
2
m
r
4π r 2π 2 r
T = 2π
⇒µ= 2 = 2
= 2π
2µ g
2T g T g
D
FRe s = µ ( FN 2 − FN 1 ) µ mg ⋅ −
FN2
FN1
FR1
FG
FR2
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Gleitreibung
Quelle: Physik IX/MT 91.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 120
TM120: Bussard
Aufgabenstellung: Ein Mäusebussard (Masse 900 g) fliegt mit konstanter Schnelligkeit auf
einer horizontalen Kreisbahn. Die resultierende Kraft betrage 1.5 N.
a Wie gross ist die Kraft, die von der Luft auf den Vogel einwirkt?
b Erklären Sie an diesem Beispiel das Wechselwirkungsprinzip.
Lösungshinweis: FRes =FG + FLuft wirkt gegen das Kreiszentrum.
Lösung:
a
2
FLuft = FG2 + FRes
= 8.96 N
b FG : Erde wirkt auf Vogel/ Vogel wirkt auf Erde
FLuft : Luft wirkt auf Vogel/ Vogel wirkt auf Luft
Schlüsselwörter: Kreisbahn, Wechselwirkungsprinzip
Quelle: Physik II/MT 92.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 121
TM121: Rangierstoss
Aufgabenstellung: Ein Eisenbahnwagen stösst mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s auf einen
zweiten, der über das doppelte Impulsfassungsvermögen verfügt und sich anfänglich mit 0.5
m/s in die gleiche Richtung wie der erste bewegt.
a Wie schnell bewegen sie sich nach dem vollständig inelastischen Stoss?
b Wie schnell würde der zweite Wagen fahren, wenn beim Stoss keine Energie dissipiert
würde?
Lösungshinweis: Alle relevanten Informationen können Sie dem Flüssigkeitsbild entnehmen.
Lösung:
a vin = 4/3 m/s
b es kann maximal gleichviel Impuls hinaufgepumpt werden, wie hinuntergeflossen ist.
{ve } =
4  4 1  13
+ −  =
3 3 2 6
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energieerhaltung
Quelle: Physik II/MT 92.4
ve = 2
1m
6 s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 122
TM122: Impuls beim Pendeln
Aufgabenstellung: Eine Kugel pendelt an einer langen Schnur hin
und her.
a Gibt es Zeitpunkte, in denen der Körper im Gleichgewicht ist? Falls
Sie diese Frage bejahen, geben Sie bitte die Punkte auf der Bahn
an.
b Beschreiben Sie, was mit dem x-Impuls im Verlaufe einer Periode
x
(hin und her ) passiert.
z
c Gibt es Zeitpunkte, in denen kein x-Impuls ausgetauscht wird? Falls
Sie diese Frage bejahen, geben Sie bitte die Punkte auf der Bahn
an.
d Gibt es Zeitpunkte, in denen der z-Impulsinhalt sich gerade nicht ändert, in denen der
gravitativ zufliessende z-Impuls mit gleicher Stärke über das Seil abgeführt wird? Falls Sie
diese Frage bejahen, geben Sie bitte die Punkte auf der Bahn an.
Lösungshinweis: Beim Pendel handelt es sich um einen Körper, der sich um eine Achse
beweg (Rotator). Analysiert man das Problem mit Begriffen aus der Translationsmechanik,
sind die Folgerungen alles andere als trivial.
Lösung:
a Nein, der Beschleunigungsvektor ist nie gleich null.
b Die Pendelbewegung lässt sich mit STELLA als Rotator rechnen. Das gesuchte Verhalten
kann dann in einem Diagramm dargestellt werden.
c x-Impuls kann nur über das Seil ausgetauscht werden. Am tiefsten Punkt ist die Seilkraft
genau vertikal gerichtet. Die fehlende x-Komponente zeigt, dass dann kein x-Impuls durch
das Seil fliesst.
d Der z-Impuls ändert sich genau dann nicht, wenn der Inhalt maximal oder minimal ist! Der
Impulsinhalt einer „Sorte“ ist extremal, wenn die zugehörige Geschwindigkeitskomponente
extremal ist. Die fraglichen Punkte liegen also weder in den Totpunkten noch an der tiefsten
Stelle der Bahn.
Schlüsselwörter: Beschleunigung, Impulsinhalt
Quelle: Physik II/MT 92.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 123
TM123: Bremsmanöver
Aufgabenstellung: Ein Auto fährt mit 80 km/h auf einem horizontalen, geraden Strassenstück.
Plötzlich muss es voll abgebremst werden. Der Fahrer eines im Abstand von vierzehn Meter
dahinter fahrenden, gleich schnellen Autos leitet mit einer halben Sekunde Verzögerung
ebenfalls eine Vollbremsung ein.
a Zu welchem Zeitpunkt kommt es zu einem Aufprall, wenn für das erste Auto ein
Gleitreibungskoeffizient von 0.7 und für das zweite 0.6 angenommen werden darf?
b Wie gross sind die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Aufprall?
Lösungshinweis: Zeichnen Sie ein v-t-Diagramm für diesen Vorgang.
Lösung:
a
Grundgesetz:
− FR = ma
Gleichgewicht:
FN − FG = 0
⇒ a = µ ga1 = −6.867
Gleitreibungsgesetz: FR = µ FN
Gravitationsgestz:
FG = mg
Stillstand:
tS1 =
v0
= 3.226 s
a1
t S 2 = 0.5 s +
Bremsweg 1: 35.96 m
v0
= 0.5 s + 3.775 s = 4.275 s
a2
Bremsweg 2: 53.06 m
bei t S1 gilt für Auto 2: v2 = v0 + a2 ⋅ 2.726 s = 6.117
m
s2 = 0.5s ⋅ 22.22 +
s
Distanz: 0.14 m
Näherung: t =
6.177
m
m
a2 = −5.886 2
2
s
s
m
s
m
m
+ 22.22
s
s ⋅ 2.726 s = v t + a2 ( 2.726 s )2 = 49.82m
0 S1
2
2
0.14m
= 0.023 s t Aufprall = 3.25 s
m
6.18
s
b
Auto1: v = 0
Auto 2: v = v0 + a2 ( t Aufprall − 0.5s ) = 6.04
Schlüsselwörter: Beschleunigung, v-t-Diagramm
Quelle: Physik III/MT 92.1
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 124
TM124: Zwei Quader auf schiefer Ebene
Aufgabenstellung: Zwei zusammengebundene Quader gleiten im
Moment mit 5 m/s auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 25°)
hinunter. Für die Grenzschicht zwischen unterem Klotz (Masse 5
kg) und Ebene kann eine Gleitreibungszahl von 0.2 angenommen
werden. Für den oberen Klotz (Masse 8 kg) beträgt die Zahl 0.4.
a Wie gross ist die Seilkraft?
b Wie lange dauert es, bis die Körper 5 m zurückgelegt haben?
20 °
5 kg
8 kg
25 °
Lösungshinweis: Beide Körper freischneiden, Grundgesetze formulieren, nach den gesuchten
Grössen auflösen.
Lösung:
Körper 1
x : FG1 sin 25° − µ1 FN 1 − FS cos 20° = m1a
y : FS sin 20° + FN 1 − FG1 cos 25° = 0
Körper 2
FS cos 20° + FG 2 sin 20° − µ 2 FN 2 = m2 a
FN 2 FS sin 20° − FG 2 cos 25° = 0
FG1 ( sin 25° − µ1 cos 25° ) + FS ( µ1 sin 20° − cos 20° ) = m1a
FG 2 ( sin 25° − µ 2 cos 25° ) + FS ( µ 2 sin 20° − cos 20° ) = m2 a
m
FS = 6.48 N
s
a
a 2
s = v0t + t 2
t + v0t − s = 0
2
2
a = 1.24
Schlüsselwörter: Schnittbild, Grundgesetz
Quelle: Physik III/MT 92.2
t = 0.9 s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 125
TM125: Blei -und Kittkugel
Aufgabenstellung: In einem evakuierten Schacht wird eine Bleikugel (Masse 125 g) fallengelassen. Eine Sekunde später wird 30 Meter tiefer eine Kittkugel (Masse 80 g) mit 8 m/s
vertikal nach oben abgeschossen.
a Wann treffen sich die beiden Körper?
b Wie schnell bewegen sie sich unmittelbar nach dem vollständig inelastischen Stoss?
Lösungshinweis: Die erste Frage kann mit Hilfe eines v-t-Diagramms beantwortet werden.
Die zweite Frage betrifft den inelastischen Stoss.
Lösung:
a
Kittkugel: höchster Punkt:
Bleikugel:
t=
t1 = 1.8155s s =
v0
= 0.8155s
aG
1
h2 = v2 t = 3.262m
2
1 2
m
st = 16.167m vB = 17.81
2
s
Distanz: 10.57 m
Distanz
= 0.5935s
t2 =
vB
t = t1 + t2 = 2.409s
direkte Lösung:
1 2
1
2
gt = 30m + v0 ( t − t ) + g ( t − t )
2
2
v0 = −8
b
m
m
vK 2 = g t2 = 5.822
s
s
m
= 16.68
s
vB 2 = vB + g t2 = 23.63
vin =
mB vB 2 + mk vk 2
mB mk
Schlüsselwörter: Wurf, Stossproblem
Quelle: Physik III/MT 92.3
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 126
TM126: Kinematik
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie aus dem untenstehenden a-t-Diagramm die in den ersten
vier Sekunden zurückgelegte Strecke und die Endgeschwindigkeit nach fünf Sekunden. Die
Anfangsgeschwindigkeit betrage 1.5 m/s.
a
1 m/s2
t
1s
-1 m/s2
Lösungshinweis: Skizzieren Sie zuerst das v-t-Diagramm. Die zurückgelegte Strecke entspricht dann der Fläche unter der v-t-Kurve.
Lösung: ve = -0.25 m/s
s = 8.125 m
Schlüsselwörter: v-t-Diagramm
Quelle: Physik III/MT 92.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 127
TM127: Massenmittelpunkt
Aufgabenstellung: Zwei Metallzylinder (Radius 5 cm, Höhe 15 cm, Dichte
8 kg/dm3) stehen reibungsfrei auf einer horizontalen Platte. In der Skizze
F
weise die x-Achse in Kraftrichtung, die y-Achse gegen den oberen Blattrand
und die z-Achse auf Sie zu.
F
a Wie schnell bewegt sich der Zylinder (obere Skizze), wenn während fünf
Sekunden eine konstante Kraft von 6 N eingewirkt hat?
b Wieviel x- und y- Impuls enthält der Zylinder, wenn er an Ort mit drei
Umdrehungen pro Sekunde um die eigene Achse rotiert?
c Wird der Zylinder mittels einer aufgewickelten Schnur beschleunigt (untere Skizze), so
beginnt er gleichzeitig zu rotieren. Schätzen Sie ab, wie schnell sich die Zylinderachse nach
fünf Sekunden bewegt, wenn an der idealen Schnur mit 6 N gezogen wird. Begründen Sie
Ihre Abschätzung ausführlich.
Lösungshinweis:
Lösung:
a
p = F ∆t = 30 Ns
v=
m = π r 2 h ρ = 9.425 kg
m
p
= 3.183
m
s
b Ein am Ort rotieriender Körper enthält weder x- noch y-Impuls.
c Der zugeführte Impuls bestimmt die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. Mit der
Rotation vermag der Zylinder weder x- noch y-Impuls zu speichern.
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik III/MT 91.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 128
TM128: Motorrad in Zylinder
Aufgabenstellung: Ein Artist fährt mit seinem Motorrad auf der senkrechten Innenwand eines
stehenden Zylinders (Radius 12 m) im Kreis herum. Der Massenmittelpunkt von Fahrer und
Zweirad (Gesamtmasse 150 kg) sei ein Meter “über Boden”. Wie schnell muss er im Minimum
fahren, damit er nicht abstürzt? Für den Haftreibungskoeffizienten Rad-Zylinderwand dürfen
Sie 0.7 annehmen.
Lösungshinweis: Arstist und Motorrad bewegen sich gleichmässig im Kreis. Folglich zeigt
die resultierende Kraft gegen die Mitte. In vertikaler Richtung halten Haftreibung und
Gewichtskraft das System im Gleichgewicht.
Lösung:
y : FHR − FG = 0
v2
R
( Grenzfall )
x : FN = maMMP = m
FHR = µ M FN
v=
Rg
µM
= 12.4
m
km
= 44.7
s
h
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Grundgesetz
Quelle: Physik IV/MT 92.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 129
TM129: Platte auf Klotz
Aufgabenstellung: Eine Platte mit einer Masse von 50 kg und einer
Länge von 2 m liegt zentriert auf einem Klotz (Masse 50 kg, Länge 1.0
m). Dann stösst man die Platte mit einer konstanten Kraft von 350 N
horizontal über den Klotz. Die Gleitreibungskoeffizient zwischen Platte
und Klotz beträgt 0.5, zwischen Klotz und Boden 0.2. Wie lange dauert
es, bis die Platte vom Sockel kippt?
Lösungshinweis: Schnittbild für beide Körper zeichnen, Grundgesetze und kinematische
Beziehung formulieren.
Lösung:
1. x : F − FR1 = m1a1 FR1 = µ1 FN 1
y : FN 1 − FG1 = 0
2. x : FR1 − FR 2 = m2 a2 FR 2 = µ 2 FN 2
y : FN 2 − FN 1 − FG 2 = 0
a1 =
F
m + m2
m
m
g = 2.095 2 a2 = µ1 g − µ 2 1
g = 0.981 2
m1
m2
s
s
1 2 1 2
a1t − a2t = 0.5 m
2
2
1m
t=
= 0.947 s
a1 − a2
Schlüsselwörter: Grundgesetz
Quelle: Physik IV/MT 92.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 130
TM130: Blei -und Kittkugel II
Aufgabenstellung: In einem evakuierten Schacht wird eine Bleikugel (Masse 300 g)
fallengelassen. Eine halbe Sekunde später wird 20 Meter tiefer eine Kittkugel (Masse 80 g) mit
16 m/s vertikal nach oben abgeschossen.
a Wann treffen sich die beiden Körper?
b Wie schnell bewegen sie sich unmittelbar nach dem vollständig inelastischen Stoss?
Lösungshinweis: Die erste Frage kann mit Hilfe eines v-t-Diagramms beantwortet werden.
Die zweite Frage kann mit einer einfachen Impulsbilanz gelöst werden.
Lösung:
Fallbewegung: a = g
h1 =
g 2
t1 = 1.226 m
2
a
verbleibende Distanz : d = 18.774 m
m
d
= 0.898s
v1 = 4.905
t=
s
v1 − v2
t2 = t1 + t = 1.398s
b
v1e = gt2 = 13.7
ve =
v2 e = v2 + g t = −7.19
m1v1e + m2 v2 e
m
= 9.31
m1 + m2
s
Schlüsselwörter: Wurf, Stossproblem
Quelle: Physik IV/MT 92.3
m
s
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 131
TM131: Schiefer Wurf
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse m) werde von einem Hausdach (h über Boden) mit der
Geschwindigkeit c unter dem Winkel Alpha (gemessen zur Horizontalen) fortgeworfen.
a Leiten Sie die Formel für die Wurfweite im Vakuum her. Klammern Sie den Faktor
(c2·sin[2α])/(2g) aus.
b Erreicht man die grösste Wurfweite, indem man den Körper flacher oder steiler als 45°
fortwirft? Argumentieren Sie mit der hergeleiteten Formel!
Lösungshinweis: vergl. TM37.
Lösung:
a
y ( t ) = c sin α t −
x ( t ) = c cos α t
t=
1 2
gt = − h
2
c sin α 1 2 2
c sin α + 2 gh
+
g
g
xW =
c2
c cos α 2 2
sin 2α +
c sin α + 2 gh
g
2g
b

c2
2 gh 
xW =
sin 2α 1 + 1 + 2 2 
2g
c sin α 

sin2α symmetrisch um 45°, je grösser α, desto kleiner 1/sin2α => flacher
Schlüsselwörter: schiefer Wurf
Quelle: Physik IV/MT 92.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 132
TM132: Drei Klötze an vier Seilen
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Umlenkrollen ideal sind, die
Beschleunigung des mittleren Körpers sowie die beiden Seilkräfte.
3 kg
4 kg
10 kg
Lösungshinweis: Grundgesetze für alle drei Körper formulieren. Ideale Rollen sorgen für
gleiche Seilspannung.
Lösung:
K1: − m1 g + FS 1 = m1a
K2: − m2 g + FS 2 = m2 a
K3: m3 g ( FS 1 + FS 2 ) = m3 a
a=
m3 − ( m1 + m2 )
m
g = 1.73 2
s
m1 + m2 + m3
FS 1 = m1 ( g + a ) = 32.62 N
FS 2 = m2 ( g + a ) = 46.16 N
Schlüsselwörter: Grundgesetz
Quelle: Physik IV/MT 92.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 133
TM133: Turner auf Matte
Aufgabenstellung: Ein Turner (Masse 80 kg) lande mit einer Geschwindigkeit von 7 m/s
unter einem Winkel von 30° (gegen die Horizontale) auf einer Schaumstoffmatte (Masse 20
kg).
Wie weit rutscht die Matte, wenn wir annehmen, dass auf den Turner während 0.2 Sekunden
eine konstante Bremskraft einwirkt? Für den Gleitreibungskoeffizient Matte-Boden dürfen Sie
0.2 annehmen.
Lösungshinweis: Der Prozess läuft in zwei Phasen ab: in der ersten Phase gleichen sich die
Geschwindigkeiten von Turner und Matte an, in der zweiten kommen beide zur Ruhe.
Lösung:
I. Phase: t = 0.2s
v0 sin 30°
t
t
p
mv − m1v0 cos 30°
x : − FR = x = 1
t
t
v0 sin 30°
= 2381 N
FN = mg + m1
t
m v cos 30° µ FN t
m
v1 = 1 0
−
= 3.897
m
m
s
II. Phase:
Gesamtsystem:
s=
y : − FG + FN =
= m1
y : FN − mg = 0
FR = µ FN = µ mg
x : − FR = ma
a = −µ g
1
v1 ( t I + t II ) = 4.26 m
2
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Gleitreibung
Quelle: Physik IV/MT 92.6
py
t=
v1
= 1.986 s
−a
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 134
TM134: Kraft auf Klotz
Aufgabenstellung: Wie gross sind in der nebenstehend skizzierten Situation
a die Änderungsrate des x-Impulsinhaltes
b die Änderungsrate der kinetischen Energie
c die Leistung der Seilkraft,
wenn sich der Klotz im Moment mit 0.4 m/s bewegt?
Daten: F = 30 N, m = 3 kg, α = 30°, Gleitreibungszahl 0.5
F
α
m
Lösungshinweis: Grundgesetz und Gleichgewicht formulieren und daraus FRes bestimmen.
Leistungbilanz aufstellen und Änderungsrate der kinetischen Energie berechnen.
Lösung:
a
x : F cos α − FR = px
FR = µ FN
y : FN + F sin α − FG = 0
px = F ( cos α + µ sin α ) − µ mg = 18.77 N
b
P ( F ) + P ( FR ) = W = 7.5 W
c
P ( F ) = Fv cos 30° = 10.39 W
P ( FR ) = − FR v = − µ ( FG − F sin α ) r = −2.886 W
Schlüsselwörter: Grundgesetz, Leistung einer Kraft, Leistungsbilanz
Quelle: Physik VI/MT 92.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 135
TM135: Eisstück auf Zylinderdach
Aufgabenstellung: Ein Eisstück (Masse 5 kg) rutscht reibungsfrei vom Scheitel eines halbzylinderförmigen Daches (Radius 12 m) ab. Nach welchem vom Körper zurückgelegten Weg beträgt die Normalkraft noch 40% der Gewichtskraft?
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit hängt nur vonder Höhe ab. Die Summe aus Normalkraft und Normalkomponente der Gewichtskraft bestimmt die Normalbeschleunigung.
Lösung:
v2
R
F cos ϕ − FN
Dynamik:
an = G
= g ( cos ϕ − 0.4 )
m
⇒ v 2 = Rg ( cos ϕ − 0.4 )
Kinematik:
an =
Energiesatz:
mgR (1 − cos ϕ ) =
⇒ 2 gR (1 − cos ϕ ) = g ( cos ϕ − 0.4 ) R
m 2
v
2
⇒ cos ϕ = 0.8 ⇒ ϕ = 36.9° = 0.644 rad
Weg = Rϕ = 7.72 m
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Energieerhaltung
Quelle: Physik VII/MT 92.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 136
TM136: Zwei Quader mit Feder
Aufgabenstellung: Zwei Quader (Massen 18 kg und 27 kg), die
über eine ideale Feder (Richtgrösse 1800 N/m) verbunden sind,
können auf einer horizontalen Ebene reibungsfrei rutschen. Nun
werden die Klötze zusammengedrückt, bis die Feder um 20 cm
verkürzt ist.
Welche Maximalgeschwindigkeiten erreichen die beiden Quader?
18 kg
27 kg
Lösungshinweis: Mit der von der Feder freigesetzten Energie wird Impuls von einem Körper
in den andern gepumpt.
Lösung:
Impulserhaltung: m1v1 + m2 v2 = 0
Energierhaltung:
v1 =
1
1
1
D s 2 = m1v12 + m2 v22
2
2
2
D s2
m
m
v2 = −1.03
= 1.55
2
s
s
m
m1 + 1
m2
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Impulsbilanz
Quelle: Physik VII/MT 92.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 137
TM137: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 300 g) prallt mit 2.4 m/s gegen ein ruhendes mit einer Masse von 900 g. Nach dem teilelastischen Stoss fährt es mit einer Geschwindigkeit von 0.6 m/s in die andere Richtung.
Wie schnell würde das erste schlussendlich fahren, wenn sich das zweite anfänglich mit einer
Geschwindigkeit von 1.6 m/s gegen das erste bewegt hätte? Das Material verhalte sich bei beiden Stössen gleich “teilelastisch”.
Lösungshinweis: Flüssigkeitsbild skizzieren und Energieumsatz untersuchen. Das Verhältnis
der vom Impuls aufgenommenen zur vorher freigesetzten Energie ist gleich dem Quadrat des
Verhältnisses der Relativgeschwindigkeiten.
Lösung:
2.4 m/s
1 m/s
0.6 m/s
-0.6 m/s
300 g
900 g
freigesetzte Energie: pausgetauscht∆v = 0.54 Ns*1.2 m/s = 0.648 J
aufgenommene Energie: pausgetauscht∆v = 0.36 Ns*0.8 m/s = 0.288 J
Stosszahl = Wauf/Wfrei = 0.444 = 4/9
2.4 m/s
3
0.067 m/s
-0.6 m/s
2
-1.6 m/s
-2.6 m/s
300 g
v1e = -2.6 m/s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Prozessenergie
Quelle: Physik VII/MT 92.3
900 g
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 138
TM138: Kugel an Feder
Aufgabenstellung: Eine Stahlkugel (Gewichtskraft 15 N) bewegt sich an einer Feder (Richtgrösse 150 N/m) hängend mit 0.4 m/s nach oben. Die Feder ist im Moment um 8.2 cm
gegenüber dem ungespannten Zustand verlängert.
a Um wieviel ist die Feder verlängert, wenn die Geschwindigkeit des Klotzes das nächste Mal
gleich Null ist?
b Wie gross ist die momentane Änderungsrate der kinetischen Energie?
c Die Änderungsrate der Federenergie?
Lösungshinweis: Energiebilanz zu zwei Zeitpunkten aufstellen. Die Änderungsrate der
kinetischen Energie folgt aus der Leistungsbilanz.
Lösung:
a
Energiesatz: ( h = 0 in 1.Position )
1 2 1 2 1 2
mv + Ds1 = Ds2 + mg ( s1 − s2 )
2
2
2
2
Ds2 − 2mgs2 + 2mgs1 − mv12 − Ds12 = 0
s2 = 5.58 cm
b
P ( FF ) + P ( FG ) = Wkin
4.29W − 6W = −1.8 W
c
− P ( FF ) = WF = −4.92 W
Schlüsselwörter: Energiebilanz, Leistungsbilanz
Quelle: Physik V/MT 93.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 139
TM139: Eisklotz in Hohlzylinder
Aufgabenstellung: Ein Eisklotz (Masse 50 g) bewegt sich im Innern eines liegenden Hohlzylinders (Innenradius 50 cm) längs
des Umfanges.
a Wie schnell muss er sich im Punkt A bewegen, damit er im
Punkt B nach innen abhebt?
b Wie lange dauert der Flug, bis er auf der Gegenseite wieder auftrifft?
c Wie gross ist die Beschleunigung des Eisklotzes im Punkt A?
Gleitreibung und Luftwiderstand sind zu vernachlässigen
B
1000
45˚
45˚
A
Lösungshinweis: Beim Abheben wirkt nur noch die Gewichtskraft. Die zugehörige
Normalkomponente bestimmt dann die Beschleunigung. Die Geschwindigkeit hängt nur von
der Höhe ab.
Lösung:
a
Bedingung:
FN = 0
v2
R
m
⇒ v 2 = Rg sin α ⇒ v = 1.86
s
1 2
1
Energiesatz:
mv2 = mgh + mv12 mit h = 2 R sin α
2
2
m
⇒ v2 = 5 gR sin α = 4.164
s
Grundgesetz ⊥:
FG sin α = m
b Wurfparabel mit Scheitel (21/2/4 R, 21/2/8 R)
Flugzeit bis Symmetrieachse 0.268 s
Fallzeit bis tiefster Punkt 0.572 s
Freiflugszeit 0.5 s
c
v22
m
= 5 g sin α = 34.68 2
R
s
FG ,t
m
at =
= g cos α = 6.94 2
m
s
an =
a = g 25sin 2 α + cos 2 α = 35.37
m
s2
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung, Energiebilanz
Quelle: Physik V/MT 93.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 140
TM140: Körper auf rotierendem Tisch
Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse 1 kg) wird auf einem runden Tisch, der sich einmal pro
Sekunde um die eigene Achse dreht, mit 10 cm/s längs eines tischfesten Radius hinausgeführt.
Wir diskutieren nun die Bewegung vom Labor aus.
a Beschreiben Sie in Worten und mit einer Skizze, wie die Bahn des Körpers aussieht.
b Wählen Sie einen Punkt auf der Bahn aus und zeichenen Sie die horizontal auf den Körper
einwirkende Kraft ein.
c Wie gross ist die kinetische Energie des Körpers, wenn er sich 20 cm von der Drehachse
entfernt befindet.
Lösung:
a Der Körper beschreibt eine Spirale (analog zur Tonspur einer Langspielplatte).
b F muss eine Normal- und eine Tangentialbeschleunigung verursachen. Die Kraft zeigt
deshalb in Vorwärtsrichtung am Mittelpunkt der Spirale vorbei.
c Wkin = 1/2*m(vr2 + ω2R2) = 0.7946 J
Schlüsselwörter: Normalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung, kinetische Energie
Quelle: Physik V/MT 93.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 141
TM141: Metallstück auf Kreisbahn
1.25 m
2m
Aufgabenstellung: Ein Metallstück (Masse 3 kg) ist an zwei Seilen an
einem rotierenden Stab aufgehängt.
a Mit welcher Frequenz muss sich das System drehen, damit das obere
Seil mit einer Kraft von 60 N einwirkt?
b Welchen Winkel schliesst das obere Seil mit dem Stab ein, wenn das
untere gerissen ist und die Frequenz beibehalten wird?
Lösungshinweis: Körper freischneiden und Grundgesetz für die Radialrichtung und Gleichgewicht für die Vertikalrichtung formulieren.
Lösung:
a
x:
( F1 + F2 ) cos α = ma
a = 4π 2 f 2 r
y : F1 sin α − F2 sin α − FG = 0
mg
= 23.21 N
sin α
4
3
3
sin α = , r = m, cos α = , α = 53°
5
4
5
F1 = 60 N F2 = F1 −
f =
1
2π
( F1 + F2 ) cos α
mr
= 0.74 s −1
b
x:
FS cos α = FRes = ma = mf 2 4π 2 r
y:
FS sin α = FG
⇒ FRes = FG ctgα 
g

⇒ FRes = mf 2 4π 2 r  sin α = 2 2
4π f l

r = l cos α

α = 20.7° / β = 60.3°
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung
Quelle: Physik V/MT 93.5
3 kg
1.25 m
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 142
TM142: Segelflugzeug
Aufgabenstellung: Ein Segelflugzeug sinkt in ruhender Luft mit konstanter Schnelligkeit auf
einer Schraubenlinie hinunter. Die Masse des Segelflugzeuges beträgt 280 kg. Die schraubenlinienförmige Bahn hat einen Durchmesser von 500 m, eine Ganghöhe von 50 m und die
Achse zeigt lotrecht nach unten. Für einen vollen Umgang braucht das Flugzeug 90 Sekunden.
a Berechnen Sie die Beschleunigung des Flugzeuges.
b Mit welcher Kraft wirkt die Luft auf das Flugzeug ein?
Lösungshinweis: Die Bewegung kann als Überlagerung einer Kreisbewegung mit einem Bewegungszustand gesehen werden. Die Beschleunigung zeigt horizontal gegen die Achse und
wird durch das Zusammenspiel von Gewichts- und Luftkraft erzeugt.
Lösung:
a
a=
v 2 4π 2
m
= 2 r = 1.2185 2
r
T
s
b
FL = FRe2 s + FG2 = m a 2 + g 2 = 2768 N
Schlüsselwörter: Kreisbewegung, Normalbeschleunigung
Quelle: Physik VI/MT 93.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 143
TM143: Stossdämpfer
Aufgabenstellung: In einem horizontal liegenden Stossdämpfer wird eine momentane
Leistung von 2.5 kW freigesetzt. Das linke Ende des Apparates bewegt sich im Moment mit
1.5 m/s nach links und das rechte mit 1 m/s nach rechts.
a Wie stark ist der durch den Stossdämpfer fliessende Impulsstrom?
b Wie gross sind die Leistungen der beiden Kräfte?
c Wie stark ist der dem Impuls zugeordnete Energiestrom, der von links in den Dämpfer
hineinfliesst?
Lösungshinweis: Die Leistung einer Kraft ist ein zugeordneter Energiestrom, d.h. sie ist nur in
Bezug auf einen ruhenden Beobachter definiert. Die Prozessleistung beschreibt dagegen den
eigentlichen Energieumsatz.
Lösung:
a
P = Ip v
Ip =
P
= 1000 N
v
b
P ( FL ) = 1.5 kW P ( FR ) = 1kW
c
IW ,mech ≡ P ( FL ) = 1.5 kW
Schlüsselwörter: Prozessleistung, Leistung einer Kraft, Energiestrom
Quelle: Physik VI/MT 93.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 144
TM144: Modell einer Peitsche
Aufgabenstellung: Eine Scheibe (Masse 100 g) und eine biegsame
Kette (Masse 500 g) bewegen sich in Richtung der gestreckten
Kette mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s reibungsfrei über eine
Unterlage. Dann wird das Ende A plötzlich festgehalten. Ein immer
grösser werdendes Stück der Kette kommt dadurch zum Stillstand.
Wie gross ist die Geschwindigkeit der Scheibe, wenn sich nur noch
1/5 der ursprünglichen der Kette bewegt?
3 m/s
A
A
Lösungshinweis: Der Impuls fliesst leistungsfrei heraus, womit die kinetische Energie des
bewegten Teils (Scheibe und noch bewegter Teil der Kette) erhalten bleibt.
Lösung:
1
1
mtot v12 = mred v22 ⇒ v 2 =v1
2
2
mtot
m
=5.2
s
mred
Schlüsselwörter: kinetische Energie, Impulsstrom, Energiestrom
Quelle: Physik VI/MT 93.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 145
TM145: Auto auf Ellipsenbahn
Aufgabenstellung: Ein Auto fährt mit konstanter Schnelligkeit (Geschwindigkeitsbetrag) auf einer ellipsenförmigen Bahn.
a Zeichen Sie im Punkt X die Richtung des Beschleunigungsvektors ein.
b Zeichnen Sie an diesem Punkt die Richtung der Resultierenden aller
auf das Auto einwirkenden Kräfte ein.
c Zeichnen Sie die Horizontalkomponente der Kraft ein, mit der die
Strasse auf das Auto einwirkt
X
Lösungshinweis: Die Summe über alle Kräfte ist gleich Masse mal Beschleunigung. Welche
Kräfte wirken in der Horizontalen und wie ist die Beschleunigung gerichtet?
Lösung:
a
v = konst. ⇒ a ⊥ v
b
FRe s = ma ⇒ a und FRe s kollinear
c
FLuftwid . + FHR = FRe s
Schlüsselwörter: Grundgesetz
Quelle: Physik VI/MT 93.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 146
TM146: anfahrendes Auto
Aufgabenstellung: Ein Auto startet mit einer Anfangsbeschleunigung von 2.56 m/s2. Nach
jeder Sekunde fällt die Beschleunigung auf die Hälfte herunter.
a Wie schnell fährt das Auto nach fünf Sekunden?
b Wie lange dauert es, bis das Auto 20 Meter zurückgelegt hat? (Resultat auf die Zehntelsekunde genau)
Lösungshinweis: Geschwindigkeitszuwachs, Geschwindigkeit und Streckenabschnitte
berechnen, bis die gesuchte Distanz erreicht ist.
Lösung:
∆v/m/s
v / m/s
∆s / m
s/m
1.
2.56
2.56
1.28
1.28
2.
1.28
3.84
3.2
4.48
3.
0.64
4.48
4.16
8.64
4.
0.32
4.8
4.64
13.28
5.
0.16
4.96
4.88
18.16
6.
0.08
5.04
5.0
23.16
a v = 4.96 m/s
b s = 5.37 s
Schlüsselwörter: Beschleunigung
Quelle: Physik III/MT 93.2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 147
TM147: Zug durchfährt Baustelle
Aufgabenstellung: Ein mit 72 km/h fahrender Zug erleidet eine Verspätung von drei Minuten,
weil er eine Baustelle mit nur 18 km/h passieren durfte. Wie lang ist die langsam durchfahrene
Teilstrecke, wenn der Zug mit 0.3 m/s2 abbremst und mit 0.2 m/s2 beschleunigt?
Lösungshinweis: Verspätungen infolge Brems- und Beschleunigungsvorgang berechnen. Aus
der restlichen Verspätung kann die Länge der Baustelle berechnet werden.
Lösung:
abbremsen
Baustelle
hochfahren
Strecke
625m
887.5m
937.5m
Zeit
31.25s
44.375s
46.825s
Verspätung
18.75s
133.125s
28.125s
Schlüsselwörter: Beschleunigung
Quelle: Physik III/MT 93.3
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 148
TM148: anschwellende Kraft auf Klotz
Aufgabenstellung: Auf einen Klotz (Masse 10 kg) auf waagrechter Unterlage wirkt horizontal
eine Kraft ein, die in zehn Sekunden linear von Null auf 98.1 N anwächst.
a Wie schnell bewegt sich der anfänglich ruhende, reibungsfrei gelagerte Klotz nach diesen
zehn Sekunden?
b Wie schnell bewegt sich der Klotz, wenn für den Haftreibungskoeffizient 0.4 und für den
Gleitreibunskoeffizient 0.3 angenommen werden kann?
Lösungshinweis: Im ersten Fall bleibt der Impuls im Körper drin. Im zweiten Fall strömt der
Impuls anfänglich nur durch den Körper hindurch. Sobald gleiten einsetzt, fliesst ein konstanter Impulsstrom an die Unterlage weg.
Lösung:
a
pgeflossen = 490.5N = pKörper
v=
p
m
= 49.05
m
s
b
FHR ,max = 39.24 N
t gleit = 10s
39.24 N
=4s
98.1 N
FR = 29.43 N
9.81 N + 7 ⋅ 9.81 N
6 s = 235.44 Ns
2
p
m
v = = 23.5
m
s
p=
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Gleitreibung
Quelle: Physik III/MT 93.4
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 149
TM149: Quaderkette
Aufgabenstellung: An einer Kette aus vier Quadern, die auf einer horizontalen Eisfläche liegt,
wird horizontal gezogen.
a Wie gross ist die Zugkraft, wenn die Beschleunigung 2 m/s2 beträgt und für alle Gleitflächen eine Gleitreibungszahl von 0.1 angenommen werden kann?
b Wie stark sind die x-Impulsstromstärken in den vier Seilen ?
x
5 kg
2 kg
4 kg
2 kg
Lösungshinweis: Flüssigkeitsbild skizzieren und Impulsströme einzeichnen.
Lösung:
a
FG = FN ⇒ FR = µ FN
I pzu = p − I pab = mtot v + FR ,tot = mtot ( v + µ g ) = 38.75 N
b
1. 38.75 N
m
= 32.79 N
s2
m
3. 32.79N − 3.924N − 4kg ⋅ 2 2 = 20.87 N
s
m
4. 20.87N − 1.962N − 2kg ⋅ 2 2 = 14.9 N
s
2. 38.75N − 1.962N − 2kg ⋅ 2
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle:m Physik III/MT 93.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 150
TM150: Drahtzug
Aufgabenstellung: Beim Drahtzug wird der Draht
von der Wikkeltrommel durch eine Stahlmatrize
(Ziehstein) gezogen und dabei im Durchmesser
60 cm
Ziehstein
verkleinert. Im nebenstehend skizzierten Zug drehe
40 U/min
sich die Trommel (Durchmesser 60 cm) mit 40
Umdrehungen pro Minute und der Draht werde im
Ziehstein von 4.5 auf 4 mm Durchmesser gezogen.
Im dünnen Draht herrsche eine Zugspannung von
x
150 N/mm2. Der Ziehstein muss mit 1685 N
festgehalten werden.
a Wie fliesst der x-Impuls in dieser Anordnung?
b Ordnen Sie den verschiedenen Impulsströmen einen Energiestrom zu. Wie stark sind diese
Ströme?
c Wie gross sind die horizontalen Kräfte, die auf den Ziehstein einwirken? Wie gross sind die
Leistungen dieser Kräfte?
Lösungshinweis: Kräfte sind Impulsströme bezüglich eines Körpers. Der zugeordnete
Energiestrom wird in der Kraftdarstellung zur Leistung der Kraft.
Lösung:
a Impuls fliesst rückwärts
dünner Draht: Ip = 200 N
dicker Draht: Ip = 1885 N
b dünner Draht: v = 0.993 m/s IW = 198.6 W
dicker Draht: v = 1.257 m/s IW = 2369 W
c P(Fdünn) = -198.6 W
P(Fdick) = 2369 W
P(Ffestgehalten) = 0
Schlüsselwörter: Impulsstrom, Energiestrom, Leistung einer Kraft
Quelle: Physik IV/MT 93.1
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 151
TM151: Zwei Quader mit Feder
Aufgabenstellung: Zwei Quader (Massen 8 kg und 14 kg),
die über eine ideale Feder (Richtgrösse 2100 N/m)
verbunden sind, können auf einer horizontalen Ebene rei8 kg
bungsfrei rutschen. Nun werden die Klötze zusammengedrückt, bis die Feder um 20 cm verkürzt ist und dann losgelassen.
Welche Maximalgeschwindigkeiten erreichen die beiden Quader?
14 kg
Lösungshinweis: Mit der Federenergie wird Impuls aus dem linken Quader in den rechten gepumpt.
Lösung:
Impuls: m1v1 + m2 v2 = 0
1
1
m1v12 + m1v22 = WFeder
2
2
2
m
D
m1v12 + 1 v2 = Ds 2 v1 =
m2

m
m1 1 + 1
 m2
Energie:
v1 = −2.585
m
m
v2 = 1.477
s
s
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physik IV/MT 93.2



s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 152
TD152: Schuss auf Federpendel
Aufgabenstellung: Eine Gewehrkugel (Masse 0.01 kg)
fliegt horizontal gegen einen Holzklotz (Masse 0.99 kg)
und bleibt stecken. Der Klotz setzt sich infolge des Schla0.99 kg
ges in Bewegung und drückt die Feder (Richtgrösse 1 N/
cm) um 10 cm zusammen.
Wie schnell ist die Kugel geflogen? Die Gleitreibung ist zu vernachlässigen.
Lösungshinweis: Die Aufgabe ist rückwärts zu lösen: die Energiebilanz liefert die Geschwindigkeit des Klotzes mit eingedrungener Kugel. Die Geschwindigkeit der Kugel folgt dann aus
der Impulserhaltung.
Lösung:
1 2 1 2
Ds = mv
v=
2
2
m
m
vk =
v = 100
s
mk
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Energiebilanz
Quelle: Physk IV/MT 93.3
D
m
s =1
s
m
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 153
TM153: Eisklotz in Schüssel
Aufgabenstellung: Ein Eisklotz (Masse 5 g) wird an den Rand
einer halbkugelförmigen Schüssel (Radius 55 cm) gesetzt. Wie
schnell ist der Körper, wenn er die gezeichnete Position erreicht
hat? Reibung ist zu vernachlässigen.
Start
Lösungshinweis: Die Geschwindigkeit ist nur von der Höhe abhängig.
Lösung:
1 2
mv
2
h = R sin 40°
mgh =
v = 2 gR sin 40° = 2.63
Schlüsselwörter: Energiebilanz
Quelle: Physik IV/MT 93.4
m
s
40°
momentane
Position
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 154
TM154: Feder dehnen
Aufgabenstellung: Das eine Ende einer Feder (Richtgrösse 500 N/m) sei an der Wand befestigt, das andere bewege sich mit der folgenden, zeitlich veränderlichen Geschwindigkeit
v(t)
v = 10 cm/s - 2.5 cm/s2 · t
Zum Zeitnullpunkt ist die Feder gegenüber dem ungespannten Zustand um 10 cm verlängert.
a Zeichnen Sie das Impulsstrom-Zeit-Diagramm für die ersten 6 s.
b Wie gross ist die Leistung der nach rechts gerichteten Federkraft nach 3 s und nach 5 s?
c Wieviel mechanisch freisetzbare Energie enthält die Feder vier Sekunden nach dem Start?
Lösungshinweis: Die Impulsstromstärke hängt von der Dehnung ab, also muss zuerst das
Dehnungs-Zeit-Diagramm skizziert werden. Im gegebenen Fall (konstante Beschleunigung)
ergibt sich ein Stück einer Parabel.
Lösung:
a
a 

I p = Ds = D  s0 + v0t − t 2 
2 

I p .max bei 4s ⇒ s = 0.3 m ⇒ I p.max = 150 N
b
P ( F ) = vF = 3.6 W
c
W=
1 2
Ds = 22.5 J
2
Schlüsselwörter: Impulsstromstärke, Energiestrom, ausgetauschte Energie
Quelle: Physik IV/MT 93.5
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 155
TM155: Zwei Klötze an Schnur
Aufgabenstellung: Zwei Quader sind durch eine Schnur verbunden. Ein weiteres
Stück Schnur ist an dem oberen Klotz befestigt.
a Wie stark muss man an der oberen Schnur ziehen, damit die Beschleunigung der
Klötze 2 m/s2 beträgt?
b Wie stark ist dann der Impulsstrom im Verbindungsseil?
9 kg
3.5 kg
Lösungshinweis: Dieser Prozess läst sich gut im Flüssigkeitsbild darstellen. Falls
die positive Richtung nach unten gewählt wird, erscheint die Gravitation in diesem
Bild als Regen. Das Problem hat zwei Lösungen, da die Richtung der Beschleunigung nicht
gegeben ist.
Lösung:
a
Impulsbilanz: FS − FG = p
FG = mg
p = mv
FS = mg + mv = 147.6 N; 97.6 N
b
FS = mg + mv
= 41.3 N; 27.3 N
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik II/MT 93.1
m = 3.5 kg
v = ±2
m
s2
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 156
TM156: Kugel trifft Holzklotz
Aufgabenstellung: Eine Bleikugel (Masse 8 g) trifft mit 500 m/s auf einen ruhenden Holzklotz (Masse 2.2 kg) und bleibt stecken. Der Holzklotz bewegt sich nach dem Einschlag der
Kugel währen 0.34 Sekunden weite. Dann bleibt er stehen.
Berechnen Sie die als konstant angenommene Gleitreibunskraft auf den Klotz.
Lösungshinweis: Der von der Kugel eingebrachte Impuls fliesst gleichmässig an die Erde ab.
Lösung:
p = pKugel = 4 Ns
Gleitreibungskraft: FK = p =
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik II/MT 93.2
p
= 11.76N
t
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 157
TM157: Granate
Aufgabenstellung: Eine Granate (Masse 20 kg) wird im Vakuum mit einer Geschwindigkeit
von 30 m/s schief nach oben unter einem Winkel von 75° gegen die Horizontale abgeschossen.
Am höchsten Punkt explodiert sie und teilt sich in zwei ungleiche Stücke auf. Das eine Stück
(5 kg) fliegt horizontal und rechtwinklig zur Bahn der Granate mit 7 m/s weg.
Wie gross ist die Geschwindigkeit des andern Stückes kurz nach der Explosion?
Lösungshinweis: Am höchsten Punkt der Bahn ist der Vertikalimpuls gleich Null. Der
Horizontalimpuls ist noch gleich gross wie beim Abschuss. Bei der Explosion teilt sich dieser
auf die beiden Körper auf. Da der Impuls Vektoreigenschaft besitzt, heisst aufteilen hier rechnen mit zwei „Sorten“.
Lösung:
höchster Punkt: pz = 0
nachher: px ,2 = px
p y ,2 = p y ,1
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik II/MT 93.3
px = mv cos α = 155.3 N

m
 p = 159.2 Ns v = 10.61
s
= 35 Ns 
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 158
TM158: Puck
3m
30˚
B
Lösungshinweis: Der Kraftstoss oder Impulsstromstoss entspricht der Impulsänderung.
Lösung:
m
m
sin 45° = 17.68
s
s
m
m
v1 y = 25 cos 45° = 17.68
s
s
m
vBx = −6
s
B
y
m
A
vBy = 12
s
x
m
m
v2 x = −8 cos 30° = −6.93
s
s
m
m
v2 y = −8 sin 30° = −4
s
s
px = m ( v Bx − v1x ) = −3.788 Ns
Komponentenweise: v1x = 25
A:
py = m (v
Kraftstoss:
B:
By
− v1 y ) = −0.908 Ns
px2 + p y2 = 3.896 Ns
px = m ( v2 x − v
p y = m ( v2 y − v
Kraftstoss:
vektoriell: v AB = 13.416
A:
p=
Bx
By
) = −0.149Ns
) = −2.56 Ns
px2 + p y2 = 2.564 Ns
m
, p AB = 2.147 Ns, α = 26.565° p1 = 4 Ns, p2 = 1.28 Ns
s
2
p AB
+ p12 + 2 p AB p1 cos β = 3.898 Ns
p = 2.564 Ns
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Quelle: Physik II/MT 93.4
6m
Aufgabenstellung: Ein Eishockeypuck (Masse 160 g) gleitet mit 90
km/h unter einem Winkel von 45° im Punkt A gegen die Bande, wird
zurückgeworfen und stösst 0.5 Sekunden später gegen den Punkt B.
Von dort wird er mit 8 m/s unter 30° weggeschleudert. Berechnen Sie
die Beträge der Kraftstösse in A und B. Die Gleitreibung ist nicht zu
berücksichtigen.
A
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 159
TM159: Kugel trifft Stein
Aufgabenstellung: Ein Stein (Masse 120 g), der ruhend auf einer idealen Glatteisfläche liegt,
wird von einer horizontal fliegenden Kugel (2.5 g) getroffen. Die Auftreffgeschwindigkeit der
Kugel betrage 400 m/s. Die Kugel wird nachher so abgelenkt, dass sie rechtwinklig und immer
noch horizontal mit 300 m/s weiterfliegt.
Wie gross ist die Endgeschwindigkeit des Steines?
Lösungshinweis: Die Kugel überträgt Impuls auf den Stein.Weil die Kugel rechtwinklig abgelenkt wird, gibt sie die eine „Sorte“ Impuls ab und nimmt von der andern „Sorte“ einen bestimmten Betrag auf. Diese Aussage ist natürlich nur richtig, wenn das Koordinatensystem entsprechend gewählt wird.
Lösung:
p x = − p x,Kugel,nachher = −0.75Ns
p y = p y , Kugel ,vorher = 1 Ns
p
v= =
m
Schlüsselwörter: Impulsbilanz
Physik II/MT 93.
px2 + p y2
m
= 10.417
m
s
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 160
TM160: Feder mit linearer Dämpfung
Aufgabenstellung: Ein an einer Feder (Richtgrösse
400 N/m) befestigter Klotz (Masse 5 kg, Grundfläche
200 mm x 150 mm) gleite auf einem Ölfilm (Dicke
0.2 mm, Viskosität des Öls 240 mPas) hin und her.
a Wie gross ist die Schwingungsdauer dieser gedämpften Schwingung?
b Der Klotz werde um 15 cm ausgelenkt und losgelassen. Wie stark sind die beiden Impulsströme bezüglich des Systems Klotz nach 1.8 s?
c Welche Leistung setzten im Moment über Ölschicht und in der Feder um?
Lösungshinweis: Diese Aufgabe setzt Kenntnisse über das Bewegungsverhalten linear gedämpfter Oszillatoren voraus.
Lösung:
FF = − Ds
FR = − ks =
Aη
s
d
Ds + ks + ms = 0
kg
s
k
δ=
= 3.6 s −1
2m
k = 36
a
ω=
T=
D k2
−
= 8.188 s −1
2
m 4m
2π
ω
= 0.7674 s −1
b
s = s0 e−δ t cos ω t
s = s0 e−δ t ( −ω sin ω t − σ cos ω t )
s (1.8 s ) = −1.3 ⋅10−4 m; FF = 52 mN > 0
s (1.8 s ) = −7.11⋅10−4
m
; FR = 25.6 mN > 0
s
c
P = I pF s = 3.7 ⋅10−5 W über Feder freigesetzt
P = I pR s = 1.82 ⋅10−5 W über Ölschicht freigesetzt
Schlüsselwörter: harmonischer Oszillator, Impulsstromstärke, zugeordneter Energiestrom,
Leistung einer Kraft
Quelle: Physik X/MT 90.2 b
Aufgaben
Translationsdynamik
Seite 161
TM161: Teilelastischer Stoss
Aufgabenstellung: Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 500g) bewegt sich mit 0.8 m/s nach rechts
und prallt auf ein zweites (Masse 350 g), das sich mit 48 cm/s nach links bewegt. Nach dem
Stoss fährt das schwerere mit 10 cm/s nach rechts.
a Wie schnell und in welche Richtung fährt das leichtere?
b Wieviel % der Energie, die vom Impulsstrom während des Stosses freigesetzt wurde, konnte
von diesem wieder aufgenommen werden?
Lösungshinweis: Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeistbild entnommen werden.
Lösung:
a v = 0.52 m/s
b freigesetzt:
aufgenommen:
Verhältnis:
W = ∆p∆v = 0.169 J
W = ∆p∆v = 0.0182 J
10.8%
Schlüsselwörter: Impulsbilanz, Prozessenergie
Quelle: Physik X/MT 90.3 b