Grundsatzfrage 8

GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen
SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses
Mathematik-Referenzaufgaben zum Rahmenlehrplan für die Berufsmaturität
(RLP-BM 2012)
Grundsatzfrage 8
- … elementare Potenz- und Wurzelgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel).
- … elementare Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel).
- … elementare Betragsgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel).
Hannes Böhi (HSR Rapperswil)
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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Aufgabe 1 (Lösen von Gleichungen durch Potenzieren bzw. Logarithmieren: Gegenüberstellung)
Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen nach x auf:
a) x3.4  5
b) 3.4
c) log 3.4 ( x)  5
 5
x
d) log x (3.4)  5
Lösung
a)
x3.4  5

b)
3.4
x
Beide Seiten der Gleichung potenzieren mit
x5
 5
1
3.4
1
3.4
Logarithmieren mit ln oder log ( = log 10 ) oder log 3.4
oder Logarithgmus mit irgendeiner Basis b  0 und b  1
ln(5)

x  ln(3.4)  ln(5)  x  ln(3.4)

x  log(3.4)  log(5)  x  log(3.4)

x  log 3.4 (5)  ln(3.4)  log(3.4)  log b(3.4)
b
log(5)
ln(5)
log(5)
c)
log 3.4 ( x)  5  x  3.45
d)
log x (3.4)  5  x 5  3.4  x  3.4
1
5
log (5)
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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Aufgabe 2 (Wurzelgleichung)
3( x  4)  5 
Lösen Sie nach x auf:
x2  8x
Lösung
3( x  4)  5 
x2  8x
 9 ( x  4) 2  25( x 2  8 x)  x  4  0
Die Zusatzbedingung x  4  0 ergibt sich aus der ersten Gleichung, weil dort die rechte
Seite  0 ist. Aus der zweiten Gleichung erhält man nun wieder die erste, indem man auf beiden
Seiten des Gleichheitszeichens die Wurzel zieht. Auf der linken Seite erhält man dann
9 ( x  4) 2 
9 
( x  4) 2  3  | x  4 |
nur falls x  4 0

3( x  4)
Um von der zweiten Gleichung wieder auf die erste zu kommen, ist also die Zusatzbedingung
x  4  0 unerlässlich.
 9 ( x 2  8 x  16)  25 x 2  200 x  x  4
 0  16x 2  128 x  144  x  4

x 2  8 x  9  0  x  4
 ( x  9)( x  1)  0  x  4

x  9 ; 1  x  4

x 1
Aufgabe 3 (Logarithmische Gleichung)
Berechnen Sie x aus 7
x 2 3 x
 2
Lösung
7
x2 3 x
 2
Ist ein Exponent ein Ausdruck in der Unbekannten, sollte nach Möglichkeit
logarithmiert werden.

 ln 7


x2 3 x

 ln (2)  ( x 2  3x)  ln (7)  ln (2)
ln (2)
x 2  3x  ln(7)
x 
3 

ln (2)
x 2  3 x  ln(7)  0
ln (2)
3 
9  4  ln(7)

2
ln (16)
9  ln(7)
2
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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Aufgabe 4 (Exponentialgleichung)
  
Berechnen Sie x aus 2

x
 6
3



 11
Stelle dabei x allein mit Hilfe der Logarithmusfunktion ln dar.
Lösung
  
2

x
 6
3



 11
Ist ein Exponent ein Ausdruck in der Unbekannten,
sollte nach Möglichkeit logarithmiert werden.

x
 3 6  ln(2)  ln(11)
Logarithmieren
   ln  ln(2)   ln  ln(11) 
 6x 
 ln 3
Logarithmieren hilft hier nicht weiter!
 6  ln(3)  ln  ln(11)   ln  ln(2) 
Logarithmieren
x
 ln  6
x
  ln  ln(3)   ln  ln  ln(11)   ln  ln(2)  

x  ln(6)  ln  ln  ln(11)   ln  ln(2)    ln  ln(3) 

x 
Logarithmieren
ln  ln  ln(11)   ln  ln(2)    ln  ln(3) 
ln(6)
Selbstverständlich gibt es verschiedene Lösungsvarianten. So könnte man etwa die zweite Gleichung
zuerst durch ln(2) teilen:

x
3 6  ln(2)  ln(11)

 36
x
ln(11)
ln(2)

Logarithmieren
x
 6  ln(3)  ln

x
 6 



ln(11)
ln(2)


ln  ln(11) 
 ln(2) 
Logarithmieren
ln(3)

 ln  ln(11)
 

ln(2)
x  ln(6)  ln  ln(3)  
x 

 ln  ln(11)
 

ln(2)


ln  ln(3)  
ln(6)
Der Nachteil bei dieser Darstellung sind allenfalls die vielen Bruchstriche. Weiterer Lösungsweg:
  
2

x
 6
3




 11  3 6

x
 log 2 (11)  6  log3  log 2 (11) 
x
x  log 6  log 3  log 2 (11)   

 ln  ln(11)
 

ln(2)
ln  ln(3)  
ln(6)
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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Aufgabe 5 (Exponentialgleichung)
Berechnen Sie x aus 9 x  2  3x  8
Lösung
3  9 x  7  3x  2
Beachte: 9 x  (32 )  32 x  (3x ) 2
x
 3  (3x ) 2  7  3x  2  0
49  24
7  5 2

 1
6
6
 3
 3x  2  3x  31
 x  ln(3)  ln(2)  x   1
 3x 

quadratische Gleichung für 3x
7 
Logarithmieren
ln(2)
x  ln(3)  x   1
Aufgabe 6 (Exponentialgleichung)
Berechnen Sie x aus 2 x  32  2 x  12
Lösung
2 x  32  2 x  12
Multiplikation mit 2 x
 (2 x ) 2  32  12  2 x
quadratische Gleichung für 2 x
 (2 x ) 2  12  2 x  32  0

 2 x  4  2 x  8  0
 2x  4  2x  8
 x  2  x  3
Vorbemerkung zu den Aufgaben 7 und 8
Für reelle Zahlen a gilt:
 a , falls a  0
a 2  | a |  Abstand der Zahl a vom Ursprung  
  a , falls a  0
Aufgabe 7
Vereinfachen Sie:
x2  x
Lösung
 0, nur falls x  0
x2  x  | x |  x  
 2 x , falls x  0
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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Aufgabe 8 (Betrags-Gleichungen und Betrags-Ungleichungen)
a)
Berechnen Sie alle Zahlen x , welche die folgende Gleichung erfüllen: | x  3 |  5
Lösung
| x 3|  5

x3  5

x3  5  x3  5

x  8  x  2
Es gibt 2 Zahlen, die den Betrag 5 und somit von 0
den Abstand 5 haben, nämlich 5 und  5.
x ist somit um 5 grösser oder um 5 kleiner als 3, d.h.
x hat von 3 den Abstand 5.
Dies ist eine erste Darstellung der Lösungen 8 und  2 .

x  2 ; 8
Eine weitere Möglichkeit: Zusammenfassung der beiden
Lösungen 8 und  2 in einer Menge (Lösungsmenge)
Abstand 5
2
b)
Abstand 5
3
8
Berechnen Sie alle Zahlen x , welche die folgende Ungleichung erfüllen: | 2 x  3 |  7
Geben Sie die Lösungsmenge mit Hilfe von einem oder mehreren Intervallen an.
Lösung
Betragsstriche können immer entweder weggelassen oder durch Klammern mit Faktor (1) vor
der ersten Klammer ersetzt werden, je nachdem die Zahl zwischen den Betragsstrichen positiv
oder negativ ist. In diesem Fall gilt
 2 x  3 , falls 2 x  3  0
| 2x  3 |  
 (2 x  3) , falls 2 x  3  0
2x  3  0
wäre hier auch richtig 
Aus diesem Grund unterscheiden wir zwei Fälle:
1. Fall: Für die gesuchte Zahl x gelte 2 x  3  0 und somit x   32 , d.h. wir suchen zuerst
im Intervall   32 ;   nach Zahlen x , welche die gegebene Ungleichung erfüllen:
| 2x  3 |  7  2x  3  0


2 x  3  7  x   32
 2 x  4  x   32

x    32 ; 2  oder anders geschrieben: x    32 ; 2 
x  2  x   32
2. Fall: Für die gesuchte Zahl x gelte 2 x  3  0 und somit x   32 , d.h. wir suchen jetzt
im Intervall    ;  32  nach Zahlen x , welche die gegebene Ungleichung erfüllen:
Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Exp- und Log-gleichungen (Hannes Böhi)
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| 2x  3 |  7  2x  3  0

(2 x  3)  7  x   32

x    5 ;  32 
  2 x  10  x   32

x   5  x   32
Schlussresultat: x    5 ;  32     32 ; 2  , d.h. x    5 ; 2 
Der Lösungsweg und das Resultat lassen sich noch optisch veranschaulichen:
y
y  | 2x  3 |
y  | 2x  3 |
7
3
5
 32
0
2
3
y  2x  3
y  2 x  3
x