Höhere Experimentalphysik 1 - Goethe

Höhere Experimentalphysik 1
Institut für Angewandte Physik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
6. Vorlesung
09.12.2016
Höhere Experimentalphysik 1
IAP
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Elektromagnetische Wellen
Aus der Theorie des Hertzschen Dipols folgt:
Nahfeld
Fernfeld
E- und B-Feld phasenverschoben um 90°
E- und B-Feld in Phase
Bildquelle: http://www.meteo.physik.uni-muenchen.de
/lehre/crewell/vorles/FE_vorles/FE_29okt04.pdf
Magnetfeld erzeugt durch Strom im Dipol
Bildquelle: http://de.sci.physik.narkive.com/s0TWg3yW/nah-und-fernfeld-von-dipolstrahlung-phasenverschiebung:i.1.1.full
Magnetfeld durch Verschiebungsstrom
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Elektronen-Oszillation
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Erzeugung von EM-Wellen – Hertzscher Dipol
Felder sind zunächst im Inneren von
Kondensator bzw. Spule konzentriert.
Allerdings ändert sich das mit Form des
Schwingkreises und die Felder reichen weit
nach außen.
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Energiedichte einer elektromagnetischen Welle
Die Energiedichte w der Welle setzt sich aus einem elektrischen
und einem magnetischen Anteil
zusammen:
Wegen
folgt
wegen B=E/c  E x B
Energiestromdichte S ist gegeben durch
und zeigt
ebenfalls räumlich periodische Schwankungen wie E und B.
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Poynting-Vektor
Der Poynting-Vektor (abgeleitet für eine ebene Welle) zeigt in die
Ausbreitungsrichtung und sein Betrag gibt die Intensität der
elektromagnetischen Welle an:
Ganz allgemein gibt der Poynting Vektor den Energiestrom im
elektromagnetischen Feld wieder.
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Abstrahlcharakteristik eines Hertzschen Dipols
Betrag der mittleren Energiestromdichte
2
𝑝0 𝜔2
𝑠𝑖𝑛
𝜃
2 2
𝐸=
sin 𝜃 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) → 𝑆 ∝ 𝑝0 𝜔
2
4𝜋𝜀0 𝑐 𝑟
𝑟2
Gesamte abgestrahlte Leistung
𝑝02 𝜔4
𝑃=
12𝜋𝜀0 𝑐 3
Folgerungen:
1) Abstrahlungscharakteristik eines Dipols: ∝ sin2θ
Keine Abstrahlung in Richtung des Dipols
2) Abstandsgesetz: S ∝1/r2
3) Frequenzabhängigkeit: ∝ ω4, 1/λ4
q
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Sender
• Meissner Schaltung
c
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Sender
• Triode
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Zusätzlich zur Gleichspannung wird auf das Gitter
eine Wechselspannung gelegt
𝑈𝐺 = 𝑈𝐺,0 + 𝑎 ∙ cos 𝜔𝑡
Somit wird der Anodenstrom moduliert
𝐼𝐴 = 𝐼𝐴,0 + 𝑏 ∙ cos 𝜔𝑡
Die Elektronen werden vom Emitter
ausgesandt
und
vom
Kollektor
aufgefangen. Mit der Basis kann man die
Größe des Stromes zwischen Emitter und
Kollektor steuern.
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Sender
• Meissner Schaltung
typische Senderbauweise
kapazitiver Rückkopplung an das Gitter G
der Triode, deren Strom die Verlustenergie
des Kreises nachliefert
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Abstimmung zwischen Sender und Empfänger
Ein optimaler Empfang ist gewährleistet, wenn Empfänger und Sender in Resonanz
sind:
1
1
𝜔𝑟𝑒𝑠 =
𝑙 𝜀𝑟 𝐿′𝐶′
wobei L= l.L/l=l.L’ (L’ Induktionsbelag) und C=l.e.C/l=l.e.C’
(C’ Kapazitätsbelag).
Abstimmung erfolgt also über die Länge von Empfänger und
Sender oder die Dielektrizitätskonstante.
L1
L2
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Experiment
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Klystron
Für sehr hohe Frequenzen sind Induktivitäten und
Kapazitäten im Schwingkreis zu groß.
Außerdem genügen Elektronenröhren nicht mehr
zur Anfachung von Schwingungen mit ω>1010 s−1,
weil die Laufzeit der Elektronen in der Röhre
größer wird als die Schwingungsdauer.
Funktionsweise eines Klystrons
Aufbau eines Klystrons
Elektronenkanone
Resonator
Driftstrecke
Resonator
Kathode
Beschleunigungselektrode
Solenoide
Kollektor
HF Eingang
HF Ausgang
@ W. Vinzenz, GSI
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Klystron
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Ausgang
WR2300
Bleiabschirmung
Kollektor
@ W. Vinzenz, GSI
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Inductive Output Tube (IOT)
Aufbau IOT
Elektronenkanone
Grid Bias
Screen Grid
Resonator
Kathode
Gun
HF Eingang
Anode
HF Ausgang
„inductive“
@ W. Vinzenz, GSI
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Abstrahlung durch beschleunigte Ladungen
Bremsstrahlung
Synchrotronstrahlung
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Wellentransport
Funkverkehr
Glasfaser
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Lecher Leitung
Elektromagnetische Wellen können sich auch entlang elektrisch leitenden Drähten
ausbreiten. Wenn der Drahtabstand d klein gegenüber der Wellenlänge λ ist,
interferieren die von beiden Leitern erzeugten elektromagnetischen Wellen
destruktiv, so dass die Abstrahlungsverluste klein sind.
Strom- und Spannungsverteilung auf der Lecherleitung
Ist das zweite Ende offen, gibt es dort Knoten in der Stromverteilung und Bäuche in
der Spannungsverteilung.
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Telegraphengleichung
I+DI
R‘
L‘
U+DU
U
G‘
C‘
z+Dz
z
R‘=R/z Widerstandsbelag
L‘=L/z
Induktionsbelag
C‘=C/z Kapazitätsbelag
G‘=G/z Ableitungsbelag
 Längswiderstand zusammen
mit R‘
 Längswiderstand zusammen
mit L‘
 Verluste im Isolator
Wechselfelder
durch
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Telegraphengleichungen
Die gesamte Leitung besteht aus einer Aneinanderreihung solcher
Leitungselemente. Zu jedem Zeitpunkt t gelten folgende Beziehungen
für jedes Leitungselement:
Induktionsgesetz
• Maschenregel:
∑U=0
• Knotenregel:
∑I=0
Nach der Maschenregel folgt dann für das Leitungselement
mit
und Dz  0 und DI  0 folgt
1)
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Telegraphengleichungen
Nach der Knotenregel folgt dann für das Leitungselement
Verschiebungsstrom:
mit
und Dz  0 und DI  0 folgt
2)
Gleichung 1 und 2 sind gekoppelt.
Differenzieren nach z führt zu:
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Telegraphengleichungen
Strom und Spannung sind stetig differenzierbar, so dass der Satz von
Schwarz angewendet werden kann:
Entsprechend können
umgeschrieben werden:
die
zuvor
hergeleiteten
3)
4)
Gleichungen
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Telegraphengleichungen
Einsetzen von 2) in 3) führt zu:
Entsprechend führt Einsetzen von 1) in 4) zu:
Die hergeleiteten Telegraphengleichungen (gekoppelt und entkoppelt)
beschreiben die Wellenausbreitung auf einer Zweidrahtleitung.
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Ausbreitungsfaktor
Der allgemeine Lösungsansatz der Telegraphengleichung für Strom und
Spannung lautet:
Mit dem Index f (forward) ist der vorlaufende Wellenterm und mit
index r (reflected) der rücklaufende Wellenterm gemeint. g ist der
Ausbreitungsfaktor:
Dabei ist a der Realteil und die Dämpfungskonstante, während b den
Imaginärteil und die Phasenkonstante repräsentiert.
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Leitungswellenwiderstand
Die Größe ZL ist der Leitungswellenwiderstand:
Dieser Widerstand ist derjenige Widerstand, mit dem die Leitung
abgeschlossen werden muss, damit nur eine fortlaufende Welle und
somit keine Reflexion auftritt.
Der Abschlusswiderstand bestimmt nur das Verhältnis Ur/Uf bzw Ir/If.
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Reflexionsfaktor
G
W0
Wenn sich eine Welle entlang eines Hochfrequenzkabels ausbreitet,
trifft sie am Kabelende auf eine Abschlusslast. Stimmt die
Lastimpedanz nicht mit der Impedanz des Kabels überein, so wird ein
Teil der Welle reflektiert.
Den komplexen Reflexionsfaktor definiert man daher als Verhältnis aus
rücklaufender und vorlaufender Spannungswelle:
Am Leitungsende dh. am Verbraucher W0 gilt dann
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Reflexionsfaktor
Aufgelöst nach dem Reflexionsfaktor gilt dann:
𝑊0
𝑍𝐿 − 1
=
𝑊0
𝑍𝐿 + 1
Man kann jetzt verschiedene Fälle betrachten:
• Für W0∞ ist r1 d.h. offenes Kabelende hat eine unendlich hohe
Impedanz und die Welle wird komplett reflektiert
• Für W0=0 ist r=-1 d.h Kurschluss bedeutet, dass die gesamte
Leistung reflektiert wird
• Für W0=ZL ist r=0 d.h. es gibt keine Reflexion.
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Das Koaxialkabel
Im einem Koaxialkabel breiten sich Wellen nur zwischen Innen- und Außenleiter
aus. Damit der Außenraum feldfrei bleibt, muss der Strom auf dem Innenleiter
durch einen gleich starken, antiparallelen Strom auf dem Außenleiter kompensiert
werden.
Bild entnommen aus
Physik II, K. Dransfeld, Oldenbourg Verlag, 7. Auflage
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Das Koaxialkabel
Strom- und Spannungswellen breiten sich mit der Geschwindigkeit
aus:
Alle Fourierkomponenten eines beliebigen Signal bewahren im Koaxialkabel
ihre Phasenlage zueinander.
Koaxialleitungen können zur Signalübertragung von der Frequenz 0 bis zu
Frequenzen von etwa 1010 Hz verwendet werden, bei denen die Wellenlänge
vergleichbar mit dem Kabeldurchmesser wird. Zur Übertragung höhere
Frequenzen eignen sich jedoch am besten Hohlleiter.
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Leitungswellenwiderstand eines Koaxialkabels
Für eine verlustlose Leitung gilt:
Mit
Koaxialkabels:
Typische Werte:
R‘=0,45 W/m
C‘=95 pF/m
L‘=240 nH/m
und
folgt für die Impedanz des