Höhere Experimentalphysik 1 - Goethe

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Höhere Experimentalphysik 1
Institut für Angewandte Physik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
1. Vorlesung
28.10.2016
Höhere Experimentalphysik 1
IAP
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Ankündigung Übung
Die erste Übung findet am 9.11. von 13h bis 14h im Raum 02.304 statt.
Höhere Experimentalphysik 1
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Inhaltsverzeichnis
1. Elektrodynamik
i. Elektrische Ladung
ii. Maxwell-Gleichung
iii. Elektrische und magnetische Felder
• stationär
• zeitabhängig
iv. Elektromagnetische Wellen
v. Wellenleiter
vi. Hohlraumresonatoren
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1. Elektrodynamik
In der Mechanik gibt es vier Grundkräfte:
• Starke
• Elektromagnetische
• Schwache
• Gravitative
Fast alle diese Kräfte sind elektromagnetischer Natur, aber nur die
elektromagnetische Kraft ist bis heute vollständig verstanden.
Im Vergleich zur Gravitation ist die elektrische Kraft etwa 1039 mal
größer.
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Messung der Kräfte
Cavendish Drehwaage
@ HEMS Darmstadt
Coulombsche Drehwaage
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Vergleich gravitative und elektromagentische Kraft
Gravitation
•
•
•
•
•
Kraft entlang Verbindungslinie
1/r2-Abhängigkeit
Masse als Quelle
anziehend
Kraftgesetz
• Proportionalitätskonstante
g=6.67.10-11 Nm2/kg2
Vergleich:
Elektromagnetische Kraft
•
•
•
•
•
Kraft entlang Verbindungslinie
1/r2-Abhängigkeit
Ladung als Quelle
anziehend und abstoßend
Kraftgesetz
• Proportionalitätskonstante
k=8.99.109 Nm2/C2
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i. Elektrische Ladung
Alle Erscheinungen, die im Rahmen der Elektrodynamik besprochen
werden, beruhen darauf, dass die Materie vorwiegend aus geladenen
Teilchen (z.B. Elektronen und Protonen) aufgebaut ist. Eine Ladung ist
notwendig, um ein elektromagnetisches Feld zu erzeugen und
nachzuweisen.
Aber was ist eigentlich die elektrische Ladung?
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i. Elektrische Ladung
• Positive und negative Ladung
• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab
• Ladungserhaltung:
Die Summe der positiven und negativen Ladungen in einem
abgeschlossenen System ändert sich nie.
• Ladungsinvarianz:
Die Ladung von Elementarteilchen ist relativistisch invariant und
ändert sich also nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens.
• Ladung ist gequantelt
• Die Kraft zwischen zwei Ladungen ist proportional zu r-2
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i. Elektrische Ladung
Messung der Elementarladung
Milikan-Versuch
Im Jahre 1910 machte Milikan die wichtige Entdeckung, dass
die Ladung nur stückweise vorkommt, d.h. sie ist quantisiert.
Zum Nachweis des Elementarquantums benutzte Milikan
folgende Versuchsanordnung
a)
Nobel-Preis, 1923
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i. Elektrische Ladung
Messung der Elementarladung
Milikan-Versuch
In einen Plattenkondensator werden kleine Öltröpfchen gesprüht, die in
der Luft unter dem Einfluss der Gravitationskraft und der Stokesschen
Reibungskraft mit konstanter Geschwindigkeit v fallen und zwar desto
schneller je größer sie sind:
Aus der gemessenen Fallgeschwindigkeit lassen sich der Radius und damit
auch die Masse des Öltröpfchens bestimmen, da die Viskosität der Luft
und die Öldichte bekannt sind.
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i. Elektrische Ladung
Messung der Elementarladung
Milikan-Versuch
Durch Bestrahlung des Tröpfchens mit Röntgenstrahlung kann nun die Ladung
q des Tröpfchens verändert werden. Dies wird deutlich sichtbar, sobald am
Kondensator ein elektrisches Feld angelegt wird, welches eine zusätzliche Kraft
qE ausübt.
Die Größe der elektrischen Kraft kann nun durch Variation von E so gewählt
werden, dass die elektrische Kraft die Gravitationsanziehung gerade
kompensiert, so dass das Tröpfchen schwebt. Somit folgt aus qE=mg:
wobei n=1,2,3,…
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i. Elektrische Ladung
RH
Messung der Elementarladung
Quanten-Hall-Effekt
• Nobelpreis K. von Klitzig 1985
• 2D Elektronengas (MOSFET)
• Bei hohen magnetischen Feldern und
tiefe Temperaturen ist der Hall-Widerstand:
wobei n=1,2,…
„Die Existenz der Stufen im Quanten-Hall-Effekt und vor allem ihre hohe Reproduzierbarkeit ist bis heute nicht vollständig verstanden,...“, Welt der Physik, 2011
Mögliche Erklärung: Quantenphasenübergang
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i. Elektrische Ladung
Messung der Elementarladung
Wert
1.602 176 565 x 10-19 C
Standardunsicherheit
0.000 000 035 x 10-19 C
Relative Standardunsicherheit
2.2 x 10-8
2010, CODATA, recommended values
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i. Elektrische Ladung
Energie des Feldes einer Punktladung
Das elektrische Feld einer Punktladung ist gegeben durch:
Die Energiedichte im Abstand r von der Ladung ist dann:
Innerhalb einer Kugelschale mit der Dicke dr und der Fläche A=4pr2 ist
die Gesamtenergie:
(1)
Für eine Punktladung ist die untere Integrationsgrenze r=0 und dies
ergibt ein unendliches Integral.
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i. Elektrische Ladung
Energie des Feldes einer Punktladung
Laut Gleichung (1) enthält das Feld einer Punktladung eine unendliche
Menge an Energie, obwohl es eigentlich nur Energie zwischen
Punktladungen gibt.
Ein Ausweg aus dieser Situation würde darin bestehen, die
Elementarladung nicht als Punkt sondern in Wirklichkeit als kleine
Ladungsverteilung aufzufassen.
Die Frage, ob die Energie im Feld lokalisiert ist, bleibt in der
Elektrostatik dennoch unbeantwortet.
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ii. Die Maxwellgleichungen
Faraday und Maxwell fanden heraus, dass ein zeitlich veränderliches
Magnetfeld automatisch in der Umgebung auch ein elektrisches Feld
und - in analoger Weise- führt ein zeitlich veränderliches elektrisches
Feld auch zu einem Magnetfeld.
Diese symmetrische Kopplung zwischen zeitlich veränderlichen
elektrischen und magnetischen Feldern fand ihren mathematischen
Ausdruck in den Maxwellgleichungen.
Gaußsches Gesetz
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
Faradaysches Induktionsgesetz
Amperesches Gesetz
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ii. Die Maxwellgleichungen
Die wichtigste Konsequenz der Maxwellgleichungen liegt in dem
erstmaligen Verständnis der Ausbreitung von elektromagnetischen
Wellen, deren Erzeugung und Nachweis erstmals Heinrich Hertz gelang.
Nach der Maxwellschen Theorie sollten sich elektromagnetische
Wellen mit der charakteristischen Geschwindigkeit
fortpflanzen, in perfekter Übereinstimmung mit der gemessenen
Lichtgeschwindigkeit.
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ii. Die Maxwellgleichungen
Gaußsches Gesetz - Integralform
Das Gaußsche Gesetz stellt die Beziehung zwischen räumlichen
Verhalten des elektrischen Feldes und der Ladungsdichteverteilung her,
die es hervorruft.
Anzahl der Feldlinien durch
eine geschlossene Fläche
Anzahl der Ladungen, die
in der Fläche enthalten sind
dividiert durch die Permittivität
Elektrische Ladungen produzieren ein elektrisches Feld und der Fluss
dieses Feldes durch eine geschlossenen Oberfläche ist proportional zur
Gesamtladung innerhalb der Oberfläche.
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ii. Die Maxwellgleichungen
Gaußsches Gesetz – differentielle Form
Die differentielle Form
Ladungsdichte dividiert
durch die Permittivität
Tendenz des Feldes von
einem Punkt wegzufließen.
wird bei der Lösung von Problemen genutzt, in denen die räumliche
Änderung des elektrischen Feldes an bestimmten Stellen bekannt ist,
um die Volumenladungsdichte an diesen Positionen zu bestimmen.
Das elektrische Feld, das durch elektrische Ladungen produziert wird,
divergiert von positiven Ladungen und konvergiert zu negativen
Ladungen.
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ii. Die Maxwellgleichungen
Gaußsches Gesetz – Integralform vs. differentielle Form
Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen differentieller und
integraler Form des Gaußschen Gesetzes:
Die differentielle Form behandelt die Divergenz des elektrischen Feldes
und die Ladungsdichte an individuellen Punkten im Raum, während die
integrale Form das Integral der Normalkomponente des elektrischen
Felder über einen Oberfläche beinhalt.
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iii. Elektrostatik
Das Coulomb-Gesetz
• Die elektrostatischen Kräfte sind Zentralkräfte
C. De Coulomb, 1785
• Es gilt das Superpositionsprinzip:
Die elektrostatischen Kräfte, die auf eine Probeladung q von
mehreren anderen Ladungen q1, q2, …. ausgeübt werden,
überlagern sich ungestört
Kraftwirkung vieler Ladungen auf ein Teilchen am Punkt 1.
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iii. Elektrostatik
Das stationäre elektrische Feld
Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe, die direkt proportional zu
einer Kraft ist, die auf eine positive Testladung gerichtet ist.
field of force
Das elektrische Feld kann unabhängig vom magnetischen Feld betrachtet
werden d.h. Elektrizität und Magnetismus sind zunächst getrennte
Phänomene!
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iii. Elektrostatik
Das stationäre elektrische Feld
Im statischen Fall bleiben alle Ladungen fest an einem Punkt im Raum oder
wenn sie sich bewegen, dann nur als stationärer Strom.
1. Die Ladungen sind die Quelle des elektrischen Feldes.
2. Das Linienintegral des elektrostatischen Feldes über eine geschlossene
Kurve ist null (oder auch das elektrische Feld ist wirbelfrei).
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iii. Elektrostatik
Das stationäre elektrische Feld
Der Gaußsche Satz ist eine dem Coulombgesetz äquivalente Darstellung
der Elektrostatik. Er gilt nicht nur für die elektrischen Felder ruhender
Ladungen, sondern auch für bewegte Ladungen.
Während man mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einer
Ladung bestimmen kann, erlaubt uns der Gaußsche Satz, aus der
Feldverteilung Auskunft über die Ladungsverteilung zu erhalten.
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iii. Elektrostatik
Das elektrische Potential
Als elektrostatisches Potential j(r0) am Ort r0 wird der negative Wert
der Arbeit bezeichnet, um eine positive Einheitsladung in einem
elektrischen Feld vom Unendlichen bis nach r0 heranzuführen
Potentielle Energie einer Ladung:
Potential einer Punktladung:
http://www.leifiphysik.de/sites/default/files/medien/coumomb005_ladungenober_gru.gif
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iii. Elektrostatik
Influenz (elektrostatische Induktion)
Wird ein beliebiges Stück Metall in das elektrische Feld eines
Plattenkondensators gebracht, so werden unter dem Einfluss des Feldes
Influenzladungen erzeugt.
Sie liefern im Inneren des Metalls ein Feld, das dem ursprünglichen Feld
entgegengerichtet und dieses im Inneren des Leiters genau zu null
kompensiert.
http://www.physikon.de/01/19/02inf1.gif
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iii. Elektrostatik
Faraday‘scher Käfig
Die freien Ladungen in einem Leiter bewegen sich immer so, das sie das
ursprünglich Feld kompensieren und das Feld im Inneren des Leiters gerade
null ist. Daher verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine Fläche, die
den Hohlraum umschließt.
E=0
Nach
gilt Feldfreiheit im Hohlraum des Leiters.
So erreicht man im Faradayschen Käfig eine vollständige Abschirmung gegen
elektrische Felder.
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Beispiel: Van-de-Graaff-Generator
Die Feldfreiheit metallischer Hohlräume kann zur Erzeugung hoher
Spannungen benutzt werden.
Bringt man Ladungen in das Innere einer
Hohlkugel, so wandert die Ladung sofort nach
außen und der innere Hohlraum bleibt
feldfrei, unabhängig wie viel Ladungen die
Hohlkugel schon trägt. Dies wird beim Vande-Graaff-Generator durch ein rotierendes
isolierendes Band bewerkstelligt bis die Kugel
ein höheres Potential als die Ladungsquelle
hat.
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Plattenkondensator: Das elektrische Feld kommt durch Superposition
der elektrischen Felder zweier entgegengesetzt geladener Platten
gleicher Ladungsdichte.
Die Felder im Außenraum kompensieren sich vollständig
Das elektrische Feld des Plattenkondensators
+
+
ist
+
+
+
+
+
+
+
-
also unabhängig vom Plattenabstand d.
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Plattenkondensator: Da die Platten entgegengesetzt geladen sind
ziehen sie sich mit einer Kraft F an.
Um die Platten ein Stück auseinander+ E zubewegen muss von außen Arbeit geleistet
+
werden
-
+
+
+
+
+
+
+
d
-
d
F
Da das elektrische Feld unabhängig von d ist,
muss sich die Energiedichte entsprechend des
Volumens ändern.
Mit
folgt für die Kraft zwischen den
Platten
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Plattenkondensator: Das mittlere Feld ist, welches an den Ladungen
der Platte angreift ist nur halb so groß wie das Feld zwischen den
Platten
+
Da die Ladungsschicht auf
+
beiden Platten eine endliche
+
Dicke hat, fällt die Feldstärke
+
+
nach dem Gaußschen Satz
innerhalb dieser Schicht d auf
E
d
E
null, so dass auf die Ladungen im
Mittel nur E/2 wirkt
E/2
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Kugel
E=0
Flammensonde
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Kugel im leitenden Medium: Es bildet sich eine Ladungswolke aus,
die das Feld der Kugel abschirmt. Die
Verteilung
der
Elektronen
im
Außenraum
ist
gegeben durch
-
-
E=0
-
-
-
Für hohe Temperatur
lässt sich die
Exponentialfunktion entwickeln zu
und man erhält somit die Ladungsdichte
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Kugel im leitenden Medium: Mithilfe der eindimensionalen
Poissongleichung
-
-
E=0
erhält man folgende Bestimmungsgleichung
für j(x):
-
-
-
Diese Gleichung wird gelöst durch
wenn für D gilt:
Debye-Länge
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Beispiele für elektrische Felder und Potentiale
• Homogener Teilchenstrahl (siehe Übung 1):
&
&
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