Höhere Experimentalphysik 1 - Goethe

Höhere Experimentalphysik 1
Institut für Angewandte Physik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
11. Vorlesung
03.02.2017
Höhere Experimentalphysik 1
IAP
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Was bisher geschah…
• Kinetische Gastheorie
• Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

𝑚𝑣 2 3
= 𝑘𝑇
2
2
• Geschwindigkeitsverteilung
• Mittlere freie Weglänge und mittlere Flugzeit
• Transportprozesse in Gasen (innere Reibung, Wärmeleitung, Diffusion)
• Wärmestrahlung
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Der Carnot-Prozess
Eine Wärmekraftmaschine muss stets zwischen einem warmen und einem kalten Bad
arbeiten. Die Umformung zwischen Wärme und Arbeit erfolgt am effizientesten über einen
periodischen Kreisprozess.
Tw
Tk
Der Kreisprozess besteht aus vier Schritten:
1. Isotherme (T=const=T0) Ausdehnung
vom Anfangszustand A mit (PA, VA, TW) auf den
Zustand B mit (PB, VB, TW). Dabei ist der Behälter
Ideales Gas thermischen Kontakt mit dem Wärmebad TW.
2. Adiabatische (DQ=0) Ausdehnung
vom Zustand B mit (PB, VB, TW) auf den Zustand C
mit (PC, VC, TK). Dabei ist der Behälter thermisch
isoliert, das Gas kühlt sich bei Expansion ab. Die
Variablen PC, VC sind so gewählt, dass die
Gastemperatur gerade Tk am Ende der
Zustandsänderung erreicht.
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Der Carnot-Prozess
Eine Wärmekraftmaschine muss stets zwischen einem warmen und einem kalten Bad
arbeiten. Die Umformung zwischen Wärme und Arbeit erfolgt am effizientesten über einen
periodischen Kreisprozess.
Tw
Tk
Der Kreisprozess besteht aus vier Schritten:
3. Isotherme (T=const=T0) Kompression
vom Zustand C mit (PC, VC, TK) auf den
Zustand D mit (PD, VD, Tk). Dabei ist der Behälter in
Ideales Gas thermischen Kontakt mit dem Wärmebad Tk.
4. Adiabatische (DQ=0) Kompression
vom Zustand D mit (PD, VD, Tk) auf den Zustand A
mit (PA, VA, TW). Bei der adiabatischen Kompression
muss sich die Temperatur erhöhen. Die
Variablen PC, VC sind so gewählt, dass die Gastemperatur
gerade TW am Ende der Zustandsänderung erreicht.
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Der Carnot-Prozess
P-V-Zustandsdiagramm
Schritt AB (isotherme Expansion):
Dabei wird aus TW die Wärmemenge DQw
aufgenommen und die Arbeit DWAB
abgegeben.
Weil T=TW=const. ist, ist auch die innere
Energie U=const.
Aus dem 1. Hauptsatz und dem idealen GG
folgt für jeden infinitesimalen Schritt von
A B:
Über den gesamten Weg integriert folgt
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Der Carnot-Prozess
P-V-Zustandsdiagramm
Schritt BC (adiabatische Expansion):
Es wird Arbeit DWBC abgegeben, die aus der
inneren Energie stammt (da DQ=0).
Aus dem 1. Hauptsatz folgt für einen
infinitesimalen Schritt:
Mit
für das ideale Gas (d.h. dass die innere
Energie nur von der Temperatur abhängt).
Nach Integration folgt:
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Der Carnot-Prozess
P-V-Zustandsdiagramm
Schritt CD (isotherme Kompression):
Es wird Wärme abgegeben DQK und Arbeit
DWCD aufgenommen.
Analog zu AB folgt:
Schritt D A (adiabatische Kompression):
Es wird Arbeit DWDA aufgenommen und die
innere Energie erhöht sich.
Analog zu BC folgt:
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Der Carnot Prozess – Wirkungsgrad
Das Verhältnis vom insgesamt verrichtete Arbeit W gegeben durch
zur insgesamt aufgenommenen Wärmemenge DQW gibt den
Wirkungsgrad an:
Für h=1 würde man ein Perpetuum Mobile 2. Art vorfinden, was nach
dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik verboten ist.
Für die Carnot-Maschine ergibt sich nach Einsetzen von
und
Wegen Tw > Tk ist ƞ <1
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Der Carnot Prozess – Wärmepumpe
Der Carnot Prozess ist reversibel d.h. er kann auch in umgekehrter
Richtung ablaufen. In diesem Fall wird dem unteren Wärmebad die
Wärmemenge entzogen und in das obere Bad gebracht. Der Maschine
muss dabei die äußere Arbeit –W zugeführt werden denn in einem
abgeschlossenen System läuft dieser Prozess nicht spontan ab.
Ein solche Maschine heißt Wärmepumpe und ihr
Wirkungsgrad ist definiert durch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Carnot-Prozess.svg
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Das Carnotsche Theorem
Der Carnotsche Kreisprozess stellt die ideale Wärmekraftmaschine
dar. Ihr Wirkungsgrad kann von keinem anderen Prozess überboten
werden.
Gedankenexperiment: Supercarnot-Wärmekraftmaschine
Idee: Wärmekraftmaschine treibt eine Wärmepumpe an
Die Wärmekraftmaschine arbeitet effektiver als die
Wärmepumpe
daher wird
von der Kraftmaschine weniger Wärme aus dem oberen
Bad entzogen als von der Pumpe gefördert wird. Dies
führt dazu, dass in diesem abgeschlossenen System TW
erhöht und TK erniedrigt werden würde, was dem 2.
Hauptsatz widerspricht.
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Der Carnot-Prozess – Entropie
Es soll noch überprüft werden, ob der 2. Hauptsatz
Wegen der Reversibilität des Carnot Prozesses gilt:
d.h.
erfüllt ist.
Die Schritte BC und D A sind reversible adiabatische Zustandsänderungen und
somit isentrop d.h. DSBC=DSDA=0. Es bleiben also nur die isothermen Schritte
(T=const.):
Wenn man
einsetzt folgt
in
=
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Kreisprozesse
Obwohl der Carnot-Prozess den idealen Wirkungsgrad hat, ist er praktisch kaum zu
realisieren. In praktischen Wärmekraftmaschinen geht Entropie verloren und ihr
Wirkungsgrad sinkt deutlich unter den der Carnot-Maschine.
Abgesehen vom Entropieverlust ist aber auch technisch der von Carnot definierte
Kreisprozess nicht zu verwirklichen ( An-und Abkopplung der Wärmebäder,
thermische Isolierung)
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Die Stirlingmaschine
In der Praxis durchführen lässt sich der Kreisprozess von Stirling. Die Stirling-Maschine
benutzt als Arbeitsmedium ein Gas, z. B. Luft, das in einem Kreisprozess aus zwei
Isothermen und zwei Isochoren periodisch expandiert und komprimiert wird.
Bei der isothermen Expansion A  B wird die
Wärmemenge Q1 bei der Temperatur T1
zugeführt, bei der isochoren Abkühlung B  C
Q1
wird Q2 abgegeben, die Temperatur sinkt dabei
Q4
auf T2 < T1 .
Nun wird von C  D isotherm komprimiert,
wobei die Wärmemenge Q3 abgegeben wird und
Q2
schließlich wird isochor erwärmt, wobei Q4
zugeführt wird, um die Temperatur wieder von
Q3
T2 auf T1 zu erhöhen (Schritt D  A).
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Die Stirlingmaschine
Arbeitsweise des Einzylinder-Stirling-Motor
Die Maschine besitzt einen Arbeitskolben A
und den Verdrängerkolben V, in dessen
Mitte sich Kupferwolle als Wärmespeicher
befindet. Diese beiden sind um 90°
phasenverschoben an einem gemeinsamen
Schwungrad befestigt und bewegen sich
zwischen einem warmen und kalten Bereich.
Takt 1: Das Gas ist im warmen Volumen. Es
dehnt sich bei Tw isotherm aus und schiebt
dabei durch die Schlitze in Kolben V den
Kolben A zurück
Takt 2: Der Kolben V schiebt sich in das
warme Volumen und verdrängt das Gas ins
kalte. Der Speicher nimmt dabei die
Wärmemange Q auf. Das Gas kühlt auf Tk ab.
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Die Stirlingmaschine
Takt 3: Kolben A komprimiert im kalten
Volumen das Gas isotherm bei der Temperatur
Tk
Takt 4: Der Kolben V schiebt das Gas ins
warme Volumen zurück. Beim Durchströmen
des Wärmespeichers erwärmt sich das Gas
wieder auf Tw da vom Speicher Q wieder
abgegeben wird.
Die Stirlingmaschine ist ein Beispiel für eine
tatsächlich realisierbare Wärmekraftmaschine.
Arbeitsweise des Einzylinder-Stirling-Motor
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Der Ottomotor
Der Viertakt-Ottomotor geht auf die Entwicklungsarbeiten von Nicolaus August Otto in
dem Jahr 1876 zurück. Er durchläuft während einer Periode im p-V-Diagramm zwei
isentrope und zwei isochore Prozesse.
Im Punkte 1 wird das Luft- Benzin-Gemisch angesaugt und
verdichtet. Im Punkte 2 erfolgt die Zündung. Hierbei
verbrennt das Kraftstoff-Luft-Gemisch so schnell, dass sich
das Volumen praktisch nicht ändert. Die bei der Explosion
frei werdende Wärmemenge Q1 wird dem System
zugeführt, und der Druck steigt steil an bis zum Punkt 3, bis
dann die Expansion isentropisch (keine Änderung der
Wärmemenge) bis zum Punkt 4 erfolgt. Die Abgase werden
durch Öffnen des Auslassventils abgegeben, wodurch der
Druck steil absinkt, während Q2 abgegeben und der
Ausgangspunkt 1 wieder erreicht wird.
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Der Dieselmotor
Beim Dieselprozess werden zwei isentrope, ein isobarer und ein isochorer Prozess
durchlaufen.
Im Punkt 1 wird die Luft angesaugt und bis zum Punkt 2
isentropisch komprimiert.
Jetzt wird Dieselkraftstoff eingespritzt, der nicht
explosionsartig verbrennt wie beim Otto-Motor,
sondern langsamer (es gibt keine die Explosion
initiierende elektrische Zündkerzenentladung!), sodass
das Volumen bis zum Punkt 3 isobar expandiert, wo die
Verbrennung aufhört. Das Volumen expandiert nun
isentropisch bis zum Punkt 4, wo das Auslassventil
öffnet und sich damit der Druck p plötzlich auf
Außendruck im Punkt 1 erniedrigt.
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Phasen der Materie
Phase: Als Phasen bezeichnet man die möglichen Zustandsformen eines
makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht.
Die Abhängigkeit der Phasenänderung bezüglich der betrachteten Zustandsgröße
wird typischerweise in einem Phasendiagramm dargestellt.
Dabei lassen sich Einphasengebiete (fest, flüssig, gasförmig) identifizieren, in
denen eine einzelne Phase im thermischen Gleichgewicht vorliegt. Innerhalb
dieser Einphasengebiete lassen sich der Druck p und die Temperatur T frei
wählen, ohne, dass sofort ein Phasenübergang stattfindet.
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Phasen der Materie
Koexistenz von Flüssigkeit und Dampf
Dampf
Flüssigkeit
• Wir betrachten eine Flüssigkeit mit angrenzendem Volumen dh. ein
geschlossenes System.
• Die Flüssigkeitsteilchen besitzen eine kinetische Energie  ein einzelnes Teilchen
genug Energie besitzt, um die Flüssigkeit zu verlassen  Ausbildung eines
Dampfes
• Wiederum können Moleküle, die aus dem Dampfraum auf die Oberfläche
auftreffen, wieder in die Flüssigkeit eintreten
• Gleichgewicht besteht, wenn ebenso viele Moleküle ein- wie austreten 
Sättigungsdampfdruck: Flüssigkeit und Dampf im Gleichgewicht
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Phasen der Materie
Koexistenz von Flüssigkeit und Dampf
• Austritt aus der Flüssigkeit erfordert kinetische Energie
• Temperaturerhöhung hat zur Folge, dass mehr Moleküle
die Austrittsarbeit aufbringen können, die Wahrscheinlichkeit dafür gibt die
Boltzmann-Verteilung
• Damit lässt sich die Dampfdruckkurve darstellen als
wobei EV die Verdampfungdenergie ist
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Phasen der Materie
Clausius-Clapeyron-Gleichung
(1):
Der Kolben liegt auf der Flüssigkeitsfläche.
(2):
Die gesamte Flüssigkeit ist verdampft.
(1)(2): Dabei wird die Arbeit pd(T)(V2 − V1) geleistet und dem Wärmereservoir die Energie Ld(T)
entzogen. Nun wird der Kolben verriegelt und das kleine Gewichtsstück auf die Plattform B
geschoben. Dadurch sinkt der äußere Druck um dp. Der Zylinder wird in ein Wärmebad der
Temperatur T − dT gesteckt, die so bemessen ist, dass pd(T − dT) = pd − dp ist.
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Phasen der Materie
Clausius-Clapeyron-Gleichung
(3) → (4):
(4):
Der Kolben wird freigegeben und der Dampf bis zum Volumen V1 kondensiert.
Von der Plattform A wird ein neues Gewichtsstückchen auf den Kolben geschoben,
der Zylinder wird wieder in das Wärmereservoir der Temperatur T gebracht
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Phasen der Materie
Clausius-Clapeyron-Gleichung
Bei jedem Zyklus wird die Arbeit dp(V2 − V1) geleistet. Dem Wärmereservoir der
Temperatur T wird die Wärmemenge Q = Ld +CVdT entzogen. Mit W=Q dT/T folgt für
sehr kleine CVdT
Dabei ist Ld die Verdampfungswärme und p der Dampfdruck bei der Temperatur T.
Hieraus ergibt sich die Clausius-Clapeyronsche Gleichung
Sie gilt, wie die Ableitung zeigt, generell für Phasenumwandlungen, bei denen eine
Umwandlungswärme und eine Volumenänderung auftritt. Mit ihr kann man
entweder die Dampfdruckkurve berechnen für bekannetes Ld oder aber die
Funktion Ld(T) aus der experimentell bestimmten Dampfdruckkurve ableiten.
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Phasen der Materie
• Sieden und Siedetemperatur
Der Siedevorgang findet bei einer Temperatur Ts statt, bei der der
Sättigungsdampfdruck gleich dem von außen auf der Flüssigkeit lastenden
Luftdruck ist. Die Siedetemperatur hängt demnach vom Außendruck ab. Nur bei
1 013 mbar siedet das Wasser bei 100 ◦C, bei vermindertem Druck darunter, bei
erhöhtem darüber. (Beispiel: Druckanzug für Düsenpiloten)
• Verdunstung:
Verdampfen einer Flüssigkeit, ohne dass der Sättigungsdampfdruck erreicht ist.
Die zur Verdunstung notwendige Energie wird der Umgebung entzogen 
Verdunstungskälte
• Luftfeuchtigkeit:
Verhältnis aus tatsächlichem Dampfdruck und dem Sättigungsdampfdruck
• Taupunkt:
Temperatur, wo p=pd. Bei plötzlicher Temperaturerniedrigung unter diesen Punkt
bildet sich Kondensat in der Luft
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Phasen der Materie
Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit
Für das Schmelzen gelten ganz ähnliche Gesetze wie für das Sieden. Nur bei der
Schmelztemperatur können Festkörper und Flüssigkeit im Gleichgewicht
koexistieren.
Auch die Schmelztemperatur ist druckabhängig wie die Siedetemperatur, nur
weniger stark. Auch hier gilt die Clausius-Clapeyronsche Gleichung
Bei den meisten Stoffen ist Vfluid>Vsolid und
daher muss die Schmelzdruckkurve steigen
Außnahme: Wasser
Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass es zwar unterkühlte Flüssigkeit, nicht
aber überhitzte Kristalle gibt, d. h. nur für die Kristallisation, nicht aber für das
Schmelzen ist Keimbildung erforderlich.
Info: Superreines Wasser gefriert erst bei -37 °C. (Paper: Ice-nucleating bacteria
control the order and dynamics of interfacial water, 2016)
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Phasen der Materie
Koexistenz dreier Phasen
Im p, T-Diagramm hat die Grenzlinie flüssig-gasförmig, die
Dampfdruckkurve, eine viel geringere Steigung als die
Grenzlinie fest-flüssig d.h. beide müssen sich irgendwo
treffen.
Dieser Treffpunkt heißt Tripelpunkt. Unterhalb und links
von ihm gibt es keinen flüssigen Zustand mehr, sondern es
geht von ihm die Sublimationskurve aus, die den
unmittelbaren Übergang fest-gasförmig bezeichnet.
Nach Clausius-Clapeyron hat die Sublimationskurve immer
positive Steigung. Nur am Tripelpunkt können alle drei
Phasen im Gleichgewicht koexistieren. In diesem Gebiet
können p und T innerhalb gewisser Grenzen beliebig
gewählt werden.
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Gibb‘sche Phasenregel
Die Phase besitzt also zwei Freiheitsgrade. Dies wird durch die Gibb’sche
Phasenregel ausgedrückt:
f=N–P+2
• f die Anzahl der Freiheitsgrade
• N die Anzahl der Komponenten des Systems (z.B. unterschiedliche
Teilchensorten)
• P die Anzahl der Phasen
Ebenso finden sich in einem Phasendiagramm Koexistenzkurven, in denen zwei
Phasen gleichberechtigt vorliegen.
Hier bestimmt die Wahl des einen Parameters p oder T den anderen, wenn man
sich im (p,T)-Diagramm auf der Koexistenzlinie bewegt d.h. es gibt einen
Freiheitsgrad.
Existieren gleichzeitig drei Phasen (z. B. Wasser flüssig, gasförmig und fest), so
verbleibt genau ein Punkt im Phasendiagramm, der Tripelpunkt, da kein
Freiheitsgrad verbleibt (f=0).
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Ursache von Phasenübergängen
Jedes thermodynamische System verfolgt das Ziel der Minimierung der
freien Energie F=U-TS bzw. der freien Enthalpie G=U-TS+pV.
Diese thermodynamischen Potentiale sind allgemein temperaturabhängig
und der Minimierungsprozess verläuft entsprechend der vorherrschenden
Temperatur:
• Niedrige Temperatur: Die innere Energie U einer Phase bestimmt das
Minimum, die Entropie S spielt eine untergeordnete Rolle.
• Hohe Temperatur: Der zweite Term überwiegt und die Entropie S spielt die
dominante Rolle.
Man erwartet also für tiefe Temperaturen geordnete - also möglichst
symmetrische - Zustände, da diese eine geringe innere Energie besitzen und
für hohe Temperatur eine steigende Unordnung.
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Klassifikation von Phasenübergängen nach
Ehrenfest
• Phasenübergang 1. Ordnung:
Ist mindestens eine der ersten Ableitungen der freien Enthalpie G(T,p)
nach T bzw. p unstetig, so handelt es sich um einen Phasenübergang 1.
Ordnung.
Beide sind beim Phasenübergang nicht stetig, sondern machen einen
Sprung.
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Klassifikation von Phasenübergängen nach
Ehrenfest
• Phasenübergang 2. Ordnung:
Bei einem Phasenübergang 2. Ordnung ist mindestens eine der zweiten
Ableitungen der freien Enthalpie G unstetig.
Die thermodynamische Größen sind dann:
Wärmekapazität
Kompressibilität
Ausdehnungskoeffizient
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Literaturverzeichnis
• Mechanik der Gase, D. Richter, Springer-Verlag, 2010
• Thermodynamik, Baehr & Kabelac, Springer-Verlag, 15. Auflage
• Thermodynamik kompakt, Weigand, Köhler & von Wolfersdorf, Springer
Verlag
• Experimentalphysik 1, W. Demtröder, Springer-Verlag, 5. Auflage, 2008
• Experimentalphysik 3, W. Demtröder, Springer-Verlag, 4. Auflage, 2010
• Physik I, K. Dransfeld, P. Kienle und G.M. Kalvius, Oldenbourg Verlag, 10.
Auflage, 2005
• Kinetik der Gasreaktionen, E. Cremer und M. Pahl, Walter de Gruyter & Co.
Verlag, 1961
• Grundkurs Theoretische Physik 6, W. Nolting, Springer Spektrum, 7. Auflage,
2014